Uchburchakning maydoni haqidagi teorema, sinuslar va kosinuslar teoremalari. Uchburchakning maydoni haqidagi teorema, sinuslar va kosinuslar teoremalari. Sinus orqali uchburchakning maydoni nima?

Uchburchakning maydoni uning tomonlari va ular orasidagi burchak sinusining yarmiga teng.

Isbot:

ABC ixtiyoriy uchburchakni ko'rib chiqaylik. BC tomoni = a, CA = b tomoni va S bu uchburchakning maydoni bo'lsin. Buni isbotlash kerak S = (1/2)*a*b*sin(C).

Boshlash uchun to‘g‘ri to‘rtburchak koordinatalar sistemasini kiritamiz va koordinatalar boshini C nuqtaga joylashtiramiz. Koordinatalar sistemamizni shunday joylashtiramizki, B nuqta Cx o‘qining musbat yo‘nalishida, A nuqta esa musbat ordinataga ega bo‘lsin.

Har bir narsa to'g'ri bajarilgan bo'lsa, siz quyidagi rasmni olishingiz kerak.

Berilgan uchburchakning maydonini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: S = (1/2)*a*h, bu erda h - uchburchakning balandligi. Bizning holatimizda h uchburchakning balandligi A nuqtaning ordinatasiga teng, ya'ni h = b*sin(C).

Olingan natijalarni hisobga olgan holda, uchburchakning maydoni formulasini quyidagicha qayta yozish mumkin: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

Muammoni hal qilish

Vazifa 1. ABC uchburchagining maydonini toping, agar a) AB = 6*√8 sm, AC = 4 sm, burchak A = 60 gradus b) BC = 3 sm, AB = 18*√2 sm, B burchagi = 45 daraja c ) AC = 14 sm, CB = 7 sm, burchak C = 48 daraja.

Yuqorida isbotlangan teoremaga ko'ra, ABC uchburchakning S maydoni quyidagilarga teng:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Keling, hisob-kitoblarni bajaramiz:

a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 sm^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 sm^2.

c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ sm^2.

Biz kalkulyatorda burchak sinusining qiymatini hisoblaymiz yoki qiymatlar jadvalidagi qiymatlardan foydalanamiz. trigonometrik burchaklar. Javob:

a) 12*√6 sm^2.

c) taxminan 36,41 sm^2.

Masala 2. ABC uchburchakning maydoni 60 sm^2. AC = 15 sm, burchak A = 30˚ bo'lsa, AB tomonini toping.

ABC uchburchakning maydoni S bo'lsin. Uchburchakning maydoni haqidagi teorema bo'yicha bizda:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Keling, unga ega bo'lgan qiymatlarni almashtiramiz:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

Bu yerdan AB tomonining uzunligini ifodalaymiz: AB = (60*4)/15 = 16.

Uchburchakning maydoni - formulalar va masalani yechish misollari

Quyida ixtiyoriy uchburchakning maydonini topish uchun formulalar xususiyatlari, burchaklari yoki o'lchamlaridan qat'i nazar, har qanday uchburchakning maydonini topish uchun javob beradi. Formulalar rasm ko'rinishida, ularni qo'llash uchun tushuntirishlar yoki ularning to'g'riligini asoslash bilan taqdim etiladi. Shuningdek, alohida rasmda formulalardagi harf belgilari va chizmadagi grafik belgilar o'rtasidagi muvofiqlik ko'rsatilgan.

Eslatma . Agar uchburchak bo'lsa maxsus xususiyatlar(izoseller, to'rtburchaklar, teng yonli), siz quyida keltirilgan formulalardan, shuningdek, faqat ushbu xususiyatlarga ega uchburchaklar uchun amal qiladigan qo'shimcha maxsus formulalardan foydalanishingiz mumkin:

• "Hudud formulalari teng tomonli uchburchak"

Uchburchak maydoni formulalari

Formulalar uchun tushuntirishlar:
a, b, c- maydonini topmoqchi bo'lgan uchburchak tomonlarining uzunliklari
r- uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusi
R- uchburchak atrofida aylana radiusi
h- yon tomonga tushirilgan uchburchakning balandligi
p- uchburchakning yarim perimetri, uning tomonlari yig'indisining 1/2 qismi (perimetri)
α - uchburchakning a tomoniga qarama-qarshi burchak
β - uchburchakning b tomoniga qarama-qarshi burchak
γ - uchburchakning c tomoniga qarama-qarshi burchak
h a, h b , h c- a, b, c tomonlarga tushirilgan uchburchakning balandligi

E'tibor bering, berilgan belgilar yuqoridagi rasmga to'g'ri keladi, shuning uchun haqiqiy geometriya masalasini hal qilishda formulaning kerakli joylariga to'g'ri qiymatlarni almashtirish vizual ravishda osonroq bo'ladi.

• Uchburchakning maydoni uchburchak balandligining yarmi mahsuloti va bu balandlik tushirilgan tomonning uzunligi(Formula 1). Ushbu formulaning to'g'riligini mantiqan tushunish mumkin. Poydevorga tushirilgan balandlik ixtiyoriy uchburchakni ikkita to'rtburchakka bo'ladi. Agar siz ularning har birini b va h o'lchamli to'rtburchaklar shaklida qursangiz, bu uchburchaklar maydoni to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng bo'ladi (Spr = bh)
• Uchburchakning maydoni uning ikki tomonining yarmi ko'paytmasi va ular orasidagi burchak sinusi(Formula 2) (quyida ushbu formuladan foydalangan holda muammoni hal qilish misoliga qarang). Bu avvalgisidan farqli ko'rinishiga qaramay, uni osongina aylantirish mumkin. Agar balandlikni B burchakdan b tomoniga tushirsak, sinusning xususiyatlariga ko'ra, a tomonning ko'paytmasi va g burchak sinusi chiqadi. to'g'ri uchburchak biz chizgan uchburchakning balandligiga teng, bu bizga oldingi formulani beradi
• Ixtiyoriy uchburchakning maydonini topish mumkin orqali ish uning barcha tomonlari uzunliklarining yig'indisi bilan yozilgan doiraning yarmi radiusi(Formula 3), sodda qilib aytganda, siz uchburchakning yarim perimetrini chizilgan doira radiusiga ko'paytirishingiz kerak (buni eslab qolish osonroq)
• Ixtiyoriy uchburchakning maydonini uning barcha tomonlari ko'paytmasini atrofida aylananing 4 radiusiga bo'lish orqali topish mumkin (Formula 4)
• Formula 5 - bu uchburchakning maydonini uning tomonlari va yarim perimetri (barcha tomonlari yig'indisi) orqali topish.
• Heron formulasi(6) bir xil formulaning yarim perimetr tushunchasidan foydalanmasdan, faqat tomonlarning uzunliklari orqali ifodalanishi.
• O'zboshimchalik bilan uchburchakning maydoni uchburchak tomonining kvadrati va bu tomonga ulashgan burchaklar sinuslari ko'paytmasiga teng, bu tomonga qarama-qarshi burchakning qo'sh sinusiga bo'linadi (Formula 7)
• Ixtiyoriy uchburchakning maydonini uning har bir burchagining sinuslari bilan chegaralangan doiraning ikkita kvadratining mahsuloti sifatida topish mumkin. (Formula 8)
• Agar bir tomonning uzunligi va ikkita qo'shni burchakning qiymatlari ma'lum bo'lsa, uchburchakning maydoni bu tomonning kvadratini ushbu burchaklar kotangentlarining ikki baravar yig'indisiga bo'lingan holda topish mumkin (Formula 9)
• Agar uchburchakning har bir balandligining uzunligi ma'lum bo'lsa (Formula 10), unda bunday uchburchakning maydoni Heron formulasiga ko'ra, bu balandliklarning uzunliklariga teskari proportsionaldir.
• Formula 11 hisoblash imkonini beradi uchburchakning uchlari koordinatalari asosida uning maydoni, ular har bir cho'qqi uchun (x; y) qiymatlar sifatida ko'rsatilgan. E'tibor bering, natijada olingan qiymat modul bo'yicha olinishi kerak, chunki alohida (yoki hatto barcha) cho'qqilarning koordinatalari salbiy qiymatlar hududida bo'lishi mumkin.

Eslatma. Quyida uchburchakning maydonini topish uchun geometriya masalalarini echish misollari keltirilgan. Agar siz bu erda o'xshash bo'lmagan geometriya masalasini hal qilishingiz kerak bo'lsa, bu haqda forumda yozing. Yechimlarda "belgisi o'rniga" kvadrat ildiz" sqrt() funktsiyasidan foydalanish mumkin, bunda sqrt kvadrat ildiz belgisidir va radikal ifoda qavs ichida ko'rsatilgan..Ba'zan oddiy radikal iboralar uchun belgidan foydalanish mumkin √

Vazifa. Ikki tomon berilgan maydonni va ular orasidagi burchakni toping

Uchburchakning tomonlari 5 va 6 sm, ular orasidagi burchak 60 daraja. Uchburchakning maydonini toping.

Yechim.

Ushbu muammoni hal qilish uchun biz darsning nazariy qismidagi ikkinchi formuladan foydalanamiz.
Uchburchakning maydonini ikki tomonning uzunligi va ular orasidagi burchakning sinusi orqali topish mumkin va unga teng bo'ladi.
S=1/2 ab sin g

Yechish uchun barcha kerakli ma'lumotlarga ega bo'lganligimiz sababli (formula bo'yicha), biz faqat muammo shartlaridagi qiymatlarni formulaga almashtirishimiz mumkin:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

Qiymatlar jadvalida trigonometrik funktsiyalar Ifodaga sinusning 60 gradus qiymatini topamiz va almashtiramiz. Bu uch karra ikkining ildiziga teng bo'ladi.
S = 15 √3 / 2

Javob: 7,5 √3 (o'qituvchining talablariga qarab, siz 15 √3/2 qoldirishingiz mumkin)

Vazifa. Teng tomonli uchburchakning maydonini toping

Tomoni 3 sm bo'lgan teng tomonli uchburchakning maydonini toping.

Yechim.

Uchburchakning maydonini Heron formulasi yordamida topish mumkin:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a = b = c bo'lgani uchun, teng qirrali uchburchakning maydoni formulasi quyidagi shaklni oladi:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Javob: 9 √3 / 4.

Vazifa. Yonlarning uzunligini o'zgartirganda maydonni o'zgartiring

Tomonlari 4 marta oshirilsa, uchburchakning maydoni necha marta oshadi?

Yechim.

Uchburchak tomonlarining o'lchamlari bizga noma'lum bo'lganligi sababli, masalani hal qilish uchun tomonlarning uzunliklari mos ravishda ixtiyoriy a, b, c raqamlariga teng deb faraz qilamiz. Keyin, masalaning savoliga javob berish uchun, biz berilgan uchburchakning maydonini topamiz, so'ngra tomonlari to'rt marta kattaroq bo'lgan uchburchakning maydonini topamiz. Bu uchburchaklar maydonlarining nisbati bizga muammoga javob beradi.

Quyida muammoning yechimini bosqichma-bosqich matnli tushuntirishni beramiz. Biroq, oxirida, xuddi shu yechim qulayroq grafik shaklda taqdim etiladi. Qiziqqanlar darhol yechimlarni pastga tushirishlari mumkin.

Yechish uchun biz Heron formulasidan foydalanamiz (darsning nazariy qismida yuqoriga qarang). Bu shunday ko'rinadi:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(quyidagi rasmning birinchi qatoriga qarang)

Ixtiyoriy uchburchak tomonlarining uzunliklari a, b, c o'zgaruvchilari bilan belgilanadi.
Agar tomonlar 4 marta oshirilsa, yangi c uchburchakning maydoni quyidagicha bo'ladi:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(quyidagi rasmdagi ikkinchi qatorga qarang)

Ko'rib turganingizdek, 4 umumiy koeffitsient bo'lib, unga ko'ra barcha to'rtta iboradan qavs ichidan chiqarilishi mumkin umumiy qoidalar matematika.
Keyin

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - rasmning uchinchi qatorida
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - to'rtinchi qator

256 raqamining kvadrat ildizi mukammal tarzda chiqariladi, shuning uchun uni ildiz ostidan chiqaramiz
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(quyidagi rasmning beshinchi qatoriga qarang)

Muammoda qo'yilgan savolga javob berish uchun biz paydo bo'lgan uchburchakning maydonini asl uchburchakning maydoniga bo'lishimiz kerak.
Ifodalarni bir-biriga bo'lish va hosil bo'lgan kasrni kamaytirish yo'li bilan maydon nisbatlarini aniqlaymiz.

Uchburchak maydoni teoremasi

Teorema 1

Uchburchakning maydoni ikki tomonning ko'paytmasining yarmiga va bu tomonlar orasidagi burchak sinusiga teng.

Isbot.

Bizga $ABC$ ixtiyoriy uchburchak berilsin. Bu uchburchakning tomonlari uzunliklarini $BC=a$, $AC=b$ deb belgilaymiz. $C=(0,0)$ nuqta, $B$ nuqta o'ng yarim o'qda $Ox$ va $A$ nuqta birinchi koordinata kvadrantida joylashgan bo'lishi uchun Dekart koordinata tizimini kiritamiz. $A$ nuqtadan $h$ balandligini chizamiz (1-rasm).

1-rasm. 1-teoremaning tasviri

Demak, $h$ balandligi $A$ nuqtaning ordinatasiga teng

Sinuslar teoremasi

Teorema 2

Uchburchakning tomonlari qarama-qarshi burchaklarning sinuslariga proporsionaldir.

Isbot.

Bizga $ABC$ ixtiyoriy uchburchak berilsin. Bu uchburchak tomonlarining uzunliklarini $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ deb belgilaymiz (2-rasm).

2-rasm.

Keling, buni isbotlaylik

1-teorema bo'yicha biz bor

Ularni juftlikda tenglashtirib, biz buni olamiz

Kosinus teoremasi

Teorema 3

Uchburchakning kvadrat tomoni summasiga teng uchburchakning qolgan ikki tomonining kvadratlari, bu tomonlar orasidagi burchakning kosinusiga ikki barobar ko'paytirilmagan.

Isbot.

Bizga $ABC$ ixtiyoriy uchburchak berilsin. Uning tomonlari uzunliklarini $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$ deb belgilaymiz. $A=(0,0)$ nuqta, $B$ nuqta musbat yarim o'qda $Ox$ va $C$ nuqta birinchi koordinata kvadrantida joylashgan bo'lishi uchun Dekart koordinata tizimini kiritamiz (1-rasm). 3).

3-rasm.

Keling, buni isbotlaylik

Ushbu koordinatalar tizimida biz buni olamiz

Nuqtalar orasidagi masofa formulasidan foydalanib $BC$ tomonining uzunligini toping

Ushbu teoremalardan foydalangan holda muammoga misol

1-misol

Ixtiyoriy uchburchakning chegaralangan doira diametri uchburchakning istalgan tomonining shu tomonga qarama-qarshi burchak sinusiga nisbatiga teng ekanligini isbotlang.

Yechim.

Bizga $ABC$ ixtiyoriy uchburchak berilsin. $R$ - chegaralangan doiraning radiusi. $BD$ diametrini chizamiz (4-rasm).

Agar muammo uchburchakning ikki tomonining uzunligini va ular orasidagi burchakni bersa, unda siz sinus orqali uchburchakning maydoni uchun formulani qo'llashingiz mumkin.

Sinus yordamida uchburchakning maydonini hisoblash misoli. Berilgan tomonlar a = 3, b = 4 va burchak g = 30 °. 30° burchakning sinusi 0,5 ga teng

Uchburchakning maydoni 3 kvadrat metrni tashkil qiladi. sm.

Maydoni kasrga ko'paytirilgan tomonning yarmi kvadratiga teng bo'ladi. Uning numeratori qo‘shni burchaklar sinuslarining ko‘paytmasi, maxraji esa qarama-qarshi burchakning sinusidir. Endi biz quyidagi formulalar yordamida maydonni hisoblaymiz:

Masalan, tomoni a=3 va burchaklari g=60°, b=60° boʻlgan uchburchak berilgan. Uchinchi burchakni hisoblang:
Ma'lumotlarni formulaga almashtirish
Biz uchburchakning maydoni 3,87 kvadrat metr ekanligini aniqlaymiz. sm.

II. Kosinus orqali uchburchakning maydoni

Uchburchakning maydonini topish uchun siz barcha tomonlarning uzunligini bilishingiz kerak. Kosinus teoremasidan foydalanib, siz noma'lum tomonlarni topishingiz mumkin va shundan keyingina ulardan foydalaning.
Kosinuslar teoremasiga ko'ra, uchburchakning noma'lum tomonining kvadrati qolgan tomonlari kvadratlarining yig'indisiga shu tomonlarning ikki barobar ko'paytmasi va ular orasidagi burchakning kosinusiga teng.

Teoremadan biz noma'lum tomonning uzunligini topish formulalarini olamiz:

Ikki tomon va ular orasidagi burchakka ega bo'lgan holda, etishmayotgan tomonni qanday topishni bilib, siz maydonni osongina hisoblashingiz mumkin. Kosinus orqali uchburchak maydonining formulasi turli muammolarning echimini tez va oson topishga yordam beradi.

Kosinus yordamida uchburchakning maydoni uchun formulani hisoblash misoli
bilan uchburchak berilgan taniqli partiyalar a = 3, b = 4 va burchak g = 45 °. Birinchidan, etishmayotgan tomonni topamiz Bilan. Kosinus 45°=0,7. Buning uchun ma'lumotlarni kosinus teoremasidan olingan tenglamaga almashtiramiz.
Endi formuladan foydalanib, topamiz