Oś rzutowania to położenie punktu. Konstrukcja rzutów punktów należących do powierzchni ciał geometrycznych

W tym artykule znajdziemy odpowiedzi na pytania jak utworzyć rzut punktu na płaszczyznę i jak wyznaczyć współrzędne tego rzutu. W części teoretycznej będziemy opierać się na pojęciu projekcji. Zdefiniujemy terminy i przekażemy informacje wraz z ilustracjami. Utrwalajmy zdobytą wiedzę rozwiązując przykłady.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Projekcja, rodzaje projekcji

Dla wygody oglądania figur przestrzennych zastosowano rysunki przedstawiające te figury.

Definicja 1

Rzut figury na płaszczyznę– rysunek figury przestrzennej.

Oczywiście istnieje wiele zasad stosowanych do konstruowania projekcji.

Definicja 2

Występ– proces konstruowania rysunku figury przestrzennej na płaszczyźnie z wykorzystaniem zasad konstrukcyjnych.

Płaszczyzna projekcyjna- jest to płaszczyzna, w której skonstruowany jest obraz.

Zastosowanie pewnych zasad określa rodzaj projekcji: centralny Lub równoległy.

Szczególnym przypadkiem rzutowania równoległego jest rzut prostopadły lub ortogonalny: w geometrii jest on głównie używany. Z tego powodu w mowie często pomija się sam przymiotnik „prostopadły”: w geometrii mówi się po prostu „rzut figury” i przez to rozumie się konstruowanie rzutu metodą rzutu prostopadłego. W szczególnych przypadkach można oczywiście uzgodnić coś innego.

Zauważmy, że rzut figury na płaszczyznę jest w istocie rzutem wszystkich punktów tej figury. Dlatego, aby móc badać figurę przestrzenną na rysunku, konieczne jest zdobycie podstawowej umiejętności rzutowania punktu na płaszczyznę. O czym porozmawiamy poniżej.

Przypomnijmy, że najczęściej w geometrii mówiąc o rzucie na płaszczyznę, mamy na myśli zastosowanie rzutu prostopadłego.

Zróbmy konstrukcje, które dadzą nam możliwość uzyskania definicji rzutu punktu na płaszczyznę.

Załóżmy, że dana jest przestrzeń trójwymiarowa, w której znajduje się płaszczyzna α i punkt M 1, który nie należy do płaszczyzny α. Poprowadź prostą przez dany punkt M A prostopadle do danej płaszczyzny α. Punkt przecięcia prostej a i płaszczyzny α oznaczamy jako H 1, zgodnie z konstrukcją, będzie on podstawą prostopadłej spuszczonej z punktu M 1 na płaszczyznę α;

Jeśli dany jest punkt M 2 należący do danej płaszczyzny α, to M 2 będzie służył jako rzut samego siebie na płaszczyznę α.

Definicja 3

- jest to albo sam punkt (jeśli należy do danej płaszczyzny), albo podstawa pionu, z którego spadła dany punkt do danego samolotu.

Wyznaczanie współrzędnych rzutu punktu na płaszczyznę, przykłady

Niech w przestrzeni trójwymiarowej będą dane: prostokątny układ współrzędnych O x y z, płaszczyzna α, punkt M 1 (x 1, y 1, z 1). Należy znaleźć współrzędne rzutu punktu M 1 na zadaną płaszczyznę.

Rozwiązanie wynika oczywiście z podanej powyżej definicji rzutu punktu na płaszczyznę.

Oznaczmy rzut punktu M 1 na płaszczyznę α jako H 1 . Zgodnie z definicją H 1 jest punktem przecięcia danej płaszczyzny α z linią prostą poprowadzoną przez punkt M 1 (prostopadłą do tej płaszczyzny). Te. Współrzędnymi rzutu punktu M1, których potrzebujemy, są współrzędne punktu przecięcia prostej a i płaszczyzny α.

Zatem, aby znaleźć współrzędne rzutu punktu na płaszczyznę, należy:

Uzyskaj równanie płaszczyzny α (jeśli nie jest określone). Pomoże Ci w tym artykuł o rodzajach równań płaskich;

Wyznacz równanie prostej a przechodzącej przez punkt M 1 i prostopadłej do płaszczyzny α (przeanalizuj temat dotyczący równania prostej przechodzącej przez dany punkt prostopadle do danej płaszczyzny);

Znajdź współrzędne punktu przecięcia prostej a i płaszczyzny α (artykuł - znajdowanie współrzędnych punktu przecięcia płaszczyzny i prostej). Uzyskane dane będą współrzędnymi potrzebnymi do rzutowania punktu M 1 na płaszczyznę α.

Spójrzmy na teorię z praktycznymi przykładami.

Przykład 1

Wyznacz współrzędne rzutu punktu M 1 (- 2, 4, 4) na płaszczyznę 2 x – 3 y + z - 2 = 0.

Rozwiązanie

Jak widzimy, dane jest nam równanie płaszczyzny, tj. nie ma potrzeby go kompilować.

Zapiszmy równania kanoniczne prostej a przechodzącej przez punkt M 1 i prostopadłej do danej płaszczyzny. W tym celu wyznaczamy współrzędne wektora kierującego linii prostej a. Ponieważ prosta a jest prostopadła do danej płaszczyzny, wektor kierunkowy linii a jest wektorem normalnym płaszczyzny 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Zatem, a → = (2, - 3, 1) – wektor kierunku prostej a.

Teraz ułóżmy równania kanoniczne linii w przestrzeni przechodzącej przez punkt M 1 (- 2, 4, 4) i posiadającej wektor kierunkowy za → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Aby znaleźć potrzebne współrzędne kolejnym krokiem jest wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia prostej x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 i płaszczyzny 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . W tym celu przechodzimy od równania kanoniczne do równań dwóch przecinających się płaszczyzn:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Stwórzmy układ równań:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

I rozwiążmy to metodą Cramera:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

Zatem wymaganymi współrzędnymi danego punktu M 1 na danej płaszczyźnie α będą: (0, 1, 5).

Odpowiedź: (0 , 1 , 5) .

Przykład 2

W prostokątnym układzie współrzędnych O x y z przestrzeni trójwymiarowej dane są punkty A (0, 0, 2); B (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) i M 1 (-1, -2, 5). Należy znaleźć współrzędne rzutu M 1 na płaszczyznę A B C

Rozwiązanie

Najpierw zapisujemy równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 lat + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 lata + 2 z - 4 = 0

Zapiszmy równania parametryczne prostej a, która przejdzie przez punkt M 1 prostopadły do ​​płaszczyzny A B C. Płaszczyzna x – 2 y + 2 z – 4 = 0 ma wektor normalny o współrzędnych (1, - 2, 2), tj. wektor a → = (1, - 2, 2) – wektor kierunku prostej a.

Teraz, mając współrzędne punktu linii M 1 i współrzędne wektora kierunku tej linii, piszemy równania parametryczne linii w przestrzeni:

Następnie wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia płaszczyzny x – 2 y + 2 z – 4 = 0 i prostej

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

W tym celu podstawiamy do równania płaszczyzny:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

Teraz zgodnie z równaniami parametrycznymi x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ znajdźmy wartości zmienne x, y i z dla λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 (- 1) z = 5 + 2 (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Zatem rzut punktu M 1 na płaszczyznę A B C będzie miał współrzędne (- 2, 0, 3).

Odpowiedź: (- 2 , 0 , 3) .

Rozważmy osobno kwestię znalezienia współrzędnych rzutu punktu na płaszczyzny współrzędnych i płaszczyzny równoległe do płaszczyzn współrzędnych.

Niech zostaną dane punkty M 1 (x 1, y 1, z 1) i płaszczyzny współrzędnych O x y, O x z i O y z. Współrzędnymi rzutu tego punktu na te płaszczyzny będą odpowiednio: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) i (0, y 1, z 1). Rozważmy także płaszczyzny równoległe do podanych płaszczyzn współrzędnych:

do z + re = 0 ⇔ z = - re do , b y + re = 0 ⇔ y = - re b

A rzutami danego punktu M 1 na te płaszczyzny będą punkty o współrzędnych x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 i - D A, y 1, z 1.

Pokażemy, jak uzyskano taki wynik.

Jako przykład zdefiniujmy rzut punktu M 1 (x 1, y 1, z 1) na płaszczyznę A x + D = 0. Pozostałe przypadki są podobne.

Podana płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny współrzędnych O y z i i → = (1, 0, 0) jest jej wektorem normalnym. Ten sam wektor służy jako wektor kierunkowy linii prostopadłej do płaszczyzny O y z. Wtedy równania parametryczne prostej poprowadzonej przez punkt M 1 i prostopadłej do danej płaszczyzny będą miały postać:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Znajdźmy współrzędne punktu przecięcia tej prostej i danej płaszczyzny. Podstawmy najpierw równości do równania A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 i otrzymamy: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

Następnie obliczamy wymagane współrzędne za pomocą równań parametrycznych prostej o λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - re A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - re ZA y = y 1 z = z 1

Oznacza to, że rzut punktu M 1 (x 1, y 1, z 1) na płaszczyznę będzie punktem o współrzędnych - D A, y 1, z 1.

Przykład 2

Należy wyznaczyć współrzędne rzutu punktu M 1 (- 6, 0, 1 2) na płaszczyznę współrzędnych O x y oraz na płaszczyznę 2 y - 3 = 0.

Rozwiązanie

Płaszczyzna współrzędnych O x y będzie odpowiadać niekompletnie równanie ogólne płaszczyzna z = 0. Rzut punktu M 1 na płaszczyznę z = 0 będzie miał współrzędne (- 6, 0, 0).

Równanie płaszczyzny 2 y - 3 = 0 można zapisać jako y = 3 2 2. Teraz wystarczy zapisać współrzędne rzutu punktu M 1 (- 6, 0, 1 2) na płaszczyznę y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Odpowiedź:(- 6 , 0 , 0) i - 6 , 3 2 2 , 1 2

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Położenie punktu w przestrzeni można określić za pomocą jego dwóch rzutów ortogonalnych, na przykład poziomego i czołowego, czołowego i profilowego. Połączenie dowolnych dwóch rzuty ortogonalne pozwala poznać wartość wszystkich współrzędnych punktu, skonstruować trzeci rzut i określić oktant, w którym się on znajduje. Spójrzmy na kilka typowe zadania z przebiegu geometrii wykreślnej.

Dla danego złożonego rysunku punktów A i B konieczne jest:

Wyznaczmy najpierw współrzędne punktu A, które można zapisać w postaci A (x, y, z). Rzut poziomy punktu A - punkt A", mający współrzędne x, y. Narysujmy prostopadłe z punktu A" do osi x, y i znajdź odpowiednio A x, A y. Współrzędna x punktu A jest równa długości odcinka A x O ze znakiem plus, ponieważ A x leży w obszarze wartości dodatnie oś x Biorąc pod uwagę skalę rysunku, znajdujemy x = 10. Współrzędna y jest równa długości odcinka A y O ze znakiem minus, ponieważ t. A y leży w obszarze wartości ujemnych oś Y. Biorąc pod uwagę skalę rysunku, y = –30. Rzut czołowy punktu A - punkt A"" ma współrzędne x i z. Rzućmy prostopadłą z A" na oś z i znajdźmy A z. Współrzędna z punktu A jest równa długości odcinka A z O ze znakiem minus, ponieważ A z leży w obszarze ujemnych wartości osi z. Biorąc pod uwagę skalę rysunku z = –10. Zatem współrzędne punktu A wynoszą (10, –30, –10).

Współrzędne punktu B można zapisać jako B (x, y, z). Rozważmy rzut poziomy punktu B - punktu B”. Ponieważ leży on na osi x, wówczas B x = B” i współrzędna B y = 0. Odcięta x punktu B jest równa długości odcinka B x O ze znakiem plus. Biorąc pod uwagę skalę rysunku x = 30. Rzut czołowy punktu B to t B˝ ma współrzędne x, z. Narysujmy prostopadłą od B"" do osi z, znajdując w ten sposób B z. Zastosowanie z punktu B jest równe długości odcinka B z O ze znakiem minus, ponieważ B z leży w obszarze ujemnych wartości osi z. Biorąc pod uwagę skalę rysunku, wyznaczamy wartość z = –20. Zatem współrzędne B to (30, 0, -20). Wszystkie niezbędne konstrukcje przedstawiono na poniższym rysunku.

Konstrukcja rzutów punktów

Punkty A i B na płaszczyźnie P 3 mają współrzędne: A""" (y, z); B""" (y, z). W tym przypadku A"" i A""" leżą na tej samej prostopadłej do osi z, ponieważ mają wspólną współrzędną z. Podobnie B"" i B""" leżą na wspólnej prostopadłej do osi z. Aby znaleźć rzut profilu punktu A, nanosimy wzdłuż osi Y wartość odpowiedniej współrzędnej znalezionej wcześniej. Na rysunku odbywa się to za pomocą łuku kołowego o promieniu A y O. Następnie narysuj prostopadłą od A y, aż przetnie się z prostopadłą przywróconą z punktu A" do osi z. Punkt przecięcia tych dwóch prostopadłych wyznacza położenie A""".

Punkt B""" leży na osi z, ponieważ współrzędna y tego punktu wynosi zero. Znajdź projekcja profilu t. B w tym zadaniu wystarczy narysować prostopadłą od B"" do osi z. Punkt przecięcia tej prostopadłej z osią z to B""".

Wyznaczanie położenia punktów w przestrzeni

Wyobrażając sobie wizualnie układ przestrzenny, złożony z płaszczyzn rzutowych P 1, P 2 i P 3, położenie oktanów, a także kolejność przekształcania układu na diagramy, można bezpośrednio określić, że punkt A znajduje się w III oktancie , a punkt B leży na płaszczyźnie P 2.

Inną opcją rozwiązania tego problemu jest metoda wyjątków. Na przykład współrzędne punktu A to (10, -30, -10). Dodatnia odcięta x pozwala ocenić, że punkt znajduje się w pierwszych czterech oktanach. Ujemna współrzędna y wskazuje, że punkt znajduje się w drugim lub trzecim oktancie. Wreszcie ujemna aplikacja z wskazuje, że punkt A znajduje się w trzecim oktancie. Poniższa tabela jasno ilustruje powyższe rozumowanie.

Współrzędne punktu B (30, 0, -20). Ponieważ rzędna punktu B wynosi zero, punkt ten znajduje się na płaszczyźnie rzutu P 2. Dodatnia odcięta i ujemna aplikacja t. B wskazują, że znajduje się ona na granicy trzeciej i czwartej oktanty.

Konstrukcja obrazu wizualnego punktów układu płaszczyzn P 1, P 2, P 3

Wykorzystując czołowy rzut izometryczny zbudowaliśmy układ przestrzenny III oktantu. Jest to trójkąt prostokątny, którego ścianami są płaszczyzny P 1, P 2, P 3, a kąt (-y0x) wynosi 45 º. W tym systemie segmenty wzdłuż osi x, y, z zostaną wykreślone w naturalnym rozmiarze, bez zniekształceń.

Zacznijmy konstruować wizualny obraz punktu A (10, -30, -10) z jego rzutem poziomym A. Po wykreśleniu odpowiednich współrzędnych wzdłuż osi odciętych i rzędnych, znajdujemy punkty A x i A y przecięcie prostopadłych zrekonstruowany odpowiednio z A x i A y na osie x i y wyznacza położenie punktu A”. Odkładając z A” równolegle do osi z w kierunku jej ujemnych wartości odcinek AA”, którego długość wynosi 10, znajdujemy położenie punktu A.

Obraz wizualny punktu B (30, 0, -20) buduje się w podobny sposób - w płaszczyźnie P2 wzdłuż osi x i z należy wykreślić odpowiednie współrzędne. Przecięcie prostopadłych zrekonstruowanych z B x i B z wyznaczy położenie punktu B.

W niektórych przypadkach dla wygody rozwiązywania problemów konieczne jest zastosowanie dodatkowych płaszczyzn projekcji prostopadłych do istniejących płaszczyzn projekcji.

Jeżeli podany jest rzut poziomy i czołowy punktu, to rzut profilu wyznacza się za pomocą poniższego algorytmu.

Rysujemy linię połączenia rzutu prostopadle do osi Oz.

Na tej linii połączenia projekcji układamy segment A 1 A X =A Z A 3 .

Korzystając z tej zasady, można konstruować rzuty punktów na dodatkowe płaszczyzny rzutowania (metoda zastępowania płaszczyzn).

Niech zostanie podany punkt A(A 2 ,A 1 ) oraz nową dodatkową płaszczyznę projekcyjną P 4 P 1 . Zbudować A 4 – rzut punktowy A NA P 4 .

Rozwiązanie

a) Budujemy linię przecięcia płaszczyzn P 1 I P 4 = X 1,4 ;

b) Przez punkt A narysuj linię komunikacyjną projekcji X 1,4 .

c) Budujemy projekcję A 4 , Używam równości segmentów A 2 A X =A 4 A X .

Rzuty dwupunktowe A 1 I A 4 leżą na tej samej linii połączenia projekcji prostopadle do osi X 1,4 .

Odległość od „nowego” rzutu punktu A 4 do „nowej” osi X 1,4 równa odległości od „starego” rzutu punktu A 2 do „starej” osi X 1,2 .

Konkurencyjne punkty

Konkurencyjne punkty podaj nazwę pary punktów leżących na tym samym promieniu wystającym.

Spośród dwóch konkurujących punktów widocznym punktem jest ten, który znajduje się dalej od płaszczyzny projekcji.

Zwrotnica A I W nazywane są konkurencją poziomą.

Zwrotnica Z I D nazywane są konkurencją frontalną.

Wprowadź dodatkową płaszczyznę tak, aby punkty A I W stał się konkurencyjny.

Plan rozwiązania:

1 Budowa osi X 1,4 A 1 , B 1 ;

2 Budowa linii komunikacyjnej projekcji X 1,4 ;

3 Na linii komunikacyjnej projekcji rozkładamy segmenty A X A 2 = A / X A 4 , B X B 2 = B / X B 4 .

Materiał do samodzielnej nauki Modelowanie obiektów graficznych 2D w systemie graficznym kompasu Uruchamianie i wyłączanie systemu kompasu

System KOMPAS-3D-V8 uruchamia się podobnie jak inne programy. Aby uruchomić system należy wybrać menu \ Początek\ Wszyscy pprogramy\ ASCON\KOMPAS-3D- V8 i biegnij KOMPAS. Możesz wybrać skrót do programu za pomocą wskaźnika myszy na polu pulpitu i kliknąć dwukrotnie lewym przyciskiem myszy. Aby otworzyć dokument należy kliknąć przycisk otwarty na panelu Standard . Aby rozpocząć nowy dokument kliknij przycisk Tworzyć na panelu Standard lub uruchom polecenie Plik > Tworzyć i w otwartym oknie dialogowym wybierz typ dokumentu, który ma zostać utworzony i kliknij OK.

Aby zakończyć pracę, wybierz menu Plik\Wyjście, kombinację klawiszy Alt-F4 lub kliknij przycisk Zamknij.

Główne typy dokumentów systemu graficznego kompasu

Rodzaj dokumentu utworzonego w systemie KOMPAS zależy od rodzaju informacji przechowywanych w tym dokumencie. Każdy typ dokumentu ma rozszerzenie nazwy pliku i własną ikonę.

1 Rysunek- główny typ dokumentu graficznego w KOMPAS. Rysunek zawiera przedstawienie graficzne produktu w jednym lub kilku typach, napis główny oraz ramkę. Rysunek KOMPAS zawiera zawsze jeden arkusz o formacie określonym przez użytkownika. Plik rysunku ma rozszerzenie .cdw.

2 Fragment- pomocniczy typ dokumentu graficznego w KOMPAS. Fragment różni się od rysunku brakiem ramki, głównego napisu i innych obiektów projektowych dokumentu projektowego. W magazynie fragmentów utworzono standardowe rozwiązania do późniejszego wykorzystania w innych dokumentach. Plik fragmentowy ma rozszerzenie .frw.

3 Dokument tekstowy(rozszerzenie pliku . kdw);

4 Specyfikacja(rozszerzenie pliku . spw);

5 Montaż(rozszerzenie pliku . A3 D);

6 Szczegół- Modelowanie 3D (rozszerzenie pliku . M3 D);

Punkt w przestrzeni wyznaczają dowolne dwa jego rzuty. Jeżeli konieczne jest zbudowanie trzeciego rzutu na podstawie dwóch danych, należy skorzystać z zgodności odcinków linii komunikacyjnych projekcji uzyskanej przy wyznaczaniu odległości punktu od płaszczyzny projekcji (patrz ryc. 2.27 i ryc. 2.28) .

Przykłady rozwiązywania problemów w pierwszym oktancie

Biorąc pod uwagę A 1; 2	Zbuduj A 3
Biorąc pod uwagę A 2; 3	Zbuduj 1
Biorąc pod uwagę A 1; 3	Zbuduj A 2

Rozważmy algorytm konstruowania punktu A (tabela 2.5)

Tabela 2.5

Algorytm konstruowania punktu A
przy danych współrzędnych A ( X = 5, y = 20, z = -9)

W kolejnych rozdziałach zajmiemy się obrazami: liniami prostymi i płaszczyznami tylko w pierwszej ćwiartce. Chociaż wszystkie rozważane metody można zastosować w dowolnym kwartale.

wnioski

Zatem w oparciu o teorię G. Monge'a możliwa jest transformacja obrazu przestrzennego obrazu (punktu) na obraz planarny.

Teoria ta opiera się na następujących postanowieniach:

1. Całą przestrzeń dzielimy na 4 ćwiartki za pomocą dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn p 1 i p 2 lub na 8 oktanów poprzez dodanie trzeciej wzajemnie prostopadłej płaszczyzny p 3.

2. Obraz obrazu przestrzennego na tych płaszczyznach uzyskuje się za pomocą rzutu prostokątnego (ortogonalnego).

3. Aby przekształcić obraz przestrzenny w obraz płaski, zakłada się, że płaszczyzna p 2 jest nieruchoma, a płaszczyzna p 1 obraca się wokół osi X tak, że dodatnia półpłaszczyzna p1 jest połączona z ujemną półpłaszczyzną p2, część ujemna p1 - z częścią dodatnią p2.

4. Płaszczyzna p 3 obraca się wokół osi z(linia przecięcia płaszczyzn) aż do zrównania się z płaszczyzną p 2 (patrz rys. 2.31).

Obrazy uzyskane na płaszczyznach p 1, p 2 i p 3 poprzez rzut prostokątny obrazów nazywane są rzutami.

Płaszczyzny p 1, p 2 i p 3 wraz z przedstawionymi na nich rzutami tworzą płaską złożony rysunek lub schemat.

Linie łączące rzuty obrazu z osiami X, y, z, nazywane są liniami komunikacyjnymi projekcji.

Aby dokładniej określić obrazy w przestrzeni, można zastosować układ trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyzn p 1, p 2, p 3.

W zależności od uwarunkowań problemu możesz wybrać dla obrazu system p 1, p 2 lub p 1, p 2, p 3.

Do układu można podłączyć układ płaszczyzn p 1, p 2, p 3 współrzędne kartezjańskie, co pozwala na definiowanie obiektów nie tylko graficznie czy (werbalnie), ale także analitycznie (za pomocą liczb).

Taki sposób przedstawiania obrazów poszczególnych punktów umożliwia rozwiązanie takich problemów pozycyjnych jak:

• położenie punktu względem płaszczyzn rzutowania ( ogólne stanowisko, należący do płaszczyzny, osi);
• położenie punktu w ćwiartkach (w której ćwiartce znajduje się punkt);
• położenie punktów względem siebie (wyżej, niżej, bliżej, dalej względem płaszczyzn projekcyjnych i widza);
• położenie rzutów punktu względem płaszczyzn projekcji (równa odległość, bliżej, dalej).

Zadania metryczne:

• jednakowa odległość rzutu od płaszczyzn projekcji;
• stosunek odległości projekcji od płaszczyzn projekcji (2–3 razy, więcej, mniej);
• określenie odległości punktu od płaszczyzn rzutowania (przy wprowadzaniu układu współrzędnych).

Pytania autorefleksyjne

1. Linia przecięcia, której płaszczyzny są osią z?

2. Linia przecięcia, której płaszczyzny są osią y?

3. Jak przebiega linia połączenia rzutu czołowego i profilowego punktu? Pokazywać.

4. Jakie współrzędne określają położenie rzutu punktu: poziomy, czołowy, profilowy?

5. W której dzielnicy znajduje się punkt F (10; –40; –20)? Od której płaszczyzny projekcji znajduje się punkt F najdalej?

6. Odległość od jakiego rzutu na jaką oś wyznacza odległość punktu od płaszczyzny p 1? Jaką współrzędną punktu jest ta odległość?

Rzutowanie punktu na trzy płaszczyzny rzutów kąta współrzędnych rozpoczyna się od uzyskania jego obrazu na płaszczyźnie H – poziomej płaszczyźnie rzutowania. Aby to zrobić, wiązka projekcyjna przechodzi przez punkt A (ryc. 4.12, a) prostopadle do płaszczyzny H.

Na rysunku prostopadła do płaszczyzny H jest równoległa do osi Oz. Punkt przecięcia belki z płaszczyzną H (punkt a) wybierany jest dowolnie. Odcinek Aa określa, w jakiej odległości punkt A znajduje się od płaszczyzny H, wskazując tym samym jednoznacznie położenie punktu A na rysunku w stosunku do płaszczyzn rzutowych. Punkt a jest prostokątnym rzutem punktu A na płaszczyznę H i nazywany jest rzutem poziomym punktu A (ryc. 4.12, a).

Aby uzyskać obraz punktu A na płaszczyźnie V (ryc. 4.12,b), wiązka projekcyjna przechodzi przez punkt A prostopadle do przedniej płaszczyzny rzutów V. Na rysunku prostopadła do płaszczyzny V jest równoległa do osi Oy . Na płaszczyźnie H odległość od punktu A do płaszczyzny V będzie reprezentowana przez odcinek aa x, równoległy do ​​osi Oy i prostopadły do ​​osi Ox. Jeśli wyobrazimy sobie, że promień rzutujący i jego obraz przebiegają jednocześnie w kierunku płaszczyzny V, to gdy obraz promienia przecina oś Wół w punkcie ax, promień przetnie płaszczyznę V w punkcie a.” Rysunek z punktu a x płaszczyzny V prostopadłej do osi Ox, która jest obrazem promienia wystającego Aa na płaszczyźnie V, w miejscu przecięcia z promieniem wystającym, otrzymuje się punkt a.” Punkt a” jest rzutem czołowym punktu A, czyli jego obrazem na płaszczyznę V.

Obraz punktu A na płaszczyźnie rzutowania profilu (ryc. 4.12, c) konstruuje się za pomocą belki projekcyjnej, prostopadle do płaszczyzny W. Na rysunku prostopadła do płaszczyzny W jest równoległa do osi Wółu. Promień wystający z punktu A do płaszczyzny W na płaszczyźnie H będzie reprezentowany przez odcinek aa y, równoległy do ​​osi Ox i prostopadły do ​​osi Oy. Z punktu Oy, równoległego do osi Oz i prostopadłego do osi Oy, konstruuje się obraz promienia wystającego aA i na przecięciu z promieniem wystającym otrzymuje się punkt a.” Punkt a” jest rzutem profilowym punktu A , czyli obraz punktu A na płaszczyźnie W.

Punkt a” można skonstruować rysując odcinek a”a z z punktu a” (obraz promienia wystającego Aa” na płaszczyźnie V) równoległego do osi Ox, a z punktu az – odcinek a”a z równoległy do ​​Oy osi, aż przetnie się z promieniem wystającym.

Po otrzymaniu trzech rzutów punktu A na płaszczyzny rzutowania, kąt współrzędnych rozkłada się na jedną płaszczyznę, jak pokazano na ryc. 4.11, b wraz z rzutami punktu A i wystającymi promieniami oraz punkt A i wystającymi promieniami Aa, Aa" i Aa" są usuwane. Krawędzie połączonych płaszczyzn projekcyjnych nie są rysowane, ale rysowane są jedynie osie projekcji Oz, Oy i Ox, Oy 1 (ryc. 4.13).

Analiza ortogonalnego rysunku punktu pokazuje, że trzy odległości - Aa", Aa i Aa" (ryc. 4.12, c), charakteryzujące położenie punktu A w przestrzeni, można wyznaczyć poprzez odrzucenie samego obiektu rzutowania - punktu A, na kącie współrzędnych zamienionym w jedną płaszczyznę (ryc. 4.13). Odcinki a”a z, aa y i Oa x są równe Aa” jako przeciwne boki odpowiednich prostokątów (ryc. 4.12c i 4.13). Określają odległość, w jakiej znajduje się punkt A od płaszczyzny rzutowania profilu. Odcinki a”a x, a”a y1 i Oa y są równe odcinkiowi Aa, wyznaczając odległość punktu A od płaszczyzny rzutu poziomego, odcinki aa x, a”a z i Oa y 1 są równe odcinku Aa ", określający odległość od punktu A do czołowej płaszczyzny rzutów.

Odcinki Oa x, Oa y i Oa z, umieszczone na osiach rzutu, stanowią graficzne wyrażenie wymiarów współrzędnych X, Y i Z punktu A. Współrzędne punktu są oznaczone indeksem odpowiedniej litery . Mierząc wielkość tych odcinków, można określić położenie punktu w przestrzeni, czyli ustalić współrzędne punktu.

Na schemacie odcinki a”a x i aa x leżą jako jedna prosta prostopadła do osi Ox, a odcinki a”a z i a”a z – do osi Oz. Linie te nazywane są liniami połączeń projekcji. Przecinają się one z osie rzutu odpowiednio w punktach ax i a z Linia połączenia rzutu łącząca rzut poziomy punktu A z rzutem profilowym okazała się „przecięta” w punkcie a y.

Dwa rzuty tego samego punktu znajdują się zawsze na tej samej linii połączenia rzutów, prostopadle do osi rzutów.

Aby przedstawić położenie punktu w przestrzeni, wystarczą dwa jego rzuty i dany początek (punkt O). 4.14, b dwa rzuty punktu całkowicie określają jego położenie w przestrzeni. Za pomocą tych dwóch rzutów można skonstruować rzut profilu punktu A. Dlatego w przyszłości, jeśli nie będzie potrzeby rzutowania profilu, diagramy będą. być zbudowane na dwóch płaszczyznach rzutowych: V i H.

Ryż. 4.14. Ryż. 4.15.

Przyjrzyjmy się kilku przykładom konstruowania i odczytywania rysunku punktu.

Przykład 1. Wyznaczenie współrzędnych punktu J podanego na schemacie w dwóch rzutach (rys. 4.14). Mierzone są trzy odcinki: odcinek OB X (współrzędna X), odcinek b X b (współrzędna Y) i odcinek b X b" (współrzędna Z). Współrzędne zapisuje się w następującej kolejności: X, Y i Z, po literze oznaczenie punktu, na przykład B20;

Przykład 2. Konstruowanie punktu o zadanych współrzędnych. Punkt C wyznaczają współrzędne C30; 10; 40. Na osi Wół (ryc. 4.15) znajdź punkt c x, w którym linia połączenia projekcji przecina oś projekcji. Aby to zrobić, wykreśla się współrzędną X (rozmiar 30) wzdłuż osi Ox od początku (punkt O) i uzyskuje się punkt z x. Przez ten punkt rysuje się linię połączenia rzutu prostopadle do osi Ox i od tego punktu wyznacza się współrzędną Y (rozmiar 10), uzyskuje się punkt c - rzut poziomy punktu C. Współrzędna Z (rozmiar 40) to ułożone z punktu c x wzdłuż linii połączenia rzutu, uzyskuje się punkt c” - rzut czołowy punktu C.

Przykład 3. Konstrukcja rzutu profilowego punktu z wykorzystaniem zadanych rzutów. Podano rzuty punktu D - d i d. Przez punkt O narysowane są osie rzutu Oz, Oy i Оу 1 (ryc. 4.16, a). Aby skonstruować rzut profilu punktu D punkt d”, rzut linia połączenia jest rysowana prostopadle do osi Oz i biegnie dalej w prawo za osią Oz. Rzut profilu punktu D będzie znajdował się na tej prostej. Będzie on położony w tej samej odległości od osi Oz, co rzut poziomy punktu d: od osi Ox, czyli w odległości dd x. Odcinki d z d" i dd x są takie same, gdyż wyznaczają tę samą odległość - odległość od punktu D do czołowej płaszczyzny rzutów. Odległość ta jest współrzędną Y punktu D.

Graficznie odcinek d z d" konstruuje się poprzez przeniesienie odcinka dd x z poziomej płaszczyzny rzutu na profil. W tym celu narysuj linię połączenia rzutu równolegle do osi Ox, uzyskaj punkt d y na osi Oy ( Ryc. 4.16, b). Następnie przenieś wielkość odcinka Od y na oś Oy 1, rysując łuk od punktu O o promieniu równym odcinku Od y do przecięcia z osią Oy 1 (ryc. 4.16). , b), otrzymujemy punkt dy 1. Punkt ten można również skonstruować, jak pokazano na ryc. 4.16, c, rysując linię prostą pod kątem 45° do osi Oy od punktu d y y1, rysuje się linię połączenia rzutu równolegle do osi Oz i kładzie się na niej odcinek równy segmentowi d"d x, uzyskuje się punkt d".

Przeniesienie wartości odcinka d x d na płaszczyznę profilu rzutów można wykonać za pomocą stałej linii prostej na rysunku (ryc. 4.16, d). W tym przypadku linię łączącą rzutu dd y rysuje się przez rzut poziomy punktu równoległego do osi Oy 1 aż do przecięcia ze stałą linią prostą, a następnie równolegle do osi Oy aż do przecięcia się z kontynuacją rzutu linia łącząca d"d z.

Szczególne przypadki położenia punktów względem płaszczyzn rzutowych

Położenie punktu względem płaszczyzny projekcji określa odpowiednia współrzędna, czyli wielkość odcinka linii połączenia rzutu od osi Ox do odpowiedniego rzutu. Na ryc. 4.17 współrzędną Y punktu A wyznacza odcinek aa x – odległość punktu A od płaszczyzny V. Współrzędną Z punktu A wyznacza się odcinek a „a x – odległość punktu A od płaszczyzny H. Jeżeli współrzędnych wynosi zero, wówczas punkt znajduje się na płaszczyźnie rzutowania. Rysunek 4.17 przedstawia przykłady różnych lokalizacji punktów względem płaszczyzn rzutowania. Współrzędna Z punktu B jest równa zeru, punkt znajduje się w płaszczyźnie H. Jego rzut czołowy znajduje się na osi Ox i pokrywa się z punktem b x. Współrzędna Y punktu C jest równa zeru, punkt leży na płaszczyźnie V, jego rzut poziomy c znajduje się na osi Ox i pokrywa się z punktem c X.

Zatem jeżeli punkt znajduje się na płaszczyźnie projekcji, to jeden z rzutów tego punktu leży na osi projekcji.

Na ryc. 4.17 współrzędne Z i Y punktu D są równe zeru, zatem punkt D leży na osi rzutu Ox i jego oba rzuty pokrywają się.