สูตรการกระจายและปัวซอง การแจกแจงแบบปัวซองของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ตัวอย่างกฎของปัวซอง

23. กฎของเกย์-ลูสแซก กฎของเกย์-ลูแซคกล่าวว่า: อัตราส่วนของปริมาตรของแก๊สต่ออุณหภูมิที่ความดันแก๊สคงที่และมวลของแก๊สคงที่ V / T = m / MO R / P = const ที่ P = const m = const ชื่อของสมการ isobar isobar จะแสดงบนไดอะแกรม PV โดยเป็นเส้นตรง

24. กฎของชาร์ลส์ กฎของชาร์ลส์ระบุว่าอัตราส่วนของความดันแก๊สต่ออุณหภูมิคงที่หากปริมาตรและมวลของแก๊สไม่เปลี่ยนแปลง: P / T = m / MО R / V = ​​const ที่ V = const m = const. . ไอโซชอร์แสดงอยู่บนแผนภาพ PV ของเส้นตรงที่ขนานกับแกน P และ

30. กฎการอนุรักษ์และการเปลี่ยนแปลงของพลังงาน กฎข้อที่ 1 ของอุณหพลศาสตร์ขึ้นอยู่กับกฎสากลของการอนุรักษ์และการเปลี่ยนแปลงของพลังงาน ซึ่งระบุว่า พลังงานไม่ได้ถูกสร้างขึ้นหรือหายไป ร่างกายที่มีส่วนร่วมในกระบวนการทางอุณหพลศาสตร์มีปฏิสัมพันธ์ซึ่งกันและกัน

เจ้าหญิงกบและกฎแห่งความมั่นคง ตามที่ได้เน้นย้ำไปก่อนหน้านี้ (กฎแห่งนามธรรม) การคิดดั้งเดิมสามารถวิเคราะห์ปรากฏการณ์ที่เป็นรูปธรรมและสังเคราะห์ระบบนามธรรมใหม่ได้ เนื่องจากวัตถุใด ๆ ที่สร้างขึ้นโดยจิตสำนึกถูกมองว่ามีชีวิตและมีชีวิต

1.1. กฎพื้นฐานของวิวัฒนาการ ในกระบวนการวิวัฒนาการของสิ่งมีชีวิต เท่าที่เราทราบ มีการเพิ่มมวลรวมของสิ่งมีชีวิตและความซับซ้อนของการจัดระเบียบของมันอยู่เสมอและในปัจจุบัน การจัดระเบียบของการก่อตัวทางชีวภาพที่ซับซ้อนธรรมชาติทำหน้าที่ตามวิธีการทดลองและ

4.2. กฎของมัวร์ ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด กฎของมัวร์คือข้อความที่ว่าความหนาแน่นของวงจรทรานซิสเตอร์เพิ่มขึ้นสองเท่าทุกๆ 18 เดือน การประพันธ์ของกฎหมายมีสาเหตุมาจากหนึ่งในผู้ก่อตั้ง บริษัท Intel ที่มีชื่อเสียง Gordon Moore พูดอย่างเคร่งครัดใน

$X$ มีการแจกแจงปัวซองด้วยพารามิเตอร์ $\lambda$ ($\lambda$$>$0) ถ้าปริมาณนี้ใช้ค่าจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ $k=0, 1, 2,\dots$ ด้วยความน่าจะเป็น $pk$ =$\frac (\lambda ^(:) )(: \cdot 5^{-\lambda } .$ (Это распределение впервые было рассмотрено французским математиком и физиком !} ไซเมียน เดนิสปัวซงพ.ศ. 2380)

การกระจายปัวซองเรียกอีกอย่างว่ากฎของเหตุการณ์ที่หายาก เพราะความน่าจะเป็น pk ให้การกระจายโดยประมาณของจำนวนเหตุการณ์ที่หายากบางอย่างในการทดลองอิสระจำนวนมาก ในกรณีนี้ จะถือว่า $\lambda =n \cdot р$ โดยที่ $n$ คือจำนวนการทดลอง Bernoulli $р$ คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองหนึ่งครั้ง

ความถูกต้องของการใช้กฎปัวซองแทนการแจกแจงแบบทวินามสำหรับการทดลองจำนวนมากมีให้โดยทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 1

ทฤษฎีบทของปัวซอง

ถ้าในแบบแผน Bernoulli n$\rightarrow$$\infty$, p$\rightarrow$0 ดังนั้น $n \cdot p$$\rightarrow$$\lambda$ (จำนวนจำกัด) ดังนั้น

$!_(n)^(k) p^(k) (1-p)^(n-k) \to \frac(\lambda ^(k) )(k e^{-\lambda } $ при любых $k=0, 1, 2,... $!}

โดยไม่ต้องพิสูจน์.

หมายเหตุ 1

สูตรของปัวซองแม่นยำยิ่งขึ้นสำหรับ $p$ จำนวนน้อยและจำนวนมาก $n$ และ $n \cdot p $

มูลค่าที่คาดหวังตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงปัวซองพร้อมพารามิเตอร์ $\lambda$:

$M(X)$=$\sum \limits _(k=0)^(\infty )k\cdot \frac(\lambda ^(k) )(k e^{-\lambda } =\lambda \cdot e^{-\lambda } \sum \limits _{k=1}^{\infty }\frac{\lambda ^{k} }{k!} =\lambda \cdot e^{-\lambda } \cdot e^{\lambda } = $$\lambda$.!}

การกระจายตัวตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงปัวซองพร้อมพารามิเตอร์ $\lambda$:

$D(X)$=$\lambda$

การประยุกต์ใช้สูตรปัวซองในการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1

ความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องในการผลิตจำนวนมากคือ 0.002 ดอลลาร์สหรัฐฯ ค้นหาความน่าจะเป็นที่สินค้าชุดละ 1,500 ดอลลาร์จะมีสินค้าชำรุดไม่เกิน 3 ชิ้น ค้นหาจำนวนเฉลี่ยของรายการที่มีข้อบกพร่อง

• ให้ $A$ เป็นจำนวนของสินค้าที่มีข้อบกพร่องในชุดของสินค้า $1500$ จากนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการคือความน่าจะเป็นที่ $A$ $\leq$ $3$ ในปัญหานี้เรามีรูปแบบ Bernoulli ที่มี $n=1500$ และ $p=0.002$ หากต้องการใช้ทฤษฎีบทปัวซอง เราตั้งค่า $\lambda=1500 \cdot 0.002=3$ จากนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการ

• จำนวนเฉลี่ยของสินค้าที่มีข้อบกพร่อง $M(A)$=$\lambda$=3

ตัวอย่างที่ 2

บริการสวิตช์บอร์ดของสถาบัน $100$ ของสมาชิก ความน่าจะเป็นที่สมาชิกจะโทรภายใน $1$ นาทีคือ $0.01$ ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะไม่มีใครโทรมาภายใน $1$ นาที

ให้ $A$ เป็นจำนวนการโทรไปยังสวิตช์ในช่วงเวลา $1$ นาที ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการคือความน่าจะเป็นที่ $A=0$ ในปัญหานี้ สามารถใช้แผน Bernoulli ที่มี $n=100$, $p=0.01$ ได้ เพื่อใช้ทฤษฎีบทปัวซอง เราตั้งค่า

$\lambda=100 \cdot 0.01=1$

จากนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการ

$P = e^-1$ $\ประมาณ0.37$

ตัวอย่างที่ 3

โรงงานส่งสินค้า $500$ ไปที่ฐาน ความน่าจะเป็นที่สินค้าจะเสียหายระหว่างการขนส่งคือ 0.002$ จงหาความน่าจะเป็นที่ทางจะเสียหาย

1. สามผลิตภัณฑ์;
2. น้อยกว่าสามรายการ

เมื่อพิจารณาจากหมายเหตุของสูตรปัวซอง เนื่องจากความน่าจะเป็น $p=0.002$ ของความเสียหายของผลิตภัณฑ์มีน้อย และจำนวนผลิตภัณฑ์ $n=500$ นั้นมีมาก และ $a=n\cdot p=1

ในการแก้ปัญหาที่สอง จะใช้สูตรได้ โดยที่ $k1=0$ และ $k2=2$ เรามี:

ตัวอย่างที่ 4

หนังสือเรียนได้รับการตีพิมพ์ด้วยยอดจำหน่าย 100,000 ดอลลาร์ ความน่าจะเป็นที่หนังสือเรียนเล่มหนึ่งถูกผูกไว้ไม่ถูกต้องคือ 0.0001$ ความน่าจะเป็นที่การหมุนเวียนมีหนังสือชำรุดมูลค่า 5 ดอลลาร์เป็นเท่าใด

ตามเงื่อนไขของปัญหา $n = 100,000$, $p = 0.0001$

เหตุการณ์ "จากหนังสือ $n$ หนังสือ $m$ ถูกผูกไว้อย่างไม่ถูกต้อง" โดยที่ $m = 0,1,2, \dots ,100000$ เป็นอิสระต่อกัน เนื่องจากจำนวน $n$ มีค่ามากและความน่าจะเป็น $p$ มีน้อย ความน่าจะเป็น $P_n (m)$ สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรปัวซอง: $P_n$(m)$\about \frac((\lambda )^ m\cdot e^ (-\lambda ))(ม$ , где $\lambda = np$.!}

ในปัญหาที่พิจารณา

$\lambda = 100000 \cdot 0.0001 = 10$

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการ $P_(100000)$(5) ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน:

$P_(100000)$ (5)$\ประมาณ \frac(e^(-10)\cdot (10)^5)(5\approx $ ${10}^5$ $\frac{0,000045}{120}$ = $0,0375$.!}

คำตอบ: 0.0375 ดอลลาร์

ตัวอย่างที่ 5

โรงงานส่งสินค้าคุณภาพดีมูลค่า 5,000 ดอลลาร์ไปยังฐาน ความเป็นไปได้ที่สินค้าจะเสียหายระหว่างทางคือ 0.0002$ ค้นหาความน่าจะเป็นที่สิ่งของที่ใช้ไม่ได้ 3 ชิ้นจะมาถึงฐาน

ตามเงื่อนไข $n=5000$; $p = $0.0002; $k = 3$ ค้นหา $\lambda$:

$\lambda = n \cdot p = 5000 \cdot 0.0002 = 1$

ความน่าจะเป็นที่ต้องการตามสูตรปัวซองเท่ากับ:

ตัวอย่างที่ 6

ความน่าจะเป็นที่ผู้ใช้บริการรายหนึ่งจะโทรหาชุมสายโทรศัพท์ภายในหนึ่งชั่วโมงคือ 0.01 ภายในหนึ่งชั่วโมง สมาชิก 200 คนโทรมา ค้นหาความน่าจะเป็นที่สมาชิก 3 คนจะโทรหาภายในหนึ่งชั่วโมง

เมื่อพิจารณาจากสภาพของปัญหา เราจะเห็นว่า:

มาหา $\lambda $ สำหรับสูตรปัวซอง:

\[\lambda=np=200\cdot 0.01=2.\]

แทนค่าในสูตรปัวซองและรับค่า:

ตัวอย่างที่ 7

คณะมีนักศึกษา 500 คน ความน่าจะเป็นที่วันที่ 1 กันยายนเป็นวันเกิดของนักเรียน 2 คนในเวลาเดียวกันเป็นเท่าใด

เรามี $n=500$; $p=1/365 \ประมาณ 0.0027$, $q=0.9973$ เนื่องจากจำนวนการทดลองมีจำนวนมากและความน่าจะเป็นของการดำเนินการมีน้อยมาก และ $npq=1.35 \

การแจกแจงแบบทวินามใช้กับกรณีตัวอย่างที่มีขนาดคงที่ การแจกแจงแบบปัวซองหมายถึงกรณีที่ จำนวนเหตุการณ์สุ่มที่เกิดขึ้นที่ความยาว พื้นที่ ปริมาณ หรือเวลาที่แน่นอน ในขณะที่พารามิเตอร์กำหนดของการแจกแจงคือจำนวนเฉลี่ยของเหตุการณ์ ไม่ใช่ขนาดตัวอย่าง พีและอัตราความสำเร็จ ร.ตัวอย่างเช่น จำนวนความไม่สอดคล้องในตัวอย่างหรือจำนวนความไม่สอดคล้องต่อหน่วยของผลิตภัณฑ์

การแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับจำนวนความสำเร็จ เอ็กซ์มีรูปแบบดังนี้

หรือเราเรียกว่าตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องก็ได้ เอ็กซ์กระจายตามกฎของปัวซองหากค่าที่เป็นไปได้คือ 0.1, 2, ...เ, ...พี,และความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของค่าดังกล่าวถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์:

ที่ไหน ม หรือ λ เป็นค่าบวก เรียกว่าพารามิเตอร์การแจกแจงแบบปัวซอง

กฎของปัวซองใช้กับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น "ไม่บ่อย" ในขณะที่ความเป็นไปได้ของความสำเร็จอื่น (เช่น ความล้มเหลว) นั้นต่อเนื่อง คงที่ และไม่ขึ้นอยู่กับจำนวนของความสำเร็จหรือความล้มเหลวก่อนหน้านี้ (เมื่อพูดถึงกระบวนการที่พัฒนาเมื่อเวลาผ่านไป สิ่งนี้ เรียกว่า "ความเป็นอิสระจากอดีต") ตัวอย่างคลาสสิกที่ใช้กฎของปัวซองคือจำนวนการโทรที่ชุมสายโทรศัพท์ในช่วงเวลาที่กำหนด ตัวอย่างอื่นๆ อาจเป็นจำนวนรอยเปื้อนหมึกบนหน้าต้นฉบับที่เลอะเทอะ หรือจำนวนจุดบนตัวรถระหว่างการพ่นสี กฎหมายการกระจายของปัวซองวัดจำนวนของข้อบกพร่อง ไม่ใช่จำนวนของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่อง

การแจกแจงปัวซองเป็นไปตามจำนวนเหตุการณ์สุ่มที่ปรากฏในช่วงเวลาคงที่หรือในพื้นที่คงที่ สำหรับ λ<1 значение P(m) монотонно убывает с ростом m то, a при λ>1 ค่าของ P(m) พร้อมการเติบโต ที ผ่านค่าสูงสุดใกล้ /

คุณลักษณะของการแจกแจงปัวซองคือความเท่าเทียมกันของความแปรปรวนกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ พารามิเตอร์การแจกแจงปัวซอง

ม(x) = σ 2 = λ (15)

คุณลักษณะของการแจกแจงแบบปัวซองช่วยให้เราสามารถระบุในทางปฏิบัติว่าการแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่ได้รับจากการทดลองนั้นขึ้นอยู่กับการแจกแจงแบบปัวซองหากค่าตัวอย่างของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนมีค่าใกล้เคียงกันโดยประมาณ

กฎของเหตุการณ์ที่หายากถูกนำมาใช้ในวิศวกรรมเครื่องกลสำหรับการควบคุมแบบเลือกของผลิตภัณฑ์สำเร็จรูป เมื่อตามเงื่อนไขทางเทคนิค อนุญาตให้มีเปอร์เซ็นต์การคัดแยกที่แน่นอน (โดยปกติจะเป็นขนาดเล็ก) ในชุดผลิตภัณฑ์ที่ยอมรับ q<<0.1.

หากความน่าจะเป็น q ของเหตุการณ์ A น้อยมาก (q≤0.1) และจำนวนการทดลองมีมาก ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น m ครั้งในการทดลอง n ครั้งจะเท่ากับ

โดยที่ λ = M(x) = nq

ในการคำนวณการแจกแจงปัวซอง คุณสามารถใช้ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำต่อไปนี้

การแจกแจงแบบปัวซองมีบทบาทสำคัญในวิธีการประกันคุณภาพทางสถิติ เนื่องจากสามารถใช้เพื่อประมาณการแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริกและทวินามได้

การประมาณดังกล่าวยอมรับได้เมื่อ , โดยมีเงื่อนไขว่า qn มีขีดจำกัดที่แน่นอนและ q<0.1. Когда n →∞, ก พี → 0, เฉลี่ย n พี = t =คอสต์

เมื่อใช้กฎของเหตุการณ์ที่หายาก คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่ตัวอย่าง n อันจะมี: 0,1,2,3 เป็นต้น ชิ้นส่วนที่มีข้อบกพร่องเช่น กำหนด m ครั้ง คุณยังสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นในตัวอย่างชิ้นส่วนที่มีข้อบกพร่องจำนวน m ชิ้นและอีกมากมาย ความน่าจะเป็นนี้ ตามกฎการบวกของความน่าจะเป็น จะเท่ากับ:

ตัวอย่างที่ 1. ชุดประกอบด้วยชิ้นส่วนที่ชำรุดซึ่งเป็นสัดส่วน 0.1 ชิ้นส่วน 10 ชิ้นจะถูกตรวจสอบและตรวจสอบตามลำดับ หลังจากนั้นจะถูกส่งกลับไปยังแบทช์ เช่น การทดสอบเป็นอิสระ ความน่าจะเป็นที่เมื่อตรวจสอบชิ้นส่วน 10 ชิ้น จะพบชิ้นส่วนที่มีข้อบกพร่อง 1 ชิ้นเป็นเท่าใด

การตัดสินใจจากสภาพปัญหา q=0.1; n=10; m=1 แน่นอน p=1-q=0.9

ผลลัพธ์ที่ได้ยังสามารถนำมาประกอบกับกรณีที่มีการถอดชิ้นส่วน 10 ชิ้นในแถวโดยไม่ส่งคืนกลับไปที่แบทช์ ด้วยชุดที่ใหญ่เพียงพอ เช่น 1,000 ชิ้น ความน่าจะเป็นในการแยกชิ้นส่วนจะเปลี่ยนไปเล็กน้อย ดังนั้น ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว การถอดชิ้นส่วนที่มีข้อบกพร่องออกจึงถือเป็นเหตุการณ์ที่ไม่ขึ้นกับผลการทดสอบครั้งก่อน

ตัวอย่างที่ 2ชุดประกอบด้วย 1% ของชิ้นส่วนที่ชำรุด ความน่าจะเป็นที่หากนำตัวอย่าง 50 หน่วยจากชุดหนึ่งๆ จะมีชิ้นส่วนที่ชำรุด 0, 1, 2, 3,4 อยู่เท่าใด

การตัดสินใจ.ที่นี่ q=0.01, nq=50*0.01=0.5

ดังนั้น เพื่อที่จะใช้การแจกแจงปัวซองอย่างมีประสิทธิภาพเป็นการประมาณค่าทวินาม มันจำเป็นที่ความน่าจะเป็นของความสำเร็จ รน้อยลงอย่างเห็นได้ชัด คิว .ก n พี = tเป็นลำดับหนึ่ง (หรือหลายหน่วย)

ดังนั้นในวิธีการประกันคุณภาพทางสถิติ

กฎหมายไฮเปอร์จีโอเมตริกใช้ได้กับตัวอย่างทุกขนาด พี และความไม่ลงรอยกันในระดับใด ถาม ,

กฎทวินามและกฎของปัวซอง เป็นกรณีพิเศษตามลำดับ โดยมีเงื่อนไขว่า n/N<0,1 и

บทนำ

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นวิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษารูปแบบของปรากฏการณ์สุ่ม วันนี้มันเป็นวิทยาศาสตร์ที่เต็มเปี่ยมไปด้วยความสำคัญในทางปฏิบัติ

ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีความน่าจะเป็นย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 17 เมื่อความพยายามครั้งแรกในการศึกษาปัญหาที่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์สุ่มแบบมวลอย่างเป็นระบบและเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องปรากฏขึ้น ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา รากฐานจำนวนมากได้รับการพัฒนาและเจาะลึกถึงแนวคิดปัจจุบัน มีการค้นพบกฎและกฎเกณฑ์ที่สำคัญอื่นๆ นักวิทยาศาสตร์หลายคนทำงานและกำลังทำงานเกี่ยวกับปัญหาของทฤษฎีความน่าจะเป็น

ในหมู่พวกเขาไม่มีใครสนใจผลงานของ Simeon Denis Poisson ((พ.ศ. 2324–2383) - นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส) ซึ่งพิสูจน์ให้เห็นรูปแบบทั่วไปของกฎจำนวนมากมากกว่าของ Jacob Bernoulli และเป็นครั้งแรก ประยุกต์ใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นในการแก้ปัญหาการถ่ายภาพ ชื่อของปัวซองเกี่ยวข้องกับหนึ่งในกฎการกระจาย ซึ่งมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีความน่าจะเป็นและการนำไปใช้

จำนวนเหตุการณ์สุ่มที่เกิดขึ้นต่อหน่วยเวลา เมื่อข้อเท็จจริงของการเกิดเหตุการณ์นี้ในการทดลองหนึ่ง ๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนครั้งและจุดใดของเวลาที่เกิดขึ้นในอดีต และไม่ส่งผลต่อ อนาคต. และการทดสอบจะดำเนินการภายใต้สภาวะที่อยู่นิ่ง กฎของปัวซองมักจะใช้เพื่ออธิบายการแจกแจงของตัวแปรสุ่มดังกล่าว (การแจกแจงนี้ถูกเสนอและเผยแพร่ครั้งแรกโดยนักวิทยาศาสตร์คนนี้ในปี 1837)

กฎนี้ยังสามารถอธิบายได้ว่าเป็นกรณีจำกัดของการแจกแจงแบบทวินาม เมื่อความน่าจะเป็น p ของการเกิดเหตุการณ์ที่เราสนใจในการทดลองครั้งเดียวนั้นน้อยมาก แต่จำนวนการทดลอง m ที่ดำเนินการต่อหน่วยเวลานั้นมากพอ กล่าวคือในกระบวนการหน้า

ดังนั้น กฎของปัวซองจึงมักถูกเรียกว่ากฎของเหตุการณ์หายาก

การแจกแจงปัวซองในทฤษฎีความน่าจะเป็น

ชุดฟังก์ชั่นและการกระจาย

การแจกแจงปัวซองเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงแบบทวินาม (กับ น>> 0 และที่ หน้า–> 0 (เหตุการณ์ที่หายาก))

จากคณิตศาสตร์ เป็นที่ทราบกันดีว่ามีสูตรที่ช่วยให้คุณคำนวณค่าของสมาชิกใดๆ ของการแจกแจงแบบทวินามอย่างคร่าวๆ:

ที่ไหน ก = น · หน้าคือพารามิเตอร์ปัวซอง (ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์) และความแปรปรวนจะเท่ากับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ให้เรานำเสนอการคำนวณทางคณิตศาสตร์เพื่ออธิบายการเปลี่ยนแปลงนี้ กฎการกระจายทวินาม

น = ซี เอ็น ม · น· (1 - หน้า)น – ม

เขียนได้ถ้าเราใส่ หน้า = ก/น, เช่น

เนื่องจาก หน้าน้อยมาก ควรพิจารณาเฉพาะตัวเลขเท่านั้น มขนาดเล็กเมื่อเทียบกับ น. งาน

ใกล้ความสามัคคีมาก เช่นเดียวกับขนาด

ใกล้มาก อี –ก. จากที่นี่เราได้สูตร:

สำหรับฟังก์ชั่นการสร้าง

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นการกระจายสะสมคือ

ตัวอย่างคลาสสิกของตัวแปรสุ่มแบบกระจายปัวซองคือจำนวนรถที่ผ่านส่วนใดๆ ของถนนในช่วงเวลาที่กำหนด คุณยังสามารถสังเกตตัวอย่าง เช่น จำนวนดาวในส่วนของท้องฟ้าตามขนาดที่กำหนด จำนวนข้อผิดพลาดในข้อความตามความยาวที่กำหนด จำนวนการโทรในศูนย์บริการทางโทรศัพท์ หรือจำนวนการโทรถึง เว็บเซิร์ฟเวอร์ในช่วงเวลาที่กำหนด

ชุดการกระจายของตัวแปรสุ่ม X ซึ่งกระจายตามกฎปัวซองมีลักษณะดังนี้:

บนมะเดื่อ 1 แสดงรูปหลายเหลี่ยมของการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ตามกฎของปัวซองซึ่งสอดคล้องกับค่าต่างๆ ของพารามิเตอร์ ก.

ก่อนอื่น ตรวจสอบให้แน่ใจว่าลำดับของความน่าจะเป็นสามารถเป็นอนุกรมการกระจายได้ เช่น ผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมด รมมีค่าเท่ากับหนึ่ง

เราใช้การขยายฟังก์ชัน อดีตในซีรีส์ Maclaurin:

เป็นที่ทราบกันดีว่าอนุกรมนี้ลู่เข้าด้วยค่าใดๆ เอ็กซ์ดังนั้นการ x=ก, เราได้รับ

เพราะเหตุนี้

ลักษณะเชิงตัวเลขของบทบัญญัติเกี่ยวกับการแจกแจงแบบปัวซอง

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลคูณของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็น

ตามนิยาม เมื่อตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องรับชุดค่าที่นับได้:

เทอมแรกของผลรวม (สอดคล้องกัน ม=0 ) เท่ากับศูนย์ ดังนั้น การบวกสามารถเริ่มได้จาก ม=1 :

ดังนั้นพารามิเตอร์ กไม่มีอะไรมากไปกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์.

นอกจากการคาดหมายทางคณิตศาสตร์แล้ว ตำแหน่งของตัวแปรสุ่มยังมีลักษณะเฉพาะด้วยฐานนิยมและค่ามัธยฐาน

โหมดของตัวแปรสุ่มคือค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด

สำหรับปริมาณต่อเนื่อง ฐานนิยมคือจุดสูงสุดเฉพาะที่ของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น หากรูปหลายเหลี่ยมหรือเส้นโค้งการกระจายมีค่าสูงสุดหนึ่งค่า (รูปที่ 2 a) การกระจายจะเรียกว่า unimodal หากมีมากกว่าหนึ่งค่าสูงสุด แสดงว่าเป็น multimodal (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การกระจายที่มีสองโหมดเรียกว่า bimodal) การกระจายที่มีค่าน้อยที่สุดเรียกว่าแอนติโมดอล (รูปที่ 2b)

x สมัย x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x

ค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดของตัวแปรสุ่มคือโหมดที่ให้ค่าความน่าจะเป็นโดยรวมสูงสุดสำหรับตัวแปรสุ่มแบบแยกหรือความหนาแน่นของการกระจายสำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง

ค่ามัธยฐานคือค่า x l ที่แบ่งพื้นที่ใต้กราฟความหนาแน่นของความน่าจะเป็นออกเป็นครึ่งหนึ่ง เช่น ค่ามัธยฐานคือรากของสมการใดๆ ความคาดหมายทางคณิตศาสตร์อาจไม่มีอยู่จริง แต่ค่ามัธยฐานมีอยู่เสมอและอาจไม่ชัดเจน

ค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่ม

ลักษณะเชิงตัวเลขของสเปรด

การกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม X เรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์