집

두 변수의 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾습니다. 제한된 닫힌 영역에서 함수의 최대값과 최소값을 찾는 방법은 무엇입니까? 여러 변수의 함수의 극값

정의 1.11 두 변수의 함수를 주어보자 z=z(x,y), (x,y) 디 . 점 중 0 (엑스 0 ;와이 0 ) - 해당 지역의 내부 지점 디 .

만약에 디 그런 동네가 있구나 U.M. 0 포인트들 중 0 , 모든 점에 대해

그럼 가리켜 중 0 지역 최대점(Local maximum point)이라고 합니다. 그리고 그 의미 자체는 z(M 0 ) - 지역 최대값.

그리고 모든 포인트에 대해

그럼 가리켜 중 0 을 함수의 국소 최소점이라고 합니다. z(x,y) . 그리고 그 의미 자체는 z(M 0 ) - 지역 최소값.

지역 최대값과 지역 최소값을 함수의 지역 극값이라고 합니다. z(x,y) . 그림에서. 1.4는 지역 최대값의 기하학적 의미를 설명합니다. 중 0 - 표면상 최대점 z =z(x,y) 해당 지점 씨 0 이웃한 어떤 지점보다 높다 씨 (이것은 최대의 지역성입니다).

일반적으로 표면에는 점이 있습니다(예: 안에 ), 위에 있는 씨 0 , 하지만 이러한 점(예: 안에 )는 요점에 "이웃"이 아닙니다 씨 0 .

특히, 점 안에 전역 최대값 개념에 해당합니다.

전역 최소값은 비슷하게 정의됩니다.

전역 최대값과 최소값을 찾는 방법은 섹션 1.10에서 논의됩니다.

정리 1.3 ( 필요한 조건극단).

기능을 부여하자 z =z (x,y), (x,y) 디 . 점 중 0 (엑스 0 ;와이 0 디 - 국부적 극점.

이 시점에 있다면 지" 엑스 그리고 지" 와이 , 저것

기하학적 증명은 "명백하다". 만약 그 시점에 씨 0 접선 평면을 그립니다(그림 1.4). 그러면 "자연스럽게" 수평으로, 즉 비스듬히 지나갑니다. 0° 축으로 오 그리고 축으로 OU .

그런 다음 부분 도함수의 기하학적 의미에 따라(그림 1.3):

Q.E.D.

정의 1.12.

만약 그 시점에 중 0 조건(1.41)이 충족되면 이를 함수의 정지점이라고 합니다. z(x,y) .

정리 1.4(극값에 대한 충분 조건)

주어지게 하라 z =z (x,y), (x,y) 디 , 이는 점 근처에서 2차 편도함수를 갖습니다. 중 0 (엑스 0 ,와이 0 ) 디 . 게다가 중 0 - 고정점(즉, 필수 조건(1.41)이 충족됨) 계산해보자:

정리의 증명에서는 이 튜토리얼에서 다루지 않는 주제(여러 변수의 함수에 대한 테일러의 공식 및 이차 형태의 이론)를 사용합니다.

예제 1.13.

극한까지 탐험해보세요:

1. 시스템(1.41)을 해결하여 고정점을 찾습니다.

즉, 4개의 고정점이 발견됩니다. 2.

정리 1.4에 따르면 최소값이 있습니다. 게다가

요점에서 정리 1.4에 의해

최고. 게다가

§10 닫힌 영역에서 두 변수의 함수의 최대값과 최소값

정리 1.5 닫힌 영역에 놔두세요 디 지정된 기능 z=z(x,y) , 1차 연속 부분 도함수를 가집니다. 국경 G 지역 디 부분적으로 매끄러움(즉, "촉감이 부드러운" 곡선 또는 직선 조각으로 구성됨) 그러면 그 지역에서 디 기능 z(x,y) 가장 큰 도달 중 그리고 최소한 중 가치.

증거가 없습니다.

찾기를 위해 다음과 같은 계획을 제안할 수 있습니다. 중 그리고 중 . 1. 도면을 작성하고 영역 경계의 모든 부분을 선택합니다. 디 그리고 국경의 모든 "모서리" 지점을 찾으세요. 2. 내부의 고정점 찾기 디 . 3. 각 경계에서 정지점을 찾습니다. 4. 모든 고정점과 모서리점을 계산한 다음 가장 큰 점을 선택합니다. 중 그리고 최소한 중 의미.

실시예 1.14 가장 큰 것을 찾아라 중 그리고 최소한 중 함수 값 z = 4x2-2xy+y2-8x 폐쇄된 공간에서 디 , 제한됨: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. 영역을 구축하자 디 (그림 1.5) 비행기에서 오오 .

코너 포인트: O(0; 0), B(0; 4), A(3; 0) .

국경 G 지역 디 세 부분으로 구성됩니다:

2. 지역 내 정지 지점 찾기 디 :

3. 경계의 고정점 엘 1 , 내가 2 , 내가 3 :

4. 6가지 값을 계산합니다.

얻은 6개의 값 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택합니다.

함수 y=f(x)가 세그먼트에서 연속이라고 가정합니다. 아시다시피 이 기능은 최고의 잠재력을 발휘합니다. 그리고 이름 가치. 이 함수는 세그먼트의 내부 지점이나 세그먼트의 경계에서 이러한 값을 취할 수 있습니다. =a 또는 =b일 때. 그렇다면 그 점은 다음 중에서 찾아야 한다. 임계점이 기능.

함수의 최대값과 최소값을 찾기 위해 다음 규칙을 얻습니다.

1) 구간 (a,b)에서 함수의 임계점을 찾습니다.

2) 발견된 임계점에서 함수 값을 계산합니다.

3) 세그먼트 끝의 함수 값을 계산합니다. 즉 x=a 및 x=b 지점에서;

4) 계산된 함수의 모든 값 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택합니다.

노트:

1. 세그먼트의 함수 y=f(x)에 단 하나의 임계점이 있고 그것이 최대(최소) 지점인 경우 이 지점에서 함수는 가장 큰(가장 작은) 값을 취합니다.

2. 세그먼트의 함수 y=f(x)에 임계점이 없으면 함수가 단조롭게 증가하거나 감소함을 의미합니다. 그러므로 당신의 가장 높은 가치(M) 함수는 세그먼트의 한쪽 끝을 취하고 다른 쪽 끝에서 가장 작은(m)을 취합니다.

60. 복소수. 무아브르의 공식.
복소수이름 z = x + iy 형식의 표현. 여기서 x와 y는 실수이고 i는 소위입니다. 허수 단위, . x=0이면 숫자 0+iy=iy가 호출됩니다. 허수; y=0이면 숫자 x+i0=x는 실수 x로 식별됩니다. 이는 모든 집합 R이 실수임을 의미합니다. 현상의 수 전체 집합 C의 부분 집합 복소수, 즉. . 번호 x 이름 실수부 z, . x1=x2, y1=y2처럼 실수 부분과 허수 부분이 같은 경우에만 두 복소수를 같다고 합니다(z1=z2). 특히 복소수 Z=x+iy는 x=y=0인 경우에만 0과 같습니다. 복소수에는 "더 많이"와 "더 적게"라는 개념이 도입되지 않았습니다. 두 개의 복소수 z=x+iy 및 는 허수부의 부호만 다른 것을 켤레라고 합니다.

복소수의 기하학적 표현.

임의의 복소수 z = x + iy는 x=Re z, y=Im z가 되는 옥시 평면의 점 M(x,y)로 표현될 수 있습니다. 그리고, 반대로 좌표평면의 각 점 M(x;y)은 복소수 z = x + iy의 이미지로 볼 수 있다. 복소수가 표시되는 평면을 복소 평면이라고 합니다. 실수 z = x + 0i = x가 그 위에 놓여 있습니다. 세로축은 순전히 허수인 복소수 z = 0 + iy가 위에 있기 때문에 허수축이라고 합니다. 복소수 Z=x+iy는 반지름 벡터 r=OM=(x,y)를 사용하여 지정할 수 있습니다. 복소수 z를 나타내는 벡터 r의 길이를 이 숫자의 모듈러스라고 하며 |z|로 표시합니다. 또는 r. 사이의 각도의 크기 실수축의 방향과 복소수를 나타내는 벡터 r을 이 복소수의 인수라고 하며 Arg z 또는 로 표시합니다. 복소수 인수 Z=0은 정의되지 않습니다. 복소수의 인수는 다중 값 수량이며 인수 z가 간격()에 포함된 인수의 주요 값인 항까지 결정됩니다. - (간혹 (0; ) 간격에 속하는 값이 인수의 주요 값으로 사용됩니다.)

z=x+iy 형식으로 숫자 z를 쓰는 것을 복소수의 대수적 형식이라고 합니다.

복소수 연산

덧셈.두 복소수 z1=x1+iy1과 z2=x2+iy2의 합은 동등성으로 정의되는 복소수입니다: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). 복소수의 덧셈에는 교환 및 결합 속성이 있습니다: z1+z2=z2+z1. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 빼기.뺄셈은 덧셈의 역수로 정의됩니다. 복소수 z1과 z2의 차이는 복소수 z이며, z2에 더하면 숫자 z1이 됩니다. 즉, z=z1-z2, z+z2=z1인 경우. z1=x1+iy1, z2=x2+iy2이면 이 정의에서 z: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2)를 쉽게 얻을 수 있습니다. 곱셈.복소수 z1=x1+iy1과 z2=x2+iy2의 곱은 z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2) 등식으로 정의되는 복소수입니다. 여기에서 특히 다음과 같습니다. 숫자가 삼각법 형식으로 제공되는 경우: .

복소수를 곱할 때 해당 모듈이 곱해지고 인수가 추가됩니다. 무아브르의 공식(n개의 요인이 있고 모두 동일한 경우): .

강의 28. 여러 변수의 극한 함수 연구. 조건부 극값여러 변수의 함수.

많은 변수의 함수를 극한까지 연구하는 것은 하나의 변수 함수에 대한 유사한 절차보다 훨씬 더 복잡한 절차입니다. 따라서 우리는 두 변수의 함수에 대한 가장 간단하고 가장 예시적인 예를 사용하여 이 문제를 고려하는 것으로 제한하겠습니다(그림 1 참조). 여기 남 1(x 1 ; y 1), 남 2(x2; y 2), 남 3(x 3 ; y 3)는 이 함수의 극점입니다. 즉, 포인트 남 1그리고 남 3 –함수의 최소점과 점 남 2– 최대 지점. 그림 1은 세 개의 극점을 갖는 함수를 보여 주지만 당연히 이러한 점이 더 많거나 적을 수 있습니다.

두 변수의 함수에 대한 극값이 무엇인지 더 정확하게 정의해 보겠습니다.

정의. 이 기능은 최고(최저한의) 한 지점에서, 특정 이웃(그 지점의 이웃)에 위치한 임의의 지점에 대해 다음이 유지됩니다. (). - 이웃은 좌표가 조건을 만족하는 점의 집합으로 표현될 수 있습니다. , 여기서 는 충분히 작은 양의 숫자입니다.

함수의 최대값과 최소값을 호출합니다. 과격한 수단, ㅏ - 극한점.

허락하다 M0(x 0 ; 와이 0) – 함수의 극한점(최대점 또는 최소점)입니다. 그렇다면 공평하다

정리 1.

극한 지점에 있는 경우 M0(x 0 ; 와이 0) 부분 파생물이 있습니다 그리고 이면 둘 다 0과 같습니다.

2) 이제 기능을 고려해 보겠습니다. . 왜냐하면 는 이 함수의 극값이고, 다음에서 이 함수의 도함수입니다. 와이 = 와이 0, 존재하는 경우 0과 같습니다.

(3)

정리가 입증되었습니다.

조건 (1)은 다음과 같습니다. 꼭 필요한현재 상황의 극단적인 상황 M0(x 0 ; 와이 0) 이 시점에서 함수는 미분 가능합니다. 즉, 이러한 조건은 해당 시점의 내용에 대한 충분조건이 아닙니다. M0(x 0 ; 와이 0) 함수에는 극값(최대 또는 최소)이 있습니다. 즉, 기간 M0(x 0 ; 와이 0)는 두 등식 (1)이 모두 충족되는 경우입니다. 단지 의심스러운함수의 극한점까지. 극한값에 대한 의심스러운 지점의 성격에 대한 최종 결론은 다음을 사용하여 내릴 수 있습니다. 다음 정리(출력 없이 제시합니다):

정리 2.(극한의 충분조건)

허락하다 M0(x 0 ; 와이 0) – 지역에서 그런 지점 디이 함수의 극한값에 대한 필수 조건(1)이 충족되는 함수를 정의합니다. 그건 M0(x 0 ; 와이 0) – 극값이 의심되는 지점입니다. 이 시점에서 숫자를 찾아보자

(4)

1) 만일 > 0과 > 0(또는 С>0~에 A=0), 저것 M0(x 0 ; 와이 0) – 함수의 최소점 .

2) 경우 > 0과 < 0(또는 와 함께<0 ~에 A=0), 저것 M0(x 0 ; 와이 0) – 함수의 최대점 .

3) 만일 < 0, 그다음 포인트 M0(x 0 ; 와이 0) – 함수의 극점이 아님 .

4) 만일 = 0이면 질문은 계속 열려 있습니다. 추가 연구가 필요합니다.

예시 1.허락하다 엑스그리고 ~에– 생산된 두 상품의 수량; 피 1 = 8 문지름. 그리고 피 2 = 10 문지름. – 각 상품의 단가 C= 0,01(x 2 + xy + y 2)는 이러한 상품의 생산 비용(루블 단위)의 함수입니다. 그럼 수입 아르 자형상품 판매에서 R = 8x+10y(문지름) 및 이익 피(루블 단위)

피 = R – C = 8엑스+ 10와이 – 0,01(x 2 +xy+y 2).

볼륨을 찾아보자 엑스그리고 ~에이익을 얻는 상품 피최대가 됩니다.

1) 먼저 값을 찾습니다. x;y), 함수의 극값이 의심됩니다. 피:

2) 이제 발견된 의심스러운 극한함수를 살펴보겠습니다. 피가리키다 남 0(200; 400). 이를 위해 이 시점에서 식 (4)에 의해 결정된 값을 찾을 것입니다. 왜냐하면

이는 모든 경우에 해당됩니다( 엑스; ~에), 따라서 이 시점에서 남 0(200; 400), 그런 다음

왜냐하면 그렇지 않으면 요점이 남 0(200; 400) - 함수의 최대점 피. 즉 이익을 피판매에서 최대 x = 200(단위)그리고 와이 = 400(단위) 2800 루블과 같습니다.

예시 2.함수의 극점과 극단값 찾기

해결책.이 함수는 임의의 변수에 대해 정의된 두 변수의 함수입니다. 엑스그리고 ~에, 즉, 전체 평면에서 어떻게, 각 점에서 1차 부분 도함수를 가집니다.

먼저 비행기의 점을 찾습니다. 어떻게, 이 함수에 대한 극한값이 의심됩니다.

그런 다음 함수의 2차 부분 도함수를 찾은 후 다음과 같은 표현식을 작성합니다.

이제 극한값이 의심되는 4개 지점 각각에 대해 이러한 수량의 수치 값을 계산하면 이러한 지점에 대해 다음과 같은 결론을 얻을 수 있습니다.

점 분.

점 최대.

극단적인 점은 아닙니다.

이제 이 함수 그래프의 두 꼭지점 높이를 결정하는 함수의 두 극단(최대) 값을 찾아보겠습니다.

닫힌 영역에서 두 변수 함수의 최대값과 최소값을 결정합니다.

다음 문제를 생각해 봅시다. 가 도메인의 내부인 닫힌 도메인에서 고려되는 두 변수의 연속 함수라고 가정하겠습니다. G– 경계(그림 8.6)

함수가 영역에서 연속적이라는 사실은 이 함수의 그래프(공간의 표면)가 모든 에 대해 연속(불연속 없음) 표면임을 의미합니다. 즉, 두 변수 함수의 연속성 개념은 한 변수 함수의 연속성 개념과 유사합니다. 단일 변수 함수와 마찬가지로 기본 함수로 구성된 두 변수 함수는 정의된 인수의 모든 값에 대해 연속적입니다. 이는 3개, 4개 또는 그 이상의 변수로 구성된 함수에도 적용됩니다.

그림으로 돌아가자. 2. 다음 질문을 던져 보겠습니다. 영역의 어느 지점에서 함수가 가장 큰 값과 가장 작은 값에 도달합니까? z 최대그리고 Z 이름? 그리고 이 가치들은 무엇입니까? 이 문제는 닫힌 구간에서 고려된 하나의 변수의 함수에 대해 고려된 문제와 유사합니다. ㅏ; 비] 축 오.

함수가 최대값과 최소값에 도달하는 영역의 원하는 지점은 영역 내부(영역 내)에 위치한 이 함수의 극점 중 하나에 포함되거나 경계 어딘가에 위치하는 것이 분명합니다. G이 영역. 닫힌 영역에서는 그러한 점이 확실히 존재할 것입니다(Weierstrass 정리). 그리고 개방된 공간(국경이 없는 곳)에서 G) 그런 점은 없을 수도 있습니다.

위에서부터 다음과 같습니다. 이 점을 찾는 다이어그램, 단일 변수의 함수에 대해 설명된 것과 유사합니다.

1. 극한값이 의심되고 해당 영역에 위치한 함수의 모든 지점을 찾습니다. 디. 이는 부분 도함수와 가 모두 0인 지점입니다(또는 하나는 0이고 다른 하나는 존재하지 않거나 둘 다 존재하지 않음).

2. 극값이 의심되고 경계에 위치한 함수의 모든 점을 찾습니다. G지역. 이 경우 경계 방정식을 사용합니다. G.

3. 1, 2단계에서 발견된 의심점을 조사하지 않고(불필요), 발견된 모든 의심점에서 함수값을 찾아 해당되는 것을 선택 지가장 크고 가장 작을 것입니다.

예시 3.찾다 z 최대그리고 Z 이름정점이 있는 삼각형 판인 닫힌 영역에서 고려되는 기능 영형(0; 0), ㅏ(1; 0), 비(0;1)(그림 3).

해결책.위의 다이어그램을 따라가 보겠습니다.

1. 삼각형 내부를 찾으세요. 디) 우리 기능의 극한값이 의심되는 지점 지. 이를 위해 먼저 1차 편도함수를 찾고 다음을 수행합니다.

이러한 파생 상품은 어떤 경우에도 존재합니다(계산 가능). (x;y). 결과적으로 극값에 대해 의심스러운 점은 두 부분 도함수가 모두 0인 점뿐입니다.

그 지점은 분명히 지역에 속해 있다. 디(문제의 삼각형에). 즉, 주어진 함수에 대한 극값이 의심되는 지점이다. 지삼각형 안에는 그녀가 유일한 사람이에요.

2. 이제 삼각형의 경계에서 극값이 의심되는 점을 찾아보겠습니다.

a) 먼저 해당 지역을 탐색해 보겠습니다. OA테두리( ~에= 0; £0 엑스£ 1). 이 섹션에서는 - 하나의 변수의 함수 엑스. 그 파생물은 모든 사람을 위해 존재합니다. 엑스나 . 따라서 극한 값은 함수입니다. 지지점, 즉 지점이나 세그먼트의 끝 부분에 있을 수 있습니다. OA, 즉, 지점에서 에 대한(0; 0) 및 ㅏ(1; 0).

b) 이제 그 지역을 탐험해 봅시다 산부인과삼각형의 경계(거기서 엑스= 0; £0 ~에£ 1). 이 섹션에서는 함수(0 £ ~에£ 1) – 하나의 변수의 기능 ~에. (a)의 추론을 반복하면 극단 값이 함수라는 결론에 도달합니다. 지세그먼트의 지점이나 끝 부분에 있을 수 있습니다. 산부인과, 즉, 지점에서 에 대한(0; 0) 및 비(0; 1).

c) 마지막으로 해당 지역을 탐색합니다. AB국경. 이후 AB(이것을 꼭 확인하세요) y = - x + 1 (0 £ 엑스£ 1), 그러면 기능이 있습니다 지다음과 같은 형식을 취합니다. (0 £ 엑스£ 1). 따라서 그 파생어는 극단값의 함수입니다. 지가 있는 지점, 즉 지점이나 세그먼트의 끝에서만 도달할 수 있습니다. AB, 즉, 지점에서 ㅏ그리고 안에.

따라서 극한값이 의심되는 함수의 전체 지점 집합은 다음과 같습니다.
삼각형으로 OAV이다:

; ; ; ; ; ; .

3. 이제 함수의 값을 찾아보겠습니다. 지발견된 모든 의심스러운 지점에서 이 값 중 가장 큰 값을 선택합니다. z 최대그리고 가장 작은 값 Z 이름:

따라서, z 최대 = 3 다음 기능에 의해 달성됩니다. 지삼각형으로 OAV한 번에 두 지점에서 - 꼭지점에서 ㅏ그리고 안에. 그리고 기능에 의해 달성됩니다 지삼각형으로 OAV내부 지점에서.

예시 4.시 예산은 사회 주택에 6억 루블 이하를 지출할 기회가 있으며, 각각 90개의 아파트가 있는 10개의 5층 건물과 각각 120개의 아파트가 있는 8개의 9층 건물에 대한 프로젝트 및 토지 계획을 보유하고 있습니다. 5층 건물에 있는 한 아파트의 평균 예상 비용은 40만 루블이고, 9층 건물에 있는 아파트 한 채의 평균 예상 비용은 50만 루블입니다. 아파트를 최대로 확보하려면 도시에서 5층 건물과 9층 건물을 몇 개나 지어야 합니까?

해결책.허락하다 엑스– 필요한 5층 건물 수, 와이 – 9층짜리, 그리고 z –이 건물의 총 아파트 수:

z = 90엑스+ 120와이

5층 건물의 모든 아파트 비용은 90 × 0.4입니다. 엑스 = 36엑스백만 루블, 9층 건물 120 × 0.5 ~에 = 60~에백만 루블. 문제의 조건에 따르면 다음과 같습니다.

0 £ 엑스£10; £0 ~에£8; 36 엑스 + 60~에£600

이러한 제한적인 불평등은 오각형에서 분명히 충족됩니다. (그림 4). 이 폐쇄된 공간에서 포인트를 찾아야 합니다. 남(x;y), 이에 대한 함수는 z = 90엑스+ 120와이가장 큰 가치를 갖게 될 것이다 z 최대.

이러한 문제를 해결하기 위해 위의 방식을 구현해 보겠습니다.

1. 함수의 극값이 의심되는 오각형 내부의 점을 찾습니다. 지. 왜냐하면 , 그리고 이러한 부분 도함수는 분명히 0과 같지 않으며 오각형 내부의 극값에 대해 의심스러운 점이 없습니다.

2. 오각형 경계에서 극값이 의심되는 지점을 찾습니다. 오각형의 경계를 구성하는 다섯 개의 세그먼트 각각에 대한 기능은 다음과 같습니다. 지– 형태의 선형 함수 z = 도끼 + 에 의해, 따라서 세그먼트 경계에서 가장 큰 값과 가장 작은 값에 도달합니다. 즉, 원하는 최대값 z 최대기능 지모퉁이 지점 중 하나에 도달 (O; A; M1; M2; B). 가치 계산 지이 시점에서 우리는 다음을 얻습니다.

지(에 대한) = 0; 지( ㅏ) = 960; 지( 남 1) = 1260; 지( 남 2) = 1380; 지( 비) = 900.

따라서 z 나임보= 1380이고 해당 지점에 도달했습니다. 남 2(10; 4). 즉, 5층 건물 10채, 9층 건물 4채를 지으면 가장 많은 아파트(1380채)를 얻게 된다.

실시예 5. 주어진 둘레가 2p인 모든 삼각형 중에서 정삼각형의 면적이 가장 크다는 것을 증명하십시오. 왜냐하면 다음과 같습니다. 나머지 점은 문제의 의미를 충족하지 않습니다. 변이 둘레의 절반과 같은 삼각형은 있을 수 없습니다.

극한점을 조사한다 M(2p/3, 2p/3):

∂ 2 f/∂x 2 = -2p(p-y); ∂ 2 f/∂x∂y = p(2x+2y-3p); ∂ 2 f/∂y 2 = -2p(p-x);

D=AC-B 2 = ;

D>0, 때문에 ㅏ<0 , 연구 중인 시점에서 기능이 최대값에 도달합니다. 따라서 단일 정지점에서 함수는 최대값에 도달하고 따라서 최대값에 도달합니다. 따라서 x=2p/3, y=2p/3함수가 최대값에 도달합니다. 하지만 z=2p-x-y=2p/3. 때문에 x=y=z이면 삼각형은 정삼각형입니다.

정리 1.5 닫힌 영역에 놔두세요 디 지정된 기능 z=z(x,y) , 1차 연속 부분 도함수를 가집니다. 국경 G 지역 디 부분적으로 매끄러움(즉, "촉감이 부드러운" 곡선 또는 직선 조각으로 구성됨) 그러면 그 지역에서 디 기능 지 (x,y) 최고조에 달한다 중 그리고 최소한 중 가치.

증거가 없습니다.

찾기를 위해 다음과 같은 계획을 제안할 수 있습니다. 중 그리고 중 .
1. 도면을 작성하고 영역 경계의 모든 부분을 선택합니다. 디 그리고 국경의 모든 "모서리" 지점을 찾으세요.
2. 내부의 고정점 찾기 디 .
3. 각 경계에서 정지점을 찾습니다.
4. 모든 고정점과 모서리점을 계산한 다음 가장 큰 점을 선택합니다. 중 그리고 최소한 중 의미.

실시예 1.14 가장 큰 것을 찾아라 중 그리고 최소한 중 함수 값 지 = 4x2-2xy+y2-8x 폐쇄된 공간에서 디 , 제한됨: 엑스 = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. 영역을 구축하자 디 (그림 1.5) 비행기에서 오오 .

코너 포인트: O(0; 0), B(0; 4), A(3; 0) .

국경 G 지역 디 세 부분으로 구성됩니다:

2. 지역 내 정지 지점 찾기 디 :

3. 경계의 고정점 내가 1, 내가 2, 내가 3 :

4. 6가지 값을 계산합니다.

예

예시 1.

이 함수는 변수의 모든 값에 대해 정의됩니다. 엑스 그리고 와이 , 분모가 0이 되는 원점을 제외하고.

다항식 x 2 +y 2 는 모든 곳에서 연속이므로 연속함수의 제곱근은 연속입니다.

분수는 분모가 0인 점을 제외한 모든 곳에서 연속입니다. 즉, 고려 중인 함수는 전체 좌표 평면에서 연속적입니다. 오오 , 원산지는 제외합니다.

예시 2.

함수의 연속성 검사 z=tg (x,y) . 접선은 양의 홀수와 같은 값을 제외하고 인수의 모든 유한 값에 대해 정의되고 연속적입니다. π /2 , 즉. 점을 제외하고

모든 고정에 대해 "케이" 방정식 (1.11)은 쌍곡선을 정의합니다. 따라서 고려 중인 함수는 연속 함수입니다. 엑스 그리고 y , 곡선 위에 있는 점은 제외합니다(1.11).

예시 3.

함수의 편도함수 찾기 u=z -xy , z > 0 .

예시 4.

그 기능을 보여주세요

정체성을 만족시킨다:

– 이 평등은 모든 점에 유효합니다. M(x;y;z) , 그 점을 제외하고 M 0 (a;b;c) .

두 개의 독립 변수의 함수 z=f(x,y)를 고려하고 부분 변수의 기하학적 의미를 설정해 보겠습니다. z"x =f"x (x,y) 그리고 z" y =f" y (x,y) .

이 경우 방정식은 z=f (x,y) 어떤 표면의 방정식이 있습니다(그림 1.3). 비행기를 그려보자 와이 = const . 이 표면 평면의 단면에서 z=f (x,y) 줄 좀 서라 내가 1 양만 변하는 교차점 엑스 그리고 지 .

편미분 z"x (기하학적 의미는 하나의 변수 함수의 도함수에 대한 알려진 기하학적 의미에서 직접 따름) 수치적으로 각도의 탄젠트와 동일합니다. α 기울기, 축을 기준으로 오 , 탄젠트 패 1 곡선으로 내가 1 , 결과적으로 표면의 일부가 생성됩니다. z=f (x,y) 비행기 와이 = const 그 시점에 M(x,y,f(xy)): z" x = tanα .

표면 부분에는 z=f (x,y) 비행기 엑스 = const 당신은 교차선을 얻습니다 내가 2 , 수량만 변경됨 ~에 그리고 지 . 그런 다음 부분 도함수 z"y 수치적으로 각도의 탄젠트와 동일 β 축을 기준으로 기울기 OU , 탄젠트 패 2 지정된 라인으로 내가 2 한 지점의 교차점 M(x,y,f(xy)): z" x = tanβ .