Επίλυση ομοιογενών εξισώσεων. Γραμμικές και ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Παραδείγματα λύσεων

Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε μια μέθοδο για την επίλυση ομοιογενών τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Οι ομοιογενείς τριγωνομετρικές εξισώσεις έχουν την ίδια δομή με τις ομοιογενείς εξισώσεις οποιουδήποτε άλλου τύπου. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω τη μέθοδο επίλυσης ομογενών εξισώσεων δεύτερου βαθμού:

Ας εξετάσουμε ομοιογενείς εξισώσεις της μορφής

Διακριτικά χαρακτηριστικά ομοιογενών εξισώσεων:

α) όλα τα μονώνυμα έχουν τον ίδιο βαθμό,

β) ο ελεύθερος όρος είναι μηδέν,

γ) η εξίσωση περιέχει δυνάμεις με δύο διαφορετικές βάσεις.

Οι ομοιογενείς εξισώσεις λύνονται χρησιμοποιώντας παρόμοιο αλγόριθμο.

Για να λύσουμε αυτόν τον τύπο εξίσωσης, διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με (μπορεί να διαιρεθεί με ή με)

Προσοχή! Όταν διαιρείτε τη δεξιά και την αριστερή πλευρά μιας εξίσωσης με μια παράσταση που περιέχει ένα άγνωστο, μπορείτε να χάσετε ρίζες. Επομένως, είναι απαραίτητο να ελέγξουμε αν οι ρίζες της παράστασης με τις οποίες διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης.

Εάν είναι, τότε γράφουμε αυτή τη ρίζα για να μην την ξεχάσουμε αργότερα και, στη συνέχεια, διαιρούμε την έκφραση με αυτό.

Γενικά, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε όταν λύνετε οποιαδήποτε εξίσωση που έχει μηδέν στη δεξιά πλευρά είναι να προσπαθήσετε να συνυπολογίσετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης με οποιονδήποτε διαθέσιμο τρόπο. Και μετά εξισώστε κάθε παράγοντα με μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, σίγουρα δεν θα χάσουμε τις ρίζες.

Έτσι, διαιρέστε προσεκτικά την αριστερή πλευρά της εξίσωσης στην έκφραση όρος προς όρο. Παίρνουμε:

Ας μειώσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του δεύτερου και του τρίτου κλάσματος:

Ας παρουσιάσουμε την αντικατάσταση:

Παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση:

Ας λύσουμε την τετραγωνική εξίσωση, ας βρούμε τις τιμές του και μετά επιστρέψουμε στο αρχικό άγνωστο.

Κατά την επίλυση ομοιογενών τριγωνομετρικών εξισώσεων, υπάρχουν πολλά σημαντικά πράγματα που πρέπει να θυμάστε:

1. Ο εικονικός όρος μπορεί να μετατραπεί στο τετράγωνο του ημιτόνου και του συνημιτόνου χρησιμοποιώντας τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα:

2. Το ημίτονο και το συνημίτονο ενός διπλού ορίσματος είναι μονώνυμα δεύτερου βαθμού - το ημίτονο ενός διπλού ορίσματος μπορεί εύκολα να μετατραπεί στο γινόμενο του ημιτόνου και του συνημιτόνου και το συνημίτονο ενός διπλού ορίσματος στο τετράγωνο του ημιτόνου ή του συνημιτόνου:

Ας δούμε αρκετά παραδείγματα επίλυσης ομοιογενών τριγωνομετρικών εξισώσεων.

1 . Ας λύσουμε την εξίσωση:

Αυτό είναι ένα κλασικό παράδειγμα ομοιογενούς τριγωνομετρικής εξίσωσης πρώτου βαθμού: ο βαθμός κάθε μονωνύμου είναι ίσος με ένα, ο όρος τομής είναι ίσος με μηδέν.

Πριν διαιρέσετε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με , πρέπει να ελέγξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης δεν είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης. Ελέγχουμε: if , τότε title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με .

Παίρνουμε:

, Οπου

, Οπου

Απάντηση: , Οπου

2. Ας λύσουμε την εξίσωση:

Αυτό είναι ένα παράδειγμα ομοιογενούς τριγωνομετρικής εξίσωσης δεύτερου βαθμού. Θυμόμαστε ότι αν μπορούμε να συνυπολογίσουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης, τότε είναι σκόπιμο να το κάνουμε. Σε αυτή την εξίσωση μπορούμε να βάλουμε . Ας το κάνουμε:

Λύση της πρώτης εξίσωσης: , όπου

Η δεύτερη εξίσωση είναι μια ομοιογενής τριγωνομετρική εξίσωση πρώτου βαθμού. Για να το λύσετε, διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με . Παίρνουμε:

Απάντηση: πού,

3. Ας λύσουμε την εξίσωση:

Για να γίνει αυτή η εξίσωση ομοιογενής, τη μετατρέπουμε σε γινόμενο και παρουσιάζουμε τον αριθμό 3 ως το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου:

Μεταφέρουμε όλους τους όρους προς τα αριστερά, ανοίγουμε τις αγκύλες και παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους. Παίρνουμε:

Ας παραγοντοποιήσουμε την αριστερή πλευρά και ας ορίσουμε κάθε παράγοντα ίσο με το μηδέν:

Απάντηση: πού,

4 . Ας λύσουμε την εξίσωση:

Βλέπουμε τι μπορούμε να βγάλουμε από τις αγκύλες. Ας το κάνουμε:

Ας εξισώσουμε κάθε παράγοντα με μηδέν:

Λύση της πρώτης εξίσωσης:

Η δεύτερη εξίσωση πληθυσμού είναι μια κλασική ομοιογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού. Οι ρίζες της εξίσωσης δεν είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης, επομένως διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με:

Λύση της πρώτης εξίσωσης:

Λύση της δεύτερης εξίσωσης.

Να σταματήσει! Ας προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε αυτή τη δυσκίνητη φόρμουλα.

Η πρώτη μεταβλητή της ισχύος με κάποιο συντελεστή θα πρέπει να είναι πρώτη. Στην περίπτωσή μας είναι

Στην περίπτωσή μας είναι. Όπως ανακαλύψαμε, αυτό σημαίνει ότι ο βαθμός στην πρώτη μεταβλητή συγκλίνει. Και η δεύτερη μεταβλητή στον πρώτο βαθμό είναι στη θέση της. Συντελεστής.

Το έχουμε.

Η πρώτη μεταβλητή είναι δύναμη και η δεύτερη μεταβλητή είναι τετράγωνο, με συντελεστή. Αυτός είναι ο τελευταίος όρος στην εξίσωση.

Όπως μπορείτε να δείτε, η εξίσωσή μας ταιριάζει στον ορισμό με τη μορφή τύπου.

Ας δούμε το δεύτερο (λεκτικό) μέρος του ορισμού.

Έχουμε δύο άγνωστα και. Εδώ συγκλίνει.

Ας εξετάσουμε όλους τους όρους. Σε αυτά, το άθροισμα των βαθμών των αγνώστων θα πρέπει να είναι το ίδιο.

Το άθροισμα των βαθμών είναι ίσο.

Το άθροισμα των δυνάμεων είναι ίσο με (at και at).

Το άθροισμα των βαθμών είναι ίσο.

Όπως βλέπετε όλα ταιριάζουν!!!

Τώρα ας εξασκηθούμε στον ορισμό ομοιογενών εξισώσεων.

Να προσδιορίσετε ποιες από τις εξισώσεις είναι ομοιογενείς:

Ομογενείς εξισώσεις - εξισώσεις με αριθμούς:

Ας εξετάσουμε την εξίσωση χωριστά.

Αν διαιρέσουμε κάθε όρο με παραγοντοποίηση κάθε όρο, παίρνουμε

Και αυτή η εξίσωση εμπίπτει πλήρως στον ορισμό των ομοιογενών εξισώσεων.

Πώς να λύσετε ομοιογενείς εξισώσεις;

Παράδειγμα 2.

Ας διαιρέσουμε την εξίσωση με.

Σύμφωνα με την συνθήκη μας, το y δεν μπορεί να είναι ίσο. Επομένως, μπορούμε να διαιρέσουμε με ασφάλεια

Κάνοντας την αντικατάσταση, παίρνουμε μια απλή τετραγωνική εξίσωση:

Δεδομένου ότι αυτή είναι μια ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση, χρησιμοποιούμε το θεώρημα του Vieta:

Αφού κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση, παίρνουμε την απάντηση

Απάντηση:

Παράδειγμα 3.

Ας διαιρέσουμε την εξίσωση με (κατά συνθήκη).

Απάντηση:

Παράδειγμα 4.

Βρείτε αν.

Εδώ δεν χρειάζεται να διαιρέσετε, αλλά να πολλαπλασιάσετε. Ας πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με:

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση και ας λύσουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση:

Έχοντας κάνει την αντίστροφη αντικατάσταση, παίρνουμε την απάντηση:

Απάντηση:

Επίλυση ομοιογενών τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Η επίλυση ομοιογενών τριγωνομετρικών εξισώσεων δεν διαφέρει από τις μεθόδους επίλυσης που περιγράφονται παραπάνω. Μόνο που εδώ, μεταξύ άλλων, χρειάζεται να ξέρεις και λίγη τριγωνομετρία. Και να είστε σε θέση να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις (για αυτό μπορείτε να διαβάσετε την ενότητα).

Ας δούμε τέτοιες εξισώσεις χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Παράδειγμα 5.

Λύστε την εξίσωση.

Βλέπουμε μια τυπική ομοιογενή εξίσωση: και είναι άγνωστα, και το άθροισμα των δυνάμεών τους σε κάθε όρο είναι ίσο.

Τέτοιες ομοιογενείς εξισώσεις δεν είναι δύσκολο να λυθούν, αλλά προτού διαιρέσετε τις εξισώσεις σε, εξετάστε την περίπτωση που

Σε αυτήν την περίπτωση, η εξίσωση θα έχει τη μορφή: , έτσι. Όμως το ημίτονο και το συνημίτονο δεν μπορούν να είναι ίσα ταυτόχρονα, γιατί σύμφωνα με τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα. Επομένως, μπορούμε με ασφάλεια να το χωρίσουμε σε:

Εφόσον η εξίσωση δίνεται, τότε σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta:

Απάντηση:

Παράδειγμα 6.

Λύστε την εξίσωση.

Όπως στο παράδειγμα, πρέπει να διαιρέσετε την εξίσωση με. Ας εξετάσουμε την περίπτωση όταν:

Όμως το ημίτονο και το συνημίτονο δεν μπορούν να είναι ίσα ταυτόχρονα, γιατί σύμφωνα με τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα. Να γιατί.

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση και ας λύσουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση:

Ας κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση και ας βρούμε και:

Απάντηση:

Επίλυση ομογενών εκθετικών εξισώσεων.

Οι ομοιογενείς εξισώσεις λύνονται με τον ίδιο τρόπο όπως αυτές που συζητήθηκαν παραπάνω. Αν έχετε ξεχάσει πώς να λύσετε εκθετικές εξισώσεις, δείτε την αντίστοιχη ενότητα ()!

Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 7.

Λύστε την εξίσωση

Ας το φανταστούμε ως εξής:

Βλέπουμε μια τυπική ομοιογενή εξίσωση, με δύο μεταβλητές και ένα άθροισμα δυνάμεων. Ας χωρίσουμε την εξίσωση σε:

Όπως μπορείτε να δείτε, κάνοντας την αντικατάσταση, παίρνουμε την τετραγωνική εξίσωση παρακάτω (δεν υπάρχει λόγος να φοβάστε τη διαίρεση με το μηδέν - είναι πάντα αυστηρά μεγαλύτερη από το μηδέν):

Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta:

Απάντηση: .

Παράδειγμα 8.

Λύστε την εξίσωση

Ας το φανταστούμε ως εξής:

Ας χωρίσουμε την εξίσωση σε:

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση και ας λύσουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση:

Η ρίζα δεν ικανοποιεί την προϋπόθεση. Ας κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση και ας βρούμε:

Απάντηση:

ΟΜΟΙΟΓΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Αρχικά, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός προβλήματος, επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ποιες είναι οι ομοιογενείς εξισώσεις και ποια η λύση ομογενών εξισώσεων.

Λύσε το πρόβλημα:

Βρείτε αν.

Εδώ μπορείτε να παρατηρήσετε ένα περίεργο πράγμα: αν διαιρέσουμε κάθε όρο με, παίρνουμε:

Δηλαδή, τώρα δεν υπάρχουν ξεχωριστά και, - τώρα η μεταβλητή στην εξίσωση είναι η επιθυμητή τιμή. Και αυτή είναι μια συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση που μπορεί εύκολα να λυθεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta: το γινόμενο των ριζών είναι ίσο και το άθροισμα είναι οι αριθμοί και.

Απάντηση:

Εξισώσεις της φόρμας

ονομάζεται ομοιογενής. Δηλαδή, αυτή είναι μια εξίσωση με δύο αγνώστους, κάθε όρος των οποίων έχει το ίδιο άθροισμα δυνάμεων αυτών των αγνώστων. Για παράδειγμα, στο παραπάνω παράδειγμα αυτό το ποσό είναι ίσο με. Οι ομοιογενείς εξισώσεις λύνονται διαιρώντας με έναν από τους άγνωστους σε αυτόν τον βαθμό:

Και η επακόλουθη αντικατάσταση μεταβλητών: . Έτσι παίρνουμε μια εξίσωση ισχύος με έναν άγνωστο:

Τις περισσότερες φορές θα συναντήσουμε εξισώσεις δεύτερου βαθμού (δηλαδή τετραγωνικού) και ξέρουμε πώς να τις λύσουμε:

Σημειώστε ότι μπορούμε να διαιρέσουμε (και να πολλαπλασιάσουμε) ολόκληρη την εξίσωση με μια μεταβλητή μόνο εάν είμαστε πεπεισμένοι ότι αυτή η μεταβλητή δεν μπορεί να είναι ίση με μηδέν! Για παράδειγμα, αν μας ζητηθεί να βρούμε, καταλαβαίνουμε αμέσως ότι αφού είναι αδύνατο να διαιρεθεί. Σε περιπτώσεις που αυτό δεν είναι τόσο προφανές, είναι απαραίτητο να ελέγχεται χωριστά η περίπτωση που αυτή η μεταβλητή είναι ίση με μηδέν. Για παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Βλέπουμε εδώ μια τυπική ομοιογενή εξίσωση: και είναι άγνωστα, και το άθροισμα των δυνάμεών τους σε κάθε όρο είναι ίσο.

Αλλά, προτού διαιρέσουμε με και λάβουμε μια σχετική τετραγωνική εξίσωση, πρέπει να εξετάσουμε την περίπτωση όταν. Σε αυτήν την περίπτωση, η εξίσωση θα έχει τη μορφή: , που σημαίνει . Όμως το ημίτονο και το συνημίτονο δεν μπορούν να είναι ίσα με μηδέν ταυτόχρονα, γιατί σύμφωνα με τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα: . Επομένως, μπορούμε με ασφάλεια να το χωρίσουμε σε:

Ελπίζω αυτή η λύση να είναι απολύτως σαφής; Εάν όχι, διαβάστε την ενότητα. Εάν δεν είναι σαφές από πού προήλθε, πρέπει να επιστρέψετε ακόμη νωρίτερα - στην ενότητα.

Αποφασίστε μόνοι σας:

1. Βρείτε αν.
2. Βρείτε αν.
3. Λύστε την εξίσωση.

Εδώ θα γράψω εν συντομία απευθείας τη λύση ομογενών εξισώσεων:

Λύσεις:

Απάντηση: .

Αλλά εδώ χρειάζεται να πολλαπλασιάσουμε αντί να διαιρέσουμε:

Απάντηση:

Εάν δεν το έχετε πάρει ακόμα, μπορείτε να παραλείψετε αυτό το παράδειγμα.

Επειδή εδώ πρέπει να διαιρέσουμε με, ας βεβαιωθούμε πρώτα ότι το εκατό δεν είναι ίσο με μηδέν:

Και αυτό είναι αδύνατο.

Απάντηση: .

ΟΜΟΙΟΓΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Η λύση όλων των ομοιογενών εξισώσεων ανάγεται σε διαίρεση με ένα από τα άγνωστα της ισχύος και περαιτέρω μεταβολή των μεταβλητών.

Αλγόριθμος:

Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Εάν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, σημαίνει ότι είστε πολύ κουλ.

Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κατακτήσουν κάτι μόνοι τους. Και αν διαβάσεις μέχρι το τέλος, τότε είσαι σε αυτό το 5%!

Τώρα το πιο σημαντικό.

Έχετε καταλάβει τη θεωρία για αυτό το θέμα. Και, επαναλαμβάνω, αυτό... αυτό είναι απλά σούπερ! Είστε ήδη καλύτεροι από τη συντριπτική πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.

Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό...

Για τι?

Για επιτυχή επιτυχία στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους, για εισαγωγή στο κολέγιο με προϋπολογισμό και, ΤΟ ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, για τη ζωή.

Δεν θα σε πείσω για τίποτα, ένα μόνο θα πω…

Οι άνθρωποι που έχουν λάβει καλή εκπαίδευση κερδίζουν πολύ περισσότερα από εκείνους που δεν την έχουν λάβει. Αυτά είναι στατιστικά στοιχεία.

Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.

Το κυριότερο είναι ότι είναι ΠΙΟ ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΟΙ (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως επειδή ανοίγονται πολλές περισσότερες ευκαιρίες μπροστά τους και η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω...

Σκέψου όμως και μόνος σου...

Τι χρειάζεται για να είσαι σίγουρος ότι θα είσαι καλύτερος από άλλους στις Εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους και τελικά θα είσαι... πιο ευτυχισμένος;

ΚΕΡΔΙΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.

Δεν θα σας ζητηθεί θεωρία κατά τη διάρκεια της εξέτασης.

Θα χρειαστείτε λύνει προβλήματα με το χρόνο.

Και, αν δεν τα έχετε λύσει (ΠΟΛΥ!), σίγουρα θα κάνετε ένα ηλίθιο λάθος κάπου ή απλά δεν θα έχετε χρόνο.

Είναι όπως στον αθλητισμό - πρέπει να το επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.

Βρείτε τη συλλογή όπου θέλετε, αναγκαστικά με λύσεις, αναλυτική ανάλυσηκαι αποφασίστε, αποφασίστε, αποφασίστε!

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις εργασίες μας (προαιρετικά) και φυσικά τις προτείνουμε.

Προκειμένου να βελτιωθείτε στη χρήση των εργασιών μας, πρέπει να συμβάλετε στην παράταση της διάρκειας ζωής του εγχειριδίου YouClever που διαβάζετε αυτήν τη στιγμή.

Πως? Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Ξεκλειδώστε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο -
2. Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του σχολικού βιβλίου - Αγοράστε ένα σχολικό βιβλίο - 899 RUR

Ναι, έχουμε 99 τέτοια άρθρα στο σχολικό μας βιβλίο και η πρόσβαση σε όλες τις εργασίες και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά μπορεί να ανοίξει αμέσως.

Παρέχεται πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες για ΟΛΗ τη ζωή του ιστότοπου.

Συμπερασματικά...

Αν δεν σας αρέσουν οι εργασίες μας, βρείτε άλλες. Απλά μην σταματάς στη θεωρία.

Το «Κατανοούμενο» και το «Μπορώ να λύσω» είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεσαι και τα δύο.

Βρείτε προβλήματα και λύστε τα!

Ομογενής διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης είναι μια εξίσωση της μορφής
, όπου f είναι συνάρτηση.

Πώς να προσδιορίσετε μια ομοιογενή διαφορική εξίσωση

Για να προσδιορίσετε εάν μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης είναι ομοιογενής, πρέπει να εισαγάγετε μια σταθερά t και να αντικαταστήσετε το y με το ty και το x με το tx: y → ty, x → tx. Αν t ακυρώσει, τότε αυτό ομοιογενής διαφορική εξίσωση. Η παράγωγος y′ δεν αλλάζει με αυτόν τον μετασχηματισμό.
.

Παράδειγμα

Να προσδιορίσετε αν μια δεδομένη εξίσωση είναι ομοιογενής

Λύση

Κάνουμε την αντικατάσταση y → ty, x → tx.


Διαιρέστε με t 2 .

.
Η εξίσωση δεν περιέχει t. Επομένως, αυτή είναι μια ομοιογενής εξίσωση.

Μέθοδος επίλυσης ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης

Μια ομογενής διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης ανάγεται σε μια εξίσωση με χωριστές μεταβλητές χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση y = ux. Ας το δείξουμε. Θεωρήστε την εξίσωση:
(Εγώ)
Ας κάνουμε μια αντικατάσταση:
y = ux,
όπου u είναι συνάρτηση του x. Διαφοροποίηση ως προς το x:
y′ =
Αντικαταστήστε στην αρχική εξίσωση (Εγώ).
,
,
(ii) .
Ας διαχωρίσουμε τις μεταβλητές. Πολλαπλασιάστε με dx και διαιρέστε με x ( f(u) - u ).

Στο f (u) - u ≠ 0και x ≠ 0 παίρνουμε:

Ας ενσωματώσουμε:

Έτσι, λάβαμε το γενικό ολοκλήρωμα της εξίσωσης (Εγώ)σε τετράγωνα:

Ας αντικαταστήσουμε τη σταθερά της ολοκλήρωσης C με Στο Γ, Επειτα

Ας παραλείψουμε το πρόσημο του συντελεστή, αφού το επιθυμητό πρόσημο καθορίζεται από την επιλογή του πρόσημου της σταθεράς C. Τότε το γενικό ολοκλήρωμα θα πάρει τη μορφή:

Στη συνέχεια θα πρέπει να εξετάσουμε την περίπτωση f (u) - u = 0.
Αν αυτή η εξίσωση έχει ρίζες, τότε είναι λύση της εξίσωσης (ii). Δεδομένου ότι η εξ. (ii)δεν συμπίπτει με την αρχική εξίσωση, τότε θα πρέπει να βεβαιωθείτε ότι οι πρόσθετες λύσεις ικανοποιούν την αρχική εξίσωση (Εγώ).

Όποτε, στη διαδικασία των μετασχηματισμών, διαιρούμε οποιαδήποτε εξίσωση με κάποια συνάρτηση, την οποία συμβολίζουμε ως g (x, y), τότε ισχύουν περαιτέρω μετασχηματισμοί για το g (x, y) ≠ 0. Επομένως, η περίπτωση ζ θα πρέπει να εξεταστεί χωριστά (x, y) = 0.

Ένα παράδειγμα επίλυσης ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης

Λύστε την εξίσωση

Λύση

Ας ελέγξουμε αν αυτή η εξίσωση είναι ομοιογενής. Κάνουμε την αντικατάσταση y → ty, x → tx. Σε αυτή την περίπτωση, y′ → y′.
,
,
.
Το συντομεύουμε κατά t.

Η σταθερά t έχει μειωθεί. Επομένως η εξίσωση είναι ομοιογενής.

Κάνουμε την αντικατάσταση y = ux, όπου u είναι συνάρτηση του x.
y′ = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
Αντικαταστήστε στην αρχική εξίσωση.
,
,
,
.
Όταν x ≥ 0 , |x| = x. Όταν x ≤ 0 , |x| = - x. Γράφουμε |x| = x υποδηλώνοντας ότι το επάνω πρόσημο αναφέρεται σε τιμές x ≥ 0 και το χαμηλότερο - στις τιμές x ≤ 0 .
,
Πολλαπλασιάστε με dx και διαιρέστε με .

Οταν εσυ 2 - 1 ≠ 0 έχουμε:

Ας ενσωματώσουμε:

Πίνακες ολοκληρώματα,
.

Ας εφαρμόσουμε τον τύπο:
(α + β)(α - β) = α 2 - β 2.
Ας βάλουμε a = u, .
.
Ας πάρουμε και τις δύο πλευρές modulo και λογάριθμο,
.
Από εδώ
.

Έτσι έχουμε:
,
.
Παραλείπουμε το πρόσημο του συντελεστή, αφού το επιθυμητό πρόσημο εξασφαλίζεται επιλέγοντας το πρόσημο της σταθεράς C.

Πολλαπλασιάστε με x και αντικαταστήστε το ux = y.
,
.
Τετράγωνο το.
,
,
.

Τώρα εξετάστε την περίπτωση, u 2 - 1 = 0 .
Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης
.
Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι οι συναρτήσεις y = x ικανοποιούν την αρχική εξίσωση.

Απάντηση

,
,
.

Βιβλιογραφικές αναφορές:
Ν.Μ. Gunter, R.O. Kuzmin, Συλλογή προβλημάτων στα ανώτερα μαθηματικά, "Lan", 2003.

Για να λύσετε μια ομοιογενή διαφορική εξίσωση 1ης τάξης χρησιμοποιήστε την αντικατάσταση u=y/x, δηλαδή το u είναι μια νέα άγνωστη συνάρτηση ανάλογα με το x. Άρα y=ux. Βρίσκουμε την παράγωγο y’ χρησιμοποιώντας τον κανόνα διαφοροποίησης γινομένου: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (αφού x’=1). Για μια άλλη μορφή σημειογραφίας: dy = udx + xdu Μετά την αντικατάσταση, απλοποιούμε την εξίσωση και καταλήγουμε σε μια εξίσωση με χωριστές μεταβλητές.

Παραδείγματα επίλυσης ομοιογενών διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης.

1) Λύστε την εξίσωση

Ελέγχουμε ότι αυτή η εξίσωση είναι ομοιογενής (δείτε Πώς να προσδιορίσετε μια ομοιογενή εξίσωση). Αφού πειστούμε, κάνουμε την αντικατάσταση u=y/x, από την οποία y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Αντικαταστάτης: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Εφόσον ο λογάριθμος ενός γινομένου είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων, ln(ux)=lnu+lnx. Από εδώ

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). Αφού φέρουμε παρόμοιους όρους: u’x+u=u(1+lnu). Τώρα ανοίξτε τις αγκύλες

u'x+u=u+u·lnu. Και οι δύο πλευρές περιέχουν u, επομένως u’x=u·lnu. Εφόσον το u είναι συνάρτηση του x, u’=du/dx. Ας αντικαταστήσουμε

Έχουμε λάβει μια εξίσωση με χωριστές μεταβλητές. Διαχωρίζουμε τις μεταβλητές πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη με dx και διαιρώντας με x·u·lnu, με την προϋπόθεση ότι το γινόμενο x·u·lnu≠0

Ας ενσωματώσουμε:

Στην αριστερή πλευρά υπάρχει ένα αναπόσπαστο τραπέζι. Στα δεξιά - κάνουμε την αντικατάσταση t=lnu, από όπου dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. Αλλά έχουμε ήδη συζητήσει ότι σε τέτοιες εξισώσεις είναι πιο βολικό να παίρνουμε ln│C│ αντί για C. Επειτα

ln│t│=ln│x│+ln│C│. Σύμφωνα με την ιδιότητα των λογαρίθμων: ln│t│=ln│Сx│. Επομένως t=Cx. (κατά συνθήκη, x>0). Ήρθε η ώρα να κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση: lnu=Cx. Και μια ακόμη αντίστροφη αντικατάσταση:

Με την ιδιότητα των λογαρίθμων:

Αυτό είναι το γενικό ολοκλήρωμα της εξίσωσης.

Υπενθυμίζουμε την κατάσταση του γινόμενου x·u·lnu≠0 (και επομένως x≠0,u≠0, lnu≠0, από όπου u≠1). Αλλά x≠0 από την συνθήκη, παραμένει u≠1, επομένως x≠y. Προφανώς, στη γενική λύση περιλαμβάνονται y=x (x>0).

2) Να βρείτε το μερικό ολοκλήρωμα της εξίσωσης y’=x/y+y/x, ικανοποιώντας τις αρχικές συνθήκες y(1)=2.

Αρχικά, ελέγχουμε ότι αυτή η εξίσωση είναι ομοιογενής (αν και η παρουσία των όρων y/x και x/y ήδη το δείχνει έμμεσα). Στη συνέχεια κάνουμε την αντικατάσταση u=y/x, από την οποία y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Αντικαθιστούμε τις παραστάσεις που προκύπτουν στην εξίσωση:

u'x+u=1/u+u. Ας απλοποιήσουμε:

u'x=1/u. Εφόσον το u είναι συνάρτηση του x, u’=du/dx:

Έχουμε λάβει μια εξίσωση με χωριστές μεταβλητές. Για να διαχωρίσουμε τις μεταβλητές, πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές με dx και u και διαιρούμε με x (x≠0 με συνθήκη, άρα και u≠0, που σημαίνει ότι δεν υπάρχει απώλεια λύσεων).

Ας ενσωματώσουμε:

και δεδομένου ότι και οι δύο πλευρές περιέχουν ολοκληρώματα πίνακα, λαμβάνουμε αμέσως

Εκτελούμε την αντίστροφη αντικατάσταση:

Αυτό είναι το γενικό ολοκλήρωμα της εξίσωσης. Χρησιμοποιούμε την αρχική συνθήκη y(1)=2, δηλαδή αντικαθιστούμε y=2, x=1 στη λύση που προκύπτει:

3) Να βρείτε το γενικό ολοκλήρωμα της ομογενούς εξίσωσης:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Αντικατάσταση u=y/x, από όπου y=ux, dy=xdu+udx. Ας αντικαταστήσουμε:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Βγάζουμε x² από αγκύλες και διαιρούμε και τα δύο μέρη με αυτό (υπό την προϋπόθεση x≠0):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Ανοίξτε τις αγκύλες και απλοποιήστε:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Ομαδοποιούμε τους όρους με du και dx:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Ας βγάλουμε τους κοινούς παράγοντες εκτός παρενθέσεων:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Διαχωρίζουμε τις μεταβλητές:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με xu(u²+1)≠0 (ανάλογα προσθέτουμε τις απαιτήσεις x≠0 (ήδη σημειωθεί), u≠0):

Ας ενσωματώσουμε:

Στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης υπάρχει ένα ολοκλήρωμα πίνακα και αποσυνθέτουμε το ορθολογικό κλάσμα στην αριστερή πλευρά σε απλούς παράγοντες:

(ή στο δεύτερο ολοκλήρωμα, αντί να αντικατασταθεί το διαφορικό πρόσημο, ήταν δυνατό να γίνει η αντικατάσταση t=1+u², dt=2udu - σε όποιον αρέσει ποια μέθοδος είναι καλύτερη). Παίρνουμε:

Σύμφωνα με τις ιδιότητες των λογαρίθμων:

Αντίστροφη αντικατάσταση

Υπενθυμίζουμε την συνθήκη u≠0. Επομένως y≠0. Όταν C=0 y=0, αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει απώλεια λύσεων και το y=0 περιλαμβάνεται στο γενικό ολοκλήρωμα.

Σχόλιο

Μπορείτε να πάρετε μια λύση γραμμένη με διαφορετική μορφή εάν αφήσετε τον όρο με x στα αριστερά:

Η γεωμετρική έννοια της ολοκληρωτικής καμπύλης σε αυτή την περίπτωση είναι μια οικογένεια κύκλων με κέντρα στον άξονα Oy και διέρχονται από την αρχή.

Εργασίες αυτοδιαγνωστικού ελέγχου:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) Ελέγχουμε ότι η εξίσωση είναι ομοιογενής, μετά κάνουμε την αντικατάσταση u=y/x, από όπου y=ux, dy=xdu+udx. Αντικαταστήστε στην συνθήκη: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με x²≠0, παίρνουμε: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Ως εκ τούτου dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Απλοποιώντας, έχουμε: dx-xudu=0. Εξ ου και xudu=dx, udu=dx/x. Ας ενσωματώσουμε και τα δύο μέρη:

Επί του παρόντος, σύμφωνα με το βασικό επίπεδο σπουδών των μαθηματικών, παρέχονται μόνο 4 ώρες για τη μελέτη των μαθηματικών στο Λύκειο (2 ώρες άλγεβρα, 2 ώρες γεωμετρία). Στα αγροτικά μικρά σχολεία, προσπαθούν να αυξήσουν τον αριθμό των ωρών λόγω της σχολικής συνιστώσας. Αν όμως η τάξη είναι ανθρωπιστική, τότε προστίθεται σχολική συνιστώσα για τη μελέτη μαθημάτων ανθρωπιστικών επιστημών. Σε ένα μικρό χωριό, ένας μαθητής συχνά δεν έχει επιλογή· σπουδάζει σε αυτή την τάξη. που διατίθεται στο σχολείο. Δεν σκοπεύει να γίνει δικηγόρος, ιστορικός ή δημοσιογράφος (υπάρχουν τέτοιες περιπτώσεις), αλλά θέλει να γίνει μηχανικός ή οικονομολόγος, επομένως πρέπει να περάσει την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά με υψηλές βαθμολογίες. Υπό αυτές τις συνθήκες, ο δάσκαλος των μαθηματικών πρέπει να βρει τον δικό του τρόπο να βγει από την τρέχουσα κατάσταση· επιπλέον, σύμφωνα με το εγχειρίδιο του Kolmogorov, η μελέτη του θέματος "ομογενείς εξισώσεις" δεν παρέχεται. Τα προηγούμενα χρόνια, μου πήρε δύο διπλά μαθήματα για να εισαγάγω αυτό το θέμα και να το ενισχύσω. Δυστυχώς, η επιθεώρηση της εκπαιδευτικής μας επίβλεψης απαγόρευσε τα διπλά μαθήματα στο σχολείο, οπότε ο αριθμός των ασκήσεων έπρεπε να μειωθεί στα 45 λεπτά και κατά συνέπεια το επίπεδο δυσκολίας των ασκήσεων μειώθηκε σε μεσαίο. Φέρνω στην προσοχή σας ένα σχέδιο μαθήματος για αυτό το θέμα στη 10η τάξη με βασικό επίπεδο μελέτης μαθηματικών σε ένα αγροτικό μικρό σχολείο.

Τύπος μαθήματος: παραδοσιακό.

Στόχος: μάθουν να λύνουν τυπικές ομοιογενείς εξισώσεις.

Καθήκοντα:

Γνωστική:

Αναπτυξιακή:

Εκπαιδευτικός:

• Ενθάρρυνση της σκληρής δουλειάς μέσω της υπομονετικής ολοκλήρωσης των εργασιών, της αίσθησης της συντροφικότητας μέσω της εργασίας σε ζευγάρια και ομάδες.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

ΕΓΩ.Οργανωτικός στάδιο(3 λεπτά)

II. Έλεγχος των απαραίτητων γνώσεων για την κατάκτηση νέου υλικού (10 λεπτά.)

Προσδιορίστε τις κύριες δυσκολίες με περαιτέρω ανάλυση των ολοκληρωμένων εργασιών. Τα παιδιά επιλέγουν 3 επιλογές. Οι εργασίες διαφοροποιούνται ανά βαθμό δυσκολίας και επίπεδο ετοιμότητας των παιδιών, ακολουθούμενες από επεξήγηση στον πίνακα.

Επίπεδο 1. Λύστε τις εξισώσεις:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Απαντήσεις: 7;3

Επίπεδο 2. Να λύσετε απλές τριγωνομετρικές και διτετραγωνικές εξισώσεις:

απαντήσεις:

β) x 4 -13x 3 +36=0 Απαντήσεις: -2; 2; -3; 3

Επίπεδο 3.Επίλυση εξισώσεων με αλλαγή μεταβλητών:

β) x 6 -9x 3 +8=0 Απαντήσεις:

III.Επικοινωνία του θέματος, καθορισμός στόχων και στόχων.

Θέμα: Ομογενείς εξισώσεις

Στόχος: μάθουν να λύνουν τυπικές ομοιογενείς εξισώσεις

Καθήκοντα:

Γνωστική:

• εξοικειωθείτε με ομοιογενείς εξισώσεις, μάθετε να λύνετε τους πιο συνηθισμένους τύπους τέτοιων εξισώσεων.

Αναπτυξιακή:

• Ανάπτυξη αναλυτικής σκέψης.
• Ανάπτυξη μαθηματικών δεξιοτήτων: μάθετε να αναγνωρίζετε τα κύρια χαρακτηριστικά με τα οποία οι ομοιογενείς εξισώσεις διαφέρουν από άλλες εξισώσεις, να είστε σε θέση να καθορίσετε την ομοιογένεια των ομοιογενών εξισώσεων στις διάφορες εκδηλώσεις τους.

IV. Εκμάθηση νέων γνώσεων (15 λεπτά)

1. Στιγμή διάλεξης.

Ορισμός 1(Γράψτε το σε ένα τετράδιο). Μια εξίσωση της μορφής P(x;y)=0 ονομάζεται ομοιογενής αν το P(x;y) είναι ομοιογενές πολυώνυμο.

Ένα πολυώνυμο σε δύο μεταβλητές x και y ονομάζεται ομοιογενές αν ο βαθμός καθενός από τους όρους του είναι ίσος με τον ίδιο αριθμό k.

Ορισμός 2(Μόνο μια εισαγωγή). Εξισώσεις της φόρμας

ονομάζεται ομοιογενής εξίσωση βαθμού n ως προς τα u(x) και v(x). Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με (v(x))n, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια αντικατάσταση για να λάβουμε την εξίσωση

Κάτι που μας επιτρέπει να απλοποιήσουμε την αρχική εξίσωση. Η περίπτωση v(x)=0 πρέπει να εξεταστεί χωριστά, καθώς είναι αδύνατο να διαιρεθεί με το 0.

2. Παραδείγματα ομοιογενών εξισώσεων:

Εξηγήστε: γιατί είναι ομοιογενείς, δώστε τα παραδείγματα τέτοιων εξισώσεων.

3. Εργασία προσδιορισμού ομοιογενών εξισώσεων:

Ανάμεσα στις δοσμένες εξισώσεις, εντοπίστε ομοιογενείς εξισώσεις και εξηγήστε την επιλογή σας:

Αφού εξηγήσετε την επιλογή σας, χρησιμοποιήστε ένα από τα παραδείγματα για να δείξετε πώς να λύσετε μια ομοιογενή εξίσωση:

4. Αποφασίστε μόνοι σας:

Απάντηση:

β) 2sin x – 3 cos x =0

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το cos x, παίρνουμε 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Δείξτε τη λύση σε ένα παράδειγμα από το φυλλάδιο«P.V. Τσούλκοφ. Εξισώσεις και ανισώσεις σε σχολικό μάθημα μαθηματικών. Παιδαγωγικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας "Πρώτη Σεπτεμβρίου" 2006 σελ. 22." Ως ένα από τα πιθανά παραδείγματα της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης επιπέδου Γ.

V. Λύση για ενοποίηση χρησιμοποιώντας το εγχειρίδιο του Μπασμάκοφ

σελίδα 183 Νο. 59 (1.5) ή σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο που επιμελήθηκε ο Κολμογκόροφ: σελίδα 81 Αρ. 169 (α, γ)

απαντήσεις:

VI. Δοκιμή, ανεξάρτητη εργασία (7 λεπτά)

Απαντήσεις σε εργασίες:

Επιλογή 1 α) Απάντηση: arctan2+πn,n € Z; β) Απάντηση: ±π/2+ 3πn,n € Z; V)

Επιλογή 2 α) Απάντηση: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; β) Απάντηση: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; γ) (-5;-2); (5;2)

VII. Εργασία για το σπίτι

Νο. 169 κατά τον Κολμογκόροφ, Νο. 59 κατά τον Μπασμάκοφ.

Επιπλέον, λύστε το σύστημα των εξισώσεων:

Απάντηση: arctan(-1±√3) +πn,

Βιβλιογραφικές αναφορές:

1. P.V. Τσούλκοφ. Εξισώσεις και ανισώσεις σε σχολικό μάθημα μαθηματικών. – Μ.: Παιδαγωγικό «Πρωτο Σεπτέμβρη», 2006. σελ. 22
2. A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. Τριγωνομετρία. – Μ.: «AST-PRESS», 1998, σελ. 389
3. Άλγεβρα για την 8η τάξη, επιμέλεια N.Ya. Βιλενκίνα. – Μ.: «Διαφωτισμός», 1997.
4. Άλγεβρα για την 9η τάξη, επιμέλεια N.Ya. Βιλενκίνα. Μόσχα "Διαφωτισμός", 2001.
5. ΜΙ. Μπασμάκοφ. Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης. Για τους βαθμούς 10-11 - Μ.: «Διαφωτισμός» 1993
6. Kolmogorov, Abramov, Dudnitsyn. Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης. Για τάξεις 10-11. – Μ.: «Διαφωτισμός», 1990.
7. Ο Α.Γ. Μόρντκοβιτς. Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης. Μέρος 1 Σχολικό βιβλίο για τις τάξεις 10-11. – Μ.: «Μνημοσύνη», 2004.