1-mavzu Algebraik kasrlar va arifmetik amallar. Kasrlarni qo'shish va ayirish bilan bog'liq masalalar. Algebraik kasrning qiymatini hisoblash va ikkita asosiy kasr muammosi

Sinov uchun savollar

• 
  Kasrning asosiy xossasini ayting.
• 
  Formalash
  1. 
     Algebraik kasr uchun qo'shimcha omilni topish algoritmi.
  2. 
     O'xshash maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidalari.
  3. 
     Bir necha kasrlarning umumiy maxrajini topish algoritmi
  4. 
     Turli xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish (ayirish) qoidasi.
  5. 
     Algebraik kasrlarni ko'paytirish qoidasi
  6. 
     Algebraik kasrlarni bo'lish qoidasi.
  7. 
     Algebraik kasrni darajaga ko'tarish qoidasi.

Bu dars algebraik kasr tushunchasini qamrab oladi. Odamlar kasrlarni eng sodda tarzda uchratishadi hayotiy vaziyatlar: ob'ektni bir necha qismlarga bo'lish kerak bo'lganda, masalan, kekni o'n kishiga teng ravishda kesish. Shubhasiz, har bir kishi tortning bir qismini oladi. Bunday holda, biz sonli kasr tushunchasiga duch kelamiz, lekin ob'ekt noma'lum sonli qismlarga, masalan, x ga bo'linganida vaziyat mumkin. Bunday holda kasrli ifoda tushunchasi paydo bo'ladi. Siz 7-sinfda butun iboralar (oʻzgaruvchili iboralarga boʻlinishni oʻz ichiga olmaydi) va ularning xossalari bilan allaqachon tanishgansiz. Keyinchalik biz ratsional kasr tushunchasini, shuningdek o'zgaruvchilarning maqbul qiymatlarini ko'rib chiqamiz.

Mavzu:Algebraik kasrlar. Algebraik kasrlar ustidagi arifmetik amallar

Dars:Asosiy tushunchalar

1. Algebraik kasrlarning ta’rifi va misollari

Ratsional ifodalar bo‘linadi butun va kasrli ifodalar.

Ta'rif. Ratsional kasr shaklining kasr ifodasidir, bu erda ko'phadlar. - sanoqchi, - maxraj.

Misollar ratsional ifodalar:- kasrli ifodalar; - butun ifodalar. Birinchi ifodada, masalan, sanoqchi , maxraj esa .

Ma'nosi algebraik kasr har kim kabi algebraik ifoda, unga kiritilgan o'zgaruvchilarning raqamli qiymatiga bog'liq. Xususan, birinchi misolda kasrning qiymati o'zgaruvchilarning qiymatlariga va , ikkinchi misolda esa faqat o'zgaruvchining qiymatiga bog'liq.

2. Algebraik kasrning qiymatini hisoblash va ikkita asosiy kasr masalasi

Keling, birinchi tipik vazifani ko'rib chiqaylik: qiymatni hisoblash ratsional kasr unga kiritilgan o'zgaruvchilarning turli qiymatlari uchun.

1-misol. a) , b) , c) uchun kasr qiymatini hisoblang.

Yechim. O'zgaruvchilarning qiymatlarini ko'rsatilgan kasrga almashtiramiz: a) , b) , c) - mavjud emas (chunki siz nolga bo'linmaysiz).

Javob: 3; 1; mavjud emas.

Ko'rib turganingizdek, har qanday kasr uchun ikkita tipik muammo paydo bo'ladi: 1) kasrni hisoblash, 2) kasrni topish haqiqiy va noto'g'ri qiymatlar harf o'zgaruvchilari.

Ta'rif. Yaroqli o'zgaruvchan qiymatlar- ifoda mantiqiy bo'lgan o'zgaruvchilar qiymatlari. O'zgaruvchilarning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami deyiladi ODZ yoki ta'rif sohasi.

3. Bir o'zgaruvchiga ega bo'lgan kasrlardagi o'zgaruvchilarning qabul qilinadigan (ADV) va qabul qilib bo'lmaydigan qiymatlari

Agar ushbu qiymatlardagi kasrning maxraji nolga teng bo'lsa, harfiy o'zgaruvchilarning qiymati yaroqsiz bo'lishi mumkin. Boshqa barcha holatlarda, o'zgaruvchilarning qiymatlari haqiqiydir, chunki kasrni hisoblash mumkin.

2-misol. O'zgaruvchining qaysi qiymatlarida kasr mantiqiy emasligini aniqlang.

Yechim. Bu ifodaning ma'noli bo'lishi uchun kasrning maxraji nolga teng bo'lmasligi zarur va etarli. Shunday qilib, o'zgaruvchining faqat maxraji nolga teng bo'lgan qiymatlari yaroqsiz bo'ladi. Kasrning maxraji ga teng, shuning uchun chiziqli tenglamani yechamiz:

Shuning uchun, o'zgaruvchining qiymatini hisobga olgan holda, kasr hech qanday ma'noga ega emas.

Misol yechimidan o'zgaruvchilarning noto'g'ri qiymatlarini topish qoidasi quyidagicha bo'ladi - kasrning maxraji nolga teng va tegishli tenglamaning ildizlari topiladi.

Keling, bir nechta shunga o'xshash misollarni ko'rib chiqaylik.

3-misol. O'zgaruvchining qaysi qiymatlarida kasr mantiqiy emasligini aniqlang.

Yechim. .

4-misol. O'zgaruvchining qaysi qiymatlarida kasr mantiqiy emasligini aniqlang.

Yechim..

Ushbu muammoning boshqa formulalari mavjud - toping ta'rif sohasi yoki qabul qilinadigan ifoda qiymatlari diapazoni (APV). Bu o'zgaruvchilarning barcha haqiqiy qiymatlarini topishni anglatadi. Bizning misolimizda bularning barchasi bundan mustasno. Raqamlar o'qida aniqlanish sohasini tasvirlash qulay.

Buni amalga oshirish uchun rasmda ko'rsatilganidek, biz undan bir nuqtani kesib tashlaymiz:

Shunday qilib, kasrni aniqlash sohasi 3 dan tashqari barcha raqamlar bo'ladi.

5-misol. O'zgaruvchining qaysi qiymatlarida kasr mantiqiy emasligini aniqlang.

Yechim..

Olingan yechimni raqamli o'qda tasvirlaymiz:

4. O'zgaruvchilarning qabul qilinadigan (AP) va qabul qilib bo'lmaydigan qiymatlari maydonining kasrlardagi grafik tasviri

6-misol. O'zgaruvchilarning qaysi qiymatlarida kasr mantiqiy emasligini aniqlang.

Yechish.. Ikki o‘zgaruvchining tengligini oldik, sonli misollar keltiramiz: yoki, va hokazo.

Keling, ushbu yechimni Dekart koordinata tizimidagi grafikda tasvirlaymiz:

Guruch. 3. Funksiya grafigi.

Ushbu grafikda joylashgan har qanday nuqtaning koordinatalari qabul qilinadigan kasr qiymatlari oralig'iga kiritilmagan.

5. «Nolga bo`lish» tipidagi holat

Ko'rib chiqilgan misollarda biz nolga bo'linish sodir bo'lgan vaziyatga duch keldik. Endi turdagi bo'linish bilan yanada qiziqarli vaziyat yuzaga kelgan vaziyatni ko'rib chiqing.

7-misol. O'zgaruvchilarning qaysi qiymatlarida kasr mantiqiy emasligini aniqlang.

Yechim..

Ma'lum bo'lishicha, kasr da hech qanday ma'noga ega emas. Ammo bu shunday emas, deb bahslashish mumkin, chunki: .

Ko'rinishidan, agar yakuniy ifoda 8 ga teng bo'lsa, unda asl ifodani ham hisoblash mumkin va shuning uchun da mantiqiy bo'ladi. Ammo, agar biz uni asl iboraga almashtirsak, biz tushunamiz - bu hech qanday ma'noga ega emas.

Ushbu misolni batafsilroq tushunish uchun quyidagi masalani hal qilaylik: ko'rsatilgan kasr qaysi qiymatlarda nolga teng?

(kasr, uning numeratori nolga teng bo'lsa, nolga teng) . Lekin asl tenglamani kasr bilan yechish kerak va buning ma'nosi yo'q, chunki o'zgaruvchining bu qiymatida maxraj nolga teng. Bu shuni anglatadiki, bu tenglama faqat bitta ildizga ega.

6. ODZni topish qoidasi

Shunday qilib, biz kasrning ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ini topishning aniq qoidasini shakllantirishimiz mumkin: topish ODZkasrlar uning maxrajini nolga tenglashtirish va hosil bo‘lgan tenglamaning ildizlarini topish zarur va yetarlidir.

Biz ikkita asosiy vazifani ko'rib chiqdik: kasrning qiymatini hisoblash o'zgaruvchilarning belgilangan qiymatlari uchun va kasrning qabul qilinadigan qiymatlari oralig'ini topish.

Keling, kasrlar bilan ishlashda yuzaga kelishi mumkin bo'lgan yana bir nechta muammolarni ko'rib chiqaylik.

7. Turli vazifalar va xulosalar

8-misol. O'zgaruvchining har qanday qiymatlari uchun kasr ekanligini isbotlang.

Isbot. Numerator ijobiy raqamdir. . Natijada, hisoblagich ham, maxraj ham musbat sonlar, shuning uchun kasr ijobiy sondir.

Tasdiqlangan.

9-misol. Ma'lumki , toping.

Yechim. Kasr hadini hadga ajratamiz. Berilgan kasr uchun noto'g'ri o'zgaruvchan qiymat nima ekanligini hisobga olgan holda, biz tomonidan kamaytirish huquqiga egamiz.

Ushbu darsda biz kasrlar bilan bog'liq asosiy tushunchalarni ko'rib chiqdik. Keyingi darsda biz ko'rib chiqamiz kasrning asosiy xossasi.

Ma'lumotnomalar

1. Bashmakov M.I. Algebra 8-sinf. - M.: Ta'lim, 2004 yil.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. Algebra 8. - 5-nashr. - M.: Ta'lim, 2010 yil.

3. Nikolskiy S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra 8-sinf. uchun o'quv qo'llanma ta'lim muassasalari. - M.: Ta'lim, 2006 yil.

1. Pedagogik g'oyalar festivali.

2. Eski maktab.

3. lib2.podelise internet portali. ru.

Uy vazifasi

1. No 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A va boshqalar. - 5-nashr. - M.: Ta'lim, 2010 yil.

2. Aniqlanish sohasi: a) to‘plam, b) to‘plam, v) butun son qatori bo‘lgan ratsional kasrni yozing.

3. Buni barcha ruxsat etilgan qiymatlar uchun isbotlang o'zgaruvchan qiymat kasrlar manfiy emas.

4. Ifoda sohasini toping. Ko'rsatmalar: ikkita holatni alohida ko'rib chiqing: pastki kasrning maxraji nolga teng bo'lganda va asl kasrning maxraji nolga teng bo'lganda.

Mavzu:

Dars: Ratsional ifodalarni konvertatsiya qilish

1. Ratsional ifoda va uni soddalashtirish usullari

Avval ratsional ifoda ta'rifini eslaylik.

Ta'rif. Ratsional ifoda- tarkibida ildiz bo'lmagan va faqat qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish (bir darajaga ko'tarish) amallarini o'z ichiga olgan algebraik ifoda.

"Ratsional ifodani o'zgartirish" tushunchasi bilan biz, birinchi navbatda, uning soddalashtirilishini nazarda tutamiz. Va bu bizga ma'lum bo'lgan harakatlar tartibida amalga oshiriladi: birinchi navbatda qavs ichidagi harakatlar, keyin raqamlar mahsuloti(eksponentsiya), sonlarni bo'lish va keyin qo'shish/ayirish amallari.

2. Kasrlar yig‘indisi/farqi bilan ratsional ifodalarni soddalashtirish

Bugungi darsning asosiy maqsadi ratsional ifodalarni soddalashtirishga oid murakkabroq masalalarni yechishda tajriba orttirishdan iborat bo'ladi.

1-misol.

Yechim. Avvaliga bu kasrlarni qisqartirish mumkindek tuyulishi mumkin, chunki kasrlarning numeratorlaridagi ifodalar ularning mos keladigan maxrajlarining mukammal kvadratlari formulalariga juda o'xshash. IN Ushbu holatda Shoshilmaslik kerak, lekin bu shunday yoki yo'qligini alohida tekshirish kerak.

Birinchi kasrning numeratorini tekshiramiz: . Endi ikkinchi raqam: .

Ko'rib turganingizdek, bizning kutganlarimiz bajarilmadi va numeratorlardagi iboralar mukammal kvadratlar emas, chunki ular mahsulotning ikki barobariga ega emas. Bunday iboralar, agar siz 7-sinf kursini eslayotgan bo'lsangiz, to'liq bo'lmagan kvadratlar deyiladi. Bunday hollarda siz juda ehtiyot bo'lishingiz kerak, chunki to'liq kvadrat formulasini to'liq bo'lmagan bilan chalkashtirib yuborish juda keng tarqalgan xatodir va bunday misollar talabaning diqqatliligini tekshiradi.

Kamaytirish mumkin emasligi sababli, biz kasrlarni qo'shishni amalga oshiramiz. Maxrajlarning umumiy omillari yo'q, shuning uchun ular oddiygina ko'paytirilib, eng kichik umumiy maxraj olinadi va har bir kasr uchun qo'shimcha omil boshqa kasrning maxraji hisoblanadi.

Albatta, keyin qavslarni ochib, keyin shunga o'xshash shartlarni keltirishingiz mumkin, ammo bu holda siz kamroq kuch sarflab, hisoblagichda birinchi atama kublar yig'indisining formulasi ekanligini, ikkinchisi esa kublar yig'indisi ekanligini bilib olishingiz mumkin. kublarning farqi. Qulaylik uchun ushbu formulalarni eslang umumiy ko'rinish:

Bizning holatimizda hisoblagichdagi iboralar quyidagicha yig'iladi:

, ikkinchi ifoda shunga o'xshash. Bizda ... bor:

Javob..

2-misol. Ratsional ifodani soddalashtiring .

Yechim. Bu misol avvalgisiga o'xshaydi, lekin bu erda kasrlarning numeratorlarida qisman kvadratlar mavjudligi darhol aniq bo'ladi, shuning uchun kamaytirish dastlabki bosqich yechimlari mumkin emas. Oldingi misolga o'xshab, biz kasrlarni qo'shamiz:

Bu erda, yuqorida ko'rsatilgan usulga o'xshab, biz kublarning yig'indisi va ayirmasining formulalaridan foydalangan holda iboralarni payqadik va siqdik.

Javob..

3-misol. Ratsional ifodani soddalashtiring.

Yechim. Siz ikkinchi kasrning maxraji kublar yig'indisi formulasi yordamida faktorlarga ajratilganligini ko'rishingiz mumkin. Biz allaqachon bilganimizdek, faktoring maxrajlari kasrlarning eng kichik umumiy maxrajini topish uchun foydalidir.

Kasrlarning eng kichik umumiy maxrajini ko'rsatamiz, u teng: https://pandia.ru/text/80/351/images/image016_27.gif" alt="http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront. net/content/konspekt_image/ 23332/d6838ff258e40dc138ebee9552f3b9fb.png" width="624" height="70">.!}

Javob.

3. Murakkab "ko'p qavatli" kasrlar bilan ratsional ifodalarni soddalashtirish

Keling, "ko'p qavatli" kasrlar bilan murakkabroq misolni ko'rib chiqaylik.

4-misol. Shaxsni tasdiqlang https://pandia.ru/text/80/351/images/image019_25.gif" alt="http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/23335/25bd4e84df065db190d." width="402" height="55">. Доказано при всех допустимых значениях переменной.!}

Tasdiqlangan.

Keyingi darsda biz ko'proq narsani batafsil ko'rib chiqamiz murakkab misollar ratsional ifodalarni o'zgartirish.

Mavzu: Algebraik kasrlar. Algebraik kasrlar ustidagi arifmetik amallar

Dars: Murakkabroq ratsional ifodalarni konvertatsiya qilish

1. Ratsional ifodalarni o'zgartirishlar yordamida shaxsni isbotlashga misol

Ushbu darsda biz murakkabroq ratsional ifodalarni konvertatsiya qilishni ko'rib chiqamiz. Birinchi misol shaxsni isbotlashga bag'ishlanadi.

1-misol

Shaxsni isbotlang: .

Isbot:

Avvalo, ratsional ifodalarni o'zgartirishda harakatlar tartibini aniqlash kerak. Eslatib o‘tamiz, avval qavs ichidagi amallar, keyin ko‘paytirish va bo‘lish, keyin esa qo‘shish va ayirish bajariladi. Shuning uchun bu misolda harakatlar tartibi quyidagicha bo'ladi: avval birinchi qavs ichida, keyin ikkinchi qavs ichida harakatni bajaramiz, so'ngra olingan natijalarni ajratamiz va keyin hosil bo'lgan ifodaga kasr qo'shamiz. Ushbu harakatlar natijasida, shuningdek, soddalashtirish, ifodani olish kerak.

Matematika bo'limi. Chiziq orqali.

• 
  Raqamlar va hisob-kitoblar
• 
  Ifodalar va transformatsiyalar

• 
  Algebraik kasr.
• 
  Fraksiyalarni qisqartirish.
• 
  Algebraik kasrlar bilan amallar.

• 
  Algebraik kasrlarni qisqartira olish.
• 
  

• 
  Algebraik kasrlar bilan asosiy amallarni bajara olish.
• 
  Algebraik kasrlar bilan amallar bo`yicha qo`shma mashqlarni bajara olish.

2-mavzu. Kvadrat funksiya. Funktsiya . (18 soat)

 Funktsiya

Majburiy minimal tarkib ta'lim sohasi matematika

Dastur. Uning bajarilishini nazorat qilish

Matematik mashg'ulotlarga qo'yiladigan talablar

Talabaning majburiy tayyorgarlik darajasi

Talabaning mumkin bo'lgan tayyorgarlik darajasi

3-mavzu Funksiya . Xususiyatlari kvadrat ildiz(soat 11)

Matematika bo'limi. Chiziq orqali

• 
  Raqamlar va hisob-kitoblar
• 
  Ifodalar va transformatsiyalar
• 
  Funksiyalar

 Sonning kvadrat ildizi. Arifmetik kvadrat ildiz.

 Irratsional son haqida tushuncha. Raqamlarning irratsionalligi.

 Haqiqiy sonlar.

 Kvadrat ildizlarning xossalari va ularning hisob-kitoblarda qo‘llanilishi.

 Funktsiya.

Dastur. Uning bajarilishini nazorat qilish

^ Matematik mashg'ulotlarga qo'yiladigan talablar

Talabaning majburiy tayyorgarlik darajasi

 Oddiy hollarda ildizlarning ma’nolarini toping.

 Funksiyaning ta’rifi va xossalarini bilish , jadval tuza olish.

 Kvadrat ildizlari bo‘lgan sonli ifodalarning qiymatlarini va oddiy o‘zgartirishlarini hisoblashda arifmetik kvadrat ildizlarning xossalaridan foydalana olish.

Talabaning mumkin bo'lgan tayyorgarlik darajasi

 Arifmetik kvadrat ildiz tushunchasini bilish.

 Ifodalarni o‘zgartirishda arifmetik kvadrat ildizlarning xossalarini qo‘llay olish.

 Amaliy masalalarni yechishda funksiya xossalaridan foydalana olish.

 Irratsional va haqiqiy sonlar haqida tushunchaga ega bo‘lish.

^ 4-mavzu Kvadrat tenglamalar (21 soat)

Matematika bo'limi. Chiziq orqali

 Tenglamalar va tengsizliklar

Matematika ta'lim sohasining majburiy minimal mazmuni

 Kvadrat tenglama: kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi.

 Ratsional tenglamalarni yechish.

 Kvadrat va kasr ratsional tenglamalar yordamida so‘zli masalalarni yechish.

Dastur. Uning bajarilishini nazorat qilish

^ Matematik tayyorgarlikka qo'yiladigan talablar

Talabaning majburiy tayyorgarlik darajasi

 Qaror qabul qila olish kvadrat tenglamalar, oddiy ratsional va irratsional tenglamalar.

 Oddiy so‘zli masalalarni tenglamalar yordamida yecha olish.

Talabaning mumkin bo'lgan tayyorgarlik darajasi

• 
  Tenglamalar matematikadan, tegishli bilim sohalaridan va amaliyotdan turli muammolarni hal qilish uchun matematik apparat ekanligini tushuning.
• 
  Kvadrat tenglamalarni, kvadrat tenglamaga keltiriladigan ratsional va irratsional tenglamalarni yecha olish.
• 
  Kvadrat tenglamalar va ratsional tenglamalardan masalalar yechishda foydalana olish.

Ushbu darsda biz algebraik kasrlar bilan eng oddiy amallarni - ularni qo'shish va ayirishni ko'rib chiqishni davom ettiramiz. Bugun biz misollarni ko'rib chiqishga e'tibor qaratamiz, ularda yechimning eng muhim qismi biz bilgan barcha usullarda maxrajni faktorlashtirish bo'ladi: umumiy omil bilan, guruhlash usuli, mukammal kvadratni ajratish, qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanish. Dars davomida biz bir nechta juda murakkab kasr masalalarini ko'rib chiqamiz.

Mavzu:Algebraik kasrlar. Algebraik kasrlar ustidagi arifmetik amallar

Dars:Kasrlarni qo'shish va ayirish bilan bog'liq masalalar

Dars davomida biz kasrlarni qo'shish va ayirishning barcha holatlarini ko'rib chiqamiz va umumlashtiramiz: bir xil va har xil maxrajlar bilan. Umuman olganda, biz shakldagi muammolarni hal qilamiz:

Biz avvalroq algebraik kasrlarni qo‘shish yoki ayirishda eng muhim amallardan biri maxrajlarni faktorlarga ajratish ekanligini ko‘rdik. Xuddi shunday tartib oddiy kasrlar uchun ham amalga oshiriladi. Keling, qanday ishlashni yana bir bor eslaylik oddiy kasrlar.

1-misol. Hisoblash.

Yechim. Keling, avvalgidek, har qanday sonni tub omillarga ajratish mumkinligi haqidagi arifmetikaning asosiy teoremasidan foydalanamiz: .

Maxrajlarning eng kichik umumiy karralini aniqlaymiz: - bu kasrlarning umumiy maxraji bo'ladi va unga asoslanib, har bir kasr uchun qo'shimcha omillarni aniqlaymiz: birinchi kasr uchun , ikkinchi kasr uchun , uchinchi kasr uchun.

Javob..

Yuqoridagi misolda biz arifmetikaning asosiy teoremasidan sonlarni koeffitsientlashda foydalandik. Bundan tashqari, ko'phadlar maxraj vazifasini bajarayotganda, bizga ma'lum bo'lgan quyidagi usullar yordamida faktorlarga ajratish kerak bo'ladi: umumiy ko'rsatkichni olish, guruhlash usuli, to'liq kvadratni ajratish, qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanish.

2-misol. Kasrlarni qo'shish va ayirish .

Yechim. Barcha uchta kasrning maxrajlari murakkab ifodalar bo'lib, ular koeffitsientlarga ajratilishi kerak, keyin ular uchun eng kichik umumiy maxrajni toping va har bir kasr uchun qo'shimcha omillarni ko'rsating. Keling, ushbu qadamlarning barchasini alohida bajaramiz va natijalarni asl ifodaga almashtiramiz.

Birinchi maxrajda umumiy ko'paytmani chiqaramiz: - umumiy ko'rsatkichni chiqargandan so'ng, qavs ichidagi ifoda yig'indining kvadrati formulasi bo'yicha buklanganligini ko'rishingiz mumkin.

Ikkinchi maxrajda umumiy ko'paytmani chiqaramiz: - umumiy ko'rsatkichni chiqarib tashlagach, kvadratlar ayirmasi formulasini qo'llaymiz.

Uchinchi maxrajda umumiy omilni chiqaramiz: .

Uchinchi maxrajni koeffitsientga ajratgandan so'ng, siz ikkinchi maxrajda kasrlarning eng kichik umumiy maxrajini qulayroq qidirish uchun koeffitsientni tanlashingiz mumkinligini payqashingiz mumkin, biz buni minusni qavslar tashqarisiga qo'yish orqali qilamiz, ikkinchi qavsda biz bor. atamalarni yozuvning qulayroq shakliga almashtirdi.

Kasrlarning eng kichik umumiy maxrajini bir vaqtning o'zida barcha maxrajlarga bo'linadigan ifoda sifatida belgilaymiz, u quyidagilarga teng bo'ladi: .

Keling, qo'shimcha omillarni ko'rsatamiz: birinchi kasr uchun , ikkinchi kasr uchun - biz maxrajdagi minusni hisobga olmaymiz, chunki biz uni butun kasr uchun, uchinchi kasr uchun yozamiz. .

Endi ikkinchi kasr oldidagi belgini o'zgartirishni unutmasdan, kasrlar bilan amallarni bajaramiz:

Yechimning oxirgi bosqichida biz o'xshash atamalarni keltirdik va ularni o'zgaruvchining darajalarining kamayish tartibida yozdik.

Javob..

Yuqoridagi misoldan foydalanib, biz avvalgi darslarda bo'lgani kabi, kasrlarni qo'shish/ayirish algoritmini yana bir bor ko'rsatdik, u quyidagicha: kasrlarning maxrajlarini ko'paytiring, eng kichik umumiy maxrajni, qo'shimcha ko'paytuvchilarni toping, qo'shish/ayirish amaliyotini bajaring. va iloji bo'lsa, ifodani soddalashtiring va qisqartiring. Kelajakda biz ushbu algoritmdan foydalanishda davom etamiz. Keling, oddiyroq misollarni ko'rib chiqaylik.

3-misol. Kasrlarni ayirish .

Yechim. Ushbu misolda birinchi kasrni ikkinchi kasr bilan umumiy maxrajga keltirishdan oldin uni kamaytirish imkoniyatini ko'rish muhimdir. Buning uchun birinchi kasrning soni va maxrajini koeffitsientlarga ajratamiz.

Numerator: - birinchi bosqichda kvadratlar farqi formulasiga ko'ra ifoda qismini kengaytirdik, ikkinchi bosqichda esa umumiy ko'rsatkichni chiqardik.

Maxraj: - birinchi bosqichda ayirma kvadrati formulasiga ko’ra ifoda qismini kengaytirdik, ikkinchi bosqichda esa umumiy ko’rsatkichni chiqardik. Olingan son va maxrajni asl ifodaga almashtiring va birinchi kasrni umumiy ko‘paytmaga kamaytiring:

Javob:.

4-misol. Harakatlarni bajaring .

Yechim. Ushbu misolda, oldingi misolda bo'lgani kabi, harakatlarni bajarishdan oldin kasrni kamaytirishni payqash va amalga oshirish muhimdir. Ayrim va maxrajni koeffitsientga ajratamiz.