บ้าน

Y บาป x เพิ่มขึ้นจะใช้ค่าที่มากที่สุด ฟังก์ชัน y = sin x, y = cos x, y = mf(x), y = f(kx), y = tg x, y = ctg x ปัญหาไซน์สำหรับการแก้ปัญหาอิสระ

ในบทเรียนนี้ เราจะพิจารณารายละเอียดเกี่ยวกับฟังก์ชัน y \u003d sin x คุณสมบัติหลักและกราฟ ในตอนต้นของบทเรียนเราจะให้คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติ y \u003d sin t บนวงกลมพิกัดและพิจารณากราฟของฟังก์ชันบนวงกลมและเส้น แสดงคาบของฟังก์ชันนี้บนกราฟและพิจารณาคุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน ในตอนท้ายของบทเรียน เราจะแก้ปัญหาง่ายๆ โดยใช้กราฟของฟังก์ชันและคุณสมบัติของฟังก์ชัน

หัวข้อ: ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บทเรียน: ฟังก์ชัน y=sinx คุณสมบัติหลักและกราฟ

เมื่อพิจารณาฟังก์ชัน สิ่งสำคัญคือต้องเชื่อมโยงค่าเดียวของฟังก์ชันกับแต่ละค่าของอาร์กิวเมนต์ นี้ กฎหมายการติดต่อและเรียกว่าฟังก์ชัน

ให้เรากำหนดกฎหมายการติดต่อสำหรับ

จำนวนจริงใดๆ ตรงกับจุดเดียวบนวงกลมหนึ่งหน่วย จุดมีพิกัดเดียว ซึ่งเรียกว่า ไซน์ของจำนวน (รูปที่ 1)

ค่าอาร์กิวเมนต์แต่ละค่าถูกกำหนดให้เป็นค่าฟังก์ชันเดียว

คุณสมบัติที่ชัดเจนตามมาจากคำจำกัดความของไซน์

รูปแสดงให้เห็นว่า เพราะ เป็นพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย

พิจารณากราฟฟังก์ชัน ให้เราระลึกถึงการตีความทางเรขาคณิตของการโต้แย้ง อาร์กิวเมนต์คือมุมศูนย์กลางที่วัดเป็นเรเดียน บนแกน เราจะพล็อตจำนวนจริงหรือมุมเป็นเรเดียน ตามแนวแกน ค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างเช่น มุมบนวงกลมหนึ่งหน่วยสอดคล้องกับจุดบนกราฟ (รูปที่ 2)

เราได้กราฟของฟังก์ชันบนเว็บไซต์แต่เมื่อรู้คาบของไซน์แล้วเราสามารถแสดงกราฟของฟังก์ชันบนโดเมนนิยามทั้งหมดได้ (รูปที่ 3)

ช่วงเวลาหลักของฟังก์ชันคือ ซึ่งหมายความว่าสามารถรับกราฟในส่วนและจากนั้นดำเนินการต่อไปยังโดเมนทั้งหมดของคำจำกัดความ

พิจารณาคุณสมบัติของฟังก์ชัน:

1) โดเมนของคำจำกัดความ:

2) ช่วงของค่า:

3) ฟังก์ชั่นคี่:

4) ช่วงเวลาบวกที่น้อยที่สุด:

5) พิกัดของจุดตัดของกราฟกับแกน x:

6) พิกัดของจุดตัดของกราฟกับแกน y:

7) ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันรับค่าบวก:

8) ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันรับค่าลบ:

9) การเพิ่มช่วงเวลา:

10) ช่วงเวลามากไปหาน้อย:

11) จุดต่ำสุด:

12) คุณสมบัติขั้นต่ำ:

13) คะแนนสูง:

14) คุณสมบัติสูงสุด:

เราได้พิจารณาคุณสมบัติของฟังก์ชันและกราฟของมันแล้ว คุณสมบัติจะถูกใช้ซ้ำ ๆ ในการแก้ปัญหา

บรรณานุกรม

1. พีชคณิตและการเริ่มต้นการวิเคราะห์ ป.10 (แบ่งเป็น 2 ส่วน) บทช่วยสอนสำหรับ สถาบันการศึกษา (ระดับรายละเอียด) เอ็ด A. G. Mordkovich -M.: เนโมซิน, 2009.

2. พีชคณิตและการเริ่มต้นการวิเคราะห์ ป.10 (แบ่งเป็น 2 ส่วน) หนังสืองานสำหรับสถาบันการศึกษา (ระดับโปรไฟล์) ed. A. G. Mordkovich -M.: เนโมซิน, 2007.

3. Vilenkin N.Ya. , Ivashev-Musatov O.S. , Shvartsburd S.I. พีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 ( กวดวิชาสำหรับนักเรียนของโรงเรียนและชั้นเรียนที่มีการศึกษาเชิงลึกทางคณิตศาสตร์) - ม.: การศึกษา, 2539

4. Galitsky M.L. , Moshkovich M.M. , Shvartsburd S.I. การศึกษาเชิงลึกเกี่ยวกับพีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ม.: การศึกษา, 2540

5. การรวบรวมปัญหาทางคณิตศาสตร์สำหรับผู้สมัครเข้ามหาวิทยาลัยเทคนิค (ภายใต้บรรณาธิการของ M.I.Skanavi) -M.: Higher school, 1992

6. Merzlyak A.G. , Polonsky V.B. , Yakir M.S. ครูฝึกพีชคณิต.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M. , Goldman A.M. , Denisov D.V. งานในพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ (คู่มือสำหรับนักเรียนเกรด 10-11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป) -M.: การศึกษา, 2546

8. คาร์ป เอ.พี. การรวบรวมปัญหาในพีชคณิตและการเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน ค่าเผื่อสำหรับ 10-11 เซลล์ ด้วยความลึก ศึกษา คณิต.-ม.: ศึกษาศาสตร์, 2549.

การบ้าน

พีชคณิตและการเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10 (ในสองส่วน) หนังสืองานสำหรับสถาบันการศึกษา (ระดับโปรไฟล์) ed.

A. G. Mordkovich -M.: เนโมซิน, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

ทรัพยากรบนเว็บเพิ่มเติม

3. พอร์ทัลการศึกษาเพื่อเตรียมสอบ ( ).

เราพบว่าพฤติกรรมของฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชัน y = บาป x โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, บนเส้นจำนวนทั้งหมด (หรือสำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ เอ็กซ์) ถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยพฤติกรรมในช่วงเวลา 0 < เอ็กซ์ < π / 2 .

ดังนั้นก่อนอื่นเราจะพล็อตฟังก์ชัน y = บาป x ในช่วงนี้พอดี

ลองทำตารางค่าต่อไปนี้ของฟังก์ชันของเรา

โดยการทำเครื่องหมายจุดที่สอดคล้องกันบนระนาบพิกัดและเชื่อมต่อด้วยเส้นเรียบ เราจะได้เส้นโค้งที่แสดงในรูป

เส้นโค้งผลลัพธ์ยังสามารถสร้างทางเรขาคณิตโดยไม่ต้องรวบรวมตารางค่าฟังก์ชัน y = บาป x .

1. ไตรมาสแรกของวงกลมรัศมี 1 แบ่งออกเป็น 8 ส่วนเท่าๆ กัน พิกัดของจุดหารของวงกลมคือไซน์ของมุมที่ตรงกัน

2. ไตรมาสแรกของวงกลมสอดคล้องกับมุมตั้งแต่ 0 ถึง π / 2 . ดังนั้นบนแกน เอ็กซ์นำส่วนและแบ่งออกเป็น 8 ส่วนเท่า ๆ กัน

3. วาดเส้นตรงขนานกับแกน เอ็กซ์และจากจุดแบ่งเราจะคืนค่าตั้งฉากกับจุดตัดด้วยเส้นแนวนอน

4. เชื่อมต่อจุดตัดกับเส้นเรียบ

ทีนี้มาดูช่วงเวลากัน π / 2 < เอ็กซ์ < π .
ค่าอาร์กิวเมนต์แต่ละค่า เอ็กซ์จากช่วงเวลานี้สามารถแสดงเป็น

x = π / 2 + φ

ที่ไหน 0 < φ < π / 2 . ตามสูตรการลด

บาป( π / 2 + φ ) = คอส φ = บาป ( π / 2 - φ ).

จุดแกน เอ็กซ์ด้วยแอ็บสซิสซา π / 2 + φ และ π / 2 - φ สมมาตรซึ่งกันและกันเกี่ยวกับจุดแกน เอ็กซ์ด้วยแอ็บสซิสซา π / 2 และไซน์ที่จุดเหล่านี้เหมือนกัน สิ่งนี้ช่วยให้คุณได้กราฟของฟังก์ชัน y = บาป x ในช่วง [ π / 2 , π ] โดยการแสดงกราฟของฟังก์ชันนี้อย่างสมมาตรในช่วงเวลาที่สัมพันธ์กับเส้นตรง เอ็กซ์ = π / 2 .

ตอนนี้ใช้คุณสมบัติ ฟังก์ชันคี่ y \u003d บาป x,

บาป(- เอ็กซ์) = -บาป เอ็กซ์,

ง่ายต่อการลงจุดฟังก์ชันนี้ในช่วงเวลา [- π , 0].

ฟังก์ชัน y \u003d sin x เป็นคาบที่มีคาบ 2π ;. ดังนั้นในการสร้างกราฟทั้งหมดของฟังก์ชันนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะดำเนินการต่อเส้นโค้งที่แสดงในรูปทางซ้ายและขวาเป็นระยะ ๆ ด้วยระยะเวลา 2π .

เส้นโค้งผลลัพธ์เรียกว่า ไซนัส . เป็นกราฟของฟังก์ชัน y = บาป x

รูปนี้แสดงคุณสมบัติทั้งหมดของฟังก์ชันได้ดี y = บาป x ที่เราเคยพิสูจน์มาแล้ว เรียกคืนคุณสมบัติเหล่านี้

1) ฟังก์ชั่น y = บาป x กำหนดไว้สำหรับค่าทั้งหมด เอ็กซ์ เพื่อให้โดเมนเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

2) ฟังก์ชั่น y = บาป x ถูก จำกัด. ค่าทั้งหมดที่ใช้อยู่ระหว่าง -1 ถึง 1 รวมถึงตัวเลขสองตัวนั้นด้วย ดังนั้น เรนจ์ของฟังก์ชันนี้จึงถูกกำหนดโดยอสมการ -1 < ที่ < 1. เมื่อไหร่ เอ็กซ์ = π / 2 + 2k π ฟังก์ชันใช้ค่าที่มากที่สุดเท่ากับ 1 และสำหรับ x = - π / 2 + 2k π - ค่าที่น้อยที่สุดเท่ากับ - 1

3) ฟังก์ชั่น y = บาป x เป็นเลขคี่ (ไซน์ไซด์มีความสมมาตรตามจุดกำเนิด)

4) ฟังก์ชั่น y = บาป x งวดกับงวดที่ 2 π .

5) ในช่วงเวลา 2n π < x < π + 2น π (n เป็นจำนวนเต็มใดๆ) เป็นค่าบวกและเป็นช่วง π + 2k π < เอ็กซ์ < 2π + 2k π (k เป็นจำนวนเต็มใดๆ) มีค่าเป็นลบ สำหรับ x = k π ฟังก์ชันไปที่ศูนย์ ดังนั้นค่าเหล่านี้ของอาร์กิวเมนต์ x (0; ± π ; ±2 π ; ...) เรียกว่าเลขศูนย์ของฟังก์ชัน y = บาป x

6) ในช่วงเวลา - π / 2 + 2น π < เอ็กซ์ < π / 2 + 2น π การทำงาน วาย = บาป x เพิ่มขึ้นอย่างจำเจและเป็นช่วงเวลา π / 2 + 2k π < เอ็กซ์ < 3π / 2 + 2k π มันลดลงอย่างซ้ำซากจำเจ

ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับพฤติกรรมของฟังก์ชัน y = บาป x ใกล้ถึงจุด เอ็กซ์ = 0 .

ตัวอย่างเช่น บาป 0.012 ≈ 0.012; บาป (-0.05) ≈ -0,05;

sin2° = บาป π 2 / 180=บาป π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าสำหรับค่าใดๆ ของ x

| บาป x| < | x | . (1)

ให้รัศมีของวงกลมที่แสดงในรูปเท่ากับ 1
ก / เอโอบี = เอ็กซ์.

แล้วบาป x= ไฟฟ้ากระแสสลับ แต่อ.ย< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол เอ็กซ์. ความยาวของส่วนโค้งนี้เท่ากับอย่างเห็นได้ชัด เอ็กซ์เนื่องจากรัศมีของวงกลมคือ 1 ดังนั้น สำหรับ 0< เอ็กซ์ < π / 2

บาป x< х.

ดังนั้น เนื่องจากความคี่ของฟังก์ชัน y = บาป x มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าเมื่อ - π / 2 < เอ็กซ์ < 0

| บาป x| < | x | .

สุดท้ายที่ x = 0

| บาป x | = | x |.

ดังนั้นสำหรับ | เอ็กซ์ | < π / 2 ความไม่เท่าเทียมกัน (1) ได้รับการพิสูจน์แล้ว ความจริงแล้ว ความไม่เท่าเทียมนี้ก็เป็นจริงสำหรับ | x | > π / 2 เนื่องจากความจริงที่ว่า | | บาป เอ็กซ์ | < 1, ก π / 2 > 1

การออกกำลังกาย

1.ตามตารางการทำงาน y = บาป x กำหนด: ก) บาป 2; ข) บาป 4; ค) บาป (-3)

ฟังก์ชั่น 2.Schedule y = บาป x กำหนดหมายเลขจากช่วงเวลา
[ - π / 2 , π / 2 ] มีไซน์เท่ากับ: a) 0.6; ข) -0.8

3. ฟังก์ชั่นตามกำหนดเวลา y = บาป x กำหนดว่าตัวเลขใดมีไซน์
เท่ากับ 1/2 .

4. ค้นหาโดยประมาณ (โดยไม่ใช้ตาราง): ก) บาป 1°; ข) บาป 0.03;
ค) บาป (-0.015); ง) บาป (-2°30")

จะพล็อตฟังก์ชัน y=sin x ได้อย่างไร ขั้นแรก ให้พิจารณากราฟของไซน์ในช่วงเวลา

เราใช้ส่วนเดียวที่มีความยาว 2 เซลล์ของสมุดบันทึก เราทำเครื่องหมายหน่วยบนแกน Oy

เพื่อความสะดวก เราจะปัดเศษตัวเลข π/2 เป็น 1.5 (และไม่เป็น 1.6 ตามที่กำหนดโดยกฎการปัดเศษ) ในกรณีนี้ ส่วนของความยาว π/2 สอดคล้องกับ 3 เซลล์

บนแกน Ox เราไม่ได้ทำเครื่องหมายส่วนเดียว แต่เป็นส่วนที่มีความยาว π / 2 (ทุกๆ 3 เซลล์) ดังนั้น ส่วนของความยาว π เท่ากับ 6 เซลล์ ส่วนของความยาว π/6 เท่ากับ 1 เซลล์

ด้วยการเลือกส่วนเดียวนี้ กราฟที่แสดงบนสมุดบันทึกในกล่องจะสอดคล้องกับกราฟของฟังก์ชัน y=sin x มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

มาทำตารางค่าไซน์ในช่วงเวลา:

จุดผลลัพธ์จะถูกทำเครื่องหมายไว้บนระนาบพิกัด:

เนื่องจาก y=sin x เป็นฟังก์ชันคี่ กราฟไซน์จึงสมมาตรตามจุดกำเนิด - จุด O(0;0) เมื่อคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้แล้ว เราจะวาดกราฟต่อไปทางซ้าย จากนั้นจุด -π:

ฟังก์ชัน y=sin x เป็นคาบกับคาบ T=2π ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันซึ่งถ่ายในช่วง [-π; π] จะถูกทำซ้ำ จำนวนอนันต์ครั้งทางขวาและทางซ้าย

วิดีโอบทช่วยสอน "ฟังก์ชัน y = sinx คุณสมบัติและกราฟ" นำเสนอสื่อภาพในหัวข้อนี้ ตลอดจนความคิดเห็นเกี่ยวกับหัวข้อนี้ ในระหว่างการสาธิต จะพิจารณาประเภทของฟังก์ชัน คุณสมบัติ พฤติกรรมในส่วนต่าง ๆ ของระนาบพิกัด คุณลักษณะของกราฟมีการอธิบายโดยละเอียด ตัวอย่างของโซลูชันกราฟิกอธิบายไว้ สมการตรีโกณมิติที่มีไซน์ ด้วยความช่วยเหลือของวิดีโอบทเรียน มันง่ายกว่าสำหรับครูในการสร้างแนวคิดของนักเรียนเกี่ยวกับฟังก์ชันนี้ เพื่อสอนวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิก

วิดีโอการสอนใช้เครื่องมือที่อำนวยความสะดวกในการท่องจำและทำความเข้าใจ ข้อมูลการศึกษา. ในการนำเสนอกราฟและคำอธิบายของการแก้ปัญหา เอฟเฟ็กต์แอนิเมชั่นถูกนำมาใช้เพื่อช่วยให้เข้าใจพฤติกรรมของฟังก์ชัน เพื่อนำเสนอความคืบหน้าของการแก้ปัญหาตามลำดับ นอกจากนี้ การเปล่งเสียงของเนื้อหายังเสริมด้วยความคิดเห็นสำคัญที่แทนที่คำอธิบายของครู ดังนั้น สื่อนี้จึงสามารถใช้เป็นเครื่องช่วยในการมองเห็นได้ และเป็นส่วนหนึ่งของบทเรียนแทนคำอธิบายของครูในหัวข้อใหม่

การสาธิตเริ่มต้นด้วยการแนะนำหัวข้อของบทเรียน มีการนำเสนอฟังก์ชันไซน์ คำอธิบายซึ่งเน้นในกล่องหน่วยความจำ - s=sint ซึ่งอาร์กิวเมนต์ t สามารถเป็นจำนวนจริงใดๆ คำอธิบายคุณสมบัติของฟังก์ชันนี้เริ่มต้นด้วยขอบเขต โปรดทราบว่าโดเมนของนิยามของฟังก์ชันคือแกนตัวเลขทั้งหมดของจำนวนจริง นั่นคือ D(f)=(- ∞;+∞) คุณสมบัติที่สองคือความคี่ของฟังก์ชันไซน์ นักเรียนทราบว่าคุณสมบัตินี้ได้รับการศึกษาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 เมื่อสังเกตว่าสำหรับฟังก์ชันคี่จะมีความเท่าเทียมกัน f(-x)=-f(x) สำหรับไซน์ การยืนยันความคี่ของฟังก์ชันจะแสดงบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่แบ่งออกเป็นสี่ส่วน เมื่อรู้ว่าสัญญาณใดที่ฟังก์ชันใช้ในส่วนต่าง ๆ ของระนาบพิกัด ข้อสังเกตว่าสำหรับการโต้แย้งที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม โดยใช้ตัวอย่างของจุด L(t) และ N(-t) สำหรับไซน์ เงื่อนไขคี่เป็นที่พึงพอใจ ดังนั้น s=sint จึงเป็นฟังก์ชันคี่ ซึ่งหมายความว่ากราฟของฟังก์ชันมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

คุณสมบัติที่สามของไซน์แสดงช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและการลดลงของฟังก์ชัน โปรดทราบว่าฟังก์ชันนี้จะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา และลดลงตามช่วงเวลา [π/2;π] คุณสมบัติแสดงในรูปซึ่งแสดงวงกลมหนึ่งหน่วย และเมื่อเคลื่อนจากจุด A ทวนเข็มนาฬิกา พิกัดจะเพิ่มขึ้น นั่นคือ ค่าของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นเป็น π/2 เมื่อย้ายจากจุด B ไป C นั่นคือเมื่อมุมเปลี่ยนจาก π / 2 เป็น π ค่าของพิกัดจะลดลง ในไตรมาสที่สามของวงกลมเมื่อย้ายจากจุด C ไปยังจุด D พิกัดจะลดลงจาก 0 เป็น -1 นั่นคือค่าของไซน์จะลดลง ในไตรมาสที่แล้ว เมื่อย้ายจากจุด D ไปยังจุด A ค่าพิกัดจะเพิ่มจาก -1 เป็น 0 ดังนั้น คุณสามารถทำได้ ข้อสรุปทั่วไปเกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชัน หน้าจอแสดงเอาต์พุตที่ sint เพิ่มขึ้นในส่วน [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], ลดลงในช่วง [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] สำหรับจำนวนเต็ม k ใดๆ

คุณสมบัติที่สี่ของไซน์พิจารณาขอบเขตของฟังก์ชัน โปรดทราบว่าฟังก์ชัน sint มีขอบเขตทั้งด้านบนและด้านล่าง นักเรียนจะนึกถึงข้อมูลจากพีชคณิตเกรด 9 เมื่อพวกเขาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องขอบเขตของฟังก์ชัน หน้าจอแสดงเงื่อนไขของฟังก์ชันที่ล้อมรอบจากด้านบน ซึ่งมีตัวเลขจำนวนหนึ่งที่อสมการ f(x)>=M พอใจ ณ จุดใดๆ ของฟังก์ชัน นอกจากนี้ เรายังจำเงื่อนไขของฟังก์ชันที่อยู่ด้านล่าง ซึ่งมีน้อยกว่าแต่ละจุดของฟังก์ชันเป็นจำนวน m สำหรับ sint เงื่อนไขคือ -1<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

คุณสมบัติที่ห้าพิจารณาค่าที่น้อยที่สุดและมากที่สุดของฟังก์ชัน ความสำเร็จของค่าที่น้อยที่สุด -1 ที่แต่ละจุด t=-(π/2)+2πk และค่าที่มากที่สุด - ที่จุด t=(π/2)+2πk

ตามคุณสมบัติที่พิจารณา กราฟของฟังก์ชัน sint จะถูกพล็อตในช่วงเวลา ในการสร้างฟังก์ชันจะใช้ค่าตารางของไซน์ของจุดที่สอดคล้องกัน พิกัดของจุด π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π ถูกทำเครื่องหมายไว้บนระนาบพิกัด เมื่อทำเครื่องหมายค่าตารางของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้แล้วเชื่อมต่อกับเส้นเรียบเราจึงสร้างกราฟ

ในการลงจุดฟังก์ชัน sint บนเซ็กเมนต์ [-π; π] จะใช้คุณสมบัติสมมาตรของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับจุดกำเนิด รูปนี้แสดงให้เห็นว่าเส้นที่ได้รับจากการก่อสร้างนั้นถูกถ่ายโอนอย่างราบรื่นโดยสัมพันธ์กับจุดกำเนิดไปยังส่วน [-π; 0] ได้อย่างไร

การใช้คุณสมบัติของฟังก์ชัน sint ซึ่งแสดงในสูตรการลดลง sin (x + 2π) \u003d sin x สังเกตว่าทุกๆ 2π กราฟไซน์จะทำซ้ำ ดังนั้นในส่วนของ [π; 3π] กราฟจะเหมือนกับบน [-π;π] ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันนี้เป็นเศษส่วนซ้ำ [-π; π] ตลอดโดเมนของนิยาม สังเกตว่ากราฟฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าไซน์ซอยด์ นอกจากนี้ยังมีการแนะนำแนวคิดของคลื่นไซน์ - ส่วนของกราฟที่สร้างขึ้นในส่วน [-π; π] และส่วนโค้งไซน์ซอยด์ที่สร้างขึ้นบนส่วน . ส่วนย่อยเหล่านี้จะแสดงอีกครั้งเพื่อการท่องจำ

โปรดทราบว่าฟังก์ชัน sint เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในโดเมนทั้งหมดของคำนิยาม และช่วงของฟังก์ชันอยู่ในชุดของค่าของส่วน [-1;1]

ในตอนท้ายของบทช่วยสอนวิดีโอ เราจะพิจารณาวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกสำหรับสมการ sin x \u003d x + π เห็นได้ชัดว่าคำตอบเชิงกราฟของสมการจะเป็นจุดตัดของกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดโดยนิพจน์ทางด้านซ้ายและฟังก์ชันที่กำหนดโดยนิพจน์ทางด้านขวา ในการแก้ปัญหา ระนาบพิกัดถูกสร้างขึ้นโดยมีการร่างไซน์ซอยด์ y \u003d sin x ที่สอดคล้องกัน และสร้างเส้นตรงที่สอดคล้องกับกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x + π กราฟที่สร้างขึ้นตัดกันที่จุดเดียว В(-π;0) ดังนั้น x \u003d - π จะเป็นคำตอบของสมการ

บทเรียนวิดีโอ "ฟังก์ชั่น y = sinx คุณสมบัติและกราฟ" จะช่วยเพิ่มประสิทธิภาพบทเรียนของบทเรียนคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมที่โรงเรียน คุณยังสามารถใช้สื่อภาพเมื่อดำเนินการเรียนรู้ทางไกล คู่มือนี้สามารถช่วยให้เชี่ยวชาญในหัวข้อสำหรับนักเรียนที่ต้องการชั้นเรียนเพิ่มเติมเพื่อความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นของเนื้อหา

การตีความข้อความ:

หัวข้อของบทเรียนของเราคือ "ฟังก์ชัน y \u003d sin x คุณสมบัติและกราฟ"

ก่อนหน้านี้เราได้ทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชัน s = sin t โดยที่ tϵR (es เท่ากับไซน์ของ te โดยที่ te อยู่ในเซตของจำนวนจริง) ตรวจสอบคุณสมบัติของฟังก์ชันนี้:

รายบุคคล 1. โดเมนของคำจำกัดความคือชุดของจำนวนจริง R (เอ้อ) นั่นคือ D (f) = (-; +) (de จาก ef แทนช่วงเวลาจากลบอินฟินิตี้ถึงบวกอินฟินิตี้)

คุณสมบัติ 2. ฟังก์ชัน s = sin t เป็นเลขคี่

ในบทเรียนเกรด 9 เราได้เรียนรู้ว่าฟังก์ชัน y \u003d f (x), x ϵX (y เท่ากับ eff จาก x โดยที่ x อยู่ในเซต x มีค่ามาก) เรียกว่าคี่ ถ้ามีค่า x จาก ชุด X ความเท่าเทียมกัน

f (- x) \u003d - f (x) (ef จากลบ x เท่ากับลบ ef จาก x)

และเนื่องจากพิกัดของจุด L และ N ซึ่งมีความสมมาตรรอบแกน abscissa อยู่ตรงข้ามกัน ดังนั้น sin (- t) = -sint

นั่นคือ s \u003d sin t เป็นฟังก์ชันคี่และกราฟของฟังก์ชัน s \u003d sin t สมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิดในระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โยน(เต โอ เอส).

พิจารณาคุณสมบัติ 3 ในส่วน [ 0; ] (จากศูนย์ถึง pi คูณสอง) ฟังก์ชัน s = sin t เพิ่มขึ้นและลดลงในส่วน [; ](จาก pi คูณ 2 ถึง pi)

สิ่งนี้เห็นได้อย่างชัดเจนจากตัวเลข: เมื่อจุดเคลื่อนที่ไปตามวงกลมตัวเลขจากศูนย์ถึงปี่ทีละสอง (จากจุด A ถึง B) พิกัดจะค่อยๆเพิ่มขึ้นจาก 0 ถึง 1 และเมื่อย้ายจากปี่ทีละสองถึงปี่ (จาก จุด B ถึง C) ลำดับจะค่อยๆ ลดลงจาก 1 ถึง 0

เมื่อจุดเคลื่อนที่ไปตามไตรมาสที่สาม (จากจุด C ไปยังจุด D) พิกัดของจุดเคลื่อนที่จะลดลงจากศูนย์เป็นลบหนึ่ง และเมื่อเคลื่อนที่ไปตามไตรมาสที่สี่ พิกัดจะเพิ่มจากลบหนึ่งเป็นศูนย์ ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ทั่วไป: ฟังก์ชัน s = sin t เพิ่มขึ้นในส่วน

(จากลบ pi คูณสองบวกสองพีคถึง pi คูณสองบวกสองพีค) และลดลงในส่วนของ [; (จาก pi คูณ 2 บวก 2 pi ka ถึง 3 pi คูณ 2 บวก 2 pi ka) โดยที่

(ka อยู่ในเซตของจำนวนเต็ม)

คุณสมบัติ 4. ฟังก์ชัน s = sin t ล้อมรอบจากด้านบนและด้านล่าง

จากหลักสูตรเกรด 9 ให้นึกถึงคำจำกัดความของขอบเขต: ฟังก์ชัน y \u003d f (x) เรียกว่าขอบเขตจากด้านล่าง หากค่าทั้งหมดของฟังก์ชันไม่น้อยกว่าจำนวนที่กำหนด ม มดังนั้นสำหรับค่า x ใดๆ จากโดเมนของฟังก์ชัน อสมการ f (x) ≥ ม(ef จาก x มากกว่าหรือเท่ากับ em) ฟังก์ชัน y \u003d f (x) เรียกว่าขอบเขตจากด้านบนหากค่าทั้งหมดของฟังก์ชันไม่เกินตัวเลขบางตัว มซึ่งหมายความว่ามีจำนวน มดังนั้นสำหรับค่า x ใดๆ จากโดเมนของฟังก์ชัน อสมการ f (x) ≤ ม(ef จาก x น้อยกว่าหรือเท่ากับ em) ฟังก์ชันถูกเรียกว่ามีขอบเขตหากมีขอบเขตทั้งจากด้านล่างและด้านบน

กลับไปที่ฟังก์ชันของเรา: ขอบเขตตามด้วยความจริงที่ว่าสำหรับ te ใด ๆ ความไม่เท่าเทียมกันนั้นเป็นจริง - 1 ≤ sint ≤ 1 (ไซน์ของ te มากกว่าหรือเท่ากับลบหนึ่ง แต่น้อยกว่าหรือเท่ากับหนึ่ง)

คุณสมบัติ 5 ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันเท่ากับลบ 1 และฟังก์ชันไปถึงค่านี้ที่จุดใดๆ ของรูปแบบ t = (te เท่ากับลบ pi ด้วยสองบวกสองยอด และค่าสูงสุดของฟังก์ชันเท่ากับ ถึงหนึ่งและเข้าถึงได้โดยฟังก์ชันที่จุดใดๆ ของรูปแบบ t = (te เท่ากับ pi คูณสองบวกสอง pi ka)

ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน s = sin t หมายถึง s นาที และสูงสุด .

เมื่อใช้คุณสมบัติที่ได้รับเราจะวางแผนฟังก์ชัน y \u003d sin x (y เท่ากับไซน์ x) เนื่องจากเราคุ้นเคยกับสัญกรณ์ y \u003d f (x) ไม่ใช่ s \u003d f (t)

เริ่มต้นด้วยการเลือกมาตราส่วน: ตามแกนกำหนดเราใช้ส่วนเดียวสองเซลล์และตามแกน abscissa สองเซลล์ - นี่คือ pi คูณสาม (เพราะ ≈ 1) ก่อนอื่นมาสร้างกราฟของฟังก์ชัน y \u003d sin x ในส่วน เราต้องการตารางค่าฟังก์ชันในส่วนนี้เพื่อสร้างเราจะใช้ตารางค่าสำหรับมุมโคไซน์และไซน์ที่สอดคล้องกัน:

ดังนั้น ในการสร้างตารางของอาร์กิวเมนต์และค่าของฟังก์ชัน จำเป็นต้องจำไว้ เอ็กซ์(x) คือจำนวนตามลำดับเท่ากับมุมของช่วงเวลาจากศูนย์ถึงไพ และ ที่(กรีก) ค่าไซน์ของมุมนี้

ทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนระนาบพิกัด ตามพร็อพเพอร์ตี้ 3 ในส่วนของ

[0; ] (จากศูนย์ถึง pi คูณสอง) ฟังก์ชัน y \u003d sin x เพิ่มขึ้น แต่ลดลงในส่วน [; ] (จาก pi คูณ 2 ถึง pi) และเชื่อมต่อจุดที่ได้รับด้วยเส้นเรียบเราจะได้ส่วนหนึ่งของกราฟ (รูปที่ 1)

การใช้ความสมมาตรของกราฟของฟังก์ชันคี่ที่เกี่ยวกับจุดกำเนิด เราได้กราฟของฟังก์ชัน y \u003d sin x ที่อยู่ในเซ็กเมนต์แล้ว

[-π; π ] (จาก ลบ pi ถึง pi) (รูปที่ 2)

จำไว้ว่า sin(x + 2π)= sinx

(ไซน์ของ x บวกสองไพเท่ากับไซน์ของ x) ซึ่งหมายความว่า ณ จุด x + 2π ฟังก์ชัน y = sin x รับค่าเดียวกับที่จุด x และเนื่องจาก (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x บวกสองไพเป็นของส่วนจากปี่ถึงสามปี่), ถ้า xϵ[-π; π ] จากนั้นในช่วง [π; 3π ] กราฟของฟังก์ชันมีลักษณะเหมือนกับช่วง [-π; พาย]. ในทำนองเดียวกัน ในส่วน , , [-3π; -π] และอื่น ๆ กราฟของฟังก์ชัน y \u003d sin x มีลักษณะเหมือนกับในส่วน

[-π; π]. (รูปที่ 3)

เส้นที่เป็นกราฟของฟังก์ชัน y \u003d sin x เรียกว่าไซน์ไซด์ ส่วนของคลื่นไซน์ที่แสดงในรูปที่ 2 เรียกว่าคลื่นไซน์ และในรูปที่ 1 เรียกว่าส่วนโค้งของคลื่นไซน์หรือครึ่งคลื่น

เราจะเขียนคุณสมบัติเพิ่มเติมของฟังก์ชันนี้โดยใช้กราฟที่สร้างขึ้น

คุณสมบัติ 6 ฟังก์ชัน y \u003d sin x เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ซึ่งหมายความว่ากราฟของฟังก์ชันเป็นแบบต่อเนื่อง นั่นคือไม่มีการกระโดดและการทะลุ

คุณสมบัติ 7. ช่วงของฟังก์ชัน y \u003d sin x คือส่วน [-1; 1] (จากลบ 1 ถึง 1) หรือเขียนได้ดังนี้ (e จาก eff เท่ากับส่วนจากลบ 1 ถึง 1)

พิจารณาตัวอย่าง แก้สมการกราฟิก sin x \u003d x + π (ไซน์ x เท่ากับ x บวก pi)

วิธีการแก้. มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกันเถอะ y=บาป เอ็กซ์และ y = x + π.

กราฟของฟังก์ชัน y \u003d sin x เป็นไซน์ไซด์

y \u003d x + π เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น กราฟเป็นเส้นตรงผ่านจุดที่มีพิกัด (0; π) และ (- π; 0)

กราฟที่สร้างขึ้นมีจุดตัดหนึ่งจุด - จุด B (- π; 0) (มีพิกัดลบ pi, ศูนย์) ซึ่งหมายความว่าสมการนี้มีรากเพียงตัวเดียว คือ abscissa ของจุด B - -π ตอบ: เอ็กซ์ = - π.