Решение на еднородни уравнения. Линейни и хомогенни диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения

В тази статия ще разгледаме метод за решаване на хомогенни тригонометрични уравнения.

Хомогенните тригонометрични уравнения имат същата структура като хомогенните уравнения от всеки друг тип. Нека ви напомня за метода за решаване на хомогенни уравнения от втора степен:

Нека разгледаме хомогенни уравнения от вида

Отличителни черти на хомогенните уравнения:

а) всички мономи имат еднаква степен,

б) свободният член е нула,

в) уравнението съдържа степени с две различни основи.

Хомогенните уравнения се решават с помощта на подобен алгоритъм.

За да решим този тип уравнение, разделяме двете страни на уравнението на (може да се раздели на или на)

внимание! Когато разделяте дясната и лявата страна на уравнение на израз, съдържащ неизвестно, можете да загубите корени. Следователно е необходимо да проверим дали корените на израза, на който разделяме двете страни на уравнението, са корените на първоначалното уравнение.

Ако е така, тогава записваме този корен, за да не го забравим по-късно, и след това разделяме израза на това.

Като цяло, първото нещо, което трябва да направите, когато решавате всяко уравнение, което има нула от дясната страна, е да се опитате да разложите лявата страна на уравнението по всеки възможен начин. И след това приравнете всеки фактор на нула. В този случай определено няма да загубим корените.

И така, внимателно разделете лявата страна на уравнението на израза член по член. Получаваме:

Нека намалим числителя и знаменателя на втората и третата дроби:

Нека представим замяната:

Получаваме квадратно уравнение:

Нека решим квадратното уравнение, намерим стойностите на и след това се върнем към първоначалното неизвестно.

Когато решавате хомогенни тригонометрични уравнения, има няколко важни неща, които трябва да запомните:

1. Фиктивният член може да се преобразува в квадрат на синус и косинус, като се използва основната тригонометрична идентичност:

2. Синусът и косинусът на двоен аргумент са мономи от втора степен - синусът на двоен аргумент може лесно да се преобразува в произведението на синус и косинус, а косинусът на двоен аргумент в квадрат на синус или косинус:

Нека да разгледаме няколко примера за решаване на хомогенни тригонометрични уравнения.

1 . Нека решим уравнението:

Това е класически пример за хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен: степента на всеки моном е равна на единица, отсеченият член е равен на нула.

Преди да разделите двете страни на уравнението на , трябва да проверите дали корените на уравнението не са корените на оригиналното уравнение. Проверяваме: if , then title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Нека разделим двете страни на уравнението на .

Получаваме:

, Където

, Където

Отговор: , Където

2. Нека решим уравнението:

Това е пример за хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен. Спомняме си, че ако можем да разложим лявата страна на уравнението, тогава е препоръчително да го направим. В това уравнение можем да поставим. Хайде да го направим:

Решение на първото уравнение: , където

Второто уравнение е хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен. За да го решите, разделете двете страни на уравнението на . Получаваме:

Отговор: , където ,

3. Нека решим уравнението:

За да направим това уравнение „стана“ хомогенно, ние го трансформираме в продукт и представяме числото 3 като сбор от квадратите на синуса и косинуса:

Нека преместим всички термини вляво, отворим скобите и представим подобни термини. Получаваме:

Нека разложим на фактори лявата страна и зададем всеки фактор равен на нула:

Отговор: , където ,

4 . Нека решим уравнението:

Виждаме какво можем да извадим от скобите. Хайде да го направим:

Нека приравним всеки фактор към нула:

Решение на първото уравнение:

Второто уравнение на популацията е класическо хомогенно уравнение от втора степен. Корените на уравнението не са корените на оригиналното уравнение, така че разделяме двете страни на уравнението на:

Решение на първото уравнение:

Решение на второто уравнение.

Спри се! Нека се опитаме да разберем тази тромава формула.

Първата променлива в степента с някакъв коефициент трябва да е първа. В нашия случай е така

В нашия случай е така. Както разбрахме, това означава, че степента при първата променлива се сближава. И втората променлива на първа степен е на мястото си. Коефициент.

Имаме го.

Първата променлива е степен, а втората променлива е на квадрат с коефициент. Това е последният член в уравнението.

Както можете да видите, нашето уравнение отговаря на определението под формата на формула.

Нека да разгледаме втората (вербална) част от определението.

Имаме две неизвестни и. Тук се събира.

Нека разгледаме всички условия. При тях сумата от степените на неизвестните трябва да е еднаква.

Сборът от градусите е равен.

Сумата от степените е равна на (at и at).

Сборът от градусите е равен.

Както виждате всичко си пасва!!!

Сега нека се упражним да дефинираме хомогенни уравнения.

Определете кои от уравненията са хомогенни:

Хомогенни уравнения - уравнения с числа:

Нека разгледаме уравнението отделно.

Ако разделим всеки член, като разложим всеки член, получаваме

И това уравнение напълно попада в определението за еднородни уравнения.

Как се решават хомогенни уравнения?

Пример 2.

Нека разделим уравнението на.

Според нашето условие y не може да бъде равно. Следователно можем спокойно да разделим по

Правейки заместването, получаваме просто квадратно уравнение:

Тъй като това е редуцирано квадратно уравнение, използваме теоремата на Виета:

След като направим обратното заместване, получаваме отговора

Отговор:

Пример 3.

Нека разделим уравнението на (по условие).

Отговор:

Пример 4.

Намерете дали.

Тук не трябва да разделяте, а да умножавате. Нека умножим цялото уравнение по:

Нека направим замяна и решим квадратното уравнение:

След като направихме обратното заместване, получаваме отговора:

Отговор:

Решаване на еднородни тригонометрични уравнения.

Решаването на хомогенни тригонометрични уравнения не се различава от методите за решаване, описани по-горе. Само тук, наред с други неща, трябва да знаете малко тригонометрия. И да можете да решавате тригонометрични уравнения (за това можете да прочетете раздела).

Нека да разгледаме такива уравнения, използвайки примери.

Пример 5.

Решете уравнението.

Виждаме типично хомогенно уравнение: и са неизвестни и сборът от техните степени във всеки член е равен.

Такива хомогенни уравнения не са трудни за решаване, но преди да разделите уравненията на, разгледайте случая, когато

В този случай уравнението ще приеме формата: , така че. Но синус и косинус не могат да бъдат равни едновременно, защото според основното тригонометрично тъждество. Следователно можем спокойно да го разделим на:

Тъй като уравнението е дадено, тогава според теоремата на Vieta:

Отговор:

Пример 6.

Решете уравнението.

Както в примера, трябва да разделите уравнението на. Да разгледаме случая, когато:

Но синус и косинус не могат да бъдат равни едновременно, защото според основното тригонометрично тъждество. Ето защо.

Нека направим замяна и решим квадратното уравнение:

Нека направим обратното заместване и намерим и:

Отговор:

Решаване на хомогенни експоненциални уравнения.

Хомогенните уравнения се решават по същия начин като тези, обсъдени по-горе. Ако сте забравили как се решават експоненциални уравнения, вижте съответния раздел ()!

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 7.

Решете уравнението

Нека си го представим така:

Виждаме типично хомогенно уравнение с две променливи и сбор от степени. Нека разделим уравнението на:

Както можете да видите, като направим заместването, получаваме квадратното уравнение по-долу (няма нужда да се страхувате от разделяне на нула - винаги е строго по-голямо от нула):

Според теоремата на Виета:

Отговор: .

Пример 8.

Решете уравнението

Нека си го представим така:

Нека разделим уравнението на:

Нека направим замяна и решим квадратното уравнение:

Коренът не отговаря на условието. Нека направим обратното заместване и намерим:

Отговор:

ХОМОГЕННИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО

Първо, като използвам примера на един проблем, нека ви напомня какво представляват еднородните уравнения и какво е решението на еднородните уравнения.

Реши задачата:

Намерете дали.

Тук можете да забележите нещо любопитно: ако разделим всеки член на, получаваме:

Тоест, сега няма отделни и, - сега променливата в уравнението е желаната стойност. И това е обикновено квадратно уравнение, което може лесно да се реши с помощта на теоремата на Виета: произведението на корените е равно, а сборът е числата и.

Отговор:

Уравнения на формата

се нарича хомогенна. Тоест, това е уравнение с две неизвестни, всеки член от които има същата сума от степени на тези неизвестни. Например в горния пример тази сума е равна на. Хомогенните уравнения се решават чрез разделяне на едно от неизвестните до следната степен:

И последващата замяна на променливи: . Така получаваме степенно уравнение с едно неизвестно:

Най-често ще срещнем уравнения от втора степен (т.е. квадратни) и знаем как да ги решим:

Обърнете внимание, че можем да разделим (и умножим) цялото уравнение на променлива само ако сме убедени, че тази променлива не може да бъде равна на нула! Например, ако ни помолят да намерим, ние веднага разбираме това, тъй като е невъзможно да се раздели. В случаите, когато това не е толкова очевидно, е необходимо да се провери отделно случаят, когато тази променлива е равна на нула. Например:

Решете уравнението.

Решение:

Тук виждаме типично хомогенно уравнение: и са неизвестни и сборът от техните степени във всеки член е равен.

Но преди да разделим на и да получим относително квадратно уравнение, трябва да разгледаме случая, когато. В този случай уравнението ще приеме формата: , което означава . Но синус и косинус не могат да бъдат равни на нула едновременно, тъй като според основното тригонометрично тъждество: . Следователно можем спокойно да го разделим на:

Надявам се, че това решение е напълно ясно? Ако не, прочетете раздела. Ако не е ясно откъде идва, трябва да се върнете още по-рано - в секцията.

Решете сами:

1. Намерете дали.
2. Намерете дали.
3. Решете уравнението.

Тук накратко ще напиша директно решението на хомогенни уравнения:

Решения:

Отговор: .

Но тук трябва да умножаваме, а не да разделяме:

Отговор:

Ако все още не сте го взели, можете да пропуснете този пример.

Тъй като тук трябва да разделим на, нека първо се уверим, че сто не е равно на нула:

А това е невъзможно.

Отговор: .

ХОМОГЕННИ УРАВНЕНИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Решението на всички хомогенни уравнения се свежда до деление на една от неизвестните на степен и по-нататъшна промяна на променливите.

Алгоритъм:

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно полагане на Единния държавен изпит, за постъпване в колеж на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще имаш нужда решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализи решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има две възможности:

1. Отключете всички скрити задачи в тази статия -
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - Купете учебник - 899 рубли

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

В заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!

Хомогенно диференциално уравнение от първи ред е уравнение на формата
, където f е функция.

Как да определим хомогенно диференциално уравнение

За да определите дали диференциалното уравнение от първи ред е хомогенно, трябва да въведете константа t и да замените y с ty и x с tx: y → ty, x → tx. Ако t отменя, тогава това хомогенно диференциално уравнение. Производната y′ не се променя с тази трансформация.
.

Пример

Определете дали дадено уравнение е хомогенно

Решение

Правим замяната y → ty, x → tx.


Разделете на t 2 .

.
Уравнението не съдържа t. Следователно това е хомогенно уравнение.

Метод за решаване на хомогенно диференциално уравнение

Хомогенно диференциално уравнение от първи ред се редуцира до уравнение с разделими променливи, като се използва заместването y = ux. Нека го покажем. Разгледайте уравнението:
(i)
Нека направим замяна:
y = ux,
където u е функция от x. Разграничете по отношение на x:
y′ =
Заместете в оригиналното уравнение (i).
,
,
(ii) .
Нека разделим променливите. Умножете по dx и разделете на x ( f(u) - u).

На f (u) - u ≠ 0и x ≠ 0 получаваме:

Нека интегрираме:

Така получихме общия интеграл на уравнението (i)в квадратури:

Нека заменим константата на интегриране C с В C, Тогава

Нека пропуснем знака на модула, тъй като желаният знак се определя от избора на знак на константата C. Тогава общият интеграл ще приеме формата:

След това трябва да разгледаме случая f (u) - u = 0.
Ако това уравнение има корени, то те са решение на уравнението (ii). Тъй като ур. (ii)не съвпада с оригиналното уравнение, тогава трябва да се уверите, че допълнителните решения удовлетворяват оригиналното уравнение (i).

Всеки път, когато в процеса на трансформации разделяме някое уравнение на някаква функция, която означаваме като g (x, y), тогава следващи трансформации са валидни за g (x, y) ≠ 0. Следователно случай g трябва да се разглежда отделно (x, y) = 0.

Пример за решаване на хомогенно диференциално уравнение от първи ред

Решете уравнението

Решение

Нека проверим дали това уравнение е хомогенно. Правим замяната y → ty, x → tx. В този случай y′ → y′.
,
,
.
Съкращаваме го с t.

Константата t е намаляла. Следователно уравнението е хомогенно.

Правим заместването y = ux, където u е функция от x.
y′ = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
Заместете в оригиналното уравнение.
,
,
,
.
Когато x ≥ 0 , |x| = х. Когато x ≤ 0 , |x| = - х. Пишем |x| = x, което означава, че горният знак се отнася за стойности x ≥ 0 , а долната - до стойностите x ≤ 0 .
,
Умножете по dx и разделете на .

Когато u 2 - 1 ≠ 0 ние имаме:

Нека интегрираме:

таблични интеграли,
.

Нека приложим формулата:
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2.
Нека поставим a = u, .
.
Нека вземем двете страни по модул и логаритмираме,
.
Оттук
.

Така имаме:
,
.
Пропускаме знака на модула, тъй като желаният знак се осигурява чрез избора на знака на константата C.

Умножете по x и заменете ux = y.
,
.
На квадрат го.
,
,
.

Сега разгледайте случая, u 2 - 1 = 0 .
Корените на това уравнение
.
Лесно е да се провери, че функциите y = x отговарят на първоначалното уравнение.

Отговор

,
,
.

Препратки:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузмин, Сборник задачи по висша математика, “Лан”, 2003 г.

За да решите хомогенно диференциално уравнение от 1-ви ред, използвайте заместването u=y/x, тоест u е нова неизвестна функция, зависеща от x. Следователно y=ux. Намираме производната y’, като използваме правилото за диференциране на продукта: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (тъй като x’=1). За друга форма на нотация: dy = udx + xdu След заместване опростяваме уравнението и стигаме до уравнение с разделими променливи.

Примери за решаване на хомогенни диференциални уравнения от 1-ви ред.

1) Решете уравнението

Проверяваме дали това уравнение е хомогенно (вижте Как да определим хомогенно уравнение). След като сме убедени, правим замяната u=y/x, от което y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Заместник: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Тъй като логаритъма на произведение е равен на сбора от логаритми, ln(ux)=lnu+lnx. Оттук

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). След привеждане на подобни членове: u’x+u=u(1+lnu). Сега отворете скобите

u'x+u=u+u·lnu. И двете страни съдържат u, следователно u’x=u·lnu. Тъй като u е функция на x, u’=du/dx. Да заместим

Получихме уравнение с разделими променливи. Разделяме променливите, като умножаваме двете части по dx и разделяме на x·u·lnu, при условие че произведението x·u·lnu≠0

Нека интегрираме:

От лявата страна е интегрална маса. Вдясно - правим замяната t=lnu, от където dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. Но вече обсъдихме, че в такива уравнения е по-удобно да се вземе ln│C│ вместо C. Тогава

ln│t│=ln│x│+ln│C│. Според свойството на логаритмите: ln│t│=ln│Сx│. Следователно t=Cx. (по условие, x>0). Време е да направим обратното заместване: lnu=Cx. И още една обратна замяна:

По свойството на логаритмите:

Това е общият интеграл на уравнението.

Припомняме си условието на произведението x·u·lnu≠0 (и следователно x≠0,u≠0, lnu≠0, откъдето u≠1). Но x≠0 от условието остава u≠1, следователно x≠y. Очевидно y=x (x>0) са включени в общото решение.

2) Намерете частичния интеграл на уравнението y’=x/y+y/x, удовлетворяващо началните условия y(1)=2.

Първо проверяваме дали това уравнение е хомогенно (въпреки че наличието на членове y/x и x/y вече индиректно показва това). След това правим замяната u=y/x, от което y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Заместваме получените изрази в уравнението:

u'x+u=1/u+u. Нека опростим:

u'x=1/u. Тъй като u е функция на x, u’=du/dx:

Получихме уравнение с разделими променливи. За да разделим променливите, умножаваме двете страни по dx и u и делим на x (x≠0 по условие, следователно u≠0 също, което означава, че няма загуба на решения).

Нека интегрираме:

и тъй като и двете страни съдържат таблични интеграли, веднага получаваме

Извършваме обратната замяна:

Това е общият интеграл на уравнението. Използваме началното условие y(1)=2, тоест заместваме y=2, x=1 в полученото решение:

3) Намерете общия интеграл на хомогенното уравнение:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Замяна u=y/x, откъдето y=ux, dy=xdu+udx. Нека заместим:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Изваждаме x² от скоби и разделяме двете части на него (при условие, че x≠0):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Отворете скобите и опростете:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Групираме термините с du и dx:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Нека извадим общите фактори извън скобите:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Разделяме променливите:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. За да направим това, разделяме двете страни на уравнението на xu(u²+1)≠0 (съответно добавяме изискванията x≠0 (вече отбелязани), u≠0):

Нека интегрираме:

От дясната страна на уравнението има табличен интеграл и ние разлагаме рационалната дроб от лявата страна на прости множители:

(или във втория интеграл, вместо да се замени диференциалният знак, можеше да се направи замяната t=1+u², dt=2udu - който кой обича кой метод е по-добър). Получаваме:

Според свойствата на логаритмите:

Обратна замяна

Спомняме си условието u≠0. Следователно y≠0. Когато C=0 y=0, това означава, че няма загуба на решения и y=0 е включен в общия интеграл.

Коментирайте

Можете да получите решение, записано в различна форма, ако оставите термина с x отляво:

Геометричният смисъл на интегралната крива в този случай е семейство от окръжности с центрове на оста Oy и минаващи през началото.

Задачи за самопроверка:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) Проверяваме дали уравнението е хомогенно, след което правим замяната u=y/x, откъдето y=ux, dy=xdu+udx. Заместете в условието: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Разделяйки двете страни на уравнението на x²≠0, получаваме: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Следователно dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Опростявайки, имаме: dx-xudu=0. Следователно xudu=dx, udu=dx/x. Нека интегрираме двете части:

В момента според основното ниво на изучаване на математика са предвидени само 4 часа за изучаване на математика в гимназията (2 часа алгебра, 2 часа геометрия). В селските малки училища те се опитват да увеличат броя на часовете поради училищния компонент. Но ако класът е хуманитарен, тогава се добавя училищен компонент за изучаване на хуманитарни предмети. В малко село ученикът често няма избор, той учи в този клас; който се предлага в училище. Той не възнамерява да стане юрист, историк или журналист (има такива случаи), но иска да стане инженер или икономист, така че трябва да премине Единния държавен изпит по математика с високи резултати. При такива обстоятелства учителят по математика трябва сам да намери изход от настоящата ситуация, освен това, според учебника на Колмогоров, не е предвидено изучаването на темата „хомогенни уравнения“. През последните години ми отне два двойни урока, за да представя тази тема и да я затвърдя. За съжаление нашата инспекция по възпитателен надзор забрани двукратните часове в училище, поради което се наложи броят на упражненията да бъде намален на 45 минути и съответно степента на трудност на упражненията беше намалена до средна. Предлагам на вашето внимание план на урок по тази тема в 10 клас с основно ниво на изучаване на математика в селско малко училище.

Тип урок: традиционен.

Мишена: научете се да решавате типични хомогенни уравнения.

Задачи:

Когнитивна:

Развитие:

Образователни:

• Насърчаване на упорит труд чрез търпеливо изпълнение на задачите, чувство за другарство чрез работа по двойки и групи.

По време на часовете

азОрганизационни сцена(3 мин.)

II. Проверка на знанията, необходими за усвояване на нов материал (10 мин.)

Идентифицирайте основните трудности с допълнителен анализ на изпълнените задачи. Момчетата избират 3 варианта. Задачи, диференцирани по степен на трудност и степен на подготвеност на децата, последвани от обяснение на дъската.

Ниво 1. Решете уравненията:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Отговори: 7;3

Ниво 2. Решаване на прости тригонометрични уравнения и биквадратни уравнения:

отговори:

б) x 4 -13x 3 +36=0 Отговори: -2; 2; -3; 3

Ниво 3.Решаване на уравнения чрез промяна на променливи:

б) x 6 -9x 3 +8=0 Отговори:

III.Комуникиране на темата, поставяне на цели и задачи.

Предмет: Хомогенни уравнения

Мишена: научете се да решавате типични хомогенни уравнения

Задачи:

Когнитивна:

• запознайте се с еднородни уравнения, научете се да решавате най-често срещаните видове такива уравнения.

Развитие:

• Развитие на аналитично мислене.
• Развитие на математически умения: научете се да идентифицирате основните характеристики, по които хомогенните уравнения се различават от другите уравнения, да можете да установите сходството на хомогенните уравнения в техните различни проявления.

IV. Научаване на нови знания (15 мин.)

1. Лекционен момент.

Определение 1(Запишете го в тетрадка). Уравнение от формата P(x;y)=0 се нарича хомогенно, ако P(x;y) е хомогенен полином.

Полином от две променливи x и y се нарича хомогенен, ако степента на всеки от членовете му е равна на едно и също число k.

Определение 2(Само въведение). Уравнения на формата

се нарича хомогенно уравнение от степен n по отношение на u(x) и v(x). Като разделим двете страни на уравнението на (v(x))n, можем да използваме заместване, за да получим уравнението

Което ни позволява да опростим първоначалното уравнение. Случаят v(x)=0 трябва да се разглежда отделно, тъй като е невъзможно да се раздели на 0.

2. Примери за хомогенни уравнения:

Обяснете: защо са хомогенни, дайте примери за такива уравнения.

3. Задача за определяне на хомогенни уравнения:

Сред дадените уравнения открийте хомогенни уравнения и обяснете избора си:

След като обясните избора си, използвайте един от примерите, за да покажете как се решава хомогенно уравнение:

4. Решете сами:

Отговор:

б) 2sin x – 3 cos x =0

Разделяме двете страни на уравнението на cos x, получаваме 2 tg x -3=0, tg x=⅔, x=arctg⅔ +

5. Покажете решението на пример от брошурата„П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в училищен курс по математика. Московски педагогически университет "Първи септември" 2006 стр.22. Като един от възможните примери за Единен държавен изпит ниво C.

V. Решете за консолидация по учебника на Башмаков

стр. 183 № 59 (1.5) или според учебника, редактиран от Колмогоров: стр. 81 № 169 (а, в)

отговори:

VI. Тест, самостоятелна работа (7 мин.)

Отговори на задачите:

Вариант 1 а) Отговор: arctan2+πn,n € Z; б) Отговор: ±π/2+ 3πn,n € Z; V)

Вариант 2 а) Отговор: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; б) Отговор: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; в) (-5;-2); (5;2)

VII. Домашна работа

№ 169 по Колмогоров, № 59 по Башмаков.

Освен това решете системата от уравнения:

Отговор: arctan(-1±√3) +πn,

Препратки:

1. П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в училищен курс по математика. – М.: Педагогически университет „Първи септември”, 2006. стр. 22
2. А. Мерзляк, В. Полонски, Е. Рабинович, М. Якир. Тригонометрия. – М.: „AST-PRESS“, 1998, стр. 389
3. Алгебра за 8 клас, под редакцията на Н.Я. Виленкина. – М.: „Просвещение“, 1997 г.
4. Алгебра за 9 клас, под редакцията на Н.Я. Виленкина. Москва "Просвещение", 2001 г.
5. M.I. Башмаков. Алгебра и началото на анализа. За 10-11 клас - М.: "Просвещение", 1993 г
6. Колмогоров, Абрамов, Дудницин. Алгебра и началото на анализа. За 10-11 клас. – М.: „Просвещение“, 1990 г.
7. А.Г. Мордкович. Алгебра и началото на анализа. Част 1 Учебник за 10-11 клас. – М.: “Мнемозина”, 2004 г.