Parallelepipedning yon yuzining diagonalini qanday topish mumkin. Parallelepipedning hajmi: asosiy formulalar va masalalarga misollar. Parallelepiped va uning turlari

Parallelepipedning barcha yuzlari parallelogramm bo'lganligi sababli, AD chizig'i BC chizig'iga parallel va chiziqqa parallel bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, ko'rib chiqilayotgan yuzlarning tekisliklari parallel.

Parallelepipedning yuzlari parallelogramm ekanligidan AB, , CD ham parallel, ham teng ekanligi kelib chiqadi. Bundan biz chekka birlashtirilgan degan xulosaga kelamiz parallel uzatish chekkasi bo'ylab AB chekkasi bilan. Shuning uchun bu qirralar tengdir.

2 ) Masalan, parallelepipedning ikkita diagonalini olamiz (5-rasm), va , va qo'shimcha to'g'ri chiziqlar chizamiz va . AB va mos ravishda DC chetiga teng va parallel, shuning uchun ular bir-biriga teng va parallel; Natijada, rasm parallelogramma bo'lib, unda to'g'ri chiziqlar va diagonallar bo'lib, parallelogrammada diagonallar kesishish nuqtasida yarmiga bo'linadi. Xuddi shunday, biz boshqa ikkita diagonalning bir nuqtada kesishishini va shu nuqta bilan ikkiga bo'linganligini isbotlashimiz mumkin. Diagonallarning har bir juftining kesishish nuqtasi diagonalning o'rtasida joylashgan. Shunday qilib, parallelepipedning barcha to'rt diagonali bir O nuqtada kesishadi va shu nuqta bilan ikkiga bo'linadi. Shunday qilib, parallelepiped diagonallarining kesishish nuqtasi uning simmetriya markazidir.

Teorema:

Diagonal kvadrat to'rtburchaklar parallelepiped summasiga teng uning uch o'lchamining kvadratlari.

Isbot:

Bu Pifagorning fazoviy teoremasidan kelib chiqadi. Agar to'rtburchaklar parallelepipedning diagonali bo'lsa , keyin uning uchta juft perpendikulyar chiziqqa proyeksiyalari (6-rasm). Demak, .

Talabalar ko'pincha g'azab bilan so'rashadi: "Bu menga hayotda qanday foydali bo'ladi?" Har bir mavzu bo'yicha har qanday mavzu bo'yicha. Parallelepipedning hajmi haqidagi mavzu bundan mustasno emas. Va bu erda siz shunchaki aytishingiz mumkin: "Bu foydali bo'ladi".

Masalan, paket pochta qutisiga sig'ishini qanday aniqlash mumkin? Albatta, siz sinov va xato orqali to'g'ri tanlashingiz mumkin. Agar bu mumkin bo'lmasa-chi? Keyin hisob-kitoblar yordamga keladi. Qutining hajmini bilib, siz posilkaning hajmini (hech bo'lmaganda taxminan) hisoblashingiz va berilgan savolga javob berishingiz mumkin.

Parallelepiped va uning turlari

Agar uning nomini qadimgi yunon tilidan so'zma-so'z tarjima qilsak, u parallel tekisliklardan iborat figura ekanligi ayon bo'ladi. Parallelepipedning quyidagi ekvivalent ta'riflari mavjud:

• asosi parallelogramm shaklidagi prizma;
• har bir yuzi parallelogramm bo'lgan ko'pburchak.

Uning turlari, uning tagida qaysi raqam yotganligi va lateral qovurg'alar qanday yo'naltirilganligiga qarab farqlanadi. Umuman olganda, biz gaplashamiz qiya parallelepiped, uning asosi va barcha yuzlari parallelogrammlar. Agar oldingi ko'rinishning yon tomonlari to'rtburchaklar bo'lib qolsa, uni chaqirish kerak bo'ladi bevosita. Va to'rtburchaklar asosi ham 90º burchakka ega.

Bundan tashqari, geometriyada ular ikkinchisini shunday tasvirlashga harakat qiladilarki, barcha qirralarning parallel ekanligi seziladi. Aytgancha, bu erda matematiklar va rassomlar o'rtasidagi asosiy farq. Ikkinchisi uchun tanani istiqbol qonuniga muvofiq etkazish muhimdir. Va bu holda, qovurg'alarning parallelligi butunlay ko'rinmas.

Kiritilgan belgilar haqida

Quyidagi formulalarda jadvalda ko'rsatilgan belgilar haqiqiydir.

Qiya parallelepiped uchun formulalar

Birinchi va ikkinchi hududlar uchun:

Uchinchisi - parallelepiped hajmini hisoblash:

Asos parallelogramm bo'lgani uchun uning maydonini hisoblash uchun tegishli iboralardan foydalanish kerak bo'ladi.

To'rtburchaklar parallelepiped uchun formulalar

Birinchi nuqtaga o'xshash - maydonlar uchun ikkita formula:

Va hajm uchun yana bir:

Birinchi vazifa

Vaziyat. To'rtburchaklar parallelepipedni hisobga olsak, uning hajmini topish kerak. Diagonali ma'lum - 18 sm - va uning yon yuzining tekisligi va yon qirrasi bilan mos ravishda 30 va 45 daraja burchaklar hosil qilishi.

Yechim. Muammoli savolga javob berish uchun siz uchta to'g'ri burchakli uchburchakning barcha tomonlarini bilishingiz kerak bo'ladi. Ular tovushni hisoblashingiz kerak bo'lgan qirralarning kerakli qiymatlarini beradi.

Avval siz 30º burchakning qayerda ekanligini aniqlashingiz kerak. Buning uchun parallelogrammaning asosiy diagonali chizilgan joydan bir xil cho'qqidan yon yuzning diagonalini chizishingiz kerak. Ularning orasidagi burchak kerakli narsa bo'ladi.

Poydevor tomonlarining qiymatlaridan birini beradigan birinchi uchburchak quyidagicha bo'ladi. Unda kerakli tomon va ikkita chizilgan diagonal mavjud. Bu to'rtburchak. Endi siz qarama-qarshi oyoqning (tayanch tomoni) va gipotenuzaning (diagonal) nisbatidan foydalanishingiz kerak. U 30º sinusga teng. Ya'ni, poydevorning noma'lum tomoni diagonalning 30º yoki ½ sinusiga ko'paytirilishi sifatida aniqlanadi. U "a" harfi bilan belgilansin.

Ikkinchisi ma'lum diagonali va 45º ni tashkil etuvchi chetini o'z ichiga olgan uchburchak bo'ladi. Shuningdek, u to'rtburchaklar shaklida bo'lib, siz yana oyoqning gipotenuzaga nisbatidan foydalanishingiz mumkin. Boshqacha qilib aytganda, yon chetidan diagonalgacha. U 45º kosinusga teng. Ya'ni, "c" diagonal va 45º kosinusning mahsuloti sifatida hisoblanadi.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (sm).

Xuddi shu uchburchakda siz boshqa oyoqni topishingiz kerak. Bu uchinchi noma'lum - "in" ni hisoblash uchun kerak. U "x" harfi bilan belgilansin. Buni Pifagor teoremasi yordamida osongina hisoblash mumkin:

x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (sm).

Endi biz yana bir narsani ko'rib chiqishimiz kerak to'g'ri uchburchak. U allaqachon o'z ichiga oladi taniqli partiyalar"c", "x" va sanash kerak bo'lgan "v":

in = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (sm).

Barcha uchta miqdor ma'lum. Siz hajm uchun formuladan foydalanishingiz va uni hisoblashingiz mumkin:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (sm 3).

Javob: parallelepipedning hajmi 729√2 sm 3 ga teng.

Ikkinchi vazifa

Vaziyat. Siz parallelepipedning hajmini topishingiz kerak. Unda parallelogrammning tagida joylashgan tomonlari 3 va 6 sm, shuningdek uning o'tkir burchagi - 45º ekanligi ma'lum. Yon qovurg'a poydevorga 30º moyillikka ega va 4 sm ga teng.

Yechim. Muammoning savoliga javob berish uchun siz eğimli parallelepiped hajmi uchun yozilgan formulani olishingiz kerak. Ammo unda ikkala miqdor ham noma'lum.

Poydevorning, ya'ni parallelogrammning maydoni ma'lum tomonlarni va ular orasidagi o'tkir burchakning sinusini ko'paytirish kerak bo'lgan formula bilan aniqlanadi.

S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (sm 2).

Ikkinchi noma'lum miqdor - balandlik. Uni poydevor ustidagi to'rtta cho'qqidan istalganidan chizish mumkin. Uni balandligi oyoq, yon tomoni gipotenuza bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakdan topish mumkin. Bunday holda, 30º burchak noma'lum balandlikka qarama-qarshi yotadi. Bu shuni anglatadiki, biz oyoqning gipotenuzaga nisbatidan foydalanishimiz mumkin.

n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.

Endi barcha qiymatlar ma'lum va hajmni hisoblash mumkin:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (sm 3).

Javob: hajmi 18 √2 sm 3.

Uchinchi vazifa

Vaziyat. Agar parallelepiped to'g'ri ekanligi ma'lum bo'lsa, uning hajmini toping. Uning poydevorining tomonlari parallelogramm hosil qiladi va ular orasidagi o'tkir burchak 60º ga teng. Parallelepipedning kichikroq diagonali asosning katta diagonaliga teng.

Yechim. Parallelepipedning hajmini bilish uchun biz asos maydoni va balandligi formulasidan foydalanamiz. Ikkala miqdor ham noma'lum, ammo ularni hisoblash oson. Birinchisi - balandlik.

Parallelepipedning kichikroq diagonali kattaroq poydevorga to'g'ri kelganligi sababli, ularni bir xil d harfi bilan belgilash mumkin. Paralelogrammaning eng katta burchagi 120º, chunki u o'tkir burchak bilan 180º ni tashkil qiladi. Poydevorning ikkinchi diagonali "x" harfi bilan belgilansin. Endi bazaning ikkita diagonali uchun biz kosinus teoremalarini yozishimiz mumkin:

d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.

Kvadratchalarsiz qiymatlarni topishning ma'nosi yo'q, chunki keyinchalik ular yana ikkinchi darajaga ko'tariladi. Ma'lumotlarni almashtirgandan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Endi parallelepipedning yon qirrasi bo'lgan balandlik uchburchakda oyoq bo'lib chiqadi. Gipotenuza tananing ma'lum diagonali bo'ladi, ikkinchi oyog'i esa "x" bo'ladi. Pifagor teoremasini yozishimiz mumkin:

n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.

Demak: n = √12 = 2√3 (sm).

Endi ikkinchi noma'lum miqdor - bu bazaning maydoni. Uni ikkinchi masalada keltirilgan formuladan foydalanib hisoblash mumkin.

S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (sm 2).

Har bir narsani hajm formulasiga birlashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (sm 3).

Javob: V = 18 sm 3.

To'rtinchi vazifa

Vaziyat. Quyidagi shartlarga javob beradigan parallelepiped hajmini aniqlash talab qilinadi: asosi 5 sm ga teng bo'lgan kvadrat; yon yuzlari romblar; poydevor ustida joylashgan cho'qqilardan biri poydevorda yotgan barcha cho'qqilardan bir xil masofada joylashgan.

Yechim. Avval siz vaziyatni tushunishingiz kerak. Kvadrat haqida birinchi nuqta bilan hech qanday savol yo'q. Ikkinchisi, romblar haqida, parallelepipedning moyilligini aniq ko'rsatadi. Bundan tashqari, uning barcha qirralari 5 sm ga teng, chunki rombning tomonlari bir xil. Uchinchidan esa undan chizilgan uchta diagonal teng ekanligi ayon bo'ladi. Bu ikki tomonda joylashgan, oxirgisi esa parallelepiped ichida. Va bu diagonallar chetiga teng, ya'ni ular ham 5 sm uzunlikka ega.

Ovozni aniqlash uchun sizga eğimli parallelepiped uchun yozilgan formula kerak bo'ladi. Unda yana ma'lum miqdorlar yo'q. Biroq, taglikning maydonini hisoblash oson, chunki u kvadrat.

S o = 5 2 = 25 (sm 2).

Balandlik bilan bog'liq vaziyat biroz murakkabroq. Bu uchta shaklda shunday bo'ladi: parallelepiped, to'rtburchak piramida va teng yonli uchburchak. Ushbu oxirgi vaziyatdan foydalanish kerak.

Bu balandlik bo'lgani uchun u to'g'ri burchakli uchburchakdagi oyoqdir. Undagi gipotenuza ma'lum chekka va ikkinchi oyoq bo'ladi yarmiga teng kvadratning diagonallari (balandligi ham median). Va poydevorning diagonalini topish oson:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (sm).

Balandlikni chetning ikkinchi kuchi va diagonalning yarmi kvadrati o'rtasidagi farq sifatida hisoblash kerak va keyin kvadrat ildizni olishni unutmang:

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √ (25 - 25/2) = √ (25/2) = 2,5 √2 (sm).

V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (sm 3).

Javob: 62,5 √2 (sm 3).

Ushbu darsda hamma "To'rtburchaklar parallelepiped" mavzusini o'rganishi mumkin. Darsning boshida biz ixtiyoriy va to'g'ri parallelepipedlar nima ekanligini takrorlaymiz, ularning qarama-qarshi yuzlari va parallelepiped diagonallarining xususiyatlarini eslaymiz. Keyin kuboid nima ekanligini ko'rib chiqamiz va uning asosiy xususiyatlarini muhokama qilamiz.

Mavzu: Chiziqlar va tekisliklarning perpendikulyarligi

Dars: kuboid

Ikkita teng ABCD va A 1 B 1 C 1 D 1 parallelogrammasi va to‘rtta ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 parallelogrammalaridan tashkil topgan sirt deyiladi. parallelepiped(1-rasm).

Guruch. 1 Parallelepiped

Ya'ni: bizda ikkita teng parallelogramma ABCD va A 1 B 1 C 1 D 1 (asos) bor, ular parallel tekisliklarda yotadi, shunda AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 yon qirralari parallel bo'ladi. Shunday qilib, parallelogrammalardan tashkil topgan sirt deyiladi parallelepiped.

Shunday qilib, parallelepipedning yuzasi parallelepipedni tashkil etuvchi barcha parallelogrammalarning yig'indisidir.

1. Parallelepipedning qarama-qarshi yuzlari parallel va tengdir.

(shakllar teng, ya'ni ularni bir-biriga yopishtirish orqali birlashtirish mumkin)

Masalan:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 ( teng parallelogrammlar ta'rifi bo'yicha),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (chunki AA 1 B 1 B va DD 1 C 1 C parallelepipedning qarama-qarshi yuzlari),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (chunki AA 1 D 1 D va BB 1 C 1 C parallelepipedning qarama-qarshi yuzlari).

2. Parallelepipedning diagonallari bir nuqtada kesishadi va shu nuqta bilan ikkiga bo'linadi.

AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B parallelepipedning diagonallari bir O nuqtada kesishadi va har bir diagonal shu nuqta bilan yarmiga bo'linadi (2-rasm).

Guruch. 2 Parallelepipedning diagonallari kesishadi va kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'linadi.

3. Parallelepipedning teng va parallel qirralarining uchta to'rtligi bor: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Ta'rif. Parallelepiped, agar uning lateral qirralari asoslarga perpendikulyar bo'lsa, to'g'ri deyiladi.

Yon qirrasi AA 1 asosga perpendikulyar bo'lsin (3-rasm). Demak, AA 1 to’g’ri chiziq asos tekisligida yotgan AD va AB to’g’ri chiziqlarga perpendikulyar. Bu shuni anglatadiki, yon tomonlarda to'rtburchaklar mavjud. Va asoslar ixtiyoriy parallelogrammlarni o'z ichiga oladi. ∠BAD = ph ni belgilaymiz, ph burchagi istalgan bo'lishi mumkin.

Guruch. 3 To'g'ri parallelepiped

Demak, to'g'ri parallelepiped - yon qirralari parallelepiped asoslariga perpendikulyar bo'lgan parallelepiped.

Ta'rif. Parallelepiped to'rtburchaklar deb ataladi, uning lateral qirralari asosga perpendikulyar bo'lsa. Asoslari to'rtburchaklardir.

Parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 to'rtburchaklar (4-rasm), agar:

1. AA 1 ⊥ ABCD (asos tekisligiga perpendikulyar lateral chekka, ya'ni to'g'ri parallelepiped).

2. ∠BAD = 90°, ya'ni asosi to'rtburchakdir.

Guruch. 4 To'rtburchaklar parallelepiped

To'rtburchak parallelepiped ixtiyoriy parallelepipedning barcha xususiyatlariga ega. Ammo kuboidning ta'rifidan kelib chiqadigan qo'shimcha xususiyatlar mavjud.

Shunday qilib, kubsimon yon qirralari asosga perpendikulyar boʻlgan parallelepipeddir. Kuboidning asosi to'rtburchakdir.

1. To'g'ri to'rtburchak parallelepipedda oltita yuzning hammasi to'rtburchaklardir.

ABCD va A 1 B 1 C 1 D 1 ta'rifiga ko'ra to'rtburchaklardir.

2. Yanal qovurg'alar asosga perpendikulyar. Bu shuni anglatadiki, to'rtburchaklar parallelepipedning barcha lateral yuzlari to'rtburchaklardir.

3. To'g'ri burchakli parallelepipedning barcha ikki burchakli burchaklari to'g'ri.

Masalan, cheti AB bo'lgan to'rtburchak parallelepipedning ikki burchakli burchagini, ya'ni ABC 1 va ABC tekisliklari orasidagi ikki burchakli burchakni ko'rib chiqaylik.

AB - chekka, A 1 nuqta bir tekislikda - ABB 1 tekislikda, D nuqta ikkinchisida - A 1 B 1 C 1 D 1 tekislikda yotadi. U holda ko'rib chiqilayotgan ikki burchakli burchakni ham quyidagicha belgilash mumkin: ∠A 1 ABD.

AB chetidagi A nuqtani olaylik. AA 1 AVV-1 tekisligida AB chetiga perpendikulyar, AD ABC tekisligida AB chetiga perpendikulyar. Demak, ∠A 1 AD berilgan ikki burchakli burchakning chiziqli burchagidir. ∠A 1 AD = 90°, ya'ni AB chetidagi dihedral burchak 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Xuddi shunday, to'rtburchak parallelepipedning har qanday ikki burchakli burchaklari to'g'ri ekanligi isbotlangan.

To'rtburchaklar parallelepiped diagonalining kvadrati uning uch o'lchami kvadratlarining yig'indisiga teng.

Eslatma. Kuboidning bir cho'qqisidan chiqadigan uchta qirraning uzunligi kuboidning o'lchovidir. Ular ba'zan uzunlik, kenglik, balandlik deb ataladi.

Berilgan: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - to'g'ri burchakli parallelepiped (5-rasm).

isbotlang: .

Guruch. 5 To'g'ri burchakli parallelepiped

Isbot:

CC 1 to'g'ri chiziq ABC tekisligiga, shuning uchun AC to'g'ri chiziqqa perpendikulyar. Bu CC 1 A uchburchak to'g'ri burchakli ekanligini anglatadi. Pifagor teoremasiga ko'ra:

ABC to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing. Pifagor teoremasiga ko'ra:

Ammo BC va AD to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari. Shunday qilib, BC = AD. Keyin:

Chunki , A , Bu. CC 1 = AA 1 bo'lgani uchun, buni isbotlash kerak edi.

To'g'ri burchakli parallelepipedning diagonallari teng.

ABC parallelepipedning o'lchamlarini a, b, c (6-rasmga qarang) deb belgilaymiz, keyin AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz tomonidan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Zarur bo'lganda - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud muhokamasida va (yoki) jamoatchilikning so'rovlari yoki so'rovlari asosida. davlat organlari Rossiya Federatsiyasi hududida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

Asl manba joylashgan. Alpha haqiqiy sonni anglatadi. Yuqoridagi ifodalardagi tenglik belgisi cheksizlikka son yoki cheksizlik qo‘shilsa, hech narsa o‘zgarmasligini, natija bir xil cheksizlik bo‘lishini ko‘rsatadi. Misol tariqasida cheksiz to'plamni oladigan bo'lsak natural sonlar, keyin ko'rib chiqilgan misollarni quyidagicha ko'rsatish mumkin:

Ularning to'g'ri ekanligini aniq isbotlash uchun matematiklar juda ko'p turli xil usullarni o'ylab topishdi. Shaxsan men bu usullarning barchasiga shamanlarning daflar bilan raqs tushishi kabi qarayman. Aslini olganda, ularning barchasi yo ba'zi xonalar band bo'lmagani va yangi mehmonlar ko'chib o'tayotgani yoki mehmonlarning ba'zilari mehmonlarga joy berish uchun (juda insoniy) koridorga uloqtirilgani bilan bog'liq. Men bunday qarorlar bo'yicha o'z nuqtai nazarimni Blonde haqida fantastik hikoya shaklida taqdim etdim. Mening fikrim nimaga asoslanadi? Cheksiz miqdordagi tashrif buyuruvchilarni ko'chirish cheksiz vaqtni oladi. Mehmon uchun birinchi xonani bo'shatganimizdan so'ng, tashrif buyuruvchilardan biri har doim o'z xonasidan ikkinchisiga koridor bo'ylab oxirigacha yuradi. Albatta, vaqt omilini ahmoqona e'tiborsiz qoldirish mumkin, ammo bu "ahmoqlar uchun qonun yozilmagan" toifasida bo'ladi. Hammasi nima qilayotganimizga bog'liq: haqiqatni matematik nazariyalarga moslashtirish yoki aksincha.

"Cheksiz mehmonxona" nima? Cheksiz mehmonxona - bu qancha xonada bo'lishidan qat'i nazar, har doim bo'sh yotoqlari bo'lgan mehmonxona. Agar cheksiz "mehmon" koridoridagi barcha xonalar band bo'lsa, "mehmon" xonalari bo'lgan yana bir cheksiz koridor mavjud. Bunday koridorlar cheksiz ko'p bo'ladi. Qolaversa, “cheksiz mehmonxona” cheksiz sonli xudolar tomonidan yaratilgan cheksiz koinotdagi cheksiz sonli sayyoralardagi cheksiz sonli binolarda cheksiz sonli qavatlarga ega. Matematiklar oddiy kundalik muammolardan uzoqlasha olmaydilar: har doim bitta Xudo-Alloh-Budda bor, faqat bitta mehmonxona bor, faqat bitta yo'lak bor. Shunday qilib, matematiklar mehmonxona xonalarining seriya raqamlarini o'zgartirishga harakat qilmoqdalar va bizni "mumkin bo'lmagan narsaga o'tish" mumkinligiga ishontirishmoqda.

Men sizga cheksiz natural sonlar to'plami misolida o'z mulohazalarim mantiqini ko'rsataman. Avval siz juda oddiy savolga javob berishingiz kerak: nechta natural sonlar to'plami bor - bitta yoki ko'p? Bu savolga to'g'ri javob yo'q, chunki biz raqamlarni o'zimiz ixtiro qilganmiz, chunki tabiatda raqamlar mavjud emas; Ha, Tabiat hisoblashda zo'r, lekin buning uchun u bizga tanish bo'lmagan boshqa matematik vositalardan foydalanadi. Tabiatning fikrini boshqa safar sizga aytaman. Biz raqamlarni ixtiro qilganimiz sababli, natural sonlarning nechta to'plami borligini o'zimiz hal qilamiz. Keling, haqiqiy olimlarga mos keladigan ikkala variantni ham ko'rib chiqaylik.

Birinchi variant. Tokchada tinchgina yotgan natural sonlarning bitta to'plami "Bizga berilsin". Biz bu to'plamni javondan olamiz. Hammasi bo'ldi, javonda boshqa natural sonlar qolmadi va ularni olib ketadigan joy ham yo'q. Biz bu to'plamga bitta qo'sha olmaymiz, chunki bizda allaqachon mavjud. Agar chindan ham xohlasangiz nima bo'ladi? Hammasi joyida. Biz allaqachon olgan to'plamdan birini olib, uni javonga qaytarishimiz mumkin. Shundan so'ng, biz rafdan birini olib, qolgan narsalarga qo'shishimiz mumkin. Natijada, biz yana cheksiz natural sonlar to'plamini olamiz. Siz bizning barcha manipulyatsiyalarimizni quyidagicha yozishingiz mumkin:

Men harakatlarni algebraik yozuvda va to‘plam nazariyasi yozuvida, to‘plam elementlarining batafsil ro‘yxati bilan yozdim. Pastki belgisi bizda bitta va yagona natural sonlar to'plami mavjudligini bildiradi. Ma’lum bo‘lishicha, natural sonlar to‘plami undan bitta ayirilsa va bir xil birlik qo‘shilsagina o‘zgarishsiz qoladi.

Ikkinchi variant. Bizning javonimizda ko'plab cheksiz natural sonlar to'plami mavjud. Men ta'kidlayman - TURLI, garchi ular amalda farqlanmaydi. Keling, ushbu to'plamlardan birini olaylik. Keyin boshqa natural sonlar to'plamidan bittasini olamiz va uni allaqachon olgan to'plamga qo'shamiz. Hatto ikkita natural sonlar to'plamini qo'shishimiz mumkin. Buni olamiz:

"Bir" va "ikki" pastki belgisi bu elementlarning turli to'plamlarga tegishli ekanligini ko'rsatadi. Ha, agar siz cheksiz to'plamga bitta qo'shsangiz, natijada ham cheksiz to'plam bo'ladi, lekin u asl to'plam bilan bir xil bo'lmaydi. Bitta cheksiz to‘plamga boshqa cheksiz to‘plam qo‘shsangiz, natijada birinchi ikki to‘plamning elementlaridan tashkil topgan yangi cheksiz to‘plam hosil bo‘ladi.

Natural sonlar to'plami o'lchash uchun o'lchagich bilan bir xil tarzda hisoblash uchun ishlatiladi. Endi o'lchagichga bir santimetr qo'shganingizni tasavvur qiling. Bu asl chiziqqa teng bo'lmagan boshqa chiziq bo'ladi.

Mening fikrimni qabul qilishingiz yoki qabul qilmasligingiz mumkin - bu sizning shaxsiy ishingiz. Ammo, agar siz matematik muammolarga duch kelsangiz, matematiklarning avlodlari bosib o'tgan yolg'on fikrlash yo'lidan ketyapsizmi, deb o'ylab ko'ring. Zero, matematikani o‘rganish, eng avvalo, bizda tafakkurning barqaror stereotipini shakllantiradi va shundan keyingina aqliy qobiliyatimizni oshiradi (yoki aksincha, bizni erkin fikrlashdan mahrum qiladi).

pozg.ru

Yakshanba, 4-avgust, 2019-yil

Men maqolaning postscriptini tugatayotgan edim va Vikipediyada ushbu ajoyib matnni ko'rdim:

Biz o'qiymiz: "... boy nazariy asos Bobil matematikasi yaxlit xususiyatga ega emas edi va bir-biridan mahrum bo'lgan turli xil texnikalar to'plamiga qisqartirildi. umumiy tizim va dalillar bazasi."

Voy-buy! Biz qanchalik aqllimiz va boshqalarning kamchiliklarini qanchalik yaxshi ko'ra olamiz. Zamonaviy matematikaga bir xil kontekstda qarash biz uchun qiyinmi? Yuqoridagi matnni biroz izohlab, men shaxsan quyidagilarni oldim:

Zamonaviy matematikaning boy nazariy asoslari yaxlit xususiyatga ega emas va umumiy tizim va dalillar bazasidan mahrum bo'lgan turli bo'limlar to'plamiga qisqartiriladi.

Men so'zlarimni tasdiqlash uchun uzoqqa bormayman - bu matematikaning boshqa ko'plab sohalari tili va qoidalaridan farq qiladigan til va qoidalarga ega. Matematikaning turli sohalaridagi bir xil nomlar har xil ma'noga ega bo'lishi mumkin. Men bir qator nashrlarni zamonaviy matematikaning eng aniq xatolariga bag'ishlamoqchiman. Ko'rishguncha.

Shanba, 3-avgust, 2019-yil

To‘plamni kichik to‘plamlarga qanday ajratish mumkin? Buning uchun tanlangan to'plamning ba'zi elementlarida mavjud bo'lgan yangi o'lchov birligini kiritishingiz kerak. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Bizda ko'p bo'lsin A to'rt kishidan iborat. Ushbu to'plam "odamlar" asosida tuzilgan. Keling, ushbu to'plamning elementlarini harf bilan belgilaymiz A, raqam bilan pastki belgisi ushbu to'plamdagi har bir shaxsning seriya raqamini ko'rsatadi. Keling, yangi "jins" o'lchov birligini kiritamiz va uni harf bilan belgilaymiz b. Jinsiy xususiyatlar barcha odamlarga xos bo'lganligi sababli, biz to'plamning har bir elementini ko'paytiramiz A jinsga asoslangan b. E'tibor bering, bizning "odamlar" to'plami endi "gender xususiyatlariga ega odamlar" to'plamiga aylandi. Shundan so'ng biz jinsiy xususiyatlarni erkaklarga ajratishimiz mumkin bm va ayollar bw jinsiy xususiyatlar. Endi biz matematik filtrni qo'llashimiz mumkin: biz ushbu jinsiy xususiyatlardan birini tanlaymiz, qaysi biri - erkak yoki ayol. Agar odamda bo'lsa, unda biz uni birga ko'paytiramiz, agar bunday belgi bo'lmasa, uni nolga ko'paytiramiz. Va keyin biz oddiy maktab matematikasidan foydalanamiz. Qarang, nima bo'ldi.

Ko'paytirish, qisqartirish va qayta tartibga solishdan so'ng biz ikkita kichik to'plamga ega bo'ldik: erkaklar to'plami Bm va ayollarning bir qismi Bw. Matematiklar to'plamlar nazariyasini amaliyotda qo'llashda taxminan xuddi shunday fikr yuritadilar. Ammo ular bizga tafsilotlarni aytmaydilar, lekin yakuniy natijani beradilar - "ko'p odamlar erkaklar va ayollarning bir qismidan iborat". Tabiiyki, sizda savol tug'ilishi mumkin: yuqorida ko'rsatilgan o'zgarishlarda matematika qanchalik to'g'ri qo'llanilgan? Sizni ishontirishga jur'at etamanki, o'zgartirishlar mohiyatan to'g'ri amalga oshirildi, buning uchun arifmetika, mantiqiy algebra va matematikaning boshqa sohalarini bilish kifoya. Bu nima? Boshqa payt men sizga bu haqda aytib beraman.

Supersetlarga kelsak, ushbu ikkita to'plamning elementlarida mavjud o'lchov birligini tanlab, ikkita to'plamni bitta supersetga birlashtira olasiz.

Ko'rib turganingizdek, o'lchov birliklari va oddiy matematika to'plamlar nazariyasini o'tmishning yodgorligiga aylantiradi. To'plamlar nazariyasida hamma narsa yaxshi emasligining belgisi shundaki, matematiklar to'plamlar nazariyasi uchun o'z tillari va yozuvlarini o'ylab topishgan. Matematiklar bir paytlar shamanlar kabi harakat qilishgan. Faqat shamanlar o'zlarining "bilimlarini" qanday "to'g'ri" qo'llashni bilishadi. Ular bizga bu "bilim" ni o'rgatadi.

Xulosa qilib aytganda, men sizga matematiklar qanday manipulyatsiya qilishini ko'rsatmoqchiman.

Dushanba, 7 yanvar, 2019 yil

Miloddan avvalgi V asrda qadimgi yunon faylasufi Eleyalik Zenon o'zining mashhur aporiyalarini tuzgan, ulardan eng mashhuri "Axilles va toshbaqa" aporiyasidir. Bu qanday eshitiladi:

Aytaylik, Axilles toshbaqadan o'n barobar tezroq yuguradi va undan ming qadam orqada. Bu masofani bosib o'tish uchun Axilles kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Axilles yuz qadam yugurganda, toshbaqa yana o'n qadam sudraladi va hokazo. Jarayon infinitum davom etadi, Axilles hech qachon toshbaqaga yetib bormaydi.

Bu mulohaza barcha keyingi avlodlar uchun mantiqiy zarba bo'ldi. Aristotel, Diogen, Kant, Gegel, Gilbert... Ularning barchasi Zenon aporiyasini u yoki bu tarzda hisoblagan. Shok shu qadar kuchli ediki " ...paradokslar mohiyati haqida umumiy fikrga kelish uchun munozaralar bugungi kungacha davom etmoqda ilmiy hamjamiyat hozircha buning imkoni bo‘lmadi... masalani o‘rganishga biz ham jalb etildik matematik tahlil, to'plamlar nazariyasi, yangi fizik va falsafiy yondashuvlar; ularning hech biri muammoning umumiy qabul qilingan yechimiga aylanmadi ..."[Vikipediya, "Zeno's Aporia". Hamma ularni aldashayotganini tushunadi, lekin hech kim yolg'on nimadan iboratligini tushunmaydi.

Matematik nuqtai nazardan Zenon o'z aporiyasida miqdordan ga o'tishni aniq ko'rsatdi. Ushbu o'tish doimiy o'rniga dasturni nazarda tutadi. Men tushunganimdek, o'zgaruvchan o'lchov birliklaridan foydalanish uchun matematik apparat hali ishlab chiqilmagan yoki Zenon aporiyasiga qo'llanilmagan. Odatdagi mantiqimizni qo'llash bizni tuzoqqa olib boradi. Biz fikrlash inertsiyasi tufayli o'zaro qiymatga doimiy vaqt birliklarini qo'llaymiz. Jismoniy nuqtai nazardan, bu Axilles toshbaqani quvib yetgan paytda to'liq to'xtaguncha vaqt sekinlashayotganga o'xshaydi. Vaqt to'xtasa, Axilles endi toshbaqadan o'tib keta olmaydi.

Agar biz odatdagi mantiqimizni aylantirsak, hamma narsa joyiga tushadi. Axilles doimiy tezlikda yuguradi. Uning yo'lining har bir keyingi qismi avvalgisidan o'n baravar qisqaroq. Shunga ko'ra, uni engish uchun sarflangan vaqt avvalgisidan o'n baravar kam. Agar biz ushbu vaziyatda "abadiylik" tushunchasini qo'llasak, "Axilles toshbaqani cheksiz tezlikda ushlaydi" deyish to'g'ri bo'ladi.

Ushbu mantiqiy tuzoqdan qanday qochish kerak? Doimiy vaqt birliklarida qoling va o'zaro birliklarga o'tmang. Zenon tilida bu shunday ko'rinadi:

Axilles ming qadam yugurishi kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Birinchisiga teng bo'lgan keyingi vaqt oralig'ida Axilles yana ming qadam yuguradi, toshbaqa esa yuz qadam sudraladi. Endi Axilles toshbaqadan sakkiz yuz qadam oldinda.

Bu yondashuv voqelikni mantiqiy paradokslarsiz adekvat tasvirlaydi. Ammo bu muammoning to'liq yechimi emas. Eynshteynning yorug'lik tezligining chidab bo'lmasligi haqidagi bayonoti Zenonning "Axilles va toshbaqa" aporiyasiga juda o'xshaydi. Biz bu muammoni hali o'rganishimiz, qayta o'ylab ko'rishimiz va hal qilishimiz kerak. Va yechimni cheksiz izlash kerak emas katta raqamlar, lekin o'lchov birliklarida.

Zenonning yana bir qiziqarli aporiyasi uchadigan o'q haqida gapiradi:

Uchib yuruvchi o'q harakatsiz, chunki u har daqiqada dam oladi va har daqiqada dam bo'lgani uchun u doimo dam oladi.

Ushbu aporiyada mantiqiy paradoks juda sodda tarzda engib o'tiladi - har bir vaqtning har bir lahzasida uchuvchi o'q kosmosning turli nuqtalarida tinch holatda bo'lishini aniqlashtirish kifoya, bu aslida harakatdir. Shu o‘rinda yana bir jihatga e’tibor qaratish lozim. Yo'lda avtomobilning bitta fotosuratidan uning harakatlanish faktini ham, unga bo'lgan masofani ham aniqlash mumkin emas. Mashinaning harakatlanayotganligini aniqlash uchun sizga vaqtning turli nuqtalarida bir nuqtadan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo siz ulardan masofani aniqlay olmaysiz. Avtomobilgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun sizga bir vaqtning o'zida kosmosning turli nuqtalaridan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo ulardan siz harakat faktini aniqlay olmaysiz (albatta, hisob-kitoblar uchun sizga hali ham qo'shimcha ma'lumotlar kerak, trigonometriya sizga yordam beradi ). Men nimani ta'kidlamoqchiman alohida e'tibor, shundan iboratki, vaqtning ikki nuqtasi va kosmosdagi ikkita nuqta chalkashmaslik kerak bo'lgan turli xil narsalardir, chunki ular tadqiqot uchun turli imkoniyatlarni beradi.

2018 yil 4-iyul, chorshanba

Men sizga aytdimki, qaysi shamanlar haqiqatni "" saralashga harakat qilishadi. Ular buni qanday qilishadi? To'plamning shakllanishi aslida qanday sodir bo'ladi?

Keling, to'plamning ta'rifini batafsil ko'rib chiqaylik: "bir butun sifatida o'ylab topilgan turli elementlarning to'plami". Endi ikkita ibora o'rtasidagi farqni his qiling: "bir butun sifatida tasavvur qilish mumkin" va "butun holda tasavvur qilish mumkin". Birinchi ibora - yakuniy natija, to'plam. Ikkinchi ibora - ko'pchilikni shakllantirish uchun dastlabki tayyorgarlik. Ushbu bosqichda voqelik alohida elementlarga ("butun") bo'linadi, undan keyin ko'pchilik ("yagona butun") hosil bo'ladi. Shu bilan birga, "butun" ni "yagona bir butun" ga birlashtirishga imkon beradigan omil diqqat bilan kuzatiladi, aks holda shamanlar muvaffaqiyatga erisha olmaydi. Axir, shamanlar bizga qanday to'plamni ko'rsatishni xohlashlarini oldindan bilishadi.

Men sizga jarayonni misol bilan ko'rsataman. Biz "pimple ichidagi qizil qattiq" ni tanlaymiz - bu bizning "butun". Shu bilan birga, biz bu narsalar kamonli va kamonsiz borligini ko'ramiz. Shundan so'ng, biz "butun" ning bir qismini tanlaymiz va "kamon bilan" to'plamni hosil qilamiz. Shamanlar o'zlarining to'plam nazariyasini haqiqatga bog'lash orqali oziq-ovqatlarini shunday olishadi.

Endi bir oz hiyla qilaylik. Keling, "pimple va kamon bilan qattiq" ni olaylik va qizil elementlarni tanlab, bu "butunlarni" rangga ko'ra birlashtiramiz. Bizda juda ko'p "qizil" bor. Endi yakuniy savol: natijada "kamon bilan" va "qizil" to'plamlar bir xil to'plammi yoki ikki xil to'plammi? Javobni faqat shamanlar biladi. Aniqrog'i, ularning o'zlari hech narsani bilishmaydi, lekin ular aytganidek, shunday bo'ladi.

Bu oddiy misol shuni ko'rsatadiki, to'plam nazariyasi haqiqatga kelganda mutlaqo foydasizdir. Buning siri nimada? Biz "pimple va kamon bilan qizil qattiq" to'plamini yaratdik. Shakllanish to'rt xil o'lchov birligi bo'yicha amalga oshirildi: rang (qizil), mustahkamlik (qattiq), pürüzlülük (pimply), bezak (kamon bilan). Faqat o'lchov birliklari to'plami bizga etarli darajada tavsiflash imkonini beradi haqiqiy ob'ektlar matematika tilida. Bu shunday ko'rinadi.

Turli indeksli "a" harfi turli o'lchov birliklarini bildiradi. Dastlabki bosqichda "butun" ajralib turadigan o'lchov birliklari qavs ichida ta'kidlangan. Qavs ichidan to‘plam hosil bo‘ladigan o‘lchov birligi olinadi. Oxirgi satr yakuniy natijani ko'rsatadi - to'plam elementi. Ko'rib turganingizdek, to'plamni shakllantirish uchun o'lchov birliklaridan foydalansak, natija bizning harakatlarimiz tartibiga bog'liq emas. Va bu matematika, shamanlarning daf bilan raqsga tushishi emas. Shamanlar "intuitiv ravishda" bir xil natijaga kelishlari mumkin, bu "aniq" ekanligini ta'kidlaydilar, chunki o'lchov birliklari ularning "ilmiy" arsenalining bir qismi emas.

O'lchov birliklaridan foydalanib, birini buzish juda oson
Bugungi kunda biz qabul qilmagan hamma narsa ma'lum bir to'plamga tegishli (matematiklar bizni ishontirganidek). Aytgancha, peshonangizdagi oynada o'zingiz tegishli bo'lgan to'plamlar ro'yxatini ko'rdingizmi? Va men bunday ro'yxatni ko'rmaganman. Ko'proq aytaman - aslida biron bir narsada bu narsa tegishli bo'lgan to'plamlar ro'yxati ko'rsatilgan teg yo'q. To'plamlarning barchasi shamanlarning ixtirolaridir. Ular buni qanday qilishadi? Keling, tarixga biroz chuqurroq qaraylik va matematik shamanlar ularni o'z to'plamlariga olishdan oldin to'plam elementlari qanday ko'rinishga ega bo'lganini ko'rib chiqaylik.

Uzoq vaqt oldin, hech kim matematika haqida eshitmagan va faqat daraxtlar va Saturn halqalariga ega bo'lganida, to'plamlarning yovvoyi elementlarining ulkan podalari aylanib yurgan edi. jismoniy maydonlar(Axir, shamanlar hali matematik sohalarni kashf qilmagan). Ular shunday ko'rinishga ega edilar.

Ha, hayron bo'lmang, matematika nuqtai nazaridan, to'plamlarning barcha elementlari juda o'xshash dengiz kirpilari- bir nuqtadan, ignalar kabi, o'lchov birliklari barcha yo'nalishlarda chiqib turadi. Men sizga eslatib o'tamanki, har qanday o'lchov birligi geometrik ravishda ixtiyoriy uzunlik segmenti, raqam esa nuqta sifatida ifodalanishi mumkin. Geometrik jihatdan har qanday miqdor bir nuqtadan turli yo'nalishlarda chiqib turadigan segmentlar to'plami sifatida ifodalanishi mumkin. Bu nuqta nol nuqtadir. Men bu geometrik san'at asarini chizmayman (ilhom yo'q), lekin siz buni osongina tasavvur qilishingiz mumkin.

Qanday o'lchov birliklari to'plam elementini tashkil qiladi? Berilgan elementni turli nuqtai nazardan tavsiflovchi barcha turdagi narsalar. Bu ota-bobolarimiz ishlatgan va hamma uzoq vaqt unutgan qadimiy o'lchov birliklari. Bu biz hozir ishlatadigan zamonaviy o'lchov birliklari. Bular ham bizga noma'lum bo'lgan o'lchov birliklari bo'lib, ularni avlodlarimiz o'ylab topadilar va ular haqiqatni tasvirlash uchun foydalanadilar.

Biz geometriyani saralab oldik - to'plam elementlarining tavsiya etilgan modeli aniq geometrik tasvirga ega. Fizika haqida nima deyish mumkin? O'lchov birliklari matematika va fizika o'rtasidagi bevosita bog'liqlikdir. Shamanlar o'lchov birliklarini to'liq element sifatida tan olmasalar matematik nazariyalar- bu ularning muammolari. Shaxsan men matematikaning haqiqiy fanini o'lchov birliklarisiz tasavvur qila olmayman. Shuning uchun to'plamlar nazariyasi haqidagi hikoyaning boshida men uning tosh asrida bo'lganini aytdim.

Ammo keling, eng qiziqarli narsaga - to'plamlar elementlari algebrasiga o'tamiz. Algebraik nuqtai nazardan, to'plamning har qanday elementi turli miqdorlarning mahsulotidir (ko'paytirish natijasi).

Men ataylab to'plam nazariyasining konventsiyalaridan foydalanmadim, chunki biz to'plamning elementini uning tabiiy muhitida to'plam nazariyasi paydo bo'lishidan oldin ko'rib chiqamiz. Qavslar ichidagi har bir juft harf harf bilan ko'rsatilgan raqamdan iborat alohida miqdorni bildiradi. n"va o'lchov birligi" harfi bilan ko'rsatilgan a". Harflar yonidagi indekslar raqamlar va o'lchov birliklari boshqacha ekanligini ko'rsatadi. To'plamning bir elementi quyidagilardan iborat bo'lishi mumkin. cheksiz son kattaliklar (biz va bizning avlodlarimiz qanchalik tasavvurga ega). Har bir qavs geometrik jihatdan alohida segment sifatida ifodalanadi. Dengiz kirpisi misolida bitta qavs bitta igna.

Shamanlar qanday qilib to'plamlarni tashkil qiladi turli elementlar? Aslida, o'lchov birliklari yoki raqamlar bo'yicha. Matematika haqida hech narsani tushunmay, ular turli xil dengiz kirpilarini olib, o'sha bitta ignani qidirishda ularni sinchkovlik bilan tekshiradilar va ular bo'ylab to'plam hosil qiladilar. Agar shunday igna bo'lsa, unda bu element to'plamga tegishli bo'lsa, unda bunday igna bo'lmasa, bu element bu to'plamdan emas. Shamanlar bizga fikrlash jarayonlari va butunligi haqida ertak aytib berishadi.

Siz taxmin qilganingizdek, bir xil element juda boshqacha to'plamlarga tegishli bo'lishi mumkin. Keyin men sizga to'plamlar, kichik to'plamlar va boshqa shamanik bema'niliklarning qanday shakllanishini ko'rsataman.