Całki oznaczone to pole figury ograniczonej. Jak obliczyć powierzchnię figury płaskiej za pomocą całki podwójnej? VII. Praca domowa

Korzystając z całki oznaczonej, można obliczyć pola figur płaskich, ponieważ problem ten zawsze sprowadza się do obliczenia pól trapezów krzywoliniowych.

Obszar dowolnej figury w prostokątnym układzie współrzędnych może składać się z obszarów trapezów krzywoliniowych przylegających do osi Oh lub do osi OU.

Wygodne jest rozwiązywanie problemów obliczania powierzchni figur płaskich według następującego planu:

1. W zależności od stanu problemu wykonaj schematyczny rysunek

2. Przedstaw żądany obszar jako sumę lub różnicę pól trapezów krzywoliniowych. Z warunków zadania i rysunku wyznaczane są granice całkowania dla każdej składowej trapezu krzywoliniowego.

3. Napisz każdą funkcję jako y = f(x).

4. Oblicz obszar każdego trapezu krzywoliniowego i obszar pożądanej figury.

Rozważ kilka opcji lokalizacji figur.

jeden). Niech na segmencie [ a; b] funkcja f(x) przyjmuje wartości nieujemne. Następnie wykres funkcji y = f(x) znajduje się nad osią Oh.

S=

2). Niech na segmencie [ a; b] niedodatnia funkcja ciągła f(x). Następnie wykres funkcji y = f(x) znajduje się pod osią Oh:

Powierzchnia takiej figury jest obliczana według wzoru: S=-

Powierzchnia takiej figury jest obliczana według wzoru: S=

cztery). Niech na segmencie [ a; b] funkcja f(x) przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne. Następnie segment [ a; b] należy podzielić na takie części, w których funkcja nie zmienia znaku, a następnie korzystając z powyższych wzorów obliczyć obszary odpowiadające tym częściom i dodać znalezione obszary.

S 1 \u003d S 2 \u003d - S f \u003d S 1 + S 2

W rzeczywistości, aby znaleźć obszar figury, nie potrzebujesz tak dużej wiedzy o całce nieoznaczonej i oznaczonej. Zadanie „oblicz pole za pomocą całki oznaczonej” zawsze wiąże się z budową rysunku, więc Twoja wiedza i umiejętności rysowania będą o wiele bardziej istotnym zagadnieniem. W związku z tym warto odświeżyć pamięć wykresów głównych funkcji elementarnych i przynajmniej móc zbudować linię prostą i hiperbolę.

Trapez krzywoliniowy to płaska figura ograniczona osią, liniami prostymi i wykresem funkcji ciągłej na odcinku, który nie zmienia znaku na tym odcinku. Niech ta figura zostanie zlokalizowana nie mniej odcięta:

Następnie obszar trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równy pewnej całce. Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne.

Pod względem geometrii całka oznaczona to POWIERZCHNIA.

To znaczy, całka oznaczona (jeśli istnieje) odpowiada geometrycznie powierzchni jakiejś figury. Rozważmy na przykład całkę oznaczoną . Całka określa krzywą na płaszczyźnie, która znajduje się nad osią (chętni mogą uzupełnić rysunek), a sama całka oznaczona jest liczbowo równa powierzchni odpowiedni trapez krzywoliniowy.

Przykład 1

To jest typowa instrukcja zadania. Pierwszym i najważniejszym momentem decyzji jest budowa rysunku. Ponadto rysunek musi być zbudowany PRAWO.

Podczas budowania planu polecam następującą kolejność: pierwszy lepiej skonstruować wszystkie linie (jeśli są) i tylko po- parabole, hiperbole, wykresy innych funkcji. Tworzenie wykresów funkcji jest bardziej opłacalne punktowo.

W tym problemie rozwiązanie może wyglądać tak.
Zróbmy rysunek (zauważ, że równanie definiuje oś):

Na segmencie znajduje się wykres funkcji nad osią, dlatego:

Odpowiadać:

Po zakończeniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku "na oko" liczymy ilość komórek na rysunku - cóż, zostanie wpisane około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkiem jasne, że gdybyśmy mieli, powiedzmy, odpowiedź: 20 jednostki kwadratowe, to oczywiście gdzieś popełniono błąd - 20 komórek wyraźnie nie pasuje do omawianej figury, co najwyżej tuzin. Jeśli odpowiedź okazała się negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Przykład 3

Oblicz obszar figury ograniczony liniami i osiami współrzędnych.

Rozwiązanie: Zróbmy rysunek:

Jeśli znajduje się trapez krzywoliniowy pod osią(Lub przynajmniej nie wyżej podaną oś), to jej pole można obliczyć wzorem:

W tym przypadku:

Uwaga! Nie myl tych dwóch rodzajów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, to może być ona ujemna.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, to obszar jest zawsze dodatni! Dlatego w rozważanej formule pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.

Przykład 4

Znajdź obszar płaskiej figury ograniczony liniami , .

Rozwiązanie: Najpierw musisz uzupełnić rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w zadaniach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia linii. Znajdźmy punkty przecięcia paraboli i prostej. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy sposób jest analityczny. Rozwiązujemy równanie:

Stąd dolna granica integracji , górna granica integracji .

Jeśli to możliwe, najlepiej nie używać tej metody..

O wiele bardziej opłacalne i szybsze jest budowanie linii punkt po punkcie, a granice integracji odkrywa się „samo z siebie”. Niemniej jednak, analityczna metoda znajdowania granic nadal czasami musi być stosowana, jeśli na przykład wykres jest wystarczająco duży lub konstrukcja gwintowana nie ujawniła granic integracji (mogą być ułamkowe lub nieracjonalne). I rozważymy również taki przykład.

Wracamy do naszego zadania: bardziej racjonalnie jest najpierw skonstruować linię prostą, a dopiero potem parabolę. Zróbmy rysunek:

A teraz działająca formuła: Jeśli w interwale jest jakaś ciągła funkcja większe lub równe jakaś funkcja ciągła, to obszar figury ograniczony wykresami tych funkcji i liniami prostymi można znaleźć za pomocą wzoru:

Tutaj nie trzeba już zastanawiać się, gdzie znajduje się figura - nad osią lub pod osią i, z grubsza mówiąc, ma znaczenie, który wykres jest POWYŻEJ(w stosunku do innego wykresu), a który jest PONIŻEJ.

W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej i dlatego konieczne jest odjęcie od

Zakończenie rozwiązania może wyglądać tak:

Pożądana figura jest ograniczona parabolą od góry i prostą linią od dołu.
Na segmencie , zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiadać:

Przykład 4

Oblicz obszar figury ograniczony liniami , , , .

Rozwiązanie: Najpierw zróbmy rysunek:

Postać, której obszar musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko.(uważnie spójrz na stan - jak liczba jest ograniczona!). Ale w praktyce, z powodu nieuwagi, często pojawia się „usterka”, w której musisz znaleźć obszar sylwetki zacieniony na zielono!

Ten przykład jest również przydatny, ponieważ w nim obszar figury jest obliczany za pomocą dwóch całek oznaczonych.

Naprawdę:

1) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres linii prostej;

2) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres hiperboli.

Jest całkiem oczywiste, że obszary można (i należy) dodać, dlatego:

Instrukcja

Podczas wykreślania dwóch danych funkcji w obszarze ich przecięcia powstaje figura zamknięta, ograniczona tymi krzywymi i dwiema liniami prostymi x=a i x=b, gdzie a i b są końcami rozważanego przedziału. Ta figura jest wyświetlana wizualnie za pomocą obrysu. Jego powierzchnię można obliczyć przez całkowanie różnicy funkcji.

Funkcja położona wyżej na wykresie jest wartością większą, dlatego we wzorze jej wyrażeniem będzie pierwsze: S = ∫f1 - ∫f2, gdzie f1 > f2 na przedziale [a, b]. Biorąc jednak pod uwagę, że ilość dowolnego obiektu geometrycznego jest wartością dodatnią, można obliczyć obszar figury, wykresy funkcji, modulo:
S = |∫f1 – ∫f2|.

Ta opcja jest tym wygodniejsza, jeśli nie ma możliwości ani czasu na zbudowanie wykresu. Przy obliczaniu stosuje się regułę Newtona-Leibniza, która polega na zastąpieniu wartości granicznych przedziału wynikiem końcowym. Wówczas pole powierzchni figury jest równe różnicy między dwiema wartościami funkcji pierwotnej, stwierdzonymi na etapie całkowania, od większego F(b) i mniejszego F(a).

Czasami zamkniętą figurę na danym przedziale tworzy pełne przecięcie, tj. końce przedziału to punkty należące do obu krzywych. Na przykład: znajdź punkty przecięcia linii y \u003d x / 2 + 5 i y \u003d 3 x - x² / 4 + 3 i oblicz obszar.

Rozwiązanie.
Aby znaleźć punkty przecięcia, napisz równanie:
x / 2 + 5 \u003d 3 x - x² / 4 + 3 → x² - 10 x + 8 \u003d 0
D \u003d 100 - 64 \u003d 36 → x1,2 \u003d (10 ± 6) / 2.

Znalazłeś więc końce przedziału całkowania:
S \u003d |∫ (3 x - x² / 4 + 3 - x / 2 - 5)dx | \u003d | (5 x² / 4 - x³ / 12 - 2 x) | 59.

Rozważ inny przykład: y1 = √(4 x + 5); y2 \u003d x i podano równanie linii prostej x \u003d 3.
W tym zadaniu podany jest tylko jeden koniec przedziału x=3. Oznacza to, że z wykresu należy znaleźć drugą wartość. Wykreśl linie podane przez funkcje y1 i y2. Oczywiście, x=3 to górna granica, więc trzeba zdefiniować dolną granicę. Aby to zrobić, zrównaj wyrażenia:
√(4 x + 5) = x²
4 x + 5 = x² → x² - 4 x - 5 = 0

Znajdź pierwiastki równania:
D \u003d 16 + 20 \u003d 36 → x1 \u003d 5; x2 = -1.
Spójrz na wykres, dolna wartość przedziału to -1. Ponieważ y1 znajduje się powyżej y2, to:
S \u003d ∫ (√ (4 x + 5) - x) dx w przedziale [-1; 3].
S \u003d (1/3 √ ((4 x + 5) ³) - x² / 2) \u003d 19.

Źródła:

• znajdź obszar figury ograniczony wykresem funkcji

Wskazówka 2: Jak obliczyć powierzchnię ​postaci ograniczonej liniami

Instrukcja

Oblicz punkty przecięcia tych linii. Aby to zrobić, potrzebujesz ich funkcji, w których y będzie wyrażone jako x1 i x2. Napisz układ równań i rozwiąż go. Znalezione x1 i x2 są odciętymi punktami, których potrzebujesz. Zastąp je w oryginale dla każdego x i znajdź wartości rzędnych. Teraz masz punkty przecięcia linii.

Konstruuj przecinające się linie zgodnie z ich funkcjami. Jeśli figura okazuje się być otwarta, to w większości przypadków jest ona również ograniczona osią odciętą lub rzędną lub obiema osiami współrzędnych jednocześnie (w zależności od wynikowej figury).

Odcień powstały kształt. Jest to standardowa technika obsługi takich zadań. Kreskowanie odbywa się od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu za pomocą linii rozmieszczonych w równych odległościach. Wygląda to na pierwszy rzut oka niezwykle trudne, ale jeśli się nad tym zastanowić, to zawsze jest tak samo i pamiętając je, można później pozbyć się problemów związanych z obliczaniem powierzchni.

Oblicz powierzchnię figury w zależności od jej . Jeśli kształt jest prosty (np. kwadrat, trójkąt, romb i inne), użyj podstawowych wzorów z kursu geometrii. Zachowaj ostrożność podczas obliczania, ponieważ nieprawidłowe obliczenia nie przyniosą pożądanego rezultatu, a cała praca może pójść na marne.

Wykonuj złożone obliczenia formuł, jeśli liczba nie jest standardowa. Aby sformułować formułę, oblicz całkę z różnicy formuł funkcji. Aby znaleźć całkę, możesz użyć wzoru Newtona-Leibniza lub głównego twierdzenia analizy. Składa się z tego, że: jeśli funkcja f jest ciągła na odcinku od a do b i ɸ jest jej pochodną na tym odcinku, to zachodzi następująca równość: całka od a do b z f(x)dx = F(b ) - F(a) .

Geometryczne znaczenie całki oznaczonej to obszar trapezu krzywoliniowego. Aby znaleźć obszar figury ograniczony liniami, wykorzystuje się jedną z właściwości całki, która polega na addytywności obszarów zintegrowanych na tym samym segmencie funkcji.

Instrukcja

Wówczas obszar figury można wyrazić wzorem całkującym różnicę funkcji na przedziale. Całka jest obliczana zgodnie z prawem Newtona-Leibniza, zgodnie z którym wynik jest równy różnicy funkcji pierwotnej od wartości granicznych przedziału.

Przykład 1.
Znajdź obszar figury ograniczony liniami prostymi y = -1/3 x - ½, x = 1, x = 4 i parabolą y = -x² + 6 x - 5.

Rozwiązanie.
Wykreśl wszystkie linie. Widać, że linia paraboli znajduje się powyżej linii prostej y = -1/3 x - ½. Dlatego pod znakiem całki w tym przypadku powinna znajdować się różnica między równaniem paraboli a daną linią prostą. Przedział całkowania wynosi odpowiednio między punktami x = 1 i x = 4:
S \u003d ∫ (-x² + 6 x - 5 - (-1/3 x - 1/2)) dx \u003d (-x² + 19/3 x - 9/2) dx na segmencie.

Znajdź funkcję pierwotną dla wynikowej całki:
F(-x² + 19/3x - 9/2) = -1/3x³ + 19/6x² - 9/2x.

Zastąp wartości końców segmentu:
S = (-1/3 4³ + 19/6 4² - 9/2 4) - (-1/3 1³ + 19/6 1² - 9/2 1) = 13.

Przykład2.
Oblicz obszar figury ograniczony liniami y = √(x + 2), y = x i linią x = 7.

Rozwiązanie.
To zadanie jest trudniejsze niż poprzednie, ponieważ nie ma drugiej prostej równoległej do osi x. Oznacza to, że druga wartość graniczna całki jest nieokreślona. Dlatego należy go znaleźć na wykresie. Zbuduj podane linie.

Zobaczysz, że linia prosta y = x biegnie ukośnie względem osi współrzędnych. A wykres funkcji pierwiastka jest dodatnią połową paraboli. Oczywiście linie na wykresie przecinają się, więc punkt przecięcia będzie dolną granicą całkowania.

Znajdź punkt przecięcia, rozwiązując równanie:
x = √(x + 2) → x² = x + 2 → x² - x - 2 = 0.

Określ korzenie równanie kwadratowe za pomocą dyskryminatora:
D = 9 → x1 = 2; x2 = -1.

Oczywiście wartość -1 nie jest odpowiednia, ponieważ odcięta prądów krzyżujących jest wartością dodatnią. Zatem druga granica całkowania wynosi x = 2. Funkcja y = x na wykresie jest wyższa niż funkcja y = √(x + 2), więc będzie pierwszą w całce.
Zintegruj wynikowe wyrażenie w przedziale i znajdź obszar figury:
S = ∫(x - √(x + 2))dx = (x²/2 – 2/3 (x + 2)^(3/2)).

Zastąp wartości interwału:
S \u003d (7² / 2 - 2/3 9 ^ (3/2)) - (2² / 2 - 2/3 4 ^ (3/2)) \u003d 59/6.

Źródła:

• znajdź obszar ograniczony liniami

Wskazówka 4: Jak obliczyć powierzchnię figury ograniczonej parabolą?

Z kursu szkolnego wiadomo też, że do odnalezienia obszarów figur na płaszczyźnie współrzędnych niezbędna jest znajomość takiego pojęcia, jak całka. Aby użyć go do wyznaczenia obszarów trapezów krzywoliniowych - tak właśnie nazywają się te figury - wystarczy znać pewne algorytmy.

Klasa: 11

Prezentacja na lekcję

Wstecz do przodu

Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie do celów informacyjnych i może nie przedstawiać pełnego zakresu prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Cele Lekcji: wyprowadzić wzór do obliczania powierzchni figur płaskich za pomocą całki oznaczonej; wyrobić umiejętność obliczania powierzchni figur płaskich za pomocą pewnej całki; powtarzać znane i zgłaszać nowe informacje z historii rachunku całkowego; przygotowanie do egzaminu; kontynuuj pracę nad rozwojem uwagi, mowy, logiczne myślenie, dokładność zapisu; poprawić kulturę graficzną; kontynuować prace rozwojowe kreatywność studenci; zwiększyć zainteresowanie nauką matematyki;

Ekwipunek: rzutnik multimedialny, ekran, prezentacja na dany temat, opracowana w środowisku Power Point.

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny, przesłanie tematu i celu lekcji.

II. Sprawdzam pracę domową.

Sprawdzanie dodatkowej pracy domowej (nauczyciel pokazuje rozwiązanie na wcześniej przygotowanym rysunku, rozwiązanie znajduje się na odwrocie tablicy):

Oblicz pole figury ograniczone wykresami funkcji y = 1+ 3cos(x/2), x = -π/2, x = 3π/2, y = 0

III. Aktualizacja podstawowej wiedzy.

1. Praca ustna(Slajdy 3-4)

1. Wyraź za pomocą całki powierzchniowej z figur pokazanych na rysunkach:
2. Oblicz całki:

2. Trochę historii. ( Slajdy 5-9)

Fragment projektu komputerowego studentów na temat „Z historii rachunku całkowego”.

1 student

Całka- jedno z najważniejszych pojęć matematycznych, które powstało w związku z potrzebą z jednej strony znajdowania funkcji przez ich pochodne, a z drugiej mierzenia powierzchni, objętości, długości łuków, pracy sił nad określony czas itp.

Ukuto samo słowo całka I. Bernoulli(1690). Pochodzi z łaciny liczba całkowita, tłumaczy się jako przywracanie do poprzedniego stanu, przywracanie.

Inne terminy związane z rachunkiem całkowym, które znasz, pojawiły się znacznie później. Nazwa w użyciu funkcja pierwotna zastąpił wcześniejszy „pierwotna funkcja” wprowadzony przez Josepha Louisa Lagrange(1797). łacińskie słowo prymitywizm tłumaczy się jako „początkowy”.

Pojawienie się problemów rachunku całkowego wiąże się ze znajdowaniem pól i objętości. Szereg tego rodzaju problemów rozwiązali matematycy starożytna Grecja. Pierwszą znaną metodą obliczania całek jest metoda wyczerpywania eudoksyjnego ( o 370 pne BC), którzy próbowali znaleźć obszary i objętości, dzieląc je na nieskończoną liczbę części, dla których obszar lub objętość jest już znana. Ta metoda została podjęta i rozwinięta przez Archimedesa i została wykorzystana do obliczenia pól parabol i przybliżenia pola koła.

Archimedes nie wyodrębnił jednak ogólnej treści metod całkowania i koncepcji całki, a tym bardziej nie stworzył algorytmu rachunku całkowego.

Prace Archimedesa, stworzone po raz pierwszy w 1544 roku, były jednym z najważniejszych punktów wyjścia do rozwoju rachunku całkowego.

2 studentów

Pojęcie całki jest bezpośrednio związane z rachunkiem całkowym - działem matematyki zajmującym się badaniem całek, ich własności i metod obliczeniowych.

Bliższe i dokładniejsze podejście do koncepcji całki Izaak Newton. Jako pierwszy zbudował rachunek różniczkowy i całkowy i nazwał go „Metodą fluktuacji...” (1670-1671, wyd. 1736). Ilości zmienne zwane Newtonem biegle(wartości bieżące, od lat. fluo - przepływ). Szybkość zmiany biegłości Newtona wynosi fluksje, a nieskończenie małe zmiany płynne wymagane do obliczenia fluktuacji to „ chwile„(Leibniz nazwał je różniczkami). W ten sposób Newton położył podwaliny pod koncepcje strumieni (pochodna) i płynności (pierwotna lub całka nieoznaczona).

To natychmiast umożliwiło rozwiązywanie różnorodnych problemów matematycznych i fizycznych.

Równolegle z Newtonem na podobne pomysły wpadł inny wybitny naukowiec - Gottfried Wilhelm Leibniz.

Zastanawiając się nad pytaniami filozoficznymi i matematycznymi, Leibniz nabrał przekonania, że ​​matematyka może stać się najbardziej niezawodnym sposobem poszukiwania i znajdowania prawdy w nauce. Znak integralny (∫) został po raz pierwszy użyty przez Leibniza pod koniec XVII wieku. Ten symbol powstał z litery S - skrótu słowa łac. summa(suma).

Newton i Leibniz opracowali dwie interpretacje pojęcia zwykłej całki oznaczonej.

Newton zinterpretował całkę oznaczoną jako różnicę między odpowiednimi wartościami funkcji pierwotnej:

,
gdzie F`(x)=f(x).

Dla Leibniza całka oznaczona była sumą wszystkich różniczek nieskończenie małych.

Formuła, którą niezależnie odkryli Newton i Leibniz, została nazwana Wzór Newtona-Leibniza.

W ten sposób pojęcie całki wiązano z nazwiskami znanych naukowców: Newtona, Leibniza, Bernoulliego, którzy położyli podwaliny pod nowoczesną analizę matematyczną.

IV. Wyjaśnienie nowego materiału.

Korzystając z całki, można obliczyć powierzchnię nie tylko trapezów krzywoliniowych, ale także figur płaskich o bardziej złożonym typie.

Niech postać P ograniczone do prostych X = a, x = b i wykresy funkcji tak = f(x) oraz tak = g(x) oraz na odcinku [ a;b] g(x)f(x).

Aby obliczyć powierzchnię figury, będziemy się spierać w następujący sposób. Wykonaj równoległe tłumaczenie figury P na m jednostki w górę tak, aby postać P okazało się, że znajduje się w płaszczyźnie współrzędnych nad osią x.

Teraz jest ograniczony powyżej i poniżej wykresami funkcji tak = f(x)+m oraz

tak = g(x)+m, a obie funkcje są ciągłe i nieujemne na odcinku [ a;b].

Oznaczmy wynikową liczbę ABCD. Jego obszar można znaleźć jako różnicę między obszarami figur:

S ABCD = S aDCb - S aABb = =
=

Tak więc obszar figury S, ograniczony liniami prostymi X = a, x = b i wykresy funkcji tak = f(x) oraz tak = g(x), ciągła na odcinku [ a;b] i takie, że dla wszystkich X z segmentu [ a;b] g(x)f(x) jest obliczana ze wzoru

Przykład.(Slajd 11) Oblicz obszar figury ograniczony liniami tak = x, tak = 5 – x, x = 1, x = 2.

Wybierz spośród tych formuł do obliczania powierzchni figury, która pasuje do jednego z sześciu rysunków. (Slajd 14)

Zadanie 3.(Slajd 15) Oblicz obszar figury ograniczony wykresem funkcji tak = 0,5x 2+ 2, styczna do tego wykresu w punkcie z odciętą X= -2 i bezpośredni X = 0.

1. Ułóż równanie stycznej do wykresu funkcji tak = 0,5x 2+ 2 w miejscu z odciętą X = -2:

tak = f(x0) + f"(x0)(x-x0)
f(-2) = 0,5∙(-2) 2 + 2 = 4
f"(x) = (0,5x 2 + 2)"= x
f"(-2) = -2
tak = 4 – 2(x + 2)
tak = -2x

2. Zbudujmy wykresy funkcji.

3. Znajdź obszar figury ABC.

VI. Zreasumowanie.

• wzór do obliczania powierzchni figur płaskich;
• pisanie wzorów na powierzchnie figur płaskich za pomocą całki oznaczonej;
• powtórzenie równania stycznej do wykresu funkcji i rozwiązanie równania z modułem;
• ocenianie uczniów.

VII. Praca domowa.

1. s. 4 s. 228-230;
2. #1025(c, d), #1037(c, d), #1038(c, d)

podręcznik: A.G. Mordkovich „Algebra i początek analizy 10–11”

26. Obliczanie pól figur płaskich za pomocą całki oznaczonej

Definicja 1.Trapez krzywoliniowy generowane przez wykres funkcji nieujemnej f na segmencie figura ograniczona segmentem nazywa się
oś odciętych, odcinki linii prostej
,
i wykres funkcji
na
.

1. Podzielmy segment
punkty na częściowe segmenty.

2. W każdym segmencie
(gdzie k=1,2,...,n) wybierz dowolny punkt .

3. Oblicz pola prostokątów, których podstawy mają segmenty
osie odcięte, a wysokości mają długość
. Wtedy pole schodkowej figury utworzonej przez te prostokąty jest równe
.

Zauważ, że im mniejsza długość segmentów cząstkowych, tym bardziej schodkowa figura znajduje się bliżej danego trapezu krzywoliniowego. Dlatego naturalne jest podanie następującej definicji.

Definicja 2.Obszar trapezu krzywoliniowego, generowane przez wykres funkcji nieujemnej f na segmencie
, granica jest nazywana (ponieważ długości wszystkich odcinków częściowych mają tendencję do 0) obszarów figur schodkowych, jeżeli:

1) ta granica istnieje i jest skończona;

2) nie zależy od sposobu podziału segmentu
na częściowe segmenty;

3) nie zależy od wyboru punktów
.

Twierdzenie 1.Jeśli funkcja
ciągła i nieujemna na segmencie
, a następnie trapez krzywoliniowyF,generowane przez wykres funkcjifna
, ma powierzchnię, którą oblicza się ze wzoru
.

Za pomocą całki oznaczonej można obliczyć powierzchnie figur płaskich i bardziej złożonej formy.

Jeśli f oraz g- ciągła i nieujemna na segmencie
funkcje i dla wszystkich x z segmentu
nierówności
, to obszar figury F, ograniczone liniami prostymi
,
i wykresy funkcji
,
, oblicza się według wzoru
.

Komentarz. Jeśli odrzucimy warunek nieujemności funkcji f oraz g, ostatnia formuła pozostaje prawdziwa.

Temat 9. Równania różniczkowe

27. Pojęcie równania różniczkowego. Rozwiązanie ogólne i szczególne. Problem Cauchy'ego. Problem budowy matematycznego modelu procesu demograficznego

Teoria równań różniczkowych powstała pod koniec XVII wieku pod wpływem potrzeb mechaniki i innych nauk przyrodniczych, zasadniczo równocześnie z rachunkiem całkowym i różniczkowym.

Definicja 1.n-tego rzędu jest równaniem postaci, w której
- nieznana funkcja.

Definicja 2. Funkcjonować
nazywa się rozwiązaniami równania różniczkowego na przedziale I, jeśli po podstawieniu tej funkcji i jej pochodnych równanie różniczkowe staje się identycznością.

Rozwiąż równanie różniczkowe jest znalezienie wszystkich rozwiązań.

Definicja 3. Nazywa się wykres rozwiązywania równania różniczkowego krzywa całkowa równanie różniczkowe.

Definicja 4.Równanie różniczkowe zwyczajne 1-tego rzędu nazywa się równaniem postaci
.

Definicja 5. Wpisz równanie
nazywa równanie różniczkowe 1-tego rzędu,dozwolone w odniesieniu do pochodnej.

Z reguły każde równanie różniczkowe ma nieskończenie wiele rozwiązań. Aby z całości wszystkich rozwiązań wyodrębnić jedno rozwiązanie, należy postawić dodatkowe warunki.

Definicja 6. Dobry stan!
, nałożony na rozwiązanie równania różniczkowego pierwszego rzędu, nazywa się stan początkowy, lub Warunek Cauchyego.

Geometrycznie oznacza to, że odpowiednia krzywa całkowa przechodzi przez punkt
.

Definicja 7.Ogólne rozwiązanie Równanie różniczkowe pierwszego rzędu
na płaskim terenie D nazywana jest jednoparametrową rodziną funkcji
, spełniające warunki:

1) dla każdego
funkcjonować
jest rozwiązaniem równania;

2) za każdy punkt
istnieje wartość parametru
że odpowiednia funkcja
jest rozwiązaniem równania spełniającym warunek początkowy
.

Definicja 8. Rozwiązanie otrzymane z rozwiązania ogólnego dla pewnej wartości parametru nazywa się prywatna decyzja równanie różniczkowe.

Definicja 9.specjalne rozwiązanie Równanie różniczkowe to dowolne rozwiązanie, którego nie można uzyskać z rozwiązania ogólnego dla żadnej wartości parametru.

Rozwiązywanie równań różniczkowych jest bardzo trudnym zadaniem i ogólnie rzecz biorąc, im wyższy rząd równania, tym trudniej wskazać sposoby rozwiązania równania. Nawet w przypadku równań różniczkowych pierwszego rzędu tylko w niewielkiej liczbie szczególnych przypadków można wskazać metody znalezienia rozwiązania ogólnego. Co więcej, w tych przypadkach pożądane rozwiązanie nie zawsze jest funkcją elementarną.

Jednym z głównych problemów w teorii równań różniczkowych, po raz pierwszy zbadanym przez O. Cauchy'ego, jest znalezienie rozwiązania równania różniczkowego, które spełnia dane warunki początkowe.

Na przykład, czy zawsze istnieje rozwiązanie równania różniczkowego?
, spełniający warunek początkowy
i czy będzie jedyny? Ogólnie rzecz biorąc, odpowiedź brzmi nie. Rzeczywiście, równanie
, którego prawa strona jest ciągła na całej płaszczyźnie, ma rozwiązania tak=0 i tak=(x+C) 3 ,CR . Dlatego przez dowolny punkt osi O X przechodzi przez dwie integralne krzywe.

W związku z tym funkcja musi spełniać pewne wymagania. Poniższe twierdzenie zawiera jeden z wariantów warunków wystarczających istnienia i jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego:
, spełniający warunek początkowy
.