Разпределение и формула на Поасон. Поасоново разпределение на дискретна случайна величина Примери за закона на Поасон

23. Закон на Гей-Лусак Законът на Гей-Лусак гласи: съотношението на обема на газ към неговата температура при постоянно налягане на газа и неговата маса е постоянна V / T = m / MO R / P = const при P = const, m = const. името на изобарното уравнение. Изобара се изобразява на PV диаграма с права линия,

24. Закон на Чарлз Законът на Чарлз гласи, че съотношението на налягането на газа към неговата температура е постоянно, ако обемът и масата на газа са непроменени: P / T = m / MО R / V = ​​​​const при V = const, m = const.. Изохора е изобразена на PV-диаграма на права линия, успоредна на оста P, и

30. Законът за запазване и трансформация на енергията Първият закон на термодинамиката се основава на универсалния закон за запазване и трансформация на енергията, който установява, че енергията нито се създава, нито изчезва.Телата, участващи в термодинамичен процес, взаимодействат помежду си

ПРИНЦЕСАТА ЖАБА И ЗАКОНЪТ ЗА СТАБИЛНОСТТА Както беше подчертано по-рано (законът за абстракцията), примитивното мислене е било в състояние да анализира конкретни явления и да синтезира нови абстрактни системи. Тъй като всеки обект, конструиран от съзнанието, се възприемаше като жив и жив

1.1. Основният закон на еволюцията В процеса на еволюцията на живота, доколкото ни е известно, винаги е имало и сега има увеличаване на общата маса на живата материя и усложняване на нейната организация. Усложнявайки организацията на биологичните образувания, природата действа по метода на изпитанията и

4.2. Закон на Мур В най-простата си форма законът на Мур е твърдението, че плътността на транзисторната верига се удвоява на всеки 18 месеца. Авторството на закона се приписва на един от основателите на известната компания Intel Гордън Мур. Строго погледнато, в

$X$ има разпределение на Поасон с параметър $\lambda$ ($\lambda$$>$0), ако това количество приема неотрицателни цели числа $k=0, 1, 2,\dots$ с вероятности $pk$ =$\frac (\lambda ^(:) )(: \cdot 5^{-\lambda } .$ (Это распределение впервые было рассмотрено французским математиком и физиком !} Симеон Денис Поасонпрез 1837 г.)

Поасоново разпределениенаричан още закон за редките събития, тъй като вероятностите pk дават приблизително разпределение на броя на случванията на някои редки събития в голям брой независими опити. В този случай се приема $\lambda =n \cdot р$, където $n$ е броят на опитите на Бернули, $р$ е вероятността събитието да се случи в един опит.

Легитимността на използването на закона на Поасон вместо биномиалното разпределение за голям брой опити се дава от следната теорема.

Теорема 1

Теорема на Поасон.

Ако в схемата на Бернули n$\rightarrow$$\infty$, p$\rightarrow$0, така че $n \cdot p$$\rightarrow$$\lambda$ (крайно число), тогава

$!_(n)^(k) p^(k) (1-p)^(n-k) \to \frac(\lambda ^(k) )(k e^{-\lambda } $ при любых $k=0, 1, 2,... $!}

Без доказателства.

Бележка 1

Формулата на Поасон става по-прецизна за малки $p$ и големи числа $n$ и $n \cdot p $

Очаквана стойностслучайна променлива с разпределение на Поасон с параметър $\lambda$:

$M(X)$=$\sum \limits _(k=0)^(\infty )k\cdot \frac(\lambda ^(k) )(k e^{-\lambda } =\lambda \cdot e^{-\lambda } \sum \limits _{k=1}^{\infty }\frac{\lambda ^{k} }{k!} =\lambda \cdot e^{-\lambda } \cdot e^{\lambda } = $$\lambda$.!}

дисперсияслучайна променлива с разпределение на Поасон с параметър $\lambda$:

$D(X)$=$\lambda$ .

Приложение на формулата на Поасон при решаване на задачи

Пример 1

Вероятността за дефектен продукт при масово производство е $0,002$. Намерете вероятността в партида от $1500 артикула да няма повече от 3 дефектни. Намерете средния брой дефектни елементи.

• Нека $A$ е броят на дефектните артикули в партида от $1500$ артикули. Тогава желаната вероятност е вероятността $A$ $\leq$ $3$. В този проблем имаме схема на Бернули с $n=1500$ и $p=0,002$. За да приложим теоремата на Поасон, задаваме $\lambda=1500 \cdot 0.002=3$. Тогава желаната вероятност

• Среден брой дефектни артикули $M(A)$=$\lambda$=3.

Пример 2

Централата на институцията обслужва $100$ абонати. Вероятността абонат да се обади в рамките на $1$ минута е $0,01$. Намерете вероятността никой да не се обади в рамките на $1$ минута.

Нека $A$ е броят повиквания към превключвателя за $1$ минута. Тогава желаната вероятност е вероятността $A=0$. В тази задача е приложима схемата на Бернули с $n=100$, $p=0,01$. За да използваме теоремата на Поасон, задаваме

$\lambda=100 \cdot 0,01=1$.

Тогава желаната вероятност

$P = e^-1$ $\приблизително 0,37$.

Пример 3

Заводът изпрати до базата продукти за $500$. Вероятността за повреда на продукта при транспортиране е $0,002$. Намерете вероятността пътят да бъде повреден

1. точно три продукта;
2. по-малко от три елемента.

Като се има предвид забележката към формулата на Поасон, тъй като вероятността $p=0,002$ за повреда на продукта е малка, а броят на продуктите $n=500$ е голям и $a=n\cdot p=1

За решаване на втората задача е приложима формулата, където $k1=0$ и $k2=2$. Ние имаме:

Пример 4

Учебникът е издаден в тираж от 100 000 долара. Вероятността един учебник да е подвързан неправилно е $0,0001$. Каква е вероятността тиражът да съдържа $5$ дефектни книги?

По условието на задачата $n = 100000$, $p = 0,0001$.

Събитията "от $n$ книги точно $m$ книги са подвързани неправилно", където $m = 0,1,2, \dots ,100000$, са независими. Тъй като числото $n$ е голямо, а вероятността $p$ е малка, вероятността $P_n (m)$ може да се изчисли с помощта на формулата на Поасон: $P_n$(m)$\approx \frac((\lambda )^ m\cdot e^ (-\ламбда ))(m$ , где $\lambda = np$.!}

В разглеждания проблем

$\lambda = 100000 \cdot 0,0001 = 10$.

Следователно желаната вероятност $P_(100000)$(5) се определя от равенството:

$P_(100000)$ (5)$\приблизително \frac(e^(-10)\cdot (10)^5)(5\approx $ ${10}^5$ $\frac{0,000045}{120}$ = $0,0375$.!}

Отговор: $0,0375.

Пример 5

Заводът изпрати до базата продукти с добро качество на стойност 5000 долара. Вероятността продуктът да бъде повреден по пътя е $0,0002$. Намерете вероятността три неизползваеми предмета да пристигнат в базата.

По условие $n=5000$; $p = $0,0002; $k = 3$. Намерете $\lambda$:

$\lambda = n \cdot p = 5000 \cdot 0,0002 = 1$.

Желаната вероятност според формулата на Поасон е равна на:

Пример 6

Вероятността един абонат да се обади на телефонната централа в рамките на един час е 0,01. В рамките на час се обадиха 200 абонати. Намерете вероятността 3 абоната да се обадят в рамките на един час.

Като се има предвид условието на проблема, виждаме, че:

Нека намерим $\lambda $ за формулата на Поасон:

\[\lambda=np=200\cdot 0.01=2.\]

Заменете стойностите във формулата на Поасон и получете стойността:

Пример 7

Във факултета се обучават 500 студенти. Каква е вероятността 1 септември да е рожден ден на 2 ученици едновременно?

Имаме $n=500$; $p=1/365 \приблизително 0,0027$, $q=0,9973$. Тъй като броят на опитите е голям и вероятността за изпълнение е много малка и $npq=1,35 \

Биномиалното разпределение се прилага в случаите, когато е взета проба с фиксиран размер. Разпределението на Поасон се отнася за случаите, когато броят на случайните събития се случва на определена дължина, площ, обем или време, докато определящият параметър на разпределението е средният брой събития , а не размера на извадката Пи успеваемост Р.Например, броя на несъответствията в проба или броя на несъответствията за единица продукт.

Разпределение на вероятностите за броя на успехите хима следната форма:

Или можем да кажем, че дискретна случайна променлива хразпределени според закона на Поасон, ако възможните му стойности са 0,1, 2, ...t, ...p,и вероятността за поява на такива стойности се определя от връзката:

където м или λ е някаква положителна стойност, наречена параметър на разпределението на Поасон.

Законът на Поасон се прилага за "рядко" случващи се събития, докато възможността за друг успех (например неуспех) е непрекъсната, постоянна и не зависи от броя на предишните успехи или неуспехи (когато става дума за процеси, които се развиват с течение на времето, това се нарича "независимост от миналото"). Класическият пример, при който се прилага законът на Поасон, е броят на телефонните обаждания в телефонна централа за даден интервал от време. Други примери може да са броят мастилени петна върху страница от небрежен ръкопис или броят петънца върху купето на автомобил по време на боядисване. Законът за разпределение на Поасон измерва броя на дефектите, а не броя на дефектните продукти.

Разпределението на Поасон се подчинява на броя на случайните събития, които се появяват на фиксирани интервали от време или във фиксирана област от пространството, За λ<1 значение P(m) монотонно убывает с ростом m то, a при λ>1 стойност на P(m) с нарастване T преминава през максимум близо до /

Характеристика на разпределението на Поасон е равенството на дисперсията с математическото очакване. Параметри на поасоновото разпределение

M(x) = σ 2 = λ (15)

Тази характеристика на разпределението на Поасон ни позволява да заявим на практика, че експериментално полученото разпределение на случайна променлива е обект на разпределението на Поасон, ако примерните стойности на математическото очакване и дисперсията са приблизително равни.

Законът за редките събития се използва в машиностроенето за селективен контрол на готовите продукти, когато според техническите условия се допуска определен процент брак (обикновено малък) в приетата партида продукти q<<0.1.

Ако вероятността q за събитие А е много малка (q≤0,1) и броят на опитите е голям, тогава вероятността събитие А да се случи m пъти в n опита ще бъде равна на

където λ = M(x) = nq

За да изчислите разпределението на Поасон, можете да използвате следните рекурентни отношения

Разпределението на Поасон играе важна роля в статистическите методи за осигуряване на качеството, тъй като може да се използва за приближаване на хипергеометрични и биномни разпределения.

Такова приближение е допустимо, когато , при условие че qn има крайна граница и q<0.1. Когда n →∞, а p → 0, средно n p = t =конст.

Използвайки закона за редките събития, можете да изчислите вероятността извадка от n такива да съдържа: 0,1,2,3 и т.н. дефектни части, т.е. дадено m пъти. Можете също така да изчислите вероятността за поява в такава извадка от m броя дефектни части и повече. Тази вероятност, базирана на правилото за добавяне на вероятности, ще бъде равна на:

Пример 1. Партидата съдържа дефектни части, чийто дял е 0,1. Последователно се вземат и изследват 10 части, след което се връщат в партидата, т.е. тестовете са независими. Каква е вероятността при проверка на 10 части да попадне една дефектна?

РешениеОт условието на задачата q=0,1; n=10; m = 1. Очевидно, p = 1-q = 0,9.

Полученият резултат може да се отдаде и на случая, когато 10 части се отстраняват подред, без да се връщат обратно в партидата. При достатъчно голяма партида, например 1000 броя, вероятността за извличане на части ще се промени незначително. Следователно при такива условия отстраняването на дефектна част може да се счита за събитие, независимо от резултатите от предишни тестове.

Пример 2Партидата съдържа 1% дефектни части. Каква е вероятността, ако се вземе проба от 50 единици от партида, тя да съдържа 0, 1, 2, 3,4 дефектни части?

Решение.Тук q=0,01, nq=50*0,01=0,5

По този начин, за да се приложи ефективно разпределението на Поасон като приближение на биномното, е необходимо вероятността за успех Рбеше значително по-малко q .а n p = tе от порядъка на една (или няколко единици).

По този начин, в статистическите методи за осигуряване на качеството

хипергеометричен законприложим за проби от всякакъв размер П и всяко ниво на несъответствие р ,

биномен закон и закон на Поасон са частните му случаи, съответно, при условие че n/N<0,1 и

Въведение

Теорията на вероятностите е математическа наука, която изучава моделите в случайни явления. Днес това е пълноценна наука с голямо практическо значение.

Историята на теорията на вероятностите датира от 17 век, когато са направени първите опити за систематично изследване на проблеми, свързани с масови случайни явления, и се е появил съответният математически апарат. Оттогава са развити и задълбочени много основи до сегашните концепции, открити са други важни закони и закономерности. Много учени са работили и работят по проблемите на теорията на вероятностите.

Сред тях не може да не се обърне внимание на трудовете на Симеон Дени Поасон ((1781–1840) - френски математик), който доказва по-обща форма на закона за големите числа от тази на Якоб Бернули, а също и за първи път приложи теорията на вероятността за проблеми със стрелбата. Името на Поасон се свързва с един от законите за разпределение, който играе важна роля в теорията на вероятностите и нейните приложения.

Броят на случванията на определено случайно събитие за единица време, когато фактът на възникване на това събитие в даден експеримент не зависи от това колко пъти и в какви моменти от времето се е случило в миналото и не влияе на бъдещето. И тестовете се провеждат при стационарни условия, тогава законът на Поасон обикновено се използва за описание на разпределението на такава случайна променлива (това разпределение е предложено и публикувано за първи път от този учен през 1837 г.).

Този закон може да се опише и като граничен случай на биномиалното разпределение, когато вероятността p за възникване на интересуващото ни събитие в един експеримент е много малка, но броят на експериментите m, извършени за единица време, е достатъчно голям , а именно такава, че в процеса п

Следователно законът на Поасон често се нарича още закон за редките събития.

Поасоново разпределение в теорията на вероятностите

Функционални и разпределителни серии

Разпределението на Поасон е специален случай на биномното разпределение (с н>> 0 и при стр–> 0 (редки събития)).

От математиката е известна формула, която ви позволява грубо да изчислите стойността на всеки член на биномното разпределение:

където а = н · стре параметърът на Поасон (математическо очакване), а дисперсията е равна на математическото очакване. Нека представим математически изчисления, обясняващи този преход. Биномен закон на разпределение

следобед = C n m · следобед· (един - стр)н – м

може да се напише, ако поставим стр = а/н, като

защото стрмного малко, трябва да се вземат предвид само числата м, малък в сравнение с н. работа

много близо до единството. Същото важи и за размера

много близо до д –а. От тук получаваме формулата:

За генериращата функция

Вероятностната функция на кумулативното разпределение е

Класически пример за случайна променлива с разпределение на Поасон е броят на автомобилите, преминаващи през който и да е участък от пътя за даден период от време. Можете също така да отбележите такива примери като броя на звездите в част от небето с даден размер, броя на грешките в текст с дадена дължина, броя на телефонните обаждания в кол център или броя посещения на уеб сървър за даден период от време.

Серията на разпределение на случайна променлива X, разпределена по закона на Поасон, изглежда така:

На фиг. 1 са показани полигоните на разпределението на случайна величина хспоред закона на Поасон, съответстващ на различни стойности на параметъра а.

Първо, нека се уверим, че последователността от вероятности може да бъде серия на разпределение, т.е. че сумата от всички вероятности Рме равно на едно.

Използваме разширението на функцията e xв поредицата Maclaurin:

Известно е, че този ред се събира за всяка стойност х, следователно, като х=а, получаваме

Следователно

Числени характеристики на положението на разпределението на Поасон

Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички нейни възможни стойности и техните вероятности.

По дефиниция, когато дискретна случайна променлива приема изброим набор от стойности:

Първият член на сумата (съответстващ м=0 ) е равно на нула, следователно сумирането може да започне от м=1 :

По този начин параметърът ане е нищо повече от математическото очакване на случайна променлива х.

В допълнение към математическото очакване, позицията на случайна величина се характеризира с мода и медиана.

Режимът на случайна променлива е нейната най-вероятна стойност.

За непрекъснато количество модата е точка на локален максимум на функцията за плътност на вероятността. Ако многоъгълникът или кривата на разпределение има един максимум (фиг. 2 а), тогава разпределението се нарича унимодално, ако има повече от един максимум, то е мултимодално (по-специално, разпределение, което има два режима, се нарича бимодално). Разпределение, което има минимум, се нарича антимодално (фиг. 2b)

x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x

Най-вероятната стойност на случайна променлива е режимът, който предоставя глобалния максимум на вероятността за дискретна случайна променлива или плътността на разпределение за непрекъсната случайна променлива.

Медианата е стойността x l, която разделя площта под графиката на плътността на вероятността наполовина, т.е. медианата е всеки корен на уравнението. Математическото очакване може да не съществува, но медианата винаги съществува и може да е двусмислена.

Медиана на случайна променлива

Числени характеристики на разпространението

Дисперсията на случайна променлива X се нарича математическо очакване на квадрата на отклонението на случайната променлива от нейното математическо очакване.