วิธีคูณเลขสองตัวด้วยกำลังต่างกัน สูตรของพลังและราก ดำเนินการแก้ไขปัญหาทั่วไปต่อไป

แน่นอน เลขยกกำลังสามารถบวกได้เหมือนปริมาณอื่นๆ โดยเพิ่มทีละตัวพร้อมป้าย.

ดังนั้น ผลรวมของ a 3 และ b 2 คือ a 3 + b 2
ผลรวมของ a 3 - b n และ h 5 -d 4 คือ a 3 - b n + h 5 - d 4 .

อัตราต่อรอง พลังของตัวแปรเดียวกันสามารถเพิ่มหรือลบได้

ดังนั้น ผลรวมของ 2a 2 และ 3a 2 คือ 5a 2

เป็นที่แน่ชัดเช่นกันว่าถ้าเราเอาสองสี่เหลี่ยม a, หรือ สามสี่เหลี่ยม a, หรือ ห้าสี่เหลี่ยม a

แต่องศา ตัวแปรต่างๆและ องศาต่างๆ ตัวแปรที่เหมือนกันจะต้องเพิ่มโดยเพิ่มลงในเครื่องหมายของพวกเขา

ดังนั้น ผลรวมของ 2 และ 3 คือผลรวมของ 2 + a 3

เห็นได้ชัดว่ากำลังสองของ a และลูกบาศก์ของ a ไม่ใช่สองเท่าของกำลังสองของ a แต่เป็นสองเท่าของลูกบาศก์ของ a

ผลรวมของ a 3 b n และ 3a 5 b 6 คือ a 3 b n + 3a 5 b 6 .

การลบอำนาจจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับการเพิ่ม ยกเว้นว่าสัญญาณของ subtrahend จะต้องเปลี่ยนตามนั้น

หรือ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

การคูณกำลัง

ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถคูณได้เหมือนกับจำนวนอื่นๆ โดยเขียนทีละตัว โดยมีหรือไม่มีเครื่องหมายคูณระหว่างกัน

ดังนั้น ผลลัพธ์ของการคูณ a 3 กับ b 2 จึงเป็น 3 b 2 หรือ aaabb

หรือ:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

ผลลัพธ์ในตัวอย่างสุดท้ายสามารถเรียงลำดับได้โดยการเพิ่มตัวแปรเดียวกัน
นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ: a 5 b 5 y 3 .

โดยการเปรียบเทียบตัวเลขหลายตัว (ตัวแปร) กับเลขยกกำลัง เราจะเห็นได้ว่าถ้าตัวใดสองตัวคูณกัน ผลลัพธ์จะเป็นตัวเลข (ตัวแปร) ที่มีค่ากำลังเท่ากับ ผลรวมองศาของเงื่อนไข

ดังนั้น a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5

5 คือพลังของผลลัพธ์ของการคูณ เท่ากับ 2 + 3 ซึ่งเป็นผลรวมของยกกำลังของเทอม

ดังนั้น n .a m = a m+n

สำหรับ n จะใช้ a เป็นตัวประกอบหลายเท่าของกำลังของ n

และ m ถูกนำมาเป็นตัวประกอบหลายครั้งที่องศา m เท่ากับ;

นั่นเป็นเหตุผลที่ เลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากันสามารถคูณด้วยเลขชี้กำลัง

ดังนั้น a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 และ x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

หรือ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

คูณ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)
คำตอบ: x 4 - y 4
คูณ (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)

กฎนี้เป็นจริงสำหรับตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง - เชิงลบ.

1. ดังนั้น a -2 .a -3 = a -5 สามารถเขียนได้เป็น (1/aa).(1/aaa) = 1/aaa

2. y-n .y-m = y-n-m

3. a -n .a m = a m-n .

ถ้า a + b คูณด้วย a - b ผลลัพธ์จะเป็น a 2 - b 2: นั่นคือ

ผลคูณผลบวกหรือผลต่างของตัวเลขสองตัว เท่ากับผลรวมหรือความแตกต่างของกำลังสอง

หากผลรวมและส่วนต่างของตัวเลขสองตัวยกขึ้นเป็น สี่เหลี่ยมผลลัพธ์จะเท่ากับผลรวมหรือส่วนต่างของตัวเลขเหล่านี้ใน ที่สี่ระดับ.

ดังนั้น (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

กองอำนาจ

ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถแบ่งได้เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ โดยการลบออกจากตัวหาร หรือโดยการวางในรูปเศษส่วน

ดังนั้น a 3 b 2 หารด้วย b 2 จึงเป็น 3

หรือ:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

การเขียน 5 หารด้วย 3 ดูเหมือน $\frac(a^5)(a^3)$ แต่นี่เท่ากับ 2 ในชุดตัวเลข
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4
ตัวเลขใดๆ ก็สามารถหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งได้ และเลขชี้กำลังจะเท่ากับ ความแตกต่างตัวบ่งชี้ของตัวเลขที่หารได้

เมื่อหารยกกำลังด้วยเลขฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังจะถูกหักออก.

ดังนั้น y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . นั่นคือ $\frac(yyy)(yy) = y$

และ n+1:a = a n+1-1 = a n นั่นคือ $\frac(aa^n)(a) = a^n$

หรือ:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

กฎนี้ใช้ได้กับตัวเลขด้วย เชิงลบค่าดีกรี
ผลลัพธ์ของการหาร -5 ด้วย -3 คือ -2
นอกจากนี้ $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

ชั่วโมง 2:ชั่วโมง -1 = ชั่วโมง 2+1 = ชั่วโมง 3 หรือ $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

จำเป็นต้องเชี่ยวชาญการคูณและการแบ่งกำลังเป็นอย่างดี เนื่องจากการดำเนินการดังกล่าวใช้กันอย่างแพร่หลายในพีชคณิต

ตัวอย่างการแก้ตัวอย่างเศษส่วนที่มีตัวเลขยกกำลัง

1. ลดเลขชี้กำลังใน $\frac(5a^4)(3a^2)$ คำตอบ: $\frac(5a^2)(3)$.

2. ลดเลขชี้กำลังใน $\frac(6x^6)(3x^5)$ คำตอบ: $\frac(2x)(1)$ หรือ 2x.

3. ลดเลขชี้กำลัง a 2 / a 3 และ -3 / a -4 และนำมาเป็นตัวส่วนร่วม
2 .a -4 คือ -2 ตัวเศษแรก
3 .a -3 คือ 0 = 1 ตัวเศษที่สอง
3 .a -4 คือ -1 ซึ่งเป็นตัวเศษร่วม
หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย: a -2 /a -1 และ 1/a -1

4. ลดเลขชี้กำลัง 2a 4 /5a 3 และ 2 /a 4 และนำมาเป็นตัวส่วนร่วม
คำตอบ: 2a 3 / 5a 7 และ 5a 5 / 5a 7 หรือ 2a 3 / 5a 2 และ 5/5a 2

5. คูณ (a 3 + b)/b 4 ด้วย (a - b)/3

6. คูณ (a 5 + 1)/x 2 ด้วย (b 2 - 1)/(x + a)

7. คูณ b 4 /a -2 ด้วย h -3 /x และ a n /y -3 .

8. หาร 4 /y 3 ด้วย 3 /y 2 . ตอบ ก./ป.

9. หาร (h 3 - 1)/d 4 โดย (d n + 1)/h.

หากคุณต้องการเพิ่มจำนวนเฉพาะเป็นยกกำลัง คุณสามารถใช้ . ตอนนี้เรามาดูกันดีกว่าว่า คุณสมบัติของอำนาจ.

เลขชี้กำลังเปิดโอกาสอันยิ่งใหญ่ ซึ่งช่วยให้เราสามารถแปลงการคูณเป็นการบวก และการบวกนั้นง่ายกว่าการคูณมาก

ตัวอย่างเช่น เราต้องคูณ 16 ด้วย 64 ผลคูณของการคูณตัวเลขสองตัวนี้คือ 1024 แต่ 16 คือ 4x4 และ 64 คือ 4x4x4 ดังนั้น 16 คูณ 64=4x4x4x4x4 ซึ่งก็คือ 1024 เช่นกัน

หมายเลข 16 สามารถแสดงเป็น 2x2x2x2 และ 64 เป็น 2x2x2x2x2x2 และถ้าเราคูณ เราจะได้ 1024 อีกครั้ง

ตอนนี้ มาใช้กฎกัน 16=4 2 , หรือ 2 4 , 64=4 3 , หรือ 2 6 ในขณะที่ 1024=6 4 =4 5 , หรือ 2 10 .

ดังนั้น ปัญหาของเราสามารถเขียนได้อีกทางหนึ่ง: 4 2 x4 3 =4 5 หรือ 2 4 x2 6 =2 10 และทุกครั้งที่เราได้ 1024

เราสามารถแก้ตัวอย่างที่คล้ายกันได้จำนวนหนึ่ง และเห็นว่าการคูณตัวเลขที่ยกกำลังลดลงเหลือ การบวกเลขชี้กำลังหรือเลขชี้กำลัง แน่นอนว่า ฐานของตัวประกอบเท่ากัน

ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ทันทีโดยไม่ต้องคูณ 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20

กฎข้อนี้เป็นจริงเช่นกันเมื่อหารตัวเลขด้วยเลขยกกำลัง แต่ในกรณีนี้ e เลขชี้กำลังของตัวหารถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล. ดังนั้น 2 5:2 3 =2 2 ซึ่งในจำนวนปกติเท่ากับ 32:8=4 นั่นคือ 2 2 . มาสรุปกัน:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็ม

ดูเผินๆ อาจดูเหมือน การคูณและการหารตัวเลขด้วยกำลังไม่สะดวกเพราะก่อนอื่นคุณต้องแสดงตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลัง การแสดงตัวเลข 8 และ 16 ในรูปแบบนี้ไม่ใช่เรื่องยาก นั่นคือ 2 3 และ 2 4 แต่จะทำอย่างไรกับตัวเลข 7 และ 17 นี้? หรือจะทำอย่างไรในกรณีเหล่านั้นเมื่อตัวเลขสามารถแสดงในรูปแบบเลขชี้กำลังได้ แต่ฐานของนิพจน์เลขชี้กำลังต่างกันมาก ตัวอย่างเช่น 8×9 คือ 2 3 x 3 2 ซึ่งในกรณีนี้เราไม่สามารถรวมเลขชี้กำลังได้ ทั้ง 2 5 หรือ 3 5 ไม่ใช่คำตอบ และไม่ใช่คำตอบระหว่างทั้งสอง

ถ้าอย่างนั้นมันคุ้มค่าที่จะรบกวนวิธีนี้หรือไม่? คุ้มค่าแน่นอน ให้ข้อได้เปรียบอย่างมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการคำนวณที่ซับซ้อนและใช้เวลานาน

ในบทความที่แล้ว เราได้พูดถึง monomials คืออะไร ในเอกสารนี้ เราจะวิเคราะห์วิธีแก้ไขตัวอย่างและปัญหาที่ใช้ ในที่นี้เราจะพิจารณาการดำเนินการต่างๆ เช่น การลบ บวก คูณ หารโมโนเมียล และยกกำลังด้วย ตัวบ่งชี้ธรรมชาติ. เราจะแสดงให้เห็นว่าการดำเนินการดังกล่าวถูกกำหนดอย่างไร ระบุกฎพื้นฐานสำหรับการนำไปใช้และสิ่งที่ควรเป็นผลลัพธ์ บทบัญญัติทางทฤษฎีทั้งหมดตามปกติจะแสดงตัวอย่างปัญหาพร้อมคำอธิบายวิธีแก้ปัญหา

สะดวกที่สุดในการทำงานกับสัญกรณ์มาตรฐานของ monomial ดังนั้นเราจึงนำเสนอนิพจน์ทั้งหมดที่จะใช้ในบทความในรูปแบบมาตรฐาน หากตั้งค่าเริ่มต้นแตกต่างกัน ขอแนะนำให้นำไปไว้ในแบบฟอร์มที่ยอมรับโดยทั่วไปก่อน

กฎสำหรับการบวกและการลบโมโนเมียล

การดำเนินการที่ง่ายที่สุดที่สามารถทำได้ด้วยโมโนเมียลคือการลบและการบวก ในกรณีทั่วไป ผลลัพธ์ของการกระทำเหล่านี้จะเป็นพหุนาม (อาจใช้โมโนเมียลได้ในบางกรณีพิเศษ)

เมื่อเราบวกหรือลบ monomial อันดับแรก เราจะเขียนผลรวมและผลต่างที่สอดคล้องกันในรูปแบบที่ยอมรับโดยทั่วไป หลังจากนั้นเราจะลดความซับซ้อนของนิพจน์ผลลัพธ์ หากมีคำศัพท์ที่คล้ายคลึงกันจะต้องระบุให้เปิดวงเล็บ มาอธิบายด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

สภาพ:เพิ่มโมโนเมียล − 3 · x และ 2 , 72 · x 3 · y 5 · z

วิธีการแก้

ลองเขียนผลรวมของนิพจน์ดั้งเดิมกัน ใส่วงเล็บและใส่เครื่องหมายบวกระหว่างวงเล็บ เราจะได้รับสิ่งต่อไปนี้:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

เมื่อเราขยายวงเล็บเราได้รับ - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . นี่คือพหุนาม เขียนในรูปแบบมาตรฐาน ซึ่งจะเป็นผลจากการเพิ่มโมโนเมียลเหล่านี้

ตอบ:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

ถ้าเรามีเงื่อนไขสาม สี่คำขึ้นไป เราจะดำเนินการในลักษณะเดียวกัน

ตัวอย่าง 2

สภาพ:รูดเข้า ลำดับที่ถูกต้องการดำเนินการที่ระบุด้วยพหุนาม

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

วิธีการแก้

เริ่มต้นด้วยการเปิดวงเล็บ

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

เราเห็นว่านิพจน์ผลลัพธ์สามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยการลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

เรามีพหุนามซึ่งจะเป็นผลมาจากการกระทำนี้

ตอบ: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

โดยหลักการแล้ว เราสามารถทำการบวกและลบโมโนเมียลสองชนิดได้ โดยมีข้อจำกัดบางประการ เพื่อที่เราจะลงเอยด้วยโมโนเมียล ในการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขบางประการเกี่ยวกับข้อกำหนดและโมโนเมียลที่หักออก เราจะอธิบายวิธีการดำเนินการนี้ในบทความแยกต่างหาก

กฎสำหรับการคูณโมโนเมียล

การคูณไม่ได้กำหนดข้อจำกัดใดๆ เกี่ยวกับตัวคูณ โมโนเมียลที่จะคูณต้องไม่เป็นไปตามเงื่อนไขเพิ่มเติมใด ๆ เพื่อให้ผลลัพธ์เป็นโมโนเมียล

ในการคูณโมโนเมียล คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1. บันทึกชิ้นงานให้ถูกต้อง
2. ขยายวงเล็บในนิพจน์ผลลัพธ์
3. ให้จัดกลุ่มตัวประกอบที่มีตัวแปรเดียวกันและตัวประกอบตัวเลขแยกกัน หากเป็นไปได้
4. ดำเนินการที่จำเป็นกับตัวเลขและใช้คุณสมบัติของการคูณด้วยฐานเดียวกันกับปัจจัยที่เหลือ

ลองดูวิธีการนี้ในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 3

สภาพ:คูณโมโนเมียล 2 · x 4 · y · z และ - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11

วิธีการแก้

เริ่มจากองค์ประกอบของงานกันก่อน

เปิดวงเล็บในนั้นและเราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

สิ่งที่เราต้องทำคือคูณตัวเลขในวงเล็บแรกและใช้คุณสมบัติกำลังกับตัวที่สอง เป็นผลให้เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

ตอบ: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

ถ้าเรามีพหุนามสามตัวขึ้นไปในเงื่อนไข เราจะคูณมันโดยใช้อัลกอริธึมเดียวกันทุกประการ เราจะพิจารณาปัญหาของการคูณของ monomial โดยละเอียดในเนื้อหาแยกต่างหาก

กฎการเพิ่มโมโนเมียลสู่อำนาจ

เรารู้ว่าผลคูณของตัวประกอบที่เหมือนกันจำนวนหนึ่งเรียกว่าดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ หมายเลขของพวกเขาถูกระบุโดยตัวเลขในตัวบ่งชี้ ตามคำจำกัดความนี้ การเพิ่มโมโนเมียลให้เป็นกำลังเท่ากับการคูณจำนวนโมโนเมียลที่เหมือนกันที่ระบุ เรามาดูกันว่ามันทำอย่างไร

ตัวอย่างที่ 4

สภาพ:เพิ่มโมโนเมียล − 2 · a · b 4 ยกกำลัง 3

วิธีการแก้

เราสามารถแทนที่การยกกำลังด้วยการคูณ 3 โมโนเมียล − 2 · a · b 4 . มาเขียนและรับคำตอบที่ต้องการ:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4 b 4) = − 8 a 3 b 12

ตอบ:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

แต่เมื่อดีกรีมีเลขชี้กำลังมากล่ะ การบันทึกตัวคูณจำนวนมากนั้นไม่สะดวก จากนั้น เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว เราจำเป็นต้องใช้คุณสมบัติของดีกรี กล่าวคือ คุณสมบัติของดีกรีของผลิตภัณฑ์ และคุณสมบัติของดีกรีในระดับหนึ่ง

มาแก้ปัญหาที่เราอ้างถึงข้างต้นด้วยวิธีที่ระบุ

ตัวอย่างที่ 5

สภาพ:เพิ่ม − 2 · a · b 4 ยกกำลังสาม

วิธีการแก้

เมื่อทราบคุณสมบัติของระดับปริญญาแล้ว เราสามารถดำเนินการนิพจน์ของรูปแบบต่อไปนี้:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

หลังจากนั้นเรายกกำลัง - 2 และใช้คุณสมบัติเลขชี้กำลัง:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

ตอบ:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

เรายังอุทิศบทความแยกต่างหากเพื่อยกระดับโมโนเมียลให้กลายเป็นพลัง

กฎการแบ่ง monomials

การกระทำสุดท้ายกับโมโนเมียลที่เราจะวิเคราะห์ในเนื้อหานี้คือการแบ่งโมโนเมียลด้วยโมโนเมียล ด้วยเหตุนี้ เราควรได้เศษส่วนตรรกยะ (พีชคณิต) (ในบางกรณี เป็นไปได้ที่จะได้โมโนเมียล) ให้เราชี้แจงทันทีว่าไม่มีการหารด้วยศูนย์โมโนเมียลไม่ได้กำหนดไว้ เนื่องจากการหารด้วย 0 ไม่ได้ถูกกำหนดไว้

ในการหาร เราต้องเขียน monomial ที่ระบุในรูปของเศษส่วนแล้วย่อให้เหลือ ถ้าเป็นไปได้

ตัวอย่างที่ 6

สภาพ:หารโมโนเมียล − 9 x 4 y 3 z 7 ด้วย − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .

วิธีการแก้

เริ่มต้นด้วยการเขียนโมโนเมียลในรูปของเศษส่วน

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

เศษส่วนนี้สามารถลดลงได้ หลังจากทำสิ่งนี้เราได้รับ:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

ตอบ:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

เงื่อนไขซึ่งเป็นผลมาจากการแบ่ง monomial เราได้รับ monomial จะได้รับในบทความแยกต่างหาก

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ก่อนหน้านี้เราได้พูดถึงว่ากำลังของตัวเลขคืออะไร เธอมี คุณสมบัติบางอย่างมีประโยชน์ในการแก้ปัญหา: เราจะวิเคราะห์พวกเขาและเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมดในบทความนี้ เราจะสาธิตด้วยตัวอย่างวิธีการพิสูจน์และนำไปใช้ในทางปฏิบัติอย่างถูกต้อง

ให้เรานึกถึงแนวคิดของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ ซึ่งเราได้กำหนดไว้ก่อนหน้านี้แล้ว: นี่คือผลคูณของปัจจัยที่ n ซึ่งแต่ละตัวมีค่าเท่ากับ a เราต้องจำวิธีการคูณจำนวนจริงอย่างถูกต้อง ทั้งหมดนี้จะช่วยให้เราสามารถกำหนดคุณสมบัติต่อไปนี้สำหรับระดับที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ:

คำจำกัดความ 1

1. คุณสมบัติหลักของดีกรี: a m a n = a m + n

สามารถสรุปเป็น: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k

2. คุณสมบัติทางหารสำหรับกำลังที่มีฐานเดียวกัน: a m: a n = a m − n

3. คุณสมบัติระดับผลิตภัณฑ์: (a b) n = a n b n

ความเท่าเทียมกันสามารถขยายเป็น: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

4. คุณสมบัติของดีกรีธรรมชาติ: (a: b) n = a n: b n

5. เรายกกำลังให้กำลัง: (a m) n = a m n ,

สามารถสรุปเป็น: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k

6. เปรียบเทียบองศากับศูนย์:

• ถ้า a > 0 ดังนั้นสำหรับ n ตามธรรมชาติใดๆ a n จะมากกว่าศูนย์
• มีค่าเท่ากับ 0 และ n จะเท่ากับศูนย์ด้วย
• สำหรับ< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• สำหรับ< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. ความเท่าเทียมกัน n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. อสมการ a m > a n จะเป็นจริงโดยที่ m และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ m มากกว่า n และ a มากกว่าศูนย์และไม่น้อยกว่าหนึ่ง

เป็นผลให้เราได้รับความเท่าเทียมกันหลายประการ หากคุณปฏิบัติตามเงื่อนไขทั้งหมดที่ระบุไว้ข้างต้น เงื่อนไขจะเหมือนกันทุกประการ สำหรับแต่ละความเท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่น สำหรับคุณสมบัติหลัก คุณสามารถสลับส่วนขวาและซ้าย: a m · a n = a m + n - เหมือนกับ a m + n = a m · a n ในรูปแบบนี้ มักใช้เมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์

1. เริ่มจากคุณสมบัติหลักของดีกรี: ความเท่าเทียมกัน a m · a n = a m + n จะเป็นจริงสำหรับ m และ n ธรรมชาติใดๆ และจำนวนจริง a จะพิสูจน์ข้อความนี้ได้อย่างไร?

คำจำกัดความพื้นฐานของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติจะทำให้เราสามารถแปลงความเท่าเทียมกันเป็นผลคูณของปัจจัยต่างๆ เราจะได้รายการดังนี้

สามารถย่อให้สั้นลงได้ (จำคุณสมบัติพื้นฐานของการคูณ) เป็นผลให้เราได้ดีกรีของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ m + n ดังนั้น m + n ซึ่งหมายความว่าคุณสมบัติหลักของระดับได้รับการพิสูจน์แล้ว

มาวิเคราะห์กัน ตัวอย่างเฉพาะยืนยันสิ่งนี้

ตัวอย่าง 1

เราก็มีเลขยกกำลังสองตัวที่มีฐาน 2 ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติคือ 2 และ 3 ตามลำดับ เราได้ความเท่าเทียมกัน: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 ลองคำนวณค่าเพื่อตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกันนี้

เราจะดำเนินการตามความจำเป็น การดำเนินการทางคณิตศาสตร์: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 และ 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

เป็นผลให้เราได้รับ: 2 2 2 3 = 2 5 . คุณสมบัติได้รับการพิสูจน์แล้ว

เนื่องจากคุณสมบัติของการคูณ เราสามารถสรุปคุณสมบัติโดยกำหนดเป็นสามและ มากกว่าเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติและมีฐานเท่ากัน หากเราระบุจำนวนตัวเลขธรรมชาติ n 1, n 2 ฯลฯ ด้วยตัวอักษร k เราจะได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

ตัวอย่าง 2

2. ต่อไป เราต้องพิสูจน์คุณสมบัติต่อไปนี้ ซึ่งเรียกว่าคุณสมบัติเชาวน์และมีอยู่ในอำนาจที่มีฐานเดียวกัน นี่คือความเท่าเทียมกัน a m: a n = a m − n ซึ่งใช้ได้กับ m และ n (และ m ตามธรรมชาติ) มากกว่า n)) และจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ a

ในการเริ่มต้น ให้เราอธิบายว่าความหมายของเงื่อนไขที่กล่าวถึงในสูตรคืออะไร ถ้าเราหาค่าเท่ากับศูนย์ ในที่สุดเราจะได้การหารด้วยศูนย์ ซึ่งไม่สามารถทำได้ (หลังจากทั้งหมด 0 n = 0) เงื่อนไขที่ว่าจำนวน m ต้องมากกว่า n เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้เราสามารถอยู่ภายในเลขชี้กำลังธรรมชาติ: โดยการลบ n ออกจาก m เราได้จำนวนธรรมชาติ หากไม่เป็นไปตามเงื่อนไข เราจะได้ตัวเลขติดลบหรือศูนย์ และอีกครั้ง เราจะไปไกลกว่าการศึกษาระดับปริญญาด้วยตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ

ตอนนี้เราไปต่อที่การพิสูจน์ได้แล้ว จากการศึกษาก่อนหน้านี้ เราจำคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนและกำหนดความเท่าเทียมกันได้ดังนี้

a m − n a n = a (m − n) + n = a m

จากนั้นเราสามารถอนุมานได้ว่า: a m − n a n = a m

จำการเชื่อมต่อระหว่างการหารและการคูณ จากนั้น a m − n คือผลหารของยกกำลัง a m และ a n นี่คือข้อพิสูจน์ของคุณสมบัติระดับที่สอง

ตัวอย่างที่ 3

แทนที่ตัวเลขเฉพาะเพื่อความชัดเจนในตัวบ่งชี้ และแสดงฐานของดีกรี π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. ต่อไป เราจะวิเคราะห์คุณสมบัติของระดับของผลิตภัณฑ์: (a · b) n = a n · b n สำหรับจำนวนจริง a และ b และธรรมชาติ n

ตามคำจำกัดความพื้นฐานของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ เราสามารถกำหนดความเท่าเทียมกันใหม่ได้ดังนี้

จำคุณสมบัติของการคูณเราเขียน: . มีความหมายเดียวกับ a n · b n

ตัวอย่างที่ 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

หากเรามีตัวประกอบตั้งแต่สามตัวขึ้นไป คุณสมบัตินี้จะใช้กับกรณีนี้ด้วย เราแนะนำสัญกรณ์ k สำหรับจำนวนปัจจัยและเขียน:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

ตัวอย่างที่ 5

ด้วยตัวเลขเฉพาะ เราจะได้ค่าความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องดังต่อไปนี้ (2 (- 2 , 3) ​​​​a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​​​7 a

4. หลังจากนั้น เราจะพยายามพิสูจน์คุณสมบัติเชาวน์: (a: b) n = a n: b n สำหรับจำนวนจริง a และ b ถ้า b ไม่เท่ากับ 0 และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ

เพื่อเป็นหลักฐาน เราสามารถใช้คุณสมบัติดีกรีก่อนหน้าได้ ถ้า (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n และ (a: b) n b n = a n จะตามมาว่า (a: b) n คือผลหารของการหาร a n ด้วย b n

ตัวอย่างที่ 6

ลองนับตัวอย่าง: 3 1 2: - 0 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

ตัวอย่าง 7

เริ่มจากตัวอย่างทันที (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

และตอนนี้เราได้กำหนดห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกันที่จะพิสูจน์ให้เราเห็นถึงความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน:

ถ้าเรามีดีกรีในตัวอย่าง คุณสมบัตินี้ก็เป็นจริงสำหรับพวกมันเช่นกัน หากเรามีจำนวนธรรมชาติ p, q, r, s มันจะเป็นจริง:

a p q y s = a p q y s

ตัวอย่างที่ 8

มาเพิ่มความเฉพาะเจาะจงกัน: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. คุณสมบัติอื่นขององศาที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติที่เราต้องพิสูจน์คือคุณสมบัติเปรียบเทียบ

อันดับแรก ลองเปรียบเทียบเลขชี้กำลังกับศูนย์ ทำไม n > 0 โดยที่ a มากกว่า 0

ถ้าเราคูณจำนวนบวกหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่ง เราก็จะได้จำนวนบวกเช่นกัน เมื่อทราบข้อเท็จจริงนี้ เราสามารถพูดได้ว่าสิ่งนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนของปัจจัย - ผลลัพธ์ของการคูณจำนวนบวกใดๆ จะเป็นจำนวนบวก และดีกรีอะไรถ้าไม่ใช่ผลลัพธ์ของการคูณตัวเลข? จากนั้นสำหรับเลขยกกำลัง a n ใดๆ ที่มีฐานบวกและเลขชี้กำลังธรรมชาติ นี่จะเป็นจริง

ตัวอย่างที่ 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 และ 34 9 13 51 > 0

เห็นได้ชัดว่ากำลังที่มีฐานเท่ากับศูนย์นั้นเป็นศูนย์ พลังใด ๆ ที่เราเพิ่มเป็นศูนย์ มันจะยังคงเป็นศูนย์

ตัวอย่าง 10

0 3 = 0 และ 0 762 = 0

หากฐานของดีกรีเป็นจำนวนลบ การพิสูจน์ก็ซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย เนื่องจากแนวคิดของเลขชี้กำลังคู่ / คี่มีความสำคัญ เริ่มจากกรณีที่เลขชี้กำลังเป็นคู่และแทนด้วย 2 · m โดยที่ m เป็นจำนวนธรรมชาติ

จำวิธีการคูณจำนวนลบอย่างถูกต้อง: ผลิตภัณฑ์ a · a เท่ากับผลคูณของโมดูล ดังนั้น มันจะเป็นจำนวนบวก แล้ว และดีกรี a 2 · m ก็เป็นบวกเช่นกัน

ตัวอย่าง 11

ตัวอย่างเช่น (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 และ - 2 9 6 > 0

เกิดอะไรขึ้นถ้าเลขชี้กำลังที่มีฐานลบเป็นเลขคี่? สมมุติว่า 2 · m − 1 .

แล้ว

ผลิตภัณฑ์ทั้งหมด a · a ตามคุณสมบัติของการคูณ เป็นค่าบวก และผลิตภัณฑ์ของมันก็เช่นกัน แต่ถ้าเราคูณมันด้วยจำนวนที่เหลืออยู่ a ผลลัพธ์สุดท้ายจะเป็นลบ

จากนั้นเราจะได้: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

จะพิสูจน์ได้อย่างไร?

หนึ่ง< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

ตัวอย่างที่ 12

ตัวอย่างเช่น ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. มันยังคงอยู่สำหรับเราที่จะพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้าย: ถ้าเรามีสององศา ฐานที่เท่ากันและเป็นบวก และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ แล้วหนึ่งในนั้นมีค่ามากกว่า เลขชี้กำลังน้อยกว่า และสององศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติและฐานเดียวกันมากกว่าหนึ่ง ระดับที่ตัวบ่งชี้มากกว่านั้นมากกว่า

มาพิสูจน์คำยืนยันเหล่านี้กัน

ก่อนอื่นเราต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่า m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

เรานำ n ออกจากวงเล็บ หลังจากนั้นผลต่างจะอยู่ในรูปแบบ a n · (am − n − 1) ผลลัพธ์จะเป็นค่าลบ (เนื่องจากผลลัพธ์ของการคูณจำนวนบวกกับค่าลบหนึ่งเป็นค่าลบ) ตามเงื่อนไขตั้งต้น m − n > 0 แล้ว a m − n − 1 เป็นลบ และปัจจัยแรกเป็นบวก เช่นเดียวกับกำลังธรรมชาติใดๆ ที่มีฐานเป็นบวก

ปรากฎว่า a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

ยังคงต้องพิสูจน์ส่วนที่สองของคำสั่งที่กำหนดข้างต้น: a m > a เป็นจริงสำหรับ m > n และ a > 1 เราระบุความแตกต่างและนำ n ออกจากวงเล็บ: (a m - n - 1) . พลังของ n ที่มีค่ามากกว่าหนึ่งจะให้ผลลัพธ์ที่เป็นบวก และผลต่างจะกลายเป็นบวกเนื่องจากเงื่อนไขเริ่มต้น และสำหรับ a > 1 ระดับของ m − n มากกว่า 1 ปรากฎว่า a m − a n > 0 และ a m > a n ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องพิสูจน์

ตัวอย่างที่ 13

ตัวอย่างที่มีตัวเลขเฉพาะ: 3 7 > 3 2

คุณสมบัติพื้นฐานขององศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

สำหรับองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก คุณสมบัติจะคล้ายคลึงกัน เนื่องจากจำนวนเต็มบวกเป็นจำนวนธรรมชาติ ซึ่งหมายความว่าความเท่าเทียมกันทั้งหมดที่พิสูจน์ข้างต้นนั้นใช้ได้สำหรับค่าเหล่านี้เช่นกัน นอกจากนี้ยังเหมาะสำหรับกรณีที่เลขชี้กำลังเป็นลบหรือเท่ากับศูนย์ (โดยมีเงื่อนไขว่าฐานของดีกรีนั้นไม่ใช่ศูนย์)

ดังนั้น สมบัติของกำลังจึงเหมือนกันสำหรับฐานใดๆ a และ b (โดยมีเงื่อนไขว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นจำนวนจริงและไม่เท่ากับ 0) และเลขชี้กำลังใดๆ m และ n (หากเป็นจำนวนเต็ม) เราเขียนสั้น ๆ ในรูปแบบของสูตร:

คำจำกัดความ 2

1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a b) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (น) n = a m n

6. น< b n и a − n >b − n ที่มีจำนวนเต็มบวก n , บวก a และ b , a< b

7. ม< a n , при условии целых m и n , m >n และ 0< a < 1 , при a >1 ม. > น.

หากฐานของดีกรีเท่ากับศูนย์ ดังนั้นรายการ a m และ n จะสมเหตุสมผลในกรณีของ m และ n ที่เป็นค่าธรรมชาติและเป็นบวกเท่านั้น ด้วยเหตุนี้ เราจึงพบว่าสูตรข้างต้นเหมาะสำหรับกรณีที่มีดีกรีที่มีฐานเป็นศูนย์ หากตรงตามเงื่อนไขอื่นๆ ทั้งหมด

การพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้ในกรณีนี้เป็นเรื่องง่าย เราจะต้องจำว่าดีกรีที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติและเลขจำนวนเต็มคืออะไร เช่นเดียวกับคุณสมบัติของการกระทำที่มีจำนวนจริง

ให้เราวิเคราะห์คุณสมบัติของดีกรีในระดับหนึ่ง และพิสูจน์ว่าเป็นจริงสำหรับทั้งจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวก เราเริ่มต้นด้วยการพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) และ (a - p) − q = a (− พี) (−q)

เงื่อนไข: p = 0 หรือจำนวนธรรมชาติ; q - ในทำนองเดียวกัน

หากค่าของ p และ q มากกว่า 0 เราจะได้ (a p) q = a p · q เราได้พิสูจน์ความเท่าเทียมกันที่คล้ายคลึงกันมาก่อนแล้ว ถ้า p = 0 แล้ว:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

ดังนั้น (a 0) q = a 0 q

สำหรับ q = 0 ทุกอย่างเหมือนกันทุกประการ:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

ผลลัพธ์: (a p) 0 = a p 0

หากตัวบ่งชี้ทั้งสองเป็นศูนย์ ดังนั้น (a 0) 0 = 1 0 = 1 และ a 0 0 = a 0 = 1 จากนั้น (a 0) 0 = a 0 0

จำคุณสมบัติของผลหารในกำลังที่พิสูจน์ข้างต้นแล้วเขียนว่า:

1 a p q = 1 q a p q

ถ้า 1 p = 1 1 … 1 = 1 และ a p q = a p q แล้ว 1 q a p q = 1 a p q

เราสามารถแปลงสัญกรณ์นี้โดยอาศัยกฎการคูณพื้นฐานเป็น (− p) · q

นอกจากนี้: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q)

และ (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

คุณสมบัติที่เหลืออยู่ของระดับสามารถพิสูจน์ได้ในลักษณะเดียวกันโดยเปลี่ยนความไม่เท่าเทียมกันที่มีอยู่ เราจะไม่พูดถึงรายละเอียดนี้ เราจะระบุเฉพาะประเด็นยากๆ เท่านั้น

การพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้าย: จำได้ว่า a − n > b − n เป็นจริงสำหรับค่าจำนวนเต็มลบของ n และค่าบวก a และ b โดยที่ a น้อยกว่า b

จากนั้นสามารถแปลงความไม่เท่าเทียมกันได้ดังนี้:

1 n > 1 b n

เราเขียนส่วนซ้ายและขวาเป็นความแตกต่างและทำการแปลงที่จำเป็น:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

จำได้ว่าในเงื่อนไข a น้อยกว่า b ดังนั้น ตามนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n กลายเป็นจำนวนบวกเพราะตัวประกอบเป็นบวก เป็นผลให้เรามีเศษส่วน b n - a n a n · b n ซึ่งในท้ายที่สุดก็ให้ผลลัพธ์ในเชิงบวกเช่นกัน ดังนั้น 1 a n > 1 b n จึง a − n > b − n ซึ่งเราต้องพิสูจน์

คุณสมบัติสุดท้ายขององศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกันกับคุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ

คุณสมบัติพื้นฐานขององศาพร้อมเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ

ในบทความที่แล้ว เราได้พูดถึงว่าดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเหตุเป็นผล (เศษส่วน) คืออะไร คุณสมบัติของพวกมันเหมือนกับองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม มาเขียนกัน:

คำจำกัดความ 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 สำหรับ a > 0 และถ้า m 1 n 1 > 0 และ m 2 n 2 > 0 สำหรับ a ≥ 0 (กำลังคุณสมบัติผลิตภัณฑ์ ที่มีฐานเดียวกัน)

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 ถ้า a > 0 (คุณสมบัติผลหาร)

3. a b m n = a m n b m n สำหรับ a > 0 และ b > 0 และถ้า m 1 n 1 > 0 และ m 2 n 2 > 0 สำหรับ a ≥ 0 และ (หรือ) b ≥ 0 (คุณสมบัติผลิตภัณฑ์ในระดับเศษส่วน)

4. a: b m n \u003d a m n: b m n สำหรับ a > 0 และ b > 0 และถ้า m n > 0 แล้วสำหรับ a ≥ 0 และ b > 0 (คุณสมบัติของผลหารเป็นองศาเศษส่วน)

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 สำหรับ a > 0 และถ้า m 1 n 1 > 0 และ m 2 n 2 > 0 สำหรับ a ≥ 0 (คุณสมบัติองศาใน องศา)

6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; ถ้า p< 0 - a p >b p (คุณสมบัติของการเปรียบเทียบองศากับเลขชี้กำลังที่เท่ากัน)

7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q ที่ 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

เพื่อพิสูจน์ข้อกำหนดเหล่านี้ เราต้องจำไว้ว่าดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนคืออะไร อะไรคือคุณสมบัติของรากเลขคณิตของดีกรีที่ n และคุณสมบัติของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มคืออะไร มาดูทรัพย์สินแต่ละอย่างกัน

จากดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน เราจะได้:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 และ a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2 ดังนั้น a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2

คุณสมบัติของรูทจะช่วยให้เราได้รับความเท่าเทียมกัน:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

จากนี้เราได้รับ: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

มาแปลงร่างกันเถอะ:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

เลขชี้กำลังสามารถเขียนได้ดังนี้:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

นี่คือข้อพิสูจน์ คุณสมบัติที่สองได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกันทุกประการ ลองเขียนห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกัน:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

หลักฐานความเท่าเทียมกันที่เหลือ:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

คุณสมบัติถัดไป: ลองพิสูจน์ว่าสำหรับค่าใด ๆ ของ a และ b ที่มากกว่า 0 ถ้า a น้อยกว่า b a p จะถูกดำเนินการ< b p , а для p больше 0 - a p >bp

ลองแทนจำนวนตรรกยะ p เป็น m n . ในกรณีนี้ m เป็นจำนวนเต็ม n เป็นจำนวนธรรมชาติ จากนั้นเงื่อนไข p< 0 и p >0 จะถูกขยายเป็น m< 0 и m >0 . สำหรับ m > 0 และ a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

เราใช้คุณสมบัติของรากและได้มา: a m n< b m n

โดยคำนึงถึงความเป็นบวกของค่า a และ b เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันใหม่เป็น a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

ในทำนองเดียวกัน สำหรับ m< 0 имеем a a m >b m เราได้ a m n > b m n ดังนั้น a m n > b m n และ a p > b p

มันยังคงอยู่สำหรับเราที่จะพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้าย ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนตรรกยะ p และ q , p > q ที่ 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 จะเป็นจริง a p > a q

จำนวนตรรกยะ p และ q สามารถลดลงเป็นตัวส่วนร่วมและรับเศษส่วน m 1 n และ m 2 n

โดยที่ m 1 และ m 2 เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ ถ้า p > q แล้ว m 1 > m 2 (โดยคำนึงถึงกฎการเปรียบเทียบเศษส่วน) จากนั้นที่0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – อสมการ 1 ม. > 2 ม.

สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

ม. 1 น< a m 2 n a m 1 n >ม.2 น

จากนั้นคุณสามารถทำการเปลี่ยนแปลงและได้ผลลัพธ์:

ม. 1 น< a m 2 n a m 1 n >ม.2 น

เพื่อสรุป: สำหรับ p > q และ 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

คุณสมบัติพื้นฐานขององศาที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ

คุณสมบัติทั้งหมดที่อธิบายไว้ข้างต้นซึ่งระดับที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะสามารถขยายไปถึงระดับดังกล่าวได้ ตามมาจากคำจำกัดความที่เราให้ไว้ในบทความก่อนหน้านี้ ให้เรากำหนดคุณสมบัติเหล่านี้โดยสังเขป (เงื่อนไข: a > 0 , b > 0 , ตัวบ่งชี้ p และ q เป็นจำนวนอตรรกยะ):

คำจำกัดความ 4

1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 แล้ว a p > a q

ดังนั้น ยกกำลังทั้งหมดที่เลขชี้กำลัง p และ q เป็นจำนวนจริง โดยที่ a > 0 มีคุณสมบัติเหมือนกัน

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

จะทวีคูณพลังได้อย่างไร? พลังใดสามารถคูณได้และพลังใดไม่สามารถ? คุณคูณตัวเลขด้วยกำลังได้อย่างไร?

ในพีชคณิต คุณสามารถหาผลคูณของกำลังได้สองกรณี:

1) ถ้าองศามีพื้นฐานเท่ากัน

2) ถ้าองศามีตัวบ่งชี้เหมือนกัน

เมื่อคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะต้องเหมือนเดิมและต้องเพิ่มเลขชี้กำลัง:

เมื่อคูณองศาด้วยตัวบ่งชี้เดียวกัน ตัวบ่งชี้ทั้งหมดสามารถนำออกจากวงเล็บได้:

พิจารณาวิธีการคูณอำนาจด้วยตัวอย่างเฉพาะ

หน่วยในเลขชี้กำลังไม่ได้เขียน แต่เมื่อคูณองศาจะพิจารณา:

เมื่อคูณ จำนวนองศาสามารถเป็นเท่าใดก็ได้ ควรจำไว้ว่าคุณไม่สามารถเขียนเครื่องหมายคูณก่อนตัวอักษร:

ในนิพจน์ การยกกำลังจะดำเนินการก่อน

หากคุณต้องการคูณเลขยกกำลัง คุณต้องทำการยกกำลังก่อน แล้วจึงคูณเท่านั้น:

www.algebraclass.ru

บวก ลบ คูณ หาร ยกกำลัง

การบวกและการลบกำลัง

แน่นอน เลขยกกำลังสามารถบวกได้เหมือนปริมาณอื่นๆ โดยเพิ่มทีละตัวพร้อมป้าย.

ดังนั้น ผลรวมของ a 3 และ b 2 คือ a 3 + b 2
ผลรวมของ a 3 - b n และ h 5 -d 4 คือ a 3 - b n + h 5 - d 4

อัตราต่อรอง พลังของตัวแปรเดียวกันสามารถเพิ่มหรือลบได้

ดังนั้น ผลรวมของ 2a 2 และ 3a 2 คือ 5a 2

เป็นที่แน่ชัดเช่นกันว่าถ้าเราเอาสองสี่เหลี่ยม a, หรือ สามสี่เหลี่ยม a, หรือ ห้าสี่เหลี่ยม a

แต่องศา ตัวแปรต่างๆและ องศาต่างๆ ตัวแปรที่เหมือนกันจะต้องเพิ่มโดยเพิ่มลงในเครื่องหมายของพวกเขา

ดังนั้น ผลรวมของ 2 และ 3 คือผลรวมของ 2 + a 3

เห็นได้ชัดว่ากำลังสองของ a และลูกบาศก์ของ a ไม่ใช่สองเท่าของกำลังสองของ a แต่เป็นสองเท่าของลูกบาศก์ของ a

ผลรวมของ a 3 b n และ 3a 5 b 6 คือ a 3 b n + 3a 5 b 6 .

การลบอำนาจจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับการเพิ่ม ยกเว้นว่าสัญญาณของ subtrahend จะต้องเปลี่ยนตามนั้น

หรือ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

การคูณกำลัง

ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถคูณได้เหมือนกับจำนวนอื่นๆ โดยเขียนทีละตัว โดยมีหรือไม่มีเครื่องหมายคูณระหว่างกัน

ดังนั้น ผลลัพธ์ของการคูณ a 3 กับ b 2 จึงเป็น 3 b 2 หรือ aaabb

หรือ:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

ผลลัพธ์ในตัวอย่างสุดท้ายสามารถเรียงลำดับได้โดยการเพิ่มตัวแปรเดียวกัน
นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ: a 5 b 5 y 3 .

โดยการเปรียบเทียบตัวเลขหลายตัว (ตัวแปร) กับเลขยกกำลัง เราจะเห็นได้ว่าถ้าตัวใดสองตัวคูณกัน ผลลัพธ์จะเป็นตัวเลข (ตัวแปร) ที่มีค่ากำลังเท่ากับ ผลรวมองศาของเงื่อนไข

ดังนั้น a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5

5 คือพลังของผลลัพธ์ของการคูณ เท่ากับ 2 + 3 ซึ่งเป็นผลรวมของยกกำลังของเทอม

ดังนั้น n .a m = a m+n

สำหรับ n จะใช้ a เป็นตัวประกอบหลายเท่าของกำลังของ n

และ m ถูกนำมาเป็นตัวประกอบหลายครั้งที่องศา m เท่ากับ;

นั่นเป็นเหตุผลที่ เลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากันสามารถคูณด้วยเลขชี้กำลัง

ดังนั้น a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 และ x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

หรือ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

คูณ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)
คำตอบ: x 4 - y 4
คูณ (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)

กฎนี้เป็นจริงสำหรับตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง − เชิงลบ.

1. ดังนั้น a -2 .a -3 = a -5 สามารถเขียนได้เป็น (1/aa).(1/aaa) = 1/aaa

2. y-n .y-m = y-n-m

3. a -n .a m = a m-n .

ถ้า a + b คูณด้วย a - b ผลลัพธ์จะเป็น a 2 - b 2: นั่นคือ

ผลลัพธ์ของการคูณผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขสองตัวนั้นเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของกำลังสอง

หากผลรวมและส่วนต่างของตัวเลขสองตัวยกขึ้นเป็น สี่เหลี่ยมผลลัพธ์จะเท่ากับผลรวมหรือส่วนต่างของตัวเลขเหล่านี้ใน ที่สี่ระดับ.

ดังนั้น (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

กองอำนาจ

ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถแบ่งได้เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ โดยการลบออกจากตัวหาร หรือโดยการวางในรูปเศษส่วน

ดังนั้น a 3 b 2 หารด้วย b 2 จึงเป็น 3

การเขียน 5 หารด้วย 3 ดูเหมือน $\frac $. แต่นี่เท่ากับ 2 ในชุดตัวเลข
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4
ตัวเลขใดๆ ก็สามารถหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งได้ และเลขชี้กำลังจะเท่ากับ ความแตกต่างตัวบ่งชี้ของตัวเลขที่หารได้

เมื่อหารยกกำลังด้วยเลขฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังจะถูกหักออก.

ดังนั้น y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . นั่นคือ $\frac = y$

และ n+1:a = a n+1-1 = a n นั่นคือ $\frac = a^n$

หรือ:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

กฎนี้ใช้ได้กับตัวเลขด้วย เชิงลบค่าดีกรี
ผลลัพธ์ของการหาร -5 ด้วย -3 คือ -2
นอกจากนี้ $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $

ชั่วโมง 2:ชั่วโมง -1 = ชั่วโมง 2+1 = ชั่วโมง 3 หรือ $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

จำเป็นต้องเชี่ยวชาญการคูณและการแบ่งกำลังเป็นอย่างดี เนื่องจากการดำเนินการดังกล่าวใช้กันอย่างแพร่หลายในพีชคณิต

ตัวอย่างการแก้ตัวอย่างเศษส่วนที่มีตัวเลขยกกำลัง

1. ลดเลขชี้กำลังใน $\frac $ คำตอบ: $\frac $

2. ลดเลขชี้กำลังใน $\frac$ คำตอบ: $\frac $ หรือ 2x

3. ลดเลขชี้กำลัง a 2 / a 3 และ -3 / a -4 และนำมาเป็นตัวส่วนร่วม
2 .a -4 คือ -2 ตัวเศษแรก
3 .a -3 คือ 0 = 1 ตัวเศษที่สอง
3 .a -4 คือ -1 ซึ่งเป็นตัวเศษร่วม
หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย: a -2 /a -1 และ 1/a -1

4. ลดเลขชี้กำลัง 2a 4 /5a 3 และ 2 /a 4 และนำมาเป็นตัวส่วนร่วม
คำตอบ: 2a 3 / 5a 7 และ 5a 5 / 5a 7 หรือ 2a 3 / 5a 2 และ 5/5a 2

5. คูณ (a 3 + b)/b 4 ด้วย (a - b)/3

6. คูณ (a 5 + 1)/x 2 ด้วย (b 2 - 1)/(x + a)

7. คูณ b 4 /a -2 ด้วย h -3 /x และ a n /y -3 .

8. หาร 4 /y 3 ด้วย 3 /y 2 . ตอบ ก./ป.

คุณสมบัติระดับ

เราเตือนคุณว่าในบทเรียนนี้เราเข้าใจ คุณสมบัติระดับด้วยตัวชี้วัดธรรมชาติและศูนย์ องศาที่มีตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลและคุณสมบัติของพวกเขาจะกล่าวถึงในบทเรียนสำหรับเกรด 8

เลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติมีคุณสมบัติที่สำคัญหลายประการที่ช่วยให้คุณลดความซับซ้อนในการคำนวณในตัวอย่างเลขชี้กำลัง

อสังหาริมทรัพย์ #1
ผลิตภัณฑ์แห่งอำนาจ

เมื่อคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะไม่เปลี่ยนแปลงและเลขชี้กำลังจะถูกเพิ่ม

a m a n \u003d a m + n โดยที่ "a" เป็นตัวเลขใดๆ และ "m", "n" เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ

คุณสมบัติของพลังนี้ยังส่งผลต่อผลิตภัณฑ์ของพลังสามอย่างหรือมากกว่า

โปรดทราบว่าในคุณสมบัติที่ระบุ เป็นเพียงเกี่ยวกับการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน. ใช้ไม่ได้กับการเพิ่มของพวกเขา

คุณไม่สามารถแทนที่ผลรวม (3 3 + 3 2) ด้วย 3 5 สิ่งนี้เข้าใจได้ถ้า
คำนวณ (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 และ 3 5 = 243

อสังหาริมทรัพย์ #2
องศาเอกชน

เมื่อหารกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขชี้กำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล

คำนวณ.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
ตัวอย่าง. แก้สมการ. เราใช้คุณสมบัติขององศาบางส่วน
3 8: เสื้อ = 3 4

คำตอบ: t = 3 4 = 81

เมื่อใช้คุณสมบัติหมายเลข 1 และหมายเลข 2 คุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์และคำนวณได้อย่างง่ายดาย

ตัวอย่าง. ลดความซับซ้อนของนิพจน์
4 5 ม. + 6 4 ม. + 2: 4 4 ม. + 3 = 4 5 ม. + 6 + ม. + 2: 4 4 ม. + 3 = 4 6 ม. + 8 − 4 ม. − 3 = 4 2 ม. + 5

ตัวอย่าง. ค้นหาค่าของนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติระดับ

2 11 − 5 = 2 6 = 64

โปรดทราบว่าทรัพย์สิน 2 เกี่ยวข้องกับการแบ่งอำนาจที่มีฐานเดียวกันเท่านั้น

คุณไม่สามารถแทนที่ความแตกต่าง (4 3 −4 2) ด้วย 4 1 สิ่งนี้เข้าใจได้หากคุณคำนวณ (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 และ 4 1 = 4

ทรัพย์สิน #3
การยกกำลัง

เมื่อเพิ่มกำลังเป็นกำลัง ฐานของกำลังจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขชี้กำลังจะถูกคูณ

(a n) m \u003d a n m โดยที่ "a" เป็นตัวเลขใดๆ และ "m", "n" เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ

โปรดทราบว่าคุณสมบัติหมายเลข 4 เช่นเดียวกับคุณสมบัติอื่นๆ ขององศา จะถูกนำไปใช้ในลำดับที่กลับกัน

(a n b n)= (a b) n

นั่นคือ ในการคูณองศาด้วยเลขชี้กำลังเดียวกัน คุณสามารถคูณฐานและปล่อยให้เลขชี้กำลังไม่เปลี่ยนแปลง

ในตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น อาจมีบางกรณีที่ต้องทำการคูณและการหารด้วยกำลังที่มีฐานต่างกันและเลขชี้กำลังต่างกัน ในกรณีนี้ เราขอแนะนำให้คุณดำเนินการดังต่อไปนี้

ตัวอย่างเช่น 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

ตัวอย่างการยกกำลังของเศษส่วนทศนิยม

4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = สี่

คุณสมบัติ 5
กำลังของผลหาร (เศษส่วน)

หากต้องการเพิ่มผลหารเป็นยกกำลัง คุณสามารถเพิ่มเงินปันผลและตัวหารแยกจากยกกำลังนี้ แล้วหารผลลัพธ์แรกด้วยตัวที่สอง

(a: b) n \u003d a n: b n โดยที่ "a", "b" คือจำนวนตรรกยะใดๆ b ≠ 0, n คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

เราเตือนคุณว่าผลหารสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ดังนั้นเราจะมาพูดถึงเรื่องการเพิ่มเศษส่วนให้เป็นกำลังในรายละเอียดในหน้าถัดไป

องศาและราก

ปฏิบัติการด้วยอำนาจและรากเหง้า องศาติดลบ ,

ศูนย์และเศษส่วน ตัวบ่งชี้ เกี่ยวกับการแสดงออกที่ไม่สมเหตุสมผล

ปฏิบัติการที่มีอำนาจ

1. เมื่อคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน ตัวบ่งชี้จะถูกรวมเข้าด้วยกัน:

เป็น · n = a m + n .

2. เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน หักออก .

3. ดีกรีของผลคูณของปัจจัยตั้งแต่สองตัวขึ้นไปเท่ากับผลคูณของดีกรีของปัจจัยเหล่านี้

4. ระดับของอัตราส่วน (เศษส่วน) เท่ากับอัตราส่วนของระดับของเงินปันผล (ตัวเศษ) และตัวหาร (ตัวส่วน):

(a/b) n = n / b n .

5. เมื่อเพิ่มดีกรีเป็นกำลัง ตัวบ่งชี้จะถูกคูณ:

สูตรข้างต้นทั้งหมดจะถูกอ่านและดำเนินการในทั้งสองทิศทางจากซ้ายไปขวาและในทางกลับกัน

ตัวอย่าง (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

การดำเนินงานที่มีราก ในสูตรทั้งหมดด้านล่าง สัญลักษณ์หมายถึง รากเลขคณิต(การแสดงออกที่รุนแรงเป็นบวก)

1. รากเหง้าของผลคูณของปัจจัยต่างๆ เท่ากับสินค้ารากของปัจจัยเหล่านี้:

2. รากของอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของรากของเงินปันผลและตัวหาร:

3. เมื่อทำการรูตเป็นพลัง ก็เพียงพอแล้วที่จะเพิ่มพลังนี้ หมายเลขราก:

4. หากคุณเพิ่มระดับของรูท m ครั้ง และเพิ่มจำนวนรูทพร้อมกันเป็นระดับ m -th ค่าของรูทจะไม่เปลี่ยนแปลง:

5. หากคุณลดระดับของรากลง m ครั้งและในเวลาเดียวกันดึงรากของระดับ m-th ออกจากจำนวนราก ค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง:

การขยายแนวคิดของปริญญา จนถึงตอนนี้ เราได้พิจารณาองศาด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติเท่านั้น แต่การดำเนินการด้วยอำนาจและรากเหง้าก็สามารถนำไปสู่ เชิงลบ, ศูนย์และ เศษส่วนตัวชี้วัด เลขชี้กำลังเหล่านี้ต้องการคำจำกัดความเพิ่มเติม

องศาที่มีเลขชี้กำลังติดลบ กำลังของจำนวนหนึ่งที่มีเลขชี้กำลังลบ (จำนวนเต็ม) ถูกกำหนดให้เป็นหนึ่งหารด้วยกำลังของจำนวนเดียวกันที่มีเลขชี้กำลังเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของเลขชี้กำลังลบ:

ตอนนี้สูตร เป็น : หนึ่ง = m-nสามารถใช้ได้ไม่เฉพาะสำหรับ ม, มากกว่า นแต่ยังอยู่ที่ ม, น้อยกว่า น .

ตัวอย่าง เอ 4: เอ 7 = 4 — 7 = — 3 .

ถ้าเราต้องการสูตร เป็น : หนึ่ง = เป็น — นยุติธรรมที่ ม. = นเราต้องการคำจำกัดความของระดับศูนย์

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ ดีกรีของจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์คือ 1

ตัวอย่าง. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

องศาที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน ในการที่จะเพิ่มจำนวนจริง a ยกกำลัง m / n คุณต้องแยกรากของดีกรีที่ n ออกจากกำลัง mth ของจำนวนนี้ a:

เกี่ยวกับสำนวนที่ไม่สมเหตุสมผล มีหลายนิพจน์ดังกล่าว

ที่ไหน เอ ≠ 0 , ไม่ได้อยู่.

แท้จริงแล้วถ้าเราคิดว่า xเป็นจำนวนหนึ่ง ดังนั้น ตามคำจำกัดความของการดำเนินการหาร เรามี: เอ = 0· x, เช่น. เอ= 0 ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไข: เอ ≠ 0

— หมายเลขใดก็ได้

แท้จริงแล้ว หากเราถือว่านิพจน์นี้เท่ากับจำนวนหนึ่ง xจากนั้นตามคำจำกัดความของการดำเนินการหารที่เรามี: 0 = 0 x. แต่ความเท่าเทียมนี้มีไว้เพื่อ ตัวเลขใด ๆ xซึ่งต้องพิสูจน์

0 0 — หมายเลขใดก็ได้

วิธีแก้ปัญหา พิจารณาสามกรณีหลัก:

1) x = 0 – ค่านี้ไม่เป็นไปตามสมการนี้

2) เมื่อ x> 0 เราได้รับ: x / x= 1 นั่นคือ 1 = 1 ตามมาด้วย

อะไร x- จำนวนใด ๆ แต่คำนึงถึงว่า

กรณีของเรา x> 0 คำตอบคือ x > 0 ;

กฎการคูณอำนาจที่มีฐานต่างกัน

ดีกรีด้วยตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล

ฟังก์ชันพาวเวอร์ IV

§ 69. การคูณและการแบ่งอำนาจด้วยฐานเดียวกัน

ทฤษฎีบทที่ 1ในการคูณกำลังด้วยเลขฐานเดียวกัน ก็เพียงพอแล้วที่จะบวกเลขชี้กำลังและปล่อยให้ฐานเท่าเดิม นั่นคือ

การพิสูจน์.ตามนิยามของดีกรี

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

เราได้พิจารณาผลคูณของสองอำนาจ อันที่จริง คุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วนั้นเป็นจริงสำหรับพลังจำนวนเท่าใดก็ได้ที่มีฐานเดียวกัน

ทฤษฎีบท 2ในการแบ่งกำลังด้วยฐานเดียวกัน เมื่อตัวบ่งชี้การจ่ายเงินปันผลมากกว่าตัวบ่งชี้ของตัวหาร ก็เพียงพอที่จะลบตัวบ่งชี้ของตัวหารออกจากตัวบ่งชี้ของเงินปันผล และปล่อยให้ฐานเหมือนกัน นั่นคือ ที่ t > n

(เอ =/= 0)

การพิสูจน์.จำไว้ว่าผลหารของการหารจำนวนหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนที่เมื่อคูณด้วยตัวหารแล้วจะให้เงินปันผล ดังนั้นพิสูจน์สูตร โดยที่ เอ =/= 0 เหมือนพิสูจน์สูตร

ถ้า t > n แล้วเลข t - p จะเป็นธรรมชาติ ดังนั้น โดยทฤษฎีบท 1

ทฤษฎีบทที่ 2 ได้รับการพิสูจน์แล้ว

โปรดทราบว่าสูตร

พิสูจน์โดยเราเท่านั้นภายใต้สมมติฐานที่ว่า t > n . ดังนั้นจากสิ่งที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว ยังไม่สามารถสรุปได้ เช่น ข้อสรุปดังต่อไปนี้:

นอกจากนี้ เรายังไม่ได้พิจารณาองศาที่มีเลขชี้กำลังติดลบ และเรายังไม่ทราบว่านิพจน์ 3 สามารถให้ความหมายอะไรได้บ้าง - 2 .

ทฤษฎีบทที่ 3 การเพิ่มยกกำลังให้เป็นกำลังก็เพียงพอแล้วที่จะคูณเลขชี้กำลังโดยปล่อยให้ฐานของเลขชี้กำลังเท่ากัน, นั่นคือ

การพิสูจน์.โดยใช้คำจำกัดความของดีกรีและทฤษฎีบท 1 ของส่วนนี้ เราจะได้:

คิวอีดี

ตัวอย่างเช่น (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (ปาก.) กำหนด X จากสมการ:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (ปรับปรุง) ลดความซับซ้อน:

520. (ปรับปรุง) ลดความซับซ้อน:

521. นำเสนอนิพจน์เหล่านี้เป็นองศาที่มีฐานเดียวกัน:

1) 32 และ 64; 3) 85 และ 163; 5) 4 100 และ 32 50;

2) -1000 และ 100; 4) -27 และ -243; 6) 81 75 8 200 และ 3 600 4 150