Γραμμικοί χώροι. Υποχώροι. Διάσταση και βάση. Διάσταση και βάση διανυσματικού χώρου, επέκταση διανύσματος κατά βάση, παραδείγματα Συστημάτων γραμμικών ομοιογενών εξισώσεων

1. Αφήστε υποδιάστημα μεγάλο = μεγάλο(ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 , …, και μ) , αυτό είναι μεγάλο– γραμμικό κέλυφος του συστήματος ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 , …, και μ; φορείς ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 , …, και μ– το σύστημα των γεννητριών αυτού του υποχώρου. Στη συνέχεια η βάση μεγάλοείναι η βάση του συστήματος των διανυσμάτων ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 , …, και μ, δηλαδή η βάση του συστήματος των γεννητριών. Διάσταση μεγάλοίσο με τον βαθμό του συστήματος των γεννητριών.

2. Αφήστε υποδιάστημα μεγάλοείναι το άθροισμα των υποχώρων μεγάλο 1 και μεγάλο 2. Ένα σύστημα δημιουργίας υποχώρων για ένα άθροισμα μπορεί να ληφθεί συνδυάζοντας συστήματα δημιουργίας υποχώρων, μετά τον οποίο βρίσκεται η βάση του αθροίσματος. Η διάσταση του ποσού καθορίζεται από τον ακόλουθο τύπο:

αμυδρός(μεγάλο 1 + μεγάλο 2) = dimL 1 + dimL 2 – αμυδρός(μεγάλο 1 Ç μεγάλο 2).

3. Έστω το άθροισμα των υποχώρων μεγάλο 1 και μεγάλοΤο 2 είναι ευθύ, δηλαδή μεγάλο = μεγάλο 1 Å μεγάλο 2. Εν μεγάλο 1 Ç μεγάλο 2 = {Ο) Και αμυδρός(μεγάλο 1 Ç μεγάλο 2) = 0. Η βάση του άμεσου αθροίσματος ισούται με την ένωση των βάσεων των όρων. Η διάσταση ενός άμεσου αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των διαστάσεων των όρων.

4. Ας δώσουμε ένα σημαντικό παράδειγμα ενός υποχώρου και μιας γραμμικής πολλαπλότητας.

Σκεφτείτε ένα ομοιογενές σύστημα Μγραμμικές εξισώσεις με nάγνωστος. Πολλές λύσεις ΜΤο 0 αυτού του συστήματος είναι ένα υποσύνολο του συνόλου Rnκαι κλείνει με πρόσθεση διανυσμάτων και πολλαπλασιασμό με πραγματικό αριθμό. Αυτό σημαίνει ότι είναι πολλά Μ 0 – υποχώρος του χώρου Rn. Η βάση του υποχώρου είναι το θεμελιώδες σύνολο λύσεων ενός ομοιογενούς συστήματος· η διάσταση του υποχώρου είναι ίση με τον αριθμό των διανυσμάτων στο θεμελιώδες σύνολο λύσεων του συστήματος.

Ενα μάτσο Μκοινές λύσεις συστήματος Μγραμμικές εξισώσεις με nΤο άγνωστο είναι επίσης ένα υποσύνολο του συνόλου Rnκαι ίσο με το άθροισμα του συνόλου Μ 0 και διάνυσμα ΕΝΑ, Οπου ΕΝΑείναι κάποια συγκεκριμένη λύση του αρχικού συστήματος και του συνόλου Μ 0 – σύνολο λύσεων σε ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων που συνοδεύει αυτό το σύστημα (διαφέρει από το αρχικό μόνο σε ελεύθερους όρους),

Μ = ΕΝΑ + Μ 0 = {ΕΝΑ = Μ, Μ Î Μ 0 }.

Αυτό σημαίνει ότι πολλοί Μείναι μια γραμμική πολλαπλότητα του χώρου Rnμε διάνυσμα μετατόπισης ΕΝΑκαι κατεύθυνση Μ 0 .

Παράδειγμα 8.6.Βρείτε τη βάση και τη διάσταση του υποχώρου που ορίζεται από ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

Λύση. Ας βρούμε μια γενική λύση για αυτό το σύστημα και το θεμελιώδες σύνολο λύσεών του: Με 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), Με 2 = (12, –8, 0, 1, 0), Με 3 = (11, –8, 0, 0, 1).

Η βάση του υποχώρου σχηματίζεται από διανύσματα Με 1 , Με 2 , Με 3, η διάστασή του είναι τρεις.

Τέλος εργασίας -

Αυτό το θέμα ανήκει στην ενότητα:

Γραμμική άλγεβρα

Κρατικό Πανεπιστήμιο Kostroma με το όνομα N. Nekrasov..

Εάν χρειάζεστε επιπλέον υλικό για αυτό το θέμα ή δεν βρήκατε αυτό που αναζητούσατε, συνιστούμε να χρησιμοποιήσετε την αναζήτηση στη βάση δεδομένων των έργων μας:

Τι θα κάνουμε με το υλικό που λάβαμε:

Εάν αυτό το υλικό σας ήταν χρήσιμο, μπορείτε να το αποθηκεύσετε στη σελίδα σας στα κοινωνικά δίκτυα:

Όλα τα θέματα σε αυτήν την ενότητα:

BBK 22,174ya73-5
M350 Εκδόθηκε με απόφαση του συντακτικού και εκδοτικού συμβουλίου του KSU. N. A. Nekrasova Κριτής A. V. Cherednikov

BBK 22,174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina 2013 ã KSU επωνυμία. N. A. Nekrasova, 2013

Ένωση (ή άθροισμα)
Ορισμός 1.9 Η ένωση των συνόλων Α και Β είναι ένα σύνολο Α È Β, που αποτελείται από εκείνα και μόνο εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν αν και

Τομή (ή προϊόν)
Ορισμός 1.10. Η τομή των συνόλων A και B είναι ένα σύνολο A Ç B, το οποίο αποτελείται από εκείνα και μόνο εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν στο ίδιο

Διαφορά
Ορισμός 1.11 Η διαφορά μεταξύ των συνόλων Α και Β είναι το σύνολο Α Β, που αποτελείται από εκείνα και μόνο εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο Α

Καρτεσιανό προϊόν (ή άμεσο προϊόν)
Ορισμός 1.14. Ένα διατεταγμένο ζεύγος (ή ζεύγος) (a, b) είναι δύο στοιχεία a, b που λαμβάνονται με μια ορισμένη σειρά. Ζεύγη (a1

Ιδιότητες συνόλου λειτουργιών
Οι ιδιότητες των πράξεων ένωσης, τομής και συμπληρώματος ονομάζονται μερικές φορές νόμοι της άλγεβρας συνόλων. Ας απαριθμήσουμε τις κύριες ιδιότητες των πράξεων σε σύνολα. Ας δοθεί ένα καθολικό σύνολο U

Μέθοδος μαθηματικής επαγωγής
Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής χρησιμοποιείται για να αποδείξει προτάσεις στη διατύπωση των οποίων εμπλέκεται η φυσική παράμετρος n. Μέθοδος μαθηματικής επαγωγής - μέθοδος απόδειξης μαθηματικών

Μιγαδικοί αριθμοί
Η έννοια του αριθμού είναι ένα από τα κύρια επιτεύγματα του ανθρώπινου πολιτισμού. Αρχικά, εμφανίστηκαν οι φυσικοί αριθμοί N = (1, 2, 3, ..., n, ...), μετά οι ακέραιοι Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), ρητικοί Q

Γεωμετρική ερμηνεία μιγαδικών αριθμών
Είναι γνωστό ότι αρνητικοί αριθμοί εισήχθησαν σε σχέση με τη λύση γραμμικών εξισώσεων σε μία μεταβλητή. Σε συγκεκριμένες εργασίες, μια αρνητική απάντηση ερμηνεύτηκε ως η τιμή της κατευθυντικής ποσότητας (

Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού
Ένα διάνυσμα μπορεί να προσδιοριστεί όχι μόνο από συντεταγμένες σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, αλλά και από μήκος και

Πράξεις σε μιγαδικούς αριθμούς σε τριγωνομετρική μορφή
Είναι πιο βολικό να κάνετε πρόσθεση και αφαίρεση με μιγαδικούς αριθμούς σε αλγεβρική μορφή και πολλαπλασιασμό και διαίρεση σε τριγωνομετρική μορφή. 1. Πολλαπλασιασμοί Έστω δύο k

Εκθεσιμότητα
Αν z = r(cosj + i×sinj), τότε zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), όπου n Î

Εκθετική μορφή μιγαδικού αριθμού
Από τη μαθηματική ανάλυση είναι γνωστό ότι το e = , το e είναι ένας άρρητος αριθμός. Έιλ

Έννοια της σχέσης
Ορισμός 2.1. Μια n-ary (ή n-ary) σχέση P στα σύνολα A1, A2, …, An είναι οποιοδήποτε υποσύνολο

Ιδιότητες δυαδικών σχέσεων
Έστω μια δυαδική σχέση P να οριστεί σε ένα μη κενό σύνολο A, δηλαδή P Í A2. Ορισμός 2.9 Δυαδική σχέση P σε ένα σύνολο

Σχέση ισοδυναμίας
Ορισμός 2.15. Μια δυαδική σχέση σε ένα σύνολο Α ονομάζεται σχέση ισοδυναμίας εάν είναι αντανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική. Ισοδύναμη αναλογία

Λειτουργίες
Ορισμός 2.20 Μια δυαδική σχέση ƒ Í A ´ B ονομάζεται συνάρτηση από το σύνολο A στο σύνολο B εάν για οποιοδήποτε x

Γενικές έννοιες
Ορισμός 3.1. Ένας πίνακας είναι ένας ορθογώνιος πίνακας αριθμών που περιέχει m σειρές και n στήλες. Οι αριθμοί m και n ονομάζονται σειρά (ή

Προσθήκη πινάκων ίδιου τύπου
Μπορούν να προστεθούν μόνο πίνακες του ίδιου τύπου. Ορισμός 3.12. Το άθροισμα δύο πινάκων A = (aij) και B = (bij), όπου i = 1,

Ιδιότητες πρόσθεσης πίνακα
1) ανταλλαξιμότητα: "A, B: A + B = B + A; 2) συσχετισμός: "A, B, C: (A + B) + C = A

Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό
Ορισμός 3.13. Το γινόμενο ενός πίνακα A = (aij) με έναν πραγματικό αριθμό k είναι ένας πίνακας C = (сij), για τον οποίο

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού ενός πίνακα με έναν αριθμό
1) " A: 1×A = A; 2) " α, β Ο R, " A: (αβ)×A = α×(β×A) = β×

Πολλαπλασιασμός μήτρας
Ας ορίσουμε τον πολλαπλασιασμό δύο πινάκων. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να εισαχθούν ορισμένες πρόσθετες έννοιες. Ορισμός 3.14. Οι πίνακες Α και Β ονομάζονται συνεπείς

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού πινάκων
1) Ο πολλαπλασιασμός του πίνακα δεν είναι ανταλλάξιμος: A×B ≠ B×A. Αυτή η ιδιότητα μπορεί να αποδειχθεί με παραδείγματα. Παράδειγμα 3.6. ΕΝΑ)

Μεταφορά πινάκων
Ορισμός 3.16. Ο πίνακας At που προκύπτει από ένα δεδομένο αντικαθιστώντας κάθε γραμμή του με μια στήλη με τον ίδιο αριθμό ονομάζεται μεταφερόμενος στον δεδομένο πίνακα Α

Ορίζοντες πινάκων δεύτερης και τρίτης τάξης
Κάθε τετράγωνος πίνακας Α τάξης n συνδέεται με έναν αριθμό, ο οποίος ονομάζεται ορίζουσα αυτού του πίνακα. Ονομασία: D, |A|, det A,

Ορισμός 4.6.
1. Για n = 1, ο πίνακας A αποτελείται από έναν αριθμό: |A| = a11. 2. Έστω γνωστή η ορίζουσα ενός πίνακα τάξης (n – 1). 3. Ορίστε

Ιδιότητες καθοριστικών παραγόντων
Για να υπολογιστούν ορίζουσες τάξεων μεγαλύτερες από 3, χρησιμοποιούνται οι ιδιότητες των οριζουσών και το θεώρημα του Laplace. Θεώρημα 4.1 (Laplace). Ορίζουσα τετραγωνικού πίνακα

Πρακτικός υπολογισμός οριζόντων
Ένας τρόπος για να υπολογίσετε ορίζοντες τάξης άνω των τριών είναι να τις επεκτείνετε σε κάποια στήλη ή γραμμή. Παράδειγμα 4.4 Υπολογίστε την ορίζουσα D =

Η έννοια της κατάταξης μήτρας
Έστω A ένας πίνακας διάστασης m ´ n. Ας επιλέξουμε αυθαίρετα k σειρές και k στήλες σε αυτόν τον πίνακα, όπου 1 ≤ k ≤ min(m, n).

Εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα με τη μέθοδο της οριοθέτησης ανηλίκων
Μία από τις μεθόδους εύρεσης της κατάταξης ενός πίνακα είναι η μέθοδος απαρίθμησης ανηλίκων. Αυτή η μέθοδος βασίζεται στον προσδιορισμό της κατάταξης του πίνακα. Η ουσία της μεθόδου είναι η εξής. Εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο ma

Εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς
Ας εξετάσουμε έναν άλλο τρόπο εύρεσης της κατάταξης ενός πίνακα. Ορισμός 5.4. Οι παρακάτω μετασχηματισμοί ονομάζονται μετασχηματισμοί στοιχειώδους πίνακα: 1. πολλαπλασιάζω

Η έννοια του αντίστροφου πίνακα και οι μέθοδοι εύρεσης του
Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας Α. Ορισμός 5.7. Ο πίνακας A–1 ονομάζεται αντίστροφος του πίνακα A εάν A×A–1

Αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα
Ας εξετάσουμε έναν από τους τρόπους εύρεσης του αντίστροφου πίνακα ενός δεδομένου χρησιμοποιώντας αλγεβρικές προσθήκες. Έστω ένας τετράγωνος πίνακας Α. 1. Βρείτε την ορίζουσα του πίνακα |A|. ΕΕ

Εύρεση του αντίστροφου πίνακα χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς
Ας εξετάσουμε έναν άλλο τρόπο για να βρούμε τον αντίστροφο πίνακα χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς. Ας διατυπώσουμε τις απαραίτητες έννοιες και θεωρήματα. Ορισμός 5.11 Matrix By name

Μέθοδος Cramer
Ας εξετάσουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων στο οποίο ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων, δηλαδή m = n και το σύστημα έχει τη μορφή:

Μέθοδος αντίστροφης μήτρας
Η μέθοδος αντίστροφου πίνακα εφαρμόζεται σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων και η ορίζουσα του κύριου πίνακα δεν είναι ίσος με μηδέν. Μορφή μήτρας σημειογραφίας συστήματος

Μέθοδος Gauss
Για να περιγραφεί αυτή η μέθοδος, η οποία είναι κατάλληλη για την επίλυση αυθαίρετων συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, χρειάζονται κάποιες νέες έννοιες. Ορισμός 6.7. Εξίσωση της μορφής 0×

Περιγραφή της μεθόδου Gauss
Η μέθοδος Gauss - μια μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων - συνίσταται στο γεγονός ότι, με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών, το αρχικό σύστημα ανάγεται σε ένα ισοδύναμο σύστημα σταδιακής ή t

Μελέτη συστήματος γραμμικών εξισώσεων
Η μελέτη ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων σημαίνει, χωρίς να λύσει το σύστημα, να απαντήσει στο ερώτημα: είναι το σύστημα συνεπές ή όχι και αν είναι συνεπές, πόσες λύσεις έχει; Απαντήστε σε αυτό στο

Ομοιογενή συστήματα γραμμικών εξισώσεων
Ορισμός 6.11 Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων ονομάζεται ομοιογενές αν οι ελεύθεροι όροι του είναι ίσοι με μηδέν. Ομογενές σύστημα m γραμμικών εξισώσεων

Ιδιότητες λύσεων ομοιογενούς συστήματος γραμμικών εξισώσεων
1. Αν το διάνυσμα a = (a1, a2, …, an) είναι λύση σε ένα ομοιογενές σύστημα, τότε το διάνυσμα k×a = (k×a1, k&t

Βασικό σύνολο λύσεων σε ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων
Έστω M0 το σύνολο των λύσεων του ομογενούς συστήματος (4) των γραμμικών εξισώσεων. Ορισμός 6.12 Διανύσματα c1, c2, ..., c

Γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία ενός συστήματος διανυσμάτων
Έστω a1, a2, …, am είναι ένα σύνολο m διανυσμάτων n-διαστάσεων, το οποίο συνήθως αναφέρεται ως σύστημα διανυσμάτων και k1

Ιδιότητες γραμμικής εξάρτησης συστήματος διανυσμάτων
1) Το σύστημα των διανυσμάτων που περιέχουν το μηδενικό διάνυσμα εξαρτάται γραμμικά. 2) Ένα σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά εάν κάποιο από τα υποσυστήματα του είναι γραμμικά εξαρτώμενο. Συνέπεια. Αν si

Διανυσματικό σύστημα μονάδας
Ορισμός 7.13. Ένα σύστημα μονάδων διανυσμάτων στο χώρο Rn είναι ένα σύστημα διανυσμάτων e1, e2, …, en

Δύο θεωρήματα για τη γραμμική εξάρτηση
Θεώρημα 7.1. Εάν ένα μεγαλύτερο σύστημα διανυσμάτων εκφράζεται γραμμικά μέσω ενός μικρότερου, τότε το μεγαλύτερο σύστημα εξαρτάται γραμμικά. Ας διατυπώσουμε αυτό το θεώρημα με περισσότερες λεπτομέρειες: έστω a1

Βάση και κατάταξη του διανυσματικού συστήματος
Έστω S ένα σύστημα διανυσμάτων στο χώρο Rn. μπορεί να είναι είτε πεπερασμένο είτε άπειρο. Το S" είναι ένα υποσύστημα του συστήματος S, S" Ì S. Ας δώσουμε δύο

Διάνυσμα κατάταξη συστήματος
Ας δώσουμε δύο ισοδύναμους ορισμούς για την κατάταξη ενός συστήματος διανυσμάτων. Ορισμός 7.16. Η κατάταξη ενός συστήματος διανυσμάτων είναι ο αριθμός των διανυσμάτων σε οποιαδήποτε βάση αυτού του συστήματος.

Πρακτικός προσδιορισμός της κατάταξης και της βάσης ενός συστήματος διανυσμάτων
Από αυτό το σύστημα διανυσμάτων συνθέτουμε έναν πίνακα, ταξινομώντας τα διανύσματα ως σειρές αυτού του πίνακα. Μειώνουμε τον πίνακα σε μορφή κλιμακίου χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς στις σειρές αυτού του πίνακα. Στο

Ορισμός ενός διανυσματικού χώρου πάνω από ένα αυθαίρετο πεδίο
Έστω P ένα αυθαίρετο πεδίο. Παραδείγματα πεδίων που είναι γνωστά σε εμάς είναι το πεδίο των ρητών, των πραγματικών και των μιγαδικών αριθμών. Ορισμός 8.1. Το σύνολο V καλείται

Οι απλούστερες ιδιότητες των διανυσματικών χώρων
1) o – μηδενικό διάνυσμα (στοιχείο), που ορίζεται μοναδικά σε έναν αυθαίρετο διανυσματικό χώρο πάνω από το πεδίο. 2) Για οποιοδήποτε διάνυσμα a О V υπάρχει ένα μοναδικό

Υποχώροι. Γραμμικές πολλαπλές
Έστω V ένας διανυσματικός χώρος, L М V (το L είναι ένα υποσύνολο του V). Ορισμός 8.2. Υποσύνολο L του vector pro

Τομή και άθροισμα υποχώρων
Έστω V ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο P, L1 και L2 στους υποχώρους του. Ορισμός 8.3. Διασχίζοντας το υποκείμενο

Γραμμικές πολλαπλές
Έστω V ένας διανυσματικός χώρος, L ένας υποχώρος, ένα αυθαίρετο διάνυσμα από το διάστημα V. Ορισμός 8.6 Γραμμική πολλαπλότητα

Διανυσματικοί χώροι πεπερασμένων διαστάσεων
Ορισμός 8.7 Ένας διανυσματικός χώρος V ονομάζεται n-διάστατος εάν περιέχει ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα διανυσμάτων που αποτελείται από n διανύσματα και για

Βάση διανυσματικού χώρου πεπερασμένων διαστάσεων
Το V είναι ένας πεπερασμένος διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο P, το S είναι ένα σύστημα διανυσμάτων (πεπερασμένα ή άπειρα). Ορισμός 8.10. Η βάση του συστήματος S

Διανυσματικές συντεταγμένες σε σχέση με μια δεδομένη βάση
Θεωρήστε έναν πεπερασμένο διανυσματικό χώρο V με διάσταση n, τα διανύσματα e1, e2, …, en αποτελούν τη βάση του. Ας είναι ένα προϊόν

Διανυσματικές συντεταγμένες σε διάφορες βάσεις
Έστω V ένας ν-διάστατος διανυσματικός χώρος στον οποίο δίνονται δύο βάσεις: e1, e2, …, en – παλιά βάση, e"1, e

Ευκλείδειοι διανυσματικοί χώροι
Δίνεται διανυσματικός χώρος V πάνω από το πεδίο των πραγματικών αριθμών. Αυτός ο χώρος μπορεί να είναι είτε ένας πεπερασμένος διανυσματικός χώρος διάστασης n είτε ένας απειροσδιάστατος

Το προϊόν με τελείες σε συντεταγμένες
Στον Ευκλείδειο διανυσματικό χώρο V της διάστασης n, δίνεται η βάση e1, e2, …, en. Τα διανύσματα x και y αποσυντίθενται σε διανύσματα

Μετρικές έννοιες
Στους Ευκλείδειους διανυσματικούς χώρους, από το εισαγόμενο βαθμωτό γινόμενο μπορούμε να προχωρήσουμε στις έννοιες του διανυσματικού κανόνα και της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων. Ορισμός 8.16. Νόρμα (

Ιδιότητες του κανόνα
1) ||α|| = 0 Û a = ο. 2) ||λα|| = |l|×||a||, επειδή ||la|| =

Ορθοκανονική βάση του Ευκλείδειου διανυσματικού χώρου
Ορισμός 8.21. Μια βάση ενός ευκλείδειου διανυσματικού χώρου ονομάζεται ορθογώνια αν τα διανύσματα βάσης είναι κατά ζεύγη ορθογώνια, δηλαδή αν a1, a

Διαδικασία ορθογωνοποίησης
Θεώρημα 8.12. Σε κάθε ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο υπάρχει μια ορθοκανονική βάση. Απόδειξη. Έστω a1, a2

Dot προϊόν σε ορθοκανονική βάση
Δίνεται μια ορθοκανονική βάση e1, e2, …, en του Ευκλείδειου χώρου V. Αφού (ei, ej) = 0 για i

Ορθογώνιο συμπλήρωμα υποχώρου
Το V είναι ένας ευκλείδειος διανυσματικός χώρος, το L είναι ο υποχώρος του. Ορισμός 8.23. Ένα διάνυσμα a λέγεται ότι είναι ορθογώνιο στον υποχώρο L αν το διάνυσμα

Σχέση μεταξύ των συντεταγμένων ενός διανύσματος και των συντεταγμένων της εικόνας του
Ένας γραμμικός τελεστής j δίνεται στο διάστημα V και ο πίνακας του M(j) βρίσκεται σε κάποια βάση e1, e2, …, en. Ας είναι αυτή η βάση

Παρόμοιοι πίνακες
Ας εξετάσουμε το σύνολο Рn´n τετραγωνικών πινάκων τάξης n με στοιχεία από ένα αυθαίρετο πεδίο P. Σε αυτό το σύνολο εισάγουμε τη σχέση

Ιδιότητες σχέσεων ομοιότητας πίνακα
1. Αντανακλαστικότητα. Οποιοσδήποτε πίνακας είναι παρόμοιος με τον εαυτό του, δηλ. A ~ A. 2. Συμμετρία. Εάν ο πίνακας Α είναι παρόμοιος με τον Β, τότε ο Β είναι παρόμοιος με τον Α, δηλ.

Ιδιότητες ιδιοδιανυσμάτων
1. Κάθε ιδιοδιάνυσμα ανήκει σε μία μόνο ιδιοτιμή. Απόδειξη. Έστω x ένα ιδιοδιάνυσμα με δύο ιδιοτιμές

Χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα
Δίνεται ένας πίνακας A О Рn´n (ή A О Rn´n). Καθορίζω

Συνθήκες υπό τις οποίες ένας πίνακας είναι παρόμοιος με έναν διαγώνιο πίνακα
Έστω το Α ένας τετραγωνικός πίνακας. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι αυτός είναι ένας πίνακας κάποιου γραμμικού τελεστή που ορίζεται σε κάποια βάση. Είναι γνωστό ότι σε άλλη βάση ο πίνακας του γραμμικού τελεστή

Jordan κανονική φόρμα
Ορισμός 10.5. Ένα κελί Jordan τάξης k που σχετίζεται με τον αριθμό l0 είναι ένας πίνακας τάξης k, 1 ≤ k ≤ n,

Αναγωγή μιας μήτρας σε Jordan (κανονική) μορφή
Θεώρημα 10.3. Η κανονική μορφή Jordan καθορίζεται μοναδικά για μια μήτρα μέχρι τη σειρά διάταξης των κελιών Jordan στην κύρια διαγώνιο. Και τα λοιπά

Διγραμμικές φόρμες
Ορισμός 11.1. Μια διγραμμική μορφή είναι μια συνάρτηση (χαρτογράφηση) f: V ´ V ® R (ή C), όπου V είναι ένα αυθαίρετο διάνυσμα

Ιδιότητες διγραμμικών μορφών
Οποιαδήποτε διγραμμική μορφή μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα συμμετρικών και λοξών-συμμετρικών μορφών. Με την επιλεγμένη βάση e1, e2, …, en στο διάνυσμα

Μετασχηματισμός πίνακα διγραμμικής μορφής κατά τη μετάβαση σε νέα βάση. Κατάταξη διγραμμικής μορφής
Έστω δύο βάσεις e = (e1, e2, …, en) και f = (f1, f2,

Τετραγωνικά σχήματα
Έστω A(x, y) μια συμμετρική διγραμμική μορφή που ορίζεται στο διανυσματικό χώρο V. Ορισμός 11.6 Τετραγωνική μορφή

Αναγωγή μιας τετραγωνικής μορφής σε κανονική μορφή
Δίνεται η τετραγωνική μορφή (2) A(x, x) = , όπου x = (x1

Νόμος αδράνειας τετραγωνικών μορφών
Έχει διαπιστωθεί ότι ο αριθμός των μη μηδενικών κανονικών συντελεστών μιας τετραγωνικής μορφής είναι ίσος με την κατάταξή της και δεν εξαρτάται από την επιλογή ενός μη εκφυλισμένου μετασχηματισμού με τη βοήθεια του οποίου η μορφή A(x

Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για το πρόσημο μιας τετραγωνικής μορφής
Δήλωση 11.1. Προκειμένου η τετραγωνική μορφή A(x, x), που ορίζεται στον ν-διάστατο διανυσματικό χώρο V, να είναι οριστική, είναι απαραίτητο να

Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για οιονεί εναλλασσόμενη τετραγωνική μορφή
Δήλωση 11.3. Προκειμένου η τετραγωνική μορφή A(x, x), που ορίζεται στον ν-διάστατο διανυσματικό χώρο V, να είναι σχεδόν εναλλασσόμενη (δηλαδή,

Κριτήριο Sylvester για το οριστικό πρόσημο μιας τετραγωνικής μορφής
Έστω ότι η μορφή A(x, x) στη βάση e = (e1, e2, …, en) καθορίζεται από τον πίνακα A(e) = (aij)

συμπέρασμα
Η γραμμική άλγεβρα είναι υποχρεωτικό μέρος οποιουδήποτε προγράμματος ανώτερων μαθηματικών. Οποιαδήποτε άλλη ενότητα προϋποθέτει την παρουσία γνώσεων, δεξιοτήτων και ικανοτήτων που αναπτύχθηκαν κατά τη διδασκαλία αυτού του κλάδου

Βιβλιογραφία
Burmistrova E.B., Lobanov S.G. Γραμμική άλγεβρα με στοιχεία αναλυτικής γεωμετρίας. – M.: HSE Publishing House, 2007. Beklemishev D.V. Μάθημα αναλυτικής γεωμετρίας και γραμμικής άλγεβρας.

Γραμμική άλγεβρα
Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό εγχειρίδιο Επιμελητής και διορθωτής G. D. Neganova Δακτυλογράφηση υπολογιστή από T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina

Όταν εξετάσαμε τις έννοιες ενός ν-διάστατου διανύσματος και εισαγάγαμε πράξεις σε διανύσματα, ανακαλύψαμε ότι το σύνολο όλων των διανυσμάτων n-διαστάσεων δημιουργεί έναν γραμμικό χώρο. Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσουμε για τις πιο σημαντικές σχετικές έννοιες - τη διάσταση και τη βάση ενός διανυσματικού χώρου. Θα εξετάσουμε επίσης το θεώρημα για την επέκταση ενός αυθαίρετου διανύσματος σε βάση και τη σύνδεση μεταξύ διαφόρων βάσεων του ν-διάστατου χώρου. Ας εξετάσουμε λεπτομερώς τις λύσεις σε τυπικά παραδείγματα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Η έννοια της διάστασης του διανυσματικού χώρου και βάσης.

Οι έννοιες της διάστασης και της βάσης ενός διανυσματικού χώρου σχετίζονται άμεσα με την έννοια ενός γραμμικά ανεξάρτητου συστήματος διανυσμάτων, επομένως, εάν είναι απαραίτητο, σας συνιστούμε να ανατρέξετε στο άρθρο γραμμική εξάρτηση ενός συστήματος διανυσμάτων, ιδιότητες γραμμικής εξάρτησης και ανεξαρτησίας .

Ορισμός.

Διάσταση διανυσματικού χώρουείναι ένας αριθμός ίσος με τον μέγιστο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων σε αυτό το διάστημα.

Ορισμός.

Διάνυσμα βάση χώρουείναι ένα διατεταγμένο σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων αυτού του χώρου, ο αριθμός των οποίων είναι ίσος με τη διάσταση του χώρου.

Ας δώσουμε κάποιους συλλογισμούς με βάση αυτούς τους ορισμούς.

Θεωρήστε το χώρο των διανυσμάτων ν-διάστατων.

Ας δείξουμε ότι η διάσταση αυτού του χώρου είναι n.

Ας πάρουμε ένα σύστημα n μονάδων διανυσμάτων της μορφής

Ας πάρουμε αυτά τα διανύσματα ως σειρές του πίνακα A. Σε αυτήν την περίπτωση, ο πίνακας Α θα είναι ένας πίνακας ταυτότητας με διάσταση n επί n. Η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι n (δείτε άρθρο εάν είναι απαραίτητο). Επομένως, το σύστημα των διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο και δεν μπορεί να προστεθεί ούτε ένα διάνυσμα σε αυτό το σύστημα χωρίς να παραβιαστεί η γραμμική του ανεξαρτησία. Δεδομένου ότι ο αριθμός των διανυσμάτων στο σύστημα ισούται με n, τότε η διάσταση του χώρου των ν-διαστάσεων διανυσμάτων είναι n και τα μοναδιαία διανύσματα αποτελούν τη βάση αυτού του χώρου.

Από την τελευταία δήλωση και τον ορισμό της βάσης μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οποιοδήποτε σύστημα ν-διάστατων διανυσμάτων, ο αριθμός των διανυσμάτων στα οποία είναι μικρότερος από n, δεν αποτελεί βάση.

Τώρα ας ανταλλάξουμε το πρώτο και το δεύτερο διάνυσμα του συστήματος . Είναι εύκολο να δείξουμε ότι το προκύπτον σύστημα διανυσμάτων είναι επίσης μια βάση ενός διανυσματικού χώρου ν-διάστατων. Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα παίρνοντας τα διανύσματα αυτού του συστήματος ως σειρές του. Αυτός ο πίνακας μπορεί να ληφθεί από τον πίνακα ταυτότητας ανταλλάσσοντας την πρώτη και τη δεύτερη σειρά, επομένως η κατάταξή του θα είναι n. Έτσι, ένα σύστημα n διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο και αποτελεί τη βάση ενός διανυσματικού χώρου ν-διάστατων.

Αν αναδιατάξουμε άλλα διανύσματα του συστήματος , τότε παίρνουμε άλλη βάση.

Αν πάρουμε ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα διανυσμάτων μη μονάδων, τότε είναι επίσης η βάση ενός διανυσματικού χώρου ν-διάστατων.

Ετσι, ένας διανυσματικός χώρος διάστασης n έχει τόσες βάσεις όσες υπάρχουν γραμμικά ανεξάρτητα συστήματα διανυσμάτων n n διαστάσεων.

Αν μιλάμε για έναν δισδιάστατο διανυσματικό χώρο (δηλαδή για ένα επίπεδο), τότε η βάση του είναι οποιαδήποτε δύο μη συγγραμμικά διανύσματα. Η βάση του τρισδιάστατου χώρου είναι οποιαδήποτε τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Είναι τα διανύσματα η βάση του τρισδιάστατου διανυσματικού χώρου;

Λύση.

Ας εξετάσουμε αυτό το σύστημα διανυσμάτων για γραμμική εξάρτηση. Για να γίνει αυτό, ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα του οποίου οι σειρές θα είναι οι συντεταγμένες των διανυσμάτων και ας βρούμε την κατάταξή του:


Έτσι, τα διανύσματα a, b και c είναι γραμμικά ανεξάρτητα και ο αριθμός τους είναι ίσος με τη διάσταση του διανυσματικού χώρου, επομένως αποτελούν τη βάση αυτού του χώρου.

Απάντηση:

Ναι είναι.

Παράδειγμα.

Μπορεί ένα σύστημα διανυσμάτων να είναι η βάση ενός διανυσματικού χώρου;

Λύση.

Αυτό το σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά, αφού ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων τρισδιάστατων διανυσμάτων είναι τρία. Κατά συνέπεια, αυτό το σύστημα διανυσμάτων δεν μπορεί να είναι η βάση ενός τρισδιάστατου διανυσματικού χώρου (αν και ένα υποσύστημα του αρχικού συστήματος διανυσμάτων είναι μια βάση).

Απάντηση:

ΟΧΙ δεν ΜΠΟΡΕΙ.

Παράδειγμα.

Βεβαιωθείτε ότι τα διανύσματα

μπορεί να αποτελέσει τη βάση ενός τετραδιάστατου διανυσματικού χώρου.

Λύση.

Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα παίρνοντας τα αρχικά διανύσματα ως σειρές του:

Ας βρούμε:

Έτσι, το σύστημα των διανυσμάτων a, b, c, d είναι γραμμικά ανεξάρτητο και ο αριθμός τους είναι ίσος με τη διάσταση του διανυσματικού χώρου, επομένως τα a, b, c, d αποτελούν τη βάση του.

Απάντηση:

Τα αρχικά διανύσματα είναι πράγματι η βάση του τετραδιάστατου χώρου.

Παράδειγμα.

Τα διανύσματα αποτελούν τη βάση ενός διανυσματικού χώρου διάστασης 4;

Λύση.

Ακόμα κι αν το αρχικό σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο, ο αριθμός των διανυσμάτων σε αυτό δεν αρκεί για να είναι η βάση ενός τετραδιάστατου χώρου (η βάση ενός τέτοιου χώρου αποτελείται από 4 διανύσματα).

Απάντηση:

Όχι, δεν το κάνει.

Αποσύνθεση ενός διανύσματος σύμφωνα με τη βάση του διανυσματικού χώρου.

Έστω αυθαίρετα διανύσματα αποτελούν τη βάση ενός ν-διάστατου διανυσματικού χώρου. Αν προσθέσουμε κάποιο διάνυσμα n-διαστάσεων x σε αυτά, τότε το προκύπτον σύστημα διανυσμάτων θα εξαρτάται γραμμικά. Από τις ιδιότητες της γραμμικής εξάρτησης γνωρίζουμε ότι τουλάχιστον ένα διάνυσμα ενός γραμμικά εξαρτημένου συστήματος εκφράζεται γραμμικά μέσω των άλλων. Με άλλα λόγια, τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα ενός γραμμικά εξαρτώμενου συστήματος επεκτείνεται στα υπόλοιπα διανύσματα.

Αυτό μας φέρνει σε ένα πολύ σημαντικό θεώρημα.

Θεώρημα.

Οποιοδήποτε διάνυσμα ενός διανυσματικού χώρου n-διαστάσεων μπορεί να αποσυντεθεί μοναδικά σε μια βάση.

Απόδειξη.

Αφήνω - βάση του ν-διάστατου διανυσματικού χώρου. Ας προσθέσουμε ένα n-διάστατο διάνυσμα x σε αυτά τα διανύσματα. Τότε το προκύπτον σύστημα διανυσμάτων θα εξαρτάται γραμμικά και το διάνυσμα x μπορεί να εκφραστεί γραμμικά σε όρους διανυσμάτων : , όπου υπάρχουν μερικοί αριθμοί. Έτσι αποκτήσαμε την επέκταση του διανύσματος x ως προς τη βάση. Μένει να αποδείξουμε ότι αυτή η αποσύνθεση είναι μοναδική.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει άλλη αποσύνθεση, όπου - κάποιοι αριθμοί. Ας αφαιρέσουμε από την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της τελευταίας ισότητας την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της ισότητας, αντίστοιχα:

Δεδομένου ότι το σύστημα των διανυσμάτων βάσης είναι γραμμικά ανεξάρτητη, τότε με τον ορισμό της γραμμικής ανεξαρτησίας ενός συστήματος διανυσμάτων, η ισότητα που προκύπτει είναι δυνατή μόνο όταν όλοι οι συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν. Επομένως, , που αποδεικνύει τη μοναδικότητα της αποσύνθεσης του διανύσματος σε σχέση με τη βάση.

Ορισμός.

Οι συντελεστές λέγονται συντεταγμένες του διανύσματος x στη βάση .

Αφού εξοικειωθούμε με το θεώρημα για την αποσύνθεση ενός διανύσματος σε βάση, αρχίζουμε να κατανοούμε την ουσία της έκφρασης «μας δίνεται ένα διάνυσμα ν-διάστασης " Αυτή η έκφραση σημαίνει ότι εξετάζουμε ένα διάνυσμα διανυσματικού χώρου x n διαστάσεων, οι συντεταγμένες του οποίου καθορίζονται σε κάποια βάση. Ταυτόχρονα, καταλαβαίνουμε ότι το ίδιο διάνυσμα x σε μια άλλη βάση του διανυσματικού χώρου n-διαστάσεων θα έχει συντεταγμένες διαφορετικές από .

Ας εξετάσουμε το εξής πρόβλημα.

Ας μας δοθεί ένα σύστημα n γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων σε κάποια βάση του ν-διάστατου διανυσματικού χώρου

και διάνυσμα . Στη συνέχεια τα διανύσματα αποτελούν επίσης τη βάση αυτού του διανυσματικού χώρου.

Ας πρέπει να βρούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος x στη βάση . Ας υποδηλώσουμε αυτές τις συντεταγμένες ως .

Διάνυσμα x στη βάση έχει μια ιδέα. Ας γράψουμε αυτήν την ισότητα σε συντεταγμένη μορφή:

Αυτή η ισότητα είναι ισοδύναμη με ένα σύστημα n γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με n άγνωστες μεταβλητές :

Η κύρια μήτρα αυτού του συστήματος έχει τη μορφή

Ας το συμβολίσουμε με το γράμμα Α. Οι στήλες του πίνακα Α αντιπροσωπεύουν διανύσματα ενός γραμμικά ανεξάρτητου συστήματος διανυσμάτων , άρα η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι n, επομένως ο προσδιοριστής του δεν είναι μηδενικός. Αυτό το γεγονός δείχνει ότι το σύστημα εξισώσεων έχει μια μοναδική λύση που μπορεί να βρεθεί με οποιαδήποτε μέθοδο, για παράδειγμα, ή.

Με αυτόν τον τρόπο θα βρεθούν οι απαιτούμενες συντεταγμένες διάνυσμα x στη βάση .

Ας δούμε τη θεωρία χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Σε κάποια βάση του τρισδιάστατου διανυσματικού χώρου, τα διανύσματα

Βεβαιωθείτε ότι το σύστημα των διανυσμάτων είναι επίσης βάση αυτού του χώρου και βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος x σε αυτή τη βάση.

Λύση.

Για να είναι ένα σύστημα διανυσμάτων η βάση ενός τρισδιάστατου διανυσματικού χώρου, πρέπει να είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Ας το μάθουμε αυτό προσδιορίζοντας την κατάταξη του πίνακα Α, οι σειρές του οποίου είναι διανύσματα. Ας βρούμε την κατάταξη χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian


Επομένως, Rank(A) = 3, που δείχνει τη γραμμική ανεξαρτησία του συστήματος των διανυσμάτων.

Άρα, τα διανύσματα είναι η βάση. Έστω ότι το διάνυσμα x έχει συντεταγμένες σε αυτή τη βάση. Στη συνέχεια, όπως δείξαμε παραπάνω, η σχέση μεταξύ των συντεταγμένων αυτού του διανύσματος δίνεται από το σύστημα των εξισώσεων

Αντικαθιστώντας τις τιμές που είναι γνωστές από τη συνθήκη σε αυτό, λαμβάνουμε

Ας το λύσουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer:

Έτσι, το διάνυσμα x στη βάση έχει συντεταγμένες .

Απάντηση:

Παράδειγμα.

Σε κάποια βάση ενός τετραδιάστατου διανυσματικού χώρου, δίνεται ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα διανυσμάτων

Είναι γνωστό ότι . Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος x στη βάση .

Λύση.

Δεδομένου ότι το σύστημα των διανυσμάτων γραμμικά ανεξάρτητο από συνθήκη, τότε είναι μια βάση τετραδιάστατου χώρου. Μετά ισότητα σημαίνει ότι το διάνυσμα x στη βάση έχει συντεταγμένες. Ας συμβολίσουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος x στη βάση Πως .

Σύστημα εξισώσεων που ορίζουν τη σχέση μεταξύ των συντεταγμένων του διανύσματος x σε βάσεις Και μοιάζει με

Αντικαθιστούμε γνωστές τιμές σε αυτό και βρίσκουμε τις απαιτούμενες συντεταγμένες:

Απάντηση:

.

Σχέση μεταξύ βάσεων.

Έστω δύο γραμμικά ανεξάρτητα συστήματα διανυσμάτων σε κάποια βάση ενός ν-διάστατου διανυσματικού χώρου

Και

είναι δηλαδή και οι βάσεις αυτού του χώρου.

Αν - συντεταγμένες του διανύσματος στη βάση , στη συνέχεια η σύνδεση συντεταγμένων Και δίνεται από ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων (μιλήσαμε για αυτό στην προηγούμενη παράγραφο):

, το οποίο σε μορφή πίνακα μπορεί να γραφτεί ως

Ομοίως για ένα διάνυσμα μπορούμε να γράψουμε

Οι προηγούμενες ισότητες πίνακα μπορούν να συνδυαστούν σε μία, η οποία ουσιαστικά ορίζει τη σχέση μεταξύ των διανυσμάτων δύο διαφορετικών βάσεων

Ομοίως, μπορούμε να εκφράσουμε όλα τα διανύσματα βάσης μέσω βάσης :

Ορισμός.

Μήτρα που ονομάζεται μήτρα μετάβασης από τη βάση στη βάση , τότε η ισότητα είναι αληθινή

Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές αυτής της ισότητας από τα δεξιά με

παίρνουμε

Ας βρούμε τον πίνακα μετάβασης, αλλά δεν θα σταθούμε λεπτομερώς στην εύρεση του αντίστροφου πίνακα και στον πολλαπλασιασμό των πινάκων (δείτε άρθρα και εάν χρειάζεται):

Μένει να μάθουμε τη σχέση μεταξύ των συντεταγμένων του διανύσματος x στις δεδομένες βάσεις.

Έστω λοιπόν το διάνυσμα x συντεταγμένες στη βάση

και στη βάση το διάνυσμα x έχει συντεταγμένες , τότε

Δεδομένου ότι οι αριστερές πλευρές των δύο τελευταίων ισοτήτων είναι ίδιες, μπορούμε να εξισώσουμε τις δεξιές πλευρές:

Αν πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές στα δεξιά επί

τότε παίρνουμε


Στην άλλη πλευρά

(βρείτε μόνοι σας τον αντίστροφο πίνακα).
Οι δύο τελευταίες ισότητες μας δίνουν την απαιτούμενη σχέση μεταξύ των συντεταγμένων του διανύσματος x στις βάσεις και .

Απάντηση:

Ο πίνακας μετάβασης από βάση σε βάση έχει τη μορφή
;
συντεταγμένες του διανύσματος x σε βάσεις και σχετίζονται με τις σχέσεις

ή
.

Εξετάσαμε τις έννοιες της διάστασης και της βάσης ενός διανυσματικού χώρου, μάθαμε να αποσυνθέτουμε ένα διάνυσμα σε βάση και ανακαλύψαμε τη σύνδεση μεταξύ διαφορετικών βάσεων του διανυσματικού χώρου n διαστάσεων μέσω του πίνακα μετάβασης.

Συστήματα γραμμικών ομογενών εξισώσεων

Διατύπωση του προβλήματος. Βρείτε κάποια βάση και προσδιορίστε τη διάσταση του χώρου γραμμικής λύσης του συστήματος

Σχέδιο λύσης.

1. Γράψτε τον πίνακα συστήματος:

και χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς μετατρέπουμε τον πίνακα σε τριγωνική μορφή, δηλ. σε μια τέτοια μορφή όταν όλα τα στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι ίσα με μηδέν. Η κατάταξη του πίνακα συστήματος είναι ίση με τον αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων σειρών, δηλαδή, στην περίπτωσή μας, ο αριθμός των σειρών στις οποίες παραμένουν μη μηδενικά στοιχεία:

Η διάσταση του χώρου λύσης είναι . Αν , τότε ένα ομοιογενές σύστημα έχει μια ενιαία μηδενική λύση, αν , τότε το σύστημα έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

2. Επιλέξτε βασικές και ελεύθερες μεταβλητές. Οι ελεύθερες μεταβλητές συμβολίζονται με . Στη συνέχεια εκφράζουμε τις βασικές μεταβλητές ως ελεύθερες, λαμβάνοντας έτσι μια γενική λύση σε ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων.

3. Γράφουμε τη βάση του χώρου λύσης του συστήματος θέτοντας διαδοχικά μία από τις ελεύθερες μεταβλητές ίση με μία και τις υπόλοιπες ίσες με μηδέν. Η διάσταση του χώρου γραμμικής λύσης του συστήματος είναι ίση με τον αριθμό των διανυσμάτων βάσης.

Σημείωση. Οι μετασχηματισμοί στοιχειώδους πίνακα περιλαμβάνουν:

1. πολλαπλασιασμός (διαίρεση) μιας συμβολοσειράς με έναν μη μηδενικό παράγοντα.

2. Προσθέτοντας σε οποιαδήποτε γραμμή μια άλλη γραμμή, πολλαπλασιασμένη με οποιοδήποτε αριθμό.

3. αναδιάταξη γραμμών.

4. μετασχηματισμοί 1–3 για στήλες (στην περίπτωση επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων δεν χρησιμοποιούνται στοιχειώδεις μετασχηματισμοί στηλών).

Εργασία 3.Βρείτε κάποια βάση και προσδιορίστε τη διάσταση του χώρου γραμμικής λύσης του συστήματος.

Γράφουμε τον πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, τον ανάγουμε σε τριγωνική μορφή:

Υποθέτουμε τότε

Ένα υποσύνολο ενός γραμμικού χώρου σχηματίζει έναν υποχώρο εάν είναι κλειστό με προσθήκη διανυσμάτων και πολλαπλασιασμό με βαθμωτούς.

Παράδειγμα 6.1. Σχηματίζει ένας υποχώρος σε ένα επίπεδο ένα σύνολο διανυσμάτων των οποίων τα άκρα βρίσκονται: α) στο πρώτο τέταρτο; β) σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή; (οι απαρχές των διανυσμάτων βρίσκονται στην αρχή των συντεταγμένων)

Λύση.

α) όχι, δεδομένου ότι το σύνολο δεν είναι κλειστό με πολλαπλασιασμό με βαθμωτό: όταν πολλαπλασιάζεται με έναν αρνητικό αριθμό, το τέλος του διανύσματος πέφτει στο τρίτο τέταρτο.

β) ναι, αφού κατά την πρόσθεση διανυσμάτων και τον πολλαπλασιασμό τους με οποιονδήποτε αριθμό, τα άκρα τους παραμένουν στην ίδια ευθεία.

Άσκηση 6.1. Κάντε τα ακόλουθα υποσύνολα των αντίστοιχων γραμμικών διαστημάτων να σχηματίσουν έναν υποχώρο:

α) ένα σύνολο επίπεδων διανυσμάτων των οποίων τα άκρα βρίσκονται στο πρώτο ή το τρίτο τέταρτο·

β) ένα σύνολο επίπεδων διανυσμάτων των οποίων τα άκρα βρίσκονται σε ευθεία γραμμή που δεν διέρχεται από την αρχή.

γ) ένα σύνολο γραμμών συντεταγμένων ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 0);

δ) σύνολο γραμμών συντεταγμένων ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 1);

ε) ένα σύνολο γραμμών συντεταγμένων ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 = x 2 2).

Η διάσταση ενός γραμμικού χώρου L είναι ο αριθμός dim L των διανυσμάτων που περιλαμβάνονται σε οποιαδήποτε βάση του.

Οι διαστάσεις του αθροίσματος και η τομή των υποχώρων σχετίζονται με τη σχέση

dim (U + V) = dim U + dim V – dim (U Ç V).

Παράδειγμα 6.2. Βρείτε τη βάση και τη διάσταση του αθροίσματος και της τομής των υποχώρων που εκτείνονται από τα ακόλουθα συστήματα διανυσμάτων:

Λύση Κάθε ένα από τα συστήματα διανυσμάτων που δημιουργούν τους υποχώρους U και V είναι γραμμικά ανεξάρτητο, πράγμα που σημαίνει ότι αποτελεί βάση του αντίστοιχου υποχώρου. Ας φτιάξουμε έναν πίνακα από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων, τακτοποιώντας τα σε στήλες και διαχωρίζοντας το ένα σύστημα από το άλλο με μια γραμμή. Ας μειώσουμε τον προκύπτοντα πίνακα σε σταδιακή μορφή.

~ ~ ~ .

Η βάση U + V σχηματίζεται από τα διανύσματα , , , στα οποία αντιστοιχούν τα κύρια στοιχεία στον πίνακα βημάτων. Επομένως dim (U + V) = 3. Τότε

dim (UÇV) = αμυδρό U + αμυδρό V – αμυδρό (U + V) = 2 + 2 – 3 = 1.

Η τομή των υποχώρων σχηματίζει ένα σύνολο διανυσμάτων που ικανοποιούν την εξίσωση (που στέκονται στην αριστερή και δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης). Λαμβάνουμε τη βάση τομής χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες σύστημα λύσεων του συστήματος γραμμικών εξισώσεων που αντιστοιχεί σε αυτή τη διανυσματική εξίσωση. Η μήτρα αυτού του συστήματος έχει ήδη μειωθεί σε μια σταδιακή μορφή. Με βάση αυτό, συμπεραίνουμε ότι η y 2 είναι μια ελεύθερη μεταβλητή και ορίζουμε y 2 = c. Τότε 0 = y 1 – y 2, y 1 = c,. και η τομή των υποχώρων σχηματίζει ένα σύνολο διανυσμάτων της μορφής = c (3, 6, 3, 4). Κατά συνέπεια, η βάση UÇV σχηματίζει το διάνυσμα (3, 6, 3, 4).

Σημειώσεις. 1. Αν συνεχίσουμε να λύνουμε το σύστημα, βρίσκοντας τις τιμές των μεταβλητών x, παίρνουμε x 2 = c, x 1 = c, και στην αριστερή πλευρά της διανυσματικής εξίσωσης παίρνουμε ένα διάνυσμα ίσο με αυτό που λήφθηκε παραπάνω .

2. Χρησιμοποιώντας την υποδεικνυόμενη μέθοδο, μπορείτε να λάβετε τη βάση του αθροίσματος ανεξάρτητα από το εάν τα συστήματα παραγωγής διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Αλλά η βάση τομής θα ληφθεί σωστά μόνο εάν τουλάχιστον το σύστημα που δημιουργεί τον δεύτερο υποχώρο είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

3. Αν διαπιστωθεί ότι η διάσταση της τομής είναι 0, τότε η τομή δεν έχει βάση και δεν χρειάζεται να την αναζητήσουμε.

Άσκηση 6.2. Βρείτε τη βάση και τη διάσταση του αθροίσματος και της τομής των υποχώρων που εκτείνονται από τα ακόλουθα συστήματα διανυσμάτων:

ΕΝΑ)

σι)

Ευκλείδειος χώρος

Ο Ευκλείδειος χώρος είναι ένας γραμμικός χώρος πάνω από ένα πεδίο R, στον οποίο ορίζεται ένας βαθμωτός πολλαπλασιασμός που εκχωρεί σε κάθε ζεύγος διανυσμάτων , ένα βαθμωτό , και πληρούνται οι ακόλουθες συνθήκες:

2) (a + b) = a() + b();

3) ¹Þ > 0.

Το τυπικό βαθμωτό γινόμενο υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους τύπους

(a 1 , … , a n) (b 1 , … , b n) = a 1 b 1 + … + a n b n.

Τα διανύσματα και ονομάζονται ορθογώνια, γράφονται ^ αν το κλιμακωτό γινόμενο τους είναι ίσο με 0.

Ένα σύστημα διανυσμάτων ονομάζεται ορθογώνιο εάν τα διανύσματα σε αυτό είναι κατά ζεύγη ορθογώνια.

Ένα ορθογώνιο σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Η διαδικασία της ορθογωνοποίησης ενός συστήματος διανυσμάτων , ... , συνίσταται στη μετάβαση σε ένα ισοδύναμο ορθογώνιο σύστημα , ... , που εκτελείται σύμφωνα με τους τύπους:

, όπου , k = 2, … , n.

Παράδειγμα 7.1. Ορθογωνισμός ενός συστήματος διανυσμάτων

= (1, 2, 2, 1), = (3, 2, 1, 1), = (4, 1, 3, -2).

Λύση Έχουμε = = (1, 2, 2, 1);

, = = = 1;

= (3, 2, 1, 1) – (1, 2, 2, 1) = (2, 0, -1, 0).

, = = =1;

= =1;

= (4, 1, 3, -2) – (1, 2, 2, 1) – (2, 0, -1, 0) = (1, -1, 2, -3).

Άσκηση 7.1. Ορθογώνια διανυσματικά συστήματα:

α) = (1, 1, 0, 2), = (3, 1, 1, 1), = (-1, -3, 1, -1);

β) = (1, 2, 1, 1), = (3, 4, 1, 1), = (0, 3, 2, -1).

Παράδειγμα 7.2. Πλήρες σύστημα διανυσμάτων = (1, -1, 1, -1),

= (1, 1, -1, -1), στην ορθογώνια βάση του χώρου.

Λύση: Το αρχικό σύστημα είναι ορθογώνιο, επομένως το πρόβλημα είναι λογικό. Δεδομένου ότι τα διανύσματα δίνονται σε τετραδιάστατο χώρο, πρέπει να βρούμε άλλα δύο διανύσματα. Το τρίτο διάνυσμα = (x 1, x 2, x 3, x 4) προσδιορίζεται από τις συνθήκες = 0, = 0. Αυτές οι συνθήκες δίνουν ένα σύστημα εξισώσεων, ο πίνακας του οποίου σχηματίζεται από τις γραμμές συντεταγμένων των διανυσμάτων και . Λύνουμε το σύστημα:

~ ~ .

Στις ελεύθερες μεταβλητές x 3 και x 4 μπορεί να δοθεί οποιοδήποτε σύνολο τιμών εκτός από το μηδέν. Υποθέτουμε, για παράδειγμα, x 3 = 0, x 4 = 1. Τότε x 2 = 0, x 1 = 1, και = (1, 0, 0, 1).

Ομοίως, βρίσκουμε = (y 1, y 2, y 3, y 4). Για να γίνει αυτό, προσθέτουμε μια νέα γραμμή συντεταγμένων στον σταδιακό πίνακα που λήφθηκε παραπάνω και τον ανάγουμε σε σταδιακή μορφή:

~ ~ .

Για την ελεύθερη μεταβλητή y 3 θέτουμε y 3 = 1. Τότε y 4 = 0, y 2 = 1, y 1 = 0, και = (0, 1, 1, 0).

Ο κανόνας ενός διανύσματος στον Ευκλείδειο χώρο είναι ένας μη αρνητικός πραγματικός αριθμός.

Ένα διάνυσμα ονομάζεται κανονικοποιημένο αν ο κανόνας του είναι 1.

Για να ομαλοποιηθεί ένα διάνυσμα, πρέπει να διαιρεθεί με τον κανόνα του.

Ένα ορθογώνιο σύστημα κανονικοποιημένων διανυσμάτων ονομάζεται ορθοκανονικό.

Άσκηση 7.2. Συμπληρώστε το σύστημα των διανυσμάτων σε μια ορθοκανονική βάση του χώρου:

α) = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), = (-1/2, 1/2, -1/2, 1/2);

β) = (1/3, -2/3, 2/3).

Γραμμικές χαρτογραφήσεις

Έστω U και V γραμμικά κενά στο πεδίο F. Μια αντιστοίχιση f: U ® V ονομάζεται γραμμική αν και .

Παράδειγμα 8.1. Είναι γραμμικοί οι μετασχηματισμοί του τρισδιάστατου χώρου:

α) f(x 1, x 2, x 3) = (2x 1, x 1 – x 3, 0);

β) f(x 1, x 2, x 3) = (1, x 1 + x 2, x 3).

Λύση.

α) Έχουμε f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3)) = f(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) =

= (2(x 1 + y 1), (x 1 + y 1) – (x 3 + y 3), 0) = (2x 1, x 1 – x 3, 0) + (2y 1, y 1 - y 3, 0) =

F((x 1, x 2, x 3) + f(y 1, y 2, y 3));

f(l(x 1 , x 2 , x 3)) = f(lx 1 , lx 2 , lx 3) = (2lx 1 , lx 1 – lx 3 , 0) = l(2x 1 , x 1 – x 3 , 0) =

L f(x 1, x 2, x 3).

Επομένως, ο μετασχηματισμός είναι γραμμικός.

β) Έχουμε f((x 1 , x 2 , x 3) + (y 1 , y 2 , y 3)) = f(x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3) =

= (1, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3);

f((x 1 , x 2 , x 3) + f(y 1 , y 2 , y 3)) = (1, x 1 + x 2, x 3) + (1, y 1 + y 2 , y 3 ) =

= (2, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3) 1 f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3) ).

Επομένως, ο μετασχηματισμός δεν είναι γραμμικός.

Η εικόνα μιας γραμμικής χαρτογράφησης f: U ® V είναι το σύνολο εικόνων των διανυσμάτων από το U, δηλαδή

Im (f) = (f() ï О U). + … + a m1

Άσκηση 8.1. Βρείτε την κατάταξη, το ελάττωμα, τις βάσεις της εικόνας και τον πυρήνα της γραμμικής αντιστοίχισης f που δίνεται από τον πίνακα:

α) A = ; β) A = ; γ) Α = .

Σελίδα 1

Ο υποχώρος, η βάση και η διάστασή του.

Αφήνω μεγάλο– γραμμικός χώρος πάνω από το γήπεδο Π Και ΕΝΑ– υποσύνολο του μεγάλο. Αν ΕΝΑη ίδια αποτελεί έναν γραμμικό χώρο πάνω από το πεδίο Πσχετικά με τις ίδιες πράξεις με μεγάλο, Οτι ΕΝΑπου ονομάζεται υποχώρος του χώρου μεγάλο.

Σύμφωνα με τον ορισμό του γραμμικού χώρου, έτσι ώστε ΕΝΑήταν ένας υποχώρος, είναι απαραίτητο να ελέγξετε τη σκοπιμότητα σε ΕΝΑλειτουργίες:

1) :
;

2)
:
;

και ελέγξτε ότι οι λειτουργίες είναι εντός ΕΝΑυπόκεινται σε οκτώ αξιώματα. Ωστόσο, το τελευταίο θα είναι περιττό (λόγω του γεγονότος ότι αυτά τα αξιώματα ισχύουν στο L), δηλ. ισχύει το εξής

Θεώρημα.Έστω L ένας γραμμικός χώρος πάνω από ένα πεδίο P και
. Ένα σύνολο Α είναι ένας υποχώρος του L εάν και μόνο εάν πληρούνται οι ακόλουθες απαιτήσεις:

1. :
;

2.
:
.

Δήλωση.Αν μεγάλο – n-διαστατικό γραμμικό χώρο και ΕΝΑο υποχώρος του, λοιπόν ΕΝΑείναι επίσης ένας πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικός χώρος και η διάστασή του δεν υπερβαίνει n.

Π παράδειγμα 1.Είναι ένας υποχώρος του χώρου των διανυσμάτων τμήματος V 2 το σύνολο S όλων των επίπεδων διανυσμάτων, καθένα από τα οποία βρίσκεται σε έναν από τους άξονες συντεταγμένων 0x ή 0y;

Λύση: Αφήστε
,
Και
,
. Επειτα
. Επομένως το S δεν είναι υποχώρος .

Παράδειγμα 2. V 2 υπάρχουν πολλά διανύσματα επίπεδων τμημάτων μικρόόλα τα επίπεδα διανύσματα των οποίων η αρχή και το τέλος βρίσκονται σε μια δεδομένη ευθεία μεγάλοαυτό το αεροπλάνο?

Λύση.

μι διάνυσμα sli
πολλαπλασιάστε με πραγματικό αριθμό κ, τότε παίρνουμε το διάνυσμα
, που ανήκει επίσης στον Σ. Αν Και είναι δύο διανύσματα από το S, λοιπόν
(σύμφωνα με τον κανόνα της προσθήκης διανυσμάτων σε ευθεία γραμμή). Επομένως το S είναι ένας υποχώρος .

Παράδειγμα 3.Είναι ένας γραμμικός υποχώρος ενός γραμμικού χώρου V 2 ένα μάτσο ΕΝΑόλα τα επίπεδα διανύσματα των οποίων τα άκρα βρίσκονται σε μια δεδομένη ευθεία μεγάλο, (να υποθέσουμε ότι η αρχή οποιουδήποτε διανύσματος συμπίπτει με την αρχή των συντεταγμένων);

R απόφαση.

Στην περίπτωση που η ευθεία μεγάλοτο σύνολο δεν περνά από την αρχή ΕΝΑγραμμικός υποχώρος του χώρου V 2 δεν είναι, γιατί
.

Στην περίπτωση που η ευθεία μεγάλο διέρχεται από την αρχή, που ΕΝΑείναι ένας γραμμικός υποχώρος του χώρου V 2 , επειδή
και όταν πολλαπλασιάζουμε οποιοδήποτε διάνυσμα
σε πραγματικό αριθμό α από το γήπεδο Rπαίρνουμε
. Έτσι, οι γραμμικές απαιτήσεις χώρου για ένα σύνολο ΕΝΑολοκληρώθηκε το.

Παράδειγμα 4.Ας δοθεί ένα σύστημα διανυσμάτων
από τον γραμμικό χώρο μεγάλοπάνω από το γήπεδο Π. Να αποδείξετε ότι το σύνολο όλων των δυνατών γραμμικών συνδυασμών
με πιθανότητες
από Πείναι ένας υποχώρος μεγάλο(αυτός είναι ένας υποχώρος ΕΝΑονομάζεται ο υποχώρος που δημιουργείται από το σύστημα των διανυσμάτων
ή γραμμικό κέλυφος αυτό το διανυσματικό σύστημα, και συμβολίζεται ως εξής:
ή
).

Λύση. Πράγματι, δεδομένου ότι , τότε για οποιαδήποτε στοιχεία Χ, yΕΝΑέχουμε:
,
, Οπου
,
. Επειτα

Επειδή
, Οτι
, Να γιατί
.

Ας ελέγξουμε αν η δεύτερη συνθήκη του θεωρήματος ικανοποιείται. Αν Χ– οποιοδήποτε διάνυσμα από ΕΝΑΚαι t– οποιοδήποτε αριθμό από Π, Οτι . Επειδή η
Και
,
, Οτι
,
, Να γιατί
. Έτσι, σύμφωνα με το θεώρημα, το σύνολο ΕΝΑ– υποχώρος γραμμικού χώρου μεγάλο.

Για πεπερασμένες διαστάσεις γραμμικούς χώρους ισχύει και το αντίστροφο.

Θεώρημα.Οποιοσδήποτε υποχώρος ΕΝΑγραμμικός χώρος μεγάλοπάνω από το γήπεδο είναι το γραμμικό εύρος κάποιου συστήματος διανυσμάτων.

Κατά την επίλυση του προβλήματος της εύρεσης της βάσης και της διάστασης ενός γραμμικού κελύφους, χρησιμοποιείται το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα.Γραμμική βάση κελύφους
συμπίπτει με τη βάση του διανυσματικού συστήματος
. Γραμμική διάσταση κελύφους
συμπίπτει με την κατάταξη του διανυσματικού συστήματος
.

Παράδειγμα 4.Βρείτε τη βάση και τη διάσταση του υποχώρου
γραμμικός χώρος R 3 [ Χ] , Αν
,
,
,
.

Λύση. Είναι γνωστό ότι τα διανύσματα και οι σειρές συντεταγμένων τους (στήλες) έχουν τις ίδιες ιδιότητες (σε σχέση με τη γραμμική εξάρτηση). Δημιουργία μήτρας ΕΝΑ=
από στήλες συντεταγμένων διανυσμάτων
στη βάση
.

Ας βρούμε την κατάταξη του πίνακα ΕΝΑ.

. Μ 3 =
.
.

Επομένως, η κατάταξη r(ΕΝΑ)= 3. Άρα, η κατάταξη του διανυσματικού συστήματος
ισούται με 3. Αυτό σημαίνει ότι η διάσταση του υποχώρου S είναι ίση με 3 και η βάση του αποτελείται από τρία διανύσματα
(αφού στη βασική ελάσσονα
περιλαμβάνει τις συντεταγμένες μόνο αυτών των διανυσμάτων)., . Αυτό το σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Πράγματι, ας είναι.

ΚΑΙ
.

Μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι το σύστημα
γραμμικά εξαρτώμενο για οποιοδήποτε διάνυσμα Χαπό H. Αυτό το αποδεικνύει
μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα διανυσμάτων υποδιαστήματος H, δηλ.
– βάση σε Hκαι αμυδρό H=n 2 .

Σελίδα 1