Ποιοι τύποι χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό της προβολής και του συντελεστή. Ποιος τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της προβολής της μετατόπισης ενός σώματος κατά την ομοιόμορφα επιταχυνόμενη ευθύγραμμη κίνηση; Προσθήκη διανυσμάτων που κατευθύνονται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής

Ταχύτητα (v) - φυσική ποσότητα, ισούται αριθμητικά με τη διαδρομή (ες) που διανύει το σώμα ανά μονάδα χρόνου (t).

Μονοπάτι

Μονοπάτι (S) - το μήκος της τροχιάς κατά μήκος της οποίας κινήθηκε το σώμα, είναι αριθμητικά ίσο με το γινόμενο της ταχύτητας (v) του σώματος και του χρόνου (t) κίνησης.

Χρόνος ταξιδιού

Ο χρόνος κίνησης (t) είναι ίσος με τον λόγο της διαδρομής (S) που διανύει το σώμα προς την ταχύτητα (v) κίνησης.

μέση ταχύτητα

Η μέση ταχύτητα (vav) είναι ίση με τον λόγο του αθροίσματος των τμημάτων της διαδρομής (s 1 s 2, s 3, ...) που διανύει το σώμα προς το χρονικό διάστημα (t 1 + t 2 + t 3 + ...) για το οποίο διανύθηκε αυτό το μονοπάτι .

μέση ταχύτηταείναι ο λόγος του μήκους της διαδρομής που διένυσε το σώμα προς το χρόνο για τον οποίο διανύθηκε αυτή η διαδρομή.

μέση ταχύτηταόταν κινείστε άνισα σε ευθεία γραμμή: αυτός είναι ο λόγος ολόκληρης της διαδρομής προς τον συνολικό χρόνο.

Δύο διαδοχικά στάδια με διαφορετικές ταχύτητες: πού

Κατά την επίλυση προβλημάτων - πόσα στάδια κίνησης θα υπάρχουν τόσα πολλά στοιχεία:

Προβολές του διανύσματος μετατόπισης στους άξονες συντεταγμένων

Προβολή του διανύσματος μετατόπισης στον άξονα OX:

Προβολή του διανύσματος μετατόπισης στον άξονα OY:

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι μηδέν εάν το διάνυσμα είναι κάθετο στον άξονα.

Σημάδια προβολών μετατόπισης: η προβολή θεωρείται θετική εάν η κίνηση από την προβολή της αρχής του διανύσματος προς την προβολή του άκρου γίνεται προς την κατεύθυνση του άξονα και αρνητική εάν είναι αντίθετη προς τον άξονα. Σε αυτό το παράδειγμα

Μονάδα κίνησηςείναι το μήκος του διανύσματος μετατόπισης:

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Προβολές κίνησης και γωνία κλίσης

Σε αυτό το παράδειγμα:

Εξίσωση συντεταγμένων (γενικά):

Διάνυσμα ακτίνας- ένα διάνυσμα, η αρχή του οποίου συμπίπτει με την αρχή των συντεταγμένων και το τέλος - με τη θέση του σώματος σε μια δεδομένη στιγμή. Οι προβολές του διανύσματος ακτίνας στους άξονες των συντεταγμένων καθορίζουν τις συντεταγμένες του σώματος σε μια δεδομένη στιγμή.

Το διάνυσμα ακτίνας σας επιτρέπει να ορίσετε τη θέση ενός υλικού σημείου σε ένα δεδομένο σύστημα αναφοράς:

Ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση - ορισμός

Ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση- κίνηση κατά την οποία το σώμα για οποιαδήποτε ίσα χρονικά διαστήματα, κάνει ίσες μετατοπίσεις.

Ταχύτητα σε ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση. Η ταχύτητα είναι ένα διανυσματικό φυσικό μέγεθος που δείχνει πόση κίνηση κάνει ένα σώμα ανά μονάδα χρόνου.

Σε διανυσματική μορφή:

Σε προβολές στον άξονα OX:

Πρόσθετες μονάδες ταχύτητας:

1 km/h = 1000 m/3600 s,

1 km/s = 1000 m/s,

1 cm/s = 0,01 m/s,

1 m/min =1 m/60 s.

Η συσκευή μέτρησης - ταχύμετρο - δείχνει τη μονάδα ταχύτητας.

Το πρόσημο της προβολής ταχύτητας εξαρτάται από την κατεύθυνση του διανύσματος ταχύτητας και τον άξονα συντεταγμένων:

Το γράφημα προβολής ταχύτητας είναι η εξάρτηση της προβολής ταχύτητας από το χρόνο:

Γράφημα ταχύτητας για ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση- ευθεία παράλληλη προς τον άξονα του χρόνου (1, 2, 3).

Εάν το γράφημα βρίσκεται πάνω από τον άξονα του χρόνου (.1), τότε το σώμα κινείται προς την κατεύθυνση του άξονα OX. Εάν το γράφημα βρίσκεται κάτω από τον άξονα του χρόνου, τότε το σώμα κινείται ενάντια στον άξονα OX (2, 3).

Η γεωμετρική έννοια της κίνησης.

Με ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση, η μετατόπιση καθορίζεται από τον τύπο. Παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα αν υπολογίσουμε το εμβαδόν του σχήματος κάτω από το γράφημα ταχύτητας στους άξονες. Έτσι, για να προσδιορίσετε τη διαδρομή και τη μονάδα μετατόπισης κατά τη διάρκεια της ευθύγραμμης κίνησης, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την περιοχή του σχήματος κάτω από το γράφημα ταχύτητας στους άξονες:

Οικόπεδο προβολής μετατόπισης- εξάρτηση της προβολής μετατόπισης από το χρόνο.

Γράφημα προβολής μετατόπισης για ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση- μια ευθεία γραμμή που βγαίνει από την αρχή (1, 2, 3).

Εάν η ευθεία (1) βρίσκεται πάνω από τον άξονα του χρόνου, τότε το σώμα κινείται προς την κατεύθυνση του άξονα ΟΧ και αν κάτω από τον άξονα (2, 3), τότε ενάντια στον άξονα ΟΧ.

Όσο μεγαλύτερη είναι η εφαπτομένη της κλίσης (1) του γραφήματος, τόσο μεγαλύτερη είναι η μονάδα ταχύτητας.

Συντεταγμένη πλοκής- εξάρτηση των συντεταγμένων του σώματος από το χρόνο:

Γραφικές συντεταγμένες για ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση - ευθείες (1, 2, 3).

Εάν με την πάροδο του χρόνου η συντεταγμένη αυξάνεται (1, 2), τότε το σώμα κινείται προς την κατεύθυνση του άξονα OX. αν η συντεταγμένη μειωθεί (3), τότε το σώμα κινείται αντίθετα προς την κατεύθυνση του άξονα OX.

Όσο μεγαλύτερη είναι η εφαπτομένη της κλίσης (1), τόσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής ταχύτητας.

Εάν οι γραφικές παραστάσεις των συντεταγμένων δύο σωμάτων τέμνονται, τότε από το σημείο τομής πρέπει να χαμηλώσετε τις κάθετες στον άξονα του χρόνου και στον άξονα των συντεταγμένων.

Σχετικότητα της μηχανικής κίνησης

Με τον όρο σχετικότητα εννοούμε την εξάρτηση κάτι από την επιλογή του πλαισίου αναφοράς. Για παράδειγμα, η ειρήνη είναι σχετική. σχετική κίνηση και σχετική θέση του σώματος.

Ο κανόνας της προσθήκης μετατοπίσεων.Διανυσματικό άθροισμα μετατοπίσεων

πού είναι η μετατόπιση του σώματος σε σχέση με το κινούμενο πλαίσιο αναφοράς (RFR); - κίνηση του PSO σε σχέση με το σταθερό πλαίσιο αναφοράς (FRS). - κίνηση του σώματος σε σχέση με το σταθερό πλαίσιο αναφοράς (FRS).

Προσθήκη διανύσματος:

Προσθήκη διανυσμάτων που κατευθύνονται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής:

Πρόσθεση διανυσμάτων κάθετων μεταξύ τους

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα

Ας εξαγάγουμε έναν τύπο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της προβολής του διανύσματος μετατόπισης ενός σώματος που κινείται σε ευθεία γραμμή και επιταχύνεται ομοιόμορφα για οποιαδήποτε χρονική περίοδο. Για να το κάνουμε αυτό, ας στραφούμε στο σχήμα 14. Τόσο στο σχήμα 14, α, όσο και στο σχήμα 14, β, το τμήμα AC είναι μια γραφική παράσταση της προβολής του διανύσματος ταχύτητας ενός σώματος που κινείται με σταθερή επιτάχυνση a (στο αρχική ταχύτητα v0).

Ρύζι. 14. Η προβολή του διανύσματος μετατόπισης ενός σώματος που κινείται σε ευθεία γραμμή και επιταχύνεται ομοιόμορφα είναι αριθμητικά ίση με το εμβαδόν S κάτω από τη γραφική παράσταση

Θυμηθείτε ότι με μια ευθύγραμμη ομοιόμορφη κίνηση ενός σώματος, η προβολή του διανύσματος μετατόπισης που γίνεται από αυτό το σώμα προσδιορίζεται από τον ίδιο τύπο με την περιοχή του ορθογωνίου που περικλείεται κάτω από το γράφημα προβολής του διανύσματος ταχύτητας (βλ. Εικ. 6). Επομένως, η προβολή του διανύσματος μετατόπισης είναι αριθμητικά ίση με το εμβαδόν αυτού του ορθογωνίου.

Ας αποδείξουμε ότι στην περίπτωση μιας ευθύγραμμης ομοιόμορφα επιταχυνόμενης κίνησης, η προβολή του διανύσματος μετατόπισης s x μπορεί να προσδιοριστεί με τον ίδιο τύπο με το εμβαδόν του σχήματος που περικλείεται μεταξύ του γραφήματος AC, του άξονα Ot και των τμημάτων OA και BC, δηλαδή ότι στην περίπτωση αυτή η προβολή του διανύσματος μετατόπισης αριθμητικά ίση με το εμβαδόν του σχήματος κάτω από το γράφημα ταχύτητας. Για να γίνει αυτό, στον άξονα Ot (βλ. Εικ. 14, α) επιλέγουμε ένα μικρό χρονικό διάστημα db. Από τα σημεία d και b σχεδιάζουμε κάθετες στον άξονα Ot έως ότου τέμνονται με τη γραφική παράσταση προβολής του διανύσματος ταχύτητας στα σημεία α και γ.

Έτσι, για ένα χρονικό διάστημα που αντιστοιχεί στο τμήμα db, η ταχύτητα του σώματος αλλάζει από v ax σε v cx.

Για αρκετά σύντομο χρονικό διάστημα, η προβολή του διανύσματος ταχύτητας αλλάζει πολύ ελαφρά. Επομένως, η κίνηση του σώματος κατά τη διάρκεια αυτής της χρονικής περιόδου διαφέρει ελάχιστα από την ομοιόμορφη, δηλαδή από την κίνηση με σταθερή ταχύτητα.

Είναι δυνατόν να διαιρέσετε ολόκληρη την περιοχή του σχήματος OASV, που είναι τραπεζοειδές, σε τέτοιες λωρίδες. Επομένως, η προβολή του διανύσματος μετατόπισης sx για το χρονικό διάστημα που αντιστοιχεί στο τμήμα OB είναι αριθμητικά ίση με την περιοχή S του τραπεζοειδούς OASV και προσδιορίζεται από τον ίδιο τύπο με αυτήν την περιοχή.

Σύμφωνα με τον κανόνα που δίνεται στα μαθήματα της σχολικής γεωμετρίας, το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς είναι ίσο με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων και του ύψους του. Το σχήμα 14, b δείχνει ότι οι βάσεις του τραπεζοειδούς OASV είναι τα τμήματα OA = v 0x και BC = v x, και το ύψος είναι το τμήμα OB = t. Συνεπώς,

Αφού v x \u003d v 0x + a x t, a S \u003d s x, τότε μπορούμε να γράψουμε:

Έτσι, λάβαμε έναν τύπο για τον υπολογισμό της προβολής του διανύσματος μετατόπισης κατά την ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση.

Χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο, η προβολή του διανύσματος μετατόπισης υπολογίζεται επίσης όταν το σώμα κινείται με φθίνουσα συντελεστή ταχύτητας, μόνο στην περίπτωση αυτή τα διανύσματα ταχύτητας και επιτάχυνσης θα κατευθύνονται σε αντίθετες κατευθύνσεις, επομένως οι προβολές τους θα έχουν διαφορετικά πρόσημα.

Ερωτήσεις

1. Χρησιμοποιώντας το σχήμα 14, α, αποδείξτε ότι η προβολή του διανύσματος μετατόπισης κατά την ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση είναι αριθμητικά ίση με το εμβαδόν του σχήματος OASV.
2. Να γράψετε μια εξίσωση για να προσδιορίσετε την προβολή του διανύσματος μετατόπισης ενός σώματος κατά την ευθύγραμμη ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνησή του.

Άσκηση 7

Σελίδα 8 από 12

§ 7. Κίνηση με ομοιόμορφα επιταχυνόμενη
ευθύγραμμη κίνηση

1. Χρησιμοποιώντας ένα γράφημα της ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο, μπορείτε να πάρετε τον τύπο για την κίνηση ενός σώματος με ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση.

Το σχήμα 30 δείχνει ένα γράφημα της προβολής της ταχύτητας ομοιόμορφης κίνησης στον άξονα Χαπό τον χρόνο. Αν ορίσουμε σε κάποιο σημείο μια κάθετη στον άξονα του χρόνου ντο, τότε παίρνουμε ένα ορθογώνιο OABC. Το εμβαδόν αυτού του ορθογωνίου είναι ίσο με το γινόμενο των πλευρών ΟΑκαι OC. Αλλά το μήκος της πλευράς ΟΑείναι ίσο με v xκαι το μήκος της πλευράς OC - t, ως εκ τούτου μικρό = v x t. Το γινόμενο της προβολής της ταχύτητας στον άξονα Χκαι ο χρόνος είναι ίσος με την προβολή μετατόπισης, δηλ. s x = v x t.

Με αυτόν τον τρόπο, η προβολή της μετατόπισης κατά την ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση είναι αριθμητικά ίση με το εμβαδόν του ορθογωνίου που οριοθετείται από τους άξονες συντεταγμένων, το γράφημα ταχύτητας και την κάθετο που υψώνεται στον άξονα του χρόνου.

2. Λαμβάνουμε με παρόμοιο τρόπο τον τύπο για την προβολή της μετατόπισης σε μια ευθύγραμμη ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε το γράφημα της εξάρτησης της προβολής της ταχύτητας στον άξονα Χαπό το χρόνο (Εικ. 31). Επιλέξτε μια μικρή περιοχή στο γράφημα αβκαι ρίχνουμε τις καθέτους από τα σημεία ένακαι σιστον άξονα του χρόνου. Αν το χρονικό διάστημα Δ t, που αντιστοιχεί στην ενότητα CDστον άξονα του χρόνου είναι μικρός, τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι η ταχύτητα δεν αλλάζει κατά τη διάρκεια αυτής της χρονικής περιόδου και το σώμα κινείται ομοιόμορφα. Σε αυτή την περίπτωση το σχήμα cabdδιαφέρει ελάχιστα από ένα ορθογώνιο και το εμβαδόν του είναι αριθμητικά ίσο με την προβολή της κίνησης του σώματος στο χρόνο που αντιστοιχεί στο τμήμα CD.

Μπορείτε να σπάσετε ολόκληρη τη φιγούρα σε τέτοιες λωρίδες OABC, και το εμβαδόν του θα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών όλων των λωρίδων. Επομένως, η προβολή της κίνησης του σώματος στο χρόνο tαριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του τραπεζοειδούς OABC. Από το μάθημα της γεωμετρίας, γνωρίζετε ότι το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς είναι ίσο με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων και του ύψους του: μικρό= (ΟΑ + προ ΧΡΙΣΤΟΥ)OC.

Όπως φαίνεται από το σχήμα 31, ΟΑ = v 0Χ , προ ΧΡΙΣΤΟΥ = v x, OC = t. Από αυτό προκύπτει ότι η προβολή μετατόπισης εκφράζεται με τον τύπο: s x= (v x + v 0Χ)t.

Με ομοιόμορφα επιταχυνόμενη ευθύγραμμη κίνηση, η ταχύτητα του σώματος ανά πάσα στιγμή είναι ίση με v x = v 0Χ + a x t, Συνεπώς, s x = (2v 0Χ + a x t)t.

Για να λάβουμε την εξίσωση κίνησης του σώματος, αντικαθιστούμε στον τύπο προβολής μετατόπισης την έκφρασή του μέσω της διαφοράς στις συντεταγμένες s x = Χ – Χ 0 .

Παίρνουμε: Χ – Χ 0 = v 0Χ t+ , ή

Σύμφωνα με την εξίσωση της κίνησης, είναι δυνατός ο προσδιορισμός της συντεταγμένης του σώματος ανά πάσα στιγμή, εάν είναι γνωστές η αρχική συντεταγμένη, η αρχική ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώματος.

3. Στην πράξη, συχνά υπάρχουν προβλήματα στα οποία είναι απαραίτητο να βρεθεί η μετατόπιση ενός σώματος κατά την ομοιόμορφα επιταχυνόμενη ευθύγραμμη κίνηση, αλλά ο χρόνος της κίνησης είναι άγνωστος. Σε αυτές τις περιπτώσεις, χρησιμοποιείται ένας διαφορετικός τύπος προβολής μετατόπισης. Ας το πάρουμε.

Από τον τύπο για την προβολή της ταχύτητας της ομοιόμορφα επιταχυνόμενης ευθύγραμμης κίνησης v x = v 0Χ + a x tας εκφράσουμε την ώρα:

Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση στον τύπο προβολής μετατόπισης, παίρνουμε:

s x = v 0Χ + .

s x = , ή
–= 2a x s x.

Αν η αρχική ταχύτητα του σώματος είναι μηδέν, τότε:

2a x s x.

4. Παράδειγμα λύσης προβλήματος

Ο σκιέρ κατεβαίνει την πλαγιά του βουνού από κατάσταση ηρεμίας με επιτάχυνση 0,5 m / s 2 σε 20 s και στη συνέχεια κινείται κατά μήκος του οριζόντιου τμήματος, έχοντας ταξιδέψει σε στάση 40 μ. Με ποια επιτάχυνση κινήθηκε ο σκιέρ κατά μήκος οριζόντια επιφάνεια? Ποιο είναι το μήκος της πλαγιάς του βουνού;

Θα συνδέσουμε το σύστημα αναφοράς με τη Γη, τον άξονα Χας κατευθύνουμε προς την κατεύθυνση της ταχύτητας του σκιέρ σε κάθε στάδιο της κίνησής του (Εικ. 32).

Ας γράψουμε την εξίσωση για την ταχύτητα του σκιέρ στο τέλος της κατάβασης από το βουνό:

v 1 = v 01 + ένα 1 t 1 .

Σε προβολές στον άξονα Χπαίρνουμε: v 1Χ = ένα 1Χ t. Δεδομένου ότι οι προβολές της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στον άξονα Χείναι θετικά, ο συντελεστής ταχύτητας του σκιέρ είναι: v 1 = ένα 1 t 1 .

Ας γράψουμε μια εξίσωση που σχετίζεται με τις προβολές της ταχύτητας, της επιτάχυνσης και της κίνησης του σκιέρ στο δεύτερο στάδιο της κίνησης:

–= 2ένα 2Χ μικρό 2Χ .

Λαμβάνοντας υπόψη ότι η αρχική ταχύτητα του σκιέρ σε αυτό το στάδιο της κίνησης είναι ίση με την τελική του ταχύτητα στο πρώτο στάδιο

v 02 = v 1 , v 2Χ= 0 παίρνουμε

– = –2ένα 2 μικρό 2 ; (ένα 1 t 1) 2 = 2ένα 2 μικρό 2 .

Από εδώ ένα 2 = ;

ένα 2 == 0,125 m / s 2.

Η μονάδα κίνησης του σκιέρ στο πρώτο στάδιο κίνησης είναι ίση με το μήκος της πλαγιάς του βουνού. Ας γράψουμε την εξίσωση μετατόπισης:

μικρό 1Χ = v 01Χ t + .

Εξ ου και το μήκος της πλαγιάς του βουνού είναι μικρό 1 = ;

μικρό 1 == 100 m.

Απάντηση: ένα 2 \u003d 0,125 m / s 2; μικρό 1 = 100 m.

Ερωτήσεις για αυτοεξέταση

1. Όπως σύμφωνα με το διάγραμμα της προβολής της ταχύτητας ομοιόμορφης ευθύγραμμης κίνησης στον άξονα Χ

2. Όπως σύμφωνα με το γράφημα της προβολής της ταχύτητας της ομοιόμορφα επιταχυνόμενης ευθύγραμμης κίνησης στον άξονα Χαπό το χρόνο να προσδιορίσει την προβολή της μετατόπισης του σώματος;

3. Ποιος τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της προβολής της μετατόπισης ενός σώματος κατά την ομοιόμορφα επιταχυνόμενη ευθύγραμμη κίνηση;

4. Ποιος τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της προβολής της μετατόπισης ενός σώματος που κινείται ομοιόμορφα επιταχυνόμενα και ευθύγραμμα αν η αρχική ταχύτητα του σώματος είναι μηδέν;

Εργασία 7

1. Ποιος είναι ο συντελεστής μετατόπισης ενός αυτοκινήτου σε 2 λεπτά αν σε αυτό το διάστημα η ταχύτητά του έχει αλλάξει από 0 σε 72 km/h; Ποια είναι η συντεταγμένη του αυτοκινήτου εκείνη τη στιγμή t= 2 λεπτά; Η αρχική συντεταγμένη θεωρείται ότι είναι μηδέν.

2. Το τρένο κινείται με αρχική ταχύτητα 36 km/h και επιτάχυνση 0,5 m/s 2 . Ποια είναι η μετατόπιση του τρένου σε 20 δευτερόλεπτα και η συντεταγμένη του τη χρονική στιγμή t= 20 s αν η συντεταγμένη εκκίνησης του τρένου είναι 20 m;

3. Ποια είναι η κίνηση του ποδηλάτη για 5 δευτερόλεπτα μετά την έναρξη του φρεναρίσματος, εάν η αρχική του ταχύτητα κατά το φρενάρισμα είναι 10 m/s και η επιτάχυνση είναι 1,2 m/s 2; Ποια είναι η συντεταγμένη του ποδηλάτη τη στιγμή t= 5 s, αν την αρχική χρονική στιγμή ήταν στην αρχή;

4. Ένα αυτοκίνητο που κινείται με ταχύτητα 54 km/h σταματά όταν φρενάρει για 15 δευτερόλεπτα. Ποιος είναι ο συντελεστής μετατόπισης του αυτοκινήτου κατά το φρενάρισμα;

5. Δύο αυτοκίνητα κινούνται το ένα προς το άλλο από δύο οικισμοίπου βρίσκονται σε απόσταση 2 χλμ το ένα από το άλλο. Η αρχική ταχύτητα του ενός αυτοκινήτου είναι 10 m/s και η επιτάχυνση είναι 0,2 m/s 2 , η αρχική ταχύτητα του άλλου είναι 15 m/s και η επιτάχυνση είναι 0,2 m/s 2 . Προσδιορίστε την ώρα και τον συντονισμό του σημείου συνάντησης των αυτοκινήτων.

Εργαστήριο #1

Μελέτη ομοιόμορφα επιταχυνόμενη
ευθύγραμμη κίνηση

Σκοπός:

μάθετε πώς να μετράτε την επιτάχυνση σε ομοιόμορφα επιταχυνόμενη ευθύγραμμη κίνηση. να καθορίσει πειραματικά την αναλογία των μονοπατιών που διανύει το σώμα κατά την ομοιόμορφα επιταχυνόμενη ευθύγραμμη κίνηση σε διαδοχικά ίσα χρονικά διαστήματα.

Συσκευές και υλικά:

αλεξίπτωτο, τρίποδο, μεταλλική μπάλα, χρονόμετρο, μεζούρα, μεταλλικός κύλινδρος.

Εντολή εργασίας

1. Στερεώστε το ένα άκρο του αυλακιού στο πόδι του τριπόδου έτσι ώστε να σχηματίζει μια μικρή γωνία με την επιφάνεια του τραπεζιού.Στο άλλο άκρο του αυλακιού, βάλτε μέσα έναν μεταλλικό κύλινδρο.

2. Μετρήστε τα μονοπάτια που διανύει η μπάλα σε 3 διαδοχικά χρονικά διαστήματα ίσα με 1 s το καθένα. Αυτό μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους. Μπορείτε να βάλετε σημάδια στο τσουρέκι με κιμωλία, στερεώνοντας τη θέση της μπάλας σε χρονικά σημεία ίσα με 1 s, 2 s, 3 s και να μετρήσετε τις αποστάσεις μικρό_ανάμεσα σε αυτά τα σημάδια. Είναι δυνατόν, αφήνοντας την μπάλα από το ίδιο ύψος κάθε φορά, να μετράτε τη διαδρομή μικρό, πέρασε από αυτόν πρώτα σε 1 s, μετά σε 2 s και σε 3 s, και μετά υπολογίστε τη διαδρομή που διένυσε η μπάλα στο δεύτερο και τρίτο δευτερόλεπτο. Καταγράψτε τα αποτελέσματα των μετρήσεων στον πίνακα 1.

3. Βρείτε την αναλογία της διαδρομής που διανύθηκε στο δεύτερο δευτερόλεπτο προς τη διαδρομή που διανύθηκε στο πρώτο δευτερόλεπτο και τη διαδρομή που διανύθηκε στο τρίτο δευτερόλεπτο προς τη διαδρομή που διανύθηκε στο πρώτο δευτερόλεπτο. Βγάλε ένα συμπέρασμα.

4. Μετρήστε το χρόνο που διένυσε η μπάλα κατά μήκος του αυλακιού και την απόσταση που διανύθηκε από αυτήν. Υπολογίστε την επιτάχυνσή του χρησιμοποιώντας τον τύπο μικρό = .

5. Χρησιμοποιώντας την πειραματικά ληφθείσα τιμή της επιτάχυνσης, υπολογίστε τις διαδρομές που πρέπει να διανύσει η μπάλα στο πρώτο, δεύτερο και τρίτο δευτερόλεπτο της κίνησής της. Βγάλε ένα συμπέρασμα.

Τραπέζι 1

Πώς, γνωρίζοντας την απόσταση ακινητοποίησης, καθορίζετε την αρχική ταχύτητα του αυτοκινήτου και πώς, γνωρίζοντας τα χαρακτηριστικά της κίνησης, όπως η αρχική ταχύτητα, η επιτάχυνση, ο χρόνος, καθορίζετε την κίνηση του αυτοκινήτου; Απαντήσεις θα πάρουμε αφού εξοικειωθούμε με το θέμα του σημερινού μαθήματος: «Μετατόπιση με ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση, εξάρτηση συντεταγμένων από το χρόνο με ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση»

Με ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση, το γράφημα μοιάζει με ευθεία γραμμή που ανεβαίνει, καθώς η προβολή της επιτάχυνσής του είναι μεγαλύτερη από το μηδέν.

Με ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση, το εμβαδόν θα είναι αριθμητικά ίσο με το μέτρο προβολής της μετατόπισης του σώματος. Αποδεικνύεται ότι αυτό το γεγονός μπορεί να γενικευτεί για την περίπτωση όχι μόνο της ομοιόμορφης κίνησης, αλλά και για οποιαδήποτε κίνηση, δηλαδή, για να δείξει ότι η περιοχή κάτω από το γράφημα είναι αριθμητικά ίση με τον συντελεστή προβολής μετατόπισης. Αυτό γίνεται αυστηρά μαθηματικά, αλλά θα χρησιμοποιήσουμε μια γραφική μέθοδο.

Ρύζι. 2. Γράφημα της εξάρτησης της ταχύτητας από το χρόνο με ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση ()

Ας διαιρέσουμε τη γραφική παράσταση της προβολής της ταχύτητας από το χρόνο για ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση σε μικρά χρονικά διαστήματα Δt. Ας υποθέσουμε ότι είναι τόσο μικρά που κατά το μήκος τους η ταχύτητα πρακτικά δεν άλλαξε, δηλαδή θα μετατρέψουμε υπό όρους το γράφημα γραμμικής εξάρτησης στο σχήμα σε σκάλα. Σε κάθε βήμα του, πιστεύουμε ότι η ταχύτητα δεν έχει αλλάξει πολύ. Φανταστείτε ότι κάνουμε τα χρονικά διαστήματα Δt απείρως μικρά. Στα μαθηματικά λένε: κάνουμε ένα πέρασμα στο όριο. Σε αυτή την περίπτωση, η περιοχή μιας τέτοιας σκάλας θα συμπίπτει επ 'αόριστον στενά με την περιοχή του τραπεζοειδούς, η οποία περιορίζεται από το γράφημα V x (t). Και αυτό σημαίνει ότι για την περίπτωση της ομοιόμορφα επιταχυνόμενης κίνησης, μπορούμε να πούμε ότι η μονάδα προβολής μετατόπισης είναι αριθμητικά ίσο με εμβαδόν, που οριοθετείται από το γράφημα V x (t): οι άξονες της τετμημένης και των τεταγμένων και η κάθετη χαμηλωμένη στον άξονα της τετμημένης, δηλαδή η περιοχή του τραπεζοειδούς OABS, που βλέπουμε στο σχήμα 2.

Το πρόβλημα μετατρέπεται από φυσικό σε μαθηματικό - εύρεση της περιοχής ενός τραπεζοειδούς. Αυτή είναι μια τυπική κατάσταση όταν οι φυσικοί φτιάχνουν ένα μοντέλο που περιγράφει ένα συγκεκριμένο φαινόμενο και μετά μπαίνουν στο παιχνίδι τα μαθηματικά, τα οποία εμπλουτίζουν αυτό το μοντέλο με εξισώσεις, νόμους - που μετατρέπουν το μοντέλο σε θεωρία.

Βρίσκουμε την περιοχή του τραπεζοειδούς: το τραπεζοειδές είναι ορθογώνιο, αφού η γωνία μεταξύ των αξόνων είναι 90 0, χωρίζουμε το τραπεζοειδές σε δύο σχήματα - ένα ορθογώνιο και ένα τρίγωνο. Προφανώς, το συνολικό εμβαδόν θα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών αυτών των σχημάτων (Εικ. 3). Ας βρούμε τις περιοχές τους: το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι ίσο με το γινόμενο των πλευρών, δηλαδή V 0x t, το εμβαδόν ορθογώνιο τρίγωνοθα είναι ίσο με το μισό του γινόμενου των ποδιών - 1/2AD BD, αντικαθιστώντας τις τιμές προβολής, παίρνουμε: 1/2t (V x - V 0x) και, θυμόμαστε το νόμο της αλλαγής της ταχύτητας με το χρόνο κατά την ομοιόμορφη επιταχυνόμενη κίνηση : V x (t) = V 0x + a x t, είναι αρκετά προφανές ότι η διαφορά στις προβολές των ταχυτήτων είναι ίση με το γινόμενο της προβολής της επιτάχυνσης a x κατά τη χρονική στιγμή t, δηλαδή V x - V 0x. = a x t.

Ρύζι. 3. Προσδιορισμός του εμβαδού ενός τραπεζοειδούς ( Πηγή)

Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι η περιοχή του τραπεζοειδούς είναι αριθμητικά ίση με τη μονάδα προβολής μετατόπισης, παίρνουμε:

S x (t) \u003d V 0 x t + a x t 2 / 2

Λάβαμε τον νόμο της εξάρτησης της προβολής της μετατόπισης στο χρόνο με ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση σε βαθμιδωτή μορφή, σε διανυσματική μορφή θα μοιάζει με αυτό:

(t) = t + t 2 / 2

Ας εξαγάγουμε έναν ακόμη τύπο για την προβολή μετατόπισης, ο οποίος δεν θα περιλαμβάνει τον χρόνο ως μεταβλητή. Λύνουμε το σύστημα εξισώσεων, εξαιρουμένου του χρόνου από αυτό:

S x (t) \u003d V 0 x + a x t 2 / 2

V x (t) \u003d V 0 x + a x t

Φανταστείτε ότι δεν ξέρουμε την ώρα, τότε θα εκφράσουμε τον χρόνο από τη δεύτερη εξίσωση:

t \u003d V x - V 0x / a x

Αντικαταστήστε την τιμή που προκύπτει στην πρώτη εξίσωση:

Παίρνουμε μια τόσο δυσκίνητη έκφραση, την τετραγωνίζουμε και δίνουμε παρόμοιες:

Έχουμε αποκτήσει μια πολύ βολική έκφραση προβολής μετατόπισης για την περίπτωση που δεν γνωρίζουμε την ώρα της κίνησης.

Ας έχουμε την αρχική ταχύτητα του αυτοκινήτου, όταν ξεκίνησε το φρενάρισμα, είναι V 0 \u003d 72 km / h, τελική ταχύτητα V \u003d 0, επιτάχυνση a \u003d 4 m / s 2. Μάθετε το μήκος της απόστασης φρεναρίσματος. Μετατρέποντας χιλιόμετρα σε μέτρα και αντικαθιστώντας τις τιμές στον τύπο, παίρνουμε ότι η απόσταση ακινητοποίησης θα είναι:

S x \u003d 0 - 400 (m / s) 2 / -2 4 m / s 2 \u003d 50 m

Ας αναλύσουμε τον ακόλουθο τύπο:

S x \u003d (V 0 x + V x) / 2 t

Η προβολή της κίνησης είναι το ήμισυ του αθροίσματος των προβολών της αρχικής και της τελικής ταχύτητας, πολλαπλασιαζόμενη με το χρόνο κίνησης. Θυμηθείτε τον τύπο μετατόπισης για τη μέση ταχύτητα

S x \u003d V cf t

Στην περίπτωση κίνησης με ομοιόμορφη επιτάχυνση, η μέση ταχύτητα θα είναι:

V cf \u003d (V 0 + V k) / 2

Έχουμε πλησιάσει να λύσουμε το κύριο πρόβλημα της μηχανικής της ομοιόμορφα επιταχυνόμενης κίνησης, δηλαδή να αποκτήσουμε τον νόμο σύμφωνα με τον οποίο η συντεταγμένη αλλάζει με το χρόνο:

x(t) \u003d x 0 + V 0 x t + a x t 2 / 2

Για να μάθουμε πώς να χρησιμοποιούμε αυτόν τον νόμο, θα αναλύσουμε ένα τυπικό πρόβλημα.

Το αυτοκίνητο, κινούμενο από κατάσταση ηρεμίας, αποκτά επιτάχυνση 2 m / s 2. Βρείτε την απόσταση που έχει διανύσει το αυτοκίνητο σε 3 δευτερόλεπτα και στο τρίτο δευτερόλεπτο.

Δίνεται: V 0 x = 0

Ας γράψουμε τον νόμο σύμφωνα με τον οποίο η μετατόπιση αλλάζει με το χρόνο στο

ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση: S x \u003d V 0 x t + a x t 2 /2. 2 γ

Μπορούμε να απαντήσουμε στην πρώτη ερώτηση του προβλήματος συνδέοντας τα δεδομένα:

t 1 \u003d 3 c S 1x \u003d a x t 2 / 2 \u003d 2 3 2 / 2 \u003d 9 (m) - αυτή είναι η διαδρομή που πήγε

γ αυτοκίνητο σε 3 δευτερόλεπτα.

Μάθετε πόσο μακριά ταξίδεψε σε 2 δευτερόλεπτα:

S x (2 s) \u003d a x t 2 / 2 \u003d 2 2 2 / 2 \u003d 4 (m)

Έτσι, εσείς και εγώ ξέρουμε ότι σε δύο δευτερόλεπτα το αυτοκίνητο έκανε 4 μέτρα.

Τώρα, γνωρίζοντας αυτές τις δύο αποστάσεις, μπορούμε να βρούμε το μονοπάτι που διένυσε στο τρίτο δευτερόλεπτο:

S 2x \u003d S 1x + S x (2 s) \u003d 9 - 4 \u003d 5 (m)

Ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνησηονομάζεται μια τέτοια κίνηση κατά την οποία το διάνυσμα της επιτάχυνσης παραμένει αμετάβλητο σε μέγεθος και κατεύθυνση. Παράδειγμα τέτοιας κίνησης είναι η κίνηση μιας πέτρας που πετιέται σε μια ορισμένη γωνία ως προς τον ορίζοντα (αγνοώντας την αντίσταση του αέρα). Σε οποιοδήποτε σημείο της τροχιάς, η επιτάχυνση της πέτρας είναι ίση με την επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης. Έτσι, η μελέτη της ομοιόμορφα επιταχυνόμενης κίνησης ανάγεται στη μελέτη της ευθύγραμμης ομοιόμορφα επιταχυνόμενης κίνησης. Στην περίπτωση της ευθύγραμμης κίνησης, τα διανύσματα ταχύτητας και επιτάχυνσης κατευθύνονται κατά μήκος της ευθείας γραμμής κίνησης. Επομένως, η ταχύτητα και η επιτάχυνση στις προβολές στην κατεύθυνση της κίνησης μπορούν να θεωρηθούν ως αλγεβρικά μεγέθη. Με ομοιόμορφα επιταχυνόμενη ευθύγραμμη κίνηση, η ταχύτητα του σώματος καθορίζεται από τον τύπο (1)

Σε αυτόν τον τύπο, η ταχύτητα του σώματος στο t = 0 (ταχύτητα εκκίνησης ), = const – επιτάχυνση. Στην προβολή στον επιλεγμένο άξονα x, η εξίσωση (1) θα γραφεί με τη μορφή: (2). Στο γράφημα προβολής ταχύτητας υ x ( t), αυτή η εξάρτηση έχει τη μορφή ευθείας γραμμής.

Η κλίση του γραφήματος ταχύτητας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό της επιτάχυνσης ένασώμα. Οι αντίστοιχες κατασκευές γίνονται στα Σχ. για το γράφημα I Η επιτάχυνση είναι αριθμητικά ίση με τον λόγο των πλευρών του τριγώνου αλφάβητο: .

Όσο μεγαλύτερη είναι η γωνία β που σχηματίζει το γράφημα ταχύτητας με τον άξονα του χρόνου, δηλαδή τόσο μεγαλύτερη είναι η κλίση του γραφήματος ( απόκρημνο), τόσο μεγαλύτερη είναι η επιτάχυνση του σώματος.

Για το γράφημα I: υ 0 \u003d -2 m / s, ένα\u003d 1/2 m / s 2. Για το γράφημα II: υ 0 \u003d 3 m / s, ένα\u003d -1/3 m / s 2.

Το γράφημα ταχύτητας σας επιτρέπει επίσης να προσδιορίσετε την προβολή της μετατόπισης s του σώματος για κάποιο χρονικό διάστημα t. Ας διαθέσουμε κάποιο μικρό χρονικό διάστημα Δt στον άξονα του χρόνου. Εάν αυτή η χρονική περίοδος είναι αρκετά μικρή, τότε η μεταβολή της ταχύτητας σε αυτήν την περίοδο είναι μικρή, δηλαδή η κίνηση κατά τη διάρκεια αυτής της χρονικής περιόδου μπορεί να θεωρηθεί ομοιόμορφη με μια ορισμένη μέση ταχύτητα, η οποία είναι ίση με τη στιγμιαία ταχύτητα υ του σώμα στο μέσο του διαστήματος Δt. Επομένως, η μετατόπιση Δs κατά το χρόνο Δt θα είναι ίση με Δs = υΔt. Αυτή η μετατόπιση είναι ίση με την περιοχή που σκιάζεται στο Σχ. ρίγες. Διαιρώντας το χρονικό διάστημα από το 0 έως μια ορισμένη στιγμή t σε μικρά διαστήματα Δt, μπορούμε να λάβουμε ότι η μετατόπιση s για δεδομένο χρόνο t κατά την ομοιόμορφα επιταχυνόμενη ευθύγραμμη κίνηση είναι ίση με την περιοχή του τραπεζοειδούς ODEF. Οι αντίστοιχες κατασκευές γίνονται στα Σχ. για το πρόγραμμα II. Ο χρόνος t λαμβάνεται ίσος με 5,5 s.

(3) - ο προκύπτων τύπος σάς επιτρέπει να προσδιορίσετε τη μετατόπιση με ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση εάν η επιτάχυνση δεν είναι γνωστή.

Αν αντικαταστήσουμε την έκφραση για την ταχύτητα (2) στην εξίσωση (3), τότε λαμβάνουμε (4) - αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται για να γράψουμε την εξίσωση της κίνησης του σώματος: (5).

Αν εκφράσουμε από την εξίσωση (2) τον χρόνο κίνησης (6) και αντικαταστήσουμε στην ισότητα (3), τότε

Αυτός ο τύπος σάς επιτρέπει να προσδιορίσετε την κίνηση σε άγνωστο χρόνο κίνησης.

Ερωτήσεις.

1. Ποιοι τύποι χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό της προβολής και του συντελεστή του διανύσματος μετατόπισης ενός σώματος κατά την ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνησή του από κατάσταση ηρεμίας;

2. Πόσες φορές θα αυξηθεί το μέτρο του διανύσματος μετατόπισης του σώματος με αύξηση του χρόνου κίνησής του από την ηρεμία κατά n φορές;

3. Γράψτε πώς σχετίζονται μεταξύ τους τα δομοστοιχεία των διανυσμάτων μετατόπισης ενός σώματος που κινείται ομοιόμορφα επιταχυνόμενο από κατάσταση ηρεμίας με αύξηση του χρόνου κίνησής του κατά ακέραιο αριθμό φορών σε σύγκριση με t 1.

4. Γράψτε πώς σχετίζονται μεταξύ τους τα συντελεστές των διανυσμάτων των μετατοπίσεων που εκτελεί το σώμα σε διαδοχικά ίσα χρονικά διαστήματα εάν αυτό το σώμα κινείται ομοιόμορφα επιταχυνόμενο από κατάσταση ηρεμίας.

5. Για ποιο σκοπό μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι κανονικότητες (3) και (4);

Οι κανονικότητες (3) και (4) χρησιμοποιούνται για να προσδιοριστεί εάν η κίνηση επιταχύνεται ομοιόμορφα ή όχι (βλ. σελ. 33).

Γυμνάσια.

1. Το τρένο που αναχωρεί από το σταθμό κατά τα πρώτα 20 δευτερόλεπτα κινείται σε ευθεία γραμμή και επιταχύνεται ομοιόμορφα. Είναι γνωστό ότι στο τρίτο δευτερόλεπτο από την έναρξη της κίνησης το τρένο διένυσε 2 μ. Προσδιορίστε το δομοστοιχείο του διανύσματος μετατόπισης που έκανε το τρένο στο πρώτο δευτερόλεπτο και το δομοστοιχείο του διανύσματος επιτάχυνσης με το οποίο κινήθηκε.

Σελίδα 8 από 12

§ 7. Κίνηση με ομοιόμορφα επιταχυνόμενη
ευθύγραμμη κίνηση

1. Χρησιμοποιώντας ένα γράφημα της ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο, μπορείτε να πάρετε τον τύπο για την κίνηση ενός σώματος με ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση.

Το σχήμα 30 δείχνει ένα γράφημα της προβολής της ταχύτητας ομοιόμορφης κίνησης στον άξονα Χαπό τον χρόνο. Αν ορίσουμε σε κάποιο σημείο μια κάθετη στον άξονα του χρόνου ντο, τότε παίρνουμε ένα ορθογώνιο OABC. Το εμβαδόν αυτού του ορθογωνίου είναι ίσο με το γινόμενο των πλευρών ΟΑκαι OC. Αλλά το μήκος της πλευράς ΟΑείναι ίσο με v xκαι το μήκος της πλευράς OC - t, ως εκ τούτου μικρό = v x t. Το γινόμενο της προβολής της ταχύτητας στον άξονα Χκαι ο χρόνος είναι ίσος με την προβολή μετατόπισης, δηλ. s x = v x t.

Με αυτόν τον τρόπο, η προβολή της μετατόπισης κατά την ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση είναι αριθμητικά ίση με το εμβαδόν του ορθογωνίου που οριοθετείται από τους άξονες συντεταγμένων, το γράφημα ταχύτητας και την κάθετο που υψώνεται στον άξονα του χρόνου.

2. Λαμβάνουμε με παρόμοιο τρόπο τον τύπο για την προβολή της μετατόπισης σε μια ευθύγραμμη ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε το γράφημα της εξάρτησης της προβολής της ταχύτητας στον άξονα Χαπό το χρόνο (Εικ. 31). Επιλέξτε μια μικρή περιοχή στο γράφημα αβκαι ρίχνουμε τις καθέτους από τα σημεία ένακαι σιστον άξονα του χρόνου. Αν το χρονικό διάστημα Δ t, που αντιστοιχεί στην ενότητα CDστον άξονα του χρόνου είναι μικρός, τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι η ταχύτητα δεν αλλάζει κατά τη διάρκεια αυτής της χρονικής περιόδου και το σώμα κινείται ομοιόμορφα. Σε αυτή την περίπτωση το σχήμα cabdδιαφέρει ελάχιστα από ένα ορθογώνιο και το εμβαδόν του είναι αριθμητικά ίσο με την προβολή της κίνησης του σώματος στο χρόνο που αντιστοιχεί στο τμήμα CD.

Μπορείτε να σπάσετε ολόκληρη τη φιγούρα σε τέτοιες λωρίδες OABC, και το εμβαδόν του θα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών όλων των λωρίδων. Επομένως, η προβολή της κίνησης του σώματος στο χρόνο tαριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του τραπεζοειδούς OABC. Από το μάθημα της γεωμετρίας, γνωρίζετε ότι το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς είναι ίσο με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων και του ύψους του: μικρό= (ΟΑ + προ ΧΡΙΣΤΟΥ)OC.

Όπως φαίνεται από το σχήμα 31, ΟΑ = v 0Χ , προ ΧΡΙΣΤΟΥ = v x, OC = t. Από αυτό προκύπτει ότι η προβολή μετατόπισης εκφράζεται με τον τύπο: s x= (v x + v 0Χ)t.

Με ομοιόμορφα επιταχυνόμενη ευθύγραμμη κίνηση, η ταχύτητα του σώματος ανά πάσα στιγμή είναι ίση με v x = v 0Χ + a x t, Συνεπώς, s x = (2v 0Χ + a x t)t.

Από εδώ:

Για να λάβουμε την εξίσωση κίνησης του σώματος, αντικαθιστούμε στον τύπο προβολής μετατόπισης την έκφρασή του μέσω της διαφοράς στις συντεταγμένες s x = Χ – Χ 0 .

Παίρνουμε: Χ – Χ 0 = v 0Χ t+ , ή

Σύμφωνα με την εξίσωση της κίνησης, είναι δυνατός ο προσδιορισμός της συντεταγμένης του σώματος ανά πάσα στιγμή, εάν είναι γνωστές η αρχική συντεταγμένη, η αρχική ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώματος.

3. Στην πράξη, συχνά υπάρχουν προβλήματα στα οποία είναι απαραίτητο να βρεθεί η μετατόπιση ενός σώματος κατά την ομοιόμορφα επιταχυνόμενη ευθύγραμμη κίνηση, αλλά ο χρόνος της κίνησης είναι άγνωστος. Σε αυτές τις περιπτώσεις, χρησιμοποιείται ένας διαφορετικός τύπος προβολής μετατόπισης. Ας το πάρουμε.

Από τον τύπο για την προβολή της ταχύτητας της ομοιόμορφα επιταχυνόμενης ευθύγραμμης κίνησης v x = v 0Χ + a x tας εκφράσουμε την ώρα:

t = .

Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση στον τύπο προβολής μετατόπισης, παίρνουμε:

s x = v 0Χ + .

Από εδώ:

s x = , ή
–= 2a x s x.

Αν η αρχική ταχύτητα του σώματος είναι μηδέν, τότε:

2a x s x.

4. Παράδειγμα λύσης προβλήματος

Ο σκιέρ κατεβαίνει την πλαγιά του βουνού από κατάσταση ηρεμίας με επιτάχυνση 0,5 m/s 2 σε 20 δευτερόλεπτα και στη συνέχεια κινείται κατά μήκος του οριζόντιου τμήματος, έχοντας ταξιδέψει σε στάση 40 μ. Με ποια επιτάχυνση κινήθηκε ο σκιέρ κατά μήκος του οριζόντια επιφάνεια; Ποιο είναι το μήκος της πλαγιάς του βουνού;

Θα συνδέσουμε το σύστημα αναφοράς με τη Γη, τον άξονα Χας κατευθύνουμε προς την κατεύθυνση της ταχύτητας του σκιέρ σε κάθε στάδιο της κίνησής του (Εικ. 32).

Ας γράψουμε την εξίσωση για την ταχύτητα του σκιέρ στο τέλος της κατάβασης από το βουνό:

v 1 = v 01 + ένα 1 t 1 .

Σε προβολές στον άξονα Χπαίρνουμε: v 1Χ = ένα 1Χ t. Δεδομένου ότι οι προβολές της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στον άξονα Χείναι θετικά, ο συντελεστής ταχύτητας του σκιέρ είναι: v 1 = ένα 1 t 1 .

Ας γράψουμε μια εξίσωση που σχετίζεται με τις προβολές της ταχύτητας, της επιτάχυνσης και της κίνησης του σκιέρ στο δεύτερο στάδιο της κίνησης:

–= 2ένα 2Χ μικρό 2Χ .

Λαμβάνοντας υπόψη ότι η αρχική ταχύτητα του σκιέρ σε αυτό το στάδιο της κίνησης είναι ίση με την τελική του ταχύτητα στο πρώτο στάδιο

v 02 = v 1 , v 2Χ= 0 παίρνουμε

– = –2ένα 2 μικρό 2 ; (ένα 1 t 1) 2 = 2ένα 2 μικρό 2 .

Από εδώ ένα 2 = ;

ένα 2 == 0,125 m / s 2.

Η μονάδα κίνησης του σκιέρ στο πρώτο στάδιο κίνησης είναι ίση με το μήκος της πλαγιάς του βουνού. Ας γράψουμε την εξίσωση μετατόπισης:

μικρό 1Χ = v 01Χ t + .

Εξ ου και το μήκος της πλαγιάς του βουνού είναι μικρό 1 = ;

μικρό 1 == 100 m.

Απάντηση: ένα 2 \u003d 0,125 m / s 2; μικρό 1 = 100 m.

Ερωτήσεις για αυτοεξέταση

1. Όπως σύμφωνα με το διάγραμμα της προβολής της ταχύτητας ομοιόμορφης ευθύγραμμης κίνησης στον άξονα Χ

2. Όπως σύμφωνα με το γράφημα της προβολής της ταχύτητας της ομοιόμορφα επιταχυνόμενης ευθύγραμμης κίνησης στον άξονα Χαπό το χρόνο να προσδιορίσει την προβολή της μετατόπισης του σώματος;

3. Ποιος τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της προβολής της μετατόπισης ενός σώματος κατά την ομοιόμορφα επιταχυνόμενη ευθύγραμμη κίνηση;

4. Ποιος τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της προβολής της μετατόπισης ενός σώματος που κινείται ομοιόμορφα επιταχυνόμενα και ευθύγραμμα αν η αρχική ταχύτητα του σώματος είναι μηδέν;

Εργασία 7

1. Ποιος είναι ο συντελεστής μετατόπισης ενός αυτοκινήτου σε 2 λεπτά αν σε αυτό το διάστημα η ταχύτητά του έχει αλλάξει από 0 σε 72 km/h; Ποια είναι η συντεταγμένη του αυτοκινήτου εκείνη τη στιγμή t= 2 λεπτά; Η αρχική συντεταγμένη θεωρείται ότι είναι μηδέν.

2. Το τρένο κινείται με αρχική ταχύτητα 36 km/h και επιτάχυνση 0,5 m/s 2 . Ποια είναι η μετατόπιση του τρένου σε 20 δευτερόλεπτα και η συντεταγμένη του τη χρονική στιγμή t= 20 s αν η συντεταγμένη εκκίνησης του τρένου είναι 20 m;

3. Ποια είναι η κίνηση του ποδηλάτη για 5 δευτερόλεπτα μετά την έναρξη του φρεναρίσματος, εάν η αρχική του ταχύτητα κατά το φρενάρισμα είναι 10 m/s και η επιτάχυνση είναι 1,2 m/s 2; Ποια είναι η συντεταγμένη του ποδηλάτη τη στιγμή t= 5 s, αν την αρχική χρονική στιγμή ήταν στην αρχή;

4. Ένα αυτοκίνητο που κινείται με ταχύτητα 54 km/h σταματά όταν φρενάρει για 15 δευτερόλεπτα. Ποιος είναι ο συντελεστής μετατόπισης του αυτοκινήτου κατά το φρενάρισμα;

5. Δύο αυτοκίνητα κινούνται το ένα προς το άλλο από δύο οικισμούς που βρίσκονται σε απόσταση 2 χιλιομέτρων το ένα από το άλλο. Η αρχική ταχύτητα του ενός αυτοκινήτου είναι 10 m/s και η επιτάχυνση είναι 0,2 m/s 2 , η αρχική ταχύτητα του άλλου είναι 15 m/s και η επιτάχυνση είναι 0,2 m/s 2 . Προσδιορίστε την ώρα και τον συντονισμό του σημείου συνάντησης των αυτοκινήτων.

Εργαστήριο #1

Μελέτη ομοιόμορφα επιταχυνόμενη
ευθύγραμμη κίνηση

Σκοπός:

μάθετε πώς να μετράτε την επιτάχυνση σε ομοιόμορφα επιταχυνόμενη ευθύγραμμη κίνηση. να καθορίσει πειραματικά την αναλογία των μονοπατιών που διανύει το σώμα κατά την ομοιόμορφα επιταχυνόμενη ευθύγραμμη κίνηση σε διαδοχικά ίσα χρονικά διαστήματα.

Συσκευές και υλικά:

αλεξίπτωτο, τρίποδο, μεταλλική μπάλα, χρονόμετρο, μεζούρα, μεταλλικός κύλινδρος.

Εντολή εργασίας

1. Στερεώστε το ένα άκρο του αυλακιού στο πόδι του τριπόδου έτσι ώστε να σχηματίζει μια μικρή γωνία με την επιφάνεια του τραπεζιού.Στο άλλο άκρο του αυλακιού, βάλτε μέσα έναν μεταλλικό κύλινδρο.

2. Μετρήστε τα μονοπάτια που διανύει η μπάλα σε 3 διαδοχικά χρονικά διαστήματα ίσα με 1 s το καθένα. Αυτό μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους. Μπορείτε να βάλετε σημάδια στο τσουρέκι με κιμωλία, στερεώνοντας τη θέση της μπάλας σε χρονικά σημεία ίσα με 1 s, 2 s, 3 s και να μετρήσετε τις αποστάσεις μικρό_ανάμεσα σε αυτά τα σημάδια. Είναι δυνατόν, αφήνοντας την μπάλα από το ίδιο ύψος κάθε φορά, να μετράτε τη διαδρομή μικρό, πέρασε από αυτόν πρώτα σε 1 s, μετά σε 2 s και σε 3 s, και μετά υπολογίστε τη διαδρομή που διένυσε η μπάλα στο δεύτερο και τρίτο δευτερόλεπτο. Καταγράψτε τα αποτελέσματα των μετρήσεων στον πίνακα 1.

3. Βρείτε την αναλογία της διαδρομής που διανύθηκε στο δεύτερο δευτερόλεπτο προς τη διαδρομή που διανύθηκε στο πρώτο δευτερόλεπτο και τη διαδρομή που διανύθηκε στο τρίτο δευτερόλεπτο προς τη διαδρομή που διανύθηκε στο πρώτο δευτερόλεπτο. Βγάλε ένα συμπέρασμα.

4. Μετρήστε το χρόνο που διένυσε η μπάλα κατά μήκος του αυλακιού και την απόσταση που διανύθηκε από αυτήν. Υπολογίστε την επιτάχυνσή του χρησιμοποιώντας τον τύπο μικρό = .

5. Χρησιμοποιώντας την πειραματικά ληφθείσα τιμή της επιτάχυνσης, υπολογίστε τις διαδρομές που πρέπει να διανύσει η μπάλα στο πρώτο, δεύτερο και τρίτο δευτερόλεπτο της κίνησής της. Βγάλε ένα συμπέρασμα.

Τραπέζι 1

Ας εξετάσουμε πώς υπολογίζεται η προβολή του διανύσματος μετατόπισης ενός σώματος που κινείται ομοιόμορφα επιταχυνόμενο εάν η αρχική του ταχύτητα v 0 είναι ίση με μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση

θα μοιάζει με αυτό:

Ας ξαναγράψουμε αυτήν την εξίσωση αντικαθιστώντας σε αυτήν, αντί για τις προβολές s x και a x, τις ενότητες s και a των διανυσμάτων

μετατόπιση και επιτάχυνση. Εφόσον σε αυτή την περίπτωση τα διανύσματα sua κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση, οι προβολές τους έχουν τα ίδια πρόσημα. Επομένως, η εξίσωση για τις ενότητες των διανυσμάτων μπορεί να γραφτεί:

Από αυτόν τον τύπο προκύπτει ότι με μια ευθύγραμμη ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα, η μονάδα του διανύσματος μετατόπισης είναι ευθέως ανάλογη με το τετράγωνο του χρονικού διαστήματος κατά το οποίο έγινε αυτή η κίνηση. Αυτό σημαίνει ότι με αύξηση σε n φορές τον χρόνο κίνησης (που υπολογίζεται από τη στιγμή που ξεκίνησε η κίνηση), η κίνηση αυξάνεται n 2 φορές.

Για παράδειγμα, εάν για ένα αυθαίρετο χρονικό διάστημα t 1 από την αρχή της κίνησης, το σώμα κινήθηκε

τότε για ένα χρονικό διάστημα t 2 \u003d 2t 1 (μετράται από την ίδια στιγμή με το t 1) θα μετακινηθεί

για μια χρονική περίοδο t n \u003d nt l - μετατόπιση s n \u003d n 2 s l (όπου n είναι ένας φυσικός αριθμός).

Αυτή η εξάρτηση της μονάδας διανύσματος μετατόπισης από τον χρόνο κατά τη διάρκεια της ευθύγραμμης ομοιόμορφα επιταχυνόμενης κίνησης χωρίς αρχική ταχύτητα αντικατοπτρίζεται ξεκάθαρα στο Σχήμα 15, όπου τα τμήματα OA, OB, OS, OD και OE είναι οι μονάδες των διανυσμάτων μετατόπισης (s 1, s 2, s 3, s 4 και s 5), που δεσμεύεται από το σώμα, αντίστοιχα, για χρονικά διαστήματα t 1 , t 2 = 2t 1 , t 3 = 3t 1 , t 4 = 4t 1 και t 5 = 5t 1 .

Ρύζι. 15. Μοτίβα ομοιόμορφα επιταχυνόμενης κίνησης: OA:OB:OS:OD:0E = 1:4:9:16:25; OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9

Από αυτό το σχήμα, είναι σαφές ότι

OA:OB:OS:OD:OE = 1:4:9:16:25, (1)

Δηλαδή, με αύξηση των χρονικών διαστημάτων που μετρώνται από την αρχή της κίνησης, κατά ακέραιο αριθμό φορών σε σύγκριση με t 1, οι μονάδες των αντίστοιχων διανυσμάτων μετατόπισης αυξάνονται ως μια σειρά από τετράγωνα διαδοχικών φυσικών αριθμών.

Το σχήμα 15 δείχνει ένα άλλο μοτίβο:

OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9, (2)

δηλ. οι μονάδες των διανυσμάτων μετατοπίσεων που εκτελούνται από το σώμα σε διαδοχικές ίσες χρονικές περιόδους (καθεμία από τις οποίες είναι ίση με t 1) συσχετίζονται ως μια σειρά από διαδοχικούς περιττούς αριθμούς.

Οι κανονικότητες (1) και (2) είναι εγγενείς μόνο στην ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση. Επομένως, μπορούν να χρησιμοποιηθούν εάν είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί εάν η κίνηση επιταχύνεται ομοιόμορφα ή όχι.

Ας προσδιορίσουμε, για παράδειγμα, εάν η κίνηση του κοχλία επιταχύνθηκε ομοιόμορφα, ο οποίος κινήθηκε 0,5 cm στα πρώτα 20 δευτερόλεπτα κίνησης, 1,5 cm στο δεύτερο 20 δευτερόλεπτα και 2,5 cm στο τρίτο 20 δευτερόλεπτα.

Για να το κάνουμε αυτό, ας βρούμε πόσες φορές οι κινήσεις που έγιναν στο δεύτερο και το τρίτο χρονικό διάστημα είναι μεγαλύτερες από ό,τι στο πρώτο:

Αυτό σημαίνει ότι 0,5 cm: 1,5 cm: 2,5 cm = 1: 3: 5. Δεδομένου ότι αυτοί οι λόγοι είναι μια σειρά από διαδοχικούς περιττούς αριθμούς, η κίνηση του σώματος επιταχύνθηκε ομοιόμορφα.

Σε αυτή την περίπτωση, η ομοιόμορφα επιταχυνόμενη φύση της κίνησης αποκαλύφθηκε με βάση την κανονικότητα (2).

Ερωτήσεις

1. Ποιοι τύποι χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό της προβολής και της μονάδας του διανύσματος μετατόπισης ενός σώματος κατά την ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνησή του από κατάσταση ηρεμίας;
2. Πόσες φορές θα αυξηθεί το μέτρο του διανύσματος μετατόπισης του σώματος με αύξηση του χρόνου μετακίνησής του από την ηρεμία κατά n φορές;
3. Γράψτε πώς σχετίζονται μεταξύ τους οι μονάδες των διανυσμάτων μετατόπισης ενός σώματος που κινείται ομοιόμορφα επιταχυνόμενο από κατάσταση ηρεμίας με αύξηση του χρόνου κίνησής του κατά ακέραιο αριθμό φορών σε σύγκριση με t 1 .
4. Γράψτε πώς σχετίζονται μεταξύ τους τα δομοστοιχεία των διανυσμάτων των μετατοπίσεων που εκτελούνται από το σώμα σε διαδοχικά ίσα χρονικά διαστήματα εάν αυτό το σώμα κινείται ομοιόμορφα επιταχυνόμενο από κατάσταση ηρεμίας.
5. Ποιος είναι ο σκοπός της χρήσης κανονικοτήτων (1) και (2);

Άσκηση 8

1. Το τρένο που αναχωρεί από το σταθμό τα πρώτα 20 δευτερόλεπτα κινείται σε ευθεία γραμμή και επιταχύνεται ομοιόμορφα. Είναι γνωστό ότι στο τρίτο δευτερόλεπτο από την έναρξη της κίνησης το τρένο διένυσε 2 μ. Προσδιορίστε το δομοστοιχείο του διανύσματος μετατόπισης που έκανε το τρένο στο πρώτο δευτερόλεπτο και το δομοστοιχείο του διανύσματος επιτάχυνσης με το οποίο κινήθηκε.
2. Ένα αυτοκίνητο, που κινείται ομοιόμορφα επιταχυνόμενο από κατάσταση ηρεμίας, διανύει 6,3 μέτρα στο πέμπτο δευτερόλεπτο της επιτάχυνσης.Τι ταχύτητα έχει αναπτύξει το αυτοκίνητο στο τέλος του πέμπτου δευτερολέπτου από την έναρξη της κίνησης;
3. Για τα πρώτα 0,03 s κίνησης χωρίς αρχική ταχύτητα, κάποιο σώμα κινήθηκε 2 mm, για τα πρώτα 0,06 s - 8 mm, για τα πρώτα 0,09 s - 18 mm. Με βάση την κανονικότητα (1), να αποδείξετε ότι σε όλα τα 0,09 δευτερόλεπτα το σώμα κινούνταν ομοιόμορφα επιταχυνόμενο.