Ορισμός της εξίσωσης μιας ευθείας. Διάλεξη: γραμμές σε ένα επίπεδο και οι εξισώσεις τους. Δείτε τι είναι η "Εξίσωση" σε άλλα λεξικά

Ας εξετάσουμε μια σχέση της μορφής F(x, y)=0, μεταβλητές σύνδεσης ΧΚαι στο. Θα ονομάσουμε ισότητα (1) εξίσωση με δύο μεταβλητές x, y,αν αυτή η ισότητα δεν ισχύει για όλα τα ζεύγη αριθμών ΧΚαι στο. Παραδείγματα εξισώσεων: 2x + 3y = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0,

sin x + sin y – 1 = 0.

Αν το (1) ισχύει για όλα τα ζεύγη των αριθμών x και y, τότε καλείται Ταυτότητα. Παραδείγματα ταυτοτήτων: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 = 0.

Θα ονομάσουμε την εξίσωση (1) εξίσωση ενός συνόλου σημείων (x; y),αν αυτή η εξίσωση ικανοποιείται από τις συντεταγμένες ΧΚαι στοοποιοδήποτε σημείο του συνόλου και δεν ικανοποιούνται από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που δεν ανήκει σε αυτό το σύνολο.

Μια σημαντική έννοια στην αναλυτική γεωμετρία είναι η έννοια της εξίσωσης μιας ευθείας. Έστω ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και μια συγκεκριμένη γραμμή στο επίπεδο α.

Ορισμός.Η εξίσωση (1) ονομάζεται εξίσωση γραμμής α (στο δημιουργημένο σύστημα συντεταγμένων), εάν αυτή η εξίσωση ικανοποιείται από τις συντεταγμένες ΧΚαι στοοποιοδήποτε σημείο βρίσκεται στη γραμμή α , και δεν ικανοποιούν τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που δεν βρίσκεται σε αυτή τη γραμμή.

Αν (1) είναι η εξίσωση της ευθείας α, τότε θα πούμε ότι η εξίσωση (1) ορίζει (συνθέτει)γραμμή α.

Γραμμή α μπορεί να προσδιοριστεί όχι μόνο από μια εξίσωση της μορφής (1), αλλά και από μια εξίσωση της μορφής

F (P, φ) = 0που περιέχει πολικές συντεταγμένες.

• εξίσωση ευθείας με γωνιακό συντελεστή.

Ας δοθεί κάποια ευθεία, όχι κάθετη, στον άξονα OH. Ας καλέσουμε γωνία κλίσηςδίνεται ευθεία στον άξονα OHγωνία α , προς την οποία πρέπει να περιστραφεί ο άξονας OHώστε η θετική φορά να συμπίπτει με μία από τις κατευθύνσεις της ευθείας. Εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της ευθείας στον άξονα OHπου ονομάζεται κλίσηαυτή τη γραμμή και συμβολίζεται με το γράμμα ΠΡΟΣ ΤΗΝ.

	K=tg α
		(1)

Ας εξαγάγουμε την εξίσωση αυτής της ευθείας αν τη γνωρίζουμε ΠΡΟΣ ΤΗΝκαι την τιμή στο τμήμα OB, το οποίο αποκόπτει στον άξονα OU.

(2)

y=kx+b

Ας υποδηλώσουμε με Μ"σημείο αεροπλάνου (x; y).Αν τραβήξουμε ευθεία BNΚαι Ν.Μ., παράλληλα με τους άξονες, λοιπόν r BNM -ορθογώνιος. Τ. MC C BM <=>, όταν οι αξίες Ν.Μ.Και BNικανοποιεί την προϋπόθεση: . Αλλά NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x=> λαμβάνοντας υπόψη το (1), παίρνουμε ότι το σημείο M(x;y)Cσε αυτή τη γραμμή<=>, όταν οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την εξίσωση: =>

Καλείται η εξίσωση (2). εξίσωση ευθείας με γωνιακό συντελεστή.Αν Κ=0, τότε η ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα OHκαι η εξίσωσή του είναι y = β.

• εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία.

(4)

Ας δοθούν δύο βαθμοί M 1 (x 1; y 1)Και Μ2 (χ 2, γ 2).Λαμβάνοντας στο (3) σημείο M(x;y)πίσω M 2 (x 2; y 2),παίρνουμε y 2 -y 1 =k(x 2 - x 1).Καθορισμός καπό την τελευταία ισότητα και αντικαθιστώντας την στην εξίσωση (3), παίρνουμε την επιθυμητή εξίσωση της ευθείας: . Αυτή είναι η εξίσωση αν y 1 ≠ y 2, μπορεί να γραφτεί ως:

Αν y 1 = y 2, τότε η εξίσωση της επιθυμητής γραμμής έχει τη μορφή y = y 1. Στην περίπτωση αυτή, η ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα OH. Αν x 1 = x 2, τότε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Μ 1Και Μ 2, παράλληλα με τον άξονα OU, η εξίσωσή του έχει τη μορφή x = x 1.

• εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο με μια δεδομένη κλίση.

(3)

Аx + Вy + С = 0

Θεώρημα.Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Ohooοποιαδήποτε ευθεία δίνεται από μια εξίσωση πρώτου βαθμού:

και, αντιστρόφως, η εξίσωση (5) για αυθαίρετους συντελεστές Α, Β, Γ (ΕΝΑΚαι B ≠ 0ταυτόχρονα) ορίζει μια ορισμένη ευθεία σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Ωχ.

Απόδειξη.

Αρχικά, ας αποδείξουμε την πρώτη δήλωση. Αν η ευθεία δεν είναι κάθετη Ω,τότε προσδιορίζεται από την εξίσωση του πρώτου βαθμού: y = kx + b, δηλ. εξίσωση της μορφής (5), όπου

A = k, B = -1Και Γ = β.Αν η ευθεία είναι κάθετη Ω,τότε όλα τα σημεία του έχουν την ίδια τετμημένη, ίση με την τιμή α τμήμα που κόβεται από μια ευθεία γραμμή στον άξονα Ω.

Η εξίσωση αυτής της γραμμής έχει τη μορφή x = α,εκείνοι. είναι επίσης μια εξίσωση πρώτου βαθμού της μορφής (5), όπου A = 1, B = 0, C = - α.Αυτό αποδεικνύει την πρώτη δήλωση.

Ας αποδείξουμε την αντίστροφη δήλωση. Έστω η εξίσωση (5) και τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές ΕΝΑΚαι B ≠ 0.

Αν B ≠ 0, τότε το (5) μπορεί να γραφτεί με τη μορφή . Διαμέρισμα , παίρνουμε την εξίσωση y = kx + b, δηλ. μια εξίσωση της μορφής (2) που ορίζει μια ευθεία γραμμή.

Αν Β = 0, Οτι A ≠ 0και (5) παίρνει τη μορφή . Δηλώνοντας με α, παίρνουμε

x = α, δηλ. εξίσωση μιας ευθείας κάθετης Ω.

Οι ευθείες που ορίζονται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων από μια εξίσωση πρώτου βαθμού ονομάζονται γραμμές πρώτης παραγγελίας.

Εξίσωση της φόρμας Ax + Wu + C = 0είναι ελλιπής, δηλ. Μερικοί από τους συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν.

1) C = 0; Ah + Wu = 0και ορίζει μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή.

2) B = 0 (A ≠ 0); την εξίσωση Ax + C = 0 OU.

3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0και ορίζει μια ευθεία παράλληλη Ω.

Η εξίσωση (6) ονομάζεται εξίσωση μιας ευθείας «σε τμήματα». Αριθμοί ΕΝΑΚαι σιείναι οι τιμές των τμημάτων που κόβει η ευθεία στους άξονες συντεταγμένων. Αυτή η μορφή της εξίσωσης είναι βολική για τη γεωμετρική κατασκευή μιας ευθείας γραμμής.

• κανονική εξίσωση μιας γραμμής?

Аx + Вy + С = 0 είναι η γενική εξίσωση μιας συγκεκριμένης ευθείας, και (5) Χ cos α + y sin α – p = 0(7)

την κανονική του εξίσωση.

Εφόσον οι εξισώσεις (5) και (7) ορίζουν την ίδια ευθεία, τότε ( A 1x + B 1y + C 1 = 0Και

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) οι συντελεστές αυτών των εξισώσεων είναι ανάλογοι. Αυτό σημαίνει ότι πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους της εξίσωσης (5) με έναν ορισμένο παράγοντα M, προκύπτει η εξίσωση MA x + MV y + MS = 0, που συμπίπτει με την εξίσωση (7) δηλ.

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

Για να βρούμε τον παράγοντα Μ, τετραγωνίζουμε τις δύο πρώτες από αυτές τις ισότητες και προσθέτουμε:

M 2 (A 2 + B 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1

(9)

Έστω ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy και κάποια ευθεία L στο επίπεδο .

Ορισμός. Η εξίσωση F(x;y)=0 (1)που ονομάζεται εξίσωση γραμμήςμεγάλο(σε σχέση με ένα δεδομένο σύστημα συντεταγμένων), εάν αυτή η εξίσωση ικανοποιείται από τις συντεταγμένες x και y οποιουδήποτε σημείου που βρίσκεται στην ευθεία L και όχι από τις συντεταγμένες x και y οποιουδήποτε σημείου που δεν βρίσκεται στην ευθεία L.

Οτι. γραμμή σε ένα αεροπλάνοείναι ο τόπος των σημείων (M(x;y)) των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση (1).

Η εξίσωση (1) ορίζει τη γραμμή L.

Παράδειγμα. Εξίσωση κύκλου.

Κύκλος– ένα σύνολο σημείων σε ίση απόσταση από ένα δεδομένο σημείο M 0 (x 0,y 0).

Σημείο M 0 (x 0, y 0) – κέντρο του κύκλου.

Για οποιοδήποτε σημείο M(x;y) που βρίσκεται στον κύκλο, η απόσταση MM 0 =R (R=const)

ΜΜ 0 ==R

(x-x 0 ) 2 +(ωωω 0 ) 2 =R 2 –(2) – εξίσωση κύκλου ακτίνας R με κέντρο στο σημείο M 0 (x 0,y 0).

Παραμετρική εξίσωση γραμμής.

Έστω οι συντεταγμένες x και y των σημείων της ευθείας L να εκφραστούν χρησιμοποιώντας την παράμετρο t:

(3) – παραμετρική εξίσωση της γραμμής στο DSC

όπου οι συναρτήσεις (t) και (t) είναι συνεχείς ως προς την παράμετρο t (σε ορισμένο εύρος διακύμανσης αυτής της παραμέτρου).

Εξαιρώντας την παράμετρο t από την εξίσωση (3), παίρνουμε την εξίσωση (1).

Ας θεωρήσουμε την ευθεία L ως τη διαδρομή που διανύει ένα υλικό σημείο που κινείται συνεχώς σύμφωνα με έναν ορισμένο νόμο. Έστω η μεταβλητή t αντιπροσωπεύει τον χρόνο που μετράται από κάποια αρχική στιγμή. Τότε η προδιαγραφή του νόμου της κίνησης αντιπροσωπεύει την προδιαγραφή των συντεταγμένων x και y του κινούμενου σημείου ως κάποιες συνεχείς συναρτήσεις x=(t) και y=(t) του χρόνου t.

Παράδειγμα. Ας εξαγάγουμε μια παραμετρική εξίσωση για έναν κύκλο ακτίνας r>0 με κέντρο στην αρχή. Έστω M(x,y) ένα αυθαίρετο σημείο αυτού του κύκλου και t η γωνία μεταξύ του διανύσματος ακτίνας και του άξονα Ox, μετρημένη αριστερόστροφα.

Τότε x=r cos x y=r sin t. (4)

Οι εξισώσεις (4) είναι παραμετρικές εξισώσεις του υπό εξέταση κύκλου. Η παράμετρος t μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή, αλλά για να γυρίσει το σημείο M(x,y) γύρω από τον κύκλο μία φορά, το εύρος της αλλαγής της παραμέτρου περιορίζεται στο μισό τμήμα 0t2.

Τετραγωνίζοντας και προσθέτοντας τις εξισώσεις (4), παίρνουμε τη γενική εξίσωση ενός κύκλου (2).

2. Πολικό σύστημα συντεταγμένων (psc).

Ας επιλέξουμε τον άξονα L ( πολικός άξονας) και προσδιορίστε το σημείο αυτού του άξονα Ο ( Πόλος). Οποιοδήποτε σημείο στο επίπεδο ορίζεται μοναδικά από τις πολικές συντεταγμένες ρ και φ, όπου

ρ – πολική ακτίνα, ίση με την απόσταση από το σημείο M στον πόλο O (ρ≥0);

φ – γωνίαμεταξύ διανυσματικής κατεύθυνσης ΟΜκαι άξονας L ( πολική γωνία). Μ(ρ ; φ )

Εξίσωση γραμμής στο UCSμπορεί να γραφτεί:

ρ=f(φ) (5) ρητή εξίσωση της ευθείας στο UCS

F=(ρ; φ) (6) άρρητη εξίσωση γραμμής στο UCS

Σχέση καρτεσιανών και πολικών συντεταγμένων ενός σημείου.

(x;y) (ρ ; φ ) Από τρίγωνο ΟΜΑ:

tan φ=(αποκατάσταση γωνίαςφ σύμφωνα με τα γνωστάπαράγεται εφαπτομένηλαμβάνοντας υπόψη σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται το σημείο Μ).(ρ ; φ )(x;y). x=ρcosφ,y=ρsinφ

Παράδειγμα . Να βρείτε τις πολικές συντεταγμένες των σημείων M(3;4) και P(1;-1).

Για M:=5, φ=arctg (4/3). Για P: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Ταξινόμηση επίπεδων γραμμών.

Ορισμός 1.Η γραμμή ονομάζεται αλγεβρικός,αν σε κάποιο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, αν ορίζεται από την εξίσωση F(x;y)=0 (1), στην οποία η συνάρτηση F(x;y) είναι αλγεβρικό πολυώνυμο.

Ορισμός 2.Κάθε μη αλγεβρική γραμμή ονομάζεται υπερφυσικός.

Ορισμός 3. Η αλγεβρική γραμμή ονομάζεται γραμμή παραγγελίαςn, εάν σε κάποιο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων αυτή η ευθεία προσδιορίζεται από την εξίσωση (1), στην οποία η συνάρτηση F(x;y) είναι αλγεβρικό πολυώνυμο n ου βαθμού.

Έτσι, μια γραμμή νης τάξης είναι μια γραμμή που ορίζεται σε κάποιο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα από μια αλγεβρική εξίσωση βαθμού n με δύο αγνώστους.

Το παρακάτω θεώρημα συμβάλλει στη διαπίστωση της ορθότητας των ορισμών 1,2,3.

Θεώρημα(έγγραφο στη σελ. 107). Εάν μια ευθεία σε κάποιο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων προσδιορίζεται από μια αλγεβρική εξίσωση βαθμού n, τότε αυτή η γραμμή σε οποιοδήποτε άλλο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων καθορίζεται από μια αλγεβρική εξίσωση του ίδιου βαθμού n.

1. Ποια πρόταση ονομάζεται συμπέρασμα; Να αποδείξετε ότι μια ευθεία που τέμνει μια από δύο παράλληλες ευθείες τέμνει και την άλλη 2. Αποδείξτε ότι

Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες με μια τρίτη γραμμή, τότε είναι παράλληλες.3. Ποιο θεώρημα ονομάζεται αντίστροφο αυτού του θεωρήματος Δώστε παραδείγματα θεωρημάτων αντίστροφων προς αυτά τα δεδομένα 4. Αποδείξτε ότι όταν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται με ένα εγκάρσιο, οι γωνίες είναι ίσες 5. Να αποδείξετε ότι αν μια ευθεία είναι κάθετη σε μία από τις δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι και κάθετη σε μια άλλη.6.Να αποδείξετε ότι όταν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται με εγκάρσιο: α) οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες. β) το άθροισμα των μονόπλευρων γωνιών είναι 180°.

Παρακαλώ βοηθήστε με με ερωτήσεις σχετικά με τη γεωμετρία (9η τάξη)! 2) Τι σημαίνει αποσύνθεση ενός διανύσματος στα δύο

σε αυτούς τους φορείς. 9) Ποιο είναι το διάνυσμα ακτίνας ενός σημείου Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες του σημείου είναι ίσες με τις αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων. 10) Να αντλήσετε τύπους για τον υπολογισμό των συντεταγμένων ενός διανύσματος από τις συντεταγμένες της αρχής και του τέλους του. 11) Να αντλήσετε τύπους για τον υπολογισμό των συντεταγμένων ενός διανύσματος από τις συντεταγμένες των άκρων του. 12) Να εξάγετε τύπο για τον υπολογισμό του μήκους ενός διανύσματος από τις συντεταγμένες του. 13) Να εξάγετε έναν τύπο για τον υπολογισμό της απόστασης μεταξύ δύο σημείων με βάση τις συντεταγμένες τους. 15) Ποια εξίσωση ονομάζεται εξίσωση αυτής της ευθείας;Δώστε ένα παράδειγμα. 16) Να εξάγετε την εξίσωση κύκλου δεδομένης ακτίνας με κέντρο σε δεδομένο σημείο.

1) Να αναφέρετε και να αποδείξετε το λήμμα για τα συγγραμμικά διανύσματα.

3) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε ένα θεώρημα για την αποσύνθεση ενός διανύσματος σε δύο μη συγγραμμικά διανύσματα.
4) Εξηγήστε πώς εισάγεται ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.
5) Τι είναι τα διανύσματα συντεταγμένων;
6) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε μια πρόταση για την αποσύνθεση ενός αυθαίρετου διανύσματος σε διανύσματα συντεταγμένων.
7) Τι είναι οι διανυσματικές συντεταγμένες;
8) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε τους κανόνες για την εύρεση των συντεταγμένων του αθροίσματος και της διαφοράς των διανυσμάτων, καθώς και του γινόμενου ενός διανύσματος και ενός αριθμού σε δεδομένες διανυσματικές συντεταγμένες.
10) Να αντλήσετε τύπους για τον υπολογισμό των συντεταγμένων ενός διανύσματος από τις συντεταγμένες της αρχής και του τέλους του.
11) Να αντλήσετε τύπους για τον υπολογισμό των συντεταγμένων ενός διανύσματος από τις συντεταγμένες των άκρων του.
12) Να εξάγετε τύπο για τον υπολογισμό του μήκους ενός διανύσματος από τις συντεταγμένες του.
13) Να εξάγετε έναν τύπο για τον υπολογισμό της απόστασης μεταξύ δύο σημείων με βάση τις συντεταγμένες τους.
14) Δώστε ένα παράδειγμα επίλυσης γεωμετρικού προβλήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων.
16) Να εξάγετε την εξίσωση κύκλου δεδομένης ακτίνας με κέντρο σε δεδομένο σημείο.
17) Να γράψετε την εξίσωση κύκλου δεδομένης ακτίνας με κέντρο στην αρχή.
18) Να εξάγετε την εξίσωση αυτής της ευθείας σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.
19) Να γράψετε την εξίσωση των ευθειών που διέρχονται από ένα δεδομένο σημείο Μ0 (Χ0: Υ0) και είναι παράλληλες προς τους άξονες συντεταγμένων.
20) Να γράψετε την εξίσωση των αξόνων συντεταγμένων.
21) Δώστε παραδείγματα χρήσης των εξισώσεων κύκλου και ευθείας κατά την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων.

Σε παρακαλώ, το χρειάζομαι πολύ! Κατά προτίμηση με σχέδια (όπου χρειάζεται)!

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ε ́ ΤΑΞΗΣ.

1) Να αναφέρετε και να αποδείξετε το λήμμα για τα συγγραμμικά διανύσματα.
2) Τι σημαίνει η αποσύνθεση ενός διανύσματος σε δύο δεδομένα διανύσματα.
3) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε ένα θεώρημα για την αποσύνθεση ενός διανύσματος σε δύο μη συγγραμμικά διανύσματα.
4) Εξηγήστε πώς εισάγεται ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.
5) Τι είναι τα διανύσματα συντεταγμένων;
6) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε μια πρόταση για την αποσύνθεση ενός αυθαίρετου διανύσματος σε διανύσματα συντεταγμένων.
7) Τι είναι οι διανυσματικές συντεταγμένες;
8) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε τους κανόνες για την εύρεση των συντεταγμένων του αθροίσματος και της διαφοράς των διανυσμάτων, καθώς και του γινόμενου ενός διανύσματος και ενός αριθμού σε δεδομένες διανυσματικές συντεταγμένες.
9) Ποιο είναι το διάνυσμα ακτίνας ενός σημείου; Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες ενός σημείου είναι ίσες με τις αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων.
14) Δώστε ένα παράδειγμα επίλυσης γεωμετρικού προβλήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων.
15)Ποια εξίσωση ονομάζεται εξίσωση αυτής της ευθείας; Δώσε ένα παράδειγμα.
17) Να γράψετε την εξίσωση κύκλου δεδομένης ακτίνας με κέντρο στην αρχή.
18) Να εξάγετε την εξίσωση αυτής της ευθείας σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.
19) Να γράψετε την εξίσωση των ευθειών που διέρχονται από ένα δεδομένο σημείο Μ0 (Χ0: Υ0) και είναι παράλληλες προς τους άξονες συντεταγμένων.
20) Να γράψετε την εξίσωση των αξόνων συντεταγμένων.
21) Δώστε παραδείγματα χρήσης των εξισώσεων κύκλου και ευθείας κατά την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων.

Ευθεία γραμμή σε επίπεδο και στο διάστημα.

Η μελέτη των ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων με χρήση άλγεβρας ονομάζεται αναλυτική γεωμετρία , και θα χρησιμοποιήσουμε το λεγόμενο μέθοδος συντεταγμένων .

Μια γραμμή σε ένα επίπεδο ορίζεται συνήθως ως ένα σύνολο σημείων που έχουν ιδιότητες μοναδικές για αυτά. Το γεγονός ότι οι συντεταγμένες (αριθμοί) x και y ενός σημείου που βρίσκεται σε αυτή την ευθεία γράφονται αναλυτικά με τη μορφή κάποιας εξίσωσης.

Def.1 Εξίσωση γραμμής (εξίσωση καμπύλης) στο επίπεδο Oxy ονομάζεται εξίσωση (*), η οποία ικανοποιείται από τις συντεταγμένες x και y κάθε σημείου μιας δεδομένης ευθείας και δεν ικανοποιείται από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε άλλου σημείου που δεν βρίσκεται σε αυτήν την ευθεία.

Από τον ορισμό 1 προκύπτει ότι κάθε γραμμή στο επίπεδο αντιστοιχεί σε κάποια εξίσωση μεταξύ των τρεχουσών συντεταγμένων ( x,y ) σημεία αυτής της ευθείας και αντίστροφα, κάθε εξίσωση αντιστοιχεί, γενικά, σε μια συγκεκριμένη ευθεία.

Αυτό δημιουργεί δύο κύρια προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας στο επίπεδο.

1. Δίνεται μια γραμμή με τη μορφή ενός συνόλου σημείων. Πρέπει να δημιουργήσουμε μια εξίσωση για αυτή τη γραμμή.

2. Δίνεται η εξίσωση της ευθείας. Είναι απαραίτητο να μελετηθούν οι γεωμετρικές του ιδιότητες (σχήμα και θέση).

Παράδειγμα. Κάντε τα σημεία ψέματα ΕΝΑ(-2;1) Και ΣΕ (1;1) στη γραμμή 2 Χ +στο +3=0?

Το πρόβλημα της εύρεσης των σημείων τομής δύο ευθειών που δίνονται από τις εξισώσεις και καταλήγει στην εύρεση συντεταγμένων που ικανοποιούν την εξίσωση και των δύο ευθειών, δηλ. για την επίλυση ενός συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

Εάν αυτό το σύστημα δεν έχει πραγματικές λύσεις, τότε οι γραμμές δεν τέμνονται.

Η έννοια της γραμμής εισάγεται στο UCS με παρόμοιο τρόπο.

Μια γραμμή σε ένα επίπεδο μπορεί να οριστεί με δύο εξισώσεις

Οπου Χ Και στο – αυθαίρετες συντεταγμένες σημείων M(x;y), που βρίσκεται σε αυτή τη γραμμή, και t - ονομάζεται μια μεταβλητή παράμετρος , η παράμετρος καθορίζει τη θέση του σημείου στο επίπεδο.

Για παράδειγμα, εάν , τότε η τιμή της παραμέτρου t=2 αντιστοιχεί στο σημείο (3;4) του επιπέδου.

Εάν αλλάξει η παράμετρος, το σημείο στο επίπεδο μετακινείται, περιγράφοντας αυτή τη γραμμή. Αυτή η μέθοδος ορισμού μιας γραμμής ονομάζεται παραμετρική και η εξίσωση (5.1) είναι μια παραμετρική εξίσωση της ευθείας.

Για να μετακινηθείτε από τις παραμετρικές εξισώσεις σε μια γενική εξίσωση (*), πρέπει να εξαλείψετε με κάποιο τρόπο την παράμετρο από τις δύο εξισώσεις. Ωστόσο, σημειώνουμε ότι μια τέτοια μετάβαση δεν είναι πάντα ενδεδειγμένη και δεν είναι πάντα δυνατή.

Μπορεί να καθοριστεί μια γραμμή σε ένα επίπεδο διανυσματική εξίσωση , όπου t είναι μια βαθμωτή μεταβλητή παράμετρος. Κάθε τιμή παραμέτρου αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο διάνυσμα. Όταν αλλάζετε την παράμετρο, το τέλος του διανύσματος θα περιγράφει μια συγκεκριμένη γραμμή.

διανυσματική εξίσωση στο DSC αντιστοιχούν δύο βαθμωτές εξισώσεις

(5.1), δηλ. η εξίσωση των προβολών στους άξονες συντεταγμένων της διανυσματικής εξίσωσης μιας ευθείας είναι της

παραμετρική εξίσωση.

Η διανυσματική εξίσωση και οι παραμετρικές εξισώσεις γραμμών έχουν μηχανική σημασία. Εάν ένα σημείο κινείται σε ένα επίπεδο, τότε καλούνται οι υποδεικνυόμενες εξισώσεις εξισώσεις κίνησης , και η ευθεία είναι η τροχιά του σημείου, η παράμετρος t είναι ο χρόνος.

Συμπέρασμα: κάθε γραμμή στο επίπεδο αντιστοιχεί σε μια εξίσωση της μορφής.

Στη γενική περίπτωση, ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΑΣ αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη γραμμή, οι ιδιότητες της οποίας καθορίζονται από τη δεδομένη εξίσωση (με την εξαίρεση ότι καμία γεωμετρική εικόνα δεν αντιστοιχεί σε εξίσωση σε επίπεδο).

Αφήστε να επιλεγεί ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο.

Def. 5.1. Γραμμική εξίσωση αυτός ο τύπος εξίσωσης ονομάζεταιF(x;y) =0, το οποίο ικανοποιείται από τις συντεταγμένες κάθε σημείου που βρίσκεται σε αυτήν την ευθεία και δεν ικανοποιείται από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που δεν βρίσκεται σε αυτήν.

Εξίσωση της φόρμαςF(x;y )=0 – ονομάζεται η γενική εξίσωση μιας ευθείας ή μιας εξίσωσης σε άρρητη μορφή.

Έτσι, η ευθεία Г είναι ο τόπος των σημείων που ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση Г=((x, y): F(x;y)=0).

Η γραμμή ονομάζεται επίσης ανέντιμος.

Στόχος:Εξετάστε την έννοια μιας γραμμής σε ένα επίπεδο, δώστε παραδείγματα. Με βάση τον ορισμό μιας ευθείας, εισαγάγετε την έννοια της εξίσωσης μιας ευθείας σε ένα επίπεδο. Εξετάστε τους τύπους ευθειών, δώστε παραδείγματα και μεθόδους καθορισμού μιας ευθείας γραμμής. Ενισχύστε την ικανότητα να μεταφράζετε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής από μια γενική μορφή σε μια εξίσωση ευθείας γραμμής "σε τμήματα", με γωνιακό συντελεστή.

1. Εξίσωση γραμμής σε επίπεδο.
2. Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο. Τύποι εξισώσεων.
3. Μέθοδοι για τον καθορισμό μιας ευθείας γραμμής.

1. Έστω x και y δύο αυθαίρετες μεταβλητές.

Ορισμός: Λέγεται μια σχέση της μορφής F(x,y)=0 εξίσωση , αν δεν ισχύει για κανένα ζευγάρι αριθμών x και y.

Παράδειγμα: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

Αν η ισότητα F(x,y)=0 ισχύει για οποιοδήποτε x, y, τότε, επομένως, F(x,y) = 0 είναι ταυτότητα.

Παράδειγμα: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Λένε ότι οι αριθμοί x είναι 0 και y είναι 0 ικανοποιεί την εξίσωση , εάν κατά την αντικατάστασή τους σε αυτή την εξίσωση μετατραπεί σε πραγματική ισότητα.

Η πιο σημαντική έννοια της αναλυτικής γεωμετρίας είναι η έννοια της εξίσωσης μιας ευθείας.

Ορισμός: Η εξίσωση μιας δεδομένης ευθείας είναι η εξίσωση F(x,y)=0, η οποία ικανοποιείται από τις συντεταγμένες όλων των σημείων που βρίσκονται σε αυτήν την ευθεία και δεν ικανοποιείται από τις συντεταγμένες κανενός από τα σημεία που δεν βρίσκονται σε αυτήν την ευθεία.

Η ευθεία που ορίζεται από την εξίσωση y = f(x) ονομάζεται γραφική παράσταση της f(x). Οι μεταβλητές x και y ονομάζονται τρέχουσες συντεταγμένες, επειδή είναι οι συντεταγμένες ενός μεταβλητού σημείου.

Μερικοί παραδείγματαορισμούς γραμμών.

1) x – y = 0 => x = y. Αυτή η εξίσωση ορίζει μια ευθεία γραμμή:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => τα σημεία πρέπει να ικανοποιούν είτε την εξίσωση x - y = 0, είτε την εξίσωση x + y = 0, που αντιστοιχεί στο επίπεδο ένα ζεύγος τεμνόμενων ευθειών που είναι διχοτόμοι των γωνιών συντεταγμένων:

3) x 2 + y 2 = 0. Αυτή η εξίσωση ικανοποιείται από ένα μόνο σημείο O(0,0).

2. Ορισμός: Οποιαδήποτε ευθεία γραμμή στο επίπεδο μπορεί να προσδιοριστεί με μια εξίσωση πρώτης τάξης

Ax + Wu + C = 0,

Επιπλέον, οι σταθερές Α και Β δεν είναι ίσες με μηδέν ταυτόχρονα, δηλ. A 2 + B 2 ¹ 0. Αυτή η εξίσωση πρώτης τάξης ονομάζεται γενική εξίσωση ευθείας γραμμής.

Ανάλογα με τις τιμές των σταθερών A, B και C, είναι δυνατές οι ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις:

C = 0, A ¹ 0, B 1 0 - η ευθεία διέρχεται από την αρχή

A = 0, B 1 0, C 1 0 (By + C = 0) - ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα Ox

B = 0, A ¹ 0, C 1 0 (Ax + C = 0) – ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Oy

B = C = 0, A ¹ 0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Oy

A = C = 0, B ¹ 0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Ox

Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μπορεί να παρουσιαστεί με διαφορετικές μορφές ανάλογα με τις δεδομένες αρχικές συνθήκες.

Εξίσωση ευθείας με γωνιακό συντελεστή.

Αν η γενική εξίσωση της ευθείας Ax + By + C = 0 μειωθεί στη μορφή:

και συμβολίζουμε , τότε καλείται η εξίσωση που προκύπτει εξίσωση ευθείας με κλίση k.

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα.

Αν στη γενική εξίσωση της ευθείας Αх + Ву + С = 0 С ¹ 0, τότε, διαιρώντας με –С, παίρνουμε: ή , όπου

Η γεωμετρική σημασία των συντελεστών είναι ότι ο συντελεστής ΕΝΑείναι η συντεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα Ox, και σι– η συντεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα Oy.

Κανονική εξίσωση μιας γραμμής.

Αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης Ax + By + C = 0 διαιρεθούν με έναν αριθμό που ονομάζεται παράγοντα ομαλοποίησης, τότε παίρνουμε

xcosj + ysinj - p = 0 – κανονική εξίσωση ευθείας.

Το πρόσημο ± του συντελεστή κανονικοποίησης πρέπει να επιλέγεται έτσι ώστε m×С< 0.

p είναι το μήκος της καθέτου που έπεσε από την αρχή στην ευθεία και j είναι η γωνία που σχηματίζει αυτή η κάθετο με τη θετική κατεύθυνση του άξονα Ox.

3. Εξίσωση ευθείας με χρήση σημείου και κλίσης.

Έστω ο γωνιακός συντελεστής της ευθείας ίσος με k, η ευθεία διέρχεται από το σημείο M(x 0, y 0). Τότε η εξίσωση της ευθείας βρίσκεται με τον τύπο: y – y 0 = k(x – x 0)

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία.

Έστω δύο σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2) στο διάστημα, τότε η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από αυτά τα σημεία είναι:

Εάν κάποιος από τους παρονομαστές είναι μηδέν, ο αντίστοιχος αριθμητής πρέπει να ισούται με μηδέν.

Στο επίπεδο, η εξίσωση της ευθείας που γράφτηκε παραπάνω απλοποιείται:

αν x 1 ¹ x 2 και x = x 1, εάν x 1 = x 2.

Λέγεται το κλάσμα = k κλίσηευθεία.