1 3 στην περίοδο. Περιοδικό κλάσμα. Δείτε τι είναι το "Περιοδικό κλάσμα" σε άλλα λεξικά

πώς να μετατρέψετε αριθμούς σε περίοδο όπως το 0,(3) σε κανονικό κλάσμα; και πήρε την καλύτερη απάντηση

Απάντηση από τον Gold-Silver[γκουρού]
Ο κανόνας για τη μετατροπή ενός άπειρου περιοδικού κλάσματος σε ένα συνηθισμένο κλάσμα είναι ο εξής:
Για να μετατρέψετε ένα περιοδικό κλάσμα σε συνηθισμένο κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμό πριν από την πρώτη περίοδο από τον αριθμό πριν από τη δεύτερη περίοδο και να γράψετε αυτή τη διαφορά ως αριθμητή και στον παρονομαστή γράψτε τον αριθμό 9 όσες φορές υπάρχουν ψηφία στην περίοδο και προσθέστε τόσα μηδενικά μετά τις δεκάδες, πόσα ψηφία βρίσκονται μεταξύ της υποδιαστολής και της πρώτης περιόδου. Για παράδειγμα
Λεπτομερής επεξήγηση ακολουθήστε τον σύνδεσμο στην πηγή.
----
Το παράδειγμά σας:
3-0=3 είναι ο αριθμητής του κλάσματος.

3/9=1/3
Πηγή: (αφαίρεση ++ από τον σύνδεσμο)

Απάντηση από Σκόντα[γκουρού]
απάντηση
3/9
0,353535....=35/99

Απάντηση από MaKS[γκουρού]
σαν αυτό:
0,(3)=0,33 (οι τρεις πρώτες είναι η πρώτη περίοδος και οι δεύτερες τρεις είναι η δεύτερη περίοδος)
σχεδιάζετε ένα κλάσμα και στον αριθμητή γράφετε το εξής: κλείνοντας τη δεύτερη περίοδο, μένει η πρώτη περίοδος (δηλαδή τρεις).Γιατί γράφεις 3 στον αριθμητή (κλείνεις την πρώτη περίοδο και όπως βλέπεις υπάρχουν δεν υπάρχουν αριθμοί πριν από αυτό.Για αυτό γράφουμε 0) αυτούς τους δύο αριθμούς (3 και 0) αφαιρούμε από τον αριθμητή. που λαμβάνεται στο ψυκτικό συγκρότημα 3.
Τώρα ας προχωρήσουμε στον παρονομαστή: μετρήστε τον αριθμό των ψηφίων στην αγκύλη. σε αυτή την περίπτωση - μονοψήφιο. Αυτό σημαίνει ότι γράφετε ένα εννέα στο σημάδι. και μετά, αν δεν υπάρχει αριθμός μεταξύ κόμματος και παρένθεσης, τότε δεν προσθέτουμε τίποτα στον παρονομαστή. (και αν ήταν, για παράδειγμα, 0,4(3), τότε θα έγραφα 4) και έτσι γράφουμε μόνο 9 στον παρονομαστή.
και έτσι είναι το κλάσμα μας: 3/9 (τρία ένατα) και αν το συντομεύσουμε τότε 1/3 (ένα τρίτο)

Απάντηση από Ντένις Μιρόνοφ[αρχάριος]
φά

Απάντηση από Καρίνα Ροσιχίνα[αρχάριος]
0,(3)=0.3+0.03....
g=b2:b1=0,03:0,3=0,1
S=b1:1-g=0,3:1-0,1=0,3:0,9=τρία ένατα και επομένως το ένα τρίτο, εάν συντομευτεί)

Απάντηση από Ιρίνα Ράτσεβα[αρχάριος]
Το παράδειγμά σας:
3-0=3 είναι ο αριθμητής του κλάσματος.
ο παρονομαστής θα είναι 9, δεν γράφουμε μηδενικά, γιατί δεν υπάρχουν άλλοι αριθμοί μεταξύ της υποδιαστολής και της τελείας.
3/9=1/3

Απάντηση από Anton Nosyrev[ενεργός]
2,(36)=(236-2)/99=234/99=26/11 ή δύο πόντοι τέσσερα έντεκα

Απάντηση από 3 απαντήσεις[γκουρού]

Γειά σου! Ακολουθεί μια επιλογή θεμάτων με απαντήσεις στην ερώτησή σας: πώς να μετατρέψετε αριθμούς σε μια περίοδο όπως το 0,(3) σε ένα κοινό κλάσμα;

Ότι αν γνωρίζουν τη θεωρία των σειρών, τότε χωρίς αυτήν δεν μπορούν να εισαχθούν μεταματικές έννοιες. Επιπλέον, αυτοί οι άνθρωποι πιστεύουν ότι όποιος δεν το χρησιμοποιεί ευρέως είναι αδαής. Ας αφήσουμε τις απόψεις αυτών των ανθρώπων στη συνείδησή τους. Ας καταλάβουμε καλύτερα τι είναι το άπειρο περιοδικό κλάσμα και πώς πρέπει να το αντιμετωπίζουμε εμείς οι αμόρφωτοι που δεν γνωρίζουμε όρια.

Ας διαιρέσουμε το 237 με το 5. Όχι, δεν χρειάζεται να εκκινήσετε την Αριθμομηχανή. Ας θυμηθούμε καλύτερα το γυμνάσιο (ή ακόμα και το δημοτικό;) και ας το χωρίσουμε σε μια στήλη:

Λοιπόν, θυμήθηκες; Μετά μπορείς να ασχοληθείς.

Η έννοια του «κλάσματος» στα μαθηματικά έχει δύο έννοιες:

1. Μη ακέραιος αριθμός.
2. Μη ακέραια μορφή.

Υπάρχουν δύο τύποι κλασμάτων - με την έννοια, δύο μορφές γραφής μη ακέραιων αριθμών:

1. Απλό (ή κατακόρυφος) κλάσματα, όπως 1/2 ή 237/5.
2. Δεκαδικά κλάσματα, όπως 0,5 ή 47,4.

Σημειώστε ότι γενικά η ίδια η χρήση ενός κλάσματος-σημειογραφίας δεν σημαίνει ότι αυτό που γράφεται είναι κλάσμα-αριθμός, για παράδειγμα 3/3 ή 7,0 - όχι κλάσματα με την πρώτη έννοια της λέξης, αλλά με τη δεύτερη, φυσικά , κλάσματα.

Στα μαθηματικά, γενικά, η δεκαδική μέτρηση ήταν πάντα αποδεκτή και επομένως τα δεκαδικά κλάσματα είναι πιο βολικά από τα απλά, δηλαδή ένα κλάσμα με δεκαδικό παρονομαστή (Vladimir Dal. Επεξηγηματικό λεξικό της ζωντανής Μεγάλης Ρωσικής γλώσσας. "Δέκα") .

Και αν ναι, τότε θέλω να κάνω κάθε κάθετο κλάσμα δεκαδικό («οριζόντιο»). Και για να γίνει αυτό χρειάζεται απλώς να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Ας πάρουμε, για παράδειγμα, το κλάσμα 1/3 και ας προσπαθήσουμε να κάνουμε δεκαδικό από αυτό.

Ακόμη και ένας εντελώς αμόρφωτος άνθρωπος θα παρατηρήσει: όσο καιρό κι αν χρειαστεί, δεν θα χωρίσει: τα τρίδυμα θα συνεχίσουν να εμφανίζονται επ' άπειρον. Ας το γράψουμε λοιπόν: 0,33... Εννοούμε «τον αριθμό που προκύπτει όταν διαιρούμε το 1 με το 3» ή, εν συντομία, «το ένα τρίτο». Φυσικά, το ένα τρίτο είναι κλάσμα με την πρώτη έννοια της λέξης και το "1/3" και το "0,33..." είναι κλάσματα με τη δεύτερη έννοια της λέξης, δηλαδή έντυπα συμμετοχήςένας αριθμός που βρίσκεται στην αριθμητική γραμμή σε τέτοια απόσταση από το μηδέν που αν τον αφήσετε στην άκρη τρεις φορές, θα πάρετε ένα.

Τώρα ας προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε το 5 με το 6:

Ας το ξαναγράψουμε: 0,833... Εννοούμε «τον αριθμό που παίρνετε όταν διαιρέσετε το 5 με το 6» ή, εν συντομία, «πέντε έκτα». Ωστόσο, δημιουργείται σύγχυση εδώ: σημαίνει αυτό 0,83333 (και μετά επαναλαμβάνονται οι τριπλέτες) ή 0,833833 (και μετά επαναλαμβάνεται το 833). Επομένως, η σημειογραφία με έλλειψη δεν μας ταιριάζει: δεν είναι σαφές πού αρχίζει το επαναλαμβανόμενο μέρος (ονομάζεται "περίοδος"). Επομένως, θα βάλουμε την περίοδο σε αγκύλες, ως εξής: 0,(3); 0,8 (3).

0,(3) δεν είναι εύκολο ισοδυναμείτο ένα τρίτο, δηλαδή Υπάρχειτο ένα τρίτο, επειδή εφεύραμε ειδικά αυτόν τον συμβολισμό για να αναπαραστήσουμε αυτόν τον αριθμό ως δεκαδικό κλάσμα.

Αυτή η καταχώρηση ονομάζεται άπειρο περιοδικό κλάσμα, ή απλά ένα περιοδικό κλάσμα.

Κάθε φορά που διαιρούμε έναν αριθμό με έναν άλλο, αν δεν πάρουμε ένα πεπερασμένο κλάσμα, παίρνουμε ένα άπειρο περιοδικό κλάσμα, δηλαδή κάποια μέρα οι ακολουθίες των αριθμών θα αρχίσουν σίγουρα να επαναλαμβάνονται. Το γιατί συμβαίνει αυτό μπορεί να γίνει κατανοητό καθαρά κερδοσκοπικά εξετάζοντας προσεκτικά τον αλγόριθμο διαίρεσης στηλών:

Στα σημεία που επισημαίνονται με σημάδια επιλογής, δεν μπορούν πάντα να ληφθούν διαφορετικά ζεύγη αριθμών (επειδή, καταρχήν, υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός τέτοιων ζευγών). Και μόλις εμφανιστεί ένα τέτοιο ζευγάρι, που ήδη υπήρχε, η διαφορά θα είναι επίσης η ίδια - και τότε η όλη διαδικασία θα αρχίσει να επαναλαμβάνεται. Δεν χρειάζεται να το ελέγξετε αυτό, γιατί είναι προφανές ότι αν επαναλάβετε τις ίδιες ενέργειες, τα αποτελέσματα θα είναι τα ίδια.

Τώρα που καταλάβαμε καλά ουσίαπεριοδικό κλάσμα, ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε το ένα τρίτο με το τρία. Ναι, φυσικά, θα πάρετε ένα, αλλά ας γράψουμε αυτό το κλάσμα σε δεκαδική μορφή και ας το πολλαπλασιάσουμε σε μια στήλη (δεν προκύπτει ασάφεια εδώ λόγω της έλλειψης, αφού όλοι οι αριθμοί μετά την υποδιαστολή είναι ίδιοι):

Και πάλι παρατηρούμε ότι τα εννιά, τα εννιά και τα εννιά θα εμφανίζονται συνέχεια μετά την υποδιαστολή. Δηλαδή, χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό αντίστροφης αγκύλης, παίρνουμε 0,(9). Εφόσον γνωρίζουμε ότι το γινόμενο ενός τρίτου και τριών είναι ένα, τότε το 0.(9) είναι ένας τόσο φανταχτερός τρόπος γραφής ενός. Ωστόσο, δεν είναι σωστό να χρησιμοποιείται αυτή η μορφή εγγραφής, επειδή μια ενότητα μπορεί να γραφτεί τέλεια χωρίς τη χρήση τελείας, όπως η εξής: 1.

Όπως μπορείτε να δείτε, το 0,(9) είναι μία από αυτές τις περιπτώσεις όπου ο ακέραιος αριθμός γράφεται σε μορφή κλασμάτων, όπως 3/3 ή 7,0. Δηλαδή, το 0,(9) είναι κλάσμα μόνο με τη δεύτερη έννοια της λέξης, αλλά όχι με την πρώτη.

Έτσι, χωρίς όρια ή σειρές, καταλάβαμε τι είναι το 0.(9) και πώς να το αντιμετωπίσουμε.

Αλλά ας θυμόμαστε ακόμα ότι στην πραγματικότητα είμαστε έξυπνοι και μελετημένοι στην ανάλυση. Πράγματι, είναι δύσκολο να αρνηθεί κανείς ότι:

Αλλά, ίσως, κανείς δεν θα διαφωνήσει με το γεγονός ότι:

Όλα αυτά είναι φυσικά αλήθεια. Πράγματι, το 0,(9) είναι και το άθροισμα της μειωμένης σειράς και του διπλού ημίτονος της υποδεικνυόμενης γωνίας και ο φυσικός λογάριθμος του αριθμού Euler.

Αλλά ούτε το ένα, ούτε το άλλο, ούτε το τρίτο είναι ορισμός.

Το να πούμε ότι το 0,(9) είναι το άθροισμα της άπειρης σειράς 9/(10 n), με n ίσο με ένα, είναι το ίδιο με το να πούμε ότι το ημίτονο είναι το άθροισμα της άπειρης σειράς Taylor:

Αυτό απόλυτο δίκιο, και αυτό είναι το πιο σημαντικό γεγονός για τα υπολογιστικά μαθηματικά, αλλά δεν είναι ορισμός και, το πιο σημαντικό, δεν φέρνει ένα άτομο πιο κοντά στην κατανόηση ουσιαστικάκόλπος Η ουσία του ημιτόνου μιας ορισμένης γωνίας είναι ότι απλά τα πάνταη αναλογία του ποδιού απέναντι από τη γωνία προς την υποτείνουσα.

Άρα, ένα περιοδικό κλάσμα είναι απλά τα πάνταένα δεκαδικό κλάσμα που προκύπτει όταν κατά τη διαίρεση με στήλητο ίδιο σύνολο αριθμών θα επαναληφθεί. Εδώ δεν υπάρχει ίχνος ανάλυσης.

Και εδώ είναι που τίθεται το ερώτημα: από πού προέρχεται; καθόλουπήραμε τον αριθμό 0,(9); Τι διαιρούμε με τι με μια στήλη για να το πάρουμε; Πράγματι, δεν υπάρχουν αριθμοί τέτοιοι ώστε όταν χωρίζονται σε μια στήλη, να εμφανίζονται ατελείωτα εννιά. Αλλά καταφέραμε να πάρουμε αυτόν τον αριθμό πολλαπλασιάζοντας το 0,(3) με το 3 με μια στήλη; Όχι πραγματικά. Εξάλλου, πρέπει να πολλαπλασιάσετε από τα δεξιά προς τα αριστερά για να λάβετε σωστά υπόψη τις μεταφορές των ψηφίων, και το κάναμε από αριστερά προς τα δεξιά, εκμεταλλευόμενοι πονηρά το γεγονός ότι οι μεταφορές δεν γίνονται πουθενά. Επομένως, η νομιμότητα της εγγραφής 0,(9) εξαρτάται από το αν αναγνωρίζουμε τη νομιμότητα ενός τέτοιου πολλαπλασιασμού με μια στήλη ή όχι.

Επομένως, μπορούμε γενικά να πούμε ότι ο συμβολισμός 0,(9) είναι λανθασμένος - και σε κάποιο βαθμό είναι σωστός. Ωστόσο, εφόσον ο συμβολισμός a ,(b ) είναι αποδεκτός, είναι απλώς άσχημο να τον εγκαταλείψουμε όταν b = 9. Είναι καλύτερα να αποφασίσετε τι σημαίνει μια τέτοια καταχώρηση. Έτσι, αν γενικά δεχθούμε τον συμβολισμό 0,(9), τότε αυτός ο συμβολισμός, φυσικά, σημαίνει τον αριθμό ένα.

Μένει μόνο να προσθέσουμε ότι αν χρησιμοποιούσαμε, ας πούμε, το τριαδικό σύστημα αριθμών, τότε όταν διαιρούμε με μια στήλη του ενός (1 3) με το τρία (10 3) θα παίρναμε 0,1 3 (διαβάστε "σημείο μηδέν το ένα τρίτο"), και όταν διαιρούμε ένα με δύο θα είναι 0,(1) 3.

Έτσι, η περιοδικότητα ενός κλάσματος-αριθμού δεν είναι κάποιο αντικειμενικό χαρακτηριστικό ενός κλάσματος-αριθμού, αλλά απλώς μια παρενέργεια της χρήσης ενός ή του άλλου συστήματος αριθμών.

Η λειτουργία διαίρεσης περιλαμβάνει τη συμμετοχή πολλών κύριων συνιστωσών. Το πρώτο από αυτά είναι το λεγόμενο μέρισμα, δηλαδή αριθμός που υπόκειται στη διαδικασία της διαίρεσης. Ο δεύτερος είναι ο διαιρέτης, δηλαδή ο αριθμός με τον οποίο γίνεται η διαίρεση. Το τρίτο είναι το πηλίκο, δηλαδή το αποτέλεσμα της πράξης της διαίρεσης του μερίσματος με τον διαιρέτη.

Αποτέλεσμα διαίρεσης

Το απλούστερο αποτέλεσμα που μπορεί να ληφθεί όταν χρησιμοποιούνται δύο θετικοί ακέραιοι ως μέρισμα και διαιρέτης είναι ένας άλλος θετικός ακέραιος. Για παράδειγμα, όταν διαιρούμε το 6 με το 2, το πηλίκο θα είναι ίσο με 3. Αυτή η κατάσταση είναι δυνατή εάν το μέρισμα είναι ο διαιρέτης, δηλαδή διαιρείται με αυτό χωρίς υπόλοιπο.

Ωστόσο, υπάρχουν και άλλες επιλογές όταν είναι αδύνατο να πραγματοποιηθεί μια επιχείρηση διαίρεσης χωρίς υπόλοιπο. Σε αυτήν την περίπτωση, ένας μη ακέραιος αριθμός γίνεται πηλίκος, ο οποίος μπορεί να γραφτεί ως συνδυασμός ακέραιου και κλασματικού μέρους. Για παράδειγμα, όταν διαιρούμε το 5 με το 2, το πηλίκο είναι 2,5.

Αριθμός σε περίοδο

Μία από τις επιλογές που μπορεί να προκύψει εάν το μέρισμα δεν είναι πολλαπλάσιο του διαιρέτη είναι ο λεγόμενος αριθμός στην περίοδο. Μπορεί να προκύψει ως αποτέλεσμα της διαίρεσης εάν το πηλίκο αποδειχθεί ότι είναι ένα ατελείωτα επαναλαμβανόμενο σύνολο αριθμών. Για παράδειγμα, ένας αριθμός σε μια περίοδο μπορεί να εμφανιστεί κατά τη διαίρεση του αριθμού 2 με το 3. Σε αυτήν την περίπτωση, το αποτέλεσμα, ως δεκαδικό κλάσμα, θα εκφραστεί ως συνδυασμός ενός άπειρου αριθμού 6 ψηφίων μετά την υποδιαστολή.

Προκειμένου να υποδηλωθεί το αποτέλεσμα μιας τέτοιας διαίρεσης, εφευρέθηκε ένας ειδικός τρόπος γραφής αριθμών σε μια περίοδο: ένας τέτοιος αριθμός υποδεικνύεται με την τοποθέτηση ενός επαναλαμβανόμενου ψηφίου σε αγκύλες. Για παράδειγμα, το αποτέλεσμα της διαίρεσης 2 με 3 θα γραφόταν χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο ως 0,(6). Αυτή η σημείωση ισχύει επίσης εάν επαναλαμβάνεται μόνο μέρος του αριθμού που προκύπτει από τη διαίρεση.

Για παράδειγμα, όταν διαιρούμε το 5 με το 6, το αποτέλεσμα θα είναι ένας περιοδικός αριθμός της μορφής 0,8(3). Η χρήση αυτής της μεθόδου, πρώτον, είναι πιο αποτελεσματική σε σύγκριση με την προσπάθεια εγγραφής όλων ή μέρους των ψηφίων ενός αριθμού σε μια περίοδο και, δεύτερον, έχει μεγαλύτερη ακρίβεια σε σύγκριση με μια άλλη μέθοδο μετάδοσης τέτοιων αριθμών - στρογγυλοποίηση και επιπλέον, σας επιτρέπει να διακρίνετε αριθμούς σε περίοδο από ένα ακριβές δεκαδικό κλάσμα με την αντίστοιχη τιμή όταν συγκρίνετε το μέγεθος αυτών των αριθμών. Έτσι, για παράδειγμα, είναι προφανές ότι το 0.(6) είναι σημαντικά μεγαλύτερο από το 0.6.

Στην Τάξη του 2013 με όλη μου την καρδιά

Άλλωστε ο κύκλος είναι άπειρος
ένας μεγάλος κύκλος και μια ευθεία είναι το ίδιο πράγμα.
Galileo Galilei

Η λέξη «περίοδος» προκαλεί έναν πολύ συγκεκριμένο συσχετισμό στο μυαλό των πολιτών που έχουν κουραστεί από τη σκληρή περιβάλλουσα πραγματικότητα. Δηλαδή, «χρόνος». Δηλαδή, αυτοί, αυτοί οι πολίτες, όταν τους ρωτούν «με τι συνδέεται η λέξη «περίοδος», επαναλαμβάνουν ως συνήθως: «χρόνος». Γενικά, δεν χρειάζεται να βασίζεστε στη φαντασία.

Πώς μπορούμε να κάνουμε το δεξί ημισφαίριο, που έχει τεμπελιάσει λόγω της επιταχυνόμενης προόδου, να λειτουργήσει; Και εδώ έρχεται να σώσει τα σπουδαία και τρομερά ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ! Ναι, ναι, η λέξη προκαλεί φόβο στην εύθραυστη ψυχή όχι λιγότερο έντονα από την ίδια τη μαθηματικό με ένα τρίγωνο στο χέρι της.

Αλλά πρέπει να σημειωθεί ότι ήταν αυτή η αξιοσέβαστη κυρία (ή ο σεβαστός κύριος) που κάποτε προσπάθησε απεγνωσμένα να εμπλουτίσει το λεξιλόγιό σας, εξηγώντας ότι η λέξη "περίοδος" μπορεί να ονομαστεί όχι μόνο μια χρονική περίοδος, αλλά και "μια ατελείωτα επαναλαμβανόμενη ομάδα αριθμών» μετά από υποδιαστολή σε δεκαδικό κλάσμα εγγραφής. Και τέτοια κλάσματα ονομάζονται περιοδικά.

Οι πολίτες που έχουν εξαντληθεί από τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση πιθανότατα γνωρίζουν ότι οποιοδήποτε συνηθισμένο κλάσμα μπορεί να γραφτεί ως δεκαδικό - πεπερασμένο ή άπειρο. Στην τελευταία περίπτωση συμβαίνει το θαυματουργό φαινόμενο της περιόδου.

Για παράδειγμα, αν διαιρέσετε δύο με τρία σε μια "στήλη" για μεγάλο χρονικό διάστημα, λαμβάνετε τα εξής:

2/3 = 2: 3 = 0,666… = 0,(6).

Η αντίστροφη διαδικασία δεν είναι λιγότερο συναρπαστική. Εάν έχετε μια ακαταμάχητη επιθυμία να μετατρέψετε ένα περιοδικό κλάσμα σε ένα συνηθισμένο κλάσμα, τότε θα πρέπει να κάνετε τις ακόλουθες ενέργειες:

Τόξο. Χειροκροτήματα. Μια κουρτίνα. Όλοι χαίρονται που φεύγουν. Και μετά - η κακόβουλη φωνή του δασκάλου:

— Και μεταφράστε μου, αγαπητά μου παιδιά, το 0.(9) σε ένα συνηθισμένο κλάσμα.

Ναι, πιο εύκολο από τα γογγύλια στον ατμό! Εργαστείτε σύμφωνα με το μοντέλο - δεν χρειάζεται να γεμίσετε τον ημιώροφο:

αφήνω Χ= 0, (9), μετά 10 Χ= 9, (9). Αφαιρέστε την πρώτη από τη δεύτερη εξίσωση:

10Χ - Χ= 9,(9) - 0,(9), δηλαδή 9 Χ= 9. Από Χ= 1. Άρα 0,(9) = 1.

Σε αυτό το σημείο, κατά κανόνα, δημιουργείται γνωστική ασυμφωνία στα κεφάλια των νέων, που μέχρι τώρα λυπημένα κοιτούσαν τον πίνακα. Διότι, μεταξύ άλλων, βλέπουν:

0,(9) = 1.

Κάποιος σκέφτηκε με λύπη ότι ήξερε ότι δεν μπορούσε να εμπιστευτεί τους δασκάλους. Κάποιος άρχισε να κλαίει και έφυγε τρέχοντας. Κάποιοι τυχεροί δεν άκουσαν και έτσι κράτησαν το μυαλό τους ανέπαφο και συνεχίζουν να αγνοούν την καταστροφή που είχε ξεσπάσει στο μυαλό των συναδέλφων τους.

- Δεν με πιστεύεις; ΑΧΑΧΑΧΑΧΑ Και τώρα θα σας το αποδείξω χρησιμοποιώντας το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου.

Και στον πίνακα εμφανίζεται κάτι σαν αυτό:

Πόσο τρομακτικό να ζεις! Εάν ο δάσκαλος αποφάσισε να αναφέρει ότι είναι δυνατό να αποδειχθεί αυτή η ισότητα χρησιμοποιώντας την έννοια του ορίου, τότε είναι σαδιστής. Αν κάτι σαν "και αυτό είναι απειροελάχιστο", τότε, γενικά, είναι τέρας.

Αφήνοντας τη χαρά της ενασχόλησης με τους βασανιστές των παιδιών στη ρωσική εκπαίδευση, είναι απαραίτητο να εξάγουμε ένα συμπέρασμα σχετικά με τα αποτελέσματα που περιγράφονται παραπάνω.

Εάν στην κανονική καθημερινότητά σας χρειάζεται να κάνετε κάποια ενδιαφέρουσα, αλλά πιθανότατα περίεργη δουλειά, επειδή θα χειρίζεστε το 0,(9), τότε να θυμάστε ότι είναι 1.

Ευχαριστώ σε όλους! Όλοι είναι ελεύθεροι!

Θυμάστε πώς στο πρώτο μάθημα σχετικά με τα δεκαδικά είπα ότι υπάρχουν αριθμητικά κλάσματα που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως δεκαδικοί (βλ. μάθημα "Δεκαδικοί"); Μάθαμε επίσης πώς να συνυπολογίζουμε τους παρονομαστές των κλασμάτων για να δούμε αν υπήρχαν άλλοι αριθμοί εκτός από το 2 και το 5.

Λοιπόν: είπα ψέματα. Και σήμερα θα μάθουμε πώς να μετατρέπουμε απολύτως οποιοδήποτε αριθμητικό κλάσμα σε δεκαδικό. Ταυτόχρονα, θα εξοικειωθούμε με μια ολόκληρη κατηγορία κλασμάτων με άπειρο σημαντικό μέρος.

Περιοδικό δεκαδικό είναι κάθε δεκαδικό που:

1. Το σημαντικό μέρος αποτελείται από έναν άπειρο αριθμό ψηφίων.
2. Σε ορισμένα διαστήματα επαναλαμβάνονται οι αριθμοί στο σημαντικό μέρος.

Το σύνολο των επαναλαμβανόμενων ψηφίων που αποτελούν το σημαντικό μέρος ονομάζεται περιοδικό μέρος ενός κλάσματος και ο αριθμός των ψηφίων σε αυτό το σύνολο ονομάζεται περίοδος του κλάσματος. Το υπόλοιπο τμήμα του σημαντικού μέρους, το οποίο δεν επαναλαμβάνεται, ονομάζεται μη περιοδικό μέρος.

Δεδομένου ότι υπάρχουν πολλοί ορισμοί, αξίζει να εξεταστούν μερικά από αυτά τα κλάσματα λεπτομερώς:

Αυτό το κλάσμα εμφανίζεται πιο συχνά σε προβλήματα. Μη περιοδικό μέρος: 0; περιοδικό μέρος: 3; διάρκεια περιόδου: 1.

Μη περιοδικό μέρος: 0,58; περιοδικό μέρος: 3; διάρκεια περιόδου: ξανά 1.

Μη περιοδικό μέρος: 1; περιοδικό μέρος: 54; Διάρκεια περιόδου: 2.

Μη περιοδικό μέρος: 0; περιοδικό μέρος: 641025; διάρκεια περιόδου: 6. Για ευκολία, τα επαναλαμβανόμενα μέρη χωρίζονται μεταξύ τους με ένα κενό - αυτό δεν είναι απαραίτητο σε αυτήν τη λύση.

Μη περιοδικό μέρος: 3066; περιοδικό μέρος: 6; διάρκεια περιόδου: 1.

Όπως μπορείτε να δείτε, ο ορισμός ενός περιοδικού κλάσματος βασίζεται στην έννοια σημαντικό μέρος ενός αριθμού. Επομένως, εάν έχετε ξεχάσει τι είναι, συνιστώ να το επαναλάβετε - δείτε το μάθημα "".

Μετάβαση σε περιοδικό δεκαδικό κλάσμα

Θεωρήστε ένα συνηθισμένο κλάσμα της μορφής a /b. Ας παραγοντοποιήσουμε τον παρονομαστή του σε πρώτους παράγοντες. Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Η επέκταση περιέχει μόνο τους παράγοντες 2 και 5. Αυτά τα κλάσματα μετατρέπονται εύκολα σε δεκαδικά ψηφία - δείτε το μάθημα «Δεκαδικοί». Δεν μας ενδιαφέρουν τέτοιοι άνθρωποι.
2. Υπάρχει κάτι άλλο στην επέκταση εκτός από το 2 και το 5. Στην περίπτωση αυτή, το κλάσμα δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως δεκαδικό, αλλά μπορεί να μετατραπεί σε περιοδικό δεκαδικό.

Για να ορίσετε ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα, πρέπει να βρείτε τα περιοδικά και τα μη περιοδικά μέρη του. Πως? Μετατρέψτε το κλάσμα σε ακατάλληλο κλάσμα και, στη συνέχεια, διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή χρησιμοποιώντας μια γωνία.

Θα συμβούν τα εξής:

1. Θα χωρίσει πρώτα ολόκληρο μέρος, αν υπαρχει;
2. Μπορεί να υπάρχουν αρκετοί αριθμοί μετά την υποδιαστολή.
3. Μετά από λίγο θα ξεκινήσουν οι αριθμοί επαναλαμβάνω.

Αυτό είναι όλο! Οι επαναλαμβανόμενοι αριθμοί μετά την υποδιαστολή συμβολίζονται με το περιοδικό μέρος και αυτοί που βρίσκονται μπροστά με το μη περιοδικό μέρος.

Εργο. Μετατρέψτε τα συνηθισμένα κλάσματα σε περιοδικά δεκαδικά ψηφία:

Όλα τα κλάσματα χωρίς ακέραιο μέρος, οπότε απλά διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή με μια "γωνία":

Όπως μπορείτε να δείτε, τα υπόλοιπα επαναλαμβάνονται. Ας γράψουμε το κλάσμα στη «σωστή» μορφή: 1,733 ... = 1,7(3).

Το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα: 0,5833 ... = 0,58(3).

Το γράφουμε σε κανονική μορφή: 4.0909 ... = 4,(09).

Παίρνουμε το κλάσμα: 0,4141 ... = 0,(41).

Μετάβαση από το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα στο συνηθισμένο κλάσμα

Θεωρήστε το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα X = abc (a 1 b 1 c 1). Απαιτείται η μετατροπή του σε κλασικό «διώροφο». Για να το κάνετε αυτό, ακολουθήστε τέσσερα απλά βήματα:

1. Να βρείτε την περίοδο του κλάσματος, δηλ. μετρήστε πόσα ψηφία υπάρχουν στο περιοδικό μέρος. Έστω αυτός ο αριθμός k.
2. Να βρείτε την τιμή της παράστασης Χ · 10 κ. Αυτό ισοδυναμεί με τη μετατόπιση της υποδιαστολής προς τα δεξιά σε μια πλήρη περίοδο - δείτε το μάθημα "Πολλαπλασιασμός και διαίρεση δεκαδικών αριθμών".
3. Η αρχική έκφραση πρέπει να αφαιρεθεί από τον αριθμό που προκύπτει. Σε αυτή την περίπτωση, το περιοδικό τμήμα «καίγεται» και παραμένει κοινό κλάσμα;
4. Βρείτε το Χ στην εξίσωση που προκύπτει. Μετατρέπουμε όλα τα δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα κλάσματα.

Εργο. Μετατρέψτε τον αριθμό σε ένα συνηθισμένο ακατάλληλο κλάσμα:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Δουλεύουμε με το πρώτο κλάσμα: X = 9,(6) = 9,666 ...

Οι παρενθέσεις περιέχουν μόνο ένα ψηφίο, οπότε η περίοδος είναι k = 1. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάζουμε αυτό το κλάσμα με 10 k = 10 1 = 10. Έχουμε:

10Χ = 10 9,6666... ​​= 96,666...

Αφαιρέστε το αρχικό κλάσμα και λύστε την εξίσωση:

10X − X = 96.666 ... − 9.666 ... = 96 − 9 = 87;
9Χ = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Τώρα ας δούμε το δεύτερο κλάσμα. Άρα X = 32, (39) = 32,393939...

Περίοδος k = 2, άρα πολλαπλασιάστε τα πάντα με 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Αφαιρέστε ξανά το αρχικό κλάσμα και λύστε την εξίσωση:

100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Ας προχωρήσουμε στο τρίτο κλάσμα: X = 0,30(5) = 0,30555... Το διάγραμμα είναι το ίδιο, οπότε θα δώσω απλώς τους υπολογισμούς:

Περίοδος k = 1 ⇒ πολλαπλασιάστε τα πάντα με 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9Χ = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Τέλος, το τελευταίο κλάσμα: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Και πάλι, για λόγους ευκολίας, τα περιοδικά μέρη χωρίζονται μεταξύ τους με κενά. Εχουμε:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.