Όλες οι ιδιότητες ενός ορθογωνίου. Τι είναι ένα ορθογώνιο; Ειδικές θήκες ορθογωνίου. Οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες
Ορισμός.Παραλληλόγραμμο είναι ένα τετράπλευρο του οποίου οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες ανά ζεύγη.
Ιδιοκτησία.Σε ένα παραλληλόγραμμο, οι απέναντι πλευρές είναι ίσες και οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.
Ιδιοκτησία.Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διαιρούνται στο μισό με το σημείο τομής.
1 πρόσημο παραλληλογράμμου.Αν δύο πλευρές ενός τετράπλευρου είναι ίσες και παράλληλες, τότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
2 πρόσημο παραλληλογράμμου.Αν σε ένα τετράπλευρο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες ανά ζεύγη, τότε αυτό το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
3 πρόσημο παραλληλογράμμου.Αν οι διαγώνιοι ενός τετράπλευρου τέμνονται και διχοτομούνται από το σημείο τομής, τότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
Ορισμός.Ένα τραπέζιο είναι ένα τετράπλευρο στο οποίο δύο πλευρές είναι παράλληλες και οι άλλες δύο πλευρές δεν είναι παράλληλες. Οι παράλληλες πλευρές ονομάζονται αιτιολογικό.
Το τραπεζοειδές λέγεται ισοσκελές (ισόπλευρο), αν οι πλευρές του είναι ίσες. Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο οι γωνίες στις βάσεις είναι ίσες.
Ένα τραπεζοειδές, του οποίου μια γωνία είναι ορθή, ονομάζεται ορθογώνιος.
Το τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρών ονομάζεται μέση γραμμή τραπεζοειδούς. Η μεσαία γραμμή είναι παράλληλη με τις βάσεις και ίση με το μισό άθροισμά τους.
Ορισμός.Ένα ορθογώνιο είναι ένα παραλληλόγραμμο του οποίου οι γωνίες είναι όλες ορθές.
Ιδιοκτησία.Οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου είναι ίσες.
Ορθογώνιο σημάδι.Αν οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες, τότε αυτό το παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο.
Ορισμός.Ρόμβος είναι ένα παραλληλόγραμμο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες.
Ιδιοκτησία.Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου είναι μεταξύ τους κάθετες και διχοτομούν τις γωνίες του.
Ορισμός.Ένα τετράγωνο είναι ένα ορθογώνιο του οποίου οι πλευρές είναι όλες ίσες.
Ένα τετράγωνο είναι ένας ειδικός τύπος ορθογωνίου, καθώς και ένας ειδικός τύπος ρόμβου. Επομένως έχει όλες τις ιδιότητές τους.
Ιδιότητες:
1. Όλες οι γωνίες ενός τετραγώνου είναι ορθές
2. Οι διαγώνιοι του τετραγώνου είναι ίσες, μεταξύ τους κάθετες, το σημείο τομής διχοτομεί και διχοτομεί τις γωνίες του τετραγώνου.
Ορισμός.
Ορθογώνιο παραλληλόγραμμοείναι ένα τετράπλευρο στο οποίο οι δύο απέναντι πλευρές είναι ίσες και οι τέσσερις γωνίες είναι ίσες.Τα ορθογώνια διαφέρουν μεταξύ τους μόνο ως προς την αναλογία της μακριάς προς τη κοντή πλευρά, αλλά και οι τέσσερις γωνίες είναι ορθές, δηλαδή 90 μοίρες.
Η μακριά πλευρά ενός ορθογωνίου ονομάζεται μήκος ορθογωνίουκαι το κοντό - πλάτος ορθογωνίου.
Οι πλευρές ενός ορθογωνίου είναι και τα ύψη του.
Βασικές ιδιότητες ενός ορθογωνίου
Ένα ορθογώνιο μπορεί να είναι παραλληλόγραμμο, τετράγωνο ή ρόμβος.
1. Οι απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου έχουν το ίδιο μήκος, δηλαδή είναι ίσες:
AB = CD, BC = AD
2. Οι απέναντι πλευρές του ορθογωνίου είναι παράλληλες:
3. Οι διπλανές πλευρές ενός ορθογωνίου είναι πάντα κάθετες:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Και οι τέσσερις γωνίες του ορθογωνίου είναι ευθείες:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Το άθροισμα των γωνιών ενός ορθογωνίου είναι 360 μοίρες:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου έχουν το ίδιο μήκος:
7. Το άθροισμα των τετραγώνων της διαγωνίου ενός ορθογωνίου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών:
2d 2 = 2a 2 + 2b 2
8. Κάθε διαγώνιος ενός παραλληλογράμμου χωρίζει το ορθογώνιο σε δύο όμοια σχήματα, δηλαδή ορθογώνια τρίγωνα.
9. Οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου τέμνονται και χωρίζονται στη μέση στο σημείο τομής:
| AO=BO=CO=DO= | ρε | ||
| 2 |
10. Το σημείο τομής των διαγωνίων ονομάζεται κέντρο του παραλληλογράμμου και είναι επίσης το κέντρο του κυκλικού κύκλου
11. Η διαγώνιος ενός ορθογωνίου είναι η διάμετρος του κυκλικού κύκλου
12. Μπορείτε πάντα να περιγράψετε έναν κύκλο γύρω από ένα ορθογώνιο, αφού το άθροισμα των απέναντι γωνιών είναι 180 μοίρες:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. Ένας κύκλος δεν μπορεί να εγγραφεί σε ένα ορθογώνιο του οποίου το μήκος δεν είναι ίσο με το πλάτος του, αφού τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών δεν είναι ίσα μεταξύ τους (ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί μόνο σε ειδική περίπτωση ορθογωνίου - τετραγώνου) .
Πλευρές ορθογωνίου
Ορισμός.
Μήκος ορθογωνίουείναι το μήκος του μεγαλύτερου ζεύγους των πλευρών του. Πλάτος ορθογωνίουείναι το μήκος του μικρότερου ζεύγους των πλευρών του.Τύποι για τον προσδιορισμό των μηκών των πλευρών ενός ορθογωνίου
1. Τύπος για την πλευρά ενός ορθογωνίου (μήκος και πλάτος του ορθογωνίου) διαμέσου της διαγώνιου και της άλλης πλευράς:
a = √ δ 2 - β 2
b = √ δ 2 - α 2
2. Τύπος για την πλευρά ενός ορθογωνίου (μήκος και πλάτος του ορθογωνίου) που διασχίζει την περιοχή και την άλλη πλευρά:
| b = dcos | β |
| 2 |
Διαγώνιος ορθογωνίου
Ορισμός.
Διαγώνιο ορθογώνιοΚάθε τμήμα που συνδέει δύο κορυφές απέναντι γωνίες ενός ορθογωνίου καλείται.Τύποι για τον προσδιορισμό του μήκους της διαγωνίου ενός ορθογωνίου
1. Τύπος για τη διαγώνιο ενός παραλληλογράμμου χρησιμοποιώντας δύο πλευρές του ορθογωνίου (μέσω του Πυθαγόρειου θεωρήματος):
d = √ α 2 + β 2
2. Τύπος για τη διαγώνιο ενός ορθογωνίου χρησιμοποιώντας το εμβαδόν και οποιαδήποτε πλευρά:
4. Τύπος για τη διαγώνιο ενός ορθογωνίου ως προς την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου:
d = 2R
5. Τύπος για τη διαγώνιο ενός ορθογωνίου ως προς τη διάμετρο του κυκλικού κύκλου:
d = D o
6. Τύπος για τη διαγώνιο ενός παραλληλογράμμου χρησιμοποιώντας το ημίτονο της γωνίας δίπλα στη διαγώνιο και το μήκος της πλευράς απέναντι από αυτήν τη γωνία:
8. Τύπος για τη διαγώνιο ενός ορθογωνίου διαμέσου του ημιτόνου της οξείας γωνίας μεταξύ των διαγωνίων και του εμβαδού του ορθογωνίου
d = √2S: αμαρτία β
Περίμετρος ορθογωνίου
Ορισμός.
Περίμετρος ορθογωνίουείναι το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών ενός ορθογωνίου.Τύποι για τον προσδιορισμό του μήκους της περιμέτρου ενός ορθογωνίου
1. Τύπος για την περίμετρο ενός παραλληλογράμμου χρησιμοποιώντας δύο πλευρές του ορθογωνίου:
P = 2a + 2b
P = 2(a + b)
2. Τύπος για την περίμετρο ενός ορθογωνίου χρησιμοποιώντας εμβαδόν και οποιαδήποτε πλευρά:
| Ρ= | 2S + 2a 2 | = | 2S + 2b 2 |
| ένα | σι |
3. Τύπος για την περίμετρο ενός ορθογωνίου χρησιμοποιώντας τη διαγώνιο και οποιαδήποτε πλευρά:
P = 2(a + √ δ 2 - α 2) = 2(b + √ δ 2 - β 2)
4. Τύπος για την περίμετρο ενός παραλληλογράμμου με χρήση της ακτίνας του κύκλου και οποιασδήποτε πλευράς:
P = 2(a + √4R 2 - Α2) = 2(b + √4R 2 - β 2)
5. Τύπος για την περίμετρο ενός ορθογωνίου χρησιμοποιώντας τη διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου και οποιασδήποτε πλευράς:
P = 2(a + √D o 2 - Α2) = 2(b + √D o 2 - β 2)
Εμβαδόν ορθογωνίου
Ορισμός.
Εμβαδόν ορθογωνίουονομάζεται ο χώρος που περιορίζεται από τις πλευρές του ορθογωνίου, δηλαδή εντός της περιμέτρου του ορθογωνίου.Τύποι για τον προσδιορισμό του εμβαδού ενός ορθογωνίου
1. Τύπος για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με δύο πλευρές:
S = a b
2. Τύπος για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου χρησιμοποιώντας την περίμετρο και οποιαδήποτε πλευρά:
5. Τύπος για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου χρησιμοποιώντας την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και οποιασδήποτε πλευράς:
S = a √4R 2 - Α2= b √4R 2 - β 2
6. Τύπος για το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου χρησιμοποιώντας τη διάμετρο του κυκλικού κύκλου και οποιαδήποτε πλευρά:
S = a √D o 2 - Α2= b √D o 2 - β 2
Κύκλος περιγεγραμμένος γύρω από ένα ορθογώνιο
Ορισμός.
Ένας κύκλος περιγεγραμμένος γύρω από ένα ορθογώνιοείναι ένας κύκλος που διέρχεται από τις τέσσερις κορυφές ενός ορθογωνίου, το κέντρο του οποίου βρίσκεται στην τομή των διαγωνίων του ορθογωνίου.Τύποι για τον προσδιορισμό της ακτίνας ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα ορθογώνιο
1. Τύπος για την ακτίνα ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα ορθογώνιο από δύο πλευρές:
Στόχοι μαθήματος
Να εμπεδώσει τις γνώσεις των μαθητών σχετικά με το θέμα ορθογώνιο.
Συνεχίστε να εισάγετε τους μαθητές στους ορισμούς και τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου.
Διδάξτε τους μαθητές να χρησιμοποιούν τις γνώσεις που αποκτήθηκαν σχετικά με αυτό το θέμα κατά την επίλυση προβλημάτων.
Αναπτύξτε ενδιαφέρον για το θέμα των μαθηματικών, την προσοχή, τη λογική σκέψη.
Αναπτύξτε την ικανότητα αυτοανάλυσης και πειθαρχίας.
Στόχοι μαθήματος
Να επαναλάβουν και να εδραιώσουν τις γνώσεις των μαθητών σχετικά με μια έννοια όπως το ορθογώνιο, βασιζόμενοι στις γνώσεις που αποκτήθηκαν σε προηγούμενες τάξεις.
Συνέχιση της βελτίωσης της γνώσης των μαθητών σχετικά με τις ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά των ορθογωνίων.
Συνεχίστε να αναπτύσσετε δεξιότητες στη διαδικασία επίλυσης εργασιών.
Κίνηση ενδιαφέροντος για μαθήματα μαθηματικών.
Καλλιεργήστε ενδιαφέρον για τις ακριβείς επιστήμες και θετική στάση απέναντι στα μαθήματα των μαθηματικών.
Πλάνο μαθήματος
1. Θεωρητικό μέρος, γενικές πληροφορίες, ορισμοί.
2. Επανάληψη του θέματος «Ορθογώνια».
3. Ιδιότητες ορθογωνίου.
4. Σημάδια ορθογωνίου.
5. Ενδιαφέροντα γεγονότα από τη ζωή των τριγώνων.
6. Χρυσό ορθογώνιο, γενικές έννοιες.
7. Ερωτήσεις και εργασίες.
Τι είναι ένα ορθογώνιο
Σε προηγούμενες τάξεις έχετε ήδη μελετήσει θέματα σχετικά με τα ορθογώνια. Τώρα ας ανανεώσουμε τη μνήμη μας και ας θυμηθούμε τι είδους σχήμα είναι αυτό που ονομάζεται ορθογώνιο.
Παραλληλόγραμμο είναι ένα παραλληλόγραμμο του οποίου οι τέσσερις γωνίες είναι ορθές και ίσες με 90 μοίρες.
Ένα ορθογώνιο είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από 4 πλευρές και τέσσερις ορθές γωνίες.
Οι απέναντι πλευρές ενός ορθογωνίου είναι πάντα ίσες.
Αν λάβουμε υπόψη τον ορισμό ενός ορθογωνίου σύμφωνα με την Ευκλείδεια γεωμετρία, τότε για να θεωρηθεί ένα τετράπλευρο ορθογώνιο, είναι απαραίτητο σε αυτό το γεωμετρικό σχήμα τουλάχιστον τρεις γωνίες να είναι ορθές. Από αυτό προκύπτει ότι η τέταρτη γωνία θα είναι επίσης ενενήντα μοίρες.
Αν και είναι σαφές ότι όταν το άθροισμα των γωνιών ενός τετράπλευρου δεν έχει 360 μοίρες, τότε αυτό το σχήμα δεν είναι ορθογώνιο.
Αν ένα κανονικό ορθογώνιο έχει όλες τις πλευρές ίσες μεταξύ τους, τότε ένα τέτοιο ορθογώνιο ονομάζεται τετράγωνο.
Σε ορισμένες περιπτώσεις, ένα τετράγωνο μπορεί να λειτουργήσει ως ρόμβος εάν ένας τέτοιος ρόμβος, εκτός από ίσες πλευρές, έχει όλες τις ορθές γωνίες.
Για να αποδειχθεί η συμμετοχή οποιουδήποτε γεωμετρικού σχήματος σε ένα ορθογώνιο, αρκεί αυτό το γεωμετρικό σχήμα να πληροί τουλάχιστον μία από αυτές τις απαιτήσεις:
1. το τετράγωνο της διαγωνίου αυτού του σχήματος πρέπει να είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων 2 πλευρών που έχουν κοινό σημείο.
2. Οι διαγώνιοι του γεωμετρικού σχήματος πρέπει να έχουν το ίδιο μήκος.
3. όλες οι γωνίες ενός γεωμετρικού σχήματος πρέπει να είναι ίσες με ενενήντα μοίρες.
Εάν αυτές οι συνθήκες πληρούν τουλάχιστον μία απαίτηση, τότε έχετε ένα ορθογώνιο.
Ένα ορθογώνιο στη γεωμετρία είναι το κύριο βασικό σχήμα, το οποίο έχει πολλούς υποτύπους, με τις δικές τους ιδιαίτερες ιδιότητες και χαρακτηριστικά.
Ασκηση:Ονομάστε τα γεωμετρικά σχήματα που ανήκουν σε ορθογώνια.
Ορθογώνιο και οι ιδιότητές του
Τώρα ας θυμηθούμε τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου:
Ένα ορθογώνιο έχει όλες τις διαγώνιές του ίσες.
Ένα ορθογώνιο είναι ένα παραλληλόγραμμο με παράλληλες απέναντι πλευρές.
Οι πλευρές του ορθογωνίου θα είναι επίσης τα ύψη του.
Ένα ορθογώνιο έχει ίσες απέναντι πλευρές και γωνίες.
Ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από οποιοδήποτε ορθογώνιο και η διαγώνιος του ορθογωνίου θα είναι ίση με τη διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου.
Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου το χωρίζουν σε 2 ίσα τρίγωνα.
Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, το τετράγωνο της διαγωνίου ενός ορθογωνίου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των 2 μη αντίθετων πλευρών του.
Ασκηση:
1. Ένα ορθογώνιο έχει δύο δυνατότητες στις οποίες μπορεί να χωριστεί σε 2 ίσα ορθογώνια. Σχεδιάστε δύο ορθογώνια στο τετράδιό σας και χωρίστε τα έτσι ώστε να λάβετε 2 ίσα ορθογώνια.
2. Σχεδιάστε έναν κύκλο γύρω από το ορθογώνιο, η διάμετρος του οποίου θα είναι ίση με τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου.
3. Είναι δυνατόν να εγγραφεί ένας κύκλος σε ένα παραλληλόγραμμο έτσι ώστε να εφάπτεται σε όλες τις πλευρές του, αλλά με την προϋπόθεση ότι αυτό το ορθογώνιο δεν είναι τετράγωνο;
Ορθογώνια σημάδια
Το παραλληλόγραμμο θα είναι ένα ορθογώνιο υπό την προϋπόθεση:
1. εάν τουλάχιστον μία από τις γωνίες του είναι ορθή.
2. αν και οι τέσσερις γωνίες του είναι ορθές.
3. αν οι απέναντι πλευρές είναι ίσες.
4. εάν τουλάχιστον τρεις γωνίες είναι ορθές.
5. αν οι διαγώνιες του είναι ίσες.
6. αν το τετράγωνο της διαγωνίου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των μη αντίθετων πλευρών.
Είναι ενδιαφέρον να γνωρίζουμε
Γνωρίζατε ότι αν σχεδιάσετε διχοτόμους των γωνιών σε ένα ορθογώνιο που έχει ανομοιόμορφες γειτονικές πλευρές, τότε όταν τέμνονται, θα καταλήξετε σε ένα ορθογώνιο.
Αν όμως η διχοτόμος ενός παραλληλογράμμου τέμνει μια από τις πλευρές του, τότε αποκόπτει ένα ισοσκελές τρίγωνο από αυτό το ορθογώνιο.
Γνωρίζατε ότι ακόμη και πριν ο Malevich ζωγραφίσει το εξαιρετικό του «Black Square», το 1882, σε μια έκθεση στο Παρίσι, παρουσιάστηκε ένας πίνακας του Paul Bilo, ο καμβάς του οποίου απεικόνιζε ένα μαύρο ορθογώνιο με το περίεργο όνομα «Battle of the Negroes in το τούνελ".
Αυτή η ιδέα με ένα μαύρο ορθογώνιο ενέπνευσε άλλες πολιτιστικές προσωπικότητες. Ο Γάλλος συγγραφέας και χιουμορίστας Alphonse Allais κυκλοφόρησε μια ολόκληρη σειρά έργων του και με την πάροδο του χρόνου εμφανίστηκε ένα ορθογώνιο τοπίο σε ριζοσπαστικό κόκκινο χρώμα που ονομάζεται «Συγκομιδή ντομάτας στις ακτές της Ερυθράς Θάλασσας από αποπληγικούς καρδινάλιους», το οποίο επίσης δεν είχε καμία εικόνα.
Ασκηση
1. Ονομάστε μια ιδιότητα που είναι εγγενής μόνο σε ένα ορθογώνιο;
2. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ενός αυθαίρετου παραλληλογράμμου και ενός παραλληλογράμμου;
3. Είναι αλήθεια ότι οποιοδήποτε παραλληλόγραμμο μπορεί να είναι παραλληλόγραμμο; Αν είναι έτσι, τότε αποδείξτε γιατί;
4. Να αναφέρετε τα τετράπλευρα που είναι ορθογώνια.
5. Να αναφέρετε τις ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου.
Ιστορικό γεγονός
Το ορθογώνιο του Ευκλείδη
Γνωρίζατε ότι το ορθογώνιο του Ευκλείδη, που ονομάζεται χρυσή τομή, για μεγάλο χρονικό διάστημα αποτελούσε για οποιοδήποτε κτίριο θρησκευτικής σημασίας, τέλεια και ανάλογη βάση για την κατασκευή εκείνης της εποχής. Με τη βοήθειά του χτίστηκαν τα περισσότερα αναγεννησιακά κτίρια και κλασικοί ναοί στην Αρχαία Ελλάδα.
Ένα «χρυσό» ορθογώνιο συνήθως ονομάζεται γεωμετρικό ορθογώνιο, ο λόγος της μεγαλύτερης προς τη μικρότερη πλευρά είναι ίσος με τη χρυσή τομή.
Αυτή η αναλογία των πλευρών αυτού του ορθογωνίου ήταν 382 προς 618, ή περίπου 19 προς 31. Το ευκλείδειο ορθογώνιο, εκείνη την εποχή, ήταν το πιο πρόσφορο, βολικό, ασφαλές και κανονικό ορθογώνιο από όλα τα γεωμετρικά σχήματα. Λόγω αυτού του χαρακτηριστικού, το Ευκλείδειο ορθογώνιο, ή προσεγγίσεις σε αυτό, χρησιμοποιήθηκε παντού. Χρησιμοποιήθηκε σε σπίτια, πίνακες ζωγραφικής, έπιπλα, παράθυρα, πόρτες ακόμα και βιβλία.
Μεταξύ των Ινδιάνων Ναβάχο, το ορθογώνιο συγκρίθηκε με τη γυναικεία μορφή, αφού θεωρήθηκε το συνηθισμένο, τυπικό σχήμα του σπιτιού, που συμβολίζει τη γυναίκα που κατέχει αυτό το σπίτι.
Μαθήματα > Μαθηματικά > Μαθηματικά 8ης τάξηςΈνα ορθογώνιο είναι Πρώταγεωμετρική επίπεδη φιγούρα. Αποτελείται από τέσσερα σημεία που συνδέονται μεταξύ τους με δύο ζεύγη ίσων τμημάτων που τέμνονται κάθετα μόνο σε αυτά τα σημεία.
Ένα ορθογώνιο ορίζεται μέσω παραλληλογράμμου. Με άλλα λόγια, ορθογώνιο είναι ένα παραλληλόγραμμο του οποίου οι γωνίες είναι όλες ορθές, δηλαδή ίσες με 90 μοίρες. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία, αν ένα γεωμετρικό σχήμα έχει 3 από τις 4 γωνίες ίσες με 90 μοίρες, τότε η τέταρτη γωνία είναι αυτόματα ίση με 90 μοίρες και ένα τέτοιο σχήμα μπορεί να ονομαστεί ορθογώνιο. Από τον ορισμό ενός παραλληλογράμμου είναι σαφές ότι ένα ορθογώνιο είναι πολλές ποικιλίες αυτού του σχήματος σε ένα επίπεδο. Από αυτό προκύπτει ότι οι ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου ισχύουν και για ένα ορθογώνιο. Για παράδειγμα: σε ένα ορθογώνιο, οι απέναντι πλευρές είναι ίσες σε μήκος. Όταν κατασκευάζετε μια διαγώνιο σε ένα ορθογώνιο, θα χωρίσει το σχήμα σε δύο ίδια τρίγωνα. Αυτή είναι η βάση του Πυθαγόρειου θεωρήματος, το οποίο δηλώνει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών της. Αν όλες οι πλευρές ενός κανονικού ορθογωνίου είναι ίσες, τότε ένα τέτοιο ορθογώνιο ονομάζεται τετράγωνο. Ένα τετράγωνο ορίζεται επίσης ως ένας ρόμβος στον οποίο όλες οι πλευρές του είναι ίσες και όλες οι γωνίες του είναι ορθές.
4. Τύπος για την ακτίνα ενός κύκλου, ο οποίος περιγράφεται γύρω από ένα ορθογώνιο διαμέσου της διαγωνίου ενός τετραγώνου:
5. Τύπος για την ακτίνα ενός κύκλου, ο οποίος περιγράφεται γύρω από ένα ορθογώνιο διαμέσου της διαμέτρου του κύκλου (περιγράφεται):
6. Τύπος για την ακτίνα ενός κύκλου, ο οποίος περιγράφεται γύρω από ένα ορθογώνιο διαμέσου του ημιτόνου της γωνίας που είναι δίπλα στη διαγώνιο, και το μήκος της πλευράς που είναι απέναντι από αυτήν τη γωνία:
7. Τύπος για την ακτίνα ενός κύκλου, ο οποίος περιγράφεται γύρω από ένα ορθογώνιο διαμέσου του συνημιτόνου της γωνίας που είναι δίπλα στη διαγώνιο, και το μήκος της πλευράς αυτής της γωνίας:
8. Τύπος για την ακτίνα ενός κύκλου, ο οποίος περιγράφεται γύρω από ένα ορθογώνιο μέσω του ημιτόνου της οξείας γωνίας μεταξύ των διαγωνίων και του εμβαδού του ορθογωνίου:
Η γωνία μεταξύ της πλευράς και της διαγωνίου ενός ορθογωνίου.
Τύποι για τον προσδιορισμό της γωνίας μεταξύ της πλευράς και της διαγωνίου ενός ορθογωνίου:
1. Τύπος για τον προσδιορισμό της γωνίας μεταξύ της πλευράς και της διαγωνίου ενός ορθογωνίου διαμέσου της διαγώνιου και της πλευράς:
2. Τύπος για τον προσδιορισμό της γωνίας μεταξύ της πλευράς και της διαγωνίου ενός ορθογωνίου διαμέσου της γωνίας μεταξύ των διαγωνίων:
Η γωνία μεταξύ των διαγωνίων ενός ορθογωνίου.
Τύποι για τον προσδιορισμό της γωνίας μεταξύ των διαγωνίων ενός ορθογωνίου:
1. Τύπος για τον προσδιορισμό της γωνίας μεταξύ των διαγωνίων ενός ορθογωνίου διαμέσου της γωνίας μεταξύ της πλευράς και της διαγωνίου:
β = 2α
2. Τύπος για τον προσδιορισμό της γωνίας μεταξύ των διαγωνίων ενός ορθογωνίου διαμέσου εμβαδού και διαγωνίου.