Agar barcha tomonlari ma'lum bo'lmasa, uchburchakning perimetrini qanday topish mumkin. To'g'ri burchakli uchburchak asosining perimetri hamma tomonlari ma'lum bo'lmasa, uchburchakning perimetrini qanday topish mumkin

To'g'ri burchakli uchburchak - bu burchaklardan biri 90 gradus, qolgan ikkitasi o'tkir burchaklardir. Bundaylarning perimetrini hisoblash uchburchak bu haqda ma'lum bo'lgan ma'lumotlar miqdoriga bog'liq bo'ladi.

Sizga kerak bo'ladi

• Ishga qarab, uchburchakning uch tomonining ikkitasini, shuningdek, uning o'tkir burchaklaridan birini bilish.

Ko'rsatmalar

• Usul 1. Agar uch tomon ham ma'lum bo'lsa uchburchak, keyin uchburchak to'g'ri burchakli uchburchakmi yoki yo'qligidan qat'iy nazar, uning perimetri quyidagicha hisoblanadi:
  P = a + b + c, bu erda, aytaylik,
  c - gipotenuza;
  a va b oyoqlardir.
• 2-usul. Agar to'rtburchakda faqat 2 tomoni ma'lum bo'lsa, Pifagor teoremasidan foydalanib, buning perimetri. uchburchak formula yordamida hisoblash mumkin:
  P = v(a2 + b2) + a + b, yoki
  P = v(c2 – b2) + b + c.
• 3-usul. To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuza c va o'tkir burchak berilgan bo'lsin, u holda perimetrni quyidagicha topish mumkin:
  P = (1 + gunoh? + cos?)*s.
• 4-usul. To'g'ri burchakli uchburchakda oyoqlardan birining uzunligi a ga teng, unga qarama-qarshi o'tkir burchak yotishi berilgan?. Keyin buning perimetrini hisoblash uchburchak formula bo'yicha amalga oshiriladi:
  P = a*(1/tg ? + 1/sin ? + 1)
• 5-usul. Bizga a tomoni va unga tutashgan burchakni bilamizmi?, keyin perimetr quyidagicha hisoblanadi:
  P = a*(1/stg ? + 1/cos ? + 1)

Perimetr - bu yassi (ikki o'lchovli) barcha tomonlarining uzunligini bildiruvchi miqdor. geometrik shakl. Turli geometrik shakllar uchun perimetrni topishning turli usullari mavjud.

Ushbu maqolada siz figuraning perimetrini uning ma'lum yuzlariga qarab turli yo'llar bilan topishni o'rganasiz.

Mumkin usullar:

• teng yonli yoki boshqa uchburchakning uch tomoni ham ma'lum;
• to'g'ri burchakli uchburchakning ikki ma'lum yuzi berilgan perimetrini qanday topish mumkin;
• ikki yuz va ular orasida joylashgan burchak ma'lum (kosinus formulasi)siz o'rta chiziq va balandliklar.

Birinchi usul: rasmning barcha tomonlari ma'lum

Uchburchakning har uch yuzi ma'lum bo'lsa, uning perimetrini qanday topish mumkin, siz quyidagi formuladan foydalanishingiz kerak: P = a + b + c, bu erda a,b,c uchburchakning barcha tomonlarining ma'lum uzunliklari, P - shaklning perimetri.

Masalan, rasmning uchta tomoni ma'lum: a = 24 sm, b = 24 sm, c = 24 sm Bu perimetrni hisoblash uchun biz formuladan foydalanamiz: P = 24 + 24 + 24 = 72 sm.

Ushbu formula har qanday uchburchak uchun ishlaydi., siz faqat uning barcha tomonlari uzunligini bilishingiz kerak. Agar ulardan kamida bittasi noma'lum bo'lsa, siz boshqa usullardan foydalanishingiz kerak, biz quyida muhokama qilamiz.

Yana bir misol: a = 15 sm, b = 13 sm, c = 17 sm perimetrni hisoblang: P = 15 + 13 + 17 = 45 sm.

Olingan javobda o'lchov birligini belgilash juda muhimdir. Bizning misollarimizda tomonlarning uzunligi santimetrda (sm) ko'rsatilgan, ammo boshqa o'lchov birliklari mavjud bo'lgan turli vazifalar mavjud.

Ikkinchi usul: to'g'ri burchakli uchburchak va uning ikkita ma'lum tomoni

Agar hal qilinishi kerak bo'lgan vazifaga ikkita yuzining uzunligi ma'lum bo'lgan, lekin uchinchisi bo'lmagan to'rtburchaklar shakl berilgan bo'lsa, Pifagor teoremasidan foydalanish kerak.

To'g'ri burchakli uchburchak yuzlari orasidagi munosabatni tasvirlaydi. Ushbu teorema tomonidan tasvirlangan formula geometriyada eng mashhur va eng ko'p ishlatiladigan teoremalardan biridir. Shunday qilib, teoremaning o'zi:

Har qanday to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari quyidagi tenglama bilan tavsiflanadi: a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, bu erda a va b - shaklning oyoqlari va c - gipotenuza.

• Gipotenuza. Har doim qarama-qarshidir to'g'ri burchak(90 daraja) va shuningdek, uchburchakning eng uzun qirrasi. Matematikada gipotenuzani c harfi bilan belgilash odatiy holdir.
• Oyoqlar- bular to'g'ri burchakli uchburchakning qirralari bo'lib, ular a va b harflari bilan belgilanadi. Oyoqlardan biri ham raqamning balandligi.

Shunday qilib, masalaning shartlarida bunday geometrik figuraning uchta yuzidan ikkitasining uzunligi aniqlansa, Pifagor teoremasidan foydalanib, uchinchi yuzning o'lchamini topish va keyin birinchi usuldagi formuladan foydalanish kerak.

Masalan, biz 2 oyoqning uzunligini bilamiz: a = 3 sm, b = 5 sm qiymatlarni teoremaga almashtiring: 3 ^ 2 + 4 ^ 2 = c ^ 2 => 9 + 16 = c ^ 2. => 25 = c ^2 => c = 5 sm Demak, bunday uchburchakning gipotenuzasi 5 sm. Aytgancha, bu misol eng keng tarqalgan va deyiladi. Boshqacha qilib aytganda, agar figuraning ikki oyog'i 3 sm va 4 sm bo'lsa, u holda gipotenuza mos ravishda 5 sm bo'ladi.

Agar oyoqlardan birining uzunligi noma'lum bo'lsa, formulani quyidagicha o'zgartirish kerak: c ^ 2 - a ^ 2 = b ^ 2. Va boshqa oyoq uchun aksincha.

Keling, misol bilan davom etaylik. Endi siz raqamning perimetrini topish uchun standart formulaga murojaat qilishingiz kerak: P = a + b + c. Bizning holatda: P = 3 + 4 + 5 = 12 sm.

Uchinchi usul: ikki yuz va ular orasidagi burchak bo'ylab

IN o'rta maktab, shuningdek, universitet, ko'pincha perimetrni topishning ushbu usuliga murojaat qilish kerak. Agar masala shartlari ikki tomonning uzunligini, shuningdek ular orasidagi burchakning o'lchamini ko'rsatsa, u holda kosinus teoremasidan foydalanishingiz kerak.

Bu teorema mutlaqo har qanday uchburchak uchun amal qiladi, bu uni geometriyada eng foydalilaridan biriga aylantiradi. Teoremaning o'zi quyidagicha ko'rinadi: c^2 = a^2 + b^2 – (2 * a * b * cos(C)), bu erda a,b,c - yuzlarning standart uzunliklari va A,B va C - uchburchakning mos keladigan yuzlariga qarama-qarshi yotadigan burchaklar. Ya'ni, A - a tomoniga qarama-qarshi burchak va hokazo.

Tasavvur qilaylik, uchburchak tasvirlangan, uning a va b tomonlari mos ravishda 100 sm va 120 sm, ular orasidagi burchak esa 97 gradus. Ya'ni, a = 100 sm, b = 120 sm, C = 97 daraja.

Siz qilishingiz kerak bo'lgan hamma narsa Ushbu holatda barcha ma'lum qiymatlarni kosinus teoremasiga almashtirishdir. Ma'lum bo'lgan yuzlarning uzunligi kvadrat bo'lib, undan keyin taniqli partiyalar bir-biriga va ikkiga ko'paytiriladi va ular orasidagi burchakning kosinusiga ko'paytiriladi. Keyinchalik, yuzlarning kvadratlarini qo'shishingiz va ulardan olingan ikkinchi qiymatni olib tashlashingiz kerak. Umumiy qiymatdan u chiqariladi kvadrat ildiz- bu uchinchi, ilgari noma'lum partiya bo'ladi.

Shaklning barcha uch tomoni ma'lum bo'lgandan so'ng, biz allaqachon yaxshi ko'rgan birinchi usuldan tasvirlangan shaklning perimetrini topish uchun standart formuladan foydalanish qoladi.

To'g'ri burchakli uchburchak - bu burchaklaridan biri 90 gradus, qolgan ikkitasi o'tkir burchaklardir. Hisoblash perimetri shunday uchburchak u haqidagi ma'lum ma'lumotlar soniga bog'liq bo'ladi.

Sizga kerak bo'ladi

• Ishga qarab, uchburchakning 3 tomonining 2-ko'nikmasi, shuningdek, uning o'tkir burchaklaridan biri.

Ko'rsatmalar

1. Usul 1. Agar uch tomon ham mashhur bo'lsa uchburchak, u holda uchburchak to'g'ri burchakli yoki yo'qligidan qat'iy nazar, uning perimetri quyidagicha hisoblanadi: P = a + b + c, bu erda, ehtimol, c - gipotenuza va b - oyoqlari;

2. 2-usul. Agar to'rtburchakda faqat 2 tomoni ma'lum bo'lsa, Pifagor teoremasidan foydalanib, buning perimetri. uchburchak quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: P = v(a2 + b2) + a + b yoki P = v(c2 – b2) + b + c.

3. 3-usul. To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuza c va o'tkir burchak berilgan bo'lsin, u holda perimetrni shu tarzda topish mumkin bo'ladi: P = (1 + sin? + cos?)*c.

4. 4-usul. To'g'ri burchakli uchburchakda oyoqlaridan birining uzunligi a ga teng, unga qarama-qarshi o'tkir burchak yotishi berilgan?. Keyin hisoblash perimetri bu uchburchak quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi: P = a*(1/tg ? + 1/sin ? + 1)

5. 5-usul. A oyog'ini va unga tutash burchakni kiritamiz?, u holda perimetr quyidagicha hisoblanadi: P = a*(1/stg ? + 1/cos ? + 1)

Mavzu bo'yicha video

To'g'ri burchakli uchburchak - ixtiyoriy uchburchakning maxsus turi. Boshqa har qanday uchburchak kabi, uning uch tomoni bor, lekin uning burchaklaridan biri 90 daraja bo'lishi kerak. Berilgan uchburchak to'g'ri burchakli uchburchak ekanligini aniqlaganingizdan so'ng, uning asosiy o'lchamlarini topishni boshlashingiz mumkin. To'g'ri burchakli uchburchakning xususiyatlaridan biri uning perimetridir. Ko'pgina geometriya masalalari to'g'ri burchakli uchburchakning perimetrini topishga bag'ishlangan. To'g'ri burchakli uchburchakning perimetrini topishning asosiy usullarini ko'rib chiqishdan oldin, sizga eslatib o'tmoqchimanki, tekislikdagi har qanday geometrik figuraning perimetri. summasiga teng uning barcha tomonlari uzunligi. Barcha turdagi uchburchaklar uchun ushbu bayonot quyidagi ifoda sifatida yozilishi mumkin:

bu erda P - uchburchakning perimetri;
a, b, c - uchburchakning tomonlari.

To'g'ri uchburchakda, yuqorida aytib o'tilganidek, mavjud o'ziga xos xususiyat 90 graduslik burchaklardan biri shaklida. Uchburchakning berilgan burchakka tutashgan ikki tomoni oyoqlar deyiladi. To'g'ri burchakka qarama-qarshi tomon gipotenuza deyiladi.

To'g'ri burchakli uchburchakning g'ayrioddiy xususiyatlarini Pifagor kashf qildi, u to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi kvadrati uning oyoqlari kvadratlari yig'indisiga teng ekanligini aniqladi, bu quyidagi ifoda sifatida yozilishi mumkin:

To'g'ri burchakli uchburchak - ixtiyoriy uchburchakning maxsus turi. Boshqa har qanday uchburchak kabi, uning uch tomoni bor, lekin uning burchaklaridan biri 90 daraja bo'lishi kerak. Berilgan uchburchak to'g'ri burchakli uchburchak ekanligini aniqlaganingizdan so'ng, uning asosiy o'lchamlarini topishni boshlashingiz mumkin. To'g'ri burchakli uchburchakning xususiyatlaridan biri uning perimetridir. Ko'pgina geometriya masalalari to'g'ri burchakli uchburchakning perimetrini topishga bag'ishlangan.

Bu erda P - uchburchakning perimetri;

A, b, c - uchburchakning tomonlari.

Pifagor teoremasi asosida to‘g‘ri burchakli uchburchakning perimetrini ma’lum uzunlikdagi istalgan ikki tomoni asosida aniqlash mumkin bo‘ldi. Agar oyoqlarning uzunligi ma'lum bo'lsa, u holda uchburchakning perimetri gipotenuzaning qiymatini formuladan foydalanib topib aniqlanadi:

Agar oyoqlardan faqat bittasi va gipotenuzaning uzunligi ma'lum bo'lsa, uchburchakning perimetri etishmayotgan oyog'ining qiymatini formuladan foydalanib topib aniqlanadi:

Agar to'g'ri burchakli uchburchakda faqat c gipotenuzaning uzunligi va unga tutash o'tkir burchaklardan biri a ma'lum bo'lsa, bu holda uchburchakning perimetri quyidagi formula bilan aniqlanishi mumkin:

Agar masala shartlarida oyoqning uzunligi a va unga qarama-qarshi bo'lgan o'tkir burchakning qiymati ko'rsatilgan bo'lsa, bu holda to'g'ri burchakli uchburchakning perimetri quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Agar qo'shni b burchakli a tomoni berilgan bo'lsa, u holda uchburchakning perimetrini quyidagi ifoda asosida hisoblash mumkin:

P = a + b + c, bu erda, aytaylik,

P = v(a2 + b2) + a + b, yoki

P = v(c2 – b2) + b + c.

P = (1 + gunoh? + cos?)*s.

P = a*(1/tg? + 1/sin? + 1)

P = a*(1/stg? + 1/cos? + 1)

Mavzu bo'yicha boshqa yangiliklar:

To'g'ri burchakli uchburchakning perimetrini qanday topish mumkin

To'g'ri burchakli uchburchak - bu burchaklaridan biri 90 gradus, qolgan ikkitasi o'tkir burchaklardir. Bunday uchburchakning perimetrini hisoblash u haqida ma'lum bo'lgan ma'lumotlar miqdoriga bog'liq bo'ladi.

Ishga qarab, uchburchakning uch tomonining ikkitasini, shuningdek, uning o'tkir burchaklaridan birini bilish.

P&G homiysi "To'g'ri burchakli uchburchakning perimetrini qanday topish mumkin" mavzusidagi maqolalarni joylashtirish Piramidaning sirt maydonini qanday topish mumkin Agar maydoni ma'lum bo'lsa, perimetrni qanday topish mumkin Teng tomonli uchburchakning perimetrini qanday topish mumkin

1-usul. Agar uchburchakning uch tomoni ham ma'lum bo'lsa, u holda uchburchakning to'g'ri burchakli yoki to'g'ri burchakli bo'lishidan qat'i nazar, uning perimetri quyidagicha hisoblanadi:

P = a + b + c, bu erda, aytaylik,

2-usul. Agar to'rtburchakda faqat 2 tomoni ma'lum bo'lsa, u holda Pifagor teoremasidan foydalanib, bu uchburchakning perimetrini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

P = v(a2 + b2) + a + b, yoki

P = v(c2 – b2) + b + c.

3-usul. To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuza c va o'tkir burchak berilgan bo'lsin, u holda perimetrni quyidagicha topish mumkin:

P = (1 + gunoh? + cos?)*s.

4-usul. To'g'ri burchakli uchburchakda oyoqlardan birining uzunligi a ga teng, unga qarama-qarshi o'tkir burchak yotishi berilgan?. Keyin ushbu uchburchakning perimetrini hisoblash quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi:

P = a*(1/tg? + 1/sin? + 1)

5-usul. Bizga a tomoni va unga tutashgan burchakni bilamizmi?, keyin perimetr quyidagicha hisoblanadi:

P = a*(1/stg? + 1/cos? + 1)

Mavzu bo'yicha boshqa yangiliklar:

Maydon va perimetr har qanday geometrik shakllarning asosiy raqamli xarakteristikasi hisoblanadi. Ushbu miqdorlarni topish umume'tirof etilgan formulalar tufayli soddalashtirilgan bo'lib, ularga ko'ra qo'shimcha dastlabki ma'lumotlarning minimal yoki to'liq yo'qligi bilan bir-biri bilan hisoblash mumkin. Joylashtirish homiysi P&G

Teng tomonli uchburchak, kvadrat bilan birga, planimetriyadagi eng oddiy va simmetrik figuradir. Albatta, oddiy uchburchak uchun amal qiladigan barcha munosabatlar teng tomonli uchburchak uchun ham to'g'ri. Biroq, muntazam uchburchak uchun barcha formulalar ancha soddalashadi. Sizga

Uchburchakning perimetri, boshqa har qanday tekis geometrik figuralar singari, uni cheklovchi segmentlar uzunliklarining yig'indisidir. Shuning uchun, perimetrning uzunligini hisoblash uchun siz uning tomonlarini uzunliklarini bilishingiz kerak. Ammo geometrik shakllardagi tomonlarning uzunliklari ma'lum munosabatlar bilan bog'langanligi sababli

Agar burchaklaridan biri to'g'ri bo'lsa, uchburchak to'g'ri burchakli hisoblanadi. Uchburchakning to'g'ri burchakka qarama-qarshi tomoni gipotenuza, qolgan ikki tomoni esa oyoqlar deb ataladi. To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari uzunligini topish uchun siz bir nechta usullardan foydalanishingiz mumkin. Homiy

Har qanday geometrik shaklning perimetri, shu jumladan uchburchak, bu raqam chegaralarining umumiy uzunligiga teng. U bosh lotin harfi P bilan belgilanadi va berilgan raqamning barcha tomonlari uzunligini qo'shish orqali osongina topiladi. "Uchburchak perimetrini qanday hisoblash mumkin" mavzusidagi homiylik P&G maqolalarini joylashtirish

Uchburchak - bu uch tomoni va uchta burchagi bo'lgan ko'pburchak. Uning perimetrini qanday hisoblash mumkin? P&G homiysi "Uchburchakning perimetrini qanday topish mumkin" mavzusidagi maqolalarni joylashtirish, uning uchlari koordinatalari bilan berilgan uchburchakning perimetrini qanday topish mumkin Uchburchakning maydonini qanday topish mumkin.

Gipotenuza to'g'ri burchakli uchburchakning eng uzun tomonidir. U to'g'ri burchakka qarama-qarshi joylashgan. To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasini topish usuli sizning dastlabki ma'lumotlaringizga bog'liq. "Uchburchakning gipotenuzasini qanday topish mumkin" mavzusidagi P&G maqolalari homiyligida.

To'g'ri burchakli uchburchak burchaklar va tomonlar o'rtasidagi ma'lum munosabatlar bilan tavsiflanadi. Ulardan ba'zilarining qiymatlarini bilib, boshqalarni hisoblashingiz mumkin. Shu maqsadda, o'z navbatida, geometriya aksiomalari va teoremalariga asoslanib, formulalar qo'llaniladi. P&G joylashuvi homiysi “Qanday aniqlash mumkin” mavzusidagi maqolalar

Ko'rinishidan, bu uchburchakning maydoni va perimetrini hisoblashdan ko'ra osonroq bo'lishi mumkin edi - tomonlarini o'lchang, raqamlarni formulaga qo'ying - va bu. Agar shunday deb o'ylayotgan bo'lsangiz, unda siz bu maqsadlar uchun ikkita oddiy formula emas, balki yana ko'p narsa borligini unutdingiz - har bir uchburchak turi uchun o'ziga xos formulalar mavjud. Sizga

Uchburchakning perimetri uning tomonlari uzunliklarining yig'indisidir. Uchburchakning perimetrini topish ko'pincha elementar geometriya masalalarida ham, qiyinroq vazifalarda ham talab qilinadi. Ularni hal qilishda etishmayotgan miqdorlar boshqa ma'lumotlardan topiladi. Uchburchak perimetrining uning boshqa o'lchamlariga asosiy bog'liqliklari o'z aksini topgan

Uchburchakning perimetri, har qanday shaklda bo'lgani kabi, barcha tomonlarning uzunliklarining yig'indisi deyiladi. Ko'pincha bu qiymat maydonni topishga yordam beradi yoki raqamning boshqa parametrlarini hisoblash uchun ishlatiladi.
Uchburchak perimetri formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Uchburchak perimetrini hisoblashga misol. Tomonlari a = 4 sm, b = 6 sm, c = 7 sm bo'lgan uchburchak berilgan bo'lsin, ma'lumotlarni formulaga almashtiring: sm

Perimetrni hisoblash uchun formula teng yonli uchburchak quyidagicha ko'rinadi:

Perimetrni hisoblash uchun formula teng tomonli uchburchak:

Teng tomonli uchburchakning perimetrini hisoblashga misol. Shaklning barcha tomonlari teng bo'lsa, ularni oddiygina uchga ko'paytirish mumkin. Aytaylik, bizga bu holda tomoni 5 sm bo'lgan muntazam uchburchak berilgan: sm

Umuman olganda, barcha tomonlar berilgandan so'ng, perimetrni topish juda oddiy. Boshqa holatlarda siz etishmayotgan tomonning o'lchamini topishingiz kerak. To'g'ri uchburchakda siz uchinchi tomonni topishingiz mumkin Pifagor teoremasi. Masalan, agar oyoqlarning uzunligi ma'lum bo'lsa, unda siz gipotenuzani formuladan foydalanib topishingiz mumkin:

Keling, to'g'ri burchakli uchburchakda oyoqlarning uzunligini bilish sharti bilan, uning perimetrini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.
Oyoqlari a =b =5 sm boʻlgan uchburchak berilgan. Perimetrini toping. Birinchidan, etishmayotgan tomonni topamiz c. sm
Endi perimetrni hisoblaymiz: sm
To'g'ri teng yonli uchburchakning perimetri 17 sm bo'ladi.

Agar gipotenuza va bir oyoqning uzunligi ma'lum bo'lsa, siz etishmayotganini formuladan foydalanib topishingiz mumkin:
Agarda to'g'ri uchburchak Agar gipotenuza va o'tkir burchaklardan biri ma'lum bo'lsa, unda etishmayotgan tomon formuladan foydalanib topiladi.