Παράγωγος συνάρτησης. Αναλυτική θεωρία με παραδείγματα. Παράγωγος φυσικού λογάριθμου και λογάριθμος για τη βάση ενός παράγωγου λογάριθμου nat

Σύνθετα παράγωγα. Λογαριθμική παράγωγος.
Παράγωγος συνάρτησης ισχύος-εκθετικής

Συνεχίζουμε να βελτιώνουμε την τεχνική μας διαφοροποίησης. Σε αυτό το μάθημα, θα ενοποιήσουμε το υλικό που καλύψαμε, θα εξετάσουμε πιο σύνθετες παραγώγους και επίσης θα εξοικειωθούμε με νέες τεχνικές και κόλπα για την εύρεση μιας παραγώγου, ιδίως με τη λογαριθμική παράγωγο.

Όσοι αναγνώστες έχουν χαμηλό επίπεδο προετοιμασίας θα πρέπει να ανατρέξουν στο άρθρο Πώς να βρείτε το παράγωγο; Παραδείγματα λύσεων, που θα σας επιτρέψει να ανεβάσετε τις δεξιότητές σας σχεδόν από την αρχή. Στη συνέχεια, πρέπει να μελετήσετε προσεκτικά τη σελίδα Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης, κατανοήστε και επιλύστε Ολατα παραδείγματα που έδωσα. Αυτό το μάθημα είναι λογικά το τρίτο στη σειρά και αφού το κατακτήσετε θα διαφοροποιήσετε με σιγουριά αρκετά περίπλοκες συναρτήσεις. Δεν είναι επιθυμητό να παίρνουμε τη θέση του «Πού αλλού; Φτάνει!», αφού όλα τα παραδείγματα και οι λύσεις προέρχονται από πραγματικά τεστ και συναντώνται συχνά στην πράξη.

Ας ξεκινήσουμε με την επανάληψη. Στο μάθημα Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησηςΕξετάσαμε μια σειρά από παραδείγματα με λεπτομερή σχόλια. Κατά τη διάρκεια της μελέτης του διαφορικού λογισμού και άλλων κλάδων της μαθηματικής ανάλυσης, θα πρέπει να διαφοροποιείτε πολύ συχνά και δεν είναι πάντα βολικό (και όχι πάντα απαραίτητο) να περιγράφετε παραδείγματα με μεγάλη λεπτομέρεια. Επομένως, θα εξασκηθούμε στην εύρεση παραγώγων προφορικά. Οι πιο κατάλληλοι "υποψήφιοι" για αυτό είναι παράγωγοι των απλούστερων πολύπλοκων συναρτήσεων, για παράδειγμα:

Σύμφωνα με τον κανόνα της διαφοροποίησης των σύνθετων συναρτήσεων :

Κατά τη μελέτη άλλων θεμάτων matan στο μέλλον, μια τόσο λεπτομερής καταγραφή τις περισσότερες φορές δεν απαιτείται· θεωρείται ότι ο μαθητής ξέρει πώς να βρει τέτοια παράγωγα στον αυτόματο πιλότο. Ας φανταστούμε ότι στις 3 η ώρα το πρωί χτύπησε το τηλέφωνο και μια ευχάριστη φωνή ρώτησε: «Ποια είναι η παράγωγος της εφαπτομένης δύο Χ;» Αυτό θα πρέπει να ακολουθείται από μια σχεδόν άμεση και ευγενική απάντηση: .

Το πρώτο παράδειγμα θα προορίζεται αμέσως για ανεξάρτητη λύση.

Παράδειγμα 1

Βρείτε τα παρακάτω παράγωγα προφορικά, σε μία ενέργεια, για παράδειγμα: . Για να ολοκληρώσετε την εργασία χρειάζεται μόνο να χρησιμοποιήσετε πίνακας παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων(αν δεν το θυμηθήκατε ακόμα). Εάν αντιμετωπίζετε δυσκολίες, σας συνιστώ να διαβάσετε ξανά το μάθημα Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος

Σύνθετα παράγωγα

Μετά την προκαταρκτική προετοιμασία του πυροβολικού, τα παραδείγματα με 3-4-5 φωλιές λειτουργιών θα είναι λιγότερο τρομακτικά. Τα ακόλουθα δύο παραδείγματα μπορεί να φαίνονται περίπλοκα σε κάποιους, αλλά αν τα καταλάβετε (κάποιος θα υποφέρει), τότε σχεδόν όλα τα άλλα στον διαφορικό λογισμό θα φαίνονται σαν παιδικό αστείο.

Παράδειγμα 2

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Όπως έχει ήδη σημειωθεί, κατά την εύρεση της παραγώγου μιας σύνθετης συνάρτησης, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο σωστάΚΑΤΑΝΟΗΣΤΕ τις επενδύσεις σας. Σε περιπτώσεις που υπάρχουν αμφιβολίες, σας υπενθυμίζω μια χρήσιμη τεχνική: παίρνουμε την πειραματική τιμή του "x", για παράδειγμα, και προσπαθούμε (διανοητικά ή σε προσχέδιο) να αντικαταστήσουμε αυτήν την τιμή με την "τρομερή έκφραση".

1) Πρώτα πρέπει να υπολογίσουμε την έκφραση, που σημαίνει ότι το άθροισμα είναι η βαθύτερη ενσωμάτωση.

2) Στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε τον λογάριθμο:

4) Έπειτα κύβω το συνημίτονο:

5) Στο πέμπτο βήμα η διαφορά:

6) Και τέλος, η πιο εξωτερική συνάρτηση είναι η τετραγωνική ρίζα:

Τύπος για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης εφαρμόζονται με αντίστροφη σειρά, από την πιο εξωτερική συνάρτηση στην πιο εσωτερική. Εμείς αποφασίζουμε:

Δεν φαίνεται να υπάρχουν λάθη...

(1) Πάρτε την παράγωγο της τετραγωνικής ρίζας.

(2) Παίρνουμε την παράγωγο της διαφοράς χρησιμοποιώντας τον κανόνα

(3) Η παράγωγος ενός τριπλού είναι μηδέν. Στον δεύτερο όρο παίρνουμε την παράγωγο του βαθμού (κύβος).

(4) Πάρτε την παράγωγο του συνημιτόνου.

(5) Πάρτε την παράγωγο του λογάριθμου.

(6) Και τέλος, παίρνουμε το παράγωγο της βαθύτερης ενσωμάτωσης.

Μπορεί να φαίνεται πολύ δύσκολο, αλλά αυτό δεν είναι το πιο βάναυσο παράδειγμα. Πάρτε, για παράδειγμα, τη συλλογή του Kuznetsov και θα εκτιμήσετε όλη την ομορφιά και την απλότητα του αναλυόμενου παραγώγου. Παρατήρησα ότι τους αρέσει να δίνουν κάτι παρόμοιο σε μια εξέταση για να ελέγξουν αν ένας μαθητής καταλαβαίνει πώς να βρει την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ή δεν καταλαβαίνει.

Το παρακάτω παράδειγμα είναι για να το λύσετε μόνοι σας.

Παράδειγμα 3

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Υπόδειξη: Πρώτα εφαρμόζουμε τους κανόνες γραμμικότητας και τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων

Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε σε κάτι μικρότερο και πιο ωραίο.
Δεν είναι ασυνήθιστο για ένα παράδειγμα να δείχνει το γινόμενο όχι δύο, αλλά τριών συναρτήσεων. Πώς να βρείτε την παράγωγο του γινομένου τριών παραγόντων;

Παράδειγμα 4

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αρχικά εξετάζουμε, είναι δυνατόν να μετατρέψουμε το γινόμενο τριών συναρτήσεων σε γινόμενο δύο συναρτήσεων; Για παράδειγμα, αν είχαμε δύο πολυώνυμα στο γινόμενο, τότε θα μπορούσαμε να ανοίξουμε τις αγκύλες. Αλλά στο υπό εξέταση παράδειγμα, όλες οι συναρτήσεις είναι διαφορετικές: βαθμός, εκθέτης και λογάριθμος.

Σε τέτοιες περιπτώσεις είναι απαραίτητο διαδοχικάεφαρμόστε τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων εις διπλούν

Το κόλπο είναι ότι με "y" συμβολίζουμε το γινόμενο δύο συναρτήσεων: , και με "ve" συμβολίζουμε τον λογάριθμο: . Γιατί μπορεί να γίνει αυτό; Είναι πραγματικά – αυτό δεν είναι προϊόν δύο παραγόντων και ο κανόνας δεν λειτουργεί;! Δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο:

Τώρα μένει να εφαρμοστεί ο κανόνας για δεύτερη φορά σε παρένθεση:

Μπορείτε επίσης να στρίψετε και να βάλετε κάτι εκτός παρενθέσεων, αλλά σε αυτήν την περίπτωση είναι καλύτερα να αφήσετε την απάντηση ακριβώς σε αυτήν τη μορφή - θα είναι πιο εύκολο να ελέγξετε.

Το εξεταζόμενο παράδειγμα μπορεί να λυθεί με τον δεύτερο τρόπο:

Και οι δύο λύσεις είναι απολύτως ισοδύναμες.

Παράδειγμα 5

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση· στο δείγμα επιλύεται χρησιμοποιώντας την πρώτη μέθοδο.

Ας δούμε παρόμοια παραδείγματα με κλάσματα.

Παράδειγμα 6

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορείτε να πάτε εδώ:

Ή όπως αυτό:

Αλλά η λύση θα γραφτεί πιο συμπαγή αν χρησιμοποιήσουμε πρώτα τον κανόνα της διαφοροποίησης του πηλίκου , λαμβάνοντας για ολόκληρο τον αριθμητή:

Κατ 'αρχήν, το παράδειγμα λύνεται και αν μείνει ως έχει, δεν θα είναι σφάλμα. Αλλά αν έχετε χρόνο, είναι πάντα σκόπιμο να ελέγχετε ένα προσχέδιο για να δείτε εάν η απάντηση μπορεί να απλοποιηθεί; Ας ανάγουμε την έκφραση του αριθμητή σε κοινό παρονομαστή και ας απαλλαγούμε από το τριώροφο κλάσμα:

Το μειονέκτημα των πρόσθετων απλοποιήσεων είναι ότι υπάρχει κίνδυνος να γίνει λάθος όχι κατά την εύρεση του παραγώγου, αλλά κατά τη διάρκεια των συνηθισμένων σχολικών μετασχηματισμών. Από την άλλη πλευρά, οι δάσκαλοι συχνά απορρίπτουν την εργασία και ζητούν να «το φέρουν στο μυαλό» το παράγωγο.

Ένα πιο απλό παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας:

Παράδειγμα 7

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Συνεχίζουμε να κυριαρχούμε στις μεθόδους εύρεσης της παραγώγου και τώρα θα εξετάσουμε μια τυπική περίπτωση όταν ο «τρομερός» λογάριθμος προτείνεται για διαφοροποίηση

Παράδειγμα 8

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Εδώ μπορείτε να προχωρήσετε πολύ, χρησιμοποιώντας τον κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης:

Αλλά το πρώτο βήμα σας βυθίζει αμέσως σε απόγνωση - πρέπει να πάρετε τη δυσάρεστη παράγωγο από μια κλασματική δύναμη και στη συνέχεια επίσης από ένα κλάσμα.

Να γιατί πρινπώς να πάρουμε την παράγωγο ενός «σύνθετου» λογάριθμου, αρχικά απλοποιείται χρησιμοποιώντας γνωστές σχολικές ιδιότητες:

! Εάν έχετε ένα σημειωματάριο πρακτικής, αντιγράψτε αυτούς τους τύπους απευθείας εκεί. Εάν δεν έχετε σημειωματάριο, αντιγράψτε τα σε ένα κομμάτι χαρτί, καθώς τα υπόλοιπα παραδείγματα του μαθήματος θα περιστρέφονται γύρω από αυτούς τους τύπους.

Η ίδια η λύση μπορεί να γραφτεί κάπως έτσι:

Ας μετατρέψουμε τη συνάρτηση:

Εύρεση της παραγώγου:

Η προ-μετατροπή της ίδιας της συνάρτησης απλοποίησε σημαντικά τη λύση. Έτσι, όταν ένας παρόμοιος λογάριθμος προτείνεται για διαφοροποίηση, είναι πάντα σκόπιμο να «καταρριφθεί».

Και τώρα μερικά απλά παραδείγματα για να λύσετε μόνοι σας:

Παράδειγμα 9

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Παράδειγμα 10

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Όλες οι μεταμορφώσεις και οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος.

Λογαριθμική παράγωγος

Αν το παράγωγο των λογαρίθμων είναι τόσο γλυκιά μουσική, τότε τίθεται το ερώτημα: είναι δυνατόν σε ορισμένες περιπτώσεις να οργανωθεί τεχνητά ο λογάριθμος; Μπορώ! Και μάλιστα απαραίτητο.

Παράδειγμα 11

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Πρόσφατα εξετάσαμε παρόμοια παραδείγματα. Τι να κάνω? Μπορείτε να εφαρμόσετε διαδοχικά τον κανόνα διαφοροποίησης του πηλίκου και στη συνέχεια τον κανόνα διαφοροποίησης του προϊόντος. Το μειονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι καταλήγετε με ένα τεράστιο κλάσμα τριών ορόφων, το οποίο δεν θέλετε να αντιμετωπίσετε καθόλου.

Αλλά στη θεωρία και την πράξη υπάρχει ένα τόσο υπέροχο πράγμα όπως η λογαριθμική παράγωγος. Οι λογάριθμοι μπορούν να οργανωθούν τεχνητά «κρεμώντας» τους και στις δύο πλευρές:

Σημείωση : επειδή μια συνάρτηση μπορεί να πάρει αρνητικές τιμές, τότε, σε γενικές γραμμές, πρέπει να χρησιμοποιήσετε μονάδες: , που θα εξαφανιστεί ως αποτέλεσμα της διαφοροποίησης. Ωστόσο, αποδεκτός είναι και ο σημερινός σχεδιασμός, όπου από προεπιλογή λαμβάνεται υπόψη συγκρότημανοήματα. Αλλά αν με κάθε αυστηρότητα, τότε και στις δύο περιπτώσεις θα πρέπει να γίνει επιφύλαξη.

Τώρα πρέπει να «διασπάσετε» τον λογάριθμο της δεξιάς πλευράς όσο το δυνατόν περισσότερο (τύποι μπροστά στα μάτια σας;). Θα περιγράψω αυτή τη διαδικασία με μεγάλη λεπτομέρεια:

Ας ξεκινήσουμε με τη διαφοροποίηση.
Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέρη κάτω από τον πρώτο:

Το παράγωγο της δεξιάς πλευράς είναι αρκετά απλό· δεν θα το σχολιάσω, γιατί αν διαβάζετε αυτό το κείμενο, θα πρέπει να μπορείτε να το χειριστείτε με σιγουριά.

Τι γίνεται με την αριστερή πλευρά;

Στην αριστερή πλευρά έχουμε σύνθετη λειτουργία. Προβλέπω την ερώτηση: "Γιατί, υπάρχει ένα γράμμα "Y" κάτω από τον λογάριθμο;"

Το γεγονός είναι ότι αυτό το "παιχνίδι με ένα γράμμα" - ΕΙΝΑΙ Ο ΙΔΙΟΣ ΜΙΑ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ(αν δεν είναι πολύ σαφές, ανατρέξτε στο άρθρο Παράγωγος συνάρτησης που προσδιορίζεται σιωπηρά). Επομένως, ο λογάριθμος είναι μια εξωτερική συνάρτηση και το "y" είναι μια εσωτερική συνάρτηση. Και χρησιμοποιούμε τον κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης :

Στην αριστερή πλευρά, ως δια μαγείας, έχουμε παράγωγο. Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον κανόνα της αναλογίας, μεταφέρουμε το "y" από τον παρονομαστή της αριστερής πλευράς στην κορυφή της δεξιάς πλευράς:

Και τώρα ας θυμηθούμε για τι είδους λειτουργία «παίχτη» μιλήσαμε κατά τη διαφοροποίηση; Ας δούμε την συνθήκη:

Τελική απάντηση:

Παράδειγμα 12

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Ένα δείγμα σχεδίου ενός παραδείγματος αυτού του τύπου βρίσκεται στο τέλος του μαθήματος.

Χρησιμοποιώντας τη λογαριθμική παράγωγο ήταν δυνατό να λυθεί οποιοδήποτε από τα παραδείγματα Νο. 4-7, ένα άλλο πράγμα είναι ότι οι συναρτήσεις εκεί είναι απλούστερες και, ίσως, η χρήση της λογαριθμικής παραγώγου δεν είναι πολύ δικαιολογημένη.

Παράγωγος συνάρτησης ισχύος-εκθετικής

Δεν έχουμε εξετάσει ακόμη αυτή τη λειτουργία. Μια συνάρτηση ισχύος-εκθετικής είναι μια συνάρτηση για την οποία τόσο ο βαθμός όσο και η βάση εξαρτώνται από το "x". Ένα κλασικό παράδειγμα που θα σας δοθεί σε οποιοδήποτε σχολικό βιβλίο ή διάλεξη:

Πώς να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος-εκθετικής;

Είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε την τεχνική που μόλις συζητήθηκε - τη λογαριθμική παράγωγο. Κρεμάμε λογάριθμους και στις δύο πλευρές:

Κατά κανόνα, στη δεξιά πλευρά ο βαθμός αφαιρείται κάτω από τον λογάριθμο:

Ως αποτέλεσμα, στη δεξιά πλευρά έχουμε το γινόμενο δύο συναρτήσεων, οι οποίες θα διαφοροποιηθούν σύμφωνα με τον τυπικό τύπο .

Βρίσκουμε την παράγωγο· για να γίνει αυτό, περικλείουμε και τα δύο μέρη κάτω από πινελιές:

Οι περαιτέρω ενέργειες είναι απλές:

Τελικά:

Εάν οποιαδήποτε μετατροπή δεν είναι απολύτως σαφής, διαβάστε ξανά προσεκτικά τις επεξηγήσεις του Παραδείγματος Νο. 11.

Σε πρακτικές εργασίες, η συνάρτηση της εκθετικής ισχύος θα είναι πάντα πιο περίπλοκη από το παράδειγμα της διάλεξης που εξετάστηκε.

Παράδειγμα 13

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Χρησιμοποιούμε τη λογαριθμική παράγωγο.

Στη δεξιά πλευρά έχουμε μια σταθερά και το γινόμενο δύο παραγόντων - "x" και "λογάριθμος του λογάριθμου x" (ένας άλλος λογάριθμος είναι ένθετος κάτω από τον λογάριθμο). Κατά τη διαφοροποίηση, όπως θυμόμαστε, είναι καλύτερα να μετακινήσετε αμέσως τη σταθερά από το παράγωγο πρόσημο για να μην παρεμποδιστεί. και φυσικά εφαρμόζουμε τον γνωστό κανόνα :

Νιώθεις ότι υπάρχει ακόμα πολύς χρόνος μέχρι τις εξετάσεις; Είναι ένας μήνας; Δύο? Ετος? Η πρακτική δείχνει ότι ένας μαθητής τα καταφέρνει καλύτερα με μια εξέταση εάν αρχίσει να προετοιμάζεται για αυτήν εκ των προτέρων. Υπάρχουν πολλά δύσκολα καθήκοντα στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους που εμποδίζουν τους μαθητές και τους μελλοντικούς υποψηφίους να κατακτήσουν τις υψηλότερες βαθμολογίες. Πρέπει να μάθετε να ξεπερνάτε αυτά τα εμπόδια, και επιπλέον, δεν είναι δύσκολο να το κάνετε. Πρέπει να κατανοήσετε την αρχή της εργασίας με διάφορες εργασίες από εισιτήρια. Τότε δεν θα υπάρχουν προβλήματα με τα νέα.

Οι λογάριθμοι με την πρώτη ματιά φαίνονται απίστευτα περίπλοκοι, αλλά με μια λεπτομερή ανάλυση η κατάσταση γίνεται πολύ πιο απλή. Εάν θέλετε να περάσετε τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους με την υψηλότερη βαθμολογία, θα πρέπει να κατανοήσετε την εν λόγω έννοια, την οποία προτείνουμε να κάνετε σε αυτό το άρθρο.

Αρχικά, ας διαχωρίσουμε αυτούς τους ορισμούς. Τι είναι ο λογάριθμος (log); Αυτός είναι ένας δείκτης της ισχύος στην οποία πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί ο καθορισμένος αριθμός. Αν δεν είναι ξεκάθαρο, ας δούμε ένα βασικό παράδειγμα.

Σε αυτήν την περίπτωση, η βάση στο κάτω μέρος πρέπει να ανυψωθεί στη δεύτερη ισχύ για να πάρει τον αριθμό 4.

Τώρα ας δούμε τη δεύτερη έννοια. Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε οποιαδήποτε μορφή είναι μια έννοια που χαρακτηρίζει την αλλαγή μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο. Ωστόσο, αυτό είναι ένα σχολικό πρόγραμμα σπουδών και αν αντιμετωπίζετε προβλήματα με αυτές τις έννοιες μεμονωμένα, αξίζει να επαναλάβετε το θέμα.

Παράγωγο λογάριθμου

Στις εργασίες του Unified State Exam για αυτό το θέμα, μπορείτε να δώσετε διάφορες εργασίες ως παράδειγμα. Αρχικά, η απλούστερη λογαριθμική παράγωγος. Είναι απαραίτητο να βρεθεί η παράγωγος της παρακάτω συνάρτησης.

Πρέπει να βρούμε την επόμενη παράγωγο

Υπάρχει μια ειδική φόρμουλα.

Σε αυτή την περίπτωση x=u, log3x=v. Αντικαθιστούμε τις τιμές από τη συνάρτησή μας στον τύπο.

Η παράγωγος του x θα είναι ίση με ένα. Ο λογάριθμος είναι λίγο πιο δύσκολος. Αλλά θα καταλάβετε την αρχή αν απλώς αντικαταστήσετε τις τιμές. Θυμηθείτε ότι η παράγωγος του lg x είναι η παράγωγος του δεκαδικού λογάριθμου και η παράγωγος του ln x είναι η παράγωγος του φυσικού λογάριθμου (με βάση το e).

Τώρα απλώς συνδέστε τις προκύπτουσες τιμές στον τύπο. Δοκιμάστε το μόνοι σας και μετά θα ελέγξουμε την απάντηση.

Ποιο θα μπορούσε να είναι το πρόβλημα εδώ για κάποιους; Εισάγαμε την έννοια του φυσικού λογάριθμου. Ας μιλήσουμε γι 'αυτό και ταυτόχρονα να καταλάβουμε πώς να λύσουμε προβλήματα με αυτό. Δεν θα δείτε τίποτα περίπλοκο, ειδικά όταν κατανοήσετε την αρχή της λειτουργίας του. Θα πρέπει να το συνηθίσετε, καθώς χρησιμοποιείται συχνά στα μαθηματικά (ακόμη περισσότερο στα ανώτατα εκπαιδευτικά ιδρύματα).

Παράγωγο του φυσικού λογάριθμου

Στον πυρήνα του, είναι η παράγωγος του λογαρίθμου στη βάση e (που είναι ένας άρρητος αριθμός που είναι περίπου 2,7). Στην πραγματικότητα, το ln είναι πολύ απλό, επομένως χρησιμοποιείται συχνά στα μαθηματικά γενικά. Στην πραγματικότητα, η επίλυση του προβλήματος με αυτό δεν θα είναι επίσης πρόβλημα. Αξίζει να θυμηθούμε ότι η παράγωγος του φυσικού λογάριθμου στη βάση e θα είναι ίση με το ένα διαιρούμενο με το x. Η λύση στο παρακάτω παράδειγμα θα είναι η πιο αποκαλυπτική.

Ας τη φανταστούμε ως μια σύνθετη συνάρτηση που αποτελείται από δύο απλές.

Αρκεί η μετατροπή

Αναζητούμε την παράγωγο του u ως προς το x

Ας συνεχίσουμε με το δεύτερο

Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο επίλυσης της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης αντικαθιστώντας u=nx.

Τι έγινε στο τέλος?

Τώρα ας θυμηθούμε τι σήμαινε το n σε αυτό το παράδειγμα; Αυτός είναι οποιοσδήποτε αριθμός που μπορεί να εμφανιστεί μπροστά από το x στον φυσικό λογάριθμο. Είναι σημαντικό για εσάς να καταλάβετε ότι η απάντηση δεν εξαρτάται από αυτήν. Αντικαταστήστε ό,τι θέλετε, η απάντηση θα εξακολουθεί να είναι 1/x.

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ, απλά πρέπει να κατανοήσετε την αρχή για γρήγορη και αποτελεσματική επίλυση προβλημάτων σε αυτό το θέμα. Τώρα ξέρετε τη θεωρία, το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να την εφαρμόσετε στην πράξη. Εξασκηθείτε στην επίλυση προβλημάτων για να θυμάστε την αρχή της επίλυσής τους για μεγάλο χρονικό διάστημα. Μπορεί να μην χρειάζεστε αυτές τις γνώσεις μετά την αποφοίτησή σας από το σχολείο, αλλά στις εξετάσεις θα είναι πιο επίκαιρες από ποτέ. Καλή σου τύχη!

Απόδειξη και παραγωγή τύπων για την παράγωγο του φυσικού λογάριθμου και τον λογάριθμο στη βάση α. Παραδείγματα υπολογισμού παραγώγων των ln 2x, ln 3x και ln nx. Απόδειξη του τύπου για την παράγωγο του λογάριθμου νης τάξης με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.

Δείτε επίσης: Λογάριθμος - ιδιότητες, τύποι, γράφημα
Φυσικός λογάριθμος - ιδιότητες, τύποι, γράφημα

Παραγωγή τύπων για τις παραγώγους του φυσικού λογάριθμου και του λογάριθμου για τη βάση ενός

Η παράγωγος του φυσικού λογάριθμου του x είναι ίση με ένα διαιρούμενο με το x:
(1) (ln x)′ =.

Η παράγωγος του λογάριθμου στη βάση a είναι ίση με ένα διαιρούμενο με τη μεταβλητή x πολλαπλασιαζόμενη με τον φυσικό λογάριθμο του a:
(2) (log a x)′ =.

Απόδειξη

Ας υπάρχει κάποιος θετικός αριθμός όχι ίσος με ένα. Θεωρήστε μια συνάρτηση που εξαρτάται από μια μεταβλητή x, η οποία είναι ένας λογάριθμος στη βάση:
.
Αυτή η λειτουργία ορίζεται στο . Ας βρούμε την παράγωγό του ως προς τη μεταβλητή x. Εξ ορισμού, η παράγωγος είναι το ακόλουθο όριο:
(3) .

Ας μετατρέψουμε αυτήν την έκφραση για να την αναγάγουμε σε γνωστές μαθηματικές ιδιότητες και κανόνες. Για να γίνει αυτό πρέπει να γνωρίζουμε τα ακόλουθα γεγονότα:
ΕΝΑ) Ιδιότητες του λογάριθμου. Θα χρειαστούμε τους παρακάτω τύπους:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
ΣΙ)Συνέχεια του λογάριθμου και η ιδιότητα των ορίων για μια συνεχή συνάρτηση:
(7) .
Εδώ είναι μια συνάρτηση που έχει ένα όριο και αυτό το όριο είναι θετικό.
ΣΕ)Η έννοια του δεύτερου αξιοσημείωτου ορίου:
(8) .

Ας εφαρμόσουμε αυτά τα γεγονότα στα όριά μας. Πρώτα μετασχηματίζουμε την αλγεβρική έκφραση
.
Για να γίνει αυτό, εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (4) και (5).

.

Ας χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα (7) και το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο (8):
.

Και τέλος, εφαρμόζουμε την ιδιότητα (6):
.
Λογάριθμος προς βάση μιπου ονομάζεται φυσικός λογάριθμος. Ορίζεται ως εξής:
.
Επειτα ;
.

Έτσι, λάβαμε τον τύπο (2) για την παράγωγο του λογάριθμου.

Παράγωγο του φυσικού λογάριθμου

Για άλλη μια φορά γράφουμε τον τύπο για την παράγωγο του λογάριθμου για να βασιστεί το a:
.
Αυτός ο τύπος έχει την απλούστερη μορφή για τον φυσικό λογάριθμο, για τον οποίο , . Επειτα
(1) .

Λόγω αυτής της απλότητας, ο φυσικός λογάριθμος χρησιμοποιείται ευρέως στη μαθηματική ανάλυση και σε άλλους κλάδους των μαθηματικών που σχετίζονται με τον διαφορικό λογισμό. Οι λογαριθμικές συναρτήσεις με άλλες βάσεις μπορούν να εκφραστούν με βάση τον φυσικό λογάριθμο χρησιμοποιώντας την ιδιότητα (6):
.

Η παράγωγος του λογάριθμου ως προς τη βάση μπορεί να βρεθεί από τον τύπο (1), εάν αφαιρέσετε τη σταθερά από το πρόσημο διαφοροποίησης:
.

Άλλοι τρόποι απόδειξης της παραγώγου ενός λογάριθμου

Εδώ υποθέτουμε ότι γνωρίζουμε τον τύπο για την παράγωγο της εκθετικής:
(9) .
Τότε μπορούμε να εξαγάγουμε τον τύπο για την παράγωγο του φυσικού λογάριθμου, δεδομένου ότι ο λογάριθμος είναι η αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής.

Ας αποδείξουμε τον τύπο για την παράγωγο του φυσικού λογάριθμου, εφαρμόζοντας τον τύπο για την παράγωγο της αντίστροφης συνάρτησης:
.
Στην περίπτωσή μας . Η αντίστροφη συνάρτηση του φυσικού λογάριθμου είναι η εκθετική:
.
Το παράγωγό του προσδιορίζεται από τον τύπο (9). Οι μεταβλητές μπορούν να χαρακτηριστούν με οποιοδήποτε γράμμα. Στον τύπο (9), αντικαταστήστε τη μεταβλητή x με y:
.
Από τότε
.
Επειτα
.
Η φόρμουλα είναι αποδεδειγμένη.

Τώρα αποδεικνύουμε τον τύπο για την παράγωγο του φυσικού λογάριθμου χρησιμοποιώντας κανόνες για τη διαφοροποίηση πολύπλοκων συναρτήσεων. Δεδομένου ότι οι συναρτήσεις και είναι αντίστροφες μεταξύ τους, τότε
.
Ας διαφοροποιήσουμε αυτή την εξίσωση σε σχέση με τη μεταβλητή x:
(10) .
Η παράγωγος του x είναι ίση με ένα:
.
Εμείς κάνουμε αίτηση κανόνας για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης :
.
Εδώ . Ας αντικαταστήσουμε στο (10):
.
Από εδώ
.

Παράδειγμα

Βρείτε τα παράγωγα του ln 2x, 3xΚαι lnnx.

Οι αρχικές συναρτήσεις έχουν παρόμοια μορφή. Επομένως θα βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης y = log nx. Στη συνέχεια αντικαθιστούμε n = 2 και n = 3. Και, έτσι, λαμβάνουμε τύπους για τα παράγωγα του 2xΚαι 3x .

Άρα, αναζητούμε την παράγωγο της συνάρτησης
y = log nx .
Ας φανταστούμε αυτή τη συνάρτηση ως μια σύνθετη συνάρτηση που αποτελείται από δύο συναρτήσεις:
1) Συναρτήσεις ανάλογα με μια μεταβλητή: ;
2) Συναρτήσεις ανάλογα με μια μεταβλητή: .
Τότε η αρχική συνάρτηση αποτελείται από τις συναρτήσεις και :
.

Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης ως προς τη μεταβλητή x:
.
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης ως προς τη μεταβλητή:
.
Εμείς κάνουμε αίτηση τύπος για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης.
.
Εδώ το στήσαμε.

Βρήκαμε λοιπόν:
(11) .
Βλέπουμε ότι η παράγωγος δεν εξαρτάται από το n. Αυτό το αποτέλεσμα είναι αρκετά φυσικό αν μετατρέψουμε την αρχική συνάρτηση χρησιμοποιώντας τον τύπο για τον λογάριθμο του προϊόντος:
.
- αυτό είναι μια σταθερά. Η παράγωγός του είναι μηδέν. Τότε, σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης του αθροίσματος, έχουμε:
.

; ; .

Παράγωγος του λογάριθμου του συντελεστή x

Ας βρούμε την παράγωγο μιας άλλης πολύ σημαντικής συνάρτησης - του φυσικού λογάριθμου του συντελεστή x:
(12) .

Ας εξετάσουμε την περίπτωση. Τότε η συνάρτηση μοιάζει με:
.
Το παράγωγό του προσδιορίζεται από τον τύπο (1):
.

Τώρα ας εξετάσουμε την υπόθεση. Τότε η συνάρτηση μοιάζει με:
,
Οπου .
Βρήκαμε όμως και την παράγωγο αυτής της συνάρτησης στο παραπάνω παράδειγμα. Δεν εξαρτάται από το n και είναι ίσο με
.
Επειτα
.

Συνδυάζουμε αυτές τις δύο περιπτώσεις σε έναν τύπο:
.

Αντίστοιχα, για να βασίζεται ο λογάριθμος a, έχουμε:
.

Παράγωγα υψηλότερων τάξεων του φυσικού λογάριθμου

Εξετάστε τη συνάρτηση
.
Βρήκαμε την παράγωγο πρώτης τάξης του:
(13) .

Ας βρούμε την παράγωγο δεύτερης τάξης:
.
Ας βρούμε την παράγωγο τρίτης τάξης:
.
Ας βρούμε την παράγωγο τέταρτης τάξης:
.

Μπορείτε να παρατηρήσετε ότι η παράγωγος nης τάξης έχει τη μορφή:
(14) .
Ας το αποδείξουμε αυτό με μαθηματική επαγωγή.

Απόδειξη

Ας αντικαταστήσουμε την τιμή n = 1 στον τύπο (14):
.
Αφού , τότε όταν n = 1 , ισχύει ο τύπος (14).

Ας υποθέσουμε ότι ο τύπος (14) ικανοποιείται για n = k. Ας αποδείξουμε ότι αυτό σημαίνει ότι ο τύπος ισχύει για n = k + 1 .

Πράγματι, για n = k έχουμε:
.
Διαφοροποίηση ως προς τη μεταβλητή x:

.
Πήραμε λοιπόν:
.
Αυτός ο τύπος συμπίπτει με τον τύπο (14) για n = k + 1 . Έτσι, από την υπόθεση ότι ο τύπος (14) ισχύει για n = k, προκύπτει ότι ο τύπος (14) ισχύει για n = k + 1 .

Επομένως, ο τύπος (14), για την παράγωγο νης τάξης, ισχύει για οποιοδήποτε n.

Παράγωγοι υψηλότερων τάξεων λογάριθμου στη βάση α

Για να βρείτε την παράγωγο νης τάξης ενός λογάριθμου στη βάση του a, πρέπει να την εκφράσετε με βάση τον φυσικό λογάριθμο:
.
Εφαρμόζοντας τον τύπο (14), βρίσκουμε την nη παράγωγο:
.

Πολύ εύκολο να θυμάστε.

Λοιπόν, ας μην πάμε μακριά, ας εξετάσουμε αμέσως την αντίστροφη συνάρτηση. Ποια συνάρτηση είναι το αντίστροφο της εκθετικής συνάρτησης; Λογάριθμος:

Στην περίπτωσή μας, η βάση είναι ο αριθμός:

Ένας τέτοιος λογάριθμος (δηλαδή ένας λογάριθμος με βάση) ονομάζεται "φυσικός" και χρησιμοποιούμε μια ειδική σημείωση γι 'αυτό: γράφουμε αντ 'αυτού.

Με τι ισούται; Φυσικά, .

Η παράγωγος του φυσικού λογάριθμου είναι επίσης πολύ απλή:

Παραδείγματα:

1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.
2. Ποια είναι η παράγωγος της συνάρτησης;

Απαντήσεις: Ο εκθετικός και ο φυσικός λογάριθμος είναι μοναδικά απλές συναρτήσεις από την προοπτική της παραγώγου. Οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις με οποιαδήποτε άλλη βάση θα έχουν διαφορετική παράγωγο, την οποία θα αναλύσουμε αργότερα, αφού περάσουμε από τους κανόνες διαφοροποίησης.

Κανόνες διαφοροποίησης

Κανόνες τι; Πάλι νέος όρος, πάλι;!...

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκρισηείναι η διαδικασία εύρεσης του παραγώγου.

Αυτό είναι όλο. Πώς αλλιώς μπορείτε να ονομάσετε αυτή τη διαδικασία με μια λέξη; Όχι παράγωγος... Οι μαθηματικοί ονομάζουν το διαφορικό την ίδια αύξηση μιας συνάρτησης στο. Ο όρος αυτός προέρχεται από το λατινικό differentia - διαφορά. Εδώ.

Κατά την εξαγωγή όλων αυτών των κανόνων, θα χρησιμοποιήσουμε δύο συναρτήσεις, για παράδειγμα, και. Θα χρειαστούμε επίσης τύπους για τις προσαυξήσεις τους:

Υπάρχουν 5 κανόνες συνολικά.

Η σταθερά αφαιρείται από το παράγωγο πρόσημο.

Αν - κάποιος σταθερός αριθμός (σταθερός), τότε.

Προφανώς, αυτός ο κανόνας λειτουργεί και για τη διαφορά: .

Ας το αποδείξουμε. Ας είναι, ή πιο απλό.

Παραδείγματα.

Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. σε ένα σημείο?
2. σε ένα σημείο?
3. σε ένα σημείο?
4. στο σημείο.

Λύσεις:

1. (η παράγωγος είναι η ίδια σε όλα τα σημεία, αφού είναι γραμμική συνάρτηση, θυμάστε;);

Παράγωγο του προϊόντος

Όλα είναι παρόμοια εδώ: ας εισαγάγουμε μια νέα συνάρτηση και ας βρούμε την προσαύξησή της:

Παράγωγο:

Παραδείγματα:

1. Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων και?
2. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης σε ένα σημείο.

Λύσεις:

Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Τώρα οι γνώσεις σας είναι αρκετές για να μάθετε πώς να βρίσκετε την παράγωγο οποιασδήποτε εκθετικής συνάρτησης, και όχι μόνο τους εκθέτες (έχετε ξεχάσει τι είναι αυτό;).

Λοιπόν, πού είναι κάποιος αριθμός.

Γνωρίζουμε ήδη την παράγωγο της συνάρτησης, οπότε ας προσπαθήσουμε να μειώσουμε τη συνάρτησή μας σε μια νέα βάση:

Για να το κάνουμε αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε έναν απλό κανόνα: . Επειτα:

Λοιπόν, λειτούργησε. Τώρα προσπαθήστε να βρείτε την παράγωγο και μην ξεχνάτε ότι αυτή η συνάρτηση είναι σύνθετη.

Συνέβη;

Εδώ, ελέγξτε τον εαυτό σας:

Ο τύπος αποδείχθηκε ότι ήταν πολύ παρόμοιος με την παράγωγο ενός εκθέτη: όπως ήταν, παραμένει ο ίδιος, εμφανίστηκε μόνο ένας παράγοντας, ο οποίος είναι απλώς ένας αριθμός, αλλά όχι μια μεταβλητή.

Παραδείγματα:
Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων:

Απαντήσεις:

Αυτός είναι απλώς ένας αριθμός που δεν μπορεί να υπολογιστεί χωρίς αριθμομηχανή, δηλαδή δεν μπορεί να γραφτεί σε απλούστερη μορφή. Επομένως, το αφήνουμε σε αυτή τη μορφή στην απάντηση.

Σημειώστε ότι εδώ είναι το πηλίκο δύο συναρτήσεων, επομένως εφαρμόζουμε τον αντίστοιχο κανόνα διαφοροποίησης:

Σε αυτό το παράδειγμα, το γινόμενο δύο συναρτήσεων:

Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης

Είναι παρόμοιο εδώ: γνωρίζετε ήδη την παράγωγο του φυσικού λογάριθμου:

Επομένως, για να βρείτε έναν αυθαίρετο λογάριθμο με διαφορετική βάση, για παράδειγμα:

Πρέπει να μειώσουμε αυτόν τον λογάριθμο στη βάση. Πώς αλλάζετε τη βάση ενός λογάριθμου; Ελπίζω να θυμάστε αυτόν τον τύπο:

Μόνο τώρα θα γράψουμε αντ' αυτού:

Ο παρονομαστής είναι απλώς μια σταθερά (σταθερός αριθμός, χωρίς μεταβλητή). Η παράγωγος λαμβάνεται πολύ απλά:

Οι παράγωγοι εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων δεν βρίσκονται σχεδόν ποτέ στην Εξέταση του Ενιαίου Κράτους, αλλά δεν θα είναι περιττό να τις γνωρίζουμε.

Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης.

Τι είναι μια "σύνθετη συνάρτηση"; Όχι, δεν πρόκειται για λογάριθμο, ούτε για τόξο. Αυτές οι συναρτήσεις μπορεί να είναι δύσκολο να κατανοηθούν (αν και αν σας φαίνεται δύσκολος ο λογάριθμος, διαβάστε το θέμα "Λογάριθμοι" και θα είστε εντάξει), αλλά από μαθηματική άποψη, η λέξη "σύνθετη" δεν σημαίνει "δύσκολο".

Φανταστείτε έναν μικρό μεταφορικό ιμάντα: δύο άτομα κάθονται και κάνουν κάποιες ενέργειες με κάποια αντικείμενα. Για παράδειγμα, η πρώτη τυλίγει μια σοκολάτα σε ένα περιτύλιγμα και η δεύτερη τη δένει με μια κορδέλα. Το αποτέλεσμα είναι ένα σύνθετο αντικείμενο: μια μπάρα σοκολάτας τυλιγμένη και δεμένη με κορδέλα. Για να φάτε μια μπάρα σοκολάτας, πρέπει να κάνετε τα αντίστροφα βήματα με αντίστροφη σειρά.

Ας δημιουργήσουμε έναν παρόμοιο μαθηματικό αγωγό: πρώτα θα βρούμε το συνημίτονο ενός αριθμού και μετά θα τετραγωνίσουμε τον αριθμό που προκύπτει. Λοιπόν, μας δίνεται ένας αριθμός (σοκολάτα), βρίσκω το συνημίτονό του (περιτύλιγμα) και μετά τετραγωνίζεις αυτό που πήρα (το δένεις με μια κορδέλα). Τι συνέβη? Λειτουργία. Αυτό είναι ένα παράδειγμα σύνθετης συνάρτησης: όταν, για να βρούμε την τιμή της, εκτελούμε την πρώτη ενέργεια απευθείας με τη μεταβλητή και μετά μια δεύτερη ενέργεια με αυτό που προέκυψε από την πρώτη.

Με άλλα λόγια, μια σύνθετη συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι μια άλλη συνάρτηση: .

Για το παράδειγμά μας, .

Μπορούμε εύκολα να κάνουμε τα ίδια βήματα με αντίστροφη σειρά: πρώτα το τετραγωνίζετε και μετά αναζητώ το συνημίτονο του αριθμού που προκύπτει: . Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι το αποτέλεσμα θα είναι σχεδόν πάντα διαφορετικό. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό των πολύπλοκων συναρτήσεων: όταν αλλάζει η σειρά των ενεργειών, αλλάζει και η συνάρτηση.

Δεύτερο παράδειγμα: (το ίδιο πράγμα). .

Η ενέργεια που κάνουμε τελευταία θα ονομάζεται "εξωτερική" λειτουργία, και η ενέργεια εκτελέστηκε πρώτα - αναλόγως "εσωτερική" λειτουργία(αυτά είναι άτυπα ονόματα, τα χρησιμοποιώ μόνο για να εξηγήσω το υλικό σε απλή γλώσσα).

Προσπαθήστε να προσδιορίσετε μόνοι σας ποια λειτουργία είναι εξωτερική και ποια εσωτερική:

Απαντήσεις:Ο διαχωρισμός εσωτερικών και εξωτερικών συναρτήσεων μοιάζει πολύ με την αλλαγή μεταβλητών: για παράδειγμα, σε μια συνάρτηση

1. Ποια ενέργεια θα κάνουμε πρώτα; Αρχικά, ας υπολογίσουμε το ημίτονο και μόνο μετά το κύβο. Αυτό σημαίνει ότι είναι μια εσωτερική λειτουργία, αλλά μια εξωτερική.
   Και η αρχική λειτουργία είναι η σύνθεσή τους: .
2. Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
   Εξέταση: .
3. Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
   Εξέταση: .
4. Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
   Εξέταση: .
5. Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
   Εξέταση: .

Αλλάζουμε μεταβλητές και παίρνουμε μια συνάρτηση.

Λοιπόν, τώρα θα βγάλουμε τη σοκολάτα μας και θα αναζητήσουμε το παράγωγο. Η διαδικασία είναι πάντα αντίστροφη: πρώτα αναζητούμε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης, μετά πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης. Σε σχέση με το αρχικό παράδειγμα, μοιάζει με αυτό:

Ενα άλλο παράδειγμα:

Λοιπόν, ας διατυπώσουμε επιτέλους τον επίσημο κανόνα:

Αλγόριθμος για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:

Φαίνεται απλό, σωστά;

Ας ελέγξουμε με παραδείγματα:

Λύσεις:

1) Εσωτερικό: ;

Εξωτερικό: ;

2) Εσωτερικό: ;

(Μην προσπαθήσετε να το κόψετε μέχρι τώρα! Δεν βγαίνει τίποτα κάτω από το συνημίτονο, θυμάστε;)

3) Εσωτερική: ;

Εξωτερικό: ;

Είναι αμέσως σαφές ότι πρόκειται για μια σύνθετη συνάρτηση τριών επιπέδων: τελικά, αυτή είναι ήδη μια σύνθετη συνάρτηση από μόνη της και εξάγουμε επίσης τη ρίζα από αυτήν, δηλαδή εκτελούμε την τρίτη ενέργεια (βάλτε τη σοκολάτα σε ένα περιτύλιγμα και με κορδέλα στον χαρτοφύλακα). Αλλά δεν υπάρχει λόγος να φοβόμαστε: θα συνεχίσουμε να "ξεπακετάρουμε" αυτή τη λειτουργία με την ίδια σειρά όπως συνήθως: από το τέλος.

Δηλαδή, πρώτα διαφοροποιούμε τη ρίζα, μετά το συνημίτονο και μόνο μετά την έκφραση σε αγκύλες. Και μετά τα πολλαπλασιάζουμε όλα.

Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι βολικό να αριθμήσετε τις ενέργειες. Δηλαδή, ας φανταστούμε τι ξέρουμε. Με ποια σειρά θα εκτελέσουμε ενέργειες για να υπολογίσουμε την τιμή αυτής της έκφρασης; Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Όσο αργότερα εκτελείται η ενέργεια, τόσο πιο «εξωτερική» θα είναι η αντίστοιχη λειτουργία. Η σειρά των ενεργειών είναι η ίδια όπως πριν:

Εδώ η φωλιά είναι γενικά 4 επιπέδων. Ας καθορίσουμε την πορεία δράσης.

1. Ριζοσπαστική έκφραση. .

2. Ρίζα. .

3. Ημιτόνου. .

4. Τετράγωνο. .

5. Συνδυάζοντας τα όλα μαζί:

ΠΑΡΑΓΩΓΟ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Παράγωγος συνάρτησης- ο λόγος της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος για μια απειροελάχιστη αύξηση του ορίσματος:

Βασικά παράγωγα:

Κανόνες διαφοροποίησης:

Η σταθερά αφαιρείται από το παράγωγο πρόσημο:

Παράγωγο του αθροίσματος:

Παράγωγο του προϊόντος:

Παράγωγος του πηλίκου:

Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης:

Αλγόριθμος για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:

1. Ορίζουμε την «εσωτερική» συνάρτηση και βρίσκουμε την παράγωγό της.
2. Ορίζουμε την «εξωτερική» συνάρτηση και βρίσκουμε την παράγωγό της.
3. Πολλαπλασιάζουμε τα αποτελέσματα του πρώτου και του δεύτερου σημείου.