To'g'ri chiziq tenglamasi 2. Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi, misollar, yechimlar. qiyaligi k bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi

Keling, misollar yordamida ikkita nuqtadan o'tuvchi chiziq uchun tenglamani qanday yaratishni ko'rib chiqaylik.

1-misol.

A(-3; 9) va B(2;-1) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing.

1-usul - bilan to'g'ri chiziq tenglamasini yaratish qiyalik.

Burchak koeffitsientli to'g'ri chiziq tenglamasi shaklga ega. A va B nuqtalarning koordinatalarini to‘g‘ri chiziq tenglamasiga qo‘yib (x= -3 va y=9 - birinchi holatda, x=2 va y= -1 - ikkinchi holatda) tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz. undan k va b qiymatlarini topamiz:

1 va 2- tenglamalarni a’zolar bo’yicha qo’shsak: -10=5k, shundan k= -2 hosil bo’ladi. Ikkinchi tenglamaga k= -2 qo‘yib, b ni topamiz: -1=2·(-2)+b, b=3.

Shunday qilib, y= -2x+3 kerakli tenglama hisoblanadi.

2-usul - keling, tuzamiz umumiy tenglama bevosita.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi shaklga ega. A va B nuqtalarining koordinatalarini tenglamaga qo'yib, biz tizimni olamiz:

Noma'lumlar soni tenglamalar sonidan ko'p bo'lganligi sababli, tizim echilishi mumkin emas. Lekin barcha o'zgaruvchilar bitta orqali ifodalanishi mumkin. Masalan, b orqali.

Tizimning birinchi tenglamasini -1 ga ko'paytirish va ikkinchisi bilan hadlarni qo'shish orqali:

olamiz: 5a-10b=0. Demak, a=2b.

Olingan ifodani ikkinchi tenglamaga almashtiramiz: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c= -3b.
ax+by+c=0 tenglamasiga a=2b, c= -3b almashtiring:

2bx+by-3b=0. Ikkala tomonni b ga bo'lish qoladi:

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasiga osongina keltirish mumkin:

3-usul - 2 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini tuzing.

Ikki nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi:

Bu tenglamaga A(-3; 9) va B(2;-1) nuqtalarning koordinatalarini qo‘yaylik.

(ya'ni, x 1 = -3, y 1 =9, x 2 =2, y 2 = -1):

va soddalashtiring:

bundan 2x+y-3=0.

Maktab kurslarida burchak koeffitsienti bilan to'g'ri chiziq tenglamasi ko'pincha ishlatiladi. Lekin eng oson yo'li ikki nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi formulasini olish va ishlatishdir.

Izoh.

Agar berilgan nuqtalarning koordinatalarini almashtirganda, tenglamaning maxrajlaridan biri

nolga teng bo'lib chiqadi, keyin mos keladigan payni nolga tenglashtirish orqali kerakli tenglama olinadi.

2-misol.

Ikkita C(5; -2) va D(7;-2) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing.

C va D nuqtalarning koordinatalarini 2 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasiga almashtiramiz.

Ta'rif. Dekart to‘rtburchaklar koordinatalar sistemasida komponentlari (A, B) bo‘lgan vektor Ax + By + C = 0 tenglama bilan berilgan to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar bo‘ladi.

Misol. (3, -1) vektorga perpendikulyar A(1, 2) nuqtadan o`tuvchi chiziq tenglamasini toping.

Yechim. A = 3 va B = -1 bo'lgan holda, to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz: 3x – y + C = 0. C koeffitsientini topish uchun berilgan A nuqtaning koordinatalarini hosil bo'lgan ifodaga almashtiramiz: 3 – 2 + C = 0, shuning uchun C = -1. Jami: kerakli tenglama: 3x – y – 1 = 0.

Ikki nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi

Fazoda ikkita M 1 (x 1, y 1, z 1) va M 2 (x 2, y 2, z 2) nuqtalar berilsin, u holda bu nuqtalardan o'tuvchi chiziq tenglamasi:

Agar maxrajlardan birortasi nolga teng bo'lsa, tegishli numerator nolga teng bo'lishi kerak, tekislikda yuqorida yozilgan chiziq tenglamasi soddalashtiriladi:

agar x 1 ≠ x 2 va x = x 1 bo'lsa, x 1 = x 2 bo'lsa.

= k kasr deyiladi qiyalik bevosita.

Misol. A(1, 2) va B(3, 4) nuqtalardan o`tuvchi chiziq tenglamasini toping.

Yechim. Yuqorida yozilgan formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Nuqtadan va qiyalikdan to'g'ri chiziq tenglamasi

Ax + By + C = 0 to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi quyidagi ko'rinishga keltirilsa:

va belgilang , keyin hosil bo'lgan tenglama chaqiriladi qiyalik bilan to'g'ri chiziq tenglamasik.

Nuqtadan to'g'ri chiziq va yo'nalish vektori tenglamasi

Oddiy vektor orqali to'g'ri chiziq tenglamasini ko'rib chiquvchi nuqtaga o'xshatib, siz nuqta orqali to'g'ri chiziqning ta'rifini va to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorini kiritishingiz mumkin.

Ta'rif. Komponentlari A a 1 + B a 2 = 0 shartini qanoatlantiradigan har bir nolga teng bo'lmagan vektor (a 1, a 2) chiziqning yo'naltiruvchi vektori deyiladi.

Ax + Wu + C = 0.

Misol. Yo‘nalish vektori (1, -1) bo‘lgan va A(1, 2) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping.

Yechim. Biz kerakli chiziq tenglamasini quyidagi shaklda qidiramiz: Ax + By + C = 0. Ta'rifga muvofiq, koeffitsientlar shartlarni qondirishi kerak:

1 * A + (-1) * B = 0, ya'ni. A = B.

Keyin to'g'ri chiziq tenglamasi shaklga ega: Ax + Ay + C = 0, yoki x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 uchun biz C/ A = -3 ni olamiz, ya'ni. zarur tenglama:

Segmentlardagi chiziq tenglamasi

Agar to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasida Ax + Vu + S = 0 S≠0 bo'lsa, -S ga bo'linib, biz quyidagilarni olamiz: yoki

Koeffitsientlarning geometrik ma'nosi koeffitsientdir A chiziqning Ox o'qi bilan kesishgan nuqtasining koordinatasi va b – to‘g‘ri chiziqning Oy o‘qi bilan kesishgan nuqtasi koordinatasi.

Misol. X – y + 1 = 0 chiziqning umumiy tenglamasi berilgan.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Oddiy chiziq tenglamasi

Ax + By + C = 0 tenglamaning ikkala tomoni songa bo'linsa qaysi deyiladi normallashtiruvchi omil, keyin olamiz

xcosph + ysinph - p = 0 –

chiziqning normal tenglamasi. Normallashtiruvchi omilning ± belgisi m * C bo'lishi uchun tanlanishi kerak< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Misol. 12x – 5y – 65 = 0 to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan. Siz yozishingiz kerak. har xil turlari bu chiziqning tenglamalari.

Ushbu chiziqning segmentlardagi tenglamasi:

bu chiziqning qiyalik bilan tenglamasi: (5 ga bo'linadi)

Oddiy chiziq tenglamasi:

; cos ph = 12/13; sin ph= -5/13; p = 5.

C Shuni ta'kidlash kerakki, har bir to'g'ri chiziqni segmentlarda tenglama bilan ifodalash mumkin emas, masalan, to'g'ri chiziqlar, o'qlarga parallel yoki kelib chiqishi orqali o'tadi.

Misol. To'g'ri chiziq koordinata o'qlarida teng musbat segmentlarni kesib tashlaydi. Ushbu segmentlar hosil qilgan uchburchakning maydoni 8 sm 2 bo'lsa, to'g'ri chiziq tenglamasini yozing.

Yechim. To'g'ri chiziq tenglamasi ko'rinishga ega: , ab /2 = 8; a = 4; -4. a = -4 muammoning shartlariga ko'ra mos emas. Jami: yoki x + y – 4 = 0.

Misol. A(-2, -3) nuqtadan va koordinatadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini yozing.

Yechim. To'g'ri chiziq tenglamasi: , bu erda x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Chiziq M 1 (x 1; y 1) va M 2 (x 2; y 2) nuqtalardan o'tadi. M 1 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi y-y 1 = ko'rinishga ega k (x - x 1), (10.6)

Qayerda k - hali noma'lum koeffitsient.

To'g'ri chiziq M 2 (x 2 y 2) nuqtadan o'tganligi sababli, bu nuqtaning koordinatalari (10.6) tenglamani qanoatlantirishi kerak: y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Bu yerdan topilgan qiymatni almashtirishni topamiz k (10.6) tenglamaga kirib, M 1 va M 2 nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini olamiz:

Bu tenglamada x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 deb faraz qilinadi.

Agar x 1 = x 2 bo'lsa, M 1 (x 1,y I) va M 2 (x 2,y 2) nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq ordinata o'qiga parallel bo'ladi. Uning tenglamasi x = x 1 .

Agar y 2 = y I bo'lsa, chiziq tenglamasini y = y 1 shaklida yozish mumkin, M 1 M 2 to'g'ri chiziq abscissa o'qiga parallel.

Segmentlardagi chiziq tenglamasi

To‘g‘ri chiziq O‘q o‘qini M 1 (a;0) nuqtada, Oy o‘qi esa M 2 (0;b) nuqtada kesishsin. Tenglama quyidagi shaklda bo'ladi:
bular.
. Bu tenglama deyiladi segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi, chunki a va b raqamlari chiziq koordinata o'qlarida qaysi segmentlarni kesib tashlashini ko'rsatadi.

Berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi

Berilgan nolga teng bo‘lmagan n = (A; B) vektorga perpendikulyar Mo (x O; y o) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi topilsin.

Chiziqning ixtiyoriy M(x; y) nuqtasini olib, M 0 M (x - x 0; y - y o) vektorini ko'rib chiqamiz (1-rasmga qarang). n va M o M vektorlari perpendikulyar bo'lganligi uchun ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng: ya'ni

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

(10.8) tenglama chaqiriladi berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi .

Chiziqga perpendikulyar vektor n= (A; B) normal deyiladi bu chiziqning normal vektori .

(10.8) tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

Bu erda A va B normal vektorning koordinatalari, C = -Ax o - Vu o - erkin atama. Tenglama (10.9) chiziqning umumiy tenglamasidir(2-rasmga qarang).

1-rasm 2-rasm

Chiziqning kanonik tenglamalari

,

Qayerda
- chiziq o'tadigan nuqtaning koordinatalari va
- yo'nalish vektori.

Ikkinchi tartibli egri chiziqlar Circle

Doira - bu markaz deb ataladigan berilgan nuqtadan teng masofada joylashgan tekislikning barcha nuqtalari to'plami.

Radiusli aylananing kanonik tenglamasi R bir nuqtada markazlashtirilgan
:

Xususan, agar qoziq markazi koordinatalarning kelib chiqishiga to'g'ri kelsa, tenglama quyidagicha ko'rinadi:

Ellips

Ellips - bu tekislikdagi nuqtalar to'plami bo'lib, ularning har biridan berilgan ikkita nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisi. Va fokuslar deb ataladigan , doimiy miqdordir
, fokuslar orasidagi masofadan kattaroq
.

Fokuslari Ox o'qida joylashgan ellipsning kanonik tenglamasi va fokuslar orasidagi o'rtadagi koordinatalarning kelib chiqishi shaklga ega.
G de a yarim asosiy o'q uzunligi; b – yarim kichik o‘qning uzunligi (2-rasm).

Ellips parametrlari orasidagi bog'liqlik
Va nisbat bilan ifodalanadi:

(4)

Ellips ekssentrikligiinterfokal masofa nisbati deb ataladi2sasosiy o'qga2a:

Direktorlar ellips - bu o'qdan uzoqda joylashgan Oy o'qiga parallel to'g'ri chiziqlar. Directrix tenglamalari:
.

Agar ellips tenglamasida bo'lsa
, u holda ellipsning o'choqlari Oy o'qida bo'ladi.

Shunday qilib,

Evklid geometriyasida to'g'ri chiziqning xossalari.

Istalgan nuqta orqali cheksiz ko'p to'g'ri chiziqlar o'tkazish mumkin.

Har qanday ikkita mos kelmaydigan nuqta orqali bitta to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin.

Tekislikdagi ikkita divergent chiziq bitta nuqtada kesishadi yoki bo'ladi

parallel (avvalgisidan keyin).

Uch o'lchovli fazoda uchta variant mavjud nisbiy pozitsiya ikkita to'g'ri chiziq:

• chiziqlar kesishadi;

• chiziqlar parallel;

• to'g'ri chiziqlar kesishadi.

Streyt chiziq— birinchi tartibli algebraik egri chiziq: Dekart koordinata tizimidagi to‘g‘ri chiziq

tekislikda birinchi darajali tenglama (chiziqli tenglama) bilan beriladi.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi.

Ta'rif. Tekislikdagi har qanday to'g'ri chiziq birinchi tartibli tenglama bilan aniqlanishi mumkin

Ax + Wu + C = 0,

va doimiy A, B bir vaqtning o'zida nolga teng emas. Bu birinchi tartibli tenglama deyiladi umumiy

to'g'ri chiziq tenglamasi. Konstantalarning qiymatlariga qarab A, B Va BILAN Quyidagi maxsus holatlar mumkin:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- koordinatadan to'g'ri chiziq o'tadi

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- o'qga parallel to'g'ri chiziq Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- o'qga parallel to'g'ri chiziq Oh

. B = C = 0, A ≠0- to'g'ri chiziq o'qga to'g'ri keladi Oh

. A = C = 0, B ≠0- to'g'ri chiziq o'qga to'g'ri keladi Oh

To'g'ri chiziq tenglamasi har qanday berilganga qarab turli shakllarda taqdim etilishi mumkin

boshlang'ich sharoitlar.

Nuqtadan to'g'ri chiziq va normal vektor tenglamasi.

Ta'rif. Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimida komponentlar (A, B) bo'lgan vektor.

tenglama bilan berilgan chiziqqa perpendikulyar

Ax + Wu + C = 0.

Misol. Nuqtadan o‘tuvchi chiziq tenglamasini toping A(1, 2) vektorga perpendikulyar (3, -1).

Yechim. A = 3 va B = -1 bilan to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz: 3x - y + C = 0. C koeffitsientini topish uchun

Berilgan A nuqtaning koordinatalarini olingan ifodaga almashtiramiz: 3 - 2 + C = 0, shuning uchun

C = -1. Jami: kerakli tenglama: 3x - y - 1 = 0.

Ikki nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi.

Kosmosda ikkita nuqta berilgan bo'lsin M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Va M2 (x 2, y 2, z 2), Keyin chiziq tenglamasi,

Ushbu nuqtalardan o'tish:

Agar maxrajlardan birortasi nolga teng bo'lsa, tegishli numerator nolga teng bo'lishi kerak. Yoniq

tekislikda, yuqorida yozilgan to'g'ri chiziq tenglamasi soddalashtirilgan:

Agar x 1 ≠ x 2 Va x = x 1, Agar x 1 = x 2 .

Fraksiya = k chaqirdi qiyalik bevosita.

Misol. A(1, 2) va B(3, 4) nuqtalardan o‘tuvchi chiziq tenglamasini toping.

Yechim. Yuqorida yozilgan formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

To'g'ri chiziqning nuqta va qiyalik yordamida tenglamasi.

Agar chiziqning umumiy tenglamasi Ax + Wu + C = 0 olib keladi:

va belgilang , keyin hosil bo'lgan tenglama chaqiriladi

qiyaligi k bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi.

Nuqtadan to'g'ri chiziq va yo'nalish vektori tenglamasi.

Oddiy vektor orqali to'g'ri chiziq tenglamasini ko'rib chiqadigan nuqtaga o'xshatib, siz vazifani kiritishingiz mumkin

nuqtadan o'tadigan to'g'ri chiziq va to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori.

Ta'rif. Har bir nolga teng bo'lmagan vektor (a 1 , a 2), uning tarkibiy qismlari shartni qanoatlantiradi

Aa 1 + Ba 2 = 0 chaqirdi to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori.

Ax + Wu + C = 0.

Misol. Yo‘nalish vektori (1, -1) bo‘lgan va A(1, 2) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping.

Yechim. Biz kerakli chiziq tenglamasini quyidagi shaklda qidiramiz: Ax + By + C = 0. Ta'rifga ko'ra,

koeffitsientlar quyidagi shartlarga javob berishi kerak:

1 * A + (-1) * B = 0, ya'ni. A = B.

Keyin to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: Ax + Ay + C = 0, yoki x + y + C / A = 0.

da x = 1, y = 2 olamiz C/A = -3, ya'ni. zarur tenglama:

x + y - 3 = 0

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi.

Agar to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasida Ax + Vu + S = 0 S≠0 bo'lsa, -S ga bo'linib, biz quyidagilarni olamiz:

yoki qayerda

Koeffitsientlarning geometrik ma'nosi shundaki, a koeffitsienti kesishish nuqtasining koordinatasi hisoblanadi

eksa bilan to'g'ri Oh, A b- chiziqning o'q bilan kesishish nuqtasining koordinatasi Oh.

Misol. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan x - y + 1 = 0. Bu chiziqning segmentlardagi tenglamasini toping.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Oddiy chiziq tenglamasi.

Agar tenglamaning ikkala tomoni bo'lsa Ax + Wu + C = 0 raqamga bo'linadi qaysi deyiladi

normallashtiruvchi omil, keyin olamiz

xcosph + ysinph - p = 0 -chiziqning normal tenglamasi.

Normallashtiruvchi omilning ± belgisi shunday tanlanishi kerak m*C< 0.

r- boshdan to'g'ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar uzunligi;

A φ - o'qning musbat yo'nalishi bilan bu perpendikulyar tomonidan hosil qilingan burchak Oh.

Misol. Chiziqning umumiy tenglamasi berilgan 12x - 5y - 65 = 0. Har xil turdagi tenglamalarni yozish uchun talab qilinadi

bu to'g'ri chiziq.

Ushbu chiziqning segmentlardagi tenglamasi:

Bu chiziqning qiyalik bilan tenglamasi: (5 ga bo'linadi)

Chiziq tenglamasi:

cos ph = 12/13; sin ph= -5/13; p = 5.

Shuni ta'kidlash kerakki, har bir to'g'ri chiziqni segmentlarda tenglama bilan ifodalash mumkin emas, masalan, to'g'ri chiziqlar,

o'qlarga parallel yoki boshlang'ichdan o'tuvchi.

Tekislikdagi to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak.

Ta'rif. Ikki qator berilgan bo'lsa y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, keyin bu chiziqlar orasidagi o'tkir burchak

sifatida belgilanadi

Ikki chiziq parallel bo'lsa k 1 = k 2. Ikki to'g'ri chiziqlar perpendikulyar,

Agar k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

To'g'ridan-to'g'ri Ax + Wu + C = 0 Va A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 koeffitsientlar proportsional bo'lganda parallel

A 1 = lA, B 1 = lB. Agar ham S 1 = l, keyin chiziqlar mos keladi. Ikki chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalari

bu chiziqlar tenglamalar sistemasi yechimi sifatida topiladi.

Berilgan chiziqqa perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi.

Ta'rif. Nuqtadan o'tuvchi chiziq M 1 (x 1, y 1) va chiziqqa perpendikulyar y = kx + b

tenglama bilan ifodalanadi:

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.

Teorema. Agar ball berilsa M(x 0, y 0), keyin to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa Ax + Wu + C = 0 quyidagicha aniqlanadi:

Isbot. Nuqtaga ruxsat bering M 1 (x 1, y 1)- nuqtadan tushgan perpendikulyarning asosi M berilgan uchun

bevosita. Keyin nuqtalar orasidagi masofa M Va M 1:

(1)

Koordinatalar x 1 Va 1 da tenglamalar sistemasiga yechim sifatida topish mumkin:

Tizimning ikkinchi tenglamasi berilgan M 0 nuqtadan perpendikulyar oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasidir.

to'g'ri chiziq berilgan. Agar tizimning birinchi tenglamasini quyidagi shaklga aylantirsak:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 ga + C = 0,

keyin hal qilib, biz quyidagilarni olamiz:

Ushbu ifodalarni (1) tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni topamiz:

Teorema isbotlangan.

Ushbu maqola qabul qilindi ikkitadan o'tuvchi chiziq tenglamasi berilgan ballar tekislikdagi to'rtburchak dekart koordinatalar tizimida, shuningdek, uch o'lchovli fazoda to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamalari olingan. Nazariyani taqdim etgandan so'ng, to'g'ri chiziq tenglamalarini qurish kerak bo'lgan tipik misollar va muammolarning echimlari ko'rsatiladi. har xil turlari, bu chiziqdagi ikkita nuqtaning koordinatalari ma'lum bo'lganda.

Sahifani navigatsiya qilish.

Tekislikning ikkita berilgan nuqtasidan o'tuvchi chiziq tenglamasi.

Tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini olishdan oldin ba'zi faktlarni eslaylik.

Geometriya aksiomalaridan birida aytilishicha, tekislikdagi ikkita ajralgan nuqta orqali bitta toʻgʻri chiziq oʻtkazish mumkin. Boshqacha qilib aytganda, tekislikning ikkita nuqtasini ko'rsatib, biz ushbu ikki nuqtadan o'tadigan to'g'ri chiziqni noyob tarzda aniqlaymiz (agar kerak bo'lsa, tekislikdagi to'g'ri chiziqni ko'rsatish usullari bo'limiga qarang).

Oxy samolyotda o'rnatilsin. Ushbu koordinatalar tizimida har qanday to'g'ri chiziq tekislikdagi to'g'ri chiziqning qandaydir tenglamasiga mos keladi. To'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori xuddi shu to'g'ri chiziq bilan uzviy bog'langan. Ushbu bilim berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini yaratish uchun etarli.

Masalaning shartini tuzamiz: to'g'ri chiziq a to'g'ri chiziq uchun tenglama tuzing, bu to'rtburchaklar dekart koordinatalar sistemasida Oksi ikki ajralgan nuqtadan o'tadi va.

Biz sizga eng oddiy va ko'rsatamiz universal yechim bu vazifa.

Biz bilamizki, tekislikdagi chiziqning kanonik tenglamasi shaklga ega to'rtburchaklar koordinatalar tizimida Oksi nuqtadan o'tuvchi va yo'nalish vektoriga ega bo'lgan to'g'ri chiziqni belgilaydi.

Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi a to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasini yozamiz.

Ko'rinib turibdiki, M 1 va M 2 nuqtalardan o'tuvchi a to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori vektor, u koordinatalarga ega. (agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang). Shunday qilib, a to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasini - uning yo'nalishi vektorining koordinatalarini yozish uchun barcha kerakli ma'lumotlarga egamiz. va uning ustida yotgan nuqtaning koordinatalari (va ). O'xshaydi (yoki ).

Ikki nuqtadan o'tuvchi tekislikdagi chiziqning parametrik tenglamalarini ham yozishimiz mumkin va. Ular o'xshaydi yoki .

Keling, misolning yechimini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Berilgan ikkita nuqtadan o‘tuvchi chiziq tenglamasini yozing .

Yechim.

Koordinatali ikkita nuqtadan o'tuvchi chiziqning kanonik tenglamasi shaklga ega ekanligini aniqladik .

Bizda mavjud muammoli sharoitlardan . Keling, bu ma'lumotlarni tenglamaga almashtiramiz . olamiz .

Javob:

.

Agar bizga chiziqning kanonik tenglamasi va berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi chiziqning parametrik tenglamalari emas, balki boshqa turdagi chiziq tenglamasi kerak bo'lsa, unda biz har doim chiziqning kanonik tenglamasidan kelib chiqishimiz mumkin.

Misol.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini yozing, tekislikdagi Oksi to'rtburchaklar koordinatalar tizimida ikkita nuqtadan o'tadi va.

Yechim.

Birinchidan, berilgan ikkita nuqtadan o‘tuvchi chiziqning kanonik tenglamasini yozamiz. Bu kabi ko'rinadi. Endi olingan tenglamani kerakli shaklga keltiramiz: .

Javob:

.

Bu nuqtada biz tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi bilan yakunlashimiz mumkin. Ammo men sizga bunday muammoni qanday hal qilganimizni eslatmoqchiman o'rta maktab algebra darslarida.

Maktabda biz faqat shaklning burchak koeffitsienti bilan to'g'ri chiziq tenglamasini bilar edik. Keling, qiymatni topamiz burchak koeffitsienti k va b soni, bunda tenglama to'rtburchaklar koordinatalar tizimida Oksi tekislikda nuqtalardan va nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziqni aniqlaydi. (Agar x 1 = x 2 bo'lsa, u holda chiziqning burchak koeffitsienti cheksizdir va M 1 M 2 chiziq chiziqning umumiy to'liq bo'lmagan tenglamasi bilan aniqlanadi. x-x yozing 1 =0 ).

M 1 va M 2 nuqtalar to'g'ri chiziqda joylashganligi sababli, bu nuqtalarning koordinatalari to'g'ri chiziq tenglamasini, ya'ni tengliklarini qanoatlantiradi va haqiqiydir. Shakldagi tenglamalar sistemasini yechish noma'lum o'zgaruvchilar k va b haqida, biz topamiz yoki . Ushbu k va b qiymatlari uchun ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi shaklni oladi yoki .

Misollarni echishda ushbu formulalarni yodlashning ma'nosi yo'q, ko'rsatilgan harakatlarni takrorlash osonroq;

Misol.

Nishabli chiziq tenglamasini yozing, agar bu chiziq va nuqtalardan o'tsa.

Yechim.

Umumiy holda, burchak koeffitsienti bilan to'g'ri chiziq tenglamasi shaklga ega. Tenglama ikkita va nuqtadan o'tuvchi chiziqqa mos keladigan k va b topilsin.

M 1 va M 2 nuqtalar to'g'ri chiziqda joylashganligi uchun ularning koordinatalari to'g'ri chiziq tenglamasini qanoatlantiradi, ya'ni tengliklari to'g'ri bo'ladi. Va . k va b qiymatlari tenglamalar tizimini yechish orqali topiladi (agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang):

Topilgan qiymatlarni tenglamaga almashtirish qoladi. Shunday qilib, ikkita nuqtadan o'tuvchi chiziqning kerakli tenglamasi va shaklga ega.

Katta ish, shunday emasmi?

Ikki nuqtadan o'tuvchi chiziqning kanonik tenglamasini yozish ancha oson va u shaklga ega. , va undan burchak koeffitsientli to'g'ri chiziq tenglamasiga o'ting: .

Javob:

Uch o'lchovli fazoda ikkita berilgan nuqtadan o'tadigan chiziq tenglamalari.

To'rtburchak koordinatalar tizimi Oxyz uch o'lchovli fazoda o'rnatilsin va ikkita divergent nuqta berilsin. Va , u orqali M 1 M 2 to'g'ri chiziq o'tadi. Keling, ushbu chiziqning tenglamalarini olamiz.

Bizga ma'lumki, fazodagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalari ko'rinishga ega va shakl fazosida to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari Oxyz to‘g‘ri to‘rtburchak koordinatalar sistemasida koordinatali nuqtadan o‘tuvchi va yo‘nalish vektoriga ega bo‘lgan to‘g‘ri chiziqni aniqlang. .

M 1 M 2 chiziqning yo'nalish vektori vektor bo'lib, bu chiziq nuqtadan o'tadi (Va ), Keyin kanonik tenglamalar bu qator shaklga ega (yoki ) va parametrik tenglamalar (yoki ).

.

Agar siz M 1 M 2 to'g'ri chiziqni ikkita kesishuvchi tekislik tenglamalaridan foydalanib aniqlashingiz kerak bo'lsa, unda siz avval ikkita nuqtadan o'tadigan to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini tuzishingiz kerak. Va , va bu tenglamalardan kerakli tekislik tenglamalari olinadi.

Ma'lumotnomalar.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometriya. 7-9-sinflar: umumta'lim muassasalari uchun darslik.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometriya. Umumta’lim maktablarining 10-11-sinflari uchun darslik.
• Pogorelov A.V., Geometriya. Umumta’lim muassasalarining 7-11-sinflar uchun darslik.
• Bugrov Ya.S., Nikolskiy S.M. Oliy matematika. Birinchi jild: chiziqli algebra va analitik geometriya elementlari.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitik geometriya.