tgx a tenglamaning ildizlari uchun umumiy formulani chiqarish. Dars “Yon tangensi va yoy tangensi. tgx = a, ctgx = a” tenglamalarni yechish. tgx=a tenglamaning umumiy shakldagi yechimi

Ilgari dasturda talabalar yechim haqida tasavvurga ega bo'lishdi trigonometrik tenglamalar, arkkosin va arksinus tushunchalari, cos t = a va sin t = a tenglamalari yechimiga misollar bilan tanishdilar. Ushbu video darsimizda tg x = a va ctg x = a tenglamalarining yechimini ko'rib chiqamiz.

Ushbu mavzuni o'rganishni boshlashda tg x = 3 va tg x = - 3 tenglamalarini ko'rib chiqamiz. Agar tg x = 3 tenglamani grafik yordamida yechisak, y funksiyalar grafiklarining kesishishini ko'ramiz. = tg x va y = 3 ning cheksiz sonli yechimlari bor, bu erda x = x 1 + pk. X 1 qiymati y = tg x va y = 3 funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtasining x koordinatasidir. Muallif arktangens tushunchasini kiritadi: arctg 3 - tg si 3 ga teng bo'lgan son va bu raqam ga tegishli. -p/2 dan p/2 gacha bo'lgan interval. Arktangens tushunchasidan foydalanib, tan x = 3 tenglamaning yechimini x = arktan 3 + pk shaklida yozish mumkin.

Analogiya bo'yicha tg x \u003d - 3 tenglama echiladi.Y \u003d tg x va y \u003d - 3 funktsiyalarining tuzilgan grafiklariga ko'ra, grafiklarning kesishish nuqtalari va shuning uchun echimlar ekanligini ko'rish mumkin. tenglamalardan x \u003d x 2 + p k bo'ladi. Yoy tangensidan foydalanib, yechimni x = arktan (- 3) + pk shaklida yozish mumkin. Quyidagi rasmda biz arctg (- 3) = - arctg 3 ekanligini ko'ramiz.

Yoy tangensining umumiy ta'rifi quyidagicha: a ning yoy tangensi -p / 2 dan p / 2 gacha bo'lgan oraliqdagi shunday son bo'lib, uning tangensi a bo'ladi. U holda tg x = a tenglamaning yechimi x = arctg a + p k bo'ladi.

Muallif misol keltiradi 1. Arctg ifodasining yechimini toping.. Belgilanishini kiritamiz: sonning yoy tangensi x, u holda tg x berilgan songa teng bo'ladi, bunda x -p/ dan bo'lgan segmentga tegishli. 2 dan p/2 gacha. Oldingi mavzulardagi misollarda bo'lgani kabi, biz qiymatlar jadvalidan foydalanamiz. Ushbu jadvalga ko'ra, bu sonning tangensi x = p/3 qiymatiga mos keladi. Biz p / 3 ga teng berilgan sonning yoy tangensi tenglamasining yechimini yozamiz, p / 3 ham -p / 2 dan p / 2 gacha bo'lgan intervalga tegishli.

2-misol – manfiy sonning yoy tangensini hisoblang. arctg (- a) = - arctg a tengligidan foydalanib, x qiymatini kiriting. 2-misolga o'xshab -p/2 dan p/2 gacha bo'lgan intervalga tegishli bo'lgan x qiymatini yozamiz. Qiymatlar jadvaliga ko'ra, biz x = p/3 ekanligini topamiz, shuning uchun -- tg x = - p/3. Tenglamaning javobi - p/3.

3-misolni ko'rib chiqaylik. tan x = 1 tenglamasini yechamiz. X = arctan 1 + p k ekanligini yozamiz. Jadvalda tg 1 qiymati x \u003d p / 4 qiymatiga mos keladi, shuning uchun arctg 1 \u003d p / 4. Ushbu qiymatni asl formula x bilan almashtiring va javobni yozing x = p/4 + p k.

4-misol: tg x = - ni hisoblang 4.1. Bu holda, x = arctg (- 4.1) + p k. Chunki bu holda arctg qiymatini topish mumkin emas, javob x = arctg (- 4.1) + pk ko'rinishida bo'ladi.

5-misolda tg x > 1 tengsizlikning yechimi ko‘rib chiqiladi. Uni yechish uchun y = tg x va y = 1 funksiyalarning grafiklarini chizamiz. Rasmda ko‘rinib turibdiki, bu grafiklar x = p nuqtalarda kesishadi. /4 + pk. Chunki bu holda, tg x > 1, grafikda biz y = 1 grafigidan yuqori bo'lgan tangentoidning maydonini tanlaymiz, bu erda x p/4 dan p/2 gacha bo'lgan intervalga tegishli. Javobni p/4 + pk deb yozamiz< x < π/2 + πk.

Keyinchalik, ctg x = a tenglamasini ko'rib chiqing. Rasmda ko'p kesishish nuqtalariga ega bo'lgan y = ctg x, y = a, y = - a funksiyalarning grafiklari ko'rsatilgan. Yechimlarni x = x 1 + p k shaklida yozish mumkin, bu erda x 1 = arcctg a va x = x 2 + p k, bu erda x 2 = arcctg (- a). Ta'kidlanishicha, x 2 \u003d p - x 1. Bu arcctg (- a) = p - arcctg a tengligini bildiradi. Keyinchalik, yoy kotangensining ta'rifi berilgan: a ning yoy kotangensi 0 dan p gacha bo'lgan oraliqdagi shunday son bo'lib, uning kotangenti a ga teng. stg x = a tenglamaning yechimi quyidagicha yoziladi: x = arcctg a + pk.

Videodars yakunida yana bir muhim xulosa chiqariladi - ctg x = a ifodasini tg x = 1/a shaklida yozish mumkin, agar a noga teng bo'lmasa.

MATN TASHHRI:

tg x \u003d 3 va tg x \u003d - 3 tenglamalarining yechimini ko'rib chiqing. Birinchi tenglamani grafik tarzda yechish, y \u003d tg x va y \u003d 3 funktsiyalarining grafiklari cheksiz ko'p kesishish nuqtalariga ega ekanligini ko'ramiz. shaklda yozadigan abscissalar

x \u003d x 1 + pk, bu erda x 1 - y \u003d 3 chizig'ining tangentoidning asosiy novdasi bilan kesishish nuqtasining abtsissasi (1-rasm), buning uchun belgi ixtiro qilingan.

arktan 3 (uchning yoy tangensi).

Arctg 3 ni qanday tushunish mumkin?

Bu tangensi 3 bo'lgan va bu raqam (-;) oralig'iga tegishli bo'lgan sondir. Keyin tg x \u003d 3 tenglamasining barcha ildizlarini x \u003d arctan 3 + pk formulasi bilan yozish mumkin.

Xuddi shunday, tg x \u003d - 3 tenglamasining yechimi x \u003d x 2 + pk shaklida yozilishi mumkin, bu erda x 2 - y \u003d - 3 chiziqning asosiy novdasi bilan kesishish nuqtasining abtsissasi. tangentoid (1-rasm), buning uchun arctg (- 3) belgisi (arct tangensi minus uchta). Keyin tenglamaning barcha ildizlarini quyidagi formula bo'yicha yozish mumkin: x \u003d arctg (-3) + pk. Rasmda arctg(- 3)= - arctg 3 ekanligini ko'rsatadi.

Keling, yoy tangensining ta'rifini tuzamiz. Yoy tangensi a - bu (-;) oraliqdagi shunday son, uning tangensi a ga teng.

Tenglik tez-tez ishlatiladi: arctg(-a) = -arctg a, bu har qanday a uchun amal qiladi.

Yoy tangensining ta'rifini bilib, tenglamaning yechimi haqida umumiy xulosa chiqaramiz

tg x \u003d a: tg x \u003d a tenglamasi x \u003d arctg a + pk yechimiga ega.

Misollarni ko'rib chiqing.

O'RNAK 1. arctg ni hisoblang.

Yechim. arctg = x, keyin tgx = va xs (-;) bo'lsin. Qiymatlar jadvalini ko'rsating, shuning uchun x =, chunki tg = va s (-;).

Shunday qilib, arctg =.

2-MIsol Arktan (-) ni hisoblang.

Yechim. Arctg (- a) \u003d - arctg a tengligidan foydalanib, biz yozamiz:

arctg(-) = - arctg . - arctg = x, keyin - tgx = va xs (-;) bo'lsin. Demak, x =, chunki tg = va s (- ;). Qiymatlar jadvalini ko'rsatish

Shunday qilib - arctg=- tgx= - .

O'RNAK 3. tgx = 1 tenglamani yeching.

1. Yechim formulasini yozamiz: x = arctg 1 + pk.

2. Keling, qiymatni topamiz yoy tangensi

chunki tg = . Qiymatlar jadvalini ko'rsatish

Shunday qilib, arctg1=.

3. Topilgan qiymatni yechim formulasiga qo‘ying:

O'RNAK 4. tgx \u003d - 4.1 tenglamasini yeching (tangens x minus to'rt nuqta o'ndan biriga teng).

Yechim. Yechim formulasini yozamiz: x \u003d arctg (- 4.1) + pk.

Biz yoy tangensining qiymatini hisoblay olmaymiz, shuning uchun biz tenglamaning yechimini qanday bo'lsa, shunday qoldiramiz.

MISOL 5. tgx 1 tengsizlikni yeching.

Yechim. Keling, buni grafik tarzda qilaylik.

1. Keling, tangentoid quraylik

y \u003d tgx va to'g'ri chiziq y \u003d 1 (2-rasm). Ular x = + p ko'rinishdagi nuqtalarda kesishadi.

2. Tangentoidning asosiy novdasi y \u003d 1 to'g'ri chiziq ustida joylashgan x o'qi oralig'ini tanlang, chunki tgx 1 shartiga ko'ra. Bu interval (;).

3. Funksiyaning davriyligidan foydalanamiz.

Xususiyat 2. y \u003d tg x - asosiy davri p bo'lgan davriy funktsiya.

Y \u003d tgx funktsiyasining davriyligini hisobga olib, biz javob yozamiz:

(;). Javobni ikki tomonlama tengsizlik sifatida yozish mumkin:

Keling, ctg x \u003d a tenglamasiga o'tamiz. Musbat va manfiy a uchun tenglama yechimining grafik tasvirini keltiramiz (3-rasm).

y \u003d ctg x va y \u003d a va funksiyalarning grafiklari

y=ctg x va y=-a

cheksiz ko'p umumiy nuqtalarga ega, ularning abscissalari quyidagi shaklga ega:

x \u003d x 1 +, bu erda x 1 - y \u003d a chizig'ining tangentoidning asosiy novdasi bilan kesishish nuqtasining abtsissasi va

x 1 = arcctg a;

x \u003d x 2 +, bu erda x 2 - chiziqning kesishish nuqtasining abtsissasi

y \u003d - lekin tangentoidning asosiy novdasi va x 2 \u003d arcstg (- a) bilan.

E'tibor bering, x 2 \u003d p - x 1. Shunday qilib, biz muhim tenglamani yozamiz:

arcctg (-a) = p - arcctg a.

Ta'rifni shakllantiramiz: a ning yoy kotangensi kotangensi a ga teng bo'lgan (0; p) oraliqdagi shunday sondir.

ctg x \u003d a tenglamasining yechimi quyidagicha yoziladi: x \u003d arcstg a +.

E'tibor bering, ctg x = a tenglamani shaklga aylantirish mumkin

tg x =, a = 0 hollari bundan mustasno.

Muammoingizni batafsil hal qilish uchun buyurtma berishingiz mumkin !!!

Trigonometrik funksiya (`sin x, cos x, tg x` yoki `ctg x`) belgisi ostida noma`lumni o`z ichiga olgan tenglik trigonometrik tenglama deyiladi va biz ularning formulalarini keyinroq ko`rib chiqamiz.

Eng oddiy tenglamalar `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, bu yerda `x` topiladigan burchak, `a` istalgan son. Keling, ularning har biri uchun ildiz formulalarini yozamiz.

1. `sin x=a` tenglamasi.

`|a|>1` uchun uning yechimlari yo'q.

`|a| bilan \leq 1` mavjud cheksiz son yechimlar.

Ildiz formulasi: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. `cos x=a` tenglama

`|a|>1` uchun - sinus misolida bo'lgani kabi, haqiqiy sonlar orasida yechim yo'q.

`|a| bilan \leq 1` cheksiz sonli yechimlarga ega.

Ildiz formulasi: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Grafiklarda sinus va kosinus uchun maxsus holatlar.

3. `tg x=a` tenglama

Har qanday `a` qiymatlari uchun cheksiz ko'p echimlarga ega.

Ildiz formulasi: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` tenglama

Shuningdek, u "a" ning har qanday qiymatlari uchun cheksiz ko'p echimlarga ega.

Ildiz formulasi: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Jadvaldagi trigonometrik tenglamalarning ildizlari uchun formulalar

Sinus uchun:
Kosinus uchun:
Tangens va kotangens uchun:
Teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan tenglamalarni yechish formulalari:

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari

Har qanday trigonometrik tenglamaning yechimi ikki bosqichdan iborat:

• uni eng oddiyga aylantirish uchun foydalanish;
• olingan oddiy tenglamani ildizlar va jadvallar uchun yuqoridagi formulalar yordamida yeching.

Keling, misollar yordamida hal qilishning asosiy usullarini ko'rib chiqaylik.

algebraik usul.

Bu usulda o'zgaruvchini almashtirish va uni tenglikka almashtirish amalga oshiriladi.

Misol. Tenglamani yeching: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

almashtiring: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, keyin `2y^2-3y+1=0`,

biz ildizlarni topamiz: `y_1=1, y_2=1/2`, undan ikkita holat kelib chiqadi:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Javob: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizatsiya.

Misol. Tenglamani yeching: `sin x+cos x=1`.

Yechim. Tenglikning barcha shartlarini chapga suring: `sin x+cos x-1=0`. dan foydalanib, biz chap tomonni aylantiramiz va faktorlarga ajratamiz:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Javob: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Bir jinsli tenglamaga keltirish

Birinchidan, ushbu trigonometrik tenglamani ikkita shakldan biriga keltirishingiz kerak:

`a sin x+b cos x=0` (birinchi darajali bir jinsli tenglama) yoki `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ikkinchi darajali bir jinsli tenglama).

Keyin ikkala qismni birinchi holat uchun "cos x \ne 0" ga, ikkinchisi uchun "cos^2 x \ne 0" ga ajrating. Biz `tg x` uchun tenglamalarni olamiz: `a tg x+b=0` va `a tg^2 x + b tg x +c =0`, ularni ma'lum usullar yordamida yechish kerak.

Misol. Tenglamani yeching: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Yechim. O'ng tomonni `1=sin^2 x+cos^2 x` shaklida yozamiz:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Bu ikkinchi darajali bir hil trigonometrik tenglama bo'lib, uning chap va o'ng tomonlarini `cos^2 x \ne 0` ga bo'lib, biz quyidagilarni olamiz:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. `tg x=t` almashtirishni kiritamiz, natijada `t^2 + t - 2=0`. Bu tenglamaning ildizlari `t_1=-2` va `t_2=1`. Keyin:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Javob. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Yarim burchakka o'ting

Misol. Tenglamani yeching: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Yechim. Ikki burchakli formulalarni qo‘llagan holda, natija: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Yuqorida tavsiflangan algebraik usulni qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Javob. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Yordamchi burchakni kiritish

`a sin x + b cos x =c` trigonometrik tenglamada a,b,c koeffitsientlar va x o'zgaruvchi bo'lsa, ikkala qismni `sqrt (a^2+b^2)` ga ajratamiz:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Chap tarafdagi koeffitsientlar sinus va kosinus xossalariga ega, yaʼni kvadratlari yigʻindisi 1 ga teng, moduli esa 1 dan katta emas. Ularni quyidagicha belgilang: `\frac a(sqrt (a^2+) b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, keyin:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Keling, quyidagi misolni batafsil ko'rib chiqaylik:

Misol. Tenglamani yeching: `3 sin x+4 cos x=2`.

Yechim. Tenglamaning ikkala tomonini `sqrt (3^2+4^2)` ​​ga boʻlsak, biz quyidagilarni olamiz:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` ni belgilang. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` bo`lgani uchun yordamchi burchak sifatida `\varphi=arcsin 4/5` ni olamiz. Keyin tengligimizni quyidagi shaklda yozamiz:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Sinus uchun burchaklar yig'indisi formulasini qo'llagan holda, biz tengligimizni quyidagi shaklda yozamiz:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Javob. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Kasr-ratsional trigonometrik tenglamalar

Bu kasrlar bilan tenglik bo'lib, ularning soni va maxrajida trigonometrik funktsiyalar mavjud.

Misol. Tenglamani yeching. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Yechim. Tenglamaning o'ng tomonini `(1+cos x)` ga ko'paytiring va bo'ling. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Maxraj nolga teng bo'lmasligini hisobga olsak, Z`da `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ni olamiz.

Kasr sonini nolga tenglashtiring: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Keyin `sin x=0` yoki `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` ekanligini hisobga olsak, yechimlar `x=2\pi n, n \da Z` va `x=\pi /2+2\pi n` bo`ladi. , `n \in Z`.

Javob. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometriya, xususan, trigonometrik tenglamalar geometriya, fizika va texnikaning deyarli barcha sohalarida qo'llaniladi. O'qish 10-sinfda boshlanadi, imtihon uchun har doim vazifalar mavjud, shuning uchun trigonometrik tenglamalarning barcha formulalarini eslab qolishga harakat qiling - ular sizga albatta yordam beradi!

Biroq, ularni yodlashning hojati yo'q, asosiysi, mohiyatini tushunish va xulosa chiqarishdir. Bu ko'rinadigan darajada qiyin emas. Videoni tomosha qilib o'zingiz ko'ring.

Muvaffaqiyatli hal qilish uchun trigonometrik tenglamalar foydalanish uchun qulay kamaytirish usuli ilgari hal qilingan muammolarga. Keling, ushbu usulning mohiyati nimada ekanligini ko'rib chiqaylik?

Taklif etilayotgan har qanday masalada siz avval hal qilingan masalani ko'rishingiz kerak, so'ngra ketma-ket ekvivalent o'zgartirishlar yordamida sizga berilgan masalani oddiyroq muammoga qisqartirishga harakat qiling.

Shunday qilib, trigonometrik tenglamalarni echishda ular odatda ekvivalent tenglamalarning qandaydir chekli ketma-ketligini tashkil qiladi, ularning oxirgi bo'g'ini aniq yechimga ega bo'lgan tenglamadir. Shuni yodda tutish kerakki, agar eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish ko'nikmalari shakllanmasa, unda murakkabroq tenglamalarni yechish qiyin va samarasiz bo'ladi.

Bundan tashqari, trigonometrik tenglamalarni echishda siz bir nechta echimlarning mavjudligini hech qachon unutmasligingiz kerak.

1-misol. Cos x = -1/2 oraliqda tenglamaning ildizlari sonini toping.

Yechim:

men yo'l. y = cos x va y = -1/2 funksiyalarning grafiklarini chizamiz va oraliqdagi ularning umumiy nuqtalari sonini topamiz (1-rasm).

Funktsiyalar grafiklari oraliqda ikkita umumiy nuqtaga ega bo'lganligi sababli, tenglama bu oraliqda ikkita ildizni o'z ichiga oladi.

II yo'l. Trigonometrik aylana yordamida (2-rasm) cos x = -1/2 bo'lgan intervalga tegishli nuqtalar sonini aniqlaymiz. Rasmda tenglamaning ikkita ildizi borligi ko'rsatilgan.

III yo'l. Trigonometrik tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanib, cos x = -1/2 tenglamani yechamiz.

x = ± arccos (-1/2) + 2pk, k - butun son (k € Z);

x = ± (p – arccos 1/2) + 2pk, k - butun son (k € Z);

x = ± (p – p/3) + 2pk, k butun son (k ∈ Z);

x = ± 2p/3 + 2pk, k - butun son (k ∈ Z).

2p/3 va -2p/3 + 2p ildizlari intervalga tegishli, k butun son. Shunday qilib, tenglama berilgan oraliqda ikkita ildizga ega.

Javob: 2.

Kelajakda trigonometrik tenglamalar taklif qilingan usullardan biri bilan yechiladi, bu ko'p hollarda boshqa usullardan foydalanishni istisno qilmaydi.

2-misol. [-2p oraliqda tg (x + p/4) = 1 tenglama yechimlari sonini toping; 2p].

Yechim:

Trigonometrik tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

x + p/4 = arctan 1 + pk, k - butun son (k € Z);

x + p/4 = p/4 + pk, k - butun son (k € Z);

x = pk, k - butun son (k € Z);

Interval [-2p; 2p] -2p raqamlariga tegishli; -p; 0; p; 2p. Demak, tenglama berilgan oraliqda beshta ildizga ega.

Javob: 5.

3-misol. [-p oraliqda cos 2 x + sin x cos x = 1 tenglamaning ildizlari sonini toping; p].

Yechim:

1 = sin 2 x + cos 2 x (asosiy trigonometrik identifikatsiya) bo'lgani uchun dastlabki tenglama quyidagicha bo'ladi:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x cos x \u003d 0;

sin x(sin x - cos x) = 0. Ko'paytma nolga teng, ya'ni omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lishi kerak, shuning uchun:

sin x \u003d 0 yoki sin x - cos x \u003d 0.

Cos x = 0 bo'lgan o'zgaruvchining qiymati ikkinchi tenglamaning ildizlari bo'lmagani uchun (bir xil sonning sinusi va kosinasi bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lishi mumkin emas), biz ikkinchi tenglamaning ikkala qismini ajratamiz. cos x bo'yicha tenglama:

sin x = 0 yoki sin x / cos x - 1 = 0.

Ikkinchi tenglamada biz tg x = sin x / cos x ekanligini ishlatamiz, keyin:

sin x = 0 yoki tg x = 1. Formulalar yordamida biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

x = pk yoki x = p/4 + pk, k butun son (k ∈ Z).

Ildizlarning birinchi qatoridan [-p oraliqgacha; p] -p raqamlariga tegishli; 0; p. Ikkinchi qatordan: (p/4 – p) va p/4.

Shunday qilib, dastlabki tenglamaning beshta ildizi [-p oraliqda; p].

Javob: 5.

4-misol. [-p oraliqda tg 2 x + stg 2 x + 3tg x + 3stgx + 4 = 0 tenglamaning ildizlari yig'indisini toping; 1.1p].

Yechim:

Keling, tenglamani quyidagi shaklda qayta yozamiz:

tg 2 x + stg 2 x + 3(tg x + stgx) + 4 = 0 va o'zgartirish kiriting.

tg x + stgx = a bo'lsin. Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz:

(tg x + stg x) 2 = a 2 . Qavslarni kengaytiramiz:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2.

tg x stgx \u003d 1 bo'lgani uchun, keyin tg 2 x + 2 + stg 2 x \u003d a 2, ya'ni

tg 2 x + stg 2 x \u003d a 2 - 2.

Endi asl tenglama quyidagicha ko'rinadi:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Vyeta teoremasidan foydalanib, a = -1 yoki a = -2 ni olamiz.

Teskari almashtirishni amalga oshirsak, bizda:

tg x + stgx = -1 yoki tg x + stgx = -2. Olingan tenglamalarni yechamiz.

tgx + 1/tgx = -1 yoki tgx + 1/tgx = -2.

Ikki o'zaro o'zaro sonning xususiyatiga ko'ra, biz birinchi tenglamaning ildizlari yo'qligini aniqlaymiz va ikkinchi tenglamadan bizda:

tg x = -1, ya'ni. x = -p/4 + p k, k butun son (k ∈ Z).

Interval [-p; 1,1p] ildizlarga tegishli: -p/4; -p/4 + p. Ularning yig'indisi:

-p/4 + (-p/4 + p) = -p/2 + p = p/2.

Javob: p/2.

5-misol. [-p oraliqda sin 3x + sin x = sin 2x tenglama ildizlarining o'rtacha arifmetik qiymatini toping; 0,5p].

Yechim:

Biz sin a + sin b = 2sin ((a + b)/2) cos ((a - b)/2) formulasidan foydalanamiz, keyin

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x va tenglama shunday bo‘ladi.

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Qavslar ichidan sin 2x umumiy omilini chiqaramiz.

sin 2x(2cos x - 1) = 0. Olingan tenglamani yechamiz:

sin 2x \u003d 0 yoki 2cos x - 1 \u003d 0;

sin 2x = 0 yoki cos x = 1/2;

2x = pk yoki x = ±p/3 + 2pk, k butun son (k ∈ Z).

Shunday qilib, bizda ildiz bor

x = pk/2, x = p/3 + 2pk, x = -p/3 + 2pk, k butun son (k ∈ Z).

Interval [-p; 0,5p] -p ildizlarga tegishli; -p/2; 0; p/2 (ildizlarning birinchi seriyasidan); p/3 (ikkinchi seriyadan); -p/3 (uchinchi seriyadan). Ularning o'rtacha arifmetik qiymati:

(-p - p/2 + 0 + p/2 + p/3 - p/3)/6 = -p/6.

Javob: -p/6.

6-misol. [-1,25p oraliqda sin x + cos x = 0 tenglamaning ildizlari sonini toping; 2p].

Yechim:

Bu tenglama birinchi darajali bir jinsli tenglamadir. Uning ikkala qismini cosx ga bo'ling (cos x = 0 bo'lgan o'zgaruvchining qiymati bu tenglamaning ildizi emas, chunki bir xil sonning sinusi va kosinasi bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lishi mumkin emas). Asl tenglama quyidagicha ko'rinadi:

x = -p/4 + p k, k butun son (k ∈ Z).

Bo'shliq [-1,25p; 2p] ildizlari -p/4; (-p/4 + p); va (-p/4 + 2p).

Shunday qilib, tenglamaning uchta ildizi berilgan intervalga tegishli.

Javob: 3.

Eng muhim narsani qilishni o'rganing - muammoni hal qilish rejasini aniq taqdim eting, shunda har qanday trigonometrik tenglama sizning elkangizda bo'ladi.

Savollaringiz bormi? Trigonometrik tenglamalarni yechishni bilmayapsizmi?
Repetitor yordamini olish uchun - ro'yxatdan o'ting.

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

Bu darsda har qanday a uchun yoy tangensi va tg x = a ko’rinishdagi tenglamalar yechimini o’rganishni davom ettiramiz. Dars boshida biz tenglamani jadval qiymati bilan yechamiz va yechimni grafikda, keyin esa aylanada tasvirlaymiz. Keyin tgx = a tenglamani umumiy shaklda yechamiz va javobning umumiy formulasini olamiz. Biz grafik va aylana bo'yicha hisob-kitoblarni tasvirlab beramiz va ko'rib chiqamiz turli shakllar javob. Dars oxirida biz diagramma va doiradagi echimlarni tasvirlash bilan bir nechta muammolarni hal qilamiz.

Mavzu: Trigonometrik tenglamalar

Dars: Arktangens va tgx=a tenglamani yechish (davomi)

1. Dars mavzusi, kirish

Ushbu darsda biz har qanday real uchun tenglamaning yechimini ko'rib chiqamiz

2. tgx=√3 tenglamaning yechimi

1-topshiriq. Tenglamani yeching

Funksiya grafiklaridan foydalanib yechim topamiz (1-rasm).

Intervalni ko'rib chiqing Ushbu intervalda funktsiya monotonikdir, ya'ni unga funktsiyaning faqat bitta qiymatida erishiladi.

Javob:

Xuddi shu tenglamani sonli aylana yordamida yechamiz (2-rasm).

Javob:

3. tgx=a tenglamani umumiy shaklda yechish

Tenglamani umumiy shaklda yechamiz (3-rasm).

Intervalda tenglama yagona yechimga ega

Eng kichik ijobiy davr

Raqamli aylanada tasvirlaymiz (4-rasm).

4. Muammoni hal qilish

2-topshiriq. Tenglamani yeching

Keling, o'zgaruvchini o'zgartiraylik

Vazifa 3. Tizimni yeching:

Yechim (5-rasm):

Nuqtada qiymat shuning uchun tizimning yechimi faqat nuqtadir

Javob:

4-topshiriq. Tenglamani yeching

O'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli bilan hal qilaylik:

Masala 5. Tenglamaning oraliqdagi yechimlari sonini toping

Masalani grafik yordamida yechamiz (6-rasm).

Tenglama berilgan oraliqda uchta yechimga ega.

Biz raqamli doirada tasvirlaymiz (7-rasm), garchi bu grafikdagidek aniq bo'lmasa-da.

Javob: Uchta yechim.

5. Xulosa, xulosa

Biz har qanday real uchun tenglamani yoy tangensi tushunchasidan foydalanib yechdik. Keyingi darsda yoy tangensi tushunchasi bilan tanishamiz.

Adabiyotlar ro'yxati

1. Algebra va tahlil boshlanishi, 10-sinf (ikki qismda). uchun o'quv qo'llanma ta'lim muassasalari (profil darajasi) tahrir. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009 yil.

2. Algebra va tahlil boshlanishi, 10-sinf (ikki qismda). Ta'lim muassasalari uchun topshiriqlar kitobi (profil darajasi), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. 10-sinf uchun algebra va matematik tahlil ( Qo'llanma matematikani chuqur o'rganadigan maktablar va sinflar o'quvchilari uchun).-M .: Ta'lim, 1996 yil.

4. Galitskiy M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Algebra va matematik tahlilni chuqur o'rganish.-M.: Ta'lim, 1997 y.

5. Texnika oliy o‘quv yurtlariga abituriyentlar uchun matematika fanidan topshiriqlar to‘plami (M.I.Skanavi tahriri ostida).-M.: Oliy maktab, 1992 y.

6. Merzlyak A. G., Polonskiy V. B., Yakir M. S. Algebraik simulyator.-K.: A. S. K., 1997 y.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Algebradan vazifalar va tahlilning boshlanishi (umumiy ta'lim muassasalarining 10-11-sinf o'quvchilari uchun qo'llanma).- M .: Ta'lim, 2003 y.

8. A. P. Karp, Algebra va tahlil tamoyillaridan masalalar to‘plami: Proc. 10-11 hujayra uchun ruxsat. chuqur bilan o'rganish matematika.-M.: Ta'lim, 2006.

Uy vazifasi

Algebra va tahlilning boshlanishi, 10-sinf (ikki qismdan iborat). Ta'lim muassasalari uchun topshiriqlar kitobi (profil darajasi), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Qo'shimcha veb-resurslar

1. Matematika.

2. Internet portal muammolari. ru.

3. Ta'lim portali imtihonlarga tayyorlanish uchun.