Κανόνες επίλυσης εξισώσεων με μεταβλητές τιμές. Εξισώσεις. Επίλυση ακόμη πιο περίπλοκων γραμμικών εξισώσεων

Σε αυτό το βίντεο θα αναλύσουμε ένα ολόκληρο σύνολο γραμμικών εξισώσεων που λύνονται χρησιμοποιώντας τον ίδιο αλγόριθμο - γι' αυτό ονομάζονται οι απλούστερες.

Αρχικά, ας ορίσουμε: τι είναι μια γραμμική εξίσωση και ποια ονομάζεται απλούστερη;

Μια γραμμική εξίσωση είναι αυτή στην οποία υπάρχει μόνο μία μεταβλητή και μόνο στον πρώτο βαθμό.

Η απλούστερη εξίσωση σημαίνει την κατασκευή:

Όλες οι άλλες γραμμικές εξισώσεις μειώνονται στην απλούστερη χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο:

1. Αναπτύξτε τις παρενθέσεις, εάν υπάρχουν.
2. Μετακινήστε όρους που περιέχουν μια μεταβλητή στη μία πλευρά του πρόσημου ίσου και όρους χωρίς μεταβλητή στην άλλη.
3. Δώστε παρόμοιους όρους στα αριστερά και δεξιά του πρόσημου ίσου.
4. Διαιρέστε την εξίσωση που προκύπτει με τον συντελεστή της μεταβλητής $x$.

Φυσικά, αυτός ο αλγόριθμος δεν βοηθά πάντα. Το γεγονός είναι ότι μερικές φορές μετά από όλες αυτές τις μηχανορραφίες ο συντελεστής της μεταβλητής $x$ αποδεικνύεται ίσος με μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, είναι δυνατές δύο επιλογές:

1. Η εξίσωση δεν έχει καθόλου λύσεις. Για παράδειγμα, όταν προκύπτει κάτι σαν $0\cdot x=8$, π.χ. στα αριστερά είναι το μηδέν και στα δεξιά υπάρχει ένας αριθμός διαφορετικός από το μηδέν. Στο παρακάτω βίντεο θα δούμε αρκετούς λόγους για τους οποίους αυτή η κατάσταση είναι πιθανή.
2. Η λύση είναι όλοι οι αριθμοί. Η μόνη περίπτωση που αυτό είναι δυνατό είναι όταν η εξίσωση έχει μειωθεί στην κατασκευή $0\cdot x=0$. Είναι πολύ λογικό ότι ανεξάρτητα από το $x$ που αντικαθιστούμε, θα εξακολουθεί να αποδεικνύεται "το μηδέν ισούται με μηδέν", δηλ. σωστή αριθμητική ισότητα.

Τώρα ας δούμε πώς λειτουργούν όλα αυτά χρησιμοποιώντας παραδείγματα από την πραγματική ζωή.

Παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων

Σήμερα έχουμε να κάνουμε με γραμμικές εξισώσεις, και μόνο τις πιο απλές. Γενικά, γραμμική εξίσωση σημαίνει κάθε ισότητα που περιέχει ακριβώς μία μεταβλητή και πηγαίνει μόνο στον πρώτο βαθμό.

Τέτοιες κατασκευές επιλύονται περίπου με τον ίδιο τρόπο:

1. Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να επεκτείνετε τις παρενθέσεις, εάν υπάρχουν (όπως στο τελευταίο μας παράδειγμα).
2. Στη συνέχεια συνδυάστε παρόμοια
3. Τέλος, απομονώστε τη μεταβλητή, δηλ. μετακινήστε όλα όσα συνδέονται με τη μεταβλητή - τους όρους στους οποίους περιέχεται - στη μία πλευρά και μετακινήστε ό,τι απομένει χωρίς αυτήν στην άλλη πλευρά.

Στη συνέχεια, κατά κανόνα, πρέπει να δώσετε παρόμοια σε κάθε πλευρά της ισότητας που προκύπτει και μετά από αυτό το μόνο που μένει είναι να διαιρέσετε με τον συντελεστή "x" και θα λάβουμε την τελική απάντηση.

Θεωρητικά, αυτό φαίνεται ωραίο και απλό, αλλά στην πράξη, ακόμη και έμπειροι μαθητές γυμνασίου μπορούν να κάνουν προσβλητικά λάθη σε αρκετά απλές γραμμικές εξισώσεις. Συνήθως, γίνονται σφάλματα είτε κατά το άνοιγμα των αγκύλων είτε κατά τον υπολογισμό των "συν" και "πλην".

Επιπλέον, συμβαίνει μια γραμμική εξίσωση να μην έχει καθόλου λύσεις ή η λύση να είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή, δηλ. οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ. Θα εξετάσουμε αυτές τις λεπτότητες στο σημερινό μάθημα. Αλλά θα ξεκινήσουμε, όπως ήδη καταλάβατε, με τις πιο απλές εργασίες.

Σχέδιο επίλυσης απλών γραμμικών εξισώσεων

Αρχικά, επιτρέψτε μου για άλλη μια φορά να γράψω ολόκληρο το σχήμα για την επίλυση των απλούστερων γραμμικών εξισώσεων:

1. Αναπτύξτε τις αγκύλες, εάν υπάρχουν.
2. Απομονώνουμε τις μεταβλητές, δηλ. Μετακινούμε ό,τι περιέχει "Χ" στη μία πλευρά και οτιδήποτε χωρίς "Χ" στην άλλη.
3. Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους.
4. Διαιρούμε τα πάντα με τον συντελεστή "x".

Φυσικά, αυτό το σχέδιο δεν λειτουργεί πάντα· υπάρχουν ορισμένες λεπτές αποχρώσεις και κόλπα σε αυτό, και τώρα θα τα γνωρίσουμε.

Επίλυση πραγματικών παραδειγμάτων απλών γραμμικών εξισώσεων

Εργασία Νο. 1

Το πρώτο βήμα απαιτεί να ανοίξουμε τις αγκύλες. Αλλά δεν είναι σε αυτό το παράδειγμα, οπότε παραλείπουμε αυτό το βήμα. Στο δεύτερο βήμα πρέπει να απομονώσουμε τις μεταβλητές. Σημείωση: μιλάμε μόνο για μεμονωμένους όρους. Ας το γράψουμε:

Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους αριστερά και δεξιά, αλλά αυτό έχει ήδη γίνει εδώ. Επομένως, προχωράμε στο τέταρτο βήμα: διαιρούμε με τον συντελεστή:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Λοιπόν πήραμε την απάντηση.

Εργασία Νο. 2

Μπορούμε να δούμε τις παρενθέσεις σε αυτό το πρόβλημα, οπότε ας τις επεκτείνουμε:

Τόσο στα αριστερά όσο και στα δεξιά βλέπουμε περίπου το ίδιο σχέδιο, αλλά ας ενεργήσουμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο, δηλ. διαχωρισμός των μεταβλητών:

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Σε ποιες ρίζες λειτουργεί αυτό; Απάντηση: για οποιαδήποτε. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε ότι το $x$ είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Εργασία Νο. 3

Η τρίτη γραμμική εξίσωση είναι πιο ενδιαφέρουσα:

\[\αριστερά(6-x \δεξιά)+\αριστερά(12+x \δεξιά)-\αριστερά(3-2x \δεξιά)=15\]

Εδώ υπάρχουν αρκετές αγκύλες, αλλά δεν πολλαπλασιάζονται με τίποτα, απλώς προηγούνται διαφορετικά σημάδια. Ας τα αναλύσουμε:

Εκτελούμε το δεύτερο βήμα που είναι ήδη γνωστό σε εμάς:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Ας κάνουμε τα μαθηματικά:

Πραγματοποιούμε το τελευταίο βήμα - διαιρούμε τα πάντα με τον συντελεστή "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Πράγματα που πρέπει να θυμάστε κατά την επίλυση γραμμικών εξισώσεων

Αν αγνοήσουμε πολύ απλές εργασίες, θα ήθελα να πω τα εξής:

• Όπως είπα παραπάνω, δεν έχει λύση κάθε γραμμική εξίσωση - μερικές φορές απλά δεν υπάρχουν ρίζες.
• Ακόμα κι αν υπάρχουν ρίζες, μπορεί να υπάρχει μηδέν ανάμεσά τους - δεν υπάρχει τίποτα κακό σε αυτό.

Το μηδέν είναι ο ίδιος αριθμός με τους άλλους· δεν πρέπει να κάνετε διακρίσεις εναντίον του με κανέναν τρόπο ή να υποθέσετε ότι εάν λάβετε μηδέν, τότε κάνατε κάτι λάθος.

Ένα άλλο χαρακτηριστικό σχετίζεται με το άνοιγμα των στηρίξεων. Προσοχή: όταν υπάρχει ένα "μείον" μπροστά τους, το αφαιρούμε, αλλά σε παρένθεση αλλάζουμε τα σημάδια σε απεναντι απο. Και μετά μπορούμε να το ανοίξουμε χρησιμοποιώντας τυπικούς αλγόριθμους: θα πάρουμε αυτό που είδαμε στους παραπάνω υπολογισμούς.

Η κατανόηση αυτού του απλού γεγονότος θα σας βοηθήσει να αποφύγετε να κάνετε ανόητα και βλαβερά λάθη στο γυμνάσιο, όταν το να κάνετε τέτοια πράγματα θεωρείται δεδομένο.

Επίλυση μιγαδικών γραμμικών εξισώσεων

Ας προχωρήσουμε σε πιο σύνθετες εξισώσεις. Τώρα οι κατασκευές θα γίνουν πιο σύνθετες και όταν εκτελούνται διάφοροι μετασχηματισμοί θα εμφανίζεται μια τετραγωνική συνάρτηση. Ωστόσο, δεν πρέπει να το φοβόμαστε αυτό, γιατί εάν, σύμφωνα με το σχέδιο του συγγραφέα, λύσουμε μια γραμμική εξίσωση, τότε κατά τη διαδικασία μετασχηματισμού όλα τα μονώνυμα που περιέχουν μια τετραγωνική συνάρτηση σίγουρα θα ακυρωθούν.

Παράδειγμα Νο. 1

Προφανώς, το πρώτο βήμα είναι να ανοίξετε τις αγκύλες. Ας το κάνουμε πολύ προσεκτικά:

Τώρα ας ρίξουμε μια ματιά στο απόρρητο:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Προφανώς, αυτή η εξίσωση δεν έχει λύσεις, οπότε θα γράψουμε αυτό στην απάντηση:

\[\varnothing\]

ή δεν υπάρχουν ρίζες.

Παράδειγμα Νο. 2

Κάνουμε τις ίδιες ενέργειες. Το πρώτο βήμα:

Ας μετακινήσουμε τα πάντα με μια μεταβλητή προς τα αριστερά και χωρίς αυτήν - προς τα δεξιά:

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Προφανώς, αυτή η γραμμική εξίσωση δεν έχει λύση, οπότε θα τη γράψουμε ως εξής:

\[\varnothing\],

ή δεν υπάρχουν ρίζες.

Αποχρώσεις της λύσης

Και οι δύο εξισώσεις έχουν λυθεί πλήρως. Χρησιμοποιώντας αυτές τις δύο εκφράσεις ως παράδειγμα, πειστήκαμε για άλλη μια φορά ότι ακόμα και στις πιο απλές γραμμικές εξισώσεις, όλα μπορεί να μην είναι τόσο απλά: μπορεί να υπάρχουν είτε μία, είτε καμία, ή άπειρες ρίζες. Στην περίπτωσή μας, εξετάσαμε δύο εξισώσεις, και οι δύο απλώς δεν έχουν ρίζες.

Θα ήθελα όμως να επιστήσω την προσοχή σας σε ένα άλλο γεγονός: πώς να εργάζεστε με παρενθέσεις και πώς να τις ανοίγετε εάν υπάρχει ένα σύμβολο μείον μπροστά τους. Σκεφτείτε αυτήν την έκφραση:

Πριν ανοίξετε, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα πάντα με "Χ". Σημείωση: πολλαπλασιάζεται κάθε επιμέρους όρος. Μέσα υπάρχουν δύο όροι - αντίστοιχα, δύο όροι και πολλαπλασιασμένοι.

Και μόνο μετά την ολοκλήρωση αυτών των φαινομενικά στοιχειωδών, αλλά πολύ σημαντικών και επικίνδυνων μετασχηματισμών, μπορείτε να ανοίξετε την αγκύλη από την άποψη του γεγονότος ότι υπάρχει ένα σημάδι μείον μετά από αυτό. Ναι, ναι: μόνο τώρα, όταν ολοκληρωθούν οι μετασχηματισμοί, θυμόμαστε ότι υπάρχει ένα σύμβολο μείον μπροστά από τις αγκύλες, που σημαίνει ότι όλα από κάτω αλλάζουν απλώς πρόσημα. Ταυτόχρονα, οι ίδιες οι αγκύλες εξαφανίζονται και, το πιο σημαντικό, το μπροστινό "μείον" εξαφανίζεται επίσης.

Κάνουμε το ίδιο με τη δεύτερη εξίσωση:

Δεν είναι τυχαίο που δίνω σημασία σε αυτά τα μικρά, φαινομενικά ασήμαντα γεγονότα. Επειδή η επίλυση εξισώσεων είναι πάντα μια ακολουθία στοιχειωδών μετασχηματισμών, όπου η αδυναμία εκτέλεσης απλών ενεργειών με σαφήνεια και ικανότητα οδηγεί στο γεγονός ότι μαθητές γυμνασίου έρχονται σε μένα και μαθαίνουν ξανά να λύνουν τέτοιες απλές εξισώσεις.

Φυσικά, θα έρθει η μέρα που θα ακονίσετε αυτές τις δεξιότητες σε σημείο αυτοματισμού. Δεν θα χρειάζεται πλέον να κάνετε τόσους πολλούς μετασχηματισμούς κάθε φορά· θα γράφετε τα πάντα σε μια γραμμή. Αλλά ενώ μόλις μαθαίνετε, πρέπει να γράψετε κάθε ενέργεια ξεχωριστά.

Επίλυση ακόμη πιο περίπλοκων γραμμικών εξισώσεων

Αυτό που θα λύσουμε τώρα δύσκολα μπορεί να ονομαστεί η απλούστερη εργασία, αλλά το νόημα παραμένει το ίδιο.

Εργασία Νο. 1

\[\αριστερά(7x+1 \δεξιά)\αριστερά(3x-1 \δεξιά)-21((x)^(2))=3\]

Ας πολλαπλασιάσουμε όλα τα στοιχεία στο πρώτο μέρος:

Ας κάνουμε λίγο απόρρητο:

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Ας ολοκληρώσουμε το τελευταίο βήμα:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Εδώ είναι η τελική μας απάντηση. Και, παρά το γεγονός ότι στη διαδικασία επίλυσης είχαμε συντελεστές με τετραγωνική συνάρτηση, ακυρώνονταν ο ένας τον άλλον, γεγονός που κάνει την εξίσωση γραμμική και όχι τετραγωνική.

Εργασία Νο. 2

\[\αριστερά(1-4x \δεξιά)\αριστερά(1-3x \δεξιά)=6x\αριστερά(2x-1 \δεξιά)\]

Ας εκτελέσουμε προσεκτικά το πρώτο βήμα: πολλαπλασιάστε κάθε στοιχείο από την πρώτη αγκύλη με κάθε στοιχείο από τη δεύτερη. Θα πρέπει να υπάρχουν συνολικά τέσσερις νέοι όροι μετά τους μετασχηματισμούς:

Τώρα ας εκτελέσουμε προσεκτικά τον πολλαπλασιασμό σε κάθε όρο:

Ας μετακινήσουμε τους όρους με "Χ" προς τα αριστερά και αυτούς χωρίς - προς τα δεξιά:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Εδώ είναι παρόμοιοι όροι:

Για άλλη μια φορά λάβαμε την τελική απάντηση.

Αποχρώσεις της λύσης

Η πιο σημαντική σημείωση σχετικά με αυτές τις δύο εξισώσεις είναι η εξής: μόλις αρχίσουμε να πολλαπλασιάζουμε αγκύλες που περιέχουν περισσότερους από έναν όρους, αυτό γίνεται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα: παίρνουμε τον πρώτο όρο από τον πρώτο και πολλαπλασιάζουμε με κάθε στοιχείο από το δεύτερο; τότε παίρνουμε το δεύτερο στοιχείο από το πρώτο και ομοίως πολλαπλασιάζουμε με κάθε στοιχείο από το δεύτερο. Ως αποτέλεσμα, θα έχουμε τέσσερις θητείες.

Σχετικά με το αλγεβρικό άθροισμα

Με αυτό το τελευταίο παράδειγμα, θα ήθελα να υπενθυμίσω στους μαθητές τι είναι το αλγεβρικό άθροισμα. Στα κλασικά μαθηματικά, με το $1-7$ εννοούμε μια απλή κατασκευή: αφαιρέστε επτά από ένα. Στην άλγεβρα εννοούμε το εξής: στον αριθμό "ένα" προσθέτουμε έναν άλλο αριθμό, δηλαδή "μείον επτά". Έτσι διαφέρει ένα αλγεβρικό άθροισμα από ένα συνηθισμένο αριθμητικό άθροισμα.

Μόλις, όταν εκτελείτε όλους τους μετασχηματισμούς, κάθε πρόσθεση και πολλαπλασιασμό, αρχίσετε να βλέπετε κατασκευές παρόμοιες με αυτές που περιγράφονται παραπάνω, απλά δεν θα έχετε κανένα πρόβλημα στην άλγεβρα όταν εργάζεστε με πολυώνυμα και εξισώσεις.

Τέλος, ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα που θα είναι ακόμα πιο περίπλοκα από αυτά που μόλις εξετάσαμε και για να τα λύσουμε θα πρέπει να επεκτείνουμε ελαφρώς τον τυπικό μας αλγόριθμο.

Επίλυση εξισώσεων με κλάσματα

Για να λύσουμε τέτοιες εργασίες, θα πρέπει να προσθέσουμε ένα ακόμη βήμα στον αλγόριθμό μας. Αλλά πρώτα, επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω τον αλγόριθμό μας:

1. Ανοίξτε τις αγκύλες.
2. Ξεχωριστές μεταβλητές.
3. Φέρτε παρόμοια.
4. Διαιρέστε με την αναλογία.

Αλίμονο, αυτός ο υπέροχος αλγόριθμος, παρ' όλη την αποτελεσματικότητά του, αποδεικνύεται ότι δεν είναι απολύτως κατάλληλος όταν έχουμε κλάσματα μπροστά μας. Και σε αυτό που θα δούμε παρακάτω, έχουμε ένα κλάσμα και στα αριστερά και στα δεξιά και στις δύο εξισώσεις.

Πώς να εργαστείτε σε αυτή την περίπτωση; Ναι, είναι πολύ απλό! Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να προσθέσετε ένα ακόμη βήμα στον αλγόριθμο, το οποίο μπορεί να γίνει τόσο πριν όσο και μετά την πρώτη ενέργεια, δηλαδή να απαλλαγείτε από κλάσματα. Ο αλγόριθμος λοιπόν θα είναι ο εξής:

1. Απαλλαγείτε από τα κλάσματα.
2. Ανοίξτε τις αγκύλες.
3. Ξεχωριστές μεταβλητές.
4. Φέρτε παρόμοια.
5. Διαιρέστε με την αναλογία.

Τι σημαίνει «να απαλλαγούμε από τα κλάσματα»; Και γιατί μπορεί να γίνει αυτό τόσο μετά όσο και πριν από το πρώτο τυπικό βήμα; Στην πραγματικότητα, στην περίπτωσή μας, όλα τα κλάσματα είναι αριθμητικά στον παρονομαστή τους, δηλ. Παντού ο παρονομαστής είναι απλώς ένας αριθμός. Επομένως, αν πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με αυτόν τον αριθμό, θα απαλλαγούμε από τα κλάσματα.

Παράδειγμα Νο. 1

\[\frac(\αριστερά(2x+1 \δεξιά)\αριστερά(2x-3 \δεξιά))(4)=((x)^(2))-1\]

Ας απαλλαγούμε από τα κλάσματα αυτής της εξίσωσης:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Παρακαλώ σημειώστε: όλα πολλαπλασιάζονται με "τέσσερα" μία φορά, δηλ. Ακριβώς επειδή έχετε δύο παρενθέσεις δεν σημαίνει ότι πρέπει να πολλαπλασιάσετε την καθεμία με "τέσσερις". Ας γράψουμε:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Τώρα ας επεκταθούμε:

Αποκλείουμε τη μεταβλητή:

Πραγματοποιούμε τη μείωση παρόμοιων όρων:

\[-4x=-1\αριστερά| :\αριστερά(-4 \δεξιά) \δεξιά.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Λάβαμε την τελική λύση, ας περάσουμε στη δεύτερη εξίσωση.

Παράδειγμα Νο. 2

\[\frac(\αριστερά(1-x \δεξιά)\αριστερά(1+5x \δεξιά))(5)+((x)^(2))=1\]

Εδώ εκτελούμε όλες τις ίδιες ενέργειες:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Το πρόβλημα λύθηκε.

Αυτό, στην πραγματικότητα, είναι το μόνο που ήθελα να σας πω σήμερα.

Βασικά σημεία

Βασικά ευρήματα είναι:

• Να γνωρίζετε τον αλγόριθμο επίλυσης γραμμικών εξισώσεων.
• Δυνατότητα ανοίγματος αγκύλων.
• Μην ανησυχείτε αν έχετε κάπου τετραγωνικές συναρτήσεις· πιθανότατα, θα μειωθούν στη διαδικασία περαιτέρω μετασχηματισμών.
• Υπάρχουν τρεις τύποι ριζών στις γραμμικές εξισώσεις, ακόμα και οι πιο απλές: μία μόνο ρίζα, ολόκληρη η αριθμητική γραμμή είναι ρίζα και καθόλου ρίζες.

Ελπίζω ότι αυτό το μάθημα θα σας βοηθήσει να κατακτήσετε ένα απλό, αλλά πολύ σημαντικό θέμα για περαιτέρω κατανόηση όλων των μαθηματικών. Εάν κάτι δεν είναι ξεκάθαρο, μεταβείτε στον ιστότοπο και λύστε τα παραδείγματα που παρουσιάζονται εκεί. Μείνετε συντονισμένοι, σας περιμένουν πολλά ακόμα ενδιαφέροντα πράγματα!

Η εξίσωσηείναι μια ισότητα στην οποία υπάρχουν μία ή περισσότερες μεταβλητές.
Θα εξετάσουμε την περίπτωση που η εξίσωση έχει μία μεταβλητή, δηλαδή έναν άγνωστο αριθμό. Ουσιαστικά, μια εξίσωση είναι ένας τύπος μαθηματικού μοντέλου. Επομένως, πρώτα απ 'όλα, χρειαζόμαστε εξισώσεις για την επίλυση προβλημάτων.

Ας θυμηθούμε πώς συντάσσεται ένα μαθηματικό μοντέλο για να λύσει ένα πρόβλημα.
Για παράδειγμα, τη νέα ακαδημαϊκή χρονιά ο αριθμός των μαθητών στο Νο 5 σχολείο έχει διπλασιαστεί. Αφού 20 μαθητές μετακόμισαν σε άλλο σχολείο, στο Νο 5 άρχισαν να φοιτούν συνολικά 720 μαθητές. Πόσοι μαθητές ήταν πέρυσι;

Πρέπει να εκφράσουμε αυτό που λέγεται στη συνθήκη σε μαθηματική γλώσσα. Έστω ο αριθμός των μαθητών πέρυσι Χ. Τότε, σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος,
2Χ – 20 = 720. Έχουμε ένα μαθηματικό μοντέλο που αναπαριστά εξίσωση με μία μεταβλητή. Πιο συγκεκριμένα, είναι μια εξίσωση πρώτου βαθμού με μία μεταβλητή. Το μόνο που μένει είναι να βρεθεί η ρίζα του.

Ποια είναι η ρίζα μιας εξίσωσης;

Η τιμή της μεταβλητής στην οποία η εξίσωσή μας μετατρέπεται σε αληθινή ισότητα ονομάζεται ρίζα της εξίσωσης. Υπάρχουν εξισώσεις που έχουν πολλές ρίζες. Για παράδειγμα, στην εξίσωση 2*X = (5-3)*X, οποιαδήποτε τιμή του X είναι ρίζα. Και η εξίσωση Χ = Χ +5 δεν έχει καθόλου ρίζες, αφού όποια τιμή και να αντικαταστήσουμε το Χ, δεν θα έχουμε τη σωστή ισότητα. Η επίλυση μιας εξίσωσης σημαίνει την εύρεση όλων των ριζών της ή τον προσδιορισμό ότι δεν έχει ρίζες. Για να απαντήσουμε λοιπόν στην ερώτησή μας, πρέπει να λύσουμε την εξίσωση 2Χ – 20 = 720.

Πώς να λύσετε εξισώσεις με μία μεταβλητή;

Αρχικά, ας γράψουμε ορισμένους βασικούς ορισμούς. Κάθε εξίσωση έχει δεξιά και αριστερή πλευρά. Στην περίπτωσή μας, το (2Χ – 20) είναι η αριστερή πλευρά της εξίσωσης (βρίσκεται στα αριστερά του πρόσημου ίσου), και το 720 είναι η δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Οι όροι στη δεξιά και την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ονομάζονται όροι της εξίσωσης. Οι όροι της εξίσωσής μας είναι 2Χ, -20 και 720.

Ας μιλήσουμε αμέσως για 2 ιδιότητες εξισώσεων:

1. Οποιοσδήποτε όρος της εξίσωσης μπορεί να μεταφερθεί από τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης προς τα αριστερά και αντίστροφα. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να αλλάξετε το πρόσημο αυτού του όρου της εξίσωσης στο αντίθετο. Δηλαδή, οι εγγραφές της μορφής 2Χ – 20 = 720, 2Χ – 20 – 720 = 0, 2Χ = 720 + 20, -20 = 720 – 2Χ είναι ισοδύναμες.
2. Και οι δύο πλευρές της εξίσωσης μπορούν να πολλαπλασιαστούν ή να διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό. Αυτός ο αριθμός δεν πρέπει να είναι μηδέν. Δηλαδή ισοδύναμες είναι και εγγραφές της μορφής 2X – 20 = 720, 5*(2X – 20) = 720*5, (2X – 20):2 = 720:2.

Ας χρησιμοποιήσουμε αυτές τις ιδιότητες για να λύσουμε την εξίσωσή μας.

Ας μετακινηθούμε -20 προς τα δεξιά με το αντίθετο πρόσημο. Παίρνουμε:

2Χ = 720 + 20. Ας προσθέσουμε αυτό που έχουμε στη δεξιά πλευρά. Παίρνουμε ότι 2Χ = 740.

Τώρα διαιρέστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης με το 2.

2Χ:2 = 740:2 ή Χ = 370. Βρήκαμε τη ρίζα της εξίσωσής μας και ταυτόχρονα βρήκαμε την απάντηση στην ερώτηση του προβλήματος μας. Πέρυσι στο Νο 5 σχολείο φοιτούσαν 370 μαθητές.

Ας ελέγξουμε αν η ρίζα μας μετατρέπει πραγματικά την εξίσωση σε αληθινή ισότητα. Ας αντικαταστήσουμε τον αριθμό 370 αντί του Χ στην εξίσωση 2Χ – 20 = 720.

2*370-20 = 720.

Σωστά.

Έτσι, για να λυθεί μια εξίσωση με μία μεταβλητή, πρέπει να αναχθεί σε μια λεγόμενη γραμμική εξίσωση της μορφής ax = b, όπου τα a και b είναι κάποιοι αριθμοί. Στη συνέχεια διαιρέστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά με τον αριθμό α. Παίρνουμε ότι x = b:a.

Τι σημαίνει αναγωγή μιας εξίσωσης σε γραμμική εξίσωση;

Θεωρήστε αυτήν την εξίσωση:

5Χ - 2Χ + 10 = 59 - 7Χ +3Χ.

Αυτή είναι επίσης μια εξίσωση με μια άγνωστη μεταβλητή X. Ο στόχος μας είναι να ανάγουμε αυτήν την εξίσωση στη μορφή ax = b.

Για να γίνει αυτό, συλλέγουμε πρώτα όλους τους όρους που έχουν το Χ ως παράγοντα στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και τους υπόλοιπους όρους στη δεξιά πλευρά. Όροι που έχουν το ίδιο γράμμα ως παράγοντα ονομάζονται παρόμοιοι όροι.

5Χ - 2Χ + 7Χ – 3Χ = 59 – 10.

Σύμφωνα με την κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, μπορούμε να βγάλουμε τον ίδιο παράγοντα από αγκύλες και να προσθέσουμε τους συντελεστές (πολλαπλασιαστές για τη μεταβλητή x). Αυτή η διαδικασία ονομάζεται επίσης μείωση ομοίων όρων.

Χ(5-2+7-3) = 49.

7Χ = 49. Έχουμε αναγάγει την εξίσωση στη μορφή ax = b, όπου a = 7, b = 49.

Και όπως γράψαμε παραπάνω, η ρίζα μιας εξίσωσης της μορφής ax = b είναι x = b:a.

Δηλαδή, Χ = 49:7 = 7.

Αλγόριθμος για την εύρεση των ριζών μιας εξίσωσης με μία μεταβλητή.

1. Συλλέξτε παρόμοιους όρους στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και τους υπόλοιπους όρους στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης.
2. Δώστε παρόμοιους όρους.
3. Ανάγουμε την εξίσωση στη μορφή ax = b.
4. Βρείτε τις ρίζες χρησιμοποιώντας τον τύπο x = b:a.

Σημείωση. Σε αυτό το άρθρο, δεν λάβαμε υπόψη τις περιπτώσεις όπου μια μεταβλητή ανυψώνεται σε οποιαδήποτε ισχύ. Με άλλα λόγια, θεωρήσαμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με μία μεταβλητή.

Η προσέγγιση του συγγραφέα σε αυτό το θέμα δεν είναι τυχαία. Εξισώσεις με δύο μεταβλητές συναντώνται για πρώτη φορά στο μάθημα της 7ης τάξης. Μια εξίσωση με δύο μεταβλητές έχει άπειρο αριθμό λύσεων. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα από τη γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης, που δίνεται ως ax + by=c. Στο σχολικό μάθημα οι μαθητές μελετούν συστήματα δύο εξισώσεων με δύο μεταβλητές. Ως αποτέλεσμα, μια ολόκληρη σειρά προβλημάτων με περιορισμένες συνθήκες στον συντελεστή της εξίσωσης, καθώς και μέθοδοι επίλυσής τους, πέφτουν από τα μάτια του δασκάλου και, επομένως, του μαθητή.

Μιλάμε για επίλυση εξίσωσης με δύο αγνώστους σε ακέραιους ή φυσικούς αριθμούς.

Στο σχολείο μελετώνται φυσικοί αριθμοί και ακέραιοι στις τάξεις 4-6. Μέχρι να αποφοιτήσουν από το σχολείο, δεν θυμούνται όλοι οι μαθητές τις διαφορές μεταξύ των συνόλων αυτών των αριθμών.

Ωστόσο, ένα πρόβλημα όπως «να λύσετε μια εξίσωση της μορφής ax + by=c σε ακέραιους αριθμούς» απαντάται ολοένα και περισσότερο στις εισαγωγικές εξετάσεις στα πανεπιστήμια και στο υλικό των Εξετάσεων του Ενιαίου Κράτους.

Η επίλυση αβέβαιων εξισώσεων αναπτύσσει τη λογική σκέψη, την ευφυΐα και την προσοχή στην ανάλυση.

Προτείνω την ανάπτυξη πολλών μαθημάτων για αυτό το θέμα. Δεν έχω σαφείς συστάσεις για το χρονοδιάγραμμα αυτών των μαθημάτων. Μερικά στοιχεία μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν στην 7η τάξη (για μια δυνατή τάξη). Αυτά τα μαθήματα μπορούν να ληφθούν ως βάση και να αναπτυχθεί ένα μικρό μάθημα επιλογής για την προ-επαγγελματική κατάρτιση στην 9η τάξη. Και, φυσικά, αυτό το υλικό μπορεί να χρησιμοποιηθεί στις τάξεις 10-11 για προετοιμασία για εξετάσεις.

Σκοπός του μαθήματος:

• επανάληψη και γενίκευση γνώσεων με θέμα «Εξισώσεις πρώτης και δεύτερης τάξης»
• καλλιέργεια γνωστικού ενδιαφέροντος για το θέμα
• ανάπτυξη της ικανότητας ανάλυσης, γενικεύσεων, μεταφοράς γνώσης σε μια νέα κατάσταση

Μάθημα 1.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων.

1) Οργ. στιγμή.

2) Ενημέρωση βασικών γνώσεων.

Ορισμός. Μια γραμμική εξίσωση σε δύο μεταβλητές είναι μια εξίσωση της μορφής

mx + ny = k, όπου m, n, k είναι αριθμοί, x, y είναι μεταβλητές.

Παράδειγμα: 5x+2y=10

Ορισμός. Μια λύση σε μια εξίσωση με δύο μεταβλητές είναι ένα ζεύγος τιμών μεταβλητών που μετατρέπει την εξίσωση σε πραγματική ισότητα.

Οι εξισώσεις με δύο μεταβλητές που έχουν τις ίδιες λύσεις ονομάζονται ισοδύναμες.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2,5x+6

Αυτή η εξίσωση μπορεί να έχει οποιοδήποτε αριθμό λύσεων. Για να γίνει αυτό, αρκεί να πάρετε οποιαδήποτε τιμή x και να βρείτε την αντίστοιχη τιμή y.

Έστω x = 2, y = -2,5 2+6 = 1

x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4

Ζεύγη αριθμών (2;1); (4;-4) – λύσεις της εξίσωσης (1).

Αυτή η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις.

3) Ιστορική αναδρομή

Οι αόριστες (διοφαντικές) εξισώσεις είναι εξισώσεις που περιέχουν περισσότερες από μία μεταβλητές.

Τον 3ο αιώνα. ΕΝΑ Δ – Ο Διόφαντος ο Αλεξανδρινός έγραψε την «Αριθμητική», στην οποία επέκτεινε το σύνολο των αριθμών σε ορθολογικούς και εισήγαγε αλγεβρικό συμβολισμό.

Ο Διόφαντος εξέτασε επίσης τα προβλήματα επίλυσης αόριστων εξισώσεων και έδωσε μεθόδους για την επίλυση αόριστων εξισώσεων δεύτερου και τρίτου βαθμού.

4) Μελέτη νέου υλικού.

Ορισμός: Μια πρώτης τάξης ανομοιογενής Διοφαντική εξίσωση με δύο αγνώστους x, y είναι μια εξίσωση της μορφής mx + ny = k, όπου m, n, k, x, y Z k0

Δήλωση 1.

Αν ο ελεύθερος όρος k στην εξίσωση (1) δεν διαιρείται με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (GCD) των αριθμών m και n, τότε η εξίσωση (1) δεν έχει ακέραιες λύσεις.

Παράδειγμα: 34x – 17y = 3.

GCD (34; 17) = 17, το 3 δεν διαιρείται ομοιόμορφα με το 17, δεν υπάρχει λύση σε ακέραιους αριθμούς.

Έστω k διαιρείται με gcd (m, n). Διαιρώντας όλους τους συντελεστές, μπορούμε να διασφαλίσουμε ότι τα m και n γίνονται σχετικά πρώτοι.

Δήλωση 2.

Εάν τα m και n της εξίσωσης (1) είναι σχετικά πρώτοι αριθμοί, τότε αυτή η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία λύση.

Δήλωση 3.

Εάν οι συντελεστές m και n της εξίσωσης (1) είναι συμπρώτοι αριθμοί, τότε αυτή η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις:

Όπου (; ) είναι οποιαδήποτε λύση της εξίσωσης (1), t Z

Ορισμός. Μια ομογενής Διοφαντινή εξίσωση πρώτης τάξης με δύο αγνώστους x, y είναι μια εξίσωση της μορφής mx + ny = 0, όπου (2)

Δήλωση 4.

Αν οι m και n είναι συμπρώτοι αριθμοί, τότε οποιαδήποτε λύση της εξίσωσης (2) έχει τη μορφή

5) Εργασία για το σπίτι. Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς:

1. 9x – 18y = 5
2. x + y= xy
3. Πολλά παιδιά μάζευαν μήλα. Κάθε αγόρι μάζεψε 21 κιλά και το κορίτσι 15 κιλά. Συνολικά συγκέντρωσαν 174 κιλά. Πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια μάζεψαν μήλα;

Σχόλιο. Αυτό το μάθημα δεν παρέχει παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς. Επομένως, τα παιδιά λύνουν την εργασία με βάση την πρόταση 1 και την επιλογή.

Μάθημα 2.

1) Οργανωτική στιγμή

2) Έλεγχος της εργασίας

1) 9x – 18y = 5

Το 5 δεν διαιρείται με το 9, δεν υπάρχουν λύσεις σε ακέραιους αριθμούς.

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επιλογής μπορείτε να βρείτε μια λύση

Απάντηση: (0;0), (2;2)

3) Ας κάνουμε μια εξίσωση:

Έστω τα αγόρια x, x Z και τα κορίτσια y, y Z, τότε μπορούμε να δημιουργήσουμε την εξίσωση 21x + 15y = 174

Πολλοί μαθητές, έχοντας γράψει μια εξίσωση, δεν θα μπορέσουν να τη λύσουν.

Απάντηση: 4 αγόρια, 6 κορίτσια.

3) Εκμάθηση νέου υλικού

Έχοντας αντιμετωπίσει δυσκολίες στην ολοκλήρωση της εργασίας, οι μαθητές πείστηκαν για την ανάγκη να μάθουν τις μεθόδους τους για την επίλυση αβέβαιων εξισώσεων. Ας δούμε μερικά από αυτά.

I. Μέθοδος για την εξέταση υπολοίπων διαίρεσης.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς 3x – 4y = 1.

Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης διαιρείται με το 3, επομένως η δεξιά πλευρά πρέπει να διαιρείται. Ας εξετάσουμε τρεις περιπτώσεις.

Απάντηση: όπου m Z.

Η περιγραφόμενη μέθοδος είναι βολική στη χρήση εάν οι αριθμοί m και n δεν είναι μικροί, αλλά μπορούν να αποσυντεθούν σε απλούς παράγοντες.

Παράδειγμα: Λύστε εξισώσεις σε ακέραιους αριθμούς.

Έστω y = 4n, τότε 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) διαιρείται με το 4.

y = 4n+1, τότε 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n δεν διαιρείται με το 4.

y = 4n+2, τότε 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n δεν διαιρείται με το 4.

y = 4n+3, τότε 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n δεν διαιρείται με το 4.

Επομένως y = 4n, λοιπόν

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Απάντηση: , όπου n Z.

II. Αβέβαιες εξισώσεις 2ου βαθμού

Σήμερα στο μάθημα θα αγγίξουμε μόνο τη λύση των Διοφαντικών εξισώσεων δεύτερης τάξης.

Και από όλους τους τύπους εξισώσεων, θα εξετάσουμε την περίπτωση που μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο διαφοράς τετραγώνων ή άλλη μέθοδο παραγοντοποίησης.

Παράδειγμα: Λύστε μια εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς.

Το 13 είναι πρώτος αριθμός, επομένως μπορεί να παραγοντοποιηθεί μόνο με τέσσερις τρόπους: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13) (-1)

Ας εξετάσουμε αυτές τις περιπτώσεις

Απάντηση: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

4) Εργασία για το σπίτι.

Παραδείγματα. Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς:

(x - y)(x + y)=4

2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
y = 0	δεν ταιριάζει	δεν ταιριάζει
2x = -4	δεν ταιριάζει	δεν ταιριάζει
x = -2
y = 0

Απάντηση: (-2;0), (2;0).

Απαντήσεις: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).

V)

Απάντηση: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

Αποτελέσματα. Τι σημαίνει να λύνουμε μια εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς;

Ποιες μεθόδους για την επίλυση αβέβαιων εξισώσεων γνωρίζετε;

Εφαρμογή:

Ασκήσεις για προπόνηση.

1) Λύστε σε ακέραιους αριθμούς.

α) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
β) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
γ) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
δ) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
ε) 9x – 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
ε) 7x – 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ζ) 19x – 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
η) 28x – 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) Βρείτε ακέραιες μη αρνητικές λύσεις στην εξίσωση:

Λύση:Z (2; -1)

Βιβλιογραφία.

1. Παιδική εγκυκλοπαίδεια "Παιδαγωγική", Μόσχα, 1972.
2. Άλγεβρα-8, N.Ya. Vilenkin, VO "Science", Novosibirsk, 1992
3. Προβλήματα ανταγωνισμού με βάση τη θεωρία αριθμών. V.Ya. Galkin, D.Yu. Sychugov. MSU, VMK, Μόσχα, 2005.
4. Προβλήματα αυξημένης δυσκολίας στο μάθημα της άλγεβρας για τις τάξεις 7-9. Ν.Π. Κοσρυκίνα. «Διαφωτισμός», Μόσχα, 1991
5. Άλγεβρα 7, Makarychev Yu.N., «Διαφωτισμός».

Αντικατάσταση πολυωνύμουή. Εδώ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού, για παράδειγμα, η έκφραση είναι ένα πολυώνυμο βαθμού.

Ας πούμε ότι έχουμε ένα παράδειγμα:

Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο αντικατάστασης μεταβλητής. Τι πιστεύετε ότι πρέπει να ληφθεί; Σωστά, .

Η εξίσωση γίνεται:

Εκτελούμε μια αντίστροφη αλλαγή μεταβλητών:

Ας λύσουμε την πρώτη εξίσωση:

Ας αποφασίσουμε δεύτεροςη εξίσωση:

… Τι σημαίνει αυτό? Σωστά! Ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Έτσι, λάβαμε δύο απαντήσεις - ; .

Καταλαβαίνετε πώς να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο αντικατάστασης μεταβλητής για ένα πολυώνυμο; Εξασκηθείτε να το κάνετε μόνοι σας:

Αποφασισμένος? Τώρα ας ελέγξουμε τα κύρια σημεία μαζί σας.

Πρέπει να το πάρετε.

Παίρνουμε την έκφραση:

Λύνοντας μια τετραγωνική εξίσωση, βρίσκουμε ότι έχει δύο ρίζες: και.

Η λύση στην πρώτη τετραγωνική εξίσωση είναι οι αριθμοί και

Επίλυση της δεύτερης δευτεροβάθμιας εξίσωσης - αριθμοί και.

Απάντηση: ; ; ;

Ας το συνοψίσουμε

Η μέθοδος αντικατάστασης μεταβλητών έχει τους κύριους τύπους αντικαταστάσεων μεταβλητών σε εξισώσεις και ανισότητες:

1. Αντικατάσταση ισχύος, όταν λαμβάνουμε ως κάποιο άγνωστο, αυξημένο σε δύναμη.

2. Αντικατάσταση πολυωνύμου, όταν λαμβάνουμε μια ολόκληρη παράσταση που περιέχει έναν άγνωστο.

3. Κλασματική-ορθολογική αντικατάσταση, όταν παίρνουμε οποιαδήποτε σχέση που περιέχει άγνωστη μεταβλητή.

Σπουδαίος συμβουλήκατά την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής:

1. Η αντικατάσταση των μεταβλητών πρέπει να γίνει άμεσα, με την πρώτη ευκαιρία.

2. Η εξίσωση για μια νέα μεταβλητή πρέπει να λυθεί μέχρι το τέλος και μόνο τότε να επιστρέψει στο παλιό άγνωστο.

3. Όταν επιστρέφετε στο αρχικό άγνωστο (και μάλιστα σε ολόκληρη τη λύση), μην ξεχάσετε να ελέγξετε τις ρίζες για ODZ.

Μια νέα μεταβλητή εισάγεται με παρόμοιο τρόπο, τόσο στις εξισώσεις όσο και στις ανισότητες.

Ας δούμε 3 προβλήματα

Απαντήσεις σε 3 προβλήματα

1. Αφήστε, τότε η έκφραση παίρνει τη μορφή.

Επειδή, μπορεί να είναι και θετικό και αρνητικό.

Απάντηση:

2. Έστω, τότε η έκφραση παίρνει τη μορφή.

δεν υπαρχει λυση γιατι...

Απάντηση:

3. Ομαδοποιώντας παίρνουμε:

Αφήστε τότε η έκφραση να πάρει τη μορφή
.

Απάντηση:

ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ.

Αντικατάσταση μεταβλητών- πρόκειται για την εισαγωγή ενός νέου αγνώστου, σε σχέση με τον οποίο η εξίσωση ή η ανισότητα έχει απλούστερη μορφή.

Θα απαριθμήσω τους κύριους τύπους αντικαταστάσεων.

Αντικατάσταση ισχύος

Αντικατάσταση ισχύος.

Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας μια αντικατάσταση, μια διτετραγωνική εξίσωση ανάγεται σε μια τετραγωνική: .

Στις ανισότητες όλα είναι παρόμοια.

Για παράδειγμα, κάνουμε μια αντικατάσταση στην ανισότητα και παίρνουμε μια τετραγωνική ανισότητα: .

Παράδειγμα (αποφασίστε μόνοι σας):

Λύση:

Αυτή είναι μια κλασματική-ορθολογική εξίσωση (επανάληψη), αλλά η επίλυσή της χρησιμοποιώντας τη συνήθη μέθοδο (αναγωγή σε κοινό παρονομαστή) δεν είναι βολική, αφού θα λάβουμε μια εξίσωση βαθμού, επομένως χρησιμοποιείται μια αλλαγή μεταβλητών.

Όλα θα γίνουν πολύ πιο εύκολα μετά την αντικατάσταση: . Επειτα:

Τώρα ας το κάνουμε αντίστροφη αντικατάσταση:

Απάντηση: ; .

Αντικατάσταση πολυωνύμου

Αντικατάσταση πολυωνύμου ή.

Εδώ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού, δηλ. έκφραση της μορφής

(για παράδειγμα, η έκφραση είναι ένα πολυώνυμο βαθμού, δηλαδή).

Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη αντικατάσταση για το τετραγωνικό τριώνυμο είναι: ή.

Παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Και πάλι, χρησιμοποιείται αντικατάσταση μεταβλητών.

Τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή:

Οι ρίζες αυτής της τετραγωνικής εξίσωσης είναι: και.

Έχουμε δύο περιπτώσεις. Ας κάνουμε μια αντίστροφη αντικατάσταση για καθένα από αυτά:

Αυτό σημαίνει ότι αυτή η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι: i.

Απάντηση. .

Κλασματική-ορθολογική αντικατάσταση

Κλασματική-ορθολογική αντικατάσταση.

και είναι πολυώνυμα βαθμών και, αντίστοιχα.

Για παράδειγμα, κατά την επίλυση αμοιβαίων εξισώσεων, δηλαδή εξισώσεων της μορφής

συνήθως χρησιμοποιείται αντικατάσταση.

Τώρα θα σας δείξω πώς λειτουργεί.

Είναι εύκολο να ελέγξουμε τι δεν είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης: τελικά, αν την αντικαταστήσουμε στην εξίσωση, παίρνουμε αυτό που έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη.

Ας χωρίσουμε την εξίσωση σε:

Ας ανασυνταχθούμε:

Τώρα κάνουμε μια αντικατάσταση: .

Η ομορφιά του είναι ότι όταν τετραγωνίζουμε το διπλό γινόμενο των όρων, το x μειώνεται:

Από αυτό προκύπτει ότι.

Ας επιστρέψουμε στην εξίσωσή μας:

Τώρα αρκεί να λύσουμε την τετραγωνική εξίσωση και να κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση.

Παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση: .

Λύση:

Όταν λοιπόν δεν ισχύει η ισότητα. Ας χωρίσουμε την εξίσωση σε:

Η εξίσωση θα έχει τη μορφή:

Οι ρίζες του:

Ας κάνουμε μια αντίστροφη αντικατάσταση:

Ας λύσουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν:

Απάντηση: ; .

Ενα άλλο παράδειγμα:

Λύστε την ανισότητα.

Λύση:

Με άμεση αντικατάσταση είμαστε πεπεισμένοι ότι δεν περιλαμβάνεται στη λύση αυτής της ανισότητας. Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή κάθε κλάσματος με:

Τώρα η αντικατάσταση της μεταβλητής είναι προφανής: .

Τότε η ανισότητα θα πάρει τη μορφή:

Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο διαστήματος για να βρούμε το y:

μπροστά σε όλους, γιατί

μπροστά σε όλους, γιατί

Άρα η ανισότητα είναι ισοδύναμη με το εξής:

μπροστά σε όλους γιατί...

Αυτό σημαίνει ότι η ανισότητα είναι ισοδύναμη με το εξής: .

Έτσι, η ανισότητα αποδεικνύεται ισοδύναμη με το άθροισμα:

Απάντηση: .

Αντικατάσταση μεταβλητών- μια από τις πιο σημαντικές μεθόδους για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων.

Τέλος, θα σας δώσω μερικές σημαντικές συμβουλές:

ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ. ΣΥΝΟΨΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΥΠΟΛΟΙ.

Αντικατάσταση μεταβλητών- μια μέθοδος για την επίλυση μιγαδικών εξισώσεων και ανισώσεων, η οποία σας επιτρέπει να απλοποιήσετε την αρχική έκφραση και να την φέρετε σε τυπική μορφή.

Τύποι αντικατάστασης μεταβλητών:

1. Αντικατάσταση ισχύος:θεωρείται κάποιο άγνωστο, ανυψωμένο σε δύναμη - .
2. Κλασματική-ορθολογική αντικατάσταση:κάθε σχέση που περιέχει μια άγνωστη μεταβλητή λαμβάνεται ως - , όπου και είναι πολυώνυμα βαθμών n και m, αντίστοιχα.
3. Αντικατάσταση πολυωνύμου:ολόκληρη η έκφραση που περιέχει το άγνωστο λαμβάνεται ως - ή, όπου είναι ένα πολυώνυμο βαθμού.

Μετά την επίλυση μιας απλοποιημένης εξίσωσης/ανίσωσης, είναι απαραίτητο να γίνει αντίστροφη αντικατάσταση.

Ας αναλύσουμε δύο τύπους λύσεων σε συστήματα εξισώσεων:

1. Επίλυση του συστήματος με τη μέθοδο της αντικατάστασης.
2. Επίλυση του συστήματος με όρο προς όρο πρόσθεση (αφαίρεση) των εξισώσεων του συστήματος.

Για να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων με μέθοδο αντικατάστασηςπρέπει να ακολουθήσετε έναν απλό αλγόριθμο:
1. Εξπρές. Από οποιαδήποτε εξίσωση εκφράζουμε μία μεταβλητή.
2. Υποκατάστατο. Αντικαθιστούμε την τιμή που προκύπτει με μια άλλη εξίσωση αντί της εκφρασμένης μεταβλητής.
3. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει με μία μεταβλητή. Βρίσκουμε μια λύση στο σύστημα.

Για να λύσω σύστημα με τη μέθοδο της πρόσθεσης (αφαίρεσης).Χρειάζομαι:
1. Επιλέξτε μια μεταβλητή για την οποία θα κάνουμε πανομοιότυπους συντελεστές.
2. Προσθέτουμε ή αφαιρούμε εξισώσεις, με αποτέλεσμα μια εξίσωση με μία μεταβλητή.
3. Λύστε τη γραμμική εξίσωση που προκύπτει. Βρίσκουμε μια λύση στο σύστημα.

Η λύση στο σύστημα είναι τα σημεία τομής των γραφημάτων συναρτήσεων.

Ας εξετάσουμε λεπτομερώς τη λύση των συστημάτων χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Παράδειγμα #1:

Ας λύσουμε με τη μέθοδο αντικατάστασης

Επίλυση συστήματος εξισώσεων με τη μέθοδο της αντικατάστασης

2x+5y=1 (1 εξίσωση)
x-10y=3 (2η εξίσωση)

1. Εξπρές
Μπορεί να φανεί ότι στη δεύτερη εξίσωση υπάρχει μια μεταβλητή x με συντελεστή 1, που σημαίνει ότι είναι ευκολότερο να εκφραστεί η μεταβλητή x από τη δεύτερη εξίσωση.
x=3+10y

2. Αφού το εκφράσουμε, αντικαθιστούμε το 3+10y στην πρώτη εξίσωση αντί της μεταβλητής x.
2(3+10y)+5y=1

3. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει με μία μεταβλητή.
2(3+10y)+5y=1 (ανοίξτε τις αγκύλες)
6+20ε+5ε=1
25ε=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Η λύση στο σύστημα εξισώσεων είναι τα σημεία τομής των γραφημάτων, επομένως πρέπει να βρούμε τα x και y, γιατί το σημείο τομής αποτελείται από x και y. Ας βρούμε το x, στο πρώτο σημείο που το εκφράσαμε αντικαθιστούμε το y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Συνηθίζεται να γράφουμε σημεία στην πρώτη θέση γράφουμε τη μεταβλητή x και στη δεύτερη τη μεταβλητή y.
Απάντηση: (1; -0,2)

Παράδειγμα #2:

Ας λύσουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης (αφαίρεσης) όρου προς όρο.

Επίλυση συστήματος εξισώσεων με τη μέθοδο της πρόσθεσης

3x-2y=1 (1 εξίσωση)
2x-3y=-10 (2η εξίσωση)

1. Επιλέγουμε μια μεταβλητή, ας πούμε ότι επιλέγουμε x. Στην πρώτη εξίσωση, η μεταβλητή x έχει συντελεστή 3, στη δεύτερη - 2. Πρέπει να κάνουμε τους συντελεστές ίδιους, για αυτό έχουμε το δικαίωμα να πολλαπλασιάσουμε τις εξισώσεις ή να διαιρέσουμε με οποιονδήποτε αριθμό. Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με 2 και τη δεύτερη με 3 και παίρνουμε συνολικό συντελεστή 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Αφαιρέστε τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση για να απαλλαγείτε από τη μεταβλητή x. Λύστε τη γραμμική εξίσωση.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Βρείτε το x. Αντικαθιστούμε το y που βρέθηκε σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις, ας πούμε στην πρώτη εξίσωση.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Το σημείο τομής θα είναι x=4,6; y=6,4
Απάντηση: (4.6; 6.4)

Θέλετε να προετοιμαστείτε για εξετάσεις δωρεάν; Δάσκαλος σε απευθείας σύνδεση δωρεάν. Δεν αστειεύομαι.