Y sin x ortishi eng katta qiymatni oladi. y = sin x, y = cos x, y = mf(x), y = f(kx), y = tg x, y = ctg x funksiyalar. Mustaqil hal qilish uchun sinus muammolari

Bu darsda y = sin x funksiyasi, uning asosiy xossalari va grafigini batafsil ko'rib chiqamiz. Dars boshida koordinata aylanasidagi y = sin t trigonometrik funksiyaning ta rifini beramiz va aylana va chiziqdagi funksiya grafigini ko rib chiqamiz. Grafikda bu funksiyaning davriyligini ko'rsatamiz va funksiyaning asosiy xossalarini ko'rib chiqamiz. Dars oxirida funksiya grafigi va uning xossalari yordamida bir nechta oddiy masalalarni yechamiz.

Mavzu: Trigonometrik funksiyalar

Dars: y=sinx funksiyasi, uning asosiy xossalari va grafigi

Funktsiyani ko'rib chiqishda har bir argument qiymatini bitta funktsiya qiymati bilan bog'lash muhimdir. Bu yozishmalar qonuni va funksiya deyiladi.

uchun yozishmalar qonunini aniqlaymiz.

Har qanday haqiqiy son birlik aylanasining bitta nuqtasiga to'g'ri keladi Nuqta bitta ordinataga ega bo'lib, u sonning sinusi deb ataladi (1-rasm).

Har bir argument qiymati bitta funktsiya qiymati bilan bog'langan.

Aniq xususiyatlar sinus ta'rifidan kelib chiqadi.

Rasm shuni ko'rsatadi chunki - birlik aylanasidagi nuqtaning ordinatasi.

Funktsiya grafigini ko'rib chiqing. Keling, argumentning geometrik talqinini eslaylik. Argument radianlarda o'lchanadigan markaziy burchakdir. O'q bo'ylab biz radianlarda haqiqiy sonlar yoki burchaklarni, eksa bo'ylab funktsiyaning mos keladigan qiymatlarini chizamiz.

Masalan, birlik aylanasidagi burchak grafikdagi nuqtaga mos keladi (2-rasm).

Biz sohada funktsiyaning grafigini oldik, lekin sinus davrini bilib, biz butun ta'rif sohasi bo'yicha funktsiya grafigini tasvirlashimiz mumkin (3-rasm).

Funktsiyaning asosiy davri - Bu grafikni segmentda olish va keyin butun ta'rif sohasi bo'ylab davom ettirish mumkinligini anglatadi.

Funktsiyaning xususiyatlarini ko'rib chiqing:

1) Ta'rif doirasi:

2) qiymatlar diapazoni:

3) toq funksiya:

4) Eng kichik ijobiy davr:

5) Grafikning abscissa o'qi bilan kesishish nuqtalarining koordinatalari:

6) Grafikning ordinata o'qi bilan kesishgan nuqtasining koordinatalari:

7) Funktsiya ijobiy qiymatlarni qabul qiladigan intervallar:

8) Funksiya manfiy qiymatlarni qabul qiladigan intervallar:

9) ortib borayotgan intervallar:

10) Kamaytirish oraliqlari:

11) Minimal ball:

12) Minimal funktsiyalar:

13) Maksimal ball:

14) Maksimal funksiyalar:

Biz funksiyaning xossalarini va uning grafigini ko‘rib chiqdik. Xususiyatlar masalalarni yechishda qayta-qayta ishlatiladi.

Ma'lumotnomalar

1. Algebra va tahlil boshlanishi, 10-sinf (ikki qismda). uchun o'quv qo'llanma ta'lim muassasalari (profil darajasi) tahrir. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009 yil.

2. Algebra va tahlil boshlanishi, 10-sinf (ikki qismda). Ta'lim muassasalari uchun muammoli kitob (profil darajasi), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. 10-sinf uchun algebra va hisob ( o'quv qo'llanma matematikani chuqur o'rganadigan maktablar va sinflar o'quvchilari uchun).-M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitskiy M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebra va matematik analizni chuqur o'rganish.-M.: Ta'lim, 1997 y.

5. Oliy oʻquv yurtlariga abituriyentlar uchun matematikadan masalalar toʻplami (M.I.Skanavi tahriri - M.: Oliy maktab, 1992 y.).

6. Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir M.S. Algebraik simulyator.-K.: A.S.K., 1997 y.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebra va tahlil tamoyillari bo'yicha muammolar (umumiy ta'lim muassasalarining 10-11-sinf o'quvchilari uchun qo'llanma - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Algebra va tahlil tamoyillari bo'yicha masalalar to'plami: darslik. 10-11 sinflar uchun nafaqa. chuqurlik bilan o'rgangan Matematika.-M.: Ta'lim, 2006 y.

Uy vazifasi

Algebra va tahlil boshlanishi, 10-sinf (ikki qismda). Ta'lim muassasalari uchun muammoli kitob (profil darajasi), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007 yil.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Qo'shimcha veb-resurslar

3. Ta'lim portali imtihonlarga tayyorgarlik ko'rish ().

Biz bunday xatti-harakatni topdik trigonometrik funktsiyalar, va funktsiyalari y = sin x ayniqsa, butun son qatorida (yoki argumentning barcha qiymatlari uchun X) oraliqdagi xatti-harakati bilan to'liq aniqlanadi 0 < X < π / 2 .

Shuning uchun, birinchi navbatda, biz funktsiyani chizamiz y = sin x aynan shu oraliqda.

Funktsiyamiz qiymatlarining quyidagi jadvalini tuzamiz;

Koordinata tekisligidagi mos nuqtalarni belgilash va ularni silliq chiziq bilan bog'lash orqali biz rasmda ko'rsatilgan egri chiziqni olamiz.

Olingan egri chiziqni funksiya qiymatlari jadvalini tuzmasdan ham geometrik tarzda qurish mumkin y = sin x .

1. Radiusi 1 bo'lgan aylananing birinchi choragini 8 ta teng qismga bo'ling.

2.Doiraning birinchi choragi 0 dan burchaklarga to'g'ri keladi π / 2 . Shuning uchun, eksa bo'yicha X Keling, bir segmentni olib, uni 8 ta teng qismga ajratamiz.

3. To'g'ri chiziqlar chizamiz, parallel o'qlar X, va bo'linish nuqtalaridan biz gorizontal chiziqlar bilan kesishguncha perpendikulyarlarni quramiz.

4. Kesishish nuqtalarini silliq chiziq bilan ulang.

Endi intervalni ko'rib chiqaylik π / 2 < X < π .
Har bir argument qiymati X bu oraliqdan quyidagicha ifodalanishi mumkin

x = π / 2 + φ

Qayerda 0 < φ < π / 2 . Kamaytirish formulalari bo'yicha

gunoh( π / 2 + φ ) = cos φ = gunoh ( π / 2 - φ ).

Eksa nuqtalari X abscissalar bilan π / 2 + φ Va π / 2 - φ eksa nuqtasi bo'yicha bir-biriga simmetrik X abscissa bilan π / 2 , va bu nuqtalardagi sinuslar bir xil. Bu funksiyaning grafigini olish imkonini beradi y = sin x oraliqda [ π / 2 , π ] to‘g‘ri chiziqqa nisbatan oraliqda bu funksiyaning grafigini oddiygina simmetrik ko‘rsatish orqali X = π / 2 .

Endi mulkdan foydalanish toq paritet funksiyasi y = sin x,

gunoh (- X) = - gunoh X,

bu funktsiyani [-] oralig'ida chizish oson. π , 0].

y = sin x funktsiyasi davriy bo'lib, davri 2p ga teng ;. Shuning uchun, ushbu funktsiyaning butun grafigini qurish uchun rasmda ko'rsatilgan egri chiziqni davriy ravishda chap va o'ngga nuqta bilan davom ettirish kifoya. 2p .

Olingan egri chiziq deyiladi sinusoid . Bu funksiyaning grafigi y = sin x.

Rasmda funktsiyaning barcha xususiyatlari yaxshi ko'rsatilgan y = sin x , biz ilgari isbotlaganmiz. Keling, ushbu xususiyatlarni eslaylik.

1) Funktsiya y = sin x barcha qiymatlar uchun belgilangan X , shuning uchun uning domeni barcha haqiqiy sonlar to'plamidir.

2) Funktsiya y = sin x cheklangan. U qabul qilgan barcha qiymatlar -1 dan 1 gacha, shu jumladan bu ikki raqam. Binobarin, bu funksiyaning o'zgarish diapazoni -1 tengsizlik bilan aniqlanadi < da < 1. Qachon X = π / 2 + 2k π funksiya oladi eng yuqori qiymatlar, 1 ga teng va x uchun = - π / 2 + 2k π - eng kichik qiymatlar - 1 ga teng.

3) Funktsiya y = sin x g'alati (sinusoid kelib chiqishiga nisbatan simmetrik).

4) Funktsiya y = sin x 2-davr bilan davriy π .

5) 2n oraliqda π < x < π + 2n π (n har qanday butun son) u musbat va intervallarda π + 2k π < X < 2π + 2k π (k har qanday butun son) manfiy. x = k da π funktsiya nolga tushadi. Shuning uchun argumentning bu qiymatlari x (0; ± π ; ±2 π ; ...) funksiya nollari deyiladi y = sin x

6) oraliqda - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funktsiyasi y = gunoh x monoton va intervalgacha ortadi π / 2 + 2k π < X < 3p / 2 + 2k π monoton tarzda kamayadi.

Funktsiyaning xatti-harakatiga alohida e'tibor berishingiz kerak y = sin x nuqtaga yaqin X = 0 .

Masalan, sin 0,012 ≈ 0,012; gunoh (-0,05) ≈ -0,05;

gunoh 2° = gunoh π 2 / 180 = gunoh π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Shu bilan birga, shuni ta'kidlash kerakki, x ning har qanday qiymatlari uchun

| gunoh x| < | x | . (1)

Haqiqatan ham, rasmda ko'rsatilgan aylananing radiusi 1 ga teng bo'lsin,
a / AOB = X.

Keyin gunoh x= AC. Lekin AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Bu yoyning uzunligi aniq tengdir X, chunki aylananing radiusi 1. Demak, 0 da< X < π / 2

gunoh x< х.

Demak, funktsiyaning g'alatiligi tufayli y = sin x qachon ekanligini ko'rsatish oson - π / 2 < X < 0

| gunoh x| < | x | .

Nihoyat, qachon x = 0

| gunoh x | = | x |.

Shunday qilib, | uchun X | < π / 2 tengsizlik (1) isbotlangan. Aslida, bu tengsizlik | uchun ham to'g'ri keladi x | > π / 2 tufayli | gunoh X | < 1, a π / 2 > 1

Mashqlar

1.Funksiya grafigiga ko`ra y = sin x aniqlang: a) gunoh 2; b) gunoh 4; c) gunoh (-3).

2.Funksiya grafigiga ko`ra y = sin x intervaldan qaysi raqamni aniqlang
[ - π / 2 , π / 2 ] ga teng sinusga ega: a) 0,6; b) -0,8.

3. Funksiya grafigiga ko`ra y = sin x qaysi raqamlarning sinusga ega ekanligini aniqlang,
1/2 ga teng.

4. Taxminan toping (jadvallardan foydalanmasdan): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) gunoh (-0,015); d) gunoh (-2°30").

y=sin x funksiyaning grafigi qanday tuziladi? Birinchidan, intervaldagi sinus grafigini ko'rib chiqaylik.

Biz daftarda 2 uzunlikdagi bitta segmentni olamiz. Oy o'qida biz bittasini belgilaymiz.

Qulaylik uchun biz p/2 raqamini 1,5 ga yaxlitlaymiz (yaxlitlash qoidalariga ko'ra 1,6 ga emas). Bunda p/2 uzunlikdagi segment 3 ta katakka mos keladi.

Ox o'qida biz alohida segmentlarni emas, balki p/2 uzunlikdagi segmentlarni (har 3 hujayra) belgilaymiz. Shunga ko'ra, uzunligi p bo'lgan segment 6 ta katakka, p/6 uzunlikdagi segment esa 1 katakka mos keladi.

Birlik segmentini bunday tanlash bilan qutidagi daftar varag'ida tasvirlangan grafik y=sin x funksiya grafigiga imkon qadar mos keladi.

Interval bo'yicha sinus qiymatlari jadvalini tuzamiz:

Olingan nuqtalarni koordinata tekisligida belgilaymiz:

y=sin x toq funksiya bo lgani uchun sinus grafigi koordinata boshiga - O(0;0) nuqtaga nisbatan simmetrikdir. Ushbu faktni hisobga olgan holda, grafikni chapga, so'ngra -p nuqtalarini chizishni davom ettiramiz:

y=sin x funksiya T=2p davri bilan davriydir. Shuning uchun [-p;p] oraliqda olingan funksiya grafigi takrorlanadi cheksiz son bir marta o'ngga va chapga.

“Funktsiya y = sinx, ee xossalari va grafigi” video darsida ushbu mavzu bo'yicha ko'rgazmali materiallar, shuningdek, unga sharhlar taqdim etiladi. Namoyish jarayonida funksiyaning turi, uning xossalari ko‘rib chiqiladi, koordinata tekisligining turli segmentlaridagi xatti-harakatlari, grafik xususiyatlari batafsil tavsiflanadi va grafik yechimga misol keltiriladi. trigonometrik tenglamalar sinusni o'z ichiga oladi. Videodars yordamida o'qituvchiga talabaning ushbu funktsiya haqidagi tushunchasini shakllantirish va muammolarni grafik tarzda echishga o'rgatish osonroq.

Videodars yodlash va tushunishni osonlashtiradigan vositalardan foydalanadi ta'lim ma'lumotlari. Grafiklarni taqdim etishda va muammolarni hal qilishni tavsiflashda funktsiyaning harakatini tushunishga yordam beradigan va yechimning borishini ketma-ket ko'rsatishga yordam beradigan animatsion effektlardan foydalaniladi. Shuningdek, materialni ovoz chiqarib berish uni o'qituvchining tushuntirishini almashtiradigan muhim izohlar bilan to'ldiradi. Shunday qilib, ushbu material vizual yordam sifatida ham ishlatilishi mumkin. Va yangi mavzu bo'yicha o'qituvchining tushuntirishi o'rniga darsning mustaqil qismi sifatida.

Namoyish dars mavzusini tanishtirishdan boshlanadi. Sinus funksiyasi taqdim etiladi, uning tavsifi yodlash uchun katakchada ta'kidlangan - s=sint, unda t argumenti istalgan haqiqiy son bo'lishi mumkin. Bu funksiya xossalarining tavsifi ta'rif sohasidan boshlanadi. Qayd etilishicha, funksiyaning aniqlanish sohasi haqiqiy sonlarning butun son o‘qi hisoblanadi, ya’ni D(f)=(- ∞;+∞). Ikkinchi xususiyat sinus funksiyasining g'alatiligidir. Toq funksiya uchun f(-x)=-f(x) tengligi to‘g‘ri kelishi ta’kidlanganida, bu xususiyat 9-sinfda o‘rganilganligi o‘quvchilarga eslatiladi. Sinus uchun funktsiyaning g'alatiligini tasdiqlash choraklarga bo'lingan birlik doirasida ko'rsatiladi. Funksiya koordinata tekisligining turli choraklarida qanday belgini olishini bilib, L(t) va N(-t) nuqtalar misolida qarama-qarshi belgilarga ega bo‘lgan argumentlar uchun sinus uchun g‘alatilik sharti qanoatlantirilishi qayd etiladi. Shuning uchun s=sint - g'alati funktsiya. Bu funktsiyaning grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrik ekanligini bildiradi.

Sinusning uchinchi xossasi funksiyalarning ortib borishi va kamayishi oraliqlarini namoyish etadi. Bu funksiya segmentda ortadi va [p/2;p] segmentida kamayadi. Xususiyat rasmda ko'rsatilgan bo'lib, unda birlik aylana ko'rsatilgan va A nuqtadan soat miliga teskari yo'nalishda harakatlanayotganda ordinata ortadi, ya'ni funksiya qiymati p/2 ga oshadi. B nuqtadan C ga o'tishda, ya'ni burchak p/2 dan p ga o'zgarganda ordinata qiymati kamayadi. Aylananing uchinchi choragida C nuqtadan D nuqtaga o'tganda ordinata 0 dan -1 gacha kamayadi, ya'ni sinusning qiymati kamayadi. Oxirgi chorakda D nuqtadan A nuqtaga o'tishda ordinata qiymati -1 dan 0 gacha oshadi. Shu tarzda siz buni amalga oshirishingiz mumkin. umumiy xulosa funktsiyaning xatti-harakati haqida. Ekranda [-(p/2)+2pk; (p/2)+2p], [(p/2)+2pk oraliqda kamayadi; (3p/2)+2p] har qanday k butun soni uchun.

Sinusning to'rtinchi xossasi funksiyaning chegaralanganligini ko'rib chiqadi. Ta'kidlanishicha, sint funktsiyasi yuqoridan ham, pastdan ham chegaralangan. Funksiyaning chegaralanganligi tushunchasi bilan tanishtirilganda 9-sinf algebrasidan olingan ma’lumotlar o‘quvchilarga eslatiladi. Ekranda yuqoridan chegaralangan funksiyaning sharti ko‘rsatiladi, buning uchun funktsiyaning istalgan nuqtasida f(x)>=M tengsizlik o‘rinli bo‘lgan ma’lum son mavjud. Pastda chegaralangan funksiyaning shartini ham eslaymiz, buning uchun funksiyaning har bir nuqtasidan m soni kam. Sint uchun -1 shart bajariladi<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

Beshinchi xususiyat funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini hisobga oladi. Har bir nuqtada t=-(p/2)+2pk, eng kattasi esa t=(p/2)+2p nuqtada eng kichik qiymatga -1 ga erishish qayd etilgan.

Ko'rib chiqilgan xususiyatlardan kelib chiqib, segmentda sint funktsiyasining grafigi tuziladi. Funktsiyani qurish uchun tegishli nuqtalarda sinusning jadval qiymatlari qo'llaniladi. Koordinatalar tekisligida p/6, p/3, p/2, 2p/3, 5p/6, p nuqtalarning koordinatalari belgilangan. Funktsiyaning jadval qiymatlarini ushbu nuqtalarda belgilash va ularni silliq chiziq bilan bog'lash orqali biz grafik tuzamiz.

Sint funksiyasining grafigini [-p;p] segmentida chizish uchun funksiyaning koordinatalar boshiga nisbatan simmetriya xossasidan foydalaniladi. Rasmda konstruksiya natijasida olingan chiziq koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik tarzda [-p;0] segmentga qanday silliq o‘tkazilishi ko‘rsatilgan.

sin(x+2p) = sin x qisqartirish formulasida ifodalangan sint funksiya xossasidan foydalanib, har 2p da sinus grafigi takrorlanishi qayd etiladi. Shunday qilib, [p oraliqda; 3p] grafik [-p;p] dagi bilan bir xil bo'ladi. Shunday qilib, ushbu funktsiyaning grafigi butun ta'rif sohasi bo'ylab takrorlanuvchi parchalarni [-p;p] ifodalaydi. Funksiyaning bunday grafigiga sinusoid deyilishi alohida qayd etilgan. Sinus to'lqin tushunchasi ham kiritilgan - [-p;p] segmentida qurilgan grafikning bir qismi va segmentda qurilgan sinusoid yoyi . Ushbu parchalar yodlash uchun yana ko'rsatiladi.

Ta'kidlanishicha, sint funktsiyasi butun ta'rif sohasi bo'yicha uzluksiz funktsiyadir, shuningdek, funktsiya qiymatlari diapazoni [-1;1] segmentining qiymatlari to'plamida yotadi.

Videodars yakunida sin x=x+p tenglamaning grafik yechimi ko‘rib chiqiladi. Shubhasiz, tenglamaning grafik yechimi chap tomondagi ifoda bilan berilgan funksiya grafigining o‘ng tomonidagi ifoda bilan berilgan kesishmasi bo‘ladi. Masalani yechish uchun koordinata tekisligi quriladi, uning ustiga mos sinusoid y=sin x chiziladi va y=x+p funksiya grafigiga mos to‘g‘ri chiziq quriladi. Tuzilgan grafiklar bitta B(-p;0) nuqtada kesishadi. Shuning uchun x=-p tenglamaning yechimi bo'ladi.

"Funktsiya y = sinx, ee xususiyatlari va grafigi" video darsi maktabda an'anaviy matematika darsining samaradorligini oshirishga yordam beradi. Masofaviy ta'limni amalga oshirishda vizual materiallardan ham foydalanishingiz mumkin. Qo'llanma materialni chuqurroq tushunish uchun qo'shimcha darslarni talab qiladigan talabalar uchun mavzuni o'zlashtirishga yordam beradi.

MATNI dekodlash:

Darsimizning mavzusi “y = sin x funksiyasi, uning xossalari va grafigi”.

Ilgari biz s = sin t funktsiyasi bilan allaqachon tanishgan edik, bu erda tsR (es sinus tega teng, bu erda te haqiqiy sonlar to'plamiga tegishli). Keling, ushbu funktsiyaning xususiyatlarini o'rganamiz:

XUSUSIYATLAR 1. Ta'rif sohasi R (er) haqiqiy sonlar to'plamidir, ya'ni D(f) = (- ; +) (ef dan de minus cheksizlikdan ortiqcha cheksizlikgacha bo'lgan intervalni ifodalaydi).

XUSUSIYAT 2. s = sin t funksiyasi toq.

9-sinf darslarida y = f (x), x sX funksiyasi (y x ning effiga teng, bu yerda x to‘plamga tegishli x katta) to‘plamdan istalgan x qiymat uchun toq deyilishini bilib oldik. X tenglik

f (- x) = - f (x) (minus x dan eff x dan minus efga teng).

Va abtsissa o'qiga nisbatan simmetrik bo'lgan L va N nuqtalarning ordinatalari qarama-qarshi bo'lganligi uchun sin(- t) = -sint.

Ya'ni, s = sin t toq funksiya va s = sin t funktsiyaning grafigi to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida koordinata boshiga nisbatan simmetrikdir. tOs(te o es).

3. MULKni ko'rib chiqamiz. [ 0 oraliqda; ] (noldan pi gacha) s = sin t funksiya [ segmentida ortadi va kamayadi; ](pi dan ikkiga pigacha).

Bu raqamlarda yaqqol ko'rinib turibdi: nuqta sonli aylana bo'ylab noldan pigacha ikkiga (A nuqtadan B gacha) harakat qilganda ordinata asta-sekin 0 dan 1 ga oshadi va pi dan ikkiga pi (dan) gacha ko'tariladi. nuqta B dan C gacha), ordinata asta-sekin 1 dan 0 gacha kamayadi.

Nuqta uchinchi chorak bo‘ylab (C nuqtadan D nuqtaga) harakat qilganda harakatlanuvchi nuqtaning ordinatasi noldan minus birgacha kamayadi, to‘rtinchi chorak bo‘ylab harakatlanayotganda esa ordinata minus birdan nolga oshadi. Demak, umumiy xulosa chiqarishimiz mumkin: s = sin t funksiya oraliqda ortadi

(minus pi dan ikki plyus ikki pi ka dan pi ga ikki plyus ikki pi ka) va segmentda kamayadi [; (pi dan ikki plyus ikki pi ka dan uch pi ikki plyus ikki pi ka), bu yerda

(ka butun sonlar to'plamiga tegishli).

XUSUS 4. s = sint funksiyasi yuqorida va pastda chegaralangan.

9-sinf kursidan chegaralanganlik ta'rifini eslang: agar funktsiyaning barcha qiymatlari ma'lum bir raqamdan kam bo'lmasa, y = f (x) funksiya quyida cheklangan deb ataladi. m m shunday bo'lsinki, funktsiyaning aniqlanish sohasidagi har qanday x qiymati uchun f (x) ≥ tengsizlik m(x dan ef em dan katta yoki teng). Agar funktsiyaning barcha qiymatlari ma'lum bir sondan katta bo'lmasa, y = f (x) funksiya yuqoridan chegaralangan deyiladi. M, bu raqam borligini bildiradi M shunday bo'lsinki, funktsiyaning aniqlanish sohasidan har qanday x qiymati uchun f (x) ≤ tengsizlik M(x dan eff em dan kichik yoki unga teng), agar u pastdan ham, yuqoridan ham chegaralangan bo'lsa, u cheklangan deb ataladi.

Funksiyamizga qaytaylik: chegaralanganlik shundan kelib chiqadiki, har qanday te uchun tengsizlik rost - 1 ≤ sint≤ 1. (te sinusi minus birdan katta yoki teng, lekin birdan kichik yoki teng).

XUSUSIYAT 5. Funksiyaning eng kichik qiymati minus birga teng va funktsiya bu qiymatga t = ko‘rinishdagi istalgan nuqtada erishadi (te minus pi ga ikki plyus ikkita tepaga teng, funktsiyaning eng katta qiymati esa teng. birga va t = ko'rinishning istalgan nuqtasida funktsiya orqali erishiladi (te teng pi marta ikki plyus ikki pi ka).

s = sin t funktsiyasining eng katta va eng kichik qiymatlari s eng ko'pligini bildiradi. va s maks. .

Olingan xossalardan foydalanib, y = sin x funksiyaning grafigini tuzamiz (y sinus x ga teng), chunki biz s = f (t) emas, balki y = f (x) yozishga ko'proq odatlanganmiz.

Boshlash uchun masshtabni tanlaylik: ordinata o'qi bo'ylab ikkita katakchani birlik segmenti sifatida olaylik va abscissa o'qi bo'ylab ikkita katakcha pi dan uchga teng (≈ 1 bo'lgani uchun). Avval segmentda y = sin x funksiyaning grafigini tuzamiz. Uni qurish uchun bizga ushbu segmentdagi funktsiya qiymatlari jadvali kerak bo'ladi, biz mos keladigan kosinus va sinus burchaklar uchun qiymatlar jadvalidan foydalanamiz:

Shunday qilib, argumentlar va funktsiya qiymatlari jadvalini yaratish uchun siz buni eslab qolishingiz kerak X(x) bu raqam mos ravishda noldan pigacha bo'lgan oraliqdagi burchakka teng va da(yunoncha) bu burchak sinusining qiymati.

Bu nuqtalarni koordinata tekisligida belgilaymiz. Segmentdagi MULK 3 ga muvofiq

[ 0; ] (noldan pi ga ikkiga) y = sin x funksiya [ segmentida ortadi va kamayadi; ](pi dan ikkiga pigacha) va olingan nuqtalarni silliq chiziq bilan bog'lab, biz grafikning bir qismini olamiz (1-rasm).

Toq funksiya grafigining koordinata boshiga nisbatan simmetriyasidan foydalanib, segmentda allaqachon y = sin x funksiyaning grafigini olamiz.

[-p; p ] (minus pi dan pi gacha) (2-rasm).

Sin(x + 2p)= sinx ekanligini eslaylik

(x ning sinusi plyus ikkita pi ning sinusiga teng). Demak, x + 2p nuqtada y = sin x funksiya x nuqtadagi kabi qiymatni oladi. Va buyon (x + 2p)s [p; 3p ](x plyus ikki pi pi dan uch pigacha bo‘lgan segmentga tegishli), agar xs[-p; p ], keyin [p] segmentida; 3p ] funksiya grafigi [-p segmentidagi bilan bir xil ko‘rinadi; p]. Xuddi shunday segmentlarda , , [-3p; -p ] va hokazo, y = sin x funksiyaning grafigi segmentdagi kabi ko'rinadi

[-p; p].(3-rasm)

y = sin x funksiyaning grafigi bo'lgan chiziq sinus to'lqin deb ataladi. 2-rasmda ko'rsatilgan sinus to'lqinning qismi sinus to'lqin deb ataladi, 1-rasmda esa sinus to'lqin yoki yarim to'lqin deb ataladi.

Tuzilgan grafikdan foydalanib, biz ushbu funktsiyaning yana bir nechta xususiyatlarini yozamiz.

XUSUSIYAT 6. y = sin x funksiya uzluksiz funksiyadir. Demak, funksiya grafigi uzluksiz, ya’ni uning sakrashlari va teshilishlari yo‘q.

XUSUSIYAT 7. y = sin x funksiya qiymatlari diapazoni [-1; 1] (minus birdan birgacha) yoki shunday yozilishi mumkin: (e dan ef minus birdan birgacha bo'lgan segmentga teng).

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. sin x = x + p (sinus x teng x plus pi) tenglamasini grafik tarzda yeching.

Yechim. Funksiya grafiklarini tuzamiz y = gunoh X Va y = x + p.

y = sin x funksiyaning grafigi sinusoiddir.

y = x + p - chiziqli funktsiya bo'lib, uning grafigi koordinatalari (0; p) va (- p ; 0) bo'lgan nuqtalardan o'tadigan to'g'ri chiziqdir.

Tuzilgan grafiklar bitta kesishish nuqtasiga ega - B(- p;0) nuqtasi (koordinatalari minus pi, nol bilan bo'lsin). Bu shuni anglatadiki, bu tenglama faqat bitta ildizga ega - B nuqtaning abssissasi - -p. Javob: X = - π.