Kasrni kuchga ko'tarish natijasidir. Algebraik kasrni darajaga ko'tarish. Mantiqsiz kuchga ko'tarilish
Mavzu biz teng kasrlarni ko'paytirishimiz kerakligi bilan bog'liq. Ushbu maqola sizga algebraik kasrlarni tabiiy kuchga to'g'ri ko'tarish uchun qanday qoidadan foydalanish kerakligini aytib beradi.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Algebraik kasrni darajaga ko`tarish qoidasi, uning isboti
Qudratga ko'tarilishni boshlashdan oldin, siz kuch haqida maqola yordamida bilimingizni chuqurlashtirishingiz kerak tabiiy ko'rsatkich, bu erda daraja asosida joylashgan bir xil omillarning mahsuloti mavjud va ularning soni ko'rsatkich bilan belgilanadi. Masalan, 2 3 = 2 2 2 = 8 soni.
Quvvatni ko'tarishda biz ko'pincha qoidadan foydalanamiz. Buning uchun pay va maxrajni alohida darajaga ko'taring. Keling, 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 misolini ko'rib chiqaylik. Qoida kasrni tabiiy kuchga ko'tarish uchun qo'llaniladi.
At qurilish algebraik kasr naturada biz yangisini olamiz, bu erda hisoblagich asl kasr darajasiga ega va maxraj maxraj darajasiga ega. Bularning barchasi a b n = a n b n ga o'xshaydi, bu erda a va b ixtiyoriy ko'phadlar, b nolga teng emas, n esa natural sondir.
Isbot ushbu qoidadan kasr sifatida yoziladi, uni tabiiy ko'rsatkichli ta'rifning o'ziga asoslanib, darajaga ko'tarish kerak. Keyin a b n = a b · a b · ko'rinishdagi kasrlarni ko'paytirishni olamiz. . . · a b = a · a · . . . · a b · b ·. . . · b = a n b n
Misollar, yechimlar
Algebraik kasrni darajaga ko'tarish qoidasi ketma-ket bajariladi: birinchi navbatda hisob, keyin maxraj. Numerator va maxrajda ko'phad mavjud bo'lganda, vazifaning o'zi berilgan ko'phadni bir darajaga ko'tarishga qisqartiriladi. Shundan so'ng, asl qismga teng bo'lgan yangi kasr ko'rsatiladi.
1-misol
X 2 3 · y · z 3 kasrni kvadratga aylantiring.
Yechim
X 2 3 · y · z 3 2 darajasini tuzatish kerak. Algebraik kasrni darajaga ko'tarish qoidasidan foydalanib, x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 ko'rinishdagi tenglikni olamiz. Endi hosil bo'lgan kasrni darajaga ko'tarib algebraik shaklga o'tkazish kerak. Keyin shaklning ifodasini olamiz
x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6
Eksponentsiyaning barcha holatlari batafsil tushuntirishni talab qilmaydi, shuning uchun yechimning o'zi qisqacha belgiga ega. Ya'ni, biz buni tushunamiz
x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6
Javob: x 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6.
Agar pay va maxrajda ko'phadlar bo'lsa, unda butun kasrni bir darajaga ko'tarish kerak, keyin uni soddalashtirish uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanish kerak.
2-misol
2 x - 1 x 2 + 3 x y - y kasrni kvadratga aylantiring.
Yechim
Qoidaga ko'ra, bizda shunday
2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2
Ifodani o'zgartirish uchun siz maxrajdagi uchta haddan iborat yig'indining kvadrati formulasidan va hisoblagichda - ayirma kvadratidan foydalanishingiz kerak, bu ifodani soddalashtiradi. Biz olamiz:
2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 · x 2 · 3 · x · y + 2 · x 2 · (- y) + 2 · 3 · x · y · - y = = 4 · x 2 - 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2
Javob: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 · x 2 · y - 6 · x · y 2
E'tibor bering, biz tabiiy kuchga keltira olmaydigan kasrni ko'tarsak, biz kamaytirilmaydigan kasrni ham olamiz. Bu keyinchalik hal qilishni osonlashtirmaydi. Berilgan kasrni kamaytirish mumkin bo'lganda, u holda darajaga ko'tarilganda, biz bir darajaga ko'tarilgandan keyin kamaytirishni amalga oshirmaslik uchun algebraik kasrni kamaytirishni amalga oshirish kerakligini aniqlaymiz.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Kasr sonning maxrajga nisbati bo'lib, maxraj nolga teng bo'lmasligi kerak va hisoblagich har qanday bo'lishi mumkin.
Har qanday kasrni ixtiyoriy darajaga ko'targanda, biz kasrning sonini va maxrajini ushbu darajaga alohida ko'tarishimiz kerak, shundan so'ng biz bu darajalarni sanashimiz va shu bilan darajaga ko'tarilgan kasrni olishimiz kerak.
Masalan:
(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49
(2/3)^3 = (2/3) · (2 /3) · (2 /3) = 2^3/3^3
Salbiy daraja
Agar biz salbiy daraja bilan shug'ullanadigan bo'lsak, unda biz birinchi navbatda "Kasrni teskari" qilishimiz kerak va shundan keyingina uni yuqorida yozilgan qoidaga muvofiq darajaga ko'tarishimiz kerak.
(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2
Harf darajasi
“X” va “y” kabi harfiy qiymatlar bilan ishlashda eksponentsiya avvalgidek bir xil qoidaga amal qiladi.
Shuningdek, biz ½ kasrni 3-darajali darajaga ko'tarish orqali o'zimizni sinab ko'rishimiz mumkin, buning natijasida biz ½ * ½ * ½ = 1/8 ni olamiz, bu aslida bir xil.
(1/2)^3 = 1/8.
Harf koʻrsatkichi x^y
Kasrlarni darajalari bilan ko'paytirish va bo'lish
Agar biz bir xil asoslar bilan darajalarni ko'paytirsak, unda bazaning o'zi bir xil bo'lib qoladi va biz ko'rsatkichlarni qo'shamiz. Agar darajalarni bir xil asoslarga bo'ladigan bo'lsak, daraja asosi ham bir xil bo'lib qoladi va darajalarning ko'rsatkichlari ayiriladi.
Buni misol bilan juda oson ko'rsatish mumkin:
(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31
(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2
Agar biz maxraj va ayiruvchini alohida-alohida 3 va 4 ning darajasiga ko'tarsak, xuddi shu narsani olishimiz mumkin.
Kuchli kasrni boshqa kuchga ko'tarish
Bir darajali kasrni yana bir darajaga ko'targanda, biz avval ichki darajani ko'rsatishimiz kerak, keyin esa darajaning tashqi qismiga o'tishimiz kerak. Boshqacha qilib aytganda, biz bu kuchlarni oddiygina ko'paytirishimiz va kasrni hosil bo'lgan kuchga ko'tarishimiz mumkin.
Masalan:
(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8
Birga ko'tarilgan, kvadrat ildiz
Shuni ham unutmasligimiz kerakki, har qanday kasrni nol darajaga ko'tarish bizga 1 ni beradi, xuddi boshqa raqamlar singari, nolga teng darajaga ko'tarilganda biz 1 ni olamiz.
Oddiy kvadrat ildizni kasrning kuchi sifatida ham ifodalash mumkin
Kvadrat ildiz 3 = 3^(1/2)
Agar biz bilan shug'ullanadigan bo'lsak kvadrat ildiz kasr qaysi ostida joylashgan bo'lsa, biz bu kasrni numeratorda ifodalashimiz mumkin, uning 2-darajali kvadrat ildizi bo'ladi (chunki u kvadrat ildizdir)
Va maxraj kvadrat ildizni ham o'z ichiga oladi, ya'ni. boshqacha qilib aytganda, biz ikkita ildizning munosabatini ko'ramiz, bu ba'zi muammolar va misollarni hal qilish uchun foydali bo'lishi mumkin.
Kvadrat ildiz ostidagi kasrni ikkinchi darajaga ko'tarsak, xuddi shu kasrni olamiz.
Xuddi shu kuch ostidagi ikkita kasrning mahsuloti ushbu ikki kasrning ko'paytmasiga teng bo'ladi, ularning har biri alohida o'z kuchi ostida bo'ladi.
Esingizda bo'lsin: siz nolga bo'linmaysiz!
Bundan tashqari, kasr uchun juda muhim eslatma haqida unutmang, masalan, maxraj nolga teng bo'lmasligi kerak. Kelajakda ko'plab tenglamalarda biz ODZ deb nomlangan ushbu cheklovdan foydalanamiz - ruxsat etilgan qiymatlar oralig'i
Bir xil asosli ikkita kasrni solishtirganda, lekin turli darajalar, darajasi katta bo'lgan kasr qanchalik katta bo'ladi va qanchalik kichik bo'lsa, darajasi kichikroq bo'ladi, agar faqat asoslar emas, balki darajalar ham teng bo'lsa, kasr bir xil deb hisoblanadi;
Misollar:
masalan: 14^3,8 / 14^(-0,2) = 14^(3,8 -0,2) = 139,6
6^(1,77) 6^(- 0,75) = 6^(1,77+(- 0,75)) = 79,7 - 1,3 = 78,6
Raqamning kuchi haqida suhbatni davom ettirib, kuchning qiymatini qanday topish mumkinligini aniqlash mantiqan to'g'ri keladi. Bu jarayon deyiladi eksponentatsiya. Ushbu maqolada biz ko'rsatkichlar qanday amalga oshirilishini o'rganamiz, shu bilan birga barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlarga to'xtalamiz - natural, butun, ratsional va irratsional. Va an'anaga ko'ra, biz raqamlarni turli kuchlarga ko'tarish misollarini batafsil ko'rib chiqamiz.
Sahifani navigatsiya qilish.
"Eksponentatsiya" nimani anglatadi?
Keling, eksponentsiya deb ataladigan narsani tushuntirishdan boshlaylik. Bu erda tegishli ta'rif.
Ta'rif.
Eksponentsiya- bu raqamning kuchining qiymatini topish.
Shunday qilib, ko'rsatkichi r bo'lgan a sonining kuchining qiymatini topish va a sonini r darajaga ko'tarish bir xil narsadir. Masalan, agar vazifa "kuchning (0,5) 5 qiymatini hisoblash" bo'lsa, uni quyidagicha qayta shakllantirish mumkin: "0,5 raqamini 5 kuchga ko'taring."
Endi siz to'g'ridan-to'g'ri eksponentsiya bajariladigan qoidalarga o'tishingiz mumkin.
Raqamni tabiiy kuchga ko'tarish
Amalda, ga asoslangan tenglik odatda shaklda qo'llaniladi. Ya'ni, a sonni m/n kasr darajasiga ko'tarishda avval a sonining n-chi ildizi olinadi, shundan so'ng olingan natija m butun darajaga ko'tariladi.
Keling, kasr darajasiga ko'tarish misollarining echimlarini ko'rib chiqaylik.
Misol.
Darajaning qiymatini hisoblang.
Yechim.
Biz ikkita yechimni ko'rsatamiz.
Birinchi yo'l. Kasr ko'rsatkichli daraja ta'rifi bo'yicha. Biz daraja qiymatini ildiz belgisi ostida hisoblaymiz va keyin kub ildizini chiqaramiz: 
.
Ikkinchi yo'l. Kasr ko'rsatkichli darajani aniqlashda va ildizlarning xususiyatlariga asoslanib, quyidagi tengliklar to'g'ri bo'ladi: 
. Endi biz ildizni chiqaramiz 
, nihoyat, biz uni butun son darajasiga ko'taramiz 
.
Shubhasiz, kasr quvvatiga ko'tarishda olingan natijalar mos keladi.
Javob:
Shu esta tutilsinki kasr ko'rsatkichi daraja sifatida yozish mumkin kasr yoki aralash raqam, bu hollarda u mos keladigan oddiy kasr bilan almashtirilishi kerak, keyin esa kuchga ko'tarilishi kerak.
Misol.
Hisoblang (44.89) 2.5.
Yechim.
Ko'rsatkichni shaklda yozamiz oddiy kasr(agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang): 
. Endi biz kasr darajasiga ko'taramiz: 
Javob:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Shuni ham aytish kerakki, raqamlarni ratsional darajalarga ko'tarish juda ko'p mehnat talab qiladigan jarayondir (ayniqsa, kasr ko'rsatkichining numeratori va maxraji juda oz bo'lsa. katta raqamlar), odatda kompyuter texnologiyalari yordamida amalga oshiriladi.
Ushbu fikrni yakunlash uchun keling, nol sonini kasr darajasiga ko'tarish haqida to'xtalib o'tamiz. Shaklning nolning kasr kuchiga quyidagi ma'noni berdik: bizda 
, va noldan m / n quvvati aniqlanmagan. Demak, kasrning musbat kuchi nolga teng, masalan, 
. Kasrli manfiy quvvatdagi nol esa mantiqiy emas, masalan, 0 -4,3 iboralari mantiqiy emas.
Mantiqsiz kuchga ko'tarilish
Ba'zan irratsional ko'rsatkichga ega bo'lgan sonning kuchining qiymatini aniqlash kerak bo'ladi. Bunday holda, amaliy maqsadlar uchun odatda ma'lum bir belgiga aniqlik darajasining qiymatini olish kifoya qiladi. Darhol shuni ta'kidlaymizki, amalda bu qiymat elektron kompyuterlar yordamida hisoblab chiqiladi, chunki uni mantiqiy bo'lmagan quvvatga qo'lda ko'tarish juda ko'p mashaqqatli hisoblarni talab qiladi. Ammo biz hali ham tasvirlab beramiz umumiy kontur harakatning mohiyati.
Irratsional darajali a sonining kuchining taxminiy qiymatini olish uchun darajaning bir necha o'nli yaqinlashuvi olinadi va darajaning qiymati hisoblanadi. Bu qiymat a sonining irratsional ko'rsatkichli kuchining taxminiy qiymatidir. Raqamning o'nli yaqinlashuvi dastlab qanchalik aniq bo'lsa, oxirida darajaning qiymati shunchalik aniqroq bo'ladi.
Misol tariqasida 2 1,174367... quvvatining taxminiy qiymatini hisoblab chiqamiz. Irratsional ko'rsatkichning quyidagi o'nli yaqinlashuvini olaylik: . Endi biz 2 ni 1,17 ratsional kuchga ko'taramiz (biz oldingi xatboshida bu jarayonning mohiyatini tasvirlab bergan edik), biz 2 1,17 ≈2,250116 ni olamiz. Shunday qilib, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Agar biz, masalan, irratsional ko'rsatkichning aniqroq o'nli yaqinlashuvini olsak, biz asl ko'rsatkichning aniqroq qiymatini olamiz: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Ma'lumotnomalar.
- Vilenkin N.Ya., Joxov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5-sinf uchun matematika darslik. ta'lim muassasalari.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 7-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 9-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar: “Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma).
Ba'zan matematikada sonni kasrni ifodalovchi darajaga ko'tarish kerak. Bizning maqolamiz sizga raqamni kasr darajasiga qanday ko'tarish kerakligini aytib beradi va bu juda oddiy ekanligini ko'rasiz.
Kasr darajasidagi son kamdan-kam hollarda butun son bo'ladi. Ko'pincha bunday qurilishning natijasi ma'lum darajada aniqlik bilan ifodalanishi mumkin. Shuning uchun, agar hisoblashning aniqligi ko'rsatilmagan bo'lsa, unda butun sonlar uchun aniq hisoblangan qiymatlar topiladi va o'nli kasrdan keyin ko'p sonli raqamlarga ega bo'lganlar ildizlari bilan qoladi. Masalan, ettining kub ildizi yoki ikkitaning kvadrat ildizi. Fizikada bu ildizlarning hisoblangan qiymatlari boshqa darajadagi aniqlik kerak bo'lmaganda yuzdan biriga yaxlitlanadi.
Yechim algoritmi
- Kasrni noto'g'ri yoki to'g'ri kasrga aylantirish. Qism noto'g'ri kasr, ya'ni butun sonni ajratib ko'rsatishga arzimaydi. Agar kasr darajasi butun son va kasr qism sifatida taqdim etilsa, uni noto'g'ri kasrga aylantirish kerak.
- Biz to'g'ri yoki noto'g'ri kasrning soniga teng bo'lgan berilgan sonning kuchining qiymatini hisoblaymiz.
- Biz 2-bosqichda olingan raqamning ildizini hisoblaymiz, uning ko'rsatkichi bizning kasrimizning maxrajidir.
Keling, bunday hisob-kitoblarga misollar keltiramiz
Bundan tashqari, ushbu hisob-kitoblar uchun siz kalkulyatorni kompyuteringizga yuklab olishingiz yoki onlayn kalkulyatorlardan foydalanishingiz mumkin, masalan, Internetda juda ko'p.
Kasr sonning maxrajga nisbati bo'lib, maxraj nolga teng bo'lmasligi kerak va hisoblagich har qanday bo'lishi mumkin.
Har qanday kasrni ixtiyoriy darajaga ko'targanda, biz kasrning sonini va maxrajini ushbu darajaga alohida ko'tarishimiz kerak, shundan so'ng biz bu darajalarni sanashimiz va shu bilan darajaga ko'tarilgan kasrni olishimiz kerak.
Masalan:
(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49
(2/3)^3 = (2/3) · (2 /3) · (2 /3) = 2^3/3^3
Salbiy daraja
Agar biz salbiy daraja bilan shug'ullanadigan bo'lsak, unda biz birinchi navbatda "Kasrni teskari" qilishimiz kerak va shundan keyingina uni yuqorida yozilgan qoidaga muvofiq darajaga ko'tarishimiz kerak.
(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2
Harf darajasi
“X” va “y” kabi harfiy qiymatlar bilan ishlashda eksponentsiya avvalgidek bir xil qoidaga amal qiladi.
Shuningdek, biz ½ kasrni 3-darajali darajaga ko'tarish orqali o'zimizni sinab ko'rishimiz mumkin, buning natijasida biz ½ * ½ * ½ = 1/8 ni olamiz, bu aslida bir xil.
Harf koʻrsatkichi x^y
Kasrlarni darajalari bilan ko'paytirish va bo'lish
Agar biz bir xil asoslar bilan darajalarni ko'paytirsak, unda bazaning o'zi bir xil bo'lib qoladi va biz ko'rsatkichlarni qo'shamiz. Agar darajalarni bir xil asoslarga bo'ladigan bo'lsak, daraja asosi ham bir xil bo'lib qoladi va darajalarning ko'rsatkichlari ayiriladi.
Buni misol bilan juda oson ko'rsatish mumkin:
(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31
(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2
Agar biz maxraj va ayiruvchini alohida-alohida 3 va 4 ning darajasiga ko'tarsak, xuddi shu narsani olishimiz mumkin.
Kuchli kasrni boshqa kuchga ko'tarish
Bir darajali kasrni yana bir darajaga ko'targanda, biz avval ichki darajani ko'rsatishimiz kerak, keyin esa darajaning tashqi qismiga o'tishimiz kerak. Boshqacha qilib aytganda, biz bu kuchlarni oddiygina ko'paytirishimiz va kasrni hosil bo'lgan kuchga ko'tarishimiz mumkin.
Masalan:
(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8
Birga ko'tarilgan, kvadrat ildiz
Shuni ham unutmasligimiz kerakki, har qanday kasrni nol darajaga ko'tarish bizga 1 ni beradi, xuddi boshqa raqamlar singari, nolga teng darajaga ko'tarilganda biz 1 ni olamiz.
Oddiy kvadrat ildizni kasrning kuchi sifatida ham ifodalash mumkin
Kvadrat ildiz 3 = 3^(1/2)
Agar biz kasr joylashgan kvadrat ildiz bilan ishlayotgan bo'lsak, unda biz bu kasrni hisoblagichida 2-darajali kvadrat ildiz bo'lishini tasavvur qilishimiz mumkin (chunki u kvadrat ildizdir)
Va maxraj kvadrat ildizni ham o'z ichiga oladi, ya'ni. boshqacha qilib aytganda, biz ikkita ildizning munosabatini ko'ramiz, bu ba'zi muammolar va misollarni hal qilish uchun foydali bo'lishi mumkin.
Kvadrat ildiz ostidagi kasrni ikkinchi darajaga ko'tarsak, xuddi shu kasrni olamiz.
Xuddi shu kuch ostidagi ikkita kasrning mahsuloti ushbu ikki kasrning ko'paytmasiga teng bo'ladi, ularning har biri alohida o'z kuchi ostida bo'ladi.
Esingizda bo'lsin: siz nolga bo'linmaysiz!
Bundan tashqari, kasr uchun juda muhim eslatma haqida unutmang, masalan, maxraj nolga teng bo'lmasligi kerak. Kelajakda ko'plab tenglamalarda biz ODZ deb nomlangan ushbu cheklovdan foydalanamiz - ruxsat etilgan qiymatlar oralig'i
Bir xil asosga ega, ammo kuchlari har xil bo'lgan ikkita kasrni solishtirganda, qanchalik katta bo'lsa, kuchi kattaroq bo'ladi va kichikroq bo'lsa, faqat asoslar emas, balki kuchlar ham teng bo'lsa; kasr bir xil deb hisoblanadi.