Ifodaning teng qiymatini topamiz. Ifodaning ma'nosini topish, misollar, yechimlar. Quvvatli ifodalar

Shunday qilib, agar raqamli ifoda raqamlar va +, -, · va: belgilaridan iborat bo'lsa, unda chapdan o'ngga tartibda birinchi navbatda ko'paytirish va bo'lish, so'ngra qo'shish va ayirish amallarini bajarish kerak, bu sizga topish imkonini beradi. ifodaning kerakli qiymati.

Aniqlik uchun bir nechta misollar keltiramiz.

Misol.

14−2·15:6−3 ifoda qiymatini hisoblang.

Yechim.

Ifodaning qiymatini topish uchun unda ko'rsatilgan barcha amallarni ushbu amallarni bajarishning qabul qilingan tartibiga muvofiq bajarish kerak. Birinchidan, chapdan o'ngga qarab, biz ko'paytirish va bo'linishni bajaramiz, biz olamiz 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Endi qolgan amallarni ham chapdan o'ngga tartibda bajaramiz: 14−5−3=9−3=6. Biz asl ifodaning qiymatini shunday topdik, u 6 ga teng.

Javob:

14−2·15:6−3=6.

Misol.

Ifodaning ma'nosini toping.

Yechim.

Ushbu misolda biz birinchi navbatda 2·(−7) ko'paytirish va ko'paytirish bilan bo'lish ifodasini bajarishimiz kerak. Qanday ni eslab, 2·(−7)=−14 ni topamiz. Va birinchi navbatda ifodadagi amallarni bajarish uchun , shundan keyin , va bajaring: .

Olingan qiymatlarni asl ifodaga almashtiramiz: .

Ammo ildiz belgisi ostida sonli ifoda mavjud bo'lsa-chi? Bunday ildizning qiymatini olish uchun birinchi navbatda radikal ifodaning qiymatini topish kerak qabul qilingan tartib harakatlarning bajarilishi. Masalan, .

Raqamli ifodalarda ildizlarni ba'zi raqamlar sifatida qabul qilish kerak va darhol ildizlarni ularning qiymatlari bilan almashtirib, so'ngra amallarni qabul qilingan ketma-ketlikda bajarib, ildizsiz hosil bo'lgan ifodaning qiymatini topish tavsiya etiladi.

Misol.

Ildizli iboraning ma’nosini toping.

Yechim.

Avval ildizning qiymatini topamiz . Buning uchun, birinchi navbatda, biz radikal ifodaning qiymatini hisoblaymiz, bizda bor −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Ikkinchidan, biz ildizning qiymatini topamiz.

Endi asl ifodadan ikkinchi ildizning qiymatini hisoblaymiz: .

Nihoyat, ildizlarni ularning qiymatlari bilan almashtirib, asl iboraning ma'nosini topishimiz mumkin: .

Javob:

Ko'pincha, ildizli iboraning ma'nosini topish uchun birinchi navbatda uni o'zgartirish kerak. Keling, misolning yechimini ko'rsatamiz.

Misol.

Ifodaning ma'nosi nima .

Yechim.

Biz uchtaning ildizini uning aniq qiymati bilan almashtira olmaymiz, bu bizga yuqorida tavsiflangan usulda ushbu ifodaning qiymatini hisoblash imkonini bermaydi. Biroq, biz oddiy o'zgarishlarni amalga oshirish orqali bu ifodaning qiymatini hisoblashimiz mumkin. Qo'llanilishi mumkin kvadrat farq formulasi: . Hisobga olib, olamiz . Shunday qilib, asl ifodaning qiymati 1 ga teng.

Javob:

.

Darajalar bilan

Agar asos va ko‘rsatkich sonlar bo‘lsa, ularning qiymati darajani aniqlash yo‘li bilan hisoblanadi, masalan, 3 2 =3·3=9 yoki 8 −1 =1/8. Shuningdek, asosiy va/yoki ko'rsatkich ba'zi ifodalar bo'lgan yozuvlar mavjud. Bunday hollarda siz asosdagi ifoda qiymatini, ko'rsatkichdagi ifoda qiymatini topishingiz va keyin darajaning o'zi qiymatini hisoblashingiz kerak.

Misol.

Shaklning vakolatlari bilan ifoda qiymatini toping 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.

Yechim.

Dastlabki ifodada ikkita 2 3·4−10 va (1−1/2) 3,5−2·1/4 darajalari mavjud. Boshqa harakatlarni bajarishdan oldin ularning qiymatlari hisoblanishi kerak.

2 3·4−10 kuchidan boshlaylik. Uning indikatorida sonli ifoda mavjud, uning qiymatini hisoblaymiz: 3·4−10=12−10=2. Endi siz darajaning o'zi qiymatini topishingiz mumkin: 2 3·4−10 =2 2 =4.

Baza va ko'rsatkich (1−1/2) 3,5−2 1/4 ifodalarni o'z ichiga oladi, keyin ko'rsatkich qiymatini topish uchun ularning qiymatlarini hisoblaymiz. Bizda ... bor (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Endi biz asl ifodaga qaytamiz, undagi darajalarni ularning qiymatlari bilan almashtiramiz va bizga kerak bo'lgan ifoda qiymatini topamiz: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Javob:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.

Ta'kidlash joizki, dastlabki tekshiruvni o'tkazish tavsiya etiladigan holatlar ko'proq uchraydi vakolatlar bilan ifodalashni soddalashtirish bazasida.

Misol.

Ifodaning ma'nosini toping .

Yechim.

Ushbu ifodadagi ko'rsatkichlarga qarab, ko'rsatkichlarning aniq qiymatlarini olish mumkin bo'lmaydi. Keling, asl iborani soddalashtirishga harakat qilaylik, ehtimol bu uning ma'nosini topishga yordam beradi. Bizda ... bor

Javob:

.

Ifodalardagi vakolatlar ko'pincha logarifmlar bilan birga keladi, ammo biz logarifmli iboralarning ma'nosini topish haqida gapiramiz.

Kasrli ifodaning qiymatini topish

Raqamli ifodalar yozuvlarida kasrlar bo'lishi mumkin. Bunday ifodaning qiymatini topish kerak bo'lganda, boshqa kasrlar oddiy kasrlar, qolgan amallarni bajarishdan oldin ularni qiymatlari bilan almashtirishingiz kerak.

Kasrlarning soni va maxraji (oddiy kasrlardan farq qiladi) ham ba'zi sonlarni, ham ifodalarni o'z ichiga olishi mumkin. Bunday kasrning qiymatini hisoblash uchun siz hisoblagichdagi ifodaning qiymatini hisoblashingiz, maxrajdagi ifodaning qiymatini hisoblashingiz va keyin kasrning o'zi qiymatini hisoblashingiz kerak. Bu tartib shu bilan izohlanadiki, a va b ba'zi ifodalar bo'lgan a/b kasr mohiyatan (a):(b) ko'rinishdagi qismni ifodalaydi, chunki .

Keling, misol yechimini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Kasrli ifodaning ma’nosini toping .

Yechim.

Asl sonli ifodada uchta kasr mavjud Va . Asl ifodaning qiymatini topish uchun avvalo bu kasrlarni ularning qiymatlari bilan almashtirishimiz kerak. Keling, buni qilaylik.

Kasrning soni va maxrajida raqamlar mavjud. Bunday kasrning qiymatini topish uchun kasr satrini bo'linish belgisi bilan almashtiring va ushbu amalni bajaring: .

Kasrning numeratorida 7−2·3 ifoda mavjud, uning qiymatini topish oson: 7−2·3=7−6=1. Shunday qilib, . Uchinchi kasrning qiymatini topishga o'tishingiz mumkin.

Numerator va maxrajdagi uchinchi kasr raqamli ifodalarni o'z ichiga oladi, shuning uchun siz birinchi navbatda ularning qiymatlarini hisoblashingiz kerak va bu kasrning o'zi qiymatini topishga imkon beradi. Bizda ... bor .

Topilgan qiymatlarni asl ifodaga almashtirish va qolgan amallarni bajarish qoladi: .

Javob:

.

Ko'pincha, kasrli iboralarning qiymatlarini topishda siz bajarishingiz kerak kasrli ifodalarni soddalashtirish, kasrlar bilan amallarni bajarish va kasrlarni kamaytirishga asoslangan.

Misol.

Ifodaning ma'nosini toping .

Yechim.

Beshning ildizini to'liq chiqarib bo'lmaydi, shuning uchun asl ifodaning qiymatini topish uchun avval uni soddalashtiramiz. Buning uchun maxrajdagi mantiqsizlikdan xalos bo'laylik birinchi kasr: . Shundan so'ng, asl ibora shaklni oladi . Kasrlarni ayirgandan so'ng, ildizlar yo'qoladi, bu bizga dastlab berilgan ifodaning qiymatini topish imkonini beradi: .

Javob:

.

Logarifmlar bilan

Agar raqamli iborada bo'lsa va ulardan qutulish mumkin bo'lsa, bu boshqa amallarni bajarishdan oldin amalga oshiriladi. Masalan, log 2 4+2·3 ifoda qiymatini topishda log 2 4 logarifmi uning 2 qiymatiga almashtiriladi, shundan so‘ng qolgan amallar odatdagi tartibda bajariladi, ya’ni log 2 4+2. ·3=2+2·3=2 +6=8.

Logarifm belgisi ostida va/yoki uning negizida raqamli iboralar mavjud bo'lganda, birinchi navbatda ularning qiymatlari topiladi, shundan so'ng logarifmning qiymati hisoblanadi. Misol uchun, shaklning logarifmasi bo'lgan ifodani ko'rib chiqing . Logarifm asosida va uning belgisi ostida sonli ifodalar mavjud: ularning qiymatlari. Endi biz logarifmni topamiz, shundan so'ng biz hisob-kitoblarni yakunlaymiz: .

Agar logarifmlar to'g'ri hisoblanmasa, uni oldindan soddalashtirish . Bunday holda, siz maqola materialini yaxshi bilishingiz kerak logarifmik ifodalarni aylantirish.

Misol.

Logarifmli ifoda qiymatini toping .

Yechim.

Jurnal 2 (log 2 256) ni hisoblashdan boshlaylik. 256=2 8 boʻlgani uchun log 2 256=8 boʻladi, demak, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

log 6 2 va log 6 3 logarifmlarini guruhlash mumkin. log 6 2+log 6 3 loggarifmlari yig‘indisi log 6 (2 3) ko‘paytmasining logarifmiga teng, demak, log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Endi kasrni ko'rib chiqaylik. Boshlash uchun biz maxrajdagi logarifmning asosini oddiy kasr ko'rinishida 1/5 sifatida qayta yozamiz, shundan so'ng biz kasr qiymatini olishimizga imkon beradigan logarifmlarning xususiyatlaridan foydalanamiz:
.

Qolgan narsa, olingan natijalarni asl ifodaga almashtirish va uning qiymatini topishni tugatishdir:

Javob:

Trigonometrik ifodaning qiymati qanday topiladi?

Agar raqamli ifoda yoki va hokazolarni o'z ichiga olgan bo'lsa, ularning qiymatlari boshqa amallarni bajarishdan oldin hisoblanadi. Agar trigonometrik funktsiyalar belgisi ostida raqamli ifodalar mavjud bo'lsa, unda birinchi navbatda ularning qiymatlari hisoblab chiqiladi, shundan so'ng trigonometrik funktsiyalarning qiymatlari topiladi.

Misol.

Ifodaning ma'nosini toping .

Yechim.

Maqolaga qaytsak, biz tushunamiz va cosp=−1 . Biz ushbu qiymatlarni asl ifodaga almashtiramiz, u shaklni oladi . Uning qiymatini topish uchun avval daraja ko'rsatishni amalga oshirish, so'ngra hisob-kitoblarni tugatish kerak: .

Javob:

.

Shuni ta'kidlash kerakki, iboralarning qiymatlarini sinuslar, kosinuslar va boshqalar bilan hisoblash. ko'pincha oldindan talab qiladi trigonometrik ifodani aylantirish.

Misol.

Trigonometrik ifodaning qiymati nimaga teng .

Yechim.

, yordamida asl iborani o'zgartiramiz Ushbu holatda Bizga ikki burchakli kosinus formulasi va yig'indisi kosinus formulasi kerak:

Biz qilgan o'zgarishlar iboraning ma'nosini topishga yordam berdi.

Javob:

.

Umumiy holat

Umuman olganda, sonli ifodada ildizlar, darajalar, kasrlar, ba'zi funktsiyalar va qavslar bo'lishi mumkin. Bunday ifodalarning qiymatlarini topish quyidagi amallarni bajarishdan iborat:

• birinchi ildizlar, darajalar, kasrlar va boshqalar. ularning qiymatlari bilan almashtiriladi,
• qavs ichida keyingi harakatlar,
• va chapdan o'ngga tartibda, qolgan amallar bajariladi - ko'paytirish va bo'lish, keyin qo'shish va ayirish.

Ro'yxatdagi harakatlar yakuniy natija olinmaguncha amalga oshiriladi.

Misol.

Ifodaning ma'nosini toping .

Yechim.

Bu iboraning shakli ancha murakkab. Ushbu ifodada biz kasrlarni, ildizlarni, darajalarni, sinuslarni va logarifmlarni ko'ramiz. Uning qiymatini qanday topish mumkin?

Yozuvni chapdan o'ngga siljitsak, biz shaklning bir qismini uchratamiz . Buni kasrlar bilan ishlashda bilamiz murakkab turi, biz ajratuvchining qiymatini alohida, maxrajni alohida hisoblashimiz va nihoyat kasrning qiymatini topishimiz kerak.

Numeratorda biz shaklning ildiziga egamiz . Uning qiymatini aniqlash uchun, avvalo, radikal ifodaning qiymatini hisoblashingiz kerak . Bu erda sinus bor. Uning qiymatini ifoda qiymatini hisoblagandan keyingina topishimiz mumkin . Buni biz qila olamiz: . Keyin qaerdan va qaerdan .

Maxraj oddiy: .

Shunday qilib, .

Ushbu natijani asl ifodaga almashtirgandan so'ng, u shaklni oladi. Olingan ifoda darajani o'z ichiga oladi. Uning qiymatini topish uchun biz birinchi navbatda indikatorning qiymatini topishimiz kerak, bizda bor .

Shunday qilib, .

Javob:

.

Agar ildizlar, kuchlar va boshqalarning aniq qiymatlarini hisoblashning iloji bo'lmasa, siz ba'zi o'zgarishlar yordamida ulardan xalos bo'lishga harakat qilishingiz mumkin va keyin belgilangan sxema bo'yicha qiymatni hisoblashga qaytishingiz mumkin.

Ifodalar qiymatlarini hisoblashning oqilona usullari

Raqamli ifodalarning qiymatlarini hisoblash izchillik va aniqlikni talab qiladi. Ha, oldingi paragraflarda qayd etilgan harakatlar ketma-ketligiga rioya qilish kerak, ammo buni ko'r-ko'rona va mexanik ravishda qilishning hojati yo'q. Bu bilan nima demoqchimiz, ko'pincha ifoda ma'nosini topish jarayonini ratsionalizatsiya qilish mumkin. Masalan, raqamlar bilan operatsiyalarning ma'lum xususiyatlari ifoda qiymatini topishni sezilarli darajada tezlashtirishi va soddalashtirishi mumkin.

Masalan, biz ko'paytirishning bu xususiyatini bilamiz: agar mahsulotdagi omillardan biri nolga teng bo'lsa, u holda mahsulotning qiymati nolga teng bo'ladi. Ushbu xususiyatdan foydalanib, biz darhol ifoda qiymatini aytishimiz mumkin 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) nolga teng. Agar biz amallarning standart tartibiga rioya qilsak, birinchi navbatda qavslar ichidagi noqulay iboralarning qiymatlarini hisoblashimiz kerak bo'ladi, bu juda ko'p vaqtni oladi va natija hali ham nolga teng bo'ladi.

Teng sonlarni ayirish xususiyatidan foydalanish ham qulay: agar raqamdan teng son ayirilsa, natija nolga teng. Bu xususiyatni kengroq ko'rib chiqish mumkin: ikkita bir xil sonli ifodalar orasidagi farq nolga teng. Masalan, qavs ichidagi ifodalar qiymatini hisoblamasdan, ifoda qiymatini topish mumkin. (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), u nolga teng, chunki asl ifoda bir xil ifodalarning farqidir.

Identifikatsiyani o'zgartirish ifoda qiymatlarini oqilona hisoblashni osonlashtirishi mumkin. Masalan, atamalar va omillarni guruhlash foydali bo'lishi mumkin, umumiy omilni qavslar ichidan tashqariga chiqarish ham kam qo'llaniladi. Demak, 53·5+53·7−53·11+5 ifodaning qiymati 53 koeffitsientini qavs ichidan olgandan keyin juda oson topiladi: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. To'g'ridan-to'g'ri hisoblash ancha uzoq davom etadi.

Ushbu fikrni yakunlash uchun keling, kasrlar bilan ifodalarning qiymatlarini hisoblashda oqilona yondashuvga e'tibor qarataylik - kasrning numeratori va maxrajidagi bir xil omillar bekor qilinadi. Masalan, kasrning son va maxrajidagi bir xil ifodalarni kamaytirish 1/2 ga teng bo'lgan qiymatini darhol topishga imkon beradi.

Harfiy ifoda va oʻzgaruvchili ifoda qiymatini topish

Harflar va o'zgaruvchilarning ma'lum berilgan qiymatlari uchun to'g'ridan-to'g'ri ifoda va o'zgaruvchilar bilan ifodaning qiymati topiladi. Ya'ni, haqida gapiramiz berilgan harf qiymatlari uchun harfiy ifoda qiymatini topish yoki tanlangan o'zgaruvchi qiymatlari uchun o'zgaruvchilar bilan ifoda qiymatini topish haqida.

Qoida Harflarning berilgan qiymatlari yoki o'zgaruvchilarning tanlangan qiymatlari uchun harflar yoki o'zgaruvchilarning berilgan qiymatlarini asl ifodaga almashtirishingiz va hisoblashingiz kerak bo'ladi: harflarning berilgan qiymatlari yoki o'zgaruvchilari bo'lgan ifodaning qiymatini harflar yoki o'zgaruvchilar bilan topish natijada olingan raqamli ifodaning qiymati bu kerakli qiymat;

Misol.

0,5·x−y ifoda qiymatini x=2,4 va y=5 da hisoblang.

Yechim.

Ifodaning kerakli qiymatini topish uchun avval o'zgaruvchilarning berilgan qiymatlarini asl ifodaga almashtirish kerak, so'ngra quyidagi amallarni bajarish kerak: 0,5·2,4−5=1,2−5=−3,8.

Javob:

−3,8 .

Yakuniy eslatma sifatida, ba'zida harflar va o'zgaruvchilar qiymatlaridan qat'i nazar, harflar va o'zgaruvchan iboralar bo'yicha o'zgarishlarni amalga oshirish ularning qiymatlarini beradi. Masalan, x+3−x ifodasini soddalashtirish mumkin, shundan keyin u 3-shaklni oladi. Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, x+3−x ifodasining qiymati x o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlar oralig'idan (APV) har qanday qiymatlari uchun 3 ga teng. Yana bir misol: ifodaning qiymati hamma uchun 1 ga teng ijobiy qadriyatlar x, shuning uchun asl ifodadagi x o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni musbat raqamlar to'plamidir va bu diapazonda tenglik amal qiladi.

Ma'lumotnomalar.

• Matematika: darslik 5-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar / N. Ya. Vilenkin, V. I. Joxov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: kasal. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6-sinf: tarbiyaviy. umumiy ta'lim uchun muassasalar / [N. Ya.Vilenkin va boshqalar]. - 22-nashr, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 b.: kasal. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: darslik 7-sinf uchun umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 17-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 240 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: darslik 8-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9-sinf: tarbiyaviy. umumiy ta'lim uchun muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2009. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 sinflar uchun. umumiy ta'lim muassasalar / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, P. Dudnitsyn va boshqalar; Ed. A. N. Kolmogorov - 14-nashr - M.: Ta'lim, 2004. - 384 pp.: ISBN 5-09-013651-3.

Ushbu maqolada matematik ifodalarning qiymatlarini qanday topish mumkinligi muhokama qilinadi. Keling, oddiy sonli ifodalardan boshlaylik va keyin ularning murakkabligi ortib borayotgan holatlarni ko'rib chiqamiz. Oxirida harf belgilari, qavslar, ildizlar, maxsus matematik belgilar, kuchlar, funktsiyalar va boshqalarni o'z ichiga olgan ifodani taqdim etamiz. An'anaga ko'ra, biz butun nazariyani ko'p va batafsil misollar bilan ta'minlaymiz.

Raqamli ifodaning qiymatini qanday topish mumkin?

Raqamli ifodalar, jumladan, matematik tilda masalaning shartini tasvirlashga yordam beradi. Umuman olganda, matematik ifodalar juda oddiy bo'lishi mumkin, ular juft raqamlar va arifmetik belgilardan iborat yoki juda murakkab, funktsiyalar, darajalar, ildizlar, qavslar va boshqalarni o'z ichiga oladi. Vazifaning bir qismi sifatida ko'pincha ma'lum bir iboraning ma'nosini topish kerak bo'ladi. Buni qanday qilish haqida quyida muhokama qilinadi.

Eng oddiy holatlar

Bular ifodada raqamlar va arifmetik amallardan boshqa hech narsa bo'lmagan holatlar. Bunday iboralarning qiymatlarini muvaffaqiyatli topish uchun sizga qavssiz arifmetik amallarni bajarish tartibi, shuningdek, turli raqamlar bilan operatsiyalarni bajarish qobiliyatini bilish kerak bo'ladi.

Agar ifoda faqat sonlar va arifmetik belgilarni o'z ichiga oladi " + " , " · " , " - " , " ÷ " , u holda harakatlar chapdan o'ngga quyidagi tartibda amalga oshiriladi: birinchi navbatda ko'paytirish va bo'lish, keyin qo'shish va ayirish. Keling, misollar keltiraylik.

1-misol: Raqamli ifodaning qiymati

14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 ifoda qiymatlarini topishingiz kerak bo'lsin.

Avval ko‘paytirish va bo‘lish amallarini bajaramiz. Biz olamiz:

14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Endi ayirishni bajaramiz va yakuniy natijaga erishamiz:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

2-misol: Raqamli ifodaning qiymati

Hisoblab chiqamiz: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Avval kasrni aylantirish, bo'lish va ko'paytirishni bajaramiz:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Endi qo‘shish va ayirish amallarini bajaramiz. Keling, kasrlarni guruhlarga ajratamiz va ularni umumiy maxrajga keltiramiz:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Kerakli qiymat topildi.

Qavslar bilan ifodalangan ifodalar

Agar ifoda qavslardan iborat bo'lsa, ular ushbu ifodadagi amallar tartibini belgilaydi. Avval qavs ichidagi harakatlar, keyin esa qolganlari bajariladi. Buni misol bilan ko'rsatamiz.

3-misol: Raqamli ifodaning qiymati

0,5 · (0,76 - 0,06) ifodaning qiymati topilsin.

Ifodada qavslar mavjud, shuning uchun biz birinchi navbatda qavs ichida ayirish amalini bajaramiz va shundan keyingina ko'paytiramiz.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

Qavslar ichida qavslar bo'lgan iboralarning ma'nosi xuddi shu printsip bo'yicha topiladi.

4-misol: Raqamli ifodaning qiymati

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 qiymatini hisoblaymiz.

Biz harakatlarni eng ichki qavslardan boshlab, tashqi qavslarga o'tkazamiz.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Qavslar bilan iboralarning ma'nolarini topishda asosiy narsa harakatlar ketma-ketligiga rioya qilishdir.

Ildizli ifodalar

Qiymatlarini topishimiz kerak bo'lgan matematik ifodalar ildiz belgilarini o'z ichiga olishi mumkin. Bundan tashqari, iboraning o'zi ildiz belgisi ostida bo'lishi mumkin. Bu holatda nima qilish kerak? Avval siz ildiz ostidagi ifodaning qiymatini topishingiz kerak, so'ngra natijada olingan raqamdan ildizni chiqarib olishingiz kerak. Iloji bo'lsa, raqamli iboralarda ildizlardan qutulish, ularni raqamli qiymatlar bilan almashtirish yaxshiroqdir.

5-misol: Raqamli ifodaning qiymati

Ildizli ifodaning qiymatini hisoblaymiz - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Birinchidan, biz radikal ifodalarni hisoblaymiz.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Endi siz butun ifodaning qiymatini hisoblashingiz mumkin.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Ko'pincha, ildizlari bo'lgan iboraning ma'nosini topish uchun dastlab asl iborani aylantirish kerak bo'ladi. Buni yana bir misol bilan tushuntiramiz.

6-misol: Raqamli ifodaning qiymati

3 + 1 3 - 1 - 1 nima

Ko'rib turganingizdek, bizda ildizni aniq qiymat bilan almashtirish imkoni yo'q, bu esa hisoblash jarayonini murakkablashtiradi. Biroq, bu holda siz qisqartirilgan ko'paytirish formulasini qo'llashingiz mumkin.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Shunday qilib:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Quvvatli ifodalar

Agar iborada kuchlar mavjud bo'lsa, boshqa barcha harakatlarga o'tishdan oldin ularning qiymatlari hisoblanishi kerak. Ko'rsatkich yoki daraja asosining o'zi iboralar bo'ladi. Bunday holda, avval ushbu ifodalarning qiymati, keyin esa daraja qiymati hisoblanadi.

7-misol: Raqamli ifodaning qiymati

2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 ifodaning qiymati topilsin.

Keling, tartib bilan hisoblashni boshlaylik.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Qo'shimcha amalni bajarish va iboraning ma'nosini bilish qoladi:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Bundan tashqari, ko'pincha darajaning xususiyatlaridan foydalangan holda ifodani soddalashtirish tavsiya etiladi.

8-misol: Raqamli ifodaning qiymati

Quyidagi ifodaning qiymatini hisoblaymiz: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Ko'rsatkichlar yana shundayki, ularning aniq raqamli qiymatlarini olish mumkin emas. Uning qiymatini topish uchun asl ifodani soddalashtiramiz.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Kasrli ifodalar

Agar ifoda kasrlarni o'z ichiga olgan bo'lsa, unda bunday ifodani hisoblashda undagi barcha kasrlar oddiy kasrlar sifatida ko'rsatilishi va ularning qiymatlari hisoblanishi kerak.

Agar kasrning numeratori va maxraji ifodalarni o'z ichiga olgan bo'lsa, unda birinchi navbatda bu ifodalarning qiymatlari hisoblab chiqiladi va kasrning yakuniy qiymati yoziladi. Arifmetik amallar standart tartibda bajariladi. Keling, misol yechimini ko'rib chiqaylik.

9-misol: Raqamli ifodaning qiymati

Tarkibida kasrlar mavjud ifodaning qiymati topilsin: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Ko'rib turganingizdek, asl ifodada uchta kasr mavjud. Keling, avval ularning qiymatlarini hisoblaylik.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Keling, ifodamizni qayta yozamiz va uning qiymatini hisoblaymiz:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Ko'pincha iboralarning ma'nosini topishda kasrlarni qisqartirish qulay. Aytilmagan qoida mavjud: uning qiymatini topishdan oldin, har qanday ifodani maksimal darajada soddalashtirish, barcha hisob-kitoblarni eng oddiy holatlarga qisqartirish yaxshidir.

10-misol: Raqamli ifodaning qiymati

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 ifodani hisoblaymiz.

Biz beshning ildizini to'liq chiqarib ololmaymiz, lekin transformatsiyalar orqali asl ifodani soddalashtira olamiz.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Asl ifoda quyidagi shaklni oladi:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Keling, ushbu ifodaning qiymatini hisoblaymiz:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Logarifmli ifodalar

Ifodada logarifmlar mavjud bo'lganda, agar iloji bo'lsa, ularning qiymati boshidan boshlab hisoblanadi. Masalan, log 2 4 + 2 · 4 ifodasida log 2 4 o'rniga shu logarifmning qiymatini darhol yozib, keyin barcha amallarni bajarishingiz mumkin. Biz olamiz: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Raqamli ifodalarni logarifm belgisining o'zi ostida va uning negizida ham topish mumkin. Bunday holda, birinchi navbatda, ularning ma'nolarini topish kerak. Log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 ifodasini olaylik. Bizda ... bor:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Agar logarifmning aniq qiymatini hisoblashning iloji bo'lmasa, ifodani soddalashtirish uning qiymatini topishga yordam beradi.

11-misol: Raqamli ifodaning qiymati

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 ifoda qiymatini topamiz.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3.

Logarifmlarning xossasi bo'yicha:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Logarifmlarning xossalaridan foydalanib, ifodadagi oxirgi kasr uchun biz quyidagilarni olamiz:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Endi siz asl ifodaning qiymatini hisoblashni davom ettirishingiz mumkin.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Trigonometrik funksiyali ifodalar

Bu shunday bo'ladiki, ifoda sinus, kosinus, tangens va kotangensning trigonometrik funktsiyalarini, shuningdek ularning teskari funktsiyalarini o'z ichiga oladi. Qiymat boshqa barcha arifmetik amallar bajarilgunga qadar hisoblanadi. Aks holda, ifoda soddalashtiriladi.

12-misol: Raqamli ifodaning qiymati

Ifodaning qiymatini toping: t g 2 4 p 3 - sin - 5 p 2 + cosp.

Birinchidan, biz ifodaga kiritilgan trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini hisoblaymiz.

gunoh - 5 p 2 = - 1

Biz qiymatlarni ifodaga almashtiramiz va uning qiymatini hisoblaymiz:

t g 2 4 p 3 - sin - 5 p 2 + cosp = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Ifodaning qiymati topildi.

Ko'pincha bilan ifodaning ma'nosini topish uchun trigonometrik funktsiyalar, avval uni aylantirish kerak. Keling, misol bilan tushuntiramiz.

13-misol: Raqamli ifodaning qiymati

cos 2 p 8 - sin 2 p 8 cos 5 p 36 cos p 9 - sin 5 p 36 sin p 9 - 1 ifodaning qiymatini topishimiz kerak.

Konvertatsiya qilish uchun biz foydalanamiz trigonometrik formulalar qo'sh burchakning kosinusu va yig'indining kosinasi.

cos 2 p 8 - sin 2 p 8 cos 5 p 36 cos p 9 - sin 5 p 36 sin p 9 - 1 = cos 2 p 8 cos 5 p 36 + p 9 - 1 = cos p 4 cos - p = 4 1 - 1 = 0.

Raqamli ifodaning umumiy holati

Umuman trigonometrik ifoda yuqorida tavsiflangan barcha elementlarni o'z ichiga olishi mumkin: qavslar, darajalar, ildizlar, logarifmlar, funktsiyalar. Keling, shakllantiraylik umumiy qoida bunday iboralarning ma'nolarini topish.

Ifodaning qiymatini qanday topish mumkin

1. Ildizlar, kuchlar, logarifmlar va boshqalar. ularning qiymatlari bilan almashtiriladi.
2. Qavslar ichidagi amallar bajariladi.
3. Qolgan harakatlar chapdan o'ngga tartibda amalga oshiriladi. Avval - ko'paytirish va bo'lish, keyin - qo'shish va ayirish.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

14-misol: Raqamli ifodaning qiymati

- 2 · sin p 6 + 2 · 2 p 5 + 3 p 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 ifodaning qiymatini hisoblaymiz.

Bu ifoda ancha murakkab va mashaqqatli. Yuqorida tavsiflangan barcha holatlarga moslashishga harakat qilib, biz bunday misolni tasodifan tanlaganimiz yo'q. Bunday iboraning ma'nosini qanday topish mumkin?

Ma'lumki, murakkab kasr shaklining qiymatini hisoblashda birinchi navbatda kasrning hisoblagichi va maxrajining qiymatlari mos ravishda alohida topiladi. Biz ushbu ifodani ketma-ket o'zgartiramiz va soddalashtiramiz.

Avvalo, 2 · sin p 6 + 2 · 2 p 5 + 3 p 5 + 3 radikal ifodasining qiymatini hisoblaymiz. Buning uchun sinusning qiymatini va trigonometrik funktsiyaning argumenti bo'lgan ifodani topish kerak.

p 6 + 2 2 p 5 + 3 p 5 = p 6 + 2 2 p + 3 p 5 = p 6 + 2 5 p 5 = p 6 + 2 p

Endi siz sinusning qiymatini bilib olishingiz mumkin:

sin p 6 + 2 2 p 5 + 3 p 5 = sin p 6 + 2 p = sin p 6 = 1 2.

Biz radikal ifodaning qiymatini hisoblaymiz:

2 sin p 6 + 2 2 p 5 + 3 p 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · sin p 6 + 2 · 2 p 5 + 3 p 5 + 3 = 4 = 2.

Kasrning maxraji bilan hamma narsa oddiyroq:

Endi biz butun kasrning qiymatini yozishimiz mumkin:

2 · sin p 6 + 2 · 2 p 5 + 3 p 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Buni hisobga olib, biz butun ifodani yozamiz:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Yakuniy natija:

2 · sin p 6 + 2 · 2 p 5 + 3 p 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Bunday holda, biz ildizlarning, logarifmlarning, sinuslarning va boshqalarning aniq qiymatlarini hisoblashga muvaffaq bo'ldik. Agar buning iloji bo'lmasa, siz matematik o'zgarishlar orqali ulardan xalos bo'lishga harakat qilishingiz mumkin.

Ratsional usullardan foydalangan holda ifoda qiymatlarini hisoblash

Raqamli qiymatlar izchil va aniq hisoblanishi kerak. Bu jarayonni raqamlar bilan operatsiyalarning turli xossalari yordamida ratsionalizatsiya qilish va tezlashtirish mumkin. Masalan, omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng ekanligi ma'lum. Bu xususiyatni hisobga olsak, darhol aytishimiz mumkinki, 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 p 4 0 ifodasi nolga teng. Shu bilan birga, yuqoridagi maqolada ko'rsatilgan tartibda harakatlarni bajarish mutlaqo shart emas.

Teng sonlarni ayirish xususiyatidan foydalanish ham qulay. Hech qanday amallarni bajarmasdan, siz 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 ifodasining qiymati ham nolga teng bo'lishini buyurtma qilishingiz mumkin.

Jarayonni tezlashtirishning yana bir usuli - bu atamalar va omillarni guruhlash va umumiy omilni qavslar ichida joylashtirish kabi identifikatsiya o'zgarishlaridan foydalanish. Kasrlar bilan ifodalarni hisoblashda oqilona yondashish hisoblagich va maxrajdagi bir xil ifodalarni kamaytirishdan iborat.

Masalan, 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 ifodasini oling. Qavs ichidagi amallarni bajarmasdan, lekin kasrni kamaytirib, ifoda qiymatini 1 3 ga teng deb aytishimiz mumkin.

O'zgaruvchilar bilan ifodalarning qiymatlarini topish

Harflar va o'zgaruvchilarning ma'lum berilgan qiymatlari uchun to'g'ridan-to'g'ri ifoda va o'zgaruvchilar bilan ifodaning qiymati topiladi.

O'zgaruvchilar bilan ifodalarning qiymatlarini topish

To'g'ridan-to'g'ri ifoda va o'zgaruvchilari bo'lgan ifodaning qiymatini topish uchun siz harflar va o'zgaruvchilarning berilgan qiymatlarini asl ifodaga almashtirishingiz kerak, so'ngra olingan raqamli ifodaning qiymatini hisoblashingiz kerak.

15-misol: O'zgaruvchilar bilan ifodaning qiymati

x = 2, 4 va y = 5 berilgan 0, 5 x - y ifoda qiymatini hisoblang.

O'zgaruvchilar qiymatlarini ifodaga almashtiramiz va hisoblaymiz:

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

Ba'zan siz ifodani shunday o'zgartirishingiz mumkinki, unga kiritilgan harflar va o'zgaruvchilarning qiymatlaridan qat'i nazar, uning qiymatini olasiz. Buning uchun agar iloji bo'lsa, foydalanib, ifodadagi harflar va o'zgaruvchilardan qutulishingiz kerak identifikatsiya o'zgarishlari, arifmetik amallarning xossalari va boshqa barcha mumkin bo'lgan usullar.

Masalan, x + 3 - x ifodasi aniq 3 qiymatiga ega va bu qiymatni hisoblash uchun x o'zgaruvchining qiymatini bilish shart emas. Ushbu ifodaning qiymati x o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlar diapazonidan barcha qiymatlari uchun uchtaga teng.

Yana bir misol. X x ifodaning qiymati barcha musbat x lar uchun bittaga teng.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

7-sinf algebra kursida butun sonli ifodalarni, ya’ni son va o‘zgaruvchilardan tashkil topgan ifodalarni qo‘shish, ayirish va ko‘paytirish hamda noldan boshqa songa bo‘lish amallari yordamida o‘zgartirishlar bilan tanishdik. Demak, ifodalar butun sonlardir

Aksincha, ifodalar

qo‘shish, ayirish va ko‘paytirish amallaridan tashqari ular o‘zgaruvchili ifodalarga bo‘linishni ham o‘z ichiga oladi. Bunday ifodalar kasrli ifodalar deyiladi.

Butun va kasrli ifodalar ratsional ifodalar deyiladi.

Butun ifoda unga kiritilgan o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun ma'noga ega, chunki butun ifodaning qiymatini topish uchun har doim mumkin bo'lgan amallarni bajarish kerak.

Ba'zi o'zgaruvchan qiymatlar uchun kasr ifodasi mantiqiy bo'lmasligi mumkin. Masalan, a = 0 bo'lganda - ifodasi mantiqiy emas. a ning boshqa barcha qiymatlari uchun bu ifoda mantiqiy. Ifoda x ≠ y bo'lganda x va y qiymatlari uchun ma'noga ega.

Ifodasi mantiqiy bo'lgan o'zgaruvchilarning qiymatlari o'zgaruvchilarning haqiqiy qiymatlari deb ataladi.

Shaklning ifodasi kasr deb ataladi.

Numeratori va maxraji ko'phaddan iborat bo'lgan kasr ratsional kasr deyiladi.

Ratsional kasrlarga kasrlar misol bo'la oladi

Ratsional kasrda o'zgaruvchilarning qabul qilinadigan qiymatlari kasrning maxraji yo'qolmaydigan qiymatlardir.

1-misol. Kasrdagi o'zgaruvchining maqbul qiymatlarini topamiz

Yechim A ning qaysi qiymatlarida kasr maxraji nolga aylanishini bilish uchun a(a - 9) = 0 tenglamasini yechish kerak. Bu tenglama ikkita ildizga ega: 0 va 9. Shuning uchun 0 va 9 dan boshqa barcha raqamlar. a o'zgaruvchisi uchun haqiqiy qiymatlar.

2-misol. X ning qaysi qiymatida kasrning qiymati nolga teng?

Yechim Agar a - 0 va b ≠ 0 bo'lsa, kasr nolga teng.