Производна на функция. Подробна теория с примери. Производна на натурален логаритъм и логаритъм за основа Производна на натурален логаритъм

Комплексни производни. Логаритмична производна.
Производна на степенно-експоненциална функция

Продължаваме да подобряваме нашата техника за диференциране. В този урок ще консолидираме материала, който сме покрили, ще разгледаме по-сложни производни, а също така ще се запознаем с нови техники и трикове за намиране на производна, по-специално с логаритмичната производна.

Тези читатели, които имат ниско ниво на подготовка, трябва да се обърнат към статията Как да намерим производната? Примери за решения, което ще ви позволи да повишите уменията си почти от нулата. След това трябва внимателно да проучите страницата Производна на сложна функция, разберете и разрешите всичкопримерите, които дадох. Този урок логично е третият поред и след като го усвоите, вие уверено ще различавате доста сложни функции. Не е желателно да заемате позицията „Къде другаде? Стига!”, тъй като всички примери и решения са взети от реални тестове и често се срещат в практиката.

Да започнем с повторение. На урока Производна на сложна функцияРазгледахме няколко примера с подробни коментари. В хода на изучаване на диференциално смятане и други клонове на математическия анализ ще трябва да диференцирате много често и не винаги е удобно (и не винаги е необходимо) да описвате примери в големи подробности. Затова ще се упражняваме да намираме производни устно. Най-подходящите „кандидати“ за това са производни на най-простите от сложните функции, например:

Според правилото за диференциране на сложни функции :

При изучаване на други теми от матан в бъдеще най-често не се изисква такъв подробен запис; предполага се, че ученикът знае как да намира такива производни на автопилот. Нека си представим, че в 3 часа през нощта телефонът звънна и приятен глас попита: „Колко е производната на тангенса на две X?“ Това трябва да бъде последвано от почти мигновен и учтив отговор: .

Първият пример ще бъде незабавно предназначен за самостоятелно решение.

Пример 1

Намерете устно следните производни, в едно действие, например: . За да изпълните задачата, трябва само да използвате таблица с производни на елементарни функции(ако още не сте се сетили). Ако имате затруднения, препоръчвам ви да прочетете отново урока Производна на сложна функция.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Отговори в края на урока

Комплексни производни

След предварителна артилерийска подготовка, примерите с 3-4-5 влагане на функции ще бъдат по-малко страшни. Следващите два примера може да изглеждат сложни за някои, но ако ги разберете (някой ще пострада), тогава почти всичко останало в диференциалното смятане ще изглежда като детска шега.

Пример 2

Намерете производната на функция

Както вече беше отбелязано, при намиране на производната на сложна функция, на първо място, е необходимо вярноРАЗБЕРЕТЕ вашите инвестиции. В случаите, когато има съмнения, напомням ви за полезна техника: вземаме експерименталната стойност на „x“ например и се опитваме (мислено или в чернова) да заменим тази стойност в „ужасния израз“.

1) Първо трябва да изчислим израза, което означава, че сумата е най-дълбокото вграждане.

2) След това трябва да изчислите логаритъма:

4) След това кубирайте косинуса:

5) На петата стъпка разликата:

6) И накрая, най-външната функция е корен квадратен:

Формула за диференциране на сложна функция се прилагат в обратен ред, от най-външната функция към най-вътрешната. Ние решаваме:

Изглежда, че няма грешки...

(1) Вземете производната на корен квадратен.

(2) Вземаме производната на разликата, използвайки правилото

(3) Производната на тройка е нула. Във втория член вземаме производната на степента (куб).

(4) Вземете производната на косинуса.

(5) Вземете производната на логаритъма.

(6) И накрая, вземаме производната на най-дълбокото вграждане.

Може да изглежда твърде трудно, но това не е най-жестокият пример. Вземете например колекцията на Кузнецов и ще оцените цялата красота и простота на анализираната производна. Забелязах, че обичат да дават подобно нещо на изпит, за да проверят дали студентът разбира как се намира производната на сложна функция или не разбира.

Следващият пример трябва да решите сами.

Пример 3

Намерете производната на функция

Съвет: Първо прилагаме правилата за линейност и правилото за диференциране на продукта

Пълно решение и отговор в края на урока.

Време е да преминем към нещо по-малко и по-хубаво.
Не е необичайно примерът да показва произведението не на две, а на три функции. Как да намерим производната на произведението на три фактора?

Пример 4

Намерете производната на функция

Първо разглеждаме, възможно ли е да превърнем произведението на три функции в произведение на две функции? Например, ако имаме два полинома в произведението, тогава можем да отворим скобите. Но в разглеждания пример всички функции са различни: степен, степен и логаритъм.

В такива случаи е необходимо последователноприложете правилото за диференциране на продукта два пъти

Номерът е, че с “y” означаваме произведението на две функции: , а с “ve” означаваме логаритъма: . Защо може да се направи това? Наистина ли е – това не е произведение на два фактора и правилото не работи?! Няма нищо сложно:

Сега остава правилото да се приложи втори път в скоби:

Можете също така да се изкривите и да поставите нещо извън скоби, но в този случай е по-добре да оставите отговора точно в тази форма - ще бъде по-лесно да се провери.

Разглежданият пример може да бъде решен по втория начин:

И двете решения са абсолютно равностойни.

Пример 5

Намерете производната на функция

Това е пример за независимо решение, в примера се решава по първия метод.

Нека да разгледаме подобни примери с дроби.

Пример 6

Намерете производната на функция

Има няколко начина, по които можете да отидете тук:

Или така:

Но решението ще бъде написано по-компактно, ако първо използваме правилото за диференциране на частното , като се вземе за целия числител:

По принцип примерът е решен и ако се остави така, няма да е грешка. Но ако имате време, винаги е препоръчително да проверите черновата, за да видите дали отговорът може да бъде опростен? Нека намалим израза на числителя до общ знаменател и да се отървем от триетажната част:

Недостатъкът на допълнителните опростявания е, че съществува риск от грешка не при намиране на производната, а при банални училищни трансформации. От друга страна, учителите често отхвърлят задачата и искат да „напомнят“ производната.

По-прост пример за самостоятелно решаване:

Пример 7

Намерете производната на функция

Продължаваме да овладяваме методите за намиране на производната и сега ще разгледаме типичен случай, когато "ужасният" логаритъм е предложен за диференциране

Пример 8

Намерете производната на функция

Тук можете да отидете по дългия път, като използвате правилото за разграничаване на сложна функция:

Но още първата стъпка веднага ви потапя в униние - трябва да вземете неприятната производна от дробна степен, а след това и от дроб.

Ето защо предикак да вземем производната на „сложен“ логаритъм, първо се опростява с помощта на добре познати училищни свойства:

! Ако имате учебна тетрадка под ръка, копирайте тези формули директно там. Ако нямате тетрадка, препишете ги на лист хартия, тъй като останалите примери от урока ще се въртят около тези формули.

Самото решение може да бъде написано по следния начин:

Нека трансформираме функцията:

Намиране на производната:

Предварителното преобразуване на самата функция значително опрости решението. По този начин, когато подобен логаритъм е предложен за диференциране, винаги е препоръчително да го „разбиете“.

А сега няколко прости примера, които можете да решите сами:

Пример 9

Намерете производната на функция

Пример 10

Намерете производната на функция

Всички трансформации и отговори са в края на урока.

Логаритмична производна

Ако производното на логаритмите е толкова сладка музика, тогава възниква въпросът: възможно ли е в някои случаи логаритъмът да се организира изкуствено? Мога! И дори необходимо.

Пример 11

Намерете производната на функция

Наскоро разгледахме подобни примери. Какво да правя? Можете последователно да приложите правилото за диференциране на частното и след това правилото за диференциране на продукта. Недостатъкът на този метод е, че в крайна сметка получавате огромна триетажна фракция, с която изобщо не искате да се занимавате.

Но на теория и практика има такова прекрасно нещо като логаритмичната производна. Логаритмите могат да бъдат организирани изкуствено, като ги "окачите" от двете страни:

Забележка : защото функция може да приема отрицателни стойности, тогава, най-общо казано, трябва да използвате модули: , които ще изчезнат в резултат на диференциация. Текущият дизайн обаче също е приемлив, като по подразбиране се взема предвид комплексзначения. Но ако в цялата строгост, тогава и в двата случая трябва да се направи уговорка, че.

Сега трябва да „разпаднете“ логаритъма на дясната страна колкото е възможно повече (формули пред очите ви?). Ще опиша този процес много подробно:

Да започнем с диференциацията.
Заключваме и двете части под премията:

Производната на дясната страна е доста проста, няма да я коментирам, защото ако четете този текст, трябва да можете да се справите уверено.

Какво ще кажете за лявата страна?

От лявата страна имаме сложна функция. Предвиждам въпроса: „Защо, има ли една буква „Y“ под логаритъма?“

Факт е, че тази „игра с една буква“ - САМОТО Е ФУНКЦИЯ(ако не е много ясно, вижте статията Производна на имплицитно посочена функция). Следователно логаритъмът е външна функция, а "y" е вътрешна функция. И използваме правилото за диференциране на сложна функция :

От лявата страна, като по магия, имаме производна. След това, съгласно правилото за пропорцията, прехвърляме "y" от знаменателя на лявата страна към горната част на дясната страна:

А сега нека си спомним за каква функция „играч“ говорихме по време на диференциацията? Нека да разгледаме състоянието:

Окончателен отговор:

Пример 12

Намерете производната на функция

Това е пример, който можете да решите сами. Примерен дизайн на пример от този тип е в края на урока.

С помощта на логаритмичната производна беше възможно да се реши всеки от примерите № 4-7, друго нещо е, че функциите там са по-прости и може би използването на логаритмичната производна не е много оправдано.

Производна на степенно-експоненциална функция

Все още не сме обмисляли тази функция. Степенно-експоненциална функция е функция, за която степента и основата зависят от "x". Класически пример, който ще ви бъде даден във всеки учебник или лекция:

Как да намерим производната на степенно-експоненциална функция?

Необходимо е да се използва току-що обсъдената техника - логаритмичната производна. Закачаме логаритми от двете страни:

Като правило от дясната страна степента се изважда от под логаритъма:

В резултат от дясната страна имаме произведението на две функции, които ще бъдат диференцирани по стандартната формула .

Намираме производната; за да направим това, поставяме двете части под черти:

Допълнителните действия са прости:

Накрая:

Ако някое преобразуване не е напълно ясно, моля, прочетете внимателно отново обясненията на Пример № 11.

В практическите задачи степенно-експоненциалната функция винаги ще бъде по-сложна от разглеждания лекционен пример.

Пример 13

Намерете производната на функция

Използваме логаритмичната производна.

От дясната страна имаме константа и произведението на два фактора - “x” и “логаритъм от логаритъм x” (друг логаритъм е вложен под логаритъма). Когато диференцирате, както си спомняме, е по-добре незабавно да преместите константата от производния знак, така че да не ви пречи; и, разбира се, прилагаме познатото правило :

Чувствате ли, че има още много време до изпита? Това месец ли е? две? Година? Практиката показва, че студентът се справя най-добре с изпита, ако започне да се подготвя за него предварително. В Единния държавен изпит има много трудни задачи, които пречат на учениците и бъдещите кандидати да получат най-високите резултати. Трябва да се научите да преодолявате тези препятствия и освен това не е трудно да го направите. Трябва да разберете принципа на работа с различни задачи от билети. Тогава няма да има проблеми с новите.

Логаритмите на пръв поглед изглеждат невероятно сложни, но с подробен анализ ситуацията става много по-проста. Ако искате да преминете Единния държавен изпит с най-висок резултат, трябва да разберете въпросната концепция, което предлагаме да направим в тази статия.

Първо, нека разделим тези определения. Какво е логаритъм (log)? Това е индикатор за мощността, на която трябва да се повдигне основата, за да се получи определеното число. Ако не е ясно, нека да разгледаме елементарен пример.

В този случай основата в долната част трябва да се повдигне на втора степен, за да се получи числото 4.

Сега нека разгледаме втората концепция. Производната на функция във всякаква форма е понятие, което характеризира промяната на функция в дадена точка. Това обаче е училищна програма и ако имате проблеми с тези понятия поотделно, струва си да повторите темата.

Производна на логаритъм

В заданията за единен държавен изпит по тази тема можете да дадете няколко задачи като пример. Като начало най-простата логаритмична производна. Необходимо е да се намери производната на следната функция.

Трябва да намерим следващата производна

Има специална формула.

В този случай x=u, log3x=v. Заменяме стойностите от нашата функция във формулата.

Производната на х ще бъде равна на едно. Логаритъмът е малко по-труден. Но ще разберете принципа, ако просто замените стойностите. Припомнете си, че производната на lg x е производната на десетичния логаритъм, а производната на ln x е производната на натуралния логаритъм (на базата на e).

Сега просто включете получените стойности във формулата. Опитайте сами, след което ще проверим отговора.

Какъв може да е проблемът тук за някои? Въведохме понятието натурален логаритъм. Нека поговорим за това и в същото време да разберем как да разрешим проблемите с него. Няма да видите нищо сложно, особено когато разберете принципа на неговото действие. Трябва да свикнете с него, тъй като често се използва в математиката (още повече във висшите учебни заведения).

Производна на натурален логаритъм

В основата си то е производната на логаритъма при основа e (което е ирационално число, което е приблизително 2,7). Всъщност ln е много просто, така че често се използва в математиката като цяло. Всъщност решаването на проблема с него също няма да е проблем. Струва си да запомните, че производната на естествения логаритъм при основа e ще бъде равна на единица, разделена на x. Решението на следния пример ще бъде най-показателно.

Нека си го представим като сложна функция, състояща се от две прости.

Достатъчно е да конвертирате

Търсим производната на u по отношение на x

Да продължим с второто

Използваме метода за решаване на производната на комплексна функция чрез заместване на u=nx.

Какво стана накрая?

Сега нека си спомним какво означава n в този пример? Това е всяко число, което може да се появи пред x в естествения логаритъм. Важно е да разберете, че отговорът не зависи от нея. Заменете каквото искате, отговорът пак ще бъде 1/x.

Както можете да видите, тук няма нищо сложно, просто трябва да разберете принципа за бързо и ефективно решаване на проблеми по тази тема. Сега знаете теорията, остава само да я приложите на практика. Практикувайте решаването на проблеми, за да запомните принципа на тяхното решение за дълго време. Може да не ви трябват тези знания след завършване на училище, но на изпита ще са по-актуални от всякога. Късмет!

Доказателство и извеждане на формули за производната на натурален логаритъм и логаритъм по основа а. Примери за изчисляване на производни на ln 2x, ln 3x и ln nx. Доказателство на формулата за производната на логаритъм от n-ти ред с помощта на метода на математическата индукция.

Вижте също: Логаритъм - свойства, формули, графика
Натурален логаритъм - свойства, формули, графика

Извеждане на формули за производните на натурален логаритъм и логаритъм по основа а

Производната на натурален логаритъм от x е равна на единица, разделена на x:
(1) (ln x)′ =.

Производната на логаритъма по основа a е равна на единица, разделена на променливата x, умножена по натурален логаритъм от a:
(2) (log a x)′ =.

Доказателство

Нека има някакво положително число, което не е равно на единица. Да разгледаме функция, зависеща от променлива x, която е логаритъм спрямо основата:
.
Тази функция е дефинирана в . Нека намерим неговата производна по отношение на променливата x. По дефиниция производната е следната граница:
(3) .

Нека трансформираме този израз, за ​​да го редуцираме до известни математически свойства и правила. За да направим това, трябва да знаем следните факти:
а) Свойства на логаритъма. Ще ни трябват следните формули:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б)Непрекъснатост на логаритъма и свойството на границите за непрекъсната функция:
(7) .
Ето една функция, която има граница и тази граница е положителна.
IN)Значението на втората забележителна граница:
(8) .

Нека приложим тези факти до нашите граници. Първо трансформираме алгебричния израз
.
За целта прилагаме свойства (4) и (5).

.

Нека използваме свойството (7) и втората забележителна граница (8):
.

И накрая, прилагаме свойство (6):
.
Логаритъм към основа дНаречен натурален логаритъм. Той се обозначава, както следва:
.
Тогава ;
.

Така получихме формула (2) за производната на логаритъма.

Производна на натурален логаритъм

Още веднъж записваме формулата за производната на логаритъма по основа а:
.
Тази формула има най-простата форма за натурален логаритъм, за който , . Тогава
(1) .

Поради тази простота натуралният логаритъм се използва много широко в математическия анализ и в други клонове на математиката, свързани с диференциалното смятане. Логаритмичните функции с други основи могат да бъдат изразени чрез натурален логаритъм, като се използва свойство (6):
.

Производната на логаритъма по отношение на основата може да се намери от формула (1), ако извадите константата от знака за диференциация:
.

Други начини за доказване на производната на логаритъм

Тук приемаме, че знаем формулата за производната на експонентата:
(9) .
Тогава можем да изведем формулата за производната на натуралния логаритъм, като се има предвид, че логаритъмът е обратна функция на експоненциала.

Нека докажем формулата за производната на естествения логаритъм, прилагане на формулата за производната на обратната функция:
.
В нашия случай. Обратната функция на естествения логаритъм е експоненциалната:
.
Неговата производна се определя по формула (9). Променливите могат да бъдат обозначени с произволна буква. Във формула (9) заменете променливата x с y:
.
От тогава
.
Тогава
.
Формулата е доказана.

Сега доказваме формулата за производната на натуралния логаритъм, използвайки правила за диференциране на сложни функции. Тъй като функциите и са обратни една на друга, тогава
.
Нека диференцираме това уравнение по отношение на променливата x:
(10) .
Производната на x е равна на едно:
.
Ние кандидатстваме правило за диференциране на сложна функция :
.
Тук . Нека заместим в (10):
.
Оттук
.

Пример

Намерете производни на В 2 пъти, В 3 пътиИ lnnx.

Оригиналните функции имат подобна форма. Следователно ще намерим производната на функцията y = log nx. След това заместваме n = 2 и n = 3. И по този начин получаваме формули за производните на В 2 пътиИ В 3 пъти .

И така, търсим производната на функцията
y = log nx .
Нека си представим тази функция като сложна функция, състояща се от две функции:
1) Функции, зависещи от променлива: ;
2) Функции, зависещи от променлива: .
Тогава оригиналната функция е съставена от функциите и :
.

Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата x:
.
Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата:
.
Ние кандидатстваме формула за производна на сложна функция.
.
Тук го настроихме.

Така открихме:
(11) .
Виждаме, че производната не зависи от n. Този резултат е съвсем естествен, ако преобразуваме оригиналната функция, използвайки формулата за логаритъм на произведението:
.
- това е константа. Производната му е нула. Тогава, съгласно правилото за диференциране на сумата, имаме:
.

; ; .

Производна на логаритъм от модул x

Нека намерим производната на друга много важна функция - натурален логаритъм на модул x:
(12) .

Да разгледаме случая. Тогава функцията изглежда така:
.
Неговата производна се определя по формула (1):
.

Сега нека разгледаме случая. Тогава функцията изглежда така:
,
Където .
Но също така намерихме производната на тази функция в горния пример. Не зависи от n и е равно на
.
Тогава
.

Ние комбинираме тези два случая в една формула:
.

Съответно, за логаритъма с основа а имаме:
.

Производни от по-високи разряди на натурален логаритъм

Помислете за функцията
.
Открихме неговата производна от първи ред:
(13) .

Нека намерим производната от втори ред:
.
Нека намерим производната от трети ред:
.
Нека намерим производната от четвърти ред:
.

Можете да забележите, че производната от n-ти ред има формата:
(14) .
Нека докажем това чрез математическа индукция.

Доказателство

Нека заместим стойността n = 1 във формула (14):
.
Тъй като , тогава когато n = 1 , формула (14) е валидна.

Да приемем, че формула (14) е изпълнена за n = k. Нека докажем, че това означава, че формулата е валидна за n = k + 1 .

Наистина, за n = k имаме:
.
Диференцирайте по отношение на променливата x:

.
Така че имаме:
.
Тази формула съвпада с формула (14) за n = k + 1 . Така от предположението, че формула (14) е валидна за n = k, следва, че формула (14) е валидна за n = k + 1 .

Следователно формула (14) за производна от n-ти ред е валидна за всяко n.

Производни от по-високи порядъци на логаритъм по основа а

За да намерите производната от n-ти ред на логаритъм по основа a, трябва да я изразите чрез натурален логаритъм:
.
Прилагайки формула (14), намираме n-тата производна:
.

Много лесен за запомняне.

Е, нека не отиваме далеч, нека веднага разгледаме обратната функция. Коя функция е обратна на експоненциалната функция? Логаритъм:

В нашия случай основата е числото:

Такъв логаритъм (т.е. логаритъм с основа) се нарича „естествен“ и ние използваме специална нотация за него: пишем вместо това.

На какво е равно? Разбира се, .

Производната на естествения логаритъм също е много проста:

Примери:

1. Намерете производната на функцията.
2. Каква е производната на функцията?

Отговори: Експоненциалният и естественият логаритъм са уникално прости функции от производна гледна точка. Експоненциалните и логаритмичните функции с всяка друга основа ще имат различна производна, която ще анализираме по-късно, след като преминем през правилата за диференциране.

Правила за диференциране

Правила на какво? Пак нов мандат, пак?!...

Диференциацияе процесът на намиране на производната.

Това е всичко. Как иначе можете да наречете този процес с една дума? Не производна... Математиците наричат ​​диференциала същото нарастване на функция при. Този термин идва от латинския differentia - разлика. Тук.

Когато извличаме всички тези правила, ще използваме две функции, например и. Ще ни трябват и формули за техните увеличения:

Има общо 5 правила.

Константата се изважда от знака за производна.

Ако - някакво постоянно число (константа), тогава.

Очевидно това правило работи и за разликата: .

Нека го докажем. Нека бъде или по-просто.

Примери.

Намерете производните на функциите:

1. в точка;
2. в точка;
3. в точка;
4. в точката.

Решения:

1. (производната е една и съща във всички точки, тъй като е линейна функция, помните ли?);

Производно на продукта

Тук всичко е подобно: нека въведем нова функция и да намерим нейното увеличение:

Производна:

Примери:

1. Намерете производните на функциите и;
2. Намерете производната на функцията в точка.

Решения:

Производна на експоненциална функция

Сега знанията ви са достатъчни, за да научите как да намирате производната на всяка експоненциална функция, а не само на експоненти (забравили ли сте вече какво е това?).

И така, къде е някакво число.

Вече знаем производната на функцията, така че нека се опитаме да намалим нашата функция до нова основа:

За целта ще използваме едно просто правило: . Тогава:

Е, проработи. Сега опитайте да намерите производната и не забравяйте, че тази функция е сложна.

Се случи?

Ето, проверете сами:

Формулата се оказа много подобна на производната на експонента: както беше, остава същата, само се появи фактор, който е просто число, но не и променлива.

Примери:
Намерете производните на функциите:

Отговори:

Това е просто число, което не може да се изчисли без калкулатор, тоест не може да се запише в по-прост вид. Затова го оставяме в този вид в отговора.

Имайте предвид, че тук е частното на две функции, така че прилагаме съответното правило за диференциране:

В този пример продуктът на две функции:

Производна на логаритмична функция

Тук е подобно: вече знаете производната на естествения логаритъм:

Следователно, за да намерите произволен логаритъм с различна основа, например:

Трябва да намалим този логаритъм до основата. Как се променя основата на логаритъм? Надявам се, че помните тази формула:

Само сега вместо това ще напишем:

Знаменателят е просто константа (постоянно число, без променлива). Производната се получава много просто:

Производни на експоненциални и логаритмични функции почти никога не се срещат в Единния държавен изпит, но няма да е излишно да ги знаете.

Производна на сложна функция.

Какво е "сложна функция"? Не, това не е логаритъм и не е арктангенс. Тези функции могат да бъдат трудни за разбиране (въпреки че ако намирате логаритъма за труден, прочетете темата „Логаритми“ и ще се оправите), но от математическа гледна точка думата „комплексен“ не означава „труден“.

Представете си малка конвейерна лента: двама души седят и извършват някакви действия с някакви предмети. Например, първият увива шоколадово блокче в обвивка, а вторият го завързва с панделка. Резултатът е съставен обект: шоколадово блокче, увито и завързано с панделка. За да изядете блокче шоколад, трябва да направите обратните стъпки в обратен ред.

Нека създадем подобен математически конвейер: първо ще намерим косинуса на число и след това ще повдигнем на квадрат полученото число. И така, получаваме число (шоколад), аз намирам неговия косинус (обвивка), а след това вие повдигате на квадрат полученото (завързвате го с панделка). Какво стана? функция. Това е пример за сложна функция: когато, за да намерим нейната стойност, извършваме първото действие директно с променливата и след това второ действие с това, което е резултат от първото.

С други думи, сложна функция е функция, чийто аргумент е друга функция: .

За нашия пример,.

Можем лесно да направим същите стъпки в обратен ред: първо го повдигате на квадрат, а аз след това търся косинуса на полученото число: . Лесно е да се досетите, че резултатът почти винаги ще бъде различен. Важна характеристика на сложните функции: когато редът на действията се промени, функцията се променя.

Втори пример: (същото нещо). .

Действието, което извършваме последно, ще бъде извикано "външна" функция, а първо извършеното действие - съотв "вътрешна" функция(това са неофициални имена, използвам ги само за да обясня материала на прост език).

Опитайте се да определите сами коя функция е външна и коя вътрешна:

Отговори:Разделянето на вътрешни и външни функции е много подобно на промяната на променливи: например във функция

1. Какво действие ще извършим първо? Първо, нека изчислим синуса и едва след това го кубираме. Това означава, че това е вътрешна функция, но външна.
   И първоначалната функция е тяхната композиция: .
2. Вътрешен: ; външен: .
   Преглед: .
3. Вътрешен: ; външен: .
   Преглед: .
4. Вътрешен: ; външен: .
   Преглед: .
5. Вътрешен: ; външен: .
   Преглед: .

Променяме променливи и получаваме функция.

Е, сега ще извлечем нашето шоколадово блокче и ще потърсим производната. Процедурата винаги е обратна: първо търсим производната на външната функция, след това умножаваме резултата по производната на вътрешната функция. Във връзка с оригиналния пример изглежда така:

Друг пример:

И така, нека най-накрая формулираме официалното правило:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

Изглежда просто, нали?

Нека проверим с примери:

Решения:

1) Вътрешен: ;

Външен: ;

2) Вътрешен: ;

(Само не се опитвайте да го отрежете досега! Нищо не излиза изпод косинуса, помните ли?)

3) Вътрешен: ;

Външен: ;

Веднага става ясно, че това е сложна функция на три нива: в крайна сметка това вече е сложна функция сама по себе си и ние също извличаме корена от нея, тоест извършваме третото действие (поставете шоколада в обвивка и с панделка в куфарчето). Но няма причина да се страхувате: ние все пак ще „разопаковаме“ тази функция в същия ред, както обикновено: от края.

Тоест, първо диференцираме корена, след това косинуса и едва след това израза в скоби. И след това умножаваме всичко.

В такива случаи е удобно действията да се номерират. Тоест нека си представим това, което знаем. В какъв ред ще извършим действия за изчисляване на стойността на този израз? Да разгледаме един пример:

Колкото по-късно се извърши действието, толкова по-„външна“ ще бъде съответната функция. Последователността на действията е същата като преди:

Тук гнезденето обикновено е 4-степенно. Да определим хода на действие.

1. Радикален израз. .

2. Корен. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Събираме всичко заедно:

ПРОИЗВОДНО. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Производна на функция- отношението на нарастването на функцията към увеличението на аргумента за безкрайно малко увеличение на аргумента:

Основни производни:

Правила за диференциация:

Константата се изважда от знака за производна:

Производна на сумата:

Производно на продукта:

Производна на коефициента:

Производна на сложна функция:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

1. Дефинираме „вътрешната“ функция и намираме нейната производна.
2. Дефинираме „външната“ функция и намираме нейната производна.
3. Умножаваме резултатите от първа и втора точка.