Презентация на тему "центральная симметрия". Центральная симметрия Теорема. Центральная симметрия – движение

Презентация «Движения. Центральная симметрия» является наглядным пособием для ведения урока математики по данной теме. С помощью пособия учителю легче сформировать представление ученика о центральной симметрии, научить применять знания о данном понятии при решении задач. В ходе презентации дается наглядное представление центральной симметрии, определение понятия, отмечаются свойства симметрии, описывается пример решения задачи, в которой используются полученные теоретические знания.

Понятие движения является одним из наиболее важных математических понятий. Рассматривать его без наглядного представления невозможно. Презентация - лучший способ наиболее понятно и выгодно представить учебный материал по данной теме. В презентации содержатся иллюстрации, которые помогают быстрее сформировать представление о центральной симметрии, анимация, улучшающая наглядность демонстрации и обеспечивающая последовательную подачу учебного материала. Пособие может сопровождать объяснение учителя, помогая ему быстрее достичь учебных целей и задач, способствуя повышению эффективности обучения.

Демонстрация начинается с представления понятия центральной симметрии на плоскости. На рисунке изображена плоскость α, на которой отмечена точка О, относительно которой рассматривается симметрия. От точки о в одну сторону отложен отрезок АО, равный которому А 1 О отложен в противоположную сторону от центра симметрии. На рисунке видно, что построенные отрезки лежат на одной прямой. На втором слайде понятие рассматривается более детально на примере точки. Отмечается, что центральная симметрия представляет собой процесс отображения некоторой точки К в точку К 1 и обратно. На рисунке демонстрируется подобное отображение.

На слайде 3 вводится определение центральной симметрии как отображения пространства, характеризующееся переходом каждой точки геометрической фигуры в симметричную относительно выбранного центра. Определение проиллюстрировано рисунком, на котором изображено яблоко и отображение каждой его точки в соответствующую точку, симметричную по отношению к некоторой точке на плоскости. Таким образом, получаем симметричное изображение яблока на плоскости относительно данной точки.

На слайде 4 понятие центральной симметрии рассматривается в координатах. На рисунке изображается пространственная прямоугольная система координат Оxyz. В пространстве отмечена точка М{x;y;z}. Относительно начала координат М симметрично отображается и переходит в соответствующую М 1 {x 1 ;y 1 ;z 1 }. Демонстрируется свойство центральной симметрии. Отмечается, что среднее арифметическое соответствующих координат данных точек М{x;y;z}, М 1 {x 1 ;y 1 ;z 1 } равно нулю, то есть (x+ x 1)/2=0; (y+ y 1)/2=0; (z+z 1)/2=0. Это равносильно тому, что x=-x 1 ; y=-y 1 ; z=-z 1 . Также отмечается, что данные формулы будут верны и при совпадении точки с началом координат. Далее доказывается равенство расстояний, которые между точками, симметрично отраженных относительно центра симметрии - некоторой точки. Для примера указываются некоторые точки А{x 1 ;y 1 ;z 1 } и В{x 2 ;y 2 ;z 2 }. Относительно центра симметрии данные точки отображаются в некоторые точки с противоположными координатами А{-x 1 ;-y 1 ;-z 1 } и В{-x 2 ;-y 2 ;-z 2 }. Зная координаты точек и формулу для нахождения расстояний между ними определяем, что АВ=√(x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2), а для отображенных точек А 1 В 1 =√(-x 2 +x 1) 2 +(-y 2 +y 1) 2 +(-z 2 +z 1) 2). Учитывая свойства возведения в квадрат, можно отметить справедливость равенства АВ=А 1 В 1 . Сохранение расстояний между точками при центральной симметрии свидетельствует о том, что она является движением.

Описывается решение задачи, в которой рассматривается центральная симметрия относительно О. На рисунке изображена прямая, на которой выделены точки М, А, В, центр симметрии О, прямая, параллельная данной, на которой лежат точки М 1 , А 1 и В 1 . Отрезок АВ отображается в отрезок А 1 В 1 , точка М - в точку М 1 . Для данного построение отмечается равенство расстояний, которое обусловлено свойствами центральной симметрии: ОА=ОА 1 , ∠АОВ=∠А 1 ОВ 1 , ОВ=ОВ 1 . Равенство двух сторон, углов означает, что соответствующие треугольники равны ΔАОВ=ΔА 1 ОВ 1 . Также указывается, что углы ∠АВО=∠А 1 В 1 О как накрест лежащие при прямых А 1 В 1 и АВ, поэтому отрезки АВ и А 1 В 1 являются параллельными между собой. Далее доказывается, что прямая при центральной симметрии отображается в параллельную прямую. Рассматривается еще одна точка М, принадлежащая прямой АВ. Так как образующиеся при построении углы ∠МОА=∠М 1 ОА 1 равны как вертикальные, а ∠МАО=∠М 1 А 1 О равны как накрест лежащие, а согласно построению отрезки ОА=ОА 1 , то треугольники ΔМАО=ΔМ 1 А 1 О. Из этого следует сохранения расстояния МО= М 1 О.

Соответственно, можно отметить переход точки М в М 1 при центральной симметрии, и переход М 1 в точку М при центральной симме6трии относительно О. прямая при центральной симметрии переходит в прямую. На последнем слайде можно на практическом примере рассмотреть центральную симметрию, при которой каждая точка яблока и все его линии отображаются симметрично, получая перевернутое изображение.

Презентация «Движения. Центральная симметрия» может применяться для повышения эффективности традиционного школьного урока математики по данной теме. Также данный материал может успешно использоваться для улучшения наглядности объяснения учителя при дистанционном обучении. Ученикам, недостаточно хорошо усвоившим тему, пособие поможет получить более четкое представление об изучаемом предмете.

Слайд 1

Выполнил ученик: 8 класса Рогожин Данила Проверила: Муравьёва Валентина Владимировна
Центральная симметрия.

Слайд 2

Центральная симметрия.
Определение: Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Слайд 3

Приведём примеры фигур, обладающие центральной симметрией: Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр окружности,а центром симметрии параллелограмма - точка пересечения его диагоналей.
O
O

Слайд 4

А
В
О
Две точки А и В называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АВ. Точка О считается симметричной самой себе.

Слайд 5

Например: На рисунке точки М и М1, N и N1 симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки.
М
М1
N
N1
О
Р
Q

Слайд 6

Центральная симметрия в прямоугольной системе координат:
Если в прямоугольной системе координат точка А имеет координаты (x0;y0), то координаты (-x0;-y0) точки А1, симметричной точке А относительно начала координат, выражаются формулами x0 = -x0 y0 = -y0
у
х
0
А(x0;y0)
А1(-x0;-y0)
x0
-x0
y0
-y0

Слайд 7

Центральная симметрии в прямоугольных трапециях:
О

Слайд 8

Центральная симметрия в квадратах:
О

Слайд 9

Центральная симметрия в параллелограммах:
О

Слайд 10

Центральная симметрия в шестиконечной звезде:
О

Слайд 11

Точка О является центром симметрии, если при повороте вокруг точки О на 180° фигура переходит сама в себя.
О
180°

Слайд 12

Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от других фигур, которые имеют только один центр симметрии(точка О на рисунках), у прямой их бесконечно много - любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.
А
В
С

Слайд 13

Применение на практике: Примеры симметрии в растениях:
Вопрос о симметрии в растениях возник ещё в 5 веке до н. э. На явление симметрии в живой природе обратили внимание в Древней Греции пифагорейцы в связи с развитием ими учения о гармонии. В 19 веке появлялись отдельные работы, касающиеся этой темы. А в 1961 году как результат многовековых исследований, посвященных поиску красоты и гармонии окружающей нас природы, появилась наука биосимметрика. Центральная симметрия характерна для различных плодов: голубика, черника, вишня, клюква. Рассмотрим разрез любой из этих ягод. В разрезе она представляет собой окружность, а окружность, как нам известно, имеет центр симметрии. Центральную симметрию можно наблюдать на изображении таких цветов как цветок одуванчика, цветок мать-и-мачехи, цветок кувшинки, сердцевина ромашки, а в некоторых случаях центральной симметрией обладает и изображение всего цветка ромашки. Её сердцевина представляет собой окружность, и поэтому центрально симметрична, так как мы знаем, что окружность имеет центр симметрии. Весь же цветок обладает центральной симметрией только в случае четного количества лепестков

Слайд 14

Слайд 15

Гостиница «Прибалтийская»
Казанский собор

Слайд 16

Центральная симметрия в зоологии:
Рассмотрим, как связаны животный мир и симметрия. Центральная симметрия наиболее характерна для животных, ведущих подводный образ жизни. А также есть пример асимметричных животных: инфузория-туфелька и амёба Выводы: Симметрию живого существа определяет направление его движения. Для живых существ, для которых ведущим направлением является направление движения “вперед”, наиболее характерна осевая симметрия. Так как в этом направлении животные устремляются за пищей и в этом же спасаются от преследователей. А нарушение симметрии привело бы к торможению одной из сторон и превращению поступательного движения в круговое. Центральная симметрия чаще встречается в форме животных, обитающих под водой. Асимметрию можно наблюдать на примере простейших животных.

Содержание Центральная симметрия Центральная симметрия Центральная симметрия Центральная симметрия Задачи ЗадачиЗадачи Построение Построение Построение Центральная симметрия в окружающем мире Центральная симметрия в окружающем мире Центральная симметрия в окружающем мире Центральная симметрия в окружающем мире Заключение Заключение Заключение

Задачи 1. Отрезок АВ, перпендикулярный прямой с, пересекает ее в точке О так, что АООВ. Симметричны ли точки А и В относительно точки О? 2. Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) пара пересекающихся прямых; г) квадрат? А В С О 3. Постройте угол, симметричный углу ABC относительно центра О. Проверь себя

5. Для каждого из случаев, представленных на рисунке, постройте точки А 1 и В 1, симметричные точкам А и В относительно точки О. В А А В АВ О О О О С МР 4. Постройте прямые, на которые отображаются прямые a и b при центральной симметрии с центром О. Проверь себя Помощь

7. Постройте произвольный треугольник и его образ относительно точки пересечения его высот. 8. Отрезки АВ и А 1 В 1 центрально симметричны относительно некоторого центра С. Постройте с помощью одной линейки образ точки М при этой симметрии. А В А1А1 В1В1 М 9. Найти на прямых a и b точки, симметричные относительно друг друга. a b O Проверь себя Помощь

Заключение Симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать. Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле – как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Посредством симметрии человек всегда пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

Движения.Движения
Центральная
.
симметрия
Выполнила ученица 11 класса
Гейнрих Юлия
Проверила учительница
математики Яковенко Елена
Алексеевна
5klass.netОпределение
Доказательство
Применение в жизни
Применение в природе
Решение задачи

Центральная симметрия

B
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
А
Преобразование, переводящее
каждую точку А фигуры в точку А1 ,
симметричную ей относительно
центра О, называется центральной
симметрией.
C
О
C1
А1
О – центр симметрии
(точка неподвижна)
B1

Центральная симметрия

M
Точки М и М1
называются
симметричными
относительно точки А,
если A – середина
MM1 .
A – центр
симметрии
A
M1

Фигура называется
симметричной
относительно
центра симметрии,
если для каждой
точки фигуры
симметричная ей
точка также
принадлежит этой
фигуре.

Однако можно заметить, что

частным случаем поворота, а именно,
поворота на 180 градусов.
Действительно, пусть при центральной
симметрии относительно точки O точка
X перешла в X". Тогда угол XOX"=180
градусов, как развернутый, и XO=OX",
следовательно, такое преобразование
является поворотом на 180 градусов.
Отсюда также следует, что
центральная симметрия является
движением.

В курсе планиметрии мы
знакомились с движениями
плоскости, т.е.
отображениями плоскости на
себя, сохраняющими
расстояния между точками.
Введем теперь понятие
движения пространства.
Предварительно разъясним,
что понимается под словами
отображение пространства на

Допустим, что каждой точке М
пространства поставлена в
соответствие некоторая точка
М1, причем любая точка М1
пространства оказалась
поставленной в соответствие
какой-то точке М. Тогда
говорят, что задано
отображение пространства на
себя.

M
A
M1
Движение
пространстваэто отображение
пространства на
себя,
сохраняющее
расстояние
между точками.

Центральная симметрия является
движением, изменяющим направления на
противоположные. То есть если при
центральной симметрии относительно точки O
точкам X и Y соответствуют точки X" и Y", то
XY= - X"Y"
Доказательство:
Поскольку точка O - середина отрезка XX", то,
очевидно,
OX"= - OX
Аналогично
OY"= - OY
Учитывая это, находим вектор X"Y":
X"Y"=OY"OX"=OY+OX=(OYOX)= XY
Таким образом, X"Y"=XY.

Доказанное свойство является
характерным свойством
центральной симметрии, а
именно, справедливо обратное
утверждение, являющееся
признаком центральной
симметрии: "Движение,
изменяющее направления на
противоположные, является
центральной симметрией."

Задача:

Докажите, что при центральной
симметрии:
а)прямая, не приходящая через центр
симметрии, отображается на
параллельную ей прямую;
б)прямая, проходящая через центр
симметрии, отображается на себя.

Симметрию можно
обнаружить почти везде,
если знать, как ее искать.
Многие народы с
древнейших времен
владели представлением о
симметрии в широком
смысле – как об
уравновешенности и
гармонии. Творчество
людей во всех своих
проявлениях тяготеет к
симметрии. Посредством
симметрии человек всегда
пытался, по словам
немецкого математика
Германа Вейля, «постичь и
создать порядок, красоту и
совершенство».
Заключение

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Математика "Осевая и центральная симметрии" Тема урока

Симметрия в окружающем нас мире Взгляните на снежинку, бабочку, морскую звезду, листья растений, паутинку – это лишь некоторые про-явления симметрии в природе. Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии.

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большин-стве случаев симметрич-ны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обо-ях. Симметричны многие детали механизмов.

Слово «симметрия» греческое (συμμετρία), оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей”, неизменность при каких-либо преобразованиях.

Мысли великих… Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. Л.Н.Толстой. Русский художник Илья Ефимович Репин Портрет писателя Л.Н.Толстого. 1887 г. http://ilya-repin.ru/master/repin9.php

О чём гласит предание… В японском городе Никко находятся красивейшие ворота страны. Они необычайно сложные, со множеством фронтонов и изумительной резьбой. Но в сложном и искусном рисунке на одной из колонн некоторые из его мелких деталей вырезаны вверх ногами. В остальном, рисунок полностью симметричен. Для чего это было нужно? http://www.walls-world.ru/download-wallpapers-4109-original.html

Как говорит предание, симметрия была нарушена намеренно, чтобы боги не заподозрили человека в совершенстве и не разгневались на него. http://www.walls-world.ru/download-wallpapers-4109-original.html

Центральная симметрия Центральная симметрия является одним из видов симметрии. Фигура называется симметричной относительно точки O , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки O также принадлежит этой фигуре. Точка O называется центром симметрии.

Точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА 1 А А 1 О АО = ОА 1 Точка О – центр симметрии Центральная симметрия

Центральная симметрия (алгоритм построения) А А1 О Точка А симметрична точке А1 относительно точки О. О - центр симметрии. Отметим на листе бумаги произвольные точки O и A . Проведём через точки прямую OA . На этой прямой отложим от то ч ки O отрезок OA 1 , равный отрезку AO , но по другую сторону от точки O .

Фигуры, симметричные относительно точки (примеры)

Если внимательно рассмотреть данные орнаменты и фигуры, можно заметить, что все они имеют центр симметрии. Задание. На рисунке изображены различные геометричес-кие фигуры. Выберите из них те, которые име-ют центр симметрии, и изобразите их в тет-ради. Отметьте центр симметрии и точки, симметричные отмечен-ным точкам. б) в) г) а) д) е)

В А С О Центральная симметрия В1 А1 С1 Задание. Выполнить построение треугольника, симметричного данному, относительно точки O .

Задание. Выполнить построение трапеции, симметричной данной, относительно точки O . A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O 1) Проведём от вершин трапеции через точку O лучи AO , BO , CO , DO . 2) Построим на лучах точки, симметричные вершинам трапеции, относительно точки O . 3) Соединим полученные точки.

Осевая симметрия Фигура называется симмет-ричной относительно прямой a , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка отно-сительно прямой a также при-надлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии фигуры. Рассмотрите данные фигуры. Каждая из них состоит как бы из двух полови-нок, одна из ко-торых является зеркальным отра-жением другой. Каждую из этих фигур можно сог-нуть «пополам» так, что эти поло-винки совпадут. Говорят, что эти фигуры симмет-ричны относи-тельно прямой – линии сгиба.

Осевая симметрия Точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а, если: эта прямая проходит через середину отрезка АА 1, а перпендикулярна АА 1 . А А1 а a – ось симметрии. Точка А симметрична точке А1 относительно прямой а.

Осевая симметрия (алгоритм построения) А А1 а 1) Проведём через точку А прямую А O ,перпендикулярную оси симметрии a . 2) С помощью циркуля отло-жим на прямой А O отрезок O А 1 , равный отрезку O А.

Фигуры симметричные относительно прямой (примеры)

Ось симметрии имеют плоские и пространственные фигуры. Например: Некоторые фигуры имеют не одну ось симметрии. Задание. Из данных фигур выберите те, которые имеют ось симметрии. Есть ли среди них такие, которые имеют более одной оси симметрии? а) б) в) г) На листе бумаги изображена «ёлочка». Концы её нижних «веток» обозначены буквами A и A 1 . Если перегнуть «ёлочку» по прямой l , то точки A и A 1 совпадут. Если посмотреть на рисунок сверху, то точки A и A 1 будут расположены на пер-пендикуляре к прямой l по разные стороны и на равных расстояниях от неё. Такие точки называют симмет-ричными относительно пря-мой l .

B C А C1 B1 A1 а Осевая симметрия Задание. Выполнить построение треугольника, симметричного данному относительно прямой a .

Задание. Выполнить построение пря-моугольника, симметричного данному относительно прямой a . 1) Проведём от вершин прямоугольника прямые, перпендикулярные данной прямой a . B B 1 a A C D A 1 C 1 D 1 2) Построим точки, симметричные вершинам прямоугольника. 3) Соединим полученные точки.

№ 417 (а) 1 2 3 Ответ: две прямые.

№ 417 (б) 1 2 Ответ: бесконечно много осей симметрии (любая прямая, перпендикулярная данной; сама прямая). № 417 (в) Ответ: одна прямая. 3 4 5

№ 418 F А Б E Г O 1 2

№422 а) в) б) 1 2 Ответ: да. Ответ: нет. 3 4 Ответ: да. г) 5 Ответ: да.

№423 А О М Х К 1 Ответ: О, Х.

Распределите данные фигуры по трём столбикам таблицы: «Фигуры, обладающие центральной симметрией», «Фигуры, обладающие осевой симметрией», «Фигуры, имеющие обе симметрии». 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Фигуры, обладающие центральной симметрией Фигуры, обладающие осевой симметрией Фигуры, имеющие обе симметрии 1 2 3 2, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 1, 12, 13, 15 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15

Домашнее задание п.47 , устно ответить на вопросы №16-20 (с. 115 учебника); №416 ; №420.