Из чего состоит круг. Геометрические фигуры. Полные уроки — Гипермаркет знаний. Что такое геометрическая фигура
Тема урока
Что такое геометрическая фигура
Геометрические фигуры – это совокупность множества точек, линий, поверхностей или тел, которые расположены на поверхности, плоскости или пространстве и формирует конечное количество линий.
Термин «фигура» в какой-то степени формально применяется к множеству точек, но как правило фигурой принято называть такие множества, которые расположенные на плоскости и ограничиваются конечным числом линий.
Точка и прямая - это основные геометрические фигуры, расположенные на плоскости.
К самым простым геометрическим фигурам на плоскости принадлежат - отрезок, луч и ломаная линия.
Что такое геометрия
Геометрия – это такая математическая наука, которая занимается изучением свойств геометрических фигур. Если дословно перевести на русский язык термин «геометрия», то он обозначает «землемерие», так как в стародавние времена основной задачей геометрии, как науки, стало измерение расстояний и площадей на поверхности земли.
Практическое применение геометрии бесценно во все времена и независимо от профессии. Без знаний геометрии не может обойтись ни рабочий, ни инженер, ни архитектор и даже художник.
В геометрии есть такой раздел, который занимается изучением различных фигур на плоскости и называется планиметрия.
Вам уже известно, что фигурой называют произвольное множество точек, находящиеся на плоскости.
К геометрическим фигурам принадлежат: точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, квадрат, круг и другие фигуры, которые изучает планиметрия.
Точка
Из выше изученного материала вам уже известно, что точка относится к главным геометрическим фигурам. И хотя это самая малая геометрическая фигура, но она необходима для построения других фигур на плоскости, чертеже или изображении и является основой для всех остальных построений. Ведь построение более сложноватых геометрических фигур складывается из множества точек, характерных для данной фигуры.
В геометрии точки обозначают прописными буквами латинского алфавита, например, такими, как: А, В, С, D ….
А теперь подведем итог, и так, с математической точки зрения, точка является таким абстрактным объектом в пространстве, который не имеет объема, площади, длины и других характеристик, но остается одним из фундаментальных понятий в математике. Точка – это такой нульмерный объект, которые не имеет определения. По определению Евклида, точкой называют то, что невозможно определить.
Прямая
Как и точка, прямая относится к фигурам на плоскости, которая не имеет определения, так как состоит из бесконечного множества точек, находящихся на одной линии, которая не имеет ни начала ни конца. Можно утверждать, что прямая линия бесконечна и не имеет предела.
Если же прямая начинается и заканчивается точкой, то она уже не является прямой и называется отрезком.
Но иногда прямая, с одной стороны имеет точку, а с другой нет. В таком случае прямая превращается в луч.
Если же взять прямую и на ее средине поставить точку, то она разобьет прямую на два противоположно направленных луча. Данные лучи являются дополнительными.
Если же перед вами несколько отрезков, соединенных между собой так, что конец первого отрезка становиться началом второго, а конец второго отрезка - началом третьего и т. д., и эти отрезки находятся не на одной прямой и при соединении имеют общую точку, то такая цепочка является ломаной линией.
Задание
Какая ломаная линия называется незамкнутой?
Как обозначается прямая?
Как называется ломаная линия, у которой четыре замкнутых звена?
Какое название имеет ломаная линия с тремя замкнутыми звеньями?
Когда конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом 1-го отрезка, то такую ломаную линию называют замкнутой. Примером замкнутой ломаной является любой многоугольник.
Плоскость
Как точка и прямая, так и плоскость является первичным понятием, не имеет определения и у нее нельзя увидеть ни начала, ни конца. Поэтому, при рассмотрении плоскости, мы рассматриваем только ту ее часть, которая ограничивается замкнутой ломаной линией. Таким образом, плоскостью можно считать любую гладкую поверхность. Этой поверхностью может быть лист бумаги или стола.
Угол
Фигура, которая имеет два луча и вершину, называется углом. Место соединения лучей, является вершиной этого угла, а его сторонами считаются лучи, которые этот угол образуют.
Задание:
1. Как в тексте обозначают угол?
2. Какими единицами можно измерить угол?
3. Какие бывают углы?
Параллелограмм
Параллелограмм - это четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.
Прямоугольник, квадрат и ромб являются частными случаями параллелограмма.
Параллелограмм, имеющий прямые углы равные 90 градусам, является прямоугольником.
Квадрат - это тот же параллелограмм, у него и углы и стороны равны.
Что до определения ромба, то это такая геометрическая фигура, все стороны которого равны.
Кроме того, следует знать, что любой квадрат является ромбом, но не каждый ромб может быть квадратом.
Трапеция
При рассмотрении такой геометрической фигуры, как трапеция, можно сказать, что в частности она, как и четырехугольник имеет одну пару параллельных противолежащих сторон и является криволинейной.
Окружность и круг
Окружность - геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.
Треугольник
Также к простым геометрическим фигурам принадлежит и уже изучаемый вами треугольник. Это один из видов многоугольников, у которого часть плоскости ограничена тремя точками и тремя отрезками, которые соединяют эти точки попарно. Любой треугольник имеет три вершины и три стороны.
Задание: Какой треугольник называют вырожденным?
Многоугольник
К многоугольникам относятся геометрические фигуры разных форм, у которых замкнутая ломаная линия.
В многоугольнике все точки, которые соединяют отрезки, являются его вершинами. А отрезки, из которых состоит многоугольник, являются его сторонами.
А известно ли вам, что возникновение геометрии уходит в глубину веков и связано с развитием различных ремесел, культуры, искусства и наблюдением за окружающим миром. Да и название геометрических фигур является тому подтверждением, так как их термины, возникли не просто так, а благодаря своей схожести и подобию.
Ведь термин «трапеция» в переводе с древнегреческого языка от слова «трапезион» обозначает столик, трапеза и другие производные слова.
«Конус» произошел от греческого слова «конос», что в переводе звучит, как сосновая шишка.
«Линия» имеет латинские корни и происходит от слова «линум», в переводе это звучит, как льняная нить.
А знаете ли вы, что если взять геометрические фигуры с одинаковым периметром, то среди них обладателем самой большой площади оказался круг.
Сегодня мы будем делать цыплёнка. Каким цветом цыпленок? Правильно, жёлтый. Из всех кругов выбери только желтые круги. Потом отложи отдельно голубые круги и зеленые.
Сначала просто выкладываем цыплёнка на бумаге без клея, чтобы у малыша было понимание того, что мы делаем, это также поможет избежать ошибок при работе с клеем.
Большой жёлтый круг будет туловищем цыпленка. Куда мы его положим? (предлагаем ребенку самому выбрать место на листе бумаги).
Кружок поменьше будет головой. Где у нашего цыплёнка будет голова? (ребёнок пусть снова сам выберет место, в какую сторону будет смотреть цыплёнок: вверх на небо и солнце или вниз на травку, может он будет клевать зернышки. Помогайте малышу фантазировать, предлагайте варианты. Маленьким можно подсказать, посоветовать, но не настаивайте, пусть он сам сделает выбор)
Где маленький чёрный кружок? Это будет глаз. Маленький треугольник - клюв, два одинаковых треугольника - лапки. Разложи фигуры на свои места.
Чего не хватает нашему цыпленку? Правильно, крыльев! У нас есть ещё 2 жёлтых круга, один мы отложим - это будет солнце, а из второго сделаем крылья. Как ты думаешь, как из одного круга сделать два крыла? (с этим справятся дети от трёх лет. Пусть ребёнок подержит круг в руках, повертит, приложит к бумаге, возможно, у него появится ответ).
Мы разрежем круг напополам. Для этого давай найдем центр круга. Где центр (середина) у круга? (можно дать ребенку карандаш и предложить самому найти и отметить центр с тыльной (не цветной!) стороны листа. Даже если точка не в центре, а где-то рядом, ничего страшного, похвалите кроху! Если ребёнок мал, сделайте все сами, объясняя каждое действие).
Через центр теперь проведем прямую линию, которая разделит круг напополам. По этой линии мы разрежем наш круг на две части. Получилось два крыла (обязательно разрезайте через точку (центр), указанную ребёнком, во-первых, ребёнок будет чувствовать, что его мнение важно для вас и вы прислушиваетесь к нему, а во-вторых - аппликация будет более художественной)
В ходе занятия для детей постарше можно объяснить, что такое полукруг (или вспомнить эту фигуру)
Посмотри, какие фигуры у нас получились. Это фигура называется полукруг. Пол круга - полукруг (повторяем несколько раз и предлагаем повторить название)
Где будут крылышки у нашего цыплёнка?
Цыплёнка выложили на бумаге, теперь можно приклеить его.
Цыплёнок готов.
Давай возьмём большие зелёные круги (или 1 круг) - это будет наша травка. Как ты думаешь, как из круга сделать травку? Правильно, снова разрезать напополам (повторяем шаги, как с крылышками: даём ребёнку отметить центр, разрезаем и приклеиваем снизу). Чтобы травка была натуральнее, можно сделать небольшие надрезы по округлой стороне.
На небо приклеиваем солнышко.
Облака можно сделать разными способами:
1. Наклеить кружки внахлёст, формируя облако. Разный размер кружков сделает форму облака более натуральной.
2. Разрезать круги напополам и также наклеивать внахлёст.
У нас получилось по-другому: Поля захотела сложить круги напополам и приклеить только одну половину круга. Таким образом мы уже делали другие поделки и этот вариант ей понравился.
Когда бумага окончательно высохнет, можно дорисовать солнечные лучи и цветы на травке карандашом. Можно сделать это пластилином. Пусть малыш выбирает сам.
Форма круга является интересной с точки зрения оккультизма, магии и древних значений, придаваемых ей людьми. Все мельчайшие составляющие вокруг нас - атомы и молекулы - имеют круглую форму. Солнце круглое, Луна круглая, наша планета тоже круглая. Молекулы воды - основы всего живого - тоже имеют круглую форму. Даже природа создает свою жизнь в кругах. Например, можно вспомнить про птичье гнездо - птицы вьют его также в этой форме.
Данная фигура в древних помыслах культур
Круг - это символ единства. Он присутствует в разных культурах во многих мельчайших деталях. Мы даже не придаем столько значения этой форме, как это делали наши предки.
Издавна круг - это знак бесконечной линии, который символизирует время и вечность. В дохристианскую эпоху он был древним знаком колеса солнца. Все точки в эквивалентны, линия круга не имеет ни начала, ни конца.
А центр круга был источником бесконечного вращения пространства и времени для масонов. Круг - конец всех фигур, недаром в нем была заключена тайна творения, по мнению масонов. Форма циферблата часов, имеющая тоже такую форму, обозначает собой непременное возвращение в точку отправления.
Эта фигура имеет глубокий магический и мистический состав, которым его наделили многие поколения людей из разных культур. Но что собой представляет круг как фигура в геометрии?
Что такое окружность
Часто понятие круга путают с понятием окружности. Это немудрено, ведь они между собой очень тесно взаимосвязаны. Даже названия их схожи, что вызывает много путаницы в незрелых умах школьников. Чтобы разобраться, «кто есть кто», рассмотрим эти вопросы подробнее.
По определению, окружностью является такая кривая, которая замкнута, и каждая точка которой находится равноудалённо от точки, именуемой центром окружности.
Что необходимо знать и чем уметь пользоваться, чтобы построить окружность
Чтобы построить окружность, достаточно выбрать произвольную точку, которую можно обозначить как О (именно так в большинстве источников именуются центр окружности, не будем отходить от традиционных обозначений). Следующим этапом идет использование циркуля - инструмента для черчения, который состоит из двух частей с закрепленными на каждой из них либо иглой, либо пишущим элементом.
Эти две части соединены между собой шарниром, что позволяет выбирать произвольный радиус в определенных границах, связанных с длиной этих самых частей. С помощью данного прибора в произвольную точку О устанавливается остриё циркуля, а карандашом уже очерчивается кривая, которая из итоге получается окружностью.
Какими величинами характеризуется окружность
Если соединить при помощи линейки центр окружности и любую произвольную точку на кривой, полученной в результате работы циркулем, мы получим Все такие отрезки, именуемые радиусами, будут равны. Если же соединить при помощи линейки прямой линией две точки на окружности и центр, мы получим ее диаметр.
Для окружности также характерно вычисление ее длины. Чтобы ее найти, необходимо знать либо диаметр, либо радиус окружности и воспользоваться формулой, представленной на рисунке ниже.
В этой формуле С - длина окружности, r - радиус окружности, d - диаметр, а число Пи - константа со значением 3,14.
Кстати, константа Пи была вычислена как раз из окружности.
Оказалось, что независимо от того, каков диаметр круга, соотношение длины окружности и диаметра одинаковое, равное примерно 3,14.
В чем же главное отличие круга от окружности
По сути, окружность - это линия. Она не является фигурой, она является кривой замкнутой линией, не имеющей ни конца, ни начала. А то пространство, что расположено внутри нее - это пустота. Простейшим примером окружности выступает обруч или, по-иному, хула-хуп, который дети используют на занятии физической культуры или же взрослые, для того чтобы создать себе стройную талию.
Теперь мы подошли к понятию того, что такое круг. Это в первую очередь фигура, то есть некое множество точек, ограниченных линией. В случае круга этой линией выступает окружность, рассмотренная выше. Выходит, что круг - это окружность, в середине которой не пустота, а множество точек пространства. Если натянуть на хула-хуп ткань, то мы уже не сможем его крутить, ведь он будет уже не окружностью - его пустота замещена тканью, куском пространства.
Перейдем непосредственно к понятию круга
Круг - геометрическая фигура, которая является частью плоскости, ограниченной окружностью. Для него также характерны такие понятия, как радиус и диаметр, рассмотренные выше при определении окружности. И вычисляются они точно таким же образом. Радиус круга и радиус окружности являются идентичными по размеру. Соответственно, длина диаметра тоже аналогична в обоих случаях.
Так как круг является частью плоскости, то для него характерно наличие площади. Вычислить ее можно снова-таки при помощи радиуса и числа Пи. Формула выглядит следующими образом (см. рисунок ниже).
В данной формуле S - площадь, r - радиус круга. Число Пи - снова та же константа, равная 3,14.
Формула круга, для вычисления которой возможно также использовать диаметр, изменяется и принимает вид, представленный на следующем рисунке.
Одна четвертая появляется из того, что радиус - это 1/2 диаметра. Если радиус в квадрате, выходит, что соотношение преобразуется до вида:
r*r = 1/2*d*1/2*d;
Круг - это фигура, в которой можно выделить отдельные части, например сектор. Выглядит он как часть круга, которая ограничена отрезком дуги и его двумя радиусами, проведенными из центра.
Формула, которая позволяет вычислить площадь данного сектора, представлена на нижеследующем рисунке.
Использование фигуры в задачах с многоугольниками
Также круг - геометрическая фигура, которая часто используется в комплекте с другими фигурами. Например, такими как треугольник, трапеция, квадрат или ромб. Нередко встречаются задачи, где нужно найти площадь вписанного круга или, наоборот, описанного вокруг определенной фигуры.
Вписанный круг является таким, который соприкасается со всеми сторонами многоугольника. С каждой стороной любого многоугольника у окружности должна быть точка соприкосновения.
Для определенного вида многоугольника определение радиуса вписанной окружности вычисляется по отдельным правилам, которые доступно объясняются в курсе геометрии.
Можно привести для примера несколько из них. Формула круга, вписанного в многоугольники, может вычисляться следующим образом (ниже на фото приведено несколько примеров).
Несколько простых примеров из жизни, для того чтобы закрепить понимание разницы между кругом и окружностью
Перед нами Если он открыт, то железная каемка люка - это окружность. Если он закрыт, то крышка выступает в роли круга.
Окружностью также можно назвать любое кольцо - золотое, серебряное или бижутерию. Кольцо, которое держит на себе связку ключей, - тоже окружность.
А вот круглый магнит на холодильнике, тарелка или блинчики, испеченные бабушкой, -это круг.
Горлышко бутылки или банки при виде сверху - это окружность, а вот крышка, которая закроет это горлышко, при том же виде сверху является кругом.
Таких примеров можно привести множество, и для усвоения такого материала их нужно приводить, чтобы дети лучше улавливали связь теории с практикой.
Неужели вокруг нас есть много предметов, которые похожие на геометрические фигуры? Да, это правда! В частности, много из них имеют форму круга. Например, цирковая арена, дно кастрюли, мы запросто можем вырезать его из ткани или картона.
Рассмотрим, что такое круг
Фигура, которая ограничена окружностью. Она имеет центр, поэтому все точки, которые расположены от центра до окружности, являются плоскостью круга. Радиус круга – это расстояние от его центра до окружности.
Многие не различают, что такое окружность и круг. Окружность у нас получится, если мы обведем стакан, а также мы можем выложить ее из нитки. Все точки плоскости, которые размещены на одинаковом расстоянии от данной точки, образуют фигуру, которая называется окружностью. Если соединить две точки окружности, то мы получим отрезок, который называется хордой. Если хорда будет проходить через центр окружности, то мы уже ее назовем диаметром, который равняется двум радиусам. Круг может разбиваться на сектора с помощью двух радиусов. А на сегменты круг делит хорда.
Оглянитесь! И вы увидите вокруг себя круг и окружность! Нужно только немножко фантазии.