การแก้สมการเอกพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นและเอกพันธ์ของลำดับที่หนึ่ง ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ในบทความนี้ เราจะดูวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์

สมการตรีโกณมิติที่เป็นเนื้อเดียวกันมีโครงสร้างเหมือนกับสมการเอกพันธ์ประเภทอื่นๆ ฉันขอเตือนคุณถึงวิธีการแก้สมการเอกพันธ์ระดับที่สอง:

ให้เราพิจารณาสมการเอกพันธ์ของแบบฟอร์ม

คุณสมบัติที่โดดเด่นของสมการเอกพันธ์:

ก) monomials ทั้งหมดมีระดับเดียวกัน

b) เงื่อนไขอิสระเป็นศูนย์

c) สมการประกอบด้วยกำลังที่มีฐานสองฐานต่างกัน

สมการเอกพันธ์ได้รับการแก้ไขโดยใช้อัลกอริทึมที่คล้ายกัน

ในการแก้สมการประเภทนี้ เราจะหารทั้งสองข้างของสมการด้วย (สามารถหารด้วยหรือด้วยก็ได้)

ความสนใจ! เมื่อแบ่งด้านขวาและด้านซ้ายของสมการด้วยนิพจน์ที่ไม่ทราบค่า คุณอาจสูญเสียรากได้ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องตรวจสอบว่ารากของนิพจน์ที่เราหารทั้งสองข้างของสมการนั้นเป็นรากของสมการดั้งเดิมหรือไม่

หากเป็นเช่นนั้น เราจะเขียนรากนี้ไว้เพื่อที่เราจะไม่ลืมมันในภายหลัง จากนั้นจึงหารนิพจน์ด้วยสิ่งนี้

โดยทั่วไป สิ่งแรกที่ต้องทำเมื่อแก้สมการที่มีศูนย์ทางด้านขวาคือพยายามแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการด้วยวิธีใดก็ได้ที่มี แล้วให้แต่ละปัจจัยเท่ากันกับศูนย์ ในกรณีนี้เราจะไม่สูญเสียรากอย่างแน่นอน

ดังนั้น ให้แบ่งด้านซ้ายของสมการอย่างระมัดระวังออกเป็นเทอมนิพจน์ทีละเทอม เราได้รับ:

ลองลดตัวเศษและส่วนของเศษส่วนที่สองและสาม:

เรามาแนะนำการทดแทนกัน:

เราได้สมการกำลังสอง:

ลองแก้สมการกำลังสองหาค่าของ แล้วกลับสู่ค่าเดิมที่ไม่รู้จัก

เมื่อแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ มีสิ่งสำคัญหลายประการที่ต้องจำ:

1. คำจำลองสามารถแปลงเป็นกำลังสองของไซน์และโคไซน์ได้โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน:

2. ไซน์และโคไซน์ของอาร์กิวเมนต์คู่เป็นโมโนเมียลของดีกรีที่สอง - ไซน์ของอาร์กิวเมนต์คู่สามารถแปลงเป็นผลคูณของไซน์และโคไซน์ได้อย่างง่ายดาย และโคไซน์ของอาร์กิวเมนต์คู่เป็นกำลังสองของไซน์หรือโคไซน์:

ลองดูตัวอย่างต่างๆ ของการแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์

1. มาแก้สมการกัน:

นี่คือตัวอย่างคลาสสิกของสมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรีแรก: ระดับของโมโนเมียลแต่ละอันมีค่าเท่ากับ 1 ค่าตัดแกนเท่ากับศูนย์

ก่อนที่จะหารทั้งสองข้างของสมการด้วย คุณต้องตรวจสอบว่ารากของสมการไม่ใช่รากของสมการดั้งเดิม เราตรวจสอบ: ถ้า แล้ว title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

ลองหารทั้งสองข้างของสมการด้วย

เราได้รับ:

, ที่ไหน

, ที่ไหน

คำตอบ: , ที่ไหน

2. มาแก้สมการกัน:

นี่คือตัวอย่างของสมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรีที่สอง เราจำได้ว่าหากเราสามารถแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการได้ แนะนำให้ทำเช่นนั้น ในสมการนี้เราสามารถใส่ได้ มาทำกัน:

ผลเฉลยของสมการแรก: , โดยที่

สมการที่สองคือสมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรีแรก หากต้องการแก้ ให้หารทั้งสองข้างของสมการด้วย เราได้รับ:

ตอบ : , ที่ไหน ,

3. มาแก้สมการกัน:

เพื่อให้สมการนี้ "กลายเป็น" เอกพันธ์ เราจะแปลงมันให้เป็นผลคูณและนำเสนอเลข 3 เป็นผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์:

ย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้าย เปิดวงเล็บและนำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน เราได้รับ:

ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายและตั้งค่าแต่ละปัจจัยให้เท่ากับศูนย์:

ตอบ : , ที่ไหน ,

4. มาแก้สมการกัน:

เราเห็นสิ่งที่เราสามารถนำออกจากวงเล็บได้ มาทำกัน:

ลองแบ่งแต่ละปัจจัยให้เป็นศูนย์:

การแก้สมการแรก:

สมการประชากรที่สองคือสมการเอกพันธ์คลาสสิกของดีกรีที่สอง รากของสมการไม่ใช่รากของสมการดั้งเดิม ดังนั้นเราจึงหารทั้งสองข้างของสมการด้วย:

การแก้สมการแรก:

คำตอบของสมการที่สอง

หยุด! ลองทำความเข้าใจสูตรยุ่งยากนี้กัน

ตัวแปรแรกของกำลังที่มีค่าสัมประสิทธิ์ควรมาก่อน ในกรณีของเรามันเป็น

ในกรณีของเรามันเป็น ดังที่เราพบ นั่นหมายความว่าระดับของตัวแปรแรกมาบรรจบกัน และมีตัวแปรตัวที่สองถึงระดับแรกอยู่ ค่าสัมประสิทธิ์

เรามีมัน

ตัวแปรแรกคือกำลัง และตัวแปรที่สองคือกำลังสองพร้อมค่าสัมประสิทธิ์ นี่คือเทอมสุดท้ายในสมการ

อย่างที่คุณเห็น สมการของเราตรงกับคำจำกัดความในรูปแบบของสูตร

ลองดูที่ส่วนที่สอง (วาจา) ของคำจำกัดความ

เรามีสองสิ่งที่ไม่รู้จักและ มันมาบรรจบกันที่นี่

ลองพิจารณาเงื่อนไขทั้งหมด ในนั้นผลรวมของระดับของสิ่งที่ไม่รู้ควรจะเท่ากัน

ผลรวมขององศาจะเท่ากัน

ผลรวมของยกกำลังเท่ากับ (at และ at)

ผลรวมขององศาจะเท่ากัน

อย่างที่เห็น ทุกอย่างลงตัว!!!

ทีนี้มาฝึกนิยามสมการเอกพันธ์กันดีกว่า

พิจารณาว่าสมการใดเป็นเนื้อเดียวกัน:

สมการเอกพันธ์ - สมการที่มีตัวเลข:

ลองพิจารณาสมการแยกกัน

ถ้าเราหารแต่ละเทอมด้วยการแยกตัวประกอบแต่ละเทอม เราจะได้

และสมการนี้ก็เข้าข่ายนิยามของสมการเอกพันธ์โดยสิ้นเชิง

จะแก้สมการเอกพันธ์ได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 2

ลองหารสมการด้วย

ตามเงื่อนไขของเรา y จะเท่ากันไม่ได้ ดังนั้นเราจึงสามารถแบ่งได้อย่างปลอดภัย

เมื่อทำการทดแทนเราจะได้สมการกำลังสองอย่างง่าย:

เนื่องจากนี่คือสมการกำลังสองรีดิวซ์ เราจึงใช้ทฤษฎีบทของเวียตา:

หลังจากทำการทดแทนแบบย้อนกลับ เราก็จะได้คำตอบ

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 3

ลองหารสมการด้วย (ตามเงื่อนไข)

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาว่า

ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องหาร แต่คูณ ลองคูณสมการทั้งหมดด้วย:

มาแทนที่และแก้สมการกำลังสองกัน:

เมื่อทำการทดแทนแบบย้อนกลับเราจะได้คำตอบ:

คำตอบ:

การแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์

การแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ไม่แตกต่างจากวิธีการแก้ปัญหาที่อธิบายไว้ข้างต้น เฉพาะที่นี่เท่านั้น เหนือสิ่งอื่นใด คุณต้องรู้ตรีโกณมิติสักหน่อย และสามารถแก้สมการตรีโกณมิติได้ (คุณสามารถอ่านส่วนนี้ได้)

ลองดูสมการดังกล่าวโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 5

แก้สมการ

เราเห็นสมการเอกพันธ์ทั่วไป: และไม่ทราบค่า และผลรวมของกำลังในแต่ละเทอมมีค่าเท่ากัน

สมการเอกพันธ์ดังกล่าวแก้ได้ไม่ยาก แต่ก่อนที่จะแบ่งสมการ ให้พิจารณากรณีที่ว่าเมื่อใด

ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ: , ดังนั้น แต่ไซน์และโคไซน์จะเท่ากันในเวลาเดียวกันไม่ได้ เพราะตามอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน ดังนั้นเราจึงสามารถแบ่งได้อย่างปลอดภัยเป็น:

เนื่องจากสมการถูกกำหนดไว้ ดังนั้นตามทฤษฎีบทของ Vieta:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 6

แก้สมการ

ดังตัวอย่าง คุณต้องหารสมการด้วย ลองพิจารณากรณีนี้เมื่อ:

แต่ไซน์และโคไซน์จะเท่ากันในเวลาเดียวกันไม่ได้ เพราะตามอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน นั่นเป็นเหตุผล

มาแทนที่และแก้สมการกำลังสองกัน:

เรามาทำการทดแทนแบบย้อนกลับแล้วค้นหาและ:

คำตอบ:

การแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลเอกพันธ์

สมการเอกพันธ์ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับที่กล่าวไว้ข้างต้น หากคุณลืมวิธีแก้สมการเลขชี้กำลัง ให้ดูส่วนที่เกี่ยวข้อง ()!

ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 7

แก้สมการ

ลองจินตนาการเช่นนี้:

เราเห็นสมการเอกพันธ์ทั่วไปซึ่งมีตัวแปรสองตัวและผลรวมของกำลัง ลองแบ่งสมการออกเป็น:

อย่างที่คุณเห็น เมื่อทำการทดแทน เราจะได้สมการกำลังสองด้านล่าง (ไม่จำเป็นต้องกลัวการหารด้วยศูนย์ - มันจะมากกว่าศูนย์อย่างเคร่งครัดเสมอ):

ตามทฤษฎีบทของ Vieta:

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 8

แก้สมการ

ลองจินตนาการเช่นนี้:

ลองแบ่งสมการออกเป็น:

มาแทนที่และแก้สมการกำลังสองกัน:

รูตไม่ตรงตามเงื่อนไข เรามาทำการทดแทนแบบย้อนกลับแล้วค้นหา:

คำตอบ:

สมการเอกพันธ์ ระดับเฉลี่ย

ก่อนอื่น ผมขอเตือนคุณโดยใช้ตัวอย่างปัญหาหนึ่ง สมการเอกพันธ์คืออะไร และอะไรคือคำตอบของสมการเอกพันธ์

แก้ปัญหา:

ค้นหาว่า

คุณจะสังเกตเห็นสิ่งที่น่าสงสัยได้ที่นี่: ถ้าเราหารแต่ละเทอมด้วย เราจะได้:

นั่นคือตอนนี้ไม่มีการแยกจากกันและ - ตอนนี้ตัวแปรในสมการคือค่าที่ต้องการ และนี่คือสมการกำลังสองธรรมดาที่สามารถแก้ได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตต้า ผลคูณของรากเท่ากัน และผลรวมคือตัวเลข และ

คำตอบ:

สมการของแบบฟอร์ม

เรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกัน นั่นคือนี่คือสมการที่มีค่าไม่ทราบสองตัว ซึ่งแต่ละเทอมจะมีพลังรวมของค่าไม่ทราบเหล่านี้เท่ากัน ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างข้างต้น จำนวนนี้เท่ากับ สมการที่เป็นเนื้อเดียวกันแก้ได้โดยการหารด้วยค่าที่ไม่ทราบค่าตัวใดตัวหนึ่งในระดับนี้:

และการแทนที่ตัวแปรในภายหลัง: . ดังนั้นเราจึงได้สมการกำลังโดยไม่ทราบค่า:

บ่อยครั้งที่เราจะเจอสมการระดับที่สอง (นั่นคือกำลังสอง) และเรารู้วิธีแก้สมการเหล่านี้:

โปรดทราบว่าเราสามารถหาร (และคูณ) สมการทั้งหมดด้วยตัวแปรได้เท่านั้น ถ้าเรามั่นใจว่าตัวแปรนี้ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้! เช่น ถ้าเราถูกขอให้ค้นหา เราก็จะเข้าใจทันทีว่าเพราะมันแบ่งแยกไม่ได้ ในกรณีที่ไม่ชัดเจนนัก จำเป็นต้องตรวจสอบกรณีแยกต่างหากเมื่อตัวแปรนี้มีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

แก้สมการ

สารละลาย:

เราเห็นสมการเอกพันธ์ทั่วไปที่นี่ และไม่ทราบค่า และผลรวมของกำลังในแต่ละเทอมมีค่าเท่ากัน

แต่ก่อนที่จะหารด้วยสมการกำลังสองที่สัมพันธ์กัน เราต้องพิจารณากรณีที่เมื่อก่อน ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ: ซึ่งหมายถึง แต่ไซน์และโคไซน์ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกันได้ เพราะตามอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน: ดังนั้นเราจึงสามารถแบ่งได้อย่างปลอดภัยเป็น:

ฉันหวังว่าวิธีแก้ปัญหานี้จะชัดเจนอย่างสมบูรณ์ใช่ไหม ถ้าไม่อ่านหัวข้อ หากไม่ชัดเจนว่ามาจากไหนคุณต้องกลับไปที่ส่วนนี้เร็วกว่านี้

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

1. ค้นหาว่า
2. ค้นหาว่า
3. แก้สมการ

ต่อไปนี้ผมจะเขียนคำตอบของสมการเอกพันธ์โดยตรงสั้นๆ:

โซลูชั่น:

คำตอบ: .

แต่ที่นี่เราต้องคูณแทนที่จะหาร:

คำตอบ:

หากคุณยังไม่ได้ดำเนินการ คุณสามารถข้ามตัวอย่างนี้ได้

เนื่องจากที่นี่เราต้องหารด้วย ก่อนอื่นต้องแน่ใจว่าหนึ่งร้อยไม่เท่ากับศูนย์:

และนี่เป็นไปไม่ได้

คำตอบ: .

สมการเอกพันธ์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

การแก้สมการเอกพันธ์ทั้งหมดลดลงเหลือเพียงการหารด้วยค่าที่ไม่รู้จักค่าใดค่าหนึ่งยกกำลัง และการเปลี่ยนแปลงตัวแปรเพิ่มเติม

อัลกอริทึม:

เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว

ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...

เพื่ออะไร?

สำหรับการผ่านการสอบ Unified State ได้สำเร็จ เพื่อเข้าวิทยาลัยด้วยงบประมาณ และที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะโอกาสมากมายเปิดกว้างต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเองนะ...

ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?

ช่วยคุณโดยการแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ

คุณจะต้องการ แก้ปัญหากับเวลา.

และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ไขมัน (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย

มันก็เหมือนกับกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหาการวิเคราะห์โดยละเอียดและตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา

เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - ซื้อหนังสือเรียน - 899 RUR

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดทั้งชีวิตของไซต์

สรุปแล้ว...

หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์อันดับหนึ่ง เป็นสมการของรูปแบบ
โดยที่ f คือฟังก์ชัน

วิธีการหาสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์

ในการพิจารณาว่าสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งเป็นเนื้อเดียวกันหรือไม่ คุณต้องใส่ค่าคงที่ t และแทนที่ y ด้วย ty และ x ด้วย tx: y → ty, x → tx ถ้าไม่ยกเลิกก็จะประมาณนี้ สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์. อนุพันธ์ y′ จะไม่เปลี่ยนแปลงกับการแปลงนี้
.

ตัวอย่าง

ตรวจสอบว่าสมการที่กำหนดเป็นเนื้อเดียวกันหรือไม่

สารละลาย

เราทำการแทนที่ y → ty, x → tx


หารด้วย t 2 .

.
สมการไม่มีค่า t ดังนั้น นี่คือสมการเอกพันธ์

วิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์อันดับหนึ่งจะลดลงเป็นสมการที่มีตัวแปรที่แยกได้โดยใช้การแทนที่ y = ux มาแสดงกันเถอะ พิจารณาสมการ:
(ฉัน)
มาทำการทดแทนกัน:
y = ux,
โดยที่คุณเป็นฟังก์ชันของ x แยกความแตกต่างด้วยความเคารพ x:
ย' =
แทนลงในสมการเดิม (ฉัน).
,
,
(สอง) .
มาแยกตัวแปรกัน คูณด้วย dx แล้วหารด้วย x ( ฉ(ยู) - คุณ ).

ที่ฉ (คุณ) - คุณ ≠ 0และ x ≠ 0 เราได้รับ:

มาบูรณาการกัน:

ดังนั้นเราจึงได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการ (ฉัน)ในพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส:

ให้เราแทนที่ค่าคงที่ของการอินทิเกรต C ด้วย อินซี, แล้ว

ให้เราละเว้นเครื่องหมายของโมดูลัส เนื่องจากเครื่องหมายที่ต้องการถูกกำหนดโดยการเลือกเครื่องหมายของค่าคงที่ C จากนั้นอินทิกรัลทั่วไปจะอยู่ในรูปแบบ:

ต่อไปเราควรพิจารณากรณี f (คุณ) - คุณ = 0.
หากสมการนี้มีราก แสดงว่าสมการนั้นคือคำตอบของสมการ (สอง). ตั้งแต่สมการ (สอง)ไม่ตรงกับสมการดั้งเดิม ดังนั้นคุณควรตรวจสอบให้แน่ใจว่าคำตอบเพิ่มเติมเป็นไปตามสมการดั้งเดิม (ฉัน).

เมื่อใดก็ตามที่เราอยู่ในกระบวนการแปลง ให้แบ่งสมการใดๆ ด้วยฟังก์ชันบางอย่าง ซึ่งเราแสดงว่าเป็น g (x, ย)แล้วการแปลงเพิ่มเติมจะใช้ได้สำหรับ g (x, y) ≠ 0. ดังนั้นควรพิจารณากรณี g แยกกัน (x, y) = 0.

ตัวอย่างของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่เป็นเนื้อเดียวกัน

แก้สมการ

สารละลาย

ลองตรวจสอบว่าสมการนี้เป็นเนื้อเดียวกันหรือไม่ เราทำการแทนที่ y → ty, x → tx ในกรณีนี้ y′ → y′
,
,
.
เราย่อมันให้สั้นลงด้วย t

ค่าคงที่ t ลดลง ดังนั้นสมการจึงเป็นเนื้อเดียวกัน

เราทำการทดแทน y = ux โดยที่ u เป็นฟังก์ชันของ x
ย' = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
แทนลงในสมการเดิม
,
,
,
.
เมื่อ x ≥ 0 , |x| = x เมื่อ x ≤ 0 , |x| = - x . เราเขียน |x| = x แปลว่าเครื่องหมายบนสุดหมายถึงค่า x ≥ 0 และอันล่าง - ถึงค่า x ≤ 0 .
,
คูณด้วย dx แล้วหารด้วย

เมื่อคุณ 2 - 1 ≠ 0 เรามี:

มาบูรณาการกัน:

อินทิกรัลแบบตาราง
.

ลองใช้สูตร:
(ก + ข)(ก - ข) = ก 2 - ข 2.
ให้ a = u, .
.
ลองใช้โมดูโลและลอการิทึมทั้งสองด้านกัน
.
จากที่นี่
.

ดังนั้นเราจึงมี:
,
.
เราละเว้นเครื่องหมายของโมดูลัสเนื่องจากเครื่องหมายที่ต้องการนั้นมั่นใจได้โดยการเลือกเครื่องหมายของค่าคงที่ C

คูณด้วย x แล้วแทนที่ ux = y
,
.
ยกกำลังสอง
,
,
.

ตอนนี้พิจารณากรณีนี้คุณ 2 - 1 = 0 .
รากของสมการนี้
.
ง่ายต่อการตรวจสอบว่าฟังก์ชัน y = x เป็นไปตามสมการดั้งเดิม

คำตอบ

,
,
.

อ้างอิง:
น.เอ็ม. กันเตอร์, อาร์.โอ. Kuzmin, ชุดของปัญหาทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง, “ลาน”, 2546.

ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ของลำดับที่ 1 ให้ใช้การแทนที่ u=y/x นั่นคือ u เป็นฟังก์ชันใหม่ที่ไม่รู้จักซึ่งขึ้นอยู่กับ x ดังนั้น y=ux เราค้นหาอนุพันธ์ y' โดยใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์: y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u (เนื่องจาก x'=1) สำหรับรูปแบบอื่น: dy = udx + xdu หลังจากการแทนที่ เราจะลดความซับซ้อนของสมการและได้สมการที่มีตัวแปรที่แยกกันไม่ได้

ตัวอย่างการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ของลำดับที่ 1

1) แก้สมการ

เราตรวจสอบว่าสมการนี้เป็นเนื้อเดียวกัน (ดูวิธีกำหนดสมการเนื้อเดียวกัน) เมื่อมั่นใจแล้ว เราจะทำการแทนที่ u=y/x โดยที่ y=ux, y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u ทดแทน: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx) เนื่องจากลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึม ดังนั้น ln(ux)=lnu+lnx จากที่นี่

คุณx+u=u(1+lnu+lnx-lnx) หลังจากนำคำที่คล้ายกันมา: u’x+u=u(1+lnu) ตอนนี้เปิดวงเล็บ

คุณx+u=u+u·lnu. ทั้งสองด้านมี u ดังนั้น u'x=u·lnu เนื่องจาก u เป็นฟังก์ชันของ x ดังนั้น u'=du/dx มาทดแทนกันเถอะ

เราได้รับสมการที่มีตัวแปรที่แยกไม่ออก เราแยกตัวแปรโดยการคูณทั้งสองส่วนด้วย dx และหารด้วย x·u·lnu โดยมีเงื่อนไขว่าผลคูณ x·u·lnu≠0

มาบูรณาการกัน:

ทางด้านซ้ายเป็นอินทิกรัลของตาราง ทางด้านขวา - เราทำการแทนที่ t=lnu จากที่ dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C แต่เราได้คุยกันไปแล้วว่าในสมการดังกล่าว จะสะดวกกว่าถ้าใช้ ln│C│ แทน C แล้ว

ln│t│=ln│x│+ln│C│ ตามคุณสมบัติของลอการิทึม: ln│t│=ln│Сx│ ดังนั้น t=Cx (ตามเงื่อนไข x>0) ถึงเวลาทำการทดแทนแบบย้อนกลับ: lnu=Cx และการทดแทนแบบย้อนกลับอีกหนึ่งรายการ:

โดยคุณสมบัติของลอการิทึม:

นี่คืออินทิกรัลทั่วไปของสมการ

เราจำสภาพของผลิตภัณฑ์ x·u·lnu≠0 (และดังนั้น x≠0,u≠0, lnu≠0, จากไหน u≠1) แต่ x≠0 จากเงื่อนไข u≠1 ยังคงอยู่ ดังนั้น x≠y แน่นอนว่า y=x (x>0) รวมอยู่ในโซลูชันทั่วไปแล้ว

2) จงหาอินทิกรัลย่อยของสมการ y’=x/y+y/x โดยเป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น y(1)=2

ขั้นแรก เราตรวจสอบว่าสมการนี้เป็นเนื้อเดียวกัน (แม้ว่าการมีอยู่ของพจน์ y/x และ x/y จะบ่งชี้สิ่งนี้ทางอ้อมแล้วก็ตาม) จากนั้นเราทำการแทนที่ u=y/x โดยที่ y=ux, y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการ:

คุณx+u=1/u+u. มาทำให้ง่ายขึ้น:

คุณx=1/คุณ. เนื่องจาก u เป็นฟังก์ชันของ x ดังนั้น u'=du/dx:

เราได้รับสมการที่มีตัวแปรที่แยกไม่ออก ในการแยกตัวแปร เราจะคูณทั้งสองข้างด้วย dx และ u แล้วหารด้วย x (x≠0 ด้วยเงื่อนไข ดังนั้น u≠0 เช่นกัน ซึ่งหมายความว่าไม่มีการสูญเสียคำตอบ)

มาบูรณาการกัน:

และเนื่องจากทั้งสองฝ่ายมีอินทิกรัลแบบตาราง เราจึงได้ค่าทันที

เราทำการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ:

นี่คืออินทิกรัลทั่วไปของสมการ เราใช้เงื่อนไขเริ่มต้น y(1)=2 นั่นคือเราแทน y=2, x=1 ลงในผลลัพธ์ที่ได้:

3) ค้นหาอินทิกรัลทั่วไปของสมการเอกพันธ์:

(x²-y²)dy-2xydx=0

การแทนที่ u=y/x โดยที่ y=ux, dy=xdu+udx มาทดแทนกัน:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0 เรานำ x² ออกจากวงเล็บแล้วหารทั้งสองส่วนด้วย (ระบุ x≠0):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0 เปิดวงเล็บและทำให้ง่ายขึ้น:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. เราจัดกลุ่มคำศัพท์ด้วย du และ dx:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0 นำปัจจัยทั่วไปออกจากวงเล็บ:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0 เราแยกตัวแปร:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx ในการทำเช่นนี้ เราหารทั้งสองข้างของสมการด้วย xu(u²+1)≠0 (ดังนั้น เราจึงเพิ่มข้อกำหนด x≠0 (สังเกตไว้แล้ว), u≠0):

มาบูรณาการกัน:

ทางด้านขวาของสมการจะมีอินทิกรัลแบบตาราง และเราแยกเศษส่วนตรรกยะทางด้านซ้ายให้เป็นตัวประกอบง่ายๆ:

(หรือในอินทิกรัลที่สอง แทนที่จะแทนที่เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล คุณสามารถแทนที่ได้ t=1+u², dt=2udu - ใครก็ตามที่ชอบวิธีใดดีกว่า) เราได้รับ:

ตามคุณสมบัติของลอการิทึม:

การทดแทนแบบย้อนกลับ

เราจำเงื่อนไขได้ u≠0 ดังนั้น y≠0 เมื่อ C=0 y=0 หมายความว่าไม่มีการสูญเสียคำตอบ และ y=0 จะรวมอยู่ในอินทิกรัลทั่วไป

ความคิดเห็น

คุณสามารถเขียนคำตอบในรูปแบบอื่นได้หากคุณปล่อยคำนี้ไว้โดยให้ x อยู่ทางด้านซ้าย:

ความหมายทางเรขาคณิตของเส้นโค้งอินทิกรัลในกรณีนี้คือกลุ่มของวงกลมที่มีศูนย์กลางบนแกน Oy และผ่านจุดกำเนิด

งานทดสอบตัวเอง:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) เราตรวจสอบว่าสมการนั้นเป็นเนื้อเดียวกัน หลังจากนั้นเราทำการแทนที่ u=y/x แล้วจึง y=ux, dy=xdu+udx แทนลงในเงื่อนไข: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0 เมื่อหารทั้งสองข้างของสมการด้วย x²≠0 เราจะได้: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0 ดังนั้น dx+u²dx-xudu-u²dx=0 ลดรูปลง เรามี: dx-xudu=0 ดังนั้น xudu=dx, udu=dx/x มารวมทั้งสองส่วนเข้าด้วยกัน:

ปัจจุบันตามระดับพื้นฐานการเรียนคณิตศาสตร์ กำหนดให้เรียนคณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายเพียง 4 ชั่วโมงเท่านั้น (พีชคณิต 2 ชั่วโมง เรขาคณิต 2 ชั่วโมง) ในโรงเรียนขนาดเล็กในชนบท พวกเขากำลังพยายามเพิ่มจำนวนชั่วโมงผ่านองค์ประกอบของโรงเรียน แต่ถ้าชั้นเรียนเป็นแบบมนุษยธรรม ก็จะเพิ่มองค์ประกอบของโรงเรียนสำหรับการศึกษาวิชามนุษยศาสตร์ ในหมู่บ้านเล็กๆ เด็กนักเรียนมักไม่มีทางเลือก เขาเรียนในชั้นเรียนนั้น ซึ่งมีอยู่ที่โรงเรียน เขาไม่ได้ตั้งใจจะเป็นทนายความ นักประวัติศาสตร์ หรือนักข่าว (ก็มีกรณีเช่นนี้) แต่อยากเป็นวิศวกรหรือนักเศรษฐศาสตร์ ดังนั้นเขาจึงต้องผ่านการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ที่ได้คะแนนสูง ภายใต้สถานการณ์เช่นนี้ ครูคณิตศาสตร์ต้องหาทางออกจากสถานการณ์ปัจจุบันด้วยตนเอง ยิ่งไปกว่านั้น ตามตำราเรียนของ Kolmogorov ไม่ได้จัดให้มีการศึกษาหัวข้อ "สมการเอกพันธ์" ในปีที่ผ่านมา ฉันต้องใช้บทเรียนสองบทในการแนะนำหัวข้อนี้และเสริมสร้างหัวข้อนี้ น่าเสียดายที่การตรวจสอบการควบคุมดูแลด้านการศึกษาของเราห้ามไม่ให้มีบทเรียนคู่ที่โรงเรียน ดังนั้นจำนวนแบบฝึกหัดจึงต้องลดลงเหลือ 45 นาที และระดับความยากของแบบฝึกหัดจึงลดลงเหลือระดับปานกลาง ฉันขอนำเสนอแผนการสอนในหัวข้อนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 โดยมีระดับพื้นฐานในการเรียนคณิตศาสตร์ในโรงเรียนขนาดเล็กในชนบท

ประเภทบทเรียน: แบบดั้งเดิม.

เป้า: เรียนรู้การแก้สมการเอกพันธ์ทั่วไป

งาน:

ความรู้ความเข้าใจ:

พัฒนาการ:

เกี่ยวกับการศึกษา:

• ส่งเสริมการทำงานหนักโดยอาศัยคนไข้ทำงานให้เสร็จ ความรู้สึกของความสนิทสนมกันผ่านการทำงานเป็นคู่และเป็นกลุ่ม

ในระหว่างเรียน

ฉัน.องค์กร เวที(3 นาที)

ครั้งที่สอง ทดสอบความรู้ที่จำเป็นในการเรียนรู้เนื้อหาใหม่ (10 นาที)

ระบุปัญหาหลักด้วยการวิเคราะห์งานที่เสร็จสมบูรณ์เพิ่มเติม พวกเขาเลือก 3 ตัวเลือก งานแยกตามระดับความยากและระดับความพร้อมของเด็ก ตามด้วยคำอธิบายที่กระดาน

ระดับ 1. แก้สมการ:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 คำตอบ: 7;3

ระดับ 2. แก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่ายและสมการกำลังสอง:

คำตอบ:

b) x 4 -13x 3 +36=0 คำตอบ: -2; 2; -3; 3

ระดับ 3.การแก้สมการโดยการเปลี่ยนตัวแปร:

b) x 6 -9x 3 +8=0 คำตอบ:

สาม.การสื่อสารหัวข้อการกำหนดเป้าหมายและวัตถุประสงค์

เรื่อง: สมการเอกพันธ์

เป้า: เรียนรู้การแก้สมการเอกพันธ์ทั่วไป

งาน:

ความรู้ความเข้าใจ:

• ทำความคุ้นเคยกับสมการเอกพันธ์เรียนรู้การแก้สมการประเภทที่พบบ่อยที่สุด

พัฒนาการ:

• พัฒนาการคิดเชิงวิเคราะห์
• การพัฒนาทักษะทางคณิตศาสตร์: เรียนรู้ที่จะระบุคุณสมบัติหลักที่ทำให้สมการเอกพันธ์แตกต่างจากสมการอื่น ๆ สามารถสร้างความคล้ายคลึงกันของสมการเอกพันธ์ในรูปแบบต่าง ๆ ได้

IV. การเรียนรู้ความรู้ใหม่ (15 นาที)

1. ช่วงบรรยาย

คำจำกัดความ 1(เขียนลงในสมุดบันทึก). สมการที่อยู่ในรูป P(x;y)=0 เรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกัน ถ้า P(x;y) เป็นพหุนามที่เป็นเนื้อเดียวกัน

พหุนามในตัวแปรสองตัว x และ y เรียกว่าเอกพันธ์ถ้าระดับของแต่ละเทอมเท่ากับจำนวน k เท่ากัน

คำจำกัดความ 2(เป็นเพียงการแนะนำ). สมการของแบบฟอร์ม

เรียกว่าสมการเอกพันธ์ของระดับ n เทียบกับ u(x) และ v(x) โดยการหารทั้งสองข้างของสมการด้วย (v(x))n เราสามารถใช้การทดแทนเพื่อให้ได้สมการ

ซึ่งช่วยให้เราสามารถจัดรูปสมการดั้งเดิมได้ง่ายขึ้น กรณี v(x)=0 จะต้องพิจารณาแยกกัน เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะหารด้วย 0

2. ตัวอย่างของสมการเอกพันธ์:

อธิบาย: ทำไมพวกมันถึงเป็นเนื้อเดียวกัน ให้ยกตัวอย่างสมการดังกล่าวของคุณ

3. ภารกิจในการกำหนดสมการเอกพันธ์:

ในบรรดาสมการที่ให้มา ให้ระบุสมการเอกพันธ์และอธิบายตัวเลือกของคุณ:

หลังจากที่คุณอธิบายตัวเลือกของคุณแล้ว ให้ใช้หนึ่งในตัวอย่างเพื่อแสดงวิธีแก้สมการเอกพันธ์:

4. ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

คำตอบ:

b) 2sin x – 3 cos x =0

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย cos x เราจะได้ 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. แสดงวิธีแก้ปัญหาด้วยตัวอย่างจากโบรชัวร์“พี.วี. ชูลคอฟ. สมการและอสมการในรายวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน Moscow Pedagogical University “วันที่หนึ่งเดือนกันยายน” 2549 หน้า 22” เป็นหนึ่งในตัวอย่างที่เป็นไปได้ของ Unified State Examination ระดับ C

วี. แก้โจทย์การรวมโดยใช้ตำราเรียนของบาชมาคอฟ

หน้า 183 หมายเลข 59 (1.5) หรือตามตำราเรียนที่แก้ไขโดย Kolmogorov: หน้า 81 หมายเลข 169 (a, c)

คำตอบ:

วี. ทดสอบงานอิสระ (7 นาที)

คำตอบสำหรับงาน:

ตัวเลือก 1 a) คำตอบ: arctan2+πn,n € Z; b) คำตอบ: ±π/2+ 3πn,n € Z; วี)

ตัวเลือกที่ 2 a) คำตอบ: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) คำตอบ: -arctg3+πn, 0.25π+πk, ; ค) (-5;-2); (5;2)

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว. การบ้าน

หมายเลข 169 ตาม Kolmogorov หมายเลข 59 ตาม Bashmakov

นอกจากนี้ให้แก้ระบบสมการ:

คำตอบ: อาร์กแทน(-1±√3) +πn,

อ้างอิง:

1. พี.วี. ชูลคอฟ. สมการและอสมการในรายวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน – อ.: Pedagogical University “First of September”, 2549. หน้า 22
2. A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir ตรีโกณมิติ. – อ.: “AST-PRESS”, 1998, หน้า 389
3. พีชคณิตสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 เรียบเรียงโดย N.Ya. วิเลนกินา. – อ.: “การตรัสรู้”, 1997.
4. พีชคณิตสำหรับเกรด 9 เรียบเรียงโดย N.Ya. วิเลนกินา. มอสโก "การตรัสรู้", 2544
5. มิ.ย. บาชมาคอฟ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ สำหรับเกรด 10-11 - ม.: “การตรัสรู้” 2536
6. โคลโมโกรอฟ, อับรามอฟ, ดุดนิทซิน. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ สำหรับเกรด 10-11 – อ.: “การตรัสรู้”, 1990.
7. เอ.จี. มอร์ดโควิช. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ ส่วนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10-11 – อ.: “Mnemosyne”, 2004.