Obszar szeregu funkcyjnego zbieżności jednostajnej zbieżności Własności znaku Weierstrassa jednostajnie zbieżnego szeregu funkcyjnego. Szereg funkcjonalny Znajdź przedziały zbieżności szeregów funkcjonalnych

Obszar zbieżności Szereg funkcjonalny to szereg, którego członkami są funkcje/zdefiniowane na pewnym zbiorze E osi liczbowej. Na przykład wyrazy szeregu są zdefiniowane na przedziale, a wyrazy szeregu na przedziale. Mówi się, że szereg funkcyjny (1) jest zbieżny w punkcie Ho € E, jeśli jest zbieżny SZEREG FUNKCYJNY Region zbieżności Jednolity. zbieżność Test Weierstrassa Własności jednostajnie zbieżnego szeregu funkcyjnego szereg numeryczny Jeżeli szereg (1) zbiega się w każdym punkcie x zbioru D C E i rozbiega się w każdym punkcie nie należącym do zbioru D, to mówimy, że szereg jest zbieżny na zbiorze D , a D nazywa się obszarem zbieżności szeregu. Mówi się, że szereg (1) jest absolutnie zbieżny na zbiorze D, jeśli jest zbieżny na tym zbiorze. W przypadku zbieżności szeregu (1) na zbiorze D, jego suma S będzie funkcją zdefiniowaną na D. Obszar zbieżności niektórych szeregów funkcyjnych można wyznaczyć, korzystając ze znanych kryteriów wystarczających ustalonych dla szeregów z wyrazami dodatnimi, np. testu Dapamberta, testu Cauchy'ego. Przykład 1. Znajdź obszar zbieżności szeregu M. Ponieważ szereg liczbowy jest zbieżny dla p > 1 i rozbieżny dla p ^ 1, to zakładając p - Igx, otrzymujemy ten szereg. które będą zbiegać się w Igx > T tj. jeśli x > 10 i rozchodzą się, gdy Igx ^ 1, tj. o 0< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х > Wiersz 0 jest rozbieżny, ponieważ A =. Rozbieżność szeregu przy x = 0 jest oczywista. Przykład 3. Znajdź obszar zbieżności szeregu. Wyrazy danego szeregu są określone i ciągłe na zbiorze. Używając kryterium Kosh i, znajdujemy dla dowolnego. W konsekwencji szereg jest rozbieżny dla wszystkich wartości x. Oznaczmy przez Sn(x) n-tą sumę częściową szeregu funkcyjnego (1). Jeżeli szereg ten jest zbieżny na zbiorze D i jego suma jest równa 5(g), to można go przedstawić w postaci gdzie jest sumą szeregu zbieżnego na zbiorze D, który nazywany jest n-tą resztą szeregu funkcyjnego ( 1). Dla wszystkich wartości x € D relacja i dlatego zachodzi. to znaczy, reszta Rn(x) szeregu zbieżnego dąży do zera jako nie oo, cokolwiek x 6 D. Zbieżność jednostajna Wśród wszystkich zbieżnych szeregów funkcyjnych ważną rolę odgrywają tzw. szeregi jednostajnie zbieżne. Niech będzie dany szereg funkcyjny zbieżny na zbiorze D, którego suma jest równa S(x). Weźmy jego n-tą definicję sumy częściowej. Szereg funkcyjny SZEREG FUNKCYJNY Dziedzina zbieżności Zbieżność równomierna Test Weierstrassa Własności jednostajnie zbieżnych szeregów funkcyjnych mówimy, że są jednostajnie zbieżne na zbiorze PS1), jeśli dla dowolnej liczby e > O istnieje liczba Γ > O taka, że ​​nierówność zachodzi dla wszystkich liczb n > N i dla wszystkich x ze zbioru fI. Komentarz. Tutaj liczba N jest taka sama dla wszystkich x € Yu, tj. nie zależy od z, ale zależy od wyboru liczby e, więc piszemy N = N(e). Jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego £ /n(®) do funkcji S(x) na zbiorze ft jest często oznaczana w następujący sposób: Definicję jednostajnej zbieżności szeregu /n(x) na zbiorze ft można zapisać szerzej za pomocą symboli logicznych: Wyjaśnijmy geometrycznie znaczenie jednolitego zakresu funkcyjnego zbieżności. Przyjmijmy odcinek [a, 6] jako zbiór ft i skonstruujmy wykresy funkcji. Nierówność |, która obowiązuje dla liczb n > N i dla wszystkich a; G [a, b] można zapisać w następującej postaci. Otrzymane nierówności pokazują, że wykresy wszystkich funkcji y = 5n(x) o liczbach n > N będą w całości mieścić się w przedziale £ ograniczonym krzywymi y. = S(x) - e i y = 5(g) + e (ryc. 1). Przykład 1 jest zbieżny jednostajnie na przedziale Szereg ten ma znak przemienny, spełnia warunki kryterium Leibniza dla dowolnego x € [-1,1] i dlatego jest zbieżny na przedziale (-1,1).Niech S(x ) będzie jego sumą, a Sn (x) jest jego n-tą sumą częściową. Pozostała część szeregu w wartości bezwzględnej nie przekracza wartości bezwzględnej jego pierwszego wyrazu: a ponieważ Weźmy dowolne e. Wtedy nierówność zostanie spełniona, jeśli . Stąd dowiadujemy się, że n > \. Jeśli weźmiemy liczbę (tutaj [a] oznacza największą liczbę całkowitą nieprzekraczającą a), to nierówność | e będzie obowiązywać dla wszystkich liczb n > N i dla wszystkich x € [-1,1). Oznacza to, że szereg ten jest zbieżny jednostajnie na przedziale [-1,1). I. Nie każdy szereg funkcyjny zbieżny na zbiorze D jest jednostajnie zbieżny jak w przykładzie 2. Pokażmy, że szereg jest zbieżny na pewnym przedziale, ale nie jednostajnie. 4 Obliczmy n-tą sumę częściową £„(*) szeregu. Mamy Gdzie zbiega się ten szereg na odcinku i jego sumę, jeśli Wartość bezwzględna różnicy S(x) - 5„(x) (reszta szeregu) jest równa. Weźmy liczbę e taką, że. Niech Rozwiążemy nierówność ze względu na n. Mamy, skąd (ponieważ i przy dzieleniu przez Inx znak nierówności zmienia się na przeciwny). Nierówność zostanie spełniona, gdy. Istnieje zatem taka liczba N(e) niezależna od x, że nierówność jest spełniona dla każdego) dla wszystkich x z odcinka jednocześnie. , nie istnieje. Jeśli zastąpimy odcinek 0 mniejszym odcinkiem, to na tym ostatnim szereg ten będzie zbieżny jednostajnie do funkcji S0. Faktycznie dla, a zatem dla wszystkich x na raz §3. Test Weierstrassa Wystarczający test na jednostajną zbieżność szeregu funkcyjnego daje twierdzenie Weierstrassa. Twierdzenie 1 (test Weierstrassa). Niech dla wszystkich x ze zbioru Q wyrazy szeregu funkcjonalnego w wartości bezwzględnej nie przekraczają odpowiednich członków zbieżnego szeregu liczbowego P = 1 z wyrazami dodatnimi, czyli dla wszystkich x € Q. Następnie szereg funkcjonalny (1 ) na zbiorze P jest zbieżny absolutnie i jednostajnie . A Tek ponieważ zgodnie z warunkami twierdzenia wyrazy szeregu (1) spełniają warunek (3) na całym zbiorze Q, to dla porównania szereg 2 \fn(x)\ jest zbieżny dla dowolnego x € I, oraz w konsekwencji szereg (1) jest zbieżny absolutnie na P. Udowodnimy jednostajną zbieżność szeregu (1). Niech Sn(x) i an oznaczają odpowiednio sumy cząstkowe szeregów (1) i (2). Mamy Weź dowolną (dowolnie małą) liczbę e > 0. Następnie ze zbieżności szeregu liczbowego (2) wynika istnienie liczby N = N(e) takiej, że zatem -e dla wszystkich liczb n > N (e) i dla wszystkich xbP, tj. szereg (1) jest zbieżny jednostajnie na zbiorze P. Uwaga. Szereg liczb (2) jest często nazywany majoryzacją lub majorantą w przypadku szeregu funkcjonalnego (1). Przykład 1. Zbadaj szereg pod kątem jednorodnej zbieżności. Nierówność zachodzi dla wszystkich. i dla wszystkich. Szereg liczbowy jest zbieżny. Na mocy kryterium Weierstrassa rozpatrywany szereg funkcyjny jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie na całej osi. Przykład 2. Zbadaj szereg pod kątem jednostajnej zbieżności. Wyrazy szeregu są zdefiniowane i ciągłe na przedziale [-2,2|. Ponieważ na przedziale [-2,2) dla dowolnej liczby naturalnej n, to zatem zachodzi nierówność. Ponieważ szereg liczbowy jest zbieżny, to zgodnie z kryterium Weierstrassa pierwotny szereg funkcyjny jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie na odcinku. Komentarz. Szereg funkcyjny (1) może zbiegać się jednostajnie na zbiorze Piv w przypadku, gdy nie ma szeregu numerycznego większego (2), czyli kryterium Weierstrassa jest jedynie kryterium wystarczającym dla równomiernej zbieżności, ale nie jest konieczne. Przykład. Jak pokazano powyżej (przykład), szereg jest zbieżny jednostajnie na odcinku 1-1,1]. Jednak dla niego nie ma głównego zbieżnego szeregu liczbowego (2). W rzeczywistości dla wszystkich naturalnych n i dla wszystkich x € [-1,1) nierówność jest spełniona, a równość zostaje osiągnięta, gdy. Zatem członkowie pożądanego szeregu majoranckiego (2) z pewnością muszą spełniać warunek, ale szereg liczbowy SZEREG FUNKCYJNY Obszar zbieżności Zbieżność równomierna Test Weierstrassa Własności jednostajnie zbieżnych szeregów funkcjonalnych są rozbieżne. Oznacza to, że szereg £op również będzie rozbieżny. Własności jednostajnie zbieżnych szeregów funkcyjnych Jednostajnie zbieżne szeregi funkcyjne mają szereg ważnych właściwości. Twierdzenie 2. Jeśli wszystkie wyrazy szeregu zbiegające się równomiernie na przedziale [a, b] zostaną pomnożone przez tę samą funkcję d(x) ograniczoną do [a, 6], to powstały szereg funkcyjny będzie zbieżny jednostajnie na. Niech na przedziale [a, b\ szereg £ fn(x) zbiega się równomiernie do funkcji 5(x), a funkcja d(x) będzie ograniczona, tj. istnieje stała C > 0 taka, że ​​Z definicji jednostajnej zbieżności szeregu dla dowolnej liczby e > 0 istnieje liczba N taka, że ​​dla wszystkich n > N i dla wszystkich x € [a, b] nierówność będzie spełniona gdzie 5n(ar) jest sumą częściową rozważana seria. Dlatego będziemy mieli to dla każdego. szereg jest zbieżny jednostajnie na [a, b| do funkcji Twierdzenie 3. Niech wszystkie wyrazy fn(x) szeregu funkcyjnego będą ciągłe, a szereg zbiega się równomiernie na przedziale [a, b\. Wtedy suma S(x) szeregu jest ciągła w tym przedziale. M Weźmy dwa dowolne punkty ig + Ax na odcinku [o, b]. Ponieważ szereg ten jest zbieżny jednostajnie na przedziale [a, b], to dla dowolnej liczby e > O istnieje liczba N = N(e) taka, że ​​dla wszystkich i > N nierówności są spełnione, gdzie 5„(g) jest sumy cząstkowe szeregu fn (x). Te sumy cząstkowe 5n(x) są ciągłe w przedziale [a, 6] jako sumy skończonej liczby funkcji fn(x) ciągłych w [a, 6]. Zatem dla ustalonej liczby nie > N(e) i danej liczby e istnieje liczba 6 = 6(e) > 0 taka, że ​​dla przyrostu Ax spełniającego warunek | nierówność będzie zachodzić: Przyrost AS sumę S(x) można przedstawić w postaci: z. Uwzględniając nierówności (1) i (2), dla przyrostów Ax spełniających warunek | otrzymujemy To oznacza, że ​​suma Six) jest ciągła w punkcie x. Ponieważ x jest dowolnym punktem odcinka [a, 6], to 5(x) jest ciągłe na |a, 6|. Komentarz. Szereg funkcyjny, którego wyrazy są ciągłe na przedziale [a, 6), ale zbiega się nierównomiernie na (a, 6], może mieć w sumie funkcję nieciągłą.Przykład 1. Rozważmy szereg funkcyjny na przedziale |0,1 ). Obliczmy jego n-tą sumę częściową. Zatem jest on nieciągły na odcinku, chociaż wyrazy szeregu są na nim ciągłe. Na mocy sprawdzonego twierdzenia szereg ten nie jest jednostajnie zbieżny na przedziale. Przykład 2. Rozważmy szereg Jak pokazano powyżej, szereg ten jest zbieżny w punkcie, zgodnie z testem Weierstrassa, szereg będzie zbieżny jednostajnie, ponieważ 1 i szereg liczbowy są zbieżne. W konsekwencji dla dowolnego x > 1 suma tego szeregu jest ciągła. Komentarz. Funkcja ta nazywa się funkcją Riemanna (funkcja ta odgrywa dużą rolę w teorii liczb). Twierdzenie 4 (o całkowaniu szeregu funkcyjnego). Niech wszystkie wyrazy fn(x) szeregu będą ciągłe, a szereg zbiega się równomiernie na przedziale [a, b] do funkcji S(x). Wtedy zachodzi równość: Ze względu na ciągłość funkcji f„(x) i jednostajną zbieżność tego szeregu na przedziale [a, 6], jego suma 5(x) jest ciągła, a zatem całkowalna na . Rozważmy różnicę Z jednostajnej zbieżności szeregu na [o, b] wynika, że ​​dla dowolnego e > 0 istnieje liczba N(e) > 0 taka, że ​​dla wszystkich liczb n > N(e) i dla wszystkich x € [a, 6] nierówność zostanie spełniona Jeżeli szereg fn(0 nie jest jednostajnie zbieżny, to ogólnie rzecz biorąc, nie można go całkować wyrazowo, tj. Twierdzenie 5 (o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego wyraz po wyrazie) Niech wszystkie wyrazy szeregu zbieżnego 00 mają pochodne ciągłe, a szereg złożony z tych pochodnych zbiega się równomiernie na przedziale [a, b]. Wtedy w dowolnym punkcie równość jest prawdziwa, tj. szereg ten można różniczkować przez wyraz jako suma jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych Zatem różniczkując równość otrzymujemy Ćwiczenia Znajdź obszary zbieżności tych szeregów funkcyjnych: Korzystając z testu Weierstrassa, wykaż jednostajną zbieżność tych szeregów funkcyjnych na wskazanych przedziałach:

– być może kompleks nie okaże się aż tak skomplikowany ;) A tytuł tego artykułu też jest nieszczery – serie, o których dzisiaj będziemy mówić, to raczej nie złożone, ale „ziemi rzadkie”. Jednak nawet studenci studiów niestacjonarnych nie są od nich odporni, dlatego tę pozornie dodatkową lekcję należy potraktować z najwyższą powagą. W końcu po przepracowaniu będziesz w stanie rozprawić się z niemal każdą „bestią”!

Zacznijmy od klasyki gatunku:

Przykład 1

Po pierwsze, należy pamiętać, że to NIE jest szereg potęgowy (Przypominam, że to wygląda). I po drugie, tutaj od razu rzuca się w oczy wartość, której oczywiście nie można zaliczyć do obszaru zbieżności szeregu. A to już mały sukces badania!

Ale jak osiągnąć wielki sukces? Spieszę cię zadowolić - takie serie można rozwiązać dokładnie w taki sam sposób jak moc– na podstawie znaku d’Alemberta lub radykalnego znaku Cauchy’ego!

Rozwiązanie: wartość nie mieści się w zakresie zbieżności szeregu. Jest to istotny fakt i należy go odnotować!

Podstawowy algorytm działa standardowo. Korzystając z kryterium d'Alemberta, znajdujemy przedział zbieżności szeregu:

Szereg zbiega się w . Przesuńmy moduł w górę:

Sprawdźmy od razu „zły” punkt: wartość nie mieści się w przedziale zbieżności szeregu.

Zbadajmy zbieżność szeregu na „wewnętrznych” końcach przedziałów:
Jeśli następnie
Jeśli następnie

Obie serie liczbowe różnią się, ponieważ niezbędny znak zbieżności.

Odpowiedź: obszar konwergencji:

Zróbmy małą kontrolę analityczną. Podstawmy jakąś wartość z prawego przedziału do szeregu funkcyjnego, na przykład:
– zbiega się objaw d'Alemberta.

W przypadku podstawienia wartości z lewego przedziału otrzymuje się także szeregi zbieżne:
Jeśli następnie .

I wreszcie, jeśli , to seria – naprawdę się różni.

Kilka prostych przykładów na rozgrzewkę:

Przykład 2

Znajdź obszar zbieżności szeregu funkcjonalnego

Przykład 3

Znajdź obszar zbieżności szeregu funkcjonalnego

Bądź szczególnie dobry w radzeniu sobie z „nowymi” moduł– powtórzy się dzisiaj 100 500 razy!

Krótkie rozwiązania i odpowiedzi na końcu lekcji.

Zastosowane algorytmy wydają się być uniwersalne i bezproblemowe, jednak w rzeczywistości tak nie jest – w przypadku wielu szeregów funkcjonalnych często „wyślizgują się”, a nawet prowadzą do błędnych wniosków (Rozważę również takie przykłady).

Chropowatość zaczyna się już na poziomie interpretacji wyników: rozważmy na przykład serię. Tutaj w limicie, który otrzymujemy (sprawdź to sam), a teoretycznie trzeba dać odpowiedź, że szereg zbiega się w jednym punkcie. Rzecz jednak „rozgrywka”, co oznacza, że ​​nasz „pacjent” rozbiega się wszędzie!

A dla szeregu „oczywiste” rozwiązanie Cauchy’ego nic nie daje:
– dla DOWOLNEJ wartości „x”.

I pojawia się pytanie, co zrobić? Używamy metody, której poświęcona będzie główna część lekcji! Można go sformułować w następujący sposób:

Bezpośrednia analiza szeregów liczbowych dla różnych wartości

Właściwie zaczęliśmy to już robić w przykładzie 1. Najpierw sprawdzamy konkretny „X” i odpowiadającą mu serię liczb. Aż prosi się o przyjęcie wartości:
– otrzymany szereg liczbowy jest rozbieżny.

I to od razu nasuwa myśl: a co, jeśli to samo stanie się w innych punktach?
Sprawdźmy niezbędny znak zbieżności szeregu Dla arbitralny znaczenia:

Powyższe zostało wzięte pod uwagę, dla wszystkich pozostałych „X” Zorganizujemy standardowo drugi wspaniały limit:

Wniosek: szereg jest rozbieżny na całej osi liczbowej

I to rozwiązanie jest najbardziej wykonalną opcją!

W praktyce często trzeba porównywać szeregi funkcjonalne uogólniony szereg harmoniczny :

Przykład 4

Rozwiązanie: przede wszystkim zajmijmy się dziedzina definicji: w tym przypadku wyrażenie radykalne musi być ściśle dodatnie, a ponadto muszą istnieć wszystkie wyrazy szeregu, zaczynając od pierwszego. Wynika z tego, że:
. Przy tych wartościach otrzymuje się szeregi warunkowo zbieżne:
itp.

Inne „x” nie są odpowiednie, np. gdy otrzymamy sprawę nielegalną, w której nie istnieją dwa pierwsze wyrazy ciągu.

Wszystko dobrze, wszystko jasne, ale pozostaje jeszcze jedno ważne pytanie - jak prawidłowo sformalizować decyzję? Proponuję schemat, który można potocznie nazwać „przełożeniem strzałek” na szeregi liczbowe:

Rozważmy arbitralny oznaczający i zbadaj zbieżność szeregu liczbowego. Rutyna Znak Leibniza:

1) Ten szereg jest naprzemienny.

2) – wyrazy szeregu zmniejszają moduł. Każdy następny element szeregu jest mniejszy modulo niż poprzedni: , co oznacza, że ​​spadek jest monotonny.

Wniosek: szereg jest zbieżny zgodnie z kryterium Leibniza. Jak już wspomniano, zbieżność tutaj jest warunkowa - z tego powodu, że szereg – różni się.

Właśnie tak - schludnie i poprawnie! Ponieważ za „alfa” sprytnie ukryliśmy wszystkie dopuszczalne serie liczbowe.

Odpowiedź: szereg funkcjonalny istnieje i jest zbieżny warunkowo w .

Podobny przykład rozwiązania niezależnego:

Przykład 5

Badanie zbieżności szeregu funkcyjnego

Przybliżona próbka końcowego zadania na końcu lekcji.

To tyle, jeśli chodzi o twoją „roboczą hipotezę”! – szereg funkcyjny zbiega się na przedziale!

2) Rozważ, że w przedziale symetrycznym wszystko jest przejrzyste arbitralny wartości i otrzymujemy: – szeregi liczbowe absolutnie zbieżne.

3) I wreszcie „środek”. Tutaj również wygodnie jest podkreślić dwie luki.

Rozważamy arbitralny wartość z przedziału i otrzymujemy szereg liczbowy:

! Powtórzę – jeśli jest to trudne , zastąp określoną liczbę, na przykład . Jednak... chciałeś trudności =)

Wykonano dla wszystkich wartości „en” , Oznacza:
– zatem wg porównanie szereg zbiega się wraz z nieskończenie malejącym postępem.

Dla wszystkich wartości „x” z przedziału otrzymujemy – szeregi liczbowe absolutnie zbieżne.

Wszystkie „X” zostały zbadane, nie ma już „X”!

Odpowiedź: zakres zbieżności szeregu:

Muszę przyznać, że nieoczekiwany wynik! A dodać jeszcze trzeba, że ​​użycie tutaj znaków d'Alemberta czy Cauchy'ego na pewno będzie wprowadzać w błąd!

Ocena bezpośrednia to „akrobacja” analizy matematycznej, ale wymaga to oczywiście doświadczenia, a w niektórych przypadkach nawet intuicji.

A może ktoś znajdzie łatwiejszy sposób? Pisać! Swoją drogą, istnieją precedensy – kilkakrotnie czytelnicy proponowali bardziej racjonalne rozwiązania, a ja je publikowałem z przyjemnością.

Życzę udanego lądowania :)

Przykład 11

Znajdź obszar zbieżności szeregu funkcjonalnego

Moja wersja rozwiązania jest bardzo bliska.

Dodatkowy hardcor można znaleźć w Sekcja VI (Rzędy) Kolekcja Kuzniecowa (Zadania 11-13). W Internecie są gotowe rozwiązania, ale tutaj potrzebuję Ciebie ostrzegać– wiele z nich jest niekompletnych, niepoprawnych lub wręcz całkowicie błędnych. A tak na marginesie, był to jeden z powodów, dla których narodził się ten artykuł.

Podsumujmy trzy lekcje i usystematyzujmy nasze narzędzia. Więc:

Aby znaleźć przedział(y) zbieżności szeregu funkcyjnego, możesz użyć:

1) Objaw D'Alemberta lub objaw Cauchy'ego. A jeśli rząd nie jest stateczny– wykazujemy większą ostrożność analizując wynik uzyskany poprzez bezpośrednie podstawienie różnych wartości.

2) Test Weierstrassa na jednolitą zbieżność. Nie zapomnij!

3) Porównanie ze standardowymi seriami liczbowymi- zasady w ogólnym przypadku.

Następnie sprawdź końce znalezionych przedziałów (Jeśli potrzebne) i otrzymujemy obszar zbieżności szeregu.

Teraz masz do dyspozycji dość poważny arsenał, który pozwoli ci poradzić sobie z niemal każdym zadaniem tematycznym.

Życzę Ci sukcesu!

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 2: Rozwiązanie: wartość nie mieści się w zakresie zbieżności szeregu.
Korzystamy ze znaku d'Alemberta:


Szereg zbiega się w:

Zatem przedziały zbieżności szeregu funkcyjnego: .
Zbadajmy zbieżność szeregu w punktach końcowych:
Jeśli następnie ;
Jeśli następnie .
Obydwa szeregi liczbowe różnią się, ponieważ niezbędne kryterium zbieżności nie jest spełnione.

Odpowiedź : obszar konwergencji:

4.1. Seria funkcjonalna: podstawowe pojęcia, obszar zbieżności

Definicja 1. Szereg, którego elementy są funkcjami jednego lub
nazywa się kilka niezależnych zmiennych zdefiniowanych w pewnym zbiorze zakres funkcjonalny.

Rozważmy szereg funkcjonalny, którego elementy są funkcjami jednej zmiennej niezależnej X. Suma pierwszego N członkowie szeregu są sumą częściową danego szeregu funkcyjnego. Członek generalny istnieje funkcja z X, zdefiniowany w jakiejś domenie. Rozważmy szereg funkcyjny w tym punkcie . Jeśli odpowiednia seria liczb zbiega się, tj. istnieje ograniczenie sum częściowych tego szeregu
(Gdzie − suma szeregu liczbowego), wówczas punkt nazywa się punkt zbieżności zakres funkcjonalny . Jeśli seria liczb jest rozbieżny, wówczas punkt nazywa się punkt rozbieżności zakres funkcjonalny.

Definicja 2. Obszar konwergencji zakres funkcjonalny nazywa się zbiór wszystkich takich wartości X, w którym szereg funkcyjny jest zbieżny. Oznacza się obszar zbieżności, składający się ze wszystkich punktów zbieżności . Zauważ to R.

Szereg funkcjonalny jest zbieżny w regionie , jeśli w ogóle zbiega się jak szereg liczbowy, a jego suma będzie jakąś funkcją . Jest to tzw funkcja ograniczająca sekwencje : .

Jak znaleźć obszar zbieżności szeregu funkcyjnego ? Możesz użyć znaku podobnego do znaku d'Alemberta. Dla rzędu komponować i rozważ limit dla ustalonego X:
. Następnie jest rozwiązaniem nierówności i rozwiązanie równania (bierzemy tylko te rozwiązania równania w
które odpowiednie szeregi liczbowe są zbieżne).

Przykład 1. Znajdź obszar zbieżności szeregu.

Rozwiązanie. Oznaczmy , . Skomponujmy i obliczmy limit
, wówczas obszar zbieżności szeregu wyznacza nierówność i równanie . Zbadajmy dalej zbieżność pierwotnego szeregu w punktach będących pierwiastkami równania:

i jeśli , , to otrzymamy szereg rozbieżny ;

b) jeśli , , potem seria zbiega się warunkowo (wg

Kryterium Leibniza, przykład 1, wykład 3, rozdział. 3.1).

Zatem obszar zbieżności seria wygląda następująco: .

4.2. Szereg potęgowy: pojęcia podstawowe, twierdzenie Abela

Rozważmy szczególny przypadek szeregu funkcyjnego, tzw szereg potęgowy , Gdzie
.

Definicja 3. Seria potęgowa nazywa się szeregiem funkcyjnym postaci,

Gdzie − numery stałe tzw współczynniki szeregu.

Szereg potęgowy to „nieskończony wielomian” uporządkowany w rosnących potęgach . Dowolny szereg liczbowy Jest
szczególny przypadek szeregu potęgowego .

Rozważmy szczególny przypadek szeregu potęgowego dla :
. Dowiedzmy się, jaki to typ
obszar zbieżności tego szeregu .

Twierdzenie 1 (twierdzenie Abela). 1) Jeżeli szereg potęgowy zbiega się w jednym punkcie , to jest zbieżny absolutnie dla dowolnego X, dla którego zachodzi nierówność .

2) Jeśli szereg potęgowy jest rozbieżny w punkcie , to jest rozbieżne dla dowolnego X, dla którego .

Dowód. 1) Pod warunkiem, że szereg potęgowy zbiega się w punkcie ,

tj. szereg liczbowy jest zbieżny

(1)

i zgodnie z niezbędnym kryterium zbieżności jego wspólny wyraz dąży do 0, tj. . Dlatego istnieje taka liczba że wszyscy członkowie serii są ograniczeni tą liczbą:
.

Rozważmy teraz dowolny X, dla którego i utwórz serię wartości bezwzględnych: .
Zapiszmy ten ciąg w innej formie: od , następnie (2).

Z nierówności
dostajemy, tj. wiersz

składa się z wyrazów większych niż odpowiadające im wyrazy szeregu (2). Wiersz reprezentuje zbieżny szereg ciągu geometrycznego z mianownikiem , I , ponieważ . W konsekwencji szereg (2) jest zbieżny w . Zatem szereg potęgowy absolutnie pasuje.

2) Niech seria różni się w , innymi słowy,

szeregi liczbowe są rozbieżne . Udowodnijmy to każdemu X () szereg jest rozbieżny. Dowód jest sprzeczny. Niech dla niektórych

naprawił ( ) szereg jest zbieżny, to zbiega się dla wszystkich (patrz pierwsza część tego twierdzenia), w szczególności kiedy , co jest sprzeczne z warunkiem 2) Twierdzenia 1. Twierdzenie zostało udowodnione.

Konsekwencja. Twierdzenie Abela pozwala nam ocenić położenie punktu zbieżności szeregu potęgowego. Jeśli chodzi o jest punktem zbieżności szeregu potęgowego, a następnie przedziałem wypełniony punktami zbieżności; jeśli punktem rozbieżności jest punkt , To
nieskończone interwały wypełnione punktami rozbieżności (ryc. 1).

Ryż. 1. Przedziały zbieżności i rozbieżności szeregu

Można wykazać, że istnieje taka liczba że na oczach wszystkich
szereg potęgowy zbiega się absolutnie i kiedy − różni się. Założymy, że jeśli szereg zbiega się tylko w jednym punkcie 0, to , i jeśli szereg jest zbieżny dla wszystkich , To .

Definicja 4. Przedział zbieżności szereg potęgowy taki przedział nazywa się że na oczach wszystkich ta seria jest zbieżna, a ponadto absolutnie i dla wszystkich X, leżący poza tym przedziałem, szereg jest rozbieżny. Numer R zwany promień zbieżności szereg potęgowy.

Komentarz. Na końcach interwału kwestię zbieżności lub rozbieżności szeregu potęgowego rozwiązuje się oddzielnie dla każdego konkretnego szeregu.

Pokażmy jeden ze sposobów wyznaczania przedziału i promienia zbieżności szeregu potęgowego.

Rozważmy szereg potęgowy i oznaczać .

Stwórzmy szereg wartości bezwzględnych jego członków:

i zastosuj do tego test d'Alemberta.

Niech istnieje

.

Według testu d'Alemberta szereg jest zbieżny, jeśli i różni się jeśli . Stąd szereg zbiega się w , a następnie przedział zbieżności wynosi: . Kiedy szereg jest rozbieżny, ponieważ .
Używając notacji , otrzymujemy wzór na wyznaczenie promienia zbieżności szeregu potęgowego:

,

Gdzie − współczynniki szeregów potęgowych.

Jeśli okaże się, że limit , to zakładamy .

Do wyznaczenia przedziału i promienia zbieżności szeregu potęgowego można także posłużyć się radykalnym testem Cauchy'ego, promień zbieżności szeregu wyznacza się z zależności .

Definicja 5. Uogólnione szeregi potęgowe zwany serią postaci

. Nazywa się to również szeregiem potęgowym .
Dla takiego szeregu przedział zbieżności ma postać: , Gdzie − promień zbieżności.

Pokażemy, jak znaleźć promień zbieżności uogólnionego szeregu potęgowego.

te. , Gdzie .

Jeśli , To oraz region konwergencji R; Jeśli , To i region konwergencji .

Przykład 2. Znajdź obszar zbieżności szeregu .

Rozwiązanie. Oznaczmy . Zróbmy granicę

Rozwiązanie nierówności: , zatem odstęp

zbieżność ma postać: , I R= 5. Dodatkowo badamy końce przedziału zbieżności:
A) , , otrzymujemy serię , który jest rozbieżny;
B) , , otrzymujemy serię , który zbiega się
warunkowo. Zatem obszar zbieżności to: , .

Odpowiedź: region konwergencji .

Przykład 3. Wiersz dla każdego inny , ponieważ Na , promień zbieżności .

Przykład 4. Szereg jest zbieżny dla wszystkich R, promienia zbieżności .

Łuchow Yu.P. Notatki z wykładów z matematyki wyższej. Wykład nr 42 5

Wykład 42

TEMAT: Seria funkcjonalna

Plan.

1. Seria funkcjonalna. Region konwergencji.
2. Jednolita zbieżność. Znak Weierstrassa.
3. Własności szeregów jednostajnie zbieżnych: ciągłość sumy szeregu, całkowanie i różniczkowanie wyrazowe.
4. Seria potęgowa. Twierdzenie Abela. Obszar zbieżności szeregu potęgowego. Promień zbieżności.
5. Podstawowe własności szeregów potęgowych: jednostajna zbieżność, ciągłość i nieskończona różniczkowalność sumy. Całkowanie wyrazowe i różniczkowanie szeregów potęgowych.

Seria funkcjonalna. Region konwergencji

Definicja 40.1. Nieskończona ilość funkcji

u 1 (x) + u 2 (x) +…+ u n (x) +…, (40.1)

gdzie u n (x) = f (x, n), nazywa się zakres funkcjonalny.

Jeśli określisz konkretną wartość liczbową X , seria (40.1) zamieni się w serię liczbową i w zależności od wyboru wartości X taki szereg może być zbieżny lub rozbieżny. Tylko szeregi zbieżne mają wartość praktyczną, dlatego ważne jest określenie tych wartości X , w którym szereg funkcjonalny staje się zbieżnym szeregiem liczbowym.

Definicja 40.2. Wiele znaczeń X , podstawiając je do szeregu funkcyjnego (40.1) otrzymuje się zbieżny szereg liczbowy, nazywa sięobszar konwergencjizakres funkcjonalny.

Definicja 40.3. Funkcja s(x), zdefiniowany w obszarze zbieżności szeregu, który dla każdej wartości X z obszaru zbieżności jest równa sumie odpowiedniego szeregu liczbowego uzyskanego z (40.1) dla danej wartości nazywa się x suma szeregu funkcyjnego.

Przykład. Znajdźmy obszar zbieżności i sumę szeregu funkcyjnego

1 + x + x² +…+ x n +…

Kiedy | X | ≥ 1, zatem odpowiednie szeregi liczbowe są rozbieżne. Jeśli

| X | < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вычисляемую по формуле:

Zatem zakresem zbieżności szeregu jest przedział (-1, 1), a jego suma ma wskazaną postać.

Komentarz . Podobnie jak w przypadku szeregów liczbowych można wprowadzić pojęcie sumy częściowej szeregu funkcyjnego:

s n = 1 + x + x² +…+ x n

i pozostała część szeregu: r n = s s n .

Jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego

Zdefiniujmy najpierw pojęcie jednostajnej zbieżności ciągu liczbowego.

Definicja 40.4. Sekwencja funkcjonalna nazywa się fn(x). równomiernie zbieżny do funkcji f na zbiorze X jeśli i

Notatka 1. Będziemy oznaczać zwykłą zbieżność ciągu funkcjonalnego i jednostajną zbieżność przez .

Uwaga 2 . Zwróćmy jeszcze raz uwagę na zasadniczą różnicę pomiędzy zbieżnością jednostajną a zbieżnością zwyczajną: w przypadku zbieżności zwyczajnej dla wybranej wartości ε dla każdego twój numer N, za co o godz n>N nierówność zachodzi:

W tym przypadku może się okazać, że dla danego ε jest to liczba ogólna N, zapewniając spełnienie tej nierówności dla dowolnego X , niemożliwe. W przypadku zbieżności jednostajnej taka liczba N, wspólne dla wszystkich x, istnieje.

Zdefiniujmy teraz pojęcie jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego. Ponieważ każdemu szeregowi odpowiada ciąg jego sum częściowych, jednostajną zbieżność szeregu wyznacza się poprzez jednostajną zbieżność tego ciągu:

Definicja 40.5. Szereg funkcjonalny nazywa sięjednolicie zbieżny na zbiorze X, jeśli na X sekwencja jego sum częściowych jest zbieżna równomiernie.

Znak Weierstrassa

Twierdzenie 40.1. Jeśli szereg liczbowy jest zbieżny zarówno dla wszystkich, jak i dla wszystkich n = 1, 2,... nierówność jest spełniona wtedy szereg jest zbieżny absolutnie i jednostajnie na zbiorze X.

Dowód.

Dla dowolnego ε > 0 s jest taki numer N. i dlatego

Dla reszty r n serii, oszacowanie jest sprawiedliwe

Zatem szereg jest zbieżny jednostajnie.

Komentarz. Zwykle nazywa się procedurę wyboru szeregu liczb spełniającego warunki Twierdzenia 40.1 majoryzacja i samą serię major dla danego zakresu funkcjonalnego.

Przykład. Dla serii funkcjonalnej specjalizacja o dowolnej wartości X jest szeregiem zbieżnym ze znakiem dodatnim. Dlatego pierwotny szereg zbiega się równomiernie do (-∞, +∞).

Własności szeregów jednostajnie zbieżnych

Twierdzenie 40.2. Jeśli funkcje u n (x) są ciągłe i szereg zbiega się równomiernie do X, to jego suma s (x) jest również ciągły w pewnym punkcie x 0 .

Dowód.

Wybierzmy ε > 0. Zatem istnieje taka liczba n 0 to

- suma skończonej liczby funkcji ciągłych, tzwciągły w pewnym punkcie x 0 . Istnieje zatem δ > 0 takie, że Następnie otrzymujemy:

Oznacza to, że funkcja s (x) jest ciągła w x = x 0.

Twierdzenie 40.3. Niech funkcje u n (x) ciągły w przedziale [ a, b ] i szereg jest zbieżny jednostajnie na tym odcinku. Wtedy szereg również jest zbieżny jednostajnie do [ a, b] i (40.2)

(to znaczy, zgodnie z warunkami twierdzenia, szereg można całkować wyraz po wyrazie).

Dowód.

Według Twierdzenia 40.2 funkcja s(x) = ciągły na [a, b ] i dlatego jest na nim całkowalny, to znaczy istnieje całka po lewej stronie równości (40.2). Pokażemy, że szereg jest jednostajnie zbieżny do funkcji

Oznaczmy

Wtedy dla dowolnego ε istnieje taka liczba N , co dla n > N

Oznacza to, że szereg jest zbieżny jednostajnie, a jego suma jest równa σ ( x) = .

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 40.4. Niech funkcje u n (x) są różniczkowalne w sposób ciągły na przedziale [ a, b ] oraz szereg złożony z ich pochodnych:

(40.3)

zbiega się równomiernie na [ a, b ] Wówczas, jeśli szereg jest zbieżny przynajmniej w jednym punkcie, to jest zbieżny równomiernie w całym [ a , b ], jego suma s (x )= jest funkcją różniczkowalną w sposób ciągły i

(serię można różnicować termin po terminie).

Dowód.

Zdefiniujmy funkcję σ( X ) Jak. Zgodnie z Twierdzeniem 40.3 szereg (40.3) można całkować termin po wyrazie:

Szereg po prawej stronie tej równości jest zbieżny jednostajnie do [ a, b ] zgodnie z Twierdzeniem 40.3. Ale zgodnie z warunkami twierdzenia szereg liczbowy jest zbieżny, dlatego szereg zbiega się równomiernie. Wtedy funkcja σ( T ) jest sumą równomiernie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych na [ a, b ] i dlatego sam jest ciągły. Wtedy funkcja jest różniczkowalna w sposób ciągły na [ a, b ] i to właśnie należało udowodnić.

Definicja 41.1. Seria potęgowa nazywa się szeregiem funkcjonalnym formy

(41.1)

Komentarz. Korzystanie z zamiennika x x 0 = t szereg (41.1) można sprowadzić do postaci, dlatego wystarczy udowodnić wszystkie własności szeregów potęgowych dla szeregów postaci

(41.2)

Twierdzenie 41.1 (pierwsze twierdzenie Abela).Jeśli szereg potęgowy (41,2) jest zbieżny przy x = x 0, to dla dowolnego x: | x |< | x 0 | szereg (41.2) jest zbieżny bezwzględnie. Jeżeli szereg (41.2) jest rozbieżny w punkcie x = x 0, wtedy jest rozbieżne dla dowolnego x: | x | > | x 0 |.

Dowód.

Jeśli szereg jest zbieżny, to istnieje stała c > 0:

Dlatego i seria dla | x |<| x 0 | jest zbieżny, ponieważ jest sumą nieskończenie malejącego postępu geometrycznego. Oznacza to, że szereg w | x |<| x 0 | absolutnie pasuje.

Jeżeli wiadomo, że szereg (41.2) jest rozbieżny w punkcie x = x 0 , to nie może zbiegać się w | x | > | x 0 | , ponieważ z tego, co zostało wcześniej udowodnione wynikałoby, że zbiega się w punkcie x 0 .

Tak więc, jeśli znajdziesz największą liczbę x 0 > 0 takie, że (41,2) jest zbieżne dla x = x 0, wówczas obszarem zbieżności tego szeregu, jak wynika z twierdzenia Abela, będzie przedział (- x 0 , x 0 ), ewentualnie obejmujący jedną lub obie granice.

Definicja 41.2. Nazywa się liczbę R ≥ 0 promień zbieżnościszereg potęgowy (41.2), jeżeli szereg ten jest zbieżny i rozbieżny. Interwał (- R, R) nazywa się przedział zbieżności seria (41,2).

Przykłady.

1. Aby zbadać zbieżność bezwzględną szeregu, stosujemy test D'Alemberta: . Dlatego szereg jest zbieżny tylko wtedy, gdy X = 0, a jego promień zbieżności wynosi 0: R = 0.
2. Korzystając z tego samego testu d’Alemberta, możemy wykazać, że szereg jest zbieżny dla dowolnego x, to znaczy
3. Dla szeregu korzystającego z kryterium d'Alemberta otrzymujemy:

Dlatego za 1< X < 1 ряд сходится, при

X< -1 и x > 1 jest rozbieżny. Na X = 1 otrzymujemy szereg harmoniczny, który, jak wiadomo, jest rozbieżny i kiedy X = -1 szereg jest zbieżny warunkowo według kryterium Leibniza. Zatem promień zbieżności rozważanego szeregu R = 1, a przedział zbieżności wynosi [-1, 1).

Wzory na wyznaczanie promienia zbieżności szeregu potęgowego.

1. wzór d'Alemberta.

Rozważmy szereg potęgowy i zastosujmy do niego kryterium d'Alemberta: aby szereg był zbieżny, konieczne jest, aby. Jeśli istnieje, to obszar zbieżności jest określony przez nierówność

- (41.3)

• wzór d'Alembertaobliczyć promień zbieżności.

1. Wzór Cauchy'ego-Hadamarda.

Korzystając z radykalnego testu Cauchy'ego i podobnego rozumowania, stwierdzamy, że możemy zdefiniować obszar zbieżności szeregu potęgowego jako zbiór rozwiązań nierówności, pod warunkiem istnienia tej granicy, i odpowiednio znaleźć inny wzór dla promienia zbieżności:

(41.4)

• Wzór Cauchy'ego-Hadamarda.

Własności szeregów potęgowych.

Twierdzenie 41.2 (Drugie twierdzenie Abela). Jeśli R promień zbieżności szeregu (41,2) i ten szereg jest zbieżny w x = R , to zbiega się równomiernie na przedziale (- R, R).

Dowód.

Szereg dodatni jest zbieżny zgodnie z Twierdzeniem 41.1. W konsekwencji szereg (41.2) zbiega się równomiernie w przedziale [-ρ, ρ] zgodnie z Twierdzeniem 40.1. Z wyboru ρ wynika, że ​​przedział jednostajnej zbieżności (- R., R ), co należało udowodnić.

Wniosek 1 . Na dowolnym odcinku mieszczącym się całkowicie w przedziale zbieżności suma szeregu (41,2) jest funkcją ciągłą.

Dowód.

Wyrazy szeregu (41.2) są funkcjami ciągłymi, a szereg jest zbieżny jednostajnie na rozpatrywanym przedziale. Wówczas ciągłość jego sumy wynika z Twierdzenia 40.2.

Konsekwencja 2. Jeżeli granice całkowania α, β leżą w przedziale zbieżności szeregu potęgowego, to całka z sumy szeregu jest równa sumie całek wyrazów szeregu:

(41.5)

Dowód tego twierdzenia wynika z Twierdzenia 40.3.

Twierdzenie 41.3. Jeżeli szereg (41.2) ma przedział zbieżności (- R, R), a następnie szereg

φ (x) = za 1 + 2 za 2 x + 3 za 3 x ² +…+ na n x n- 1 +…, (41,6)

otrzymany przez różniczkowanie wyrazowe szeregu (41.2) ma ten sam przedział zbieżności (- R, R). W której

φ΄(x) = s΄(x) dla | x |< R , (41.7)

to znaczy, że w przedziale zbieżności pochodna sumy szeregu potęgowego jest równa sumie szeregu otrzymanej w wyniku jego różniczkowania po wyrazie.

Dowód.

Wybierzmy ρ: 0< ρ < R и ζ: ρ < ζ < R . Zatem szereg jest zbieżny, to znaczy Jeśli| x | ≤ ρ, zatem

Gdzie Zatem wyrazy szeregu (41,6) mają mniejszą wartość bezwzględną niż wyrazy szeregu ze znakiem dodatnim, który jest zbieżny zgodnie z kryterium D’Alemberta:

czyli jest majorantem szeregu (41,6) dla Zatem szereg (41,6) jest zbieżny jednostajnie na [-ρ, ρ]. Zatem zgodnie z Twierdzeniem 40.4 prawdziwa jest równość (41.7). Z wyboru ρ wynika, że ​​szereg (41.6) zbiega się w dowolnym punkcie wewnętrznym przedziału (- R, R).

Udowodnimy, że poza tym przedziałem szereg (41,6) jest rozbieżny. Rzeczywiście, gdyby zbiegł się w x 1 > R , następnie całkując wyraz po wyrazie w przedziale (0, x2), r< x 2 < x 1 , otrzymalibyśmy, że szereg (41.2) jest zbieżny w tym punkcie x 2 , co jest sprzeczne z warunkami twierdzenia. Zatem twierdzenie zostało całkowicie udowodnione.

Komentarz . Z kolei szereg (41.6) można różnicować wyraz po wyrazie i operację tę można wykonywać dowolną ilość razy.

Wniosek: jeśli szereg potęgowy zbiega się na przedziale (- R., R ), to jej suma jest funkcją, która ma pochodne dowolnego rzędu w przedziale zbieżności, z których każda jest sumą szeregu otrzymanego z pierwotnego przy zastosowaniu różniczkowania wyrazowego odpowiednią liczbę razy; Co więcej, przedział zbieżności dla szeregu pochodnych dowolnego rzędu wynosi (- R, R).

Katedra Informatyki i Matematyki Wyższej KSPU