Всички свойства на правоъгълник. Какво е правоъгълник? Специални случаи на правоъгълник. Противоположните страни са успоредни

Определение.Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки.

Имот.В успоредник противоположните страни са равни и срещуположните ъгли са равни.

Имот.Диагоналите на успоредника са разделени наполовина от пресечната точка.

1 знак на успоредник.Ако две страни на четириъгълник са равни и успоредни, тогава четириъгълникът е успоредник.

2 знак на успоредник.Ако в четириъгълник срещуположните страни са равни по две, то този четириъгълник е успоредник.

3 знак на успоредник.Ако диагоналите на четириъгълник се пресичат и се разделят на две от точката на пресичане, тогава четириъгълникът е успоредник.

Определение.Трапецът е четириъгълник, в който две страни са успоредни, а другите две страни не са успоредни. Паралелни страни се наричат причини.

Трапецът се нарича равнобедрен (равностранен), ако страните му са равни. В равнобедрен трапец ъглите при основите са равни.

Нар. трапец, единият от ъглите на който е прав правоъгълен.

Сегментът, свързващ средите на страните, се нарича средна линия на трапец. Средната линия е успоредна на основите и е равна на тяхната полусума.

Определение.Правоъгълникът е успоредник, чиито ъгли са прави.

Имот.Диагоналите на правоъгълник са равни.

Правоъгълен знак.Ако диагоналите на един успоредник са равни, то този успоредник е правоъгълник.

Определение.Ромбът е успоредник, в който всички страни са равни.

Имот.Диагоналите на ромба са взаимно перпендикулярни и разполовяват неговите ъгли.

Определение.Квадратът е правоъгълник, чиито страни са равни.

Квадратът е специален вид правоъгълник, както и специален вид ромб. Следователно има всичките им свойства.

Имоти:
1. Всички ъгли на квадрат са прави

2. Диагоналите на квадрата са равни, взаимно перпендикулярни, пресечната точка разполовява и разполовява ъглите на квадрата.

Определение.

Правоъгълнике четириъгълник, в който две срещуположни страни са равни и четирите ъгъла са равни.

Правоъгълниците се различават един от друг само в съотношението на дългата към късата страна, но и четирите ъгъла са прави, тоест 90 градуса.

Дългата страна на правоъгълник се нарича дължина на правоъгълник, а късата - ширина на правоъгълника.

Страните на правоъгълника са и неговите височини.

Основни свойства на правоъгълника

Правоъгълникът може да бъде успоредник, квадрат или ромб.

1. Противоположните страни на правоъгълника имат еднаква дължина, тоест те са равни:

AB = CD, BC = AD

2. Срещуположните страни на правоъгълника са успоредни:

3. Съседните страни на правоъгълник винаги са перпендикулярни:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. И четирите ъгъла на правоъгълника са прави:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Сумата от ъглите на правоъгълник е 360 градуса:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Диагоналите на правоъгълник имат еднаква дължина:

7. Сумата от квадратите на диагонала на правоъгълник е равна на сумата от квадратите на страните:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Всеки диагонал на правоъгълник разделя правоъгълника на две еднакви фигури, а именно правоъгълни триъгълници.

9. Диагоналите на правоъгълника се пресичат и се разделят наполовина в пресечната точка:

		AO=BO=CO=DO=	д
			2

10. Пресечната точка на диагоналите се нарича център на правоъгълника и също е център на описаната окръжност

11. Диагоналът на правоъгълник е диаметърът на описаната окръжност

12. Винаги можете да опишете кръг около правоъгълник, тъй като сборът на противоположните ъгли е 180 градуса:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Не може да се впише окръжност в правоъгълник, чиято дължина не е равна на ширината му, тъй като сумите на срещуположните страни не са равни (окръжност може да бъде вписана само в специален случай на правоъгълник - квадрат) .

Страни на правоъгълник

Определение.

Дължина на правоъгълнике дължината на по-дългата двойка страни. Ширина на правоъгълнике дължината на по-късата двойка страни.

Формули за определяне дължините на страните на правоъгълник

1. Формула за страна на правоъгълник (дължина и ширина на правоъгълника) през диагонала и другата страна:

а = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Формула за страна на правоъгълник (дължина и ширина на правоъгълника) през площта и другата страна:

b = dcos	β
	2

Диагонал на правоъгълник

Определение.

Диагонален правоъгълникВсеки сегмент, свързващ два върха на противоположни ъгли на правоъгълник, се нарича.

Формули за определяне дължината на диагонала на правоъгълник

1. Формула за диагонал на правоъгълник, използвайки две страни на правоъгълника (чрез Питагоровата теорема):

d = √ a 2 + b 2

2. Формула за диагонала на правоъгълник, използвайки площта и всяка страна:

4. Формула за диагонал на правоъгълник по отношение на радиуса на описаната окръжност:

d = 2R

5. Формула за диагонал на правоъгълник по отношение на диаметъра на описаната окръжност:

d = D o

6. Формула за диагонала на правоъгълник, използвайки синуса на ъгъла, съседен на диагонала, и дължината на страната, противоположна на този ъгъл:

8. Формула за диагонала на правоъгълник през синуса на острия ъгъл между диагоналите и площта на правоъгълника

d = √2S: грях β

Периметър на правоъгълник

Определение.

Периметър на правоъгълнике сумата от дължините на всички страни на правоъгълник.

Формули за определяне дължината на периметъра на правоъгълник

1. Формула за периметъра на правоъгълник, използвайки две страни на правоъгълника:

P = 2a + 2b

P = 2 (a + b)

2. Формула за периметъра на правоъгълник с площ и всяка страна:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	а		b

3. Формула за периметъра на правоъгълник, използвайки диагонала и всяка страна:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Формула за периметъра на правоъгълник, използвайки радиуса на описаната окръжност и всяка страна:

P = 2(a + √4R 2 - а 2) = 2(b + √4R 2 - б 2)

5. Формула за периметъра на правоъгълник, използвайки диаметъра на описаната окръжност и всяка страна:

P = 2(a + √D o 2 - а 2) = 2(b + √D o 2 - б 2)

Площ на правоъгълник

Определение.

Площ на правоъгълникнарича се пространството, ограничено от страните на правоъгълника, тоест в рамките на периметъра на правоъгълника.

Формули за определяне на площта на правоъгълник

1. Формула за площта на правоъгълник с две страни:

S = a b

2. Формула за площта на правоъгълник, използвайки периметъра и всяка страна:

5. Формула за площта на правоъгълник, използвайки радиуса на описаната окръжност и всяка страна:

S = a √4R 2 - а 2= b √4R 2 - б 2

6. Формула за площта на правоъгълник, използвайки диаметъра на описаната окръжност и всяка страна:

S = a √D o 2 - а 2= b √D o 2 - б 2

Окръжност, описана около правоъгълник

Определение.

Окръжност, описана около правоъгълнике окръжност, минаваща през четирите върха на правоъгълник, чийто център лежи в пресечната точка на диагоналите на правоъгълника.

Формули за определяне на радиуса на окръжност, описана около правоъгълник

1. Формула за радиуса на окръжност, описана около правоъгълник през две страни:

Цели на урока

Да затвърди знанията на учениците по темата правоъгълник;
Продължете да запознавате учениците с определенията и свойствата на правоъгълник;
Научете учениците да използват придобитите знания по тази тема при решаване на проблеми;
Развийте интерес към предмета математика, внимание, логическо мислене;
Развийте способността за самоанализ и дисциплина.

Цели на урока

Повторете и консолидирайте знанията на учениците за такава концепция като правоъгълник, надграждайки знанията, придобити в предишни класове;
Продължете да подобрявате знанията на учениците за свойствата и характеристиките на правоъгълниците;
Продължете да развивате умения в процеса на решаване на задачи;
Събудете интерес към часовете по математика;
Култивирайте интерес към точните науки и положително отношение към уроците по математика.

План на урока

1. Теоретична част, общи сведения, определения.
2. Повторение на темата „Правоъгълници“.
3. Свойства на правоъгълник.
4. Признаци на правоъгълник.
5. Интересни факти от живота на триъгълниците.
6. Златен правоъгълник, общи понятия.
7. Въпроси и задачи.

Какво е правоъгълник

В предишни класове вече сте изучавали теми за правоъгълници. Сега нека опресним паметта си и да си спомним какъв вид фигура е това, което се нарича правоъгълник.

Правоъгълникът е успоредник, чиито четири ъгъла са прави и равни на 90 градуса.

Правоъгълникът е геометрична фигура, състояща се от 4 страни и четири прави ъгъла.

Противоположните страни на правоъгълник винаги са равни.

Ако разгледаме дефиницията на правоъгълник според евклидовата геометрия, тогава, за да се счита четириъгълникът за правоъгълник, е необходимо в тази геометрична фигура поне три ъгъла да са прави. От това следва, че четвъртият ъгъл също ще бъде деветдесет градуса.

Въпреки че е ясно, че когато сумата от ъглите на четириъгълник няма 360 градуса, тогава тази фигура не е правоъгълник.

Ако правилният правоъгълник има всички страни, равни една на друга, тогава такъв правоъгълник се нарича квадрат.

В някои случаи квадрат може да действа като ромб, ако такъв ромб, освен равни страни, има всички прави ъгли.

За да се докаже участието на която и да е геометрична фигура в правоъгълник, достатъчно е тази геометрична фигура да отговаря на поне едно от следните изисквания:

1. квадратът на диагонала на тази фигура трябва да бъде равен на сумата от квадратите на 2 страни, които имат обща точка;
2. диагоналите на геометричната фигура трябва да са с еднаква дължина;
3. всички ъгли на геометрична фигура трябва да са равни на деветдесет градуса.

Ако тези условия отговарят на поне едно изискване, тогава имате правоъгълник.

Правоъгълникът в геометрията е основната основна фигура, която има много подвидове, със свои собствени специални свойства и характеристики.

Упражнение:Назовете геометричните фигури, принадлежащи към правоъгълниците.

Правоъгълник и неговите свойства

Сега нека си припомним свойствата на правоъгълника:

Правоъгълникът има всичките си диагонали равни;
Правоъгълникът е успоредник с успоредни противоположни страни;
Страните на правоъгълника също ще бъдат неговите височини;
Правоъгълникът има равни противоположни страни и ъгли;
Окръжност може да бъде описана около всеки правоъгълник и диагоналът на правоъгълника ще бъде равен на диаметъра на описаната окръжност.
Диагоналите на правоъгълника го разделят на 2 равни триъгълника;
Следвайки Питагоровата теорема, квадратът на диагонала на правоъгълник е равен на сумата от квадратите на неговите 2 непротивопоставени страни;

Упражнение:

1. Правоъгълникът има две възможности, при които може да бъде разделен на 2 равни правоъгълника. Начертайте в тетрадката си два правоъгълника и ги разделете така, че да се получат 2 равни правоъгълника.

2. Начертайте кръг около правоъгълника, чийто диаметър ще бъде равен на диагонала на правоъгълника.

3. Може ли да се впише окръжност в правоъгълник, така че да докосва всичките му страни, но при условие, че този правоъгълник не е квадрат?

Правоъгълни знаци

Паралелограмът ще бъде правоъгълник, при условие че:

1. ако поне един от ъглите му е прав;
2. ако и четирите му ъгъла са прави;
3. ако срещуположните страни са равни;
4. ако поне три ъгъла са прави;
5. ако диагоналите му са равни;
6. ако квадратът на диагонала е равен на сумата от квадратите на непротивопоставимите страни.

Интересно е да се знае

Знаете ли, че ако начертаете ъглополовящи на ъглите в правоъгълник, който има неравни съседни страни, тогава, когато те се пресекат, ще получите правоъгълник.

Но ако начертаната ъглополовяща на правоъгълник пресича една от страните му, тогава тя отрязва равнобедрен триъгълник от този правоъгълник.

Знаете ли, че още преди Малевич да нарисува своя изключителен „Черен квадрат“, през 1882 г. на изложба в Париж е представена картина на Пол Било, върху чието платно е изобразен черен правоъгълник със странното име „Битката на негрите в тунелът”.

Тази идея с черен правоъгълник вдъхнови други културни дейци. Френският писател и хуморист Алфонс Але издава цяла поредица от творбите си и с течение на времето се появява правоъгълен пейзаж в радикален червен цвят, наречен „Беритба на домати на брега на Червено море от апоплектични кардинали“, който също няма изображение.

Упражнение

1. Назовете свойство, което е присъщо само на правоъгълник?
2. Каква е разликата между произволен успоредник и правоъгълник?
3. Вярно ли е, че всеки правоъгълник може да бъде успоредник? Ако това е така, докажете защо?
4. Избройте четириъгълниците, които са правоъгълници.
5. Посочете свойствата на правоъгълник.

Исторически факт

Правоъгълник на Евклид

Знаете ли, че правоъгълникът на Евклид, който се нарича златно сечение, за дълъг период от време е бил за всяка сграда с религиозно значение, перфектна и пропорционална основа за строителство в онези дни. С негова помощ са построени повечето ренесансови сгради и класически храмове в Древна Гърция.

„Златният“ правоъгълник обикновено се нарича геометричен правоъгълник, съотношението на по-голямата страна към по-малката е равно на златното сечение.

Това съотношение на страните на този правоъгълник е 382 към 618, или приблизително 19 към 31. Евклидовият правоъгълник по това време е най-целесъобразният, удобен, безопасен и правилен правоъгълник от всички геометрични форми. Поради тази характеристика, Евклидовият правоъгълник или приближенията към него бяха използвани навсякъде. Използван е в къщи, картини, мебели, прозорци, врати и дори книги.

Сред индианците навахо правоъгълникът се сравняваше с женската форма, тъй като се смяташе за обичайната, стандартна форма на къщата, символизираща жената, която притежава тази къща.

Предмети > Математика > Математика 8 клас

Правоъгълник е Първогеометрична плоска фигура. Състои се от четири точки, които са свързани една с друга с две двойки равни сегменти, които се пресичат перпендикулярно само в тези точки.

Правоъгълникът се определя чрез успоредник. С други думи, правоъгълникът е успоредник, чиито ъгли са прави, тоест равни на 90 градуса. В евклидовата геометрия, ако една геометрична фигура има 3 от 4 ъгъла, равни на 90 градуса, тогава четвъртият ъгъл автоматично е равен на 90 градуса и такава фигура може да се нарече правоъгълник. От дефиницията на паралелограма става ясно, че правоъгълникът е много разновидности на тази фигура в равнина. От това следва, че свойствата на успоредник се отнасят и за правоъгълник. Например: в правоъгълник срещуположните страни са равни по дължина. Когато конструирате диагонал в правоъгълник, той ще раздели фигурата на два еднакви триъгълника. Това е основата на Питагоровата теорема, която гласи, че квадратът на хипотенузата в правоъгълен триъгълник е равен на сбора от квадратите на неговите катети. Ако всички страни на правилен правоъгълник са равни, тогава такъв правоъгълник се нарича квадрат. Квадратът също се определя като ромб, в който всичките му страни са равни и всичките му ъгли са прави ъгли.

Квадрат правоъгълниксе намира по формулата: S=a*b, където a е дължината на този правоъгълник, b е ширината. Например: площта на правоъгълник със страни 4 и 6 см ще бъде равна на 4 * 6 = 24 сантиметра на квадрат.

Периметър и т.нпитагонизчислява се по формулата: P= (a+b)*2, където a е дължината на правоъгълниците, b е ширината на дадения правоъгълник. Например: периметърът на правоъгълник със страни 4 и 8 cm е равен на 24 cm на правоъгълник, вписан в окръжност, съвпада с диаметъра на тази окръжност. Пресечната точка на тези диагонали ще бъде центърът на кръга.

При доказване участието на геометрична фигура в правоъгълник фигурата се проверява за някое от условията: 1 – квадрат на диагонала фигуриравно на сумата от квадратите на две страни с една обща точка; 2 – диагонали фигуриимат еднаква дължина; 3 – всички ъгли са равни на 90 градуса. Ако е изпълнено поне едно условие, фигурата може да се нарече правоъгълник.

4. Формула за радиуса на окръжност, която е описана около правоъгълник през диагонал на квадрат:

5. Формула за радиуса на окръжност, която се описва около правоъгълник през диаметъра на окръжността (описана):

6. Формула за радиуса на окръжност, която е описана около правоъгълник през синуса на ъгъла, който е съседен на диагонала, и дължината на страната, противоположна на този ъгъл:

7. Формула за радиуса на окръжност, описана около правоъгълник през косинуса на ъгъла, който е съседен на диагонала, и дължината на страната на този ъгъл:

8. Формула за радиуса на окръжност, която е описана около правоъгълник през синуса на острия ъгъл между диагоналите и площта на правоъгълника:

Ъгълът между страната и диагонала на правоъгълник.

Формули за определяне на ъгъла между страната и диагонала на правоъгълник:

1. Формула за определяне на ъгъла между страната и диагонала на правоъгълник през диагонала и страната:

2. Формула за определяне на ъгъла между страната и диагонала на правоъгълник чрез ъгъла между диагоналите:

Ъгълът между диагоналите на правоъгълник.

Формули за определяне на ъгъла между диагоналите на правоъгълник:

1. Формула за определяне на ъгъла между диагоналите на правоъгълник през ъгъла между страната и диагонала:

β = 2α

2. Формула за определяне на ъгъла между диагоналите на правоъгълник през площ и диагонал.