Ако едната равнина е перпендикулярна на другата, тогава Стереометрия. Перпендикулярност на две линии
Ако една от двете равнини минава през права линия, перпендикулярна на другата равнина, тогава дадените равнини са перпендикулярни () (фиг. 28)
α - равнина, ве права линия, перпендикулярна на него, β е равнина, минаваща през права линия в, и се правата, по която се пресичат равнините α и β.
Последица.Ако една равнина е перпендикулярна на пресечната линия на две дадени равнини, то тя е перпендикулярна на всяка от тези равнини
Задача 1. Докажете, че през всяка точка от една права в пространството е възможно да се прекарат две различни прави, перпендикулярни на нея.
Доказателство:
Според аксиомата азима точка извън правата а.По теорема 2.1 през точката ATи директно аможе да се начертае равнина α. (фиг. 29) Съгласно теорема 2.3 през точката НОв равнината α може да се начертае права линия а.Съгласно аксиома C 1 има точка ОТ, непринадлежащи на α. По теорема 15.1 през точката ОТи директно аможе да се начертае равнина β. В равнината β, по теорема 2.3, през точката a може да се начертае права с а.Правите в и c по построение имат само една обща точка НОи двете са перпендикулярни
Задача 2.Горните краища на два вертикално стоящи стълба, разделени на разстояние 3,4 m, са свързани с напречна греда. Височината на единия стълб е 5,8 м, а на другия 3,9 м. Намерете дължината на напречната греда.
AC= 5,8 м, BD= 3,9 м, AB- ? (фиг.30)
AE = AC - CE = AC - BD= 5,8 - 3,9 = 1,9 (m)
По Питагоровата теорема от ∆ AEBполучаваме:
AB 2 \u003d AE 2 + EB 2 \u003d AE 2 + CD 2 \u003d ( 1,9) 2 + (3,4) 2 \u003d 15,17 (m 2)
AB== 3,9 (m)
Задачи
Цел. Научете се да анализирате в най-простите случаи взаимно споразумениеобекти в пространството, използват планиметрични факти и методи при решаване на стереометрични задачи.
1. Докажете, че през всяка точка от права в пространството може да се прекара права, перпендикулярна на нея.
2. Правите AB, AC и AD са перпендикулярни по двойки. Намерете сегмента SD, ако:
1) AB = 3см , слънце= 7 см, AD= 1,5 cm;
2) VD= 9 см, AD= 5 см, слънце= 16см;
3) AB = c, BC = a, AD = d;
4) BD = c, BC = a, AD = d
3. Точка А е на разстояние аот върховете на равностранен триъгълник със страна а.Намерете разстоянието от точка А до равнината на триъгълника.
4. Докажете, че ако една права е успоредна на равнина, то всички нейни точки са на еднакво разстояние от равнината.
5. Телефонен проводник с дължина 15 м е опънат от телефонен стълб, където е закрепен на височина 8 м от земята, до къща, където е закрепен на височина 20 м. Намерете разстоянието между къщата и стълба, като се приеме, че жицата не провисва.
6. От точка към равнина са начертани две наклонени, равни на 10 см и 17 см. Разликата в проекциите на тези наклонени е 9 см. Намерете проекциите на наклонените.
7. От точка към равнина са прекарани две наклонени, едната от които е с 26 см по-голяма от другата. Проекциите на косите са 12 см и 40 см. Намерете косите.
8. От точка към равнина са начертани две наклонени прави. Намерете дължините на косите мускули, ако те са в отношение 1:2 и проекциите на косите мускули са 1 cm и 7 cm.
9. От точка към равнина са начертани две наклонени прави, равни на 23 см и 33 см. Намерете
разстоянието от тази точка до равнината, ако проекциите на наклонената съотношение са 2:3.
10. Намерете разстоянието от средата на отсечката AB до равнина, която не пресича тази отсечка, ако разстоянието от точки a и B до равнината е: 1) 3,2 cm и 5,3 cm;7,4 cm и 6,1 cm; 3) a и c.
11. Решете предходната задача, при условие че отсечката AB пресича равнината.
12. Сегмент с дължина 1 м пресича равнина, краищата му са отстранени от равнината на разстояние 0,5 м и 0,3 м. Намерете дължината на проекцията на сегмента върху равнината ..
13. От точки A и B се спускат перпендикуляри към равнината. Намерете разстоянието между точките A и B, ако перпендикулярите са 3 m и 2 m, разстоянието между основите им е 2,4 m, а отсечката AB не пресича равнината.
14. От точки A и B, лежащи в две перпендикулярни равнини, се спускат перпендикулярите AC и BD на пресечната линия на равнините. Намерете дължината на отсечката AB, ако: 1) AC = 6 m, BD = 7 m, CD = 6 m; 2) AC = 3 m, BD = 4 m, CD = 12 m; 3) AD = 4 m, BC = 7 m, CD = 1 m; 4) AD = BC = 5 m, CD = 1 m; 4) AC = a, BD = b, CD = c; 5) AD = a, BC = b, CD = c.
15. От върховете A и B на равностранния триъгълник ABC са издигнати перпендикулярите AA 1 и BB 1 към равнината на триъгълника. Намерете разстоянието от върха C до средата на сегмента A 1 B 1, ако AB \u003d 2 m, CA 1 \u003d 3 m, CB 1 \u003d 7 m и сегментът A 1 B 1 не пресича равнината триъгълник
16. От върхове A и B на остри ъгли правоъгълен триъгълник ABC възстанови перпендикуляри AA 1 и BB 1 към равнината на триъгълника. Намерете разстоянието от върха C до средата на отсечката A 1 B 1, ако A 1 C = 4 m, AA 1 = 3 m, CB 1 = 6 m, BB 1 = 2 m и отсечката A 1 B 1 не пресича равнината на триъгълника.
Две равнини, които се пресичат, се наричат перпендикулярен, ако третата равнина, перпендикулярна на линията на пресичане на тези две равнини, ги пресича по перпендикулярни линии (виж фигурата).Всяка равнина, перпендикулярна на пресечната линия перпендикулярни равнинипресича ги по перпендикулярни линии.
Знак за перпендикулярност на равнините
Теорема 1. Ако една равнина минава през права, перпендикулярна на друга равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни (виж фигурата). 
Теорема 2. Ако права, лежаща в една от двете перпендикулярни равнини, е перпендикулярна на линията на тяхното пресичане, то тя е перпендикулярна и на втората равнина (вижте фигурата).
Пример за прилагане на теорема 2
Нека има две перпендикулярни равнини и , които се пресичат по права линия а(виж снимката). Намерете разстоянието от точката А, който лежи в равнината и не лежи в равнината , равнината .
В равнината изграждаме перпендикуляр към апрез точка А. Нека се пресече ав точката б. AB- желано разстояние.
Обърнете внимание на това.
1. През точка извън равнината можете да начертаете много равнини, перпендикулярни на тази равнина (вижте фигурата). (Но всички те ще преминат през права, перпендикулярна на тази равнина, която минава през дадена точка.)
2. Ако една равнина е перпендикулярна на дадена равнина, това не означава, че тя е перпендикулярна и на произволна права, успоредна на тази равнина.
Например на фигурата по-долу и се пресичат по права линия b, и авлиза в един от самолетите и . Следователно, права линия аедновременно успоредни на две перпендикулярни равнини.
Перпендикулярността в пространството може да има:
1. Две прави линии
3. Две равнини
Нека разгледаме последователно тези три случая: всички дефиниции и твърдения на теореми, свързани с тях. И тогава ще обсъдим една много важна теорема за три перпендикуляра.
Перпендикулярност на две линии.
определение:
Можете да кажете: те отвориха Америка и за мен! Но не забравяйте, че в космоса всичко не е съвсем същото като в самолет.
В равнина само такива линии (пресичащи се) могат да се окажат перпендикулярни:
Но перпендикулярност в пространството на две линии може да бъде дори и да не се пресичат. Виж:
правата е перпендикулярна на права, въпреки че не я пресича. Как така? Припомняме дефиницията на ъгъла между линиите: за да намерите ъгъла между косите линии и, трябва да начертаете линия през произволна точка на линията a. И тогава ъгълът между и (по дефиниция!) ще бъде равен на ъгъламежду i.
Спомняте ли си? Е, в нашия случай, ако линиите и са перпендикулярни, тогава линиите и трябва да се считат за перпендикулярни.
За да сме напълно ясни, нека да разгледаме пример.Нека има куб. И от вас се иска да намерите ъгъла между линиите и. Тези линии не се пресичат - те се пресичат. За да намерите ъгъла между и, нарисувайте.
Поради факта, че - успоредник (и дори правоъгълник!), Оказва се, че. И поради факта, че - квадрат, се оказва, че. Е, това означава.
Перпендикулярност на права и равнина.
определение:
Ето снимката:
една права е перпендикулярна на равнина, ако е перпендикулярна на всички-всички прави в тази равнина: и, и, и, и дори! И милиард други редове!
Да, но как тогава може да се провери перпендикулярността в права линия и в равнина? Значи животът не е достатъчен! Но за наше щастие математиците ни спасиха от кошмара на безкрайността, като изобретиха знак за перпендикулярност на права и равнина.
Ние формулираме:
Вижте колко страхотно:
ако има само две линии (и) в равнината, на която линията е перпендикулярна, тогава тази линия веднага ще се окаже перпендикулярна на равнината, тоест на всички линии в тази равнина (включително някои линии, стоящи отстрани ). Това е много важна теорема, така че ще начертаем и нейното значение под формата на диаграма.
И да погледнем отново пример.
Нека ни е даден правилен тетраедър.
Задача: да докаже това. Ще кажете: това са две прави! Какво общо има перпендикулярността на права линия и равнина?!
Но вижте:
нека маркираме средата на ръба и нарисуваме и. Това са медианите в и. Триъгълниците са правилни и.
Ето го, чудо: оказва се, че, както и. И по-нататък, към всички прави линии в равнината, и оттам, и. Доказано. И най-важният момент беше именно използването на знака за перпендикулярност на права и равнина.
Когато равнините са перпендикулярни
определение:
Тоест (за повече подробности вижте темата „двустенен ъгъл“), две равнини (равнини) са перпендикулярни, ако се окаже, че ъгълът между двата перпендикуляра (ите) към пресечната линия на тези равнини е равен. И има една теорема, която свързва концепцията за перпендикулярни равнини с концепцията за перпендикулярност в пространството на права и равнина.
Тази теорема се нарича
Критерий за перпендикулярност на равнините.
Нека формулираме:
Както винаги, декодирането на думите "тогава и само тогава" изглежда така:
- Ако, тогава минава през перпендикуляра на.
- Ако минава през перпендикуляра на, тогава.
(естествено, тук и са самолети).
Тази теорема е една от най-важните в стереометрията, но, за съжаление, една от най-трудните за прилагане.
Така че трябва да сте много внимателни!
Така че формулировката е:
И отново дешифриране на думите "тогава и само тогава". Теоремата твърди две неща наведнъж (вижте снимката):
Нека се опитаме да приложим тази теорема, за да решим проблема.
Задача: дадена е правилна шестоъгълна пирамида. Намерете ъгъла между линиите и.
Решение:
Поради факта, че в правилната пирамида върхът попада в центъра на основата по време на проекцията, се оказва, че линията е проекцията на линията.
Но ние знаем, че в правилен шестоъгълник. Прилагаме теоремата за трите перпендикуляра:
И напишете отговора:
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТ НА ПРАВИТЕ В ПРОСТРАНСТВОТО. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО
Перпендикулярност на две линии.
Две прави в пространството са перпендикулярни, ако ъгълът е между тях.
Перпендикулярност на права и равнина.
Една права е перпендикулярна на равнина, ако е перпендикулярна на всички прави в тази равнина.
Перпендикулярност на равнината.
Равнините са перпендикулярни, ако двустенният ъгъл между тях е равен.
Критерий за перпендикулярност на равнините.
Две равнини са перпендикулярни тогава и само ако една от тях минава през перпендикуляра на другата равнина.
Теорема за трите перпендикуляра:
Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.
Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако сте прочели до края, значи сте в 5%!
Сега най-важното.
Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това е ... просто е супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.
Проблемът е, че това може да не е достатъчно...
За какво?
За успешно преминаване на изпита, за прием в института на бюджета и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.
Няма да те убеждавам в нищо, само ще кажа едно...
Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.
Но това не е основното.
Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...
Но помислете сами...
Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на изпита и в крайна сметка ... по-щастливи?
НАПЪЛНЕТЕ РЪКАТА СИ, РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.
На изпита няма да ви питат теория.
Ще имаш нужда решавайте проблемите навреме.
И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да я направите навреме.
Това е като в спорта - трябва да повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.
Намерете колекция навсякъде, където пожелаете задължително с решения, подробен анализи решавайте, решавайте, решавайте!
Можете да използвате нашите задачи (не е необходимо) и ние със сигурност ги препоръчваме.
За да получите ръка с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.
как? Има две възможности:
- Отключете достъпа до всички скрити задачи в тази статия -
- Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на урока - Купете учебник - 899 рубли
Да, имаме 99 такива статии в учебника и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.
Достъпът до всички скрити задачи е осигурен за целия живот на сайта.
В заключение...
Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте с теорията.
„Разбрах“ и „Знам как да решавам“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.
Намерете проблеми и решете!
ТЕКСТ ОБЯСНЕНИЕ НА УРОКА:
Идеята за равнина в пространството ви позволява да получите например повърхността на маса или стена. Масата или стената обаче имат крайни размери и равнината се простира отвъд техните граници до безкрайност.
Да разгледаме две пресичащи се равнини. Когато се пресичат, те образуват четири двустенни ъгъла с общ ръб.
Нека си припомним какво е двустенен ъгъл.
В действителност се сблъскваме с предмети, които имат формата на двустенен ъгъл: например открехната врата или полуотворена папка.
При пресичането на две равнини алфа и бета получаваме четири двустенни ъгъла. Нека един от двустенните ъгли е равен на (phi), тогава вторият е равен на (1800 -), третият, четвъртият (1800-).
Да разгледаме случая, когато един от двустенните ъгли е равен на 900.
Тогава всички двустенни ъгли в този случай са равни на 900.
Нека въведем определението за перпендикулярни равнини:
Две равнини се наричат перпендикулярни, ако двустенният ъгъл между тях е 90°.
Ъгълът между равнините сигма и епсилон е 90 градуса, което означава, че равнините са перпендикулярни
Нека дадем примери за перпендикулярни равнини.
Стена и таван.
Странична стена и плот за маса.
Нека формулираме знак за перпендикулярност на две равнини:
ТЕОРЕМА: Ако една от двете равнини минава през права, перпендикулярна на другата равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни.
Нека докажем тази функция.
По условие е известно, че правата AM лежи в равнината α, правата AM е перпендикулярна на равнината β,
Докажете: равнините α и β са перпендикулярни.
Доказателство:
1) Равнините α и β се пресичат по правата линия AR, докато AM AR, тъй като AM β по условието, т.е. AM е перпендикулярна на всяка линия, лежаща в равнината β.
2) Нека начертаем права AT, перпендикулярна на AP в равнината β.
Получаваме ъгъла TAM - линейния ъгъл на двустенния ъгъл. Но ъгълът TAM = 90°, тъй като MA β. Следователно, α β.
Q.E.D.
От знака за перпендикулярност на две равнини имаме важно следствие:
СЛЕДСТВИЕ: Равнина, перпендикулярна на права, по която се пресичат две равнини, е перпендикулярна на всяка от тези равнини.
Тоест: ако α∩β=с и γ с, то γ α и γ β.
Нека докажем това следствие: ако гама-равнината е перпендикулярна на правата c, тогава по знака на успоредност на двете равнини гама е перпендикулярна на алфа. По същия начин гама е перпендикулярна на бета.
Нека преформулираме това следствие за двустенен ъгъл:
Равнината, минаваща през линейния ъгъл на двустенния ъгъл, е перпендикулярна на ръба и стените на този двустенен ъгъл. С други думи, ако сме построили линеен ъгъл на двустенен ъгъл, тогава равнината, минаваща през него, е перпендикулярна на ръба и лицата на този двустенен ъгъл.
Дадено е: ΔABC, C = 90°, AC лежи в равнина α, ъгъл между равнините α и ABC = 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.
Намерете: разстоянието от точка B до равнината α.
1) Нека построим VC α. Тогава CS е проекцията на BC върху тази равнина.
2) BC AS (по условие), следователно, по теоремата за трите перпендикуляра (TTP), CS AS. Следователно VSK е линейният ъгъл на двустенния ъгъл между равнината α и равнината на триъгълника ABC. Тоест WSC = 60°.
3) От ΔBCA според Питагоровата теорема:
Отговорът VK е равен на 6 корена от 3 cm
Практическо използване (приложен характер) на перпендикулярността на две равнини.
Лекция на тема "Признак за перпендикулярност на две равнини"
Идеята за равнина в пространството ви позволява да получите например повърхността на маса или стена. Масата или стената обаче имат крайни размери и равнината се простира отвъд техните граници до безкрайност.Да разгледаме две пресичащи се равнини. Когато се пресичат, те образуват четири двустенни ъгъла с общ ръб.
Нека си припомним какво е двустенен ъгъл.
В действителност се сблъскваме с предмети, които имат формата на двустенен ъгъл: например открехната врата или полуотворена папка.
При пресичането на две равнини алфа и бета получаваме четири двустенни ъгъла. Нека един от двустенните ъгли е равен на (phi), тогава вторият е равен на (180 0 -), трети, четвърти (180 0 -).
α иβ, 0°< 90 °
Разгледайте случая, когато един от двустенните ъгли е равен на 90 0 .
Тогава всички двустенни ъгли в този случай са равни на 90 0 .
двустенен ъгъл между равнинитеα иβ,
90º
Нека въведем определението за перпендикулярни равнини:
Две равнини се наричат перпендикулярни, ако двустенният ъгъл между тях е 90°.
Ъгълът между равнините сигма и епсилон е 90 градуса, което означава, че равнините са перпендикулярни
защото =90°
Нека дадем примери за перпендикулярни равнини.
Стена и таван.
Странична стена и плот за маса.
Стена и таван
Нека формулираме знак за перпендикулярност на две равнини:
ТЕОРЕМА:Ако една от двете равнини минава през права, перпендикулярна на другата равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни.
Нека докажем тази функция.
По предположение е известно, че линиятаAM лежи в равнината α, правата AM е перпендикулярна на равнината β,
Докажете: равнините α и β са перпендикулярни.
Доказателство:
1) Равнини α иβ пресичат по правата AR, докато AM AR, тъй като AM β по условието, т.е. AM е перпендикулярна на всяка права, лежаща в равнината β.
2) Начертайте права линия в равнината βАТ перпендикулярноАР.
Получаваме ъгъл ТАM е линейният ъгъл на двустенния ъгъл. Но ъгълът ТАM = 90°, тъй като MA β. Следователно, α β.
Q.E.D.
ТЕОРЕМА:Ако една равнина минава през права, перпендикулярна на друга равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни.
дадени:α, β, AM α, AMβ, AM∩=A
Докажете: αβ.
Доказателство:
1) α∩β = АР, докато AM АР, тъй като AM β по условието, т.е. AM е перпендикулярна на всяка права, лежаща в равнината β.
2) ATβ,АTАР.
TAM е линейният ъгъл на двустенен ъгъл. TAM = 90°, защото MA β. Следователно, α β.
Q.E.D
От знака за перпендикулярност на две равнини имаме важно следствие:
ПОСЛЕДСТВИЕ:Равнина, перпендикулярна на права, по която се пресичат две равнини, е перпендикулярна на всяка от тези равнини.
Нека докажем това следствие: ако гама-равнината е перпендикулярна на правата c, тогава по знака на успоредност на двете равнини гама е перпендикулярна на алфа. По същия начин гама е перпендикулярна на бета.
Тоест: ако α∩β=с и γс, то γα и γβ.
защотоγс и сα от знака за перпендикулярност γα.
По същия начин, γ β
Нека преформулираме това следствие за двустенен ъгъл:
Равнината, минаваща през линейния ъгъл на двустенния ъгъл, е перпендикулярна на ръба и стените на този двустенен ъгъл. С други думи, ако сме построили линеен ъгъл на двустенен ъгъл, тогава равнината, минаваща през него, е перпендикулярна на ръба и лицата на този двустенен ъгъл.
Задача.
Дадено е: ΔABC, C = 90°, AC лежи в равнината α, ъгълът между равнините α иABC= 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.
Намерете: разстоянието от точка B до равнината α.
Решение:
1) Нека построим VC α. Тогава CS е проекцията на BC върху тази равнина.
2) BC AS (по условие), следователно, по теоремата за трите перпендикуляра (TTP), CS AS. Следователно VSK е линейният ъгъл на двустенния ъгъл между равнината α и равнината на триъгълника ABC. Тоест WSC = 60°.
3) От ΔBCA според Питагоровата теорема:
От ΔVKS: 