Bir jinsli birinchi tartibli tenglamani yechish. Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalar

Masalan, funktsiya
birinchi o'lchovning bir hil funksiyasi, chunki

uchinchi o'lchovning bir hil funktsiyasidir, chunki

nol o'lchamning bir hil funksiyasi, chunki

, ya'ni.
.

Ta'rif 2. Birinchi tartibli differentsial tenglama y" = f(x, y) funksiyasi bir jinsli deyiladi f(x, y) ga nisbatan nol o‘lchamning bir jinsli funksiyasi x Va y, yoki ular aytganidek, f(x, y) nol darajali bir jinsli funksiyadir.

U shaklda ifodalanishi mumkin

bu bizga bir jinsli tenglamani (3.3) ko'rinishga o'zgartirilishi mumkin bo'lgan differentsial tenglama sifatida aniqlash imkonini beradi.

O'zgartirish
bir jinsli tenglamani ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega tenglamaga qisqartiradi. Haqiqatan ham, almashtirishdan keyin y =xz olamiz
,
O'zgaruvchilarni ajratib, integratsiyalash orqali biz quyidagilarni topamiz:

,

Misol 1. Tenglamani yeching.

D Biz taxmin qilamiz y =zx,
Ushbu iboralarni almashtiring y Va dy bu tenglamaga:
yoki
Biz o'zgaruvchilarni ajratamiz:
va integratsiya:
,

O'zgartirish z yoqilgan , olamiz
.

2-misol. Tenglamaning umumiy yechimini toping.

D Bu tenglamada P (x,y) =x 2 -2y 2 ,Q(x,y) =2xy ikkinchi o'lchovning bir jinsli funktsiyalari, shuning uchun bu tenglama bir hil. U shaklda ifodalanishi mumkin
va yuqoridagi kabi hal qiling. Lekin biz yozishning boshqa shaklidan foydalanamiz. Keling, qo'ying y = zx, qayerda dy = zdx + xdz. Ushbu ifodalarni asl tenglamaga almashtirsak, biz bo'lamiz

dx+2 zxdz = 0 .

O'zgaruvchilarni sanash orqali ajratamiz

.

Keling, bu tenglamani had bo'yicha integrallashga harakat qilaylik

, qayerda

ya'ni
. Oldingi funktsiyaga qaytish
umumiy yechim toping


3-misol . Tenglamaning umumiy yechimini toping
.

D Transformatsiyalar zanjiri: ,y = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

8-ma'ruza.

4. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama ko'rinishga ega.

Bu erda tenglamaning o'ng tomoni deb ham ataladigan erkin atama. Ushbu shaklda biz ko'rib chiqamiz chiziqli tenglama kelajakda.

Agar
0, u holda (4.1a) tenglama chiziqli bir jinsli emas deb ataladi. Agar
0 bo'lsa, tenglama shaklni oladi

va chiziqli bir jinsli deyiladi.

(4.1a) tenglamaning nomi noma’lum funksiya ekanligi bilan izohlanadi y va uning hosilasi uni chiziqli kiriting, ya'ni. birinchi darajada.

Chiziqli bir hil tenglamada o'zgaruvchilar ajratiladi. Uni shaklda qayta yozish
qayerda
va integratsiyalashgan holda biz quyidagilarni olamiz:
,bular.

ga bo'linganda qarorni yo'qotamiz
. Biroq, agar biz shunday deb hisoblasak, uni topilgan yechimlar oilasiga kiritish mumkin (4.3). BILAN 0 qiymatini ham qabul qilishi mumkin.

(4.1a) tenglamani yechishning bir necha usullari mavjud. Ga binoan Bernulli usuli ning ikki funksiyasi hosilasi sifatida yechim izlanadi X:

Ushbu funktsiyalardan biri o'zboshimchalik bilan tanlanishi mumkin, chunki faqat mahsulot uv dastlabki tenglamani qondirishi kerak, ikkinchisi (4.1a) tenglama asosida aniqlanadi.

Tenglikning ikkala tomonini farqlash (4.4), biz topamiz
.

Hosil bo‘lgan ifodani hosila o‘rniga qo‘yish , shuningdek, qiymat da (4.1a) tenglamaga aylantiramiz, biz olamiz
, yoki

bular. funksiya sifatida v Bir jinsli chiziqli tenglamaning (4.6) yechimini olaylik:

(Bu yerga C Yozish kerak, aks holda siz umumiy emas, balki ma'lum bir yechim olasiz).

Shunday qilib, (4.4) qo'llanilgan almashtirish natijasida (4.1a) tenglama ajratiladigan o'zgaruvchilar (4.6) va (4.7) bo'lgan ikkita tenglamaga keltirilishini ko'ramiz.

O'rnini bosish
Va v(x) ni (4.4) formulaga kiritamiz, biz nihoyat olamiz

,

1-misol. Tenglamaning umumiy yechimini toping

 Keling, qo'yamiz
, Keyin
. Ifodalarni almashtirish Va asl tenglamaga kiramiz
yoki
(*)

ga koeffitsientni tenglashtiramiz :

Olingan tenglamadagi o'zgaruvchilarni ajratib, biz bor


(ixtiyoriy doimiy C biz yozmaymiz), bu erdan v= x. v Qiymat topildi

,
,
.

(*) tenglamaga almashtiring:
Demak,

asl tenglamaning umumiy yechimi.

.

E'tibor bering, (*) tenglama ekvivalent shaklda yozilishi mumkin: Funktsiyani tasodifiy tanlash u v, emas
, biz ishonishimiz mumkin edi v yoqilgan Funktsiyani tasodifiy tanlash. Ushbu yechim faqat almashtirish orqali ko'rib chiqilganidan farq qiladi Funktsiyani tasodifiy tanlash yoqilgan v(va shuning uchun da), shuning uchun yakuniy qiymat

bir xil bo'lib chiqadi.

Yuqoridagilarga asoslanib, birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani yechish algoritmini olamiz. da E'tibor bering, ba'zida birinchi tartibli tenglama chiziqli bo'ladi, agar x mustaqil o'zgaruvchi sifatida qaraladi va x Va y- qaram, ya'ni. rollarni almashtirish x Va dx. Buni qilish sharti bilan amalga oshirilishi mumkin

tenglamani chiziqli kiriting. . 2-misol
.

Tenglamani yeching da.

Tashqi ko'rinishida bu tenglama funktsiyaga nisbatan chiziqli emas x Biroq, hisobga olsak da funktsiyasi sifatida
, keyin shuni hisobga olgan holda

b yoqilgan O'zgartirish
yoki
, olamiz . Oxirgi tenglamaning ikkala tomonini mahsulotga bo'lish ydy

, keling, uni shakllantiramiz
. (**)

, yoki
Bu erda P(y)=, x. Bu ga nisbatan chiziqli tenglama
,
. Ishonamizki

yoki
.

. Bu iboralarni (**) ga almashtirsak, olamiz
,
, qayerda
;
Shunday qilib v ni tanlaymiz
,
,
.

. Keyingi bizda
Chunki

.

, keyin bu tenglamaning umumiy yechimiga shaklda kelamiz P(x(4.1a) tenglamaga e'tibor bering. Q (x) Va x) dan funksiyalar shaklidagina emas, balki kiritilishi mumkin P= , balki doimiylar ham:,Q= a b

. Chiziqli tenglama uv y= almashtirish yordamida ham yechish mumkin

;
.

va o'zgaruvchilarni ajratish:
;
;
Bu yerdan
; Qayerda

. O'zimizni logarifmdan ozod qilib, biz tenglamaning umumiy yechimini olamiz
).

(Bu yerga a= At

(Eksponensial o'sish tenglamasiga qarang (2.4) da
).

Avval mos keladigan bir jinsli tenglamani (4.2) integrallaymiz. Yuqorida aytib o'tilganidek, uning yechimi (4.3) ko'rinishga ega. Biz omilni ko'rib chiqamiz BILAN(4.3) ning funksiyasi sifatida X, ya'ni. asosan o'zgaruvchini o'zgartirish

qaerdan, integratsiya, biz topamiz

E'tibor bering, (4.14) ga muvofiq (shuningdek, (4.9) ga qarang) bir jinsli bo'lmagan chiziqli tenglamaning umumiy yechimi mos keladigan bir jinsli tenglamaning (4.3) umumiy yechimi va bir jinsli bo'lmagan tenglamaning quyidagi bilan aniqlangan xususiy yechimi yig'indisiga teng. ikkinchi muddat (4.14) ga kiritilgan (va (4.9)).

Muayyan tenglamalarni yechishda og'ir formuladan (4.14) foydalanmasdan, yuqoridagi hisob-kitoblarni takrorlash kerak.

Ko'rib chiqilgan tenglamaga Lagranj usulini qo'llaymiz misol 1 :

.

Tegishli bir jinsli tenglamani integrallaymiz
.

O'zgaruvchilarni ajratib, biz olamiz
va undan keyin
. Ifodani formula orqali yechish y = Cx. Asl tenglamaning yechimini shaklda qidiramiz y = C(x)x. Ushbu ifodani berilgan tenglamaga almashtirib, olamiz
;
;
,
. Asl tenglamaning umumiy yechimi shaklga ega

.

Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, Bernulli tenglamasi chiziqli tenglamaga keltiriladi

shaklda yozilishi mumkin

O'zgartirish
chiziqli tenglamaga qisqaradi:

,
,
.

Bernulli tenglamalarini yuqorida ko‘rsatilgan usullar yordamida ham yechish mumkin.

3-misol . Tenglamaning umumiy yechimini toping
.

 Transformatsiyalar zanjiri:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,


Menimcha, biz bunday ulug'vor matematik vositaning tarixidan boshlashimiz kerak differensial tenglamalar. Barcha differentsial va integral hisoblar singari, bu tenglamalar 17-asr oxirida Nyuton tomonidan ixtiro qilingan. U o'zining ushbu maxsus kashfiyotini shu qadar muhim deb hisobladiki, u hatto xabarni shifrladi, uni bugungi kunda shunday tarjima qilish mumkin: "Tabiatning barcha qonunlari differensial tenglamalar bilan tasvirlangan". Bu mubolag'a bo'lib tuyulishi mumkin, ammo bu haqiqat. Har qanday fizika, kimyo, biologiya qonunlarini bu tenglamalar orqali tasvirlash mumkin.

Matematiklar Eyler va Lagranj differentsial tenglamalar nazariyasini ishlab chiqish va yaratishga ulkan hissa qo'shdilar. 18-asrda ular hozirda oliy o'quv yurtlarida o'qiyotganlarini kashf etdilar va rivojlantirdilar.

Anri Puankare tufayli differentsial tenglamalarni o'rganishda yangi bosqich boshlandi. U "differensial tenglamalarning sifat nazariyasini" yaratdi, u kompleks o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyasi bilan birgalikda topologiya - fazo va uning xususiyatlari haqidagi fanga katta hissa qo'shdi.

Differensial tenglamalar nima?

Ko'p odamlar bir iboradan qo'rqishadi, ammo bu maqolada biz ushbu juda foydali matematik apparatning mohiyatini batafsil bayon qilamiz, bu aslida nomidan ko'rinadigan darajada murakkab emas. Birinchi tartibli differensial tenglamalar haqida gapirishni boshlash uchun, avvalo, ushbu ta'rif bilan bog'liq bo'lgan asosiy tushunchalar bilan tanishishingiz kerak. Va biz differentsialdan boshlaymiz.

Differensial

Ko'pchilik bu tushunchani maktabdan beri bilishadi. Biroq, keling, buni batafsil ko'rib chiqaylik. Funksiya grafigini tasavvur qiling. Biz uni shu darajada oshirishimiz mumkinki, uning har qanday segmenti to'g'ri chiziq shaklini oladi. Keling, bir-biriga cheksiz yaqin bo'lgan ikkita nuqtani olaylik. Ularning koordinatalari (x yoki y) orasidagi farq cheksiz kichik bo'ladi. U differensial deb ataladi va dy (y ning differentsial) va dx (x ning differentsial) belgilari bilan belgilanadi. Differensial chekli miqdor emasligini tushunish juda muhim va bu uning ma'nosi va asosiy vazifasidir.

Endi biz keyingi elementni ko'rib chiqishimiz kerak, bu biz uchun differentsial tenglama tushunchasini tushuntirishda foydali bo'ladi. Bu hosiladir.

Hosil

Biz hammamiz bu tushunchani maktabda eshitganmiz. Hosila deb funktsiyaning ortishi yoki kamayish tezligi deyiladi. Biroq, bu ta'rifdan ko'p narsa noaniq bo'lib qoladi. Keling, hosilani differentsiallar orqali tushuntirishga harakat qilaylik. Bir-biridan minimal masofada joylashgan ikkita nuqtali funksiyaning cheksiz kichik segmentiga qaytaylik. Ammo bu masofada ham funktsiya ma'lum miqdorda o'zgarishi mumkin. Va bu o'zgarishni tasvirlash uchun ular hosila bilan kelishdi, aks holda uni differentsiallar nisbati sifatida yozish mumkin: f(x)"=df/dx.

Endi lotinning asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqishga arziydi. Ulardan faqat uchtasi bor:

1. Yig'indi yoki farqning hosilasi hosilalarning yig'indisi yoki farqi sifatida ifodalanishi mumkin: (a+b)"=a"+b" va (a-b)"=a"-b".
2. Ikkinchi xususiyat ko'paytirish bilan bog'liq. Ko‘paytmaning hosilasi bir funktsiyaning hosilasi bilan boshqa funksiyaning hosilasi yig‘indisidir: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Farqning hosilasini quyidagi tenglik shaklida yozish mumkin: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Bu xususiyatlarning barchasi biz uchun birinchi tartibli differensial tenglamalar yechimini topishda foydali bo'ladi.

Qisman hosilalari ham bor. Aytaylik, bizda x va y o‘zgaruvchilarga bog‘liq bo‘lgan z funksiyasi bor. Bu funktsiyaning qisman hosilasini hisoblash uchun, aytaylik, x ga nisbatan, biz y o'zgaruvchini doimiy sifatida qabul qilishimiz va oddiygina farqlashimiz kerak.

Integral

Yana bir muhim tushuncha - bu integral. Aslida, bu lotinning mutlaqo teskarisidir. Bir necha turdagi integrallar mavjud, ammo eng oddiy differentsial tenglamalarni echish uchun bizga eng ahamiyatsizlari kerak.

Deylik, f ning x ga qandaydir bog'liqligi bor. Undan integralni olamiz va hosilasi asl funktsiyaga teng bo'lgan F(x) funksiyani olamiz (ko'pincha antiderivativ deb ataladi). Shunday qilib, F(x)"=f(x). Bundan ham hosilaning integrali asl funktsiyaga teng ekanligi kelib chiqadi.

Differensial tenglamalarni echishda integralning ma'nosi va funktsiyasini tushunish juda muhim, chunki yechimni topish uchun ularni tez-tez qabul qilish kerak bo'ladi.

Tenglamalar tabiatiga qarab farqlanadi. Keyingi bo‘limda biz birinchi tartibli differensial tenglamalar turlarini ko‘rib chiqamiz, so‘ngra ularni yechish usullarini o‘rganamiz.

Differensial tenglamalar sinflari

"Diffurs" ularda ishtirok etgan hosilalarning tartibiga ko'ra bo'linadi. Shunday qilib, birinchi, ikkinchi, uchinchi va undan ko'p tartib mavjud. Ularni bir necha sinflarga ham ajratish mumkin: oddiy va qisman hosilalar.

Ushbu maqolada biz birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz quyidagi bo'limlarda misollar va ularni hal qilish usullarini muhokama qilamiz. Biz faqat ODElarni ko'rib chiqamiz, chunki bu tenglamalarning eng keng tarqalgan turlari. Oddiy bo'lganlar kichik turlarga bo'linadi: ajratiladigan o'zgaruvchilar bilan, bir hil va heterojen. Keyinchalik, ular bir-biridan qanday farq qilishini bilib olasiz va ularni qanday hal qilishni o'rganasiz.

Bundan tashqari, bu tenglamalar birlashtirilishi mumkin, shunda biz birinchi tartibli differensial tenglamalar tizimiga ega bo'lamiz. Shuningdek, biz bunday tizimlarni ko'rib chiqamiz va ularni qanday hal qilishni o'rganamiz.

Nima uchun biz faqat birinchi tartibni ko'rib chiqamiz? Chunki siz oddiy narsadan boshlashingiz kerak va differentsial tenglamalar bilan bog'liq hamma narsani bitta maqolada tasvirlab berishning iloji yo'q.

Ajraladigan tenglamalar

Bular, ehtimol, eng oddiy birinchi tartibli differentsial tenglamalardir. Bularga quyidagicha yozish mumkin bo'lgan misollar kiradi: y"=f(x)*f(y). Bu tenglamani yechish uchun hosilani differentsiallar nisbati sifatida ifodalash formulasi kerak: y"=dy/dx. Undan foydalanib, quyidagi tenglamani olamiz: dy/dx=f(x)*f(y). Endi biz standart misollarni yechish usuliga murojaat qilishimiz mumkin: biz o'zgaruvchilarni qismlarga ajratamiz, ya'ni y o'zgaruvchisi bo'lgan hamma narsani dy joylashgan qismga o'tkazamiz va x o'zgaruvchisi bilan ham xuddi shunday qilamiz. dy/f(y)=f(x)dx ko’rinishdagi tenglamani olamiz, u har ikki tomonning integrallarini olish yo’li bilan yechiladi. Integralni olgandan keyin o'rnatilishi kerak bo'lgan doimiy haqida unutmang.

Har qanday "diffure" ning yechimi x ning y ga bog'liqligi funktsiyasidir (bizning holatlarimizda) yoki agar raqamli shart mavjud bo'lsa, u holda raqam ko'rinishidagi javob. Keling, ko'rib chiqaylik aniq misol butun yechim:

O'zgaruvchilarni turli yo'nalishlarda harakatlantiramiz:

Endi integrallarni olaylik. Ularning barchasini integrallarning maxsus jadvalida topish mumkin. Va biz olamiz:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Agar kerak bo'lsa, biz "y" ni "x" funktsiyasi sifatida ifodalashimiz mumkin. Endi shart ko'rsatilmagan bo'lsa, differentsial tenglamamiz yechilgan deb aytishimiz mumkin. Shartni belgilash mumkin, masalan, y(n/2)=e. Keyin biz ushbu o'zgaruvchilarning qiymatlarini yechimga almashtiramiz va doimiy qiymatni topamiz. Bizning misolimizda bu 1.

Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalar

Endi qiyinroq qismga o'tamiz. Bir hil birinchi tartibli differensial tenglamalarni yozish mumkin umumiy ko'rinish shunday: y"=z(x,y). Shuni ta'kidlash kerakki, ikkita o'zgaruvchining to'g'ri funktsiyasi bir hil bo'lib, uni ikkita bog'liqlikka bo'lib bo'lmaydi: x ga z va yga z. Buni tekshirish juda oddiy. tenglama bir jinsli yoki yo'q: biz x=k*x va y=k*y ni o'zgartiramiz oldinda, biz aytamiz: bu misollarni hal qilish printsipi ham juda oddiy.

Biz almashtirishni amalga oshirishimiz kerak: y=t(x)*x, bu erda t - x ga ham bog'liq bo'lgan ma'lum funktsiya. Keyin hosilani ifodalashimiz mumkin: y"=t"(x)*x+t. Bularning barchasini asl tenglamamizga qo'yib, uni soddalashtirib, biz ajratiladigan t va x o'zgaruvchilari bilan misol olamiz. Biz uni hal qilamiz va t(x) bog'liqligini olamiz. Biz uni olganimizda, biz shunchaki y = t (x) * x ni oldingi almashtirishimizga almashtiramiz. Keyin y ning x ga bog'liqligini olamiz.

Buni aniqroq qilish uchun misolni ko'rib chiqamiz: x*y"=y-x*e y/x .

O'zgartirish bilan tekshirishda hamma narsa kamayadi. Bu tenglama haqiqatan ham bir hil ekanligini anglatadi. Endi biz gaplashgan boshqa almashtirishni amalga oshiramiz: y=t(x)*x va y"=t"(x)*x+t(x). Soddalashtirgandan so'ng quyidagi tenglamani olamiz: t"(x)*x=-e t. Olingan misolni ajratilgan o'zgaruvchilar bilan yechamiz va olamiz: e -t =ln(C*x). Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - almashtirish. t y/x bilan (axir, agar y =t*x bo'lsa, u holda t=y/x) va biz javobni olamiz: e -y/x =ln(x*C).

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar

Yana bir keng mavzuni ko'rib chiqish vaqti keldi. Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalarni tahlil qilamiz. Ular oldingi ikkitasidan qanday farq qiladi? Keling, buni aniqlaylik. Umumiy shakldagi birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni quyidagicha yozish mumkin: y" + g(x)*y=z(x). z(x) va g(x) doimiy kattaliklar bo'lishi mumkinligini aniqlab olish maqsadga muvofiqdir.

Va endi misol: y" - y*x=x 2 .

Ikkita yechim bor va biz ikkalasini ham tartibda ko'rib chiqamiz. Birinchisi, ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli.

Tenglamani shu tarzda echish uchun siz avval o'ng tomonni nolga tenglashtirishingiz va hosil bo'lgan tenglamani echishingiz kerak, bu qismlarni o'tkazgandan so'ng quyidagi shaklni oladi:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Endi C 1 doimiysini v(x) funksiyasi bilan almashtirishimiz kerak, uni topishimiz kerak.

Keling, hosilani almashtiramiz:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Va bu ifodalarni asl tenglamaga almashtiring:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2.

Chap tomonda ikkita shart bekor qilinganini ko'rishingiz mumkin. Agar biron bir misolda bu sodir bo'lmagan bo'lsa, unda siz noto'g'ri ish qildingiz. Davom etaylik:

v"*e x2/2 = x 2.

Endi biz o'zgaruvchilarni ajratishimiz kerak bo'lgan odatiy tenglamani echamiz:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Integralni olish uchun biz bu erda qismlar bo'yicha integratsiyani qo'llashimiz kerak. Biroq, bu bizning maqolamizning mavzusi emas. Agar siz qiziqsangiz, bunday harakatlarni o'zingiz qanday qilishni o'rganishingiz mumkin. Bu qiyin emas va etarli mahorat va ehtiyotkorlik bilan ko'p vaqt talab qilmaydi.

Keling, bir jinsli bo'lmagan tenglamalarni yechishning ikkinchi usuliga murojaat qilaylik: Bernulli usuli. Qaysi yondashuv tezroq va osonroq bo'lsa, o'zingiz qaror qilasiz.

Demak, bu usul yordamida tenglamani yechishda almashtirishni amalga oshirishimiz kerak: y=k*n. Bu erda k va n ba'zi x ga bog'liq funktsiyalardir. Keyin hosila quyidagicha ko'rinadi: y"=k"*n+k*n". Har ikkala almashtirishni tenglamaga almashtiramiz:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Guruhlash:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Endi biz qavs ichidagi narsani nolga tenglashtirishimiz kerak. Endi, agar ikkita natijaviy tenglamani birlashtirsak, biz echilishi kerak bo'lgan birinchi tartibli differentsial tenglamalar tizimini olamiz:

Birinchi tenglikni oddiy tenglama sifatida yechamiz. Buning uchun siz o'zgaruvchilarni ajratishingiz kerak:

Biz integralni olamiz va olamiz: ln(n)=x 2 /2. Agar n ni ifodalasak:

Endi biz hosil bo'lgan tenglikni tizimning ikkinchi tenglamasiga almashtiramiz:

k"*e x2/2 =x 2 .

Va o'zgartirib, biz birinchi usuldagi kabi tenglikni olamiz:

dk=x 2 /e x2/2 .

Bundan tashqari, biz keyingi harakatlarni muhokama qilmaymiz. Aytish joizki, birinchi tartibli differensial tenglamalarni yechishda dastlab katta qiyinchiliklar yuzaga keladi. Biroq, mavzuga chuqurroq kirib borish bilan u yaxshiroq va yaxshiroq ishlay boshlaydi.

Differensial tenglamalar qayerda ishlatiladi?

Differensial tenglamalar fizikada juda faol qo'llaniladi, chunki deyarli barcha asosiy qonunlar differentsial shaklda yozilgan va biz ko'rib turgan formulalar bu tenglamalarning echimlari. Kimyoda ular xuddi shu sababga ko'ra qo'llaniladi: asosiy qonunlar ularning yordami bilan chiqariladi. Biologiyada differensial tenglamalar yirtqich va o'lja kabi tizimlarning xatti-harakatlarini modellashtirish uchun ishlatiladi. Ular, masalan, mikroorganizmlar koloniyasining ko'payish modellarini yaratish uchun ham ishlatilishi mumkin.

Differensial tenglamalar hayotda qanday yordam berishi mumkin?

Bu savolga javob oddiy: umuman emas. Agar siz olim yoki muhandis bo'lmasangiz, unda ular siz uchun foydali bo'lishi dargumon. Biroq uchun umumiy rivojlanish Differensial tenglama nima ekanligini va u qanday yechilishini bilish zarar qilmaydi. Va keyin o'g'il yoki qizning savoli "differensial tenglama nima?" sizni chalg'itmaydi. Xo'sh, agar siz olim yoki muhandis bo'lsangiz, unda har qanday fanda ushbu mavzuning ahamiyatini o'zingiz tushunasiz. Ammo eng muhimi shundaki, endi "birinchi tartibli differensial tenglamani qanday yechish kerak?" har doim javob berishingiz mumkin. Qabul qiling, odamlar hatto tushunishdan qo'rqadigan narsani tushunsangiz, har doim yoqimli.

O'qishdagi asosiy muammolar

Ushbu mavzuni tushunishdagi asosiy muammo - bu funktsiyalarni integratsiyalash va farqlashda zaif mahorat. Agar siz hosilalar va integrallarni yaxshi bilmasangiz, unda ko'proq o'rganish, integratsiya va differentsiatsiyaning turli usullarini o'zlashtirish va shundan keyingina maqolada tasvirlangan materialni o'rganishni boshlash kerak.

Ba'zi odamlar dx ni o'tkazish mumkinligini bilib hayron qolishadi, chunki ilgari (maktabda) dy/dx kasr bo'linmas ekani aytilgan edi. Bu erda lotin haqidagi adabiyotlarni o'qib chiqishingiz va bu tenglamalarni echishda manipulyatsiya qilinishi mumkin bo'lgan cheksiz kichik miqdorlarning nisbati ekanligini tushunishingiz kerak.

Ko'pchilik birinchi tartibli differensial tenglamalarni yechish ko'pincha qabul qilib bo'lmaydigan funksiya yoki integral ekanligini darhol anglamaydi va bu noto'g'ri tushuncha ularga juda ko'p muammolarni keltirib chiqaradi.

Yaxshiroq tushunish uchun yana nimani o'rganishingiz mumkin?

Differensial hisoblash dunyosiga yanada chuqurroq kirishni maxsus darsliklar bilan boshlash yaxshidir, masalan, matematik tahlil matematik bo'lmagan mutaxassisliklar talabalari uchun. Keyin ko'proq maxsus adabiyotga o'tishingiz mumkin.

Aytish joizki, differentsial tenglamalarga qo'shimcha ravishda, integral tenglamalar ham mavjud, shuning uchun sizda doimo intiladigan narsa va o'rganish kerak bo'lgan narsa bo'ladi.

Xulosa

Umid qilamizki, ushbu maqolani o'qib chiqqandan so'ng siz differentsial tenglamalar nima ekanligini va ularni qanday qilib to'g'ri echish haqida tasavvurga ega bo'lasiz.

Har holda, matematika hayotda bizga qandaydir tarzda foydali bo'ladi. Bu mantiq va e'tiborni rivojlantiradi, ularsiz har bir inson qo'lsiz.

Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglama shakldagi tenglamadir
, bu erda f - funktsiya.

Bir jinsli differensial tenglama qanday aniqlanadi

Birinchi tartibli differentsial tenglamaning bir jinsli ekanligini aniqlash uchun doimiy t kiritib, y ni ty bilan, x ni tx bilan almashtirish kerak: y → ty, x → tx. Agar t bekor qilsa, bu bir jinsli differensial tenglama
.

. Bu transformatsiya bilan y' hosilasi o'zgarmaydi.

Misol

Berilgan tenglamaning bir jinsli ekanligini aniqlang

Yechim


Biz y → ty, x → tx almashtirishni amalga oshiramiz. 2 .

.
t ga bo'ling

Tenglama t ni o'z ichiga olmaydi.

Shuning uchun bu bir hil tenglama.
Bir jinsli differensial tenglamani yechish usuli
Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglama y = ux almashtirish yordamida ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega tenglamaga keltiriladi.
Keling, ko'rsataylik. Tenglamani ko'rib chiqing:
(i)
Keling, almashtirishni amalga oshiramiz:
y = ux, Bir jinsli differensial tenglamani yechish usuli.
,
,
bu yerda u x ning funksiyasi. .
X ga nisbatan farqlang: y' =.

Asl tenglamaga almashtiring (ii) Keling, o'zgaruvchilarni ajratamiz. dx ga ko'paytiring va x ga bo'ling 0 ( f(u) - u )

f da

(u) - u ≠ 0 Bir jinsli differensial tenglamani yechish usuli va x ≠

olamiz: Keling, integratsiya qilaylik: Shunday qilib, biz tenglamaning umumiy integralini oldik

kvadratlarda: C integrallash konstantasini ga almashtiramiz doimiy C belgisini tanlash bilan aniqlanadi.

Keyin umumiy integral quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: Keyinchalik f ishni ko'rib chiqishimiz kerak.
(u) - u = 0 bu yerda u x ning funksiyasi. Agar bu tenglamaning ildizlari bo'lsa, ular tenglamaning yechimidir bu yerda u x ning funksiyasi.. Eq. Bir jinsli differensial tenglamani yechish usuli.

asl tenglamaga to'g'ri kelmasa, qo'shimcha echimlar asl tenglamani qondirishiga ishonch hosil qilishingiz kerak. Har doim o'zgartirish jarayonida har qanday tenglamani qandaydir funktsiyaga ajratamiz, biz uni g deb belgilaymiz(x, y) , keyin keyingi transformatsiyalar g uchun amal qiladi(x, y) ≠ 0 ..

Shuning uchun g ishi alohida ko'rib chiqilishi kerak

(x, y) = 0

Berilgan tenglamaning bir jinsli ekanligini aniqlang

Bir jinsli birinchi tartibli differensial tenglamani yechishga misol
,
,
.
Tenglamani yeching

Keling, bu tenglama bir jinsli yoki yo'qligini tekshiramiz. Biz y → ty, x → tx almashtirishni amalga oshiramiz.

Bunday holda, y' → y'.
Keling, almashtirishni amalga oshiramiz: Biz uni t ga qisqartiramiz.
t doimiysi kamaydi. Shuning uchun tenglama bir hil.
,
,
,
.
Biz y = ux almashtirishni qilamiz, bu erda u x ning funktsiyasidir. 0 (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u 0 Asl tenglamaga almashtiring. 0 qachon x ≥ 0 .
,
, |x| = x.

qachon x ≤ 2 - 1 ≠ 0 , |x| = - x.

f da

Biz |x| yozamiz = x yuqori belgi x ≥ qiymatlariga ishora qilishini anglatadi
.

, va pastki - x ≤ qiymatlariga
dx ga ko'paytiring va ga bo'ling..
Qachon u
.
bizda ... bor:
.
Jadval integrallari,
.

Keling, formulani qo'llaymiz:
,
.
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2

a = u, ni qo'yaylik.
,
.
Keling, ikkala tomonni modul va logarifmlashtiramiz,
,
,
.

Bu yerdan 2 - 1 = 0 .
Shunday qilib, bizda:
.
Biz modul belgisini qoldiramiz, chunki kerakli belgi C doimiysining belgisini tanlash bilan ta'minlanadi.

x ga ko'paytiring va ux = y o'rniga qo'ying.

,
,
.

Uni kvadratga aylantiring.
Endi ishni ko'rib chiqing, u

Bu tenglamaning ildizlari y = x funktsiyalari dastlabki tenglamani qanoatlantirishini tekshirish oson. Javob.
Foydalanilgan adabiyotlar: N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Oliy matematika bo'yicha muammolar to'plami, "Lan", 2003 yil. Bir jinsli differensial tenglamalar misollariga tayyor javoblar

Ko'pgina talabalar birinchi tartibni qidirmoqdalar (1-darajali nazoratchilar o'qitishda eng keng tarqalgan), keyin siz ularni batafsil tahlil qilishingiz mumkin. Ammo misollarga o'tishdan oldin, qisqacha ma'lumotni diqqat bilan o'qib chiqishingizni tavsiya qilamiz

nazariy material
2. Ko'paytmaning hosilasi y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z ga teng yoki dy=d(zx)=z*dx+ differensiallarda. x*dz.
3. Keyin yangi y funksiya va uning hosilasi y" (yoki dy) ni quyidagiga almashtiramiz. Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan DE x va z ga nisbatan.
4. Ajraladigan o‘zgaruvchilar bilan differensial tenglamani yechib, teskari o‘zgarishni y=z*x, demak, z= y/x hosil qilamiz va hosil bo‘ladi. differensial tenglamaning umumiy yechimi (umumiy integral)..
5. Agar y(x 0)=y 0 boshlang‘ich sharti berilgan bo‘lsa, u holda Koshi masalasining muayyan yechimini topamiz. Nazariy jihatdan bu oson tuyuladi, lekin amalda differensial tenglamalarni yechish hamma ham unchalik qiziq emas. Shuning uchun, bilimimizni chuqurlashtirish uchun umumiy misollarni ko'rib chiqaylik. Sizga oson vazifalar haqida o'rgatish uchun ko'p narsa yo'q, shuning uchun keling, murakkabroq narsalarga o'tamiz.

Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalarni hisoblash

1-misol.

Yechish: Tenglamaning o‘ng tomonini hosila yonidagi omil bo‘lgan o‘zgaruvchiga bo‘ling. Natijada biz yetib boramiz 0-tartibli bir jinsli differensial tenglama

Va bu erda, ehtimol, ko'pchilik qiziqish uyg'otdi, bir jinsli tenglama funksiyasining tartibi qanday aniqlanadi?
Savol juda dolzarb va unga javob quyidagicha:
o'ng tomonda funksiya va argument o'rniga t*x, t*y qiymatini almashtiramiz. Soddalashtirganda, "t" parametri ma'lum darajada k ga olinadi, bu tenglama tartibi deb ataladi. Bizning holatda, "t" kamayadi, bu 0-chi darajaga teng yoki bir jinsli tenglamaning nol tartibi.
Keyinchalik, o'ng tomonda biz yangi o'zgaruvchiga o'tishimiz mumkin y=zx; z=y/x.
Shu bilan birga, "y" ning hosilasini yangi o'zgaruvchining hosilasi orqali ifodalashni unutmang. Qismlar qoidasiga ko'ra biz topamiz

Differensiallardagi tenglamalar shaklni oladi

Biz o'ng va chap tomonlardagi umumiy shartlarni bekor qilamiz va davom etamiz ajratilgan o'zgaruvchilar bilan differentsial tenglama.

Keling, DE ning ikkala tomonini birlashtiraylik

Keyingi o'zgarishlarning qulayligi uchun biz darhol logarifm ostidagi doimiyni kiritamiz

Logarifmlarning xossalariga ko'ra, hosil bo'lgan logarifmik tenglama quyidagiga ekvivalentdir.

Bu yozuv hali yechim (javob) emas, o'zgaruvchilarni bajarilgan almashtirishga qaytish kerak;

Shu tarzda ular topadilar differensial tenglamalarning umumiy yechimi. Agar siz oldingi darslarni diqqat bilan o'qib chiqqan bo'lsangiz, unda siz ajratilgan o'zgaruvchilar bilan tenglamalarni hisoblash sxemasidan erkin foydalana olishingiz kerakligini aytdik va bu turdagi tenglamalarni masofadan boshqarishning yanada murakkab turlari uchun hisoblash kerak bo'ladi.

2-misol. Differensial tenglamaning integralini toping

Yechish: Bir hil va birlashtirilgan boshqaruv tizimlarini hisoblash sxemasi endi sizga tanish. Biz o'zgaruvchini tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazamiz, shuningdek, umumiy omil sifatida hisoblagich va maxrajdagi x 2 ni chiqaramiz.

Shunday qilib, biz nol tartibli bir hil differentsial tenglamani olamiz.
Keyingi qadam z=y/x, y=z*x o‘zgaruvchilari o‘rnini bosishni joriy qilish bo‘lib, biz buni eslab qolishingiz uchun doimo eslatib turamiz.

Shundan so'ng biz masofadan boshqarish pultini differentsiallarga yozamiz

Keyinchalik qaramlikni ga aylantiramiz ajratilgan o'zgaruvchilar bilan differentsial tenglama

va biz uni integratsiya orqali hal qilamiz.

Integrallar oddiy, qolgan o'zgartirishlar logarifmning xossalari asosida amalga oshiriladi. Oxirgi bosqich logarifmni ochishni o'z ichiga oladi. Nihoyat, biz asl almashtirishga qaytamiz va uni shaklga yozamiz

"C" doimiysi har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin. Sirtqi yo‘lda o‘qiydigan har bir kishi imtihonlarda bu turdagi tenglamalar bilan bog‘liq muammolarga duch keladi, shuning uchun diqqat bilan qarang va hisoblash sxemasini eslab qoling.

3-misol. Differensial tenglamani yeching

Yechish: Yuqoridagi metodologiyadan kelib chiqqan holda, bu turdagi differensial tenglamalar yechiladi yangi o'zgaruvchini kiritish orqali. Keling, bog'liqlikni shunday yozamizki, hosila o'zgaruvchisiz bo'ladi

Bundan tashqari, o'ng tomonni tahlil qilib, biz -ee fragmenti hamma joyda mavjudligini ko'ramiz va uni yangi noma'lum sifatida belgilaymiz.
z=y/x, y=z*x.
Y ning hosilasini topish

O'zgartirishni hisobga olgan holda, biz asl DEni shaklga qayta yozamiz

Biz bir xil atamalarni soddalashtiramiz va barcha hosil bo'lganlarni DE ga qisqartiramiz ajratilgan o'zgaruvchilar bilan

Tenglikning ikkala tomonini birlashtirish orqali

logarifmlar shaklida yechimga kelamiz

Biz topadigan bog'liqliklarni fosh qilish orqali differensial tenglamaning umumiy yechimi

o'zgaruvchilarning dastlabki o'zgarishini unga almashtirgandan so'ng, shaklni oladi

Bu erda C doimiy Koshi shartidan aniqlanishi mumkin. Agar Koshi muammosi ko'rsatilmagan bo'lsa, u ixtiyoriy haqiqiy qiymatni oladi.
Bir jinsli differensial tenglamalar hisobidagi barcha donolik shundan iborat.

Bir hil

Ushbu darsda biz deb ataladigan narsalarni ko'rib chiqamiz birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalar. Bilan birga ajraladigan tenglamalar Va chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalar bu turdagi masofadan boshqarish pulti deyarli har qanday qurilmada mavjud sinov ishi diffuzorlar mavzusida. Agar siz sahifaga qidiruv tizimidan kelgan bo'lsangiz yoki differentsial tenglamalarni tushunishga ishonchingiz komil bo'lmasa, avval ushbu mavzu bo'yicha kirish darsi bilan ishlashni tavsiya qilaman - Birinchi tartibli differensial tenglamalar. Haqiqat shundaki, bir hil tenglamalarni echishning ko'plab printsiplari va qo'llaniladigan usullar ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega eng oddiy tenglamalar bilan bir xil bo'ladi.

Bir jinsli differensial tenglamalarning boshqa turdagi differentsial tenglamalardan farqi nimada? Buni darhol tushuntirishning eng oson yo'li aniq bir misoldir.

1-misol

Yechim:
Nima Birinchidan qaror qabul qilishda tahlil qilish kerak har qanday differensial tenglama birinchi buyurtma? Avvalo, "maktab" harakatlari yordamida o'zgaruvchilarni darhol ajratish mumkinligini tekshirish kerakmi? Odatda bu tahlil aqliy yoki qoralamadagi o'zgaruvchilarni ajratishga urinish orqali amalga oshiriladi.

Ushbu misolda o'zgaruvchilarni ajratib bo'lmaydi(siz atamalarni qismdan qismga tashlashga, qavs ichidan omillarni ko'tarishga harakat qilishingiz mumkin va hokazo). Aytgancha, ushbu misolda o'zgaruvchilarni bo'linib bo'lmasligi ko'paytirgich mavjudligi sababli juda aniq.

Savol tug'iladi: bu tarqoq muammoni qanday hal qilish kerak?

Tekshirish kerak va Bu tenglama bir hil emasmi?? Tekshirish oddiy va tekshirish algoritmining o'zi quyidagicha shakllantirilishi mumkin:

Asl tenglamaga:

o'rniga almashtiramiz, o'rniga almashtiramiz, biz hosilaga tegmaymiz:

Lambda harfi shartli parametr bo'lib, bu erda u quyidagi rol o'ynaydi: agar transformatsiyalar natijasida BARCHA lambdalarni "yo'q qilish" va asl tenglamani olish mumkin bo'lsa, u holda bu differentsial tenglama bir hil bo'ladi.

Ko'rinib turibdiki, lambdalar darhol eksponent tomonidan qisqartiriladi:

Endi o'ng tomonda biz lambdani qavslardan chiqaramiz:

va ikkala qismni bir xil lambda bilan ajrating:

Natijada Hammasi Lambdalar tush kabi, ertalabki tuman kabi g'oyib bo'ldi va biz asl tenglamani oldik.

Xulosa: Bu tenglama bir hil

Bir jinsli differensial tenglamani qanday yechish mumkin?

Menda juda yaxshi xabar bor. Mutlaqo barcha bir hil tenglamalarni bitta (!) standart almashtirish yordamida yechish mumkin.

"O'yin" funktsiyasi bo'lishi kerak almashtiring ish ba'zi funktsiya (shuningdek, "x" ga bog'liq) va "x":

Ular deyarli har doim qisqacha yozadilar:

Bunday almashtirish bilan hosila nimaga aylanishini bilib olamiz, mahsulotni farqlash qoidasidan foydalanamiz. Agar bo'lsa, unda:

Biz asl tenglamani almashtiramiz:

Bunday almashtirish nima beradi? Bu almashtirish va soddalashtirishlardan so'ng, biz kafolatlangan ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega bo'lgan tenglamani olamiz. ESLAT birinchi sevgi kabi :) va shunga mos ravishda.

O'zgartirishdan so'ng biz maksimal soddalashtirishni amalga oshiramiz:

Funktsiya "x" ga bog'liq bo'lganligi sababli, uning hosilasi standart kasr sifatida yozilishi mumkin: .
Shunday qilib:

Biz o'zgaruvchilarni ajratamiz, chap tomonda siz faqat "te" ni, o'ng tomonda esa faqat "x" ni to'plashingiz kerak:

O'zgaruvchilar ajratilgan, keling, integratsiya qilaylik:


Maqoladagi birinchi texnik maslahatimga ko'ra Birinchi tartibli differensial tenglamalar, ko'p hollarda doimiyni logarifm shaklida "formulalash" tavsiya etiladi.

Tenglama integrallashgandan so'ng, biz bajarishimiz kerak teskari almashtirish, u ham standart va noyobdir:
Agar , keyin
IN Ushbu holatda:

20 ta holatdan 18-19 ta holatda bir jinsli tenglamaning yechimi umumiy integral sifatida yoziladi..

Javob: umumiy integral:

Nima uchun bir jinsli tenglamaning javobi deyarli har doim umumiy integral shaklida beriladi?
Ko'pgina hollarda, "o'yin" ni aniq ifodalash (umumiy yechimni olish uchun) mumkin emas va agar iloji bo'lsa, ko'pincha umumiy yechim noqulay va noqulay bo'lib chiqadi.

Shunday qilib, masalan, ko'rib chiqilgan misolda, umumiy integralning har ikki tomonidagi logarifmlarni tortish orqali umumiy yechimni olish mumkin:

- Mayli, hammasi joyida. Garchi, tan olishingiz kerak, u hali ham biroz egri.

Aytgancha, bu misolda men umumiy integralni unchalik "loyiq" yozmadim. Bu xato emas, lekin "yaxshi" uslubda, umumiy integral odatda shaklda yozilishini eslatib o'taman. Buning uchun tenglamani integrallashdan so'ng darhol doimiyni logarifmsiz yozish kerak (Mana bu qoidadan istisno!):

Va teskari almashtirishdan keyin "klassik" shaklda umumiy integralni oling:

Qabul qilingan javobni tekshirish mumkin. Buning uchun umumiy integralni farqlash, ya'ni topish kerak aniq belgilangan funktsiyaning hosilasi:

Tenglamaning har bir tomonini quyidagiga ko'paytirish orqali kasrlardan qutulamiz:

Asl differensial tenglama olindi, bu yechim to'g'ri topilganligini bildiradi.

Har doim tekshirish tavsiya etiladi. Ammo bir hil tenglamalar yoqimsiz, chunki ularning umumiy integrallarini tekshirish odatda qiyin - bu juda va juda munosib farqlash texnikasini talab qiladi. Ko'rib chiqilgan misolda, tekshirish paytida eng oddiy hosilalarni topmaslik kerak edi (garchi misolning o'zi juda oddiy bo'lsa ham). Agar tekshira olsangiz, tekshirib ko'ring!

Quyidagi misol uchun mustaqil qaror- harakatlar algoritmi bilan qulay bo'lishingiz uchun:

tenglamani chiziqli kiriting.

Tenglamaning bir jinsliligini tekshiring va uning umumiy integralini toping.

Javobni shaklda yozing , tekshirishni bajaring.

Bu erda ham juda oddiy tekshiruv bo'lib chiqdi.

Va endi mavzuning boshida aytib o'tilgan va'da qilingan muhim nuqta,
Men qalin qora harflar bilan ta'kidlayman:

Agar transformatsiyalar paytida biz multiplikatorni "qayta o'rnatamiz" (doimiy emas)maxrajga kirsak, biz yechimlarni yo'qotish XAVFI BO'LADI!

Va aslida, biz buni birinchi misolda uchratdik differensial tenglamalar haqida kirish darsi. Tenglamani echish jarayonida "y" maxrajda bo'lib chiqdi: , lekin, shubhasiz, DE ning yechimi va teng bo'lmagan transformatsiya (bo'linish) natijasida uni yo'qotish uchun barcha imkoniyatlar mavjud! Yana bir narsa shundaki, u umumiy yechimga doimiyning nol qiymatida kiritilgan. Maxrajdagi "X" ni qayta o'rnatish ham e'tibordan chetda qolishi mumkin, chunki original diffuzorni qoniqtirmaydi.

Xuddi shu darsning uchinchi tenglamasi bilan o'xshash hikoya, uni hal qilishda biz maxrajga "tushdik". To'g'risini aytganda, bu erda bu diffuzor yechimmi yoki yo'qligini tekshirish kerak edi? Axir, shunday! Ammo bu erda ham "hamma narsa yaxshi bo'ldi", chunki bu funktsiya umumiy integralga kiritilgan da.

Va agar bu ko'pincha "ajraladigan" tenglamalar bilan ishlayotgan bo'lsa, u holda bir hil va boshqa diffuzerlar bilan ishlamasligi mumkin. Katta ehtimol.

Keling, ushbu darsda hal qilingan muammolarni tahlil qilaylik: ichida 1-2 misollar X "qayta tiklash" ham xavfsiz bo'lib chiqdi, chunki va mavjud va shuning uchun bu yechim bo'lishi mumkin emasligi darhol ayon bo'ladi. Bundan tashqari, in 2-misol maxrajda bo'lib chiqdi va bu erda biz funksiyani yo'qotish xavfi bor edi, bu aniq tenglamani qondiradi . Biroq, bu erda ham u "o'tib ketdi", chunki ... u doimiyning nol qiymatida bosh integralga kirdi.

Lekin, albatta, men ataylab "baxtli vaziyatlarni" yaratdim va amalda bular duch kelishi haqiqat emas:

3-misol

Differensial tenglamani yeching

Bu oddiy misol emasmi? ;-)

Yechim: bu tenglamaning bir xilligi aniq, ammo baribir - birinchi qadamda Biz har doim o'zgaruvchilarni ajratish mumkinmi yoki yo'qligini tekshiramiz. Chunki tenglama ham bir hil, lekin undagi o'zgaruvchilar osongina ajratiladi. Ha, bunday narsalar bor!

"Ajralish" ni tekshirgandan so'ng, biz almashtiramiz va tenglamani iloji boricha soddalashtiramiz:

Biz o'zgaruvchilarni ajratamiz, chapda "te" va o'ngda "x" ni yig'amiz:

Va bu erda to'xtang. Bo'linishda biz bir vaqtning o'zida ikkita funktsiyani yo'qotish xavfi bor. Chunki, bu funksiyalar:

Birinchi funktsiya tenglamaning yechimi ekanligi aniq . Biz ikkinchisini tekshiramiz - biz uning hosilasini diffuzorimizga almashtiramiz:

– to‘g‘ri tenglik olinadi, bu funksiya ham yechim ekanligini bildiradi.

VA biz bu qarorlarni yo'qotish xavfi bor.

Bundan tashqari, denominator "X" bo'lib chiqdi va shuning uchun tekshirib ko'ring, asl differensial tenglamaning yechimi emas. Yo'q, unday emas.

Keling, bularning barchasiga e'tibor qaratamiz va davom etamiz:

Aytishim kerakki, men chap tomonning integrali bilan omadli edim, bundan ham yomoni bo'lishi mumkin.

Biz o'ng tomonda bitta logarifm yig'amiz va kishanlarni tashlaymiz:

Va endi faqat teskari almashtirish:

Keling, barcha shartlarni quyidagicha ko'paytiramiz:

Endi tekshirishingiz kerak - “xavfli” yechimlar umumiy integralga kiritilganmi. Ha, ikkala yechim ham doimiyning nol qiymatida umumiy integralga kiritilgan: , shuning uchun ularni qo'shimcha ravishda ko'rsatish shart emas. javob:

umumiy integral:

Imtihon. Hatto sinov ham emas, balki sof zavq :)

Asl differensial tenglama olindi, bu yechim to'g'ri topilganligini bildiradi.

Buni o'zingiz hal qilish uchun:

4-misol

Bir jinslilik testini bajaring va differentsial tenglamani yeching

Bosh integralni differentsiallash orqali tekshiring.

To'liq yechim va javob dars oxirida.

Keling, yana bir nechta odatiy misollarni ko'rib chiqaylik:

5-misol

Differensial tenglamani yeching

Yechim Biz uni yanada ixchamroq loyihalashga odatlanamiz. Birinchidan, aqliy yoki qoralama bo'yicha, biz bu erda o'zgaruvchilarni ajratib bo'lmasligiga ishonch hosil qilamiz, shundan so'ng biz bir xillik sinovini o'tkazamiz - bu odatda yakuniy qoralamada amalga oshirilmaydi. (agar alohida talab qilinmasa). Shunday qilib, yechim deyarli har doim yozuv bilan boshlanadi: " Bu tenglama bir hil, o'rnini almashtiramiz: ...».

O'zgartirish va biz kaltaklangan yo'ldan boramiz:

Bu erda "X" yaxshi, lekin kvadratik trinomial haqida nima deyish mumkin? U omillarga ajralmagani uchun: , u holda biz aniq echimlarni yo'qotmaymiz. Har doim shunday bo'lardi! Chap tarafdagi to'liq kvadratni tanlang va birlashtiring:

Bu erda soddalashtiradigan hech narsa yo'q va shuning uchun teskari almashtirish:

Javob: umumiy integral:

Mustaqil yechim uchun quyidagi misol:

6-misol

Differensial tenglamani yeching

Shunga o'xshash tenglamalar ko'rinadi, lekin yo'q - katta farq;)

Va endi o'yin-kulgi boshlanadi! Birinchidan, agar tayyor differentsiallar bilan bir hil tenglama berilgan bo'lsa, nima qilish kerakligini aniqlaymiz:

7-misol

Differensial tenglamani yeching

Bu juda qiziqarli misol, shunchaki butun triller!

Yechim: agar bir hil tenglama tayyor differentsiallarni o'z ichiga olsa, u holda uni o'zgartirilgan almashtirish yo'li bilan yechish mumkin:

Ammo men bunday almashtirishni qo'llashni tavsiya etmayman, chunki bu sizga ko'z va ko'z kerak bo'lgan Xitoy differentsiallarining Buyuk devori bo'lib chiqadi. Texnik nuqtai nazardan, buning uchun lotinning "chiziq" belgisiga o'tish afzalroqdir, biz tenglamaning ikkala tomonini quyidagicha ajratamiz:

Va bu erda biz allaqachon "xavfli" o'zgarishlarni amalga oshirdik! Nolinchi differentsial to'g'ri chiziqlar oilasiga to'g'ri keladi, o'qiga parallel. Ular bizning DUning ildizlarimi? Keling, asl tenglamaga almashtiramiz:

Bu tenglik to'g'ri bo'ladi, ya'ni bo'lishda biz yechimni yo'qotish xavfiga duch kelsak, va biz uni yo'qotdik- shundan beri endi qanoatlantirmaydi olingan tenglama .

Shuni ta'kidlash kerakki, agar biz dastlab tenglama berildi , keyin ildiz haqida hech qanday gap bo'lmaydi. Ammo bizda bor va biz uni o'z vaqtida ushladik.

Yechimni standart almashtirish bilan davom ettiramiz:
:

O'zgartirishdan so'ng biz tenglamani iloji boricha soddalashtiramiz:

Biz o'zgaruvchilarni ajratamiz:

Va bu erda yana STOP: bo'lishda biz ikkita funktsiyani yo'qotish xavfi bor. Chunki, bu funksiyalar:

Shubhasiz, birinchi funktsiya tenglamaning yechimidir . Biz ikkinchisini tekshiramiz - biz uning hosilasini ham almashtiramiz:

- qabul qilingan haqiqiy tenglik, ya’ni funksiya ham differensial tenglamaning yechimi hisoblanadi.

Va bo'linishda biz ushbu echimlarni yo'qotish xavfi bor. Biroq, ularni umumiy integralga kiritish mumkin. Ammo ular kirmasligi mumkin

Keling, bunga e'tibor qaratamiz va ikkala qismni birlashtiramiz:

Chap tomonning integrali standart usulda echiladi to'liq kvadratni ta'kidlash, lekin diffuzerlarda foydalanish ancha qulayroq noaniq koeffitsientlar usuli:

Noaniq koeffitsientlar usulidan foydalanib, biz integratsiyani elementar kasrlar yig'indisiga kengaytiramiz:


Shunday qilib:

Integrallarni topish:

- Biz faqat logarifmlarni chizganimiz uchun, biz ham logarifm ostidagi doimiyni itarib qo'yamiz.

O'zgartirishdan oldin yana soddalashtirilishi mumkin bo'lgan hamma narsani soddalashtirish:

Zanjirlarni qayta tiklash:

Va teskari almashtirish:

Endi "yo'qolgan narsalar" haqida eslaylik: yechim umumiy integralga kiritilgan edi , lekin u "kassa mashinasidan o'tib ketdi", chunki maxraj bo‘lib chiqdi. Shuning uchun, javobda u alohida ibora bilan taqdirlanadi va ha - yo'qolgan yechim haqida unutmang, aytmoqchi, u ham quyida bo'lib chiqdi.

Javob: umumiy integral: . Ko'proq yechimlar:

Bu erda umumiy yechimni ifodalash unchalik qiyin emas:
, lekin bu allaqachon namoyish.

Biroq, tekshirish uchun qulay. Keling, hosilani topamiz:

va almashtiring tenglamaning chap tomoniga:

- natijada tenglamaning o'ng tomoni olindi, bu tekshirilishi kerak bo'lgan narsa edi.

Endi ildizlarga ega bo'lgan izlanish, bu ham keng tarqalgan va juda makkor holat:

8-misol

Differensial tenglamani yeching

Yechim: Og'zaki ravishda tenglama bir hil ekanligiga ishonch hosil qiling va birinchi sevgini asl tenglamaga almashtiring:

Va bu erda bizni xavf allaqachon kutmoqda. Gap shundaki, va bu haqiqatni yo'qotish juda oson:

Baxtli reklama!

Yechimlar va javoblar:

2-misol: Yechim: Keling, tenglamani bir xillik uchun tekshiramiz, buning uchun asl tenglamada o'rniga keling, va ni almashtiramiz o'rniga almashtiramiz:

Natijada, dastlabki tenglama olinadi, ya'ni bu DE bir hil.