Wszystkie właściwości prostokąta. Co to jest prostokąt? Szczególne przypadki prostokąta. Przeciwne boki są równoległe

Definicja. Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony są równoległe parami.

Nieruchomość. W równoległoboku przeciwległe boki są równe i przeciwległe kąty są równe.

Nieruchomość. Przekątne równoległoboku są podzielone na pół w punkcie przecięcia.

1 znak równoległoboku. Jeśli dwa boki czworokąta są równe i równoległe, wówczas czworokąt jest równoległobokiem.

2 znak równoległoboku. Jeśli w czworokącie przeciwne boki są równe parami, wówczas ten czworokąt jest równoległobokiem.

3 znak równoległoboku. Jeśli przekątne czworoboku przecinają się i są podzielone na pół przez punkt przecięcia, wówczas czworokąt jest równoległobokiem.

Definicja. Trapez to czworokąt, w którym dwa boki są równoległe, a pozostałe dwa boki nie są równoległe. Nazywa się boki równoległe powodów.

Trapez nazywa się równoramienne (równoboczne), jeśli jego boki są równe. W trapezie równoramiennym kąty przy podstawach są równe.

Nazywa się trapezem, którego jeden z kątów jest prosty prostokątny.

Nazywa się odcinek łączący środki boków linia środkowa trapezu. Linia środkowa jest równoległa do podstaw i równa ich połowie sumy.

Definicja. Prostokąt to równoległobok, którego kąty są dobre.

Nieruchomość. Przekątne prostokąta są równe.

Znak prostokąta. Jeżeli przekątne równoległoboku są równe, to ten równoległobok jest prostokątem.

Definicja. Romb to równoległobok, w którym wszystkie boki są równe.

Nieruchomość. Przekątne rombu są wzajemnie prostopadłe i przecinają jego kąty na pół.

Definicja. Kwadrat to prostokąt, którego wszystkie boki są równe.

Kwadrat jest szczególnym typem prostokąta, a także specjalnym typem rombu. Dlatego posiada wszystkie ich właściwości.

Nieruchomości:
1. Wszystkie kąty kwadratu są proste

2. Przekątne kwadratu są równe, wzajemnie prostopadłe, punkt przecięcia dzieli i dzieli na pół narożniki kwadratu.

Definicja.

Prostokąt jest czworokątem, w którym dwa przeciwległe boki są równe i wszystkie cztery kąty są równe.

Prostokąty różnią się od siebie jedynie stosunkiem długiego boku do krótszego boku, ale wszystkie cztery rogi są proste, czyli 90 stopni.

Nazywa się dłuższy bok prostokąta długość prostokąta i ten krótki - szerokość prostokąta.

Boki prostokąta są jednocześnie jego wysokościami.

Podstawowe właściwości prostokąta

Prostokąt może być równoległobokiem, kwadratem lub rombem.

1. Przeciwległe boki prostokąta mają tę samą długość, to znaczy są równe:

AB = CD, BC = AD

2. Przeciwległe boki prostokąta są równoległe:

3. Sąsiednie boki prostokąta są zawsze prostopadłe:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Wszystkie cztery rogi prostokąta są proste:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Suma kątów prostokąta wynosi 360 stopni:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Przekątne prostokąta mają tę samą długość:

7. Suma kwadratów przekątnej prostokąta jest równa sumie kwadratów boków:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Każda przekątna prostokąta dzieli prostokąt na dwie identyczne figury, czyli trójkąty prostokątne.

9. Przekątne prostokąta przecinają się i w punkcie przecięcia dzielą się na pół:

		AO=BO=CO=ZROBIĆ=	D
			2

10. Punkt przecięcia przekątnych nazywany jest środkiem prostokąta i jest także środkiem okręgu opisanego

11. Przekątna prostokąta to średnica okręgu opisanego

12. Zawsze możesz opisać okrąg wokół prostokąta, ponieważ suma przeciwnych kątów wynosi 180 stopni:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Nie można wpisać koła w prostokąt, którego długość nie jest równa jego szerokości, gdyż sumy przeciwległych boków nie są sobie równe (okrąg można wpisać tylko w szczególnym przypadku prostokąta – kwadratu) .

Boki prostokąta

Definicja.

Długość prostokąta jest długością dłuższej pary jego boków. Szerokość prostokąta jest długością krótszej pary jego boków.

Wzory na wyznaczanie długości boków prostokąta

1. Wzór na bok prostokąta (długość i szerokość prostokąta) poprzez przekątną i drugi bok:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Wzór na bok prostokąta (długość i szerokość prostokąta) przechodzący przez pole i drugi bok:

b = dcos	β
	2

Przekątna prostokąta

Definicja.

Przekątny prostokąt Nazywa się dowolny odcinek łączący dwa wierzchołki przeciwległych narożników prostokąta.

Wzory na określenie długości przekątnej prostokąta

1. Wzór na przekątną prostokąta wykorzystując dwa boki prostokąta (poprzez twierdzenie Pitagorasa):

re = √ za 2 + b 2

2. Wzór na przekątną prostokąta wykorzystując pole i dowolny bok:

4. Wzór na przekątną prostokąta ze względu na promień opisanego koła:

d = 2R

5. Wzór na przekątną prostokąta ze względu na średnicę okręgu opisanego:

re = D o

6. Wzór na przekątną prostokąta wykorzystując sinus kąta przylegającego do przekątnej i długość boku przeciwnego do tego kąta:

8. Wzór na przekątną prostokąta poprzez sinus kąta ostrego między przekątnymi a polem prostokąta

d = √2S: grzech β

Obwód prostokąta

Definicja.

Obwód prostokąta jest sumą długości wszystkich boków prostokąta.

Wzory na określenie długości obwodu prostokąta

1. Wzór na obwód prostokąta wykorzystując dwa boki prostokąta:

P = 2a + 2b

P = 2(a + b)

2. Wzór na obwód prostokąta z wykorzystaniem pola i dowolnego boku:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	A		B

3. Wzór na obwód prostokąta wykorzystując przekątną i dowolny bok:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Wzór na obwód prostokąta wykorzystując promień okręgu opisanego i dowolny bok:

P = 2(a + √4R 2 - 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Wzór na obwód prostokąta wykorzystując średnicę opisanego koła i dowolnego boku:

P = 2(a + √D o 2 - 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Pole prostokąta

Definicja.

Pole prostokąta nazywana przestrzenią ograniczoną bokami prostokąta, czyli mieszczącą się w obwodzie prostokąta.

Wzory do wyznaczania pola prostokąta

1. Wzór na pole prostokąta wykorzystujący dwa boki:

S = a b

2. Wzór na pole prostokąta z wykorzystaniem obwodu i dowolnego boku:

5. Wzór na pole prostokąta wykorzystujący promień okręgu opisanego i dowolny bok:

S = a √4R 2 - 2= b √4R 2 - b 2

6. Wzór na pole prostokąta wykorzystujący średnicę okręgu opisanego i dowolny bok:

S = za √D o 2 - 2= b √D o 2 - b 2

Okrąg opisany na prostokącie

Definicja.

Okrąg opisany na prostokącie jest okręgiem przechodzącym przez cztery wierzchołki prostokąta, którego środek leży na przecięciu przekątnych prostokąta.

Wzory na wyznaczanie promienia okręgu opisanego na prostokącie

1. Wzór na promień okręgu opisanego na prostokącie z dwóch stron:

Cele Lekcji

Utrwalenie wiedzy uczniów na temat prostokąta tematycznego;
Kontynuuj zapoznawanie uczniów z definicjami i właściwościami prostokąta;
Naucz uczniów, jak wykorzystywać zdobytą wiedzę na ten temat przy rozwiązywaniu problemów;
Rozwijaj zainteresowanie tematem matematyki, uwagi, logicznego myślenia;
Rozwijaj umiejętność samoanalizy i dyscypliny.

Cele Lekcji

Powtórzenie i utrwalenie wiedzy uczniów na temat pojęcia prostokąta w oparciu o wiedzę zdobytą w klasach poprzednich;
Kontynuuj pogłębianie wiedzy uczniów na temat właściwości i cech prostokątów;
Kontynuuj rozwijanie umiejętności w procesie rozwiązywania zadań;
Wzbudzać zainteresowanie lekcjami matematyki;
Pielęgnuj zainteresowanie naukami ścisłymi i pozytywne nastawienie do lekcji matematyki.

Plan lekcji

1. Część teoretyczna, informacje ogólne, definicje.
2. Powtórzenie tematu „Prostokąty”.
3. Właściwości prostokąta.
4. Znaki prostokąta.
5. Ciekawe fakty z życia trójkątów.
6. Złoty prostokąt, pojęcia ogólne.
7. Pytania i zadania.

Co to jest prostokąt

Na poprzednich zajęciach zapoznawałeś się już z tematami dotyczącymi prostokątów. Teraz odświeżmy naszą pamięć i przypomnijmy sobie, jaki rodzaj figury nazywa się prostokątem.

Prostokąt to równoległobok, którego cztery kąty są proste i równe 90 stopni.

Prostokąt to figura geometryczna składająca się z 4 boków i czterech kątów prostych.

Przeciwległe boki prostokąta są zawsze równe.

Jeśli weźmiemy pod uwagę definicję prostokąta zgodnie z geometrią euklidesową, to aby czworokąt można było uznać za prostokąt, konieczne jest, aby w tej figurze geometrycznej co najmniej trzy kąty były proste. Wynika z tego, że czwarty kąt również będzie wynosił dziewięćdziesiąt stopni.

Chociaż jasne jest, że gdy suma kątów czworoboku nie wynosi 360 stopni, wówczas figura ta nie jest prostokątem.

Jeśli zwykły prostokąt ma wszystkie boki równe sobie, wówczas taki prostokąt nazywa się kwadratem.

W niektórych przypadkach kwadrat może działać jak romb, jeśli taki romb oprócz równych boków ma wszystkie kąty proste.

Aby udowodnić udział dowolnej figury geometrycznej w prostokącie wystarczy, że ta figura geometryczna spełnia przynajmniej jeden z poniższych warunków:

1. kwadrat przekątnej tej figury musi być równy sumie kwadratów 2 boków mających wspólny punkt;
2. przekątne figury geometrycznej muszą mieć tę samą długość;
3. wszystkie kąty figury geometrycznej muszą być równe dziewięćdziesiąt stopni.

Jeśli te warunki spełniają przynajmniej jeden wymóg, to masz prostokąt.

Prostokąt w geometrii jest główną figurą podstawową, która ma wiele podtypów, z własnymi specjalnymi właściwościami i cechami.

Ćwiczenia: Nazwij kształty geometryczne należące do prostokątów.

Prostokąt i jego właściwości

Przypomnijmy sobie teraz właściwości prostokąta:

Prostokąt ma wszystkie przekątne równe;
Prostokąt to równoległobok o równoległych przeciwległych bokach;
Boki prostokąta będą jednocześnie jego wysokościami;
Prostokąt ma równe przeciwne boki i kąty;
Okrąg można opisać na dowolnym prostokącie, a przekątna prostokąta będzie równa średnicy opisanego koła.
Przekątne prostokąta dzielą go na 2 równe trójkąty;
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa kwadrat przekątnej prostokąta jest równy sumie kwadratów jego 2 przeciwległych boków;

Ćwiczenia:

1. Prostokąt ma dwie możliwości podzielenia go na 2 równe prostokąty. Narysuj w zeszycie dwa prostokąty i podziel je tak, aby otrzymać 2 równe prostokąty.

2. Narysuj okrąg wokół prostokąta, którego średnica będzie równa przekątnej prostokąta.

3. Czy można wpisać okrąg w prostokąt tak, aby dotykał wszystkich boków, pod warunkiem jednak, że prostokąt ten nie jest kwadratem?

Znaki prostokątne

Równoległobok będzie prostokątem pod warunkiem, że:

1. jeśli przynajmniej jeden z jego kątów jest prosty;
2. jeśli wszystkie cztery jego kąty są proste;
3. jeśli przeciwne strony są równe;
4. jeśli co najmniej trzy kąty są proste;
5. jeśli jego przekątne są równe;
6. jeśli kwadrat przekątnej jest równy sumie kwadratów przeciwległych boków.

To ciekawe wiedzieć

Czy wiesz, że jeśli narysujesz dwusieczne narożników prostokąta, który ma nierówne sąsiednie boki, to kiedy się przetną, otrzymasz prostokąt.

Ale jeśli narysowana dwusieczna prostokąta przecina jeden z jego boków, to odcina z tego prostokąta trójkąt równoramienny.

Czy wiesz, że jeszcze zanim Malewicz namalował swój wybitny „Czarny kwadrat”, w 1882 r., na wystawie w Paryżu, zaprezentowano obraz Paula Bilo, którego płótno przedstawiało czarny prostokąt o osobliwej nazwie „Bitwa Murzynów w tunel".

Ten pomysł z czarnym prostokątem zainspirował inne postacie kultury. Francuski pisarz i humorysta Alphonse Allais wydał całą serię swoich dzieł i z czasem pojawił się prostokątny krajobraz w radykalnie czerwonym kolorze zatytułowany „Zbieranie pomidorów nad brzegiem Morza Czerwonego przez apoplektycznych kardynałów”, który również nie miał żadnego obrazu.

Ćwiczenia

1. Podaj nazwę właściwości charakterystycznej tylko dla prostokąta?
2. Jaka jest różnica między dowolnym równoległobokiem a prostokątem?
3. Czy prawdą jest, że dowolny prostokąt może być równoległobokiem? Jeśli tak jest, to udowodnij dlaczego?
4. Wymień czworokąty będące prostokątami.
5. Podaj właściwości prostokąta.

Fakt historyczny

Prostokąt Euklidesa

Czy wiesz, że prostokąt Euklidesa, zwany złotym podziałem, przez długi czas był dla każdego budynku o znaczeniu religijnym doskonałą i proporcjonalną podstawą konstrukcyjną w tamtych czasach. Z jego pomocą zbudowano większość renesansowych budynków i klasycznych świątyń w starożytnej Grecji.

„Złoty” prostokąt nazywany jest zwykle prostokątem geometrycznym, stosunek większego boku do mniejszego jest równy złotemu podziałowi.

Stosunek boków tego prostokąta wynosił 382 do 618, czyli w przybliżeniu 19 do 31. Prostokąt euklidesowy był wówczas najwygodniejszym, najwygodniejszym, bezpiecznym i regularnym prostokątem ze wszystkich kształtów geometrycznych. Ze względu na tę cechę w całym tekście zastosowano prostokąt euklidesowy lub jego przybliżenia. Używano go w domach, obrazach, meblach, oknach, drzwiach, a nawet książkach.

Wśród Indian Navajo prostokąt porównywano z formą żeńską, uważano go bowiem za zwykły, standardowy kształt domu, symbolizujący kobietę, która jest jego właścicielką.

Przedmioty > Matematyka > Matematyka 8. klasa

Prostokąt jest Po pierwsze geometryczna płaska figura. Składa się z czterech punktów połączonych ze sobą dwiema parami równych odcinków, które przecinają się prostopadle tylko w tych punktach.

Prostokąt definiuje się poprzez równoległobok. Innymi słowy, prostokąt jest równoległobokiem, którego wszystkie kąty są kątami prostymi, czyli równymi 90 stopni. W geometrii euklidesowej, jeśli figura geometryczna ma 3 z 4 kątów równych 90 stopni, to czwarty kąt automatycznie przyjmuje 90 stopni i taką figurę można nazwać prostokątem. Z definicji równoległoboku jasno wynika, że ​​prostokąt to wiele odmian tej figury na płaszczyźnie. Wynika z tego, że właściwości równoległoboku odnoszą się również do prostokąta. Na przykład: w prostokącie przeciwne boki mają taką samą długość. Konstruując przekątną w prostokącie, podzieli figurę na dwa identyczne trójkąty. Jest to podstawa twierdzenia Pitagorasa, które stwierdza, że ​​kwadrat przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym jest równy sumie kwadratów jego nóg. Jeśli wszystkie boki zwykłego prostokąta są równe, wówczas taki prostokąt nazywa się kwadratem. Kwadrat definiuje się również jako romb, w którym wszystkie jego boki są równe, a wszystkie kąty są kątami prostymi.

Kwadrat prostokąt można znaleźć według wzoru: S=a*b, gdzie a jest długością tego prostokąta, b jest szerokością. Na przykład: pole prostokąta o bokach 4 i 6 cm będzie równe 4 * 6 = 24 centymetry kwadratowe.

Obwód itppitagon oblicza się ze wzoru: P= (a+b)*2, gdzie a jest długością prostokątów, b jest szerokością danego prostokąt. Przykładowo: obwód prostokąta o bokach 4 i 8 cm wynosi 24 cm, a przekątne prostokąta wpisanego w okrąg pokrywają się ze średnicą tego koła. Punkt przecięcia tych przekątnych będzie środkiem okręgu.

Dowodząc włączenia figury geometrycznej w prostokąt, sprawdza się, czy figura ta spełnia którykolwiek z warunków: 1 – kwadrat przekątnej figurki równa sumie kwadratów dwóch boków z jednym wspólnym punktem; 2 – przekątne figurki mieć równą długość; 3 – wszystkie kąty mają miarę 90 stopni. Jeśli spełniony jest przynajmniej jeden warunek, figurę można nazwać prostokątem.

4. Wzór na promień okręgu opisany wokół prostokąta przez przekątną kwadratu:

5. Wzór na promień okręgu opisany wokół prostokąta przez średnicę okręgu (opisany):

6. Wzór na promień okręgu opisany wokół prostokąta przez sinus kąta przylegającego do przekątnej i długość boku przeciwnego do tego kąta:

7. Wzór na promień okręgu opisany wokół prostokąta przez cosinus kąta przylegającego do przekątnej i długość boku tego kąta:

8. Wzór na promień okręgu opisany wokół prostokąta poprzez sinus kąta ostrego między przekątnymi i polem prostokąta:

Kąt między bokiem a przekątną prostokąta.

Wzory na określenie kąta między bokiem a przekątną prostokąta:

1. Wzór na określenie kąta między bokiem a przekątną prostokąta przez przekątną i bok:

2. Wzór na określenie kąta między bokiem a przekątną prostokąta poprzez kąt między przekątnymi:

Kąt między przekątnymi prostokąta.

Wzory na określenie kąta między przekątnymi prostokąta:

1. Wzór na określenie kąta między przekątnymi prostokąta poprzez kąt między bokiem a przekątną:

β = 2α

2. Wzór na określenie kąta między przekątnymi prostokąta przez pole i przekątną.