Matematik nuqtaning, jismning qo'zg'almas o'qqa nisbatan inersiya momenti (u nimaga bog'liq). Jismning qo'zg'almas o'qqa nisbatan inersiya momenti. Shtayner teoremasi Jismning nuqtaga nisbatan inersiya momenti

Jismning parallel o'qlarga nisbatan inersiya momentlari. Gyuygens teoremasi.

Berilgan jismning turli o'qlarga nisbatan inersiya momentlari, umuman olganda, har xil bo'ladi. Keling, tanada chizilgan har qanday o'qqa nisbatan inersiya momentini bilib, unga parallel bo'lgan boshqa o'qqa nisbatan inersiya momentini qanday topishni ko'rsatamiz.

35-rasm

Keling, massa markazi orqali chizamiz BILAN jismlarning ixtiyoriy o'qlari Cx"y"z, va istalgan nuqta orqali HAQIDA o'qda Cx" - boltalar Oxyz shunday Oh½½ Sy", Oz½½ Cz"(35-rasm). Aks masofasi Cz" Va Oz bilan belgilang d. Keyin

lekin, rasmdan ko'rinib turibdiki, tananing istalgan nuqtasi uchun yoki, a. Ushbu qiymatlarni almashtirish , umumiy omillarni ifodalash va chiqarib tashlash d 2 va 2d qavslardan tashqari, biz olamiz

Tenglikning o'ng tomonida birinchi yig'indi ga teng men cz ", ikkinchisi - tana vazni M. Keling, qiymatni topamiz uchinchi miqdor. Massa markazining koordinatalari uchun formulalar asosida, chunki bizning holatimizda nuqta BILAN u holda koordinatalarning kelib chiqishi hisoblanadi x C = 0 va shuning uchun. Nihoyat, biz olamiz:

Formula quyidagilarni ifodalaydi Gyuygens teoremasi:

Jismning ma'lum o'qga nisbatan inersiya momenti tananing massa markazidan o'tuvchi unga parallel bo'lgan o'qga nisbatan inersiya momentiga teng bo'lib, butun tananing massasi ko'paytmasiga kvadratiga qo'shiladi. o'qlar orasidagi masofa.

Jismning o'qqa nisbatan inersiya momentini topamiz u, qaysidir nuqtadan o'tish HAQIDA(36-rasm).

36-rasm

Ta'rifiga ko'ra, inersiya momenti.

Keling, buni bir nuqtaga qo'yaylik HAQIDA koordinata o'qlarining kelib chiqishi x, y, z. Kimdan to'g'ri uchburchak OAM i qayerga ergashadi. Va nuqtaning radius vektori bo'lgani uchun, bu tenglikni o'qga proyeksiya qilish u, biz (, - eksa orasidagi burchaklarni olamiz u va boltalar x, y, z).

Trigonometriyadan ma'lumki

Va bir xil burchakli kosinuslarni o'z ichiga olgan o'xshash atamalarni guruhlash orqali biz quyidagilarni olamiz:

Lekin - nuqtadan masofalar M i boltalarga x, y, z, mos ravishda. Shunung uchun

Qayerda I x, I y, I z– jismning koordinata o‘qlariga nisbatan inersiya momentlari; Men xy, J yz, J xz - markazdan qochma inersiya momentlari indekslarda belgilangan o'qlarga nisbatan.

Agar ikkala markazdan qochma inertsiya momentlari indekslarida birorta o'qning nomlarini o'z ichiga olgan bo'lsa, nolga teng bo'lsa, bu o'q deyiladi. asosiy inertsiya o'qi. Masalan, agar J yz = 0va J xz= 0, keyin o'q z– asosiy o'q inertsiya.

Chunki barcha inersiya momentlari nuqta joylashgan joyga bog'liq HAQIDA, koordinatalarning kelib chiqishini tanlashdan boshlab, u holda bu inersiya momentlari qaysi nuqta uchun aniqlanganligini ko'rsatish kerak. Agar koordinatalarning kelib chiqishi massa markazida olinsa BILAN, keyin inertsiyaning barcha asosiy o'qlari deyiladi inertsiyaning asosiy markaziy o'qlari.

Agar ma'lum bir nuqtada koordinata o'qlari asosiy inersiya o'qlari bo'lsa (ularga nisbatan markazdan qochma inersiya momentlari nolga teng), u holda (2) formula soddalashtiriladi:

Ba'zan, ba'zi belgilarga asoslanib, tananing inertsiyasining asosiy o'qlarini topish qiyin emas.

1. Agar bir jinsli jismda simmetriya o'qi bo'lsa, u holda bu o'q inertsiyaning asosiy markaziy o'qi hisoblanadi.

Haqiqatan ham. Keling, koordinata o'qini yo'naltiramiz z simmetriya o'qi bo'ylab. Keyin koordinatali tananing har bir nuqtasi uchun ( x i, y i, z i) koordinatalari bo'lgan nuqtani topishingiz mumkin ( -x i , -y i , -z i) va shuning uchun inersiyaning markazdan qochma momentlari va. Shunday qilib, eksa z– inertsiyaning asosiy o'qi va markaziy o'q, chunki massa markazi, ma'lumki, simmetriya o'qida joylashgan. Bundan tashqari, bu o'q simmetriya o'qida joylashgan har qanday nuqta uchun asosiy bo'ladi.

2. Agar bir jinsli jism simmetriya tekisligiga ega bo`lsa, unga perpendikulyar bo`lgan har qanday o`q shu tekislikning barcha nuqtalari uchun asosiy inersiya o`qi bo`ladi.

Keling, o'qni yo'naltiramiz z simmetriya tekisligiga uning istalgan nuqtasidan perpendikulyar HAQIDA, u erda koordinatalarning kelib chiqishini belgilash. Keyin koordinatali tananing har bir nuqtasi uchun ( x i, y i, z i) koordinatalari bilan unga simmetrik nuqtani topishingiz mumkin ( x i , y i , - z i). Shuning uchun markazdan qochma inersiya momentlari Men xz Va Men yz nolga teng bo'ladi. Shunday qilib, eksa z- inertsiyaning asosiy o'qi.

9-misol. Diskning o'qqa nisbatan inersiya momentini aniqlaymiz u, diskning simmetriya o'qiga burchak ostida joylashgan z(37-rasm).

37-rasm

Akslar x, y Va z– inertsiyaning asosiy markaziy o'qlari, chunki ular simmetriya o'qlaridir.

Keyin, o'qlar orasidagi burchak qayerda u Va z; burchak - o'qlar orasidagi burchak u Va y, teng; burchak - o'qlar orasidagi burchak u Va x, 90° ga teng. Shunung uchun

Differensial sistemaning harakat tenglamalari.

dan tashkil topgan tizimni ko'rib chiqing n moddiy nuqtalar. Massa bilan tizimning ba'zi bir nuqtasini tanlaymiz. Nuqtaga tatbiq etilgan barcha tashqi kuchlarning natijasini (ham faol, ham reaksiya aloqalari) quyidagicha belgilaymiz. , va barcha ichki kuchlarning natijasi - orqali . Agar nuqta tezlashuvga ega bo'lsa , keyin dinamikaning asosiy qonuniga ko'ra

Har qanday nuqta uchun shunga o'xshash natijani olamiz. Shunday qilib, butun tizim uchun quyidagilar bo'ladi:

Tizimning har bir nuqtasining harakat qonunini aniqlash mumkin bo'lgan bu tenglamalar deyiladi sistema harakatining differensial tenglamalari vektor shaklida. Tenglamalar differensialdir, chunki; Tenglamalarning o'ng tomonlariga kiritilgan kuchlar, umumiy holatda, vaqtga, tizim nuqtalarining koordinatalariga va ularning tezligiga bog'liq bo'ladi.

Ba'zi koordinata o'qlariga proyeksiya qilish orqali biz ushbu o'qlarga proyeksiyalarda tizim harakatining differentsial tenglamalarini olishimiz mumkin.

Tizim uchun dinamikaning asosiy muammosini to'liq hal qilish, berilgan kuchlarni bilish, mos keladigan differensial tenglamalarni integrallash va shu tarzda tizimning har bir nuqtasining harakat qonunini alohida aniqlashdan iborat bo'ladi.

Biroq, bu yechim odatda ikkita sababga ko'ra ishlatilmaydi. Birinchidan, bu yo'l juda murakkab va deyarli har doim engib bo'lmaydigan matematik qiyinchiliklar bilan bog'liq. Ikkinchidan, ko'p hollarda mexanika masalalarini echishda uning har bir nuqtasining harakatini emas, balki butun tizim harakatining ba'zi bir umumiy tavsiflarini bilish kifoya. Ushbu umumiy xususiyatlar yordamida aniqlanadi umumiy teoremalar tizimning dinamikasi, biz uni o'rganishga kirishamiz.

Tenglamalarning asosiy roli shundaki, ular yoki ulardan kelib chiqadigan oqibatlar tegishli umumiy teoremalarni olish uchun boshlang'ich nuqtadir.

Mexanik tizim dinamikasining umumiy teoremalari: mexanik tizimning massa markazining harakati va impulsning o'zgarishi haqidagi teoremalar, kinetik impuls va kinetik energiyaning o'zgarishi haqidagi teoremalar, dinamikaning asosiy tenglamasining natijasidir. . Bu teoremalarda mexanik sistema tarkibiga kiruvchi alohida nuqtalar va jismlarning harakati emas, balki mexanik sistemaning massa markazining harakati, uning impulsi, kinetik momenti va kinetik energiyasi kabi ba’zi integral xususiyatlar hisobga olinadi. Natijada, noma'lumlar ko'rib chiqilmaydi ichki kuchlar, va ba'zi hollarda ulanishlarning reaktsiyasi, bu muammoni hal qilishni sezilarli darajada osonlashtiradi.

Qattiq jismlarning aylanishini o'rganishda biz inersiya momenti tushunchasidan foydalanamiz.

Keling, tanani shunday kichik qismlarga ajratamizki, ularning har birini moddiy nuqta deb hisoblash mumkin. Mayli m i- vazn men- th moddiy nuqta, r i- uning qaysidir o'qqa bo'lgan masofasi O.

Moddiy nuqta massasining ma'lum o'qgacha bo'lgan eng qisqa masofasining kvadratiga ko'paytmasiga teng qiymatga moddiy nuqtaning o'qga nisbatan inersiya momenti deyiladi:

Jismning barcha moddiy nuqtalarining inersiya momentlari yig'indisi deyiladi tananing inertsiya momenti ba'zi o'qlarga nisbatan:

Inersiya momenti qattiq ko'rish oson bo'lganidek, bizni qiziqtiradigan o'qga nisbatan massalarning taqsimlanishiga bog'liq.

Agar tana massali halqa bo'lsa m, qalinligi radiusga nisbatan kichik R, u holda uning markazdan o'tuvchi va halqa tekisligiga perpendikulyar o'qga nisbatan inersiya momenti teng bo'ladi.

Murakkab shakldagi jismlar uchun (5.2) ifodaning yig'indisi formula bo'yicha integral hisoblash usullari yordamida amalga oshiriladi.

bu erda integratsiya tananing butun hajmida amalga oshiriladi. Kattalik r
bu holda nuqtaning koordinatalari bilan pozitsiyasining funktsiyasi mavjud x,y,z.

Misol tariqasida, bir jinsli diskning disk tekisligiga perpendikulyar bo'lgan va uning markazidan o'tuvchi o'qga nisbatan inersiya momentini topamiz. Diskni qalinligi d bo'lgan halqa qatlamlarga ajratamiz r.

Bir qatlamning barcha nuqtalari o'qdan bir xil masofada, teng bo'ladi r. Bunday qatlamning hajmi quyidagilarga teng:

,

Qayerda b- disk qalinligi. Disk bir hil bo'lgani uchun uning zichligi barcha nuqtalarda bir xil va

qaerda d m - halqasimon qatlam massasi.

Endi (5.4) formuladan foydalanib, inersiya momentini topamiz

,

Qayerda R- disk radiusi;

.

Nihoyat, diskning massasini kiritish orqali m diskning zichligi va hajmining mahsulotiga teng, biz olamiz

Ba'zi bir jinsli qattiq jismlarning o'qga nisbatan inersiya momentlari, tananing massa markazidan o'tadi, jadvalda keltirilgan. 5.1.

5.1-jadval

Agar jismning massa markazidan o'tuvchi o'qqa nisbatan inersiya momenti ma'lum bo'lsa, u holda har qanday boshqasiga nisbatan inersiya momentini topish mumkin. parallel o'q. Buning uchun siz foydalanishingiz kerak Gyuygens-Shtayner teoremasi:

tananing inertsiya momenti I ixtiyoriy o'qga nisbatan uning inersiya momentiga teng tushunarli unga parallel bo'lgan, massa markazidan o'tadigan o'qga nisbatan C tana massasi mahsulotiga qo'shilgan tana m masofa kvadratiga a eksa o'rtasida:

Jismning ikkita parallel o'qga nisbatan inersiya momentlari orasidagi bog'lanish topilsin, ulardan biri massa markazidan o'tadi. Jismning o'qqa nisbatan inersiya momentini topamiz z parallel o'q z C. Eksa z C tananing massa markazidan o'tadi. Keling, tanani aqliy ravishda massa zarralariga ajratamiz m i, Qayerda i- ishlab chiqarish raqami. Har bir zarrachaning o'qlarga nisbatan o'rnini aniqlaylik z Va z C. Inertsiya momentining ta'rifiga ko'ra, bu erda aylanish o'qiga eng qisqa masofa (nuqta aylanish o'qi atrofida harakati paytida tasvirlaydigan doira radiusi).

Shaklda. 5.3 dan ko'rinib turibdiki, u holda massali nuqtaning inersiya momenti m i o'qiga nisbatan z ga teng: , va butun tana uchun o'qqa nisbatan inersiya momenti zsummasiga teng Tananing barcha zarralarining bir xil o'qqa nisbatan inersiya momentlari:

(5.7)

Ta'rifi bo'yicha – tananing o'qqa nisbatan inersiya momenti z C, tananing massa markazidan o'tib; , Keyin . Ifoda aylantirilishi mumkin . ga teng qiymat tananing massa markazining o'qqa nisbatan holatini aniqlaydi z C. Rasmdan ko'rinib turibdiki, chunki massa markazi o'qda yotadi z C.

Keyin olamiz

(5.8)

- inersiya momenti Iz jismning ixtiyoriy o'qga nisbatan unga parallel bo'lgan o'qqa nisbatan tananing inersiya momentining yig'indisiga teng. z C, massa markazidan o'tuvchi va kattalik ma 2 qaerda m- tana vazni, a- o'qlar orasidagi masofa.

Misol. Yupqa tayoqning inersiya momenti (massa m va uzunligi ) tayoqqa perpendikulyar bo'lgan va uning uchidan o'tuvchi o'qga nisbatan teng.

Inersiya momenti aylanish o'qiga nisbatan tizim (tana) - massalar mahsuloti yig'indisiga teng fizik miqdor n tizimning moddiy nuqtalari ularning ko'rib chiqilayotgan o'qga bo'lgan masofalarining kvadratlari bo'yicha:

Uzluksiz massa taqsimoti holatida bu yig'indi integralga kamayadi

Moddiy nuqtaning inersiya momenti :

berilgan o'qga nisbatan - nuqta massasi va masofa kvadratining mahsulotiga teng bo'lgan skalyar miqdor. bu nuqtadan o'qqa (J=mr 2, m – nuqta massasi; r – nuqtadan o'qgacha bo'lgan masofa)

Shtayner teoremasi

Shtayner teoremasi - shakllantirish

Shtayner teoremasiga ko'ra, ixtiyoriy o'qga nisbatan hisoblashda jismning inersiya momenti massa markazidan o'tadigan va unga parallel bo'lgan o'qga nisbatan jismning inersiya momentining yig'indisiga to'g'ri kelishi aniqlandi. ushbu o'q, shuningdek, quyidagi formula (1) bo'yicha o'qlar orasidagi masofa va tananing massasi kvadratining mahsuloti:

Bu yerda formulada mos ravishda quyidagi qiymatlarni olamiz: d – OO1║O’O1’ o’qlari orasidagi masofa;
J0 - tananing inertsiya momenti, massa markazidan o'tadigan o'qga nisbatan hisoblangan va (2) munosabat bilan aniqlanadi:

J0 = Jd = mR2/2 (2)

Masalan, rasmdagi halqa uchun o'qqa nisbatan inersiya momenti O'O', teng

Uzunlikdagi to'g'ri chiziqning inersiya momenti , o'qi novda perpendikulyar va uning uchidan o'tadi.

10) burchak impulsining saqlanish qonuni

Moddiy A nuqtaning qo‘zg‘almas O nuqtaga nisbatan burchak impulsi (harakat momenti). chaqirdi jismoniy miqdor, vektor mahsuloti bilan aniqlanadi:

Qayerda r- O nuqtadan A nuqtaga chizilgan radius vektori, p=m v- moddiy nuqtaning impulsi (1-rasm); L- psevdovektor,

1-rasm

ga nisbatan momentum sobit o'q z bu o'qning ixtiyoriy O nuqtasiga nisbatan aniqlangan burchak momentum vektorining bu o'qiga proyeksiyasiga teng L z skalyar miqdor deb ataladi. L z burchak momenti O nuqtaning z o'qidagi holatiga bog'liq emas.

Absolyut qattiq jism qo'zg'almas o'q atrofida aylansa, tananing har bir nuqtasi r i doimiy radiusli aylana bo'ylab v i tezlik bilan harakat qiladi. Tezlik v i va impuls m i v i bu radiusga perpendikulyar, ya'ni radius m i v i vektorning qo'li hisoblanadi. Bu shuni anglatadiki, biz alohida zarrachaning burchak momenti teng ekanligini yozishimiz mumkin

va o'ng vint qoidasi bilan belgilangan yo'nalishda eksa bo'ylab yo'naltiriladi.

Burchak momentining saqlanish qonuni Yopiq jismlar tizimi uchun tanlangan o'qga nisbatan barcha burchak momentumining vektor yig'indisi orqali matematik tarzda ifodalanadi, bu tizimga ta'sir etgunga qadar doimiy bo'lib qoladi. tashqi kuchlar. Shunga ko'ra, har qanday koordinatalar sistemasidagi yopiq sistemaning burchak momenti vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi.

Burchak impulsining saqlanish qonuni fazoning aylanishga nisbatan izotropiyasining ko'rinishidir.

Soddalashtirilgan shaklda: , agar tizim muvozanatda bo'lsa.

Asosiy saqlanish qonuni, qattiq jism dinamikasi

Qattiq tananing dinamikasi

Ruxsat etilgan o'q atrofida aylanish. Qattiq jismning o'zgarmas aylanish o'qiga nisbatan burchak momenti teng

Proyeksiya yo'nalishi yo'nalishga to'g'ri keladi, ya'ni. gimlet qoidasi bilan belgilanadi. Kattalik

qattiq jismning Differentsiallanishga nisbatan inersiya momenti deyiladi, biz olamiz

Bu tenglama qattiq jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanish harakati dinamikasining asosiy tenglamasi deb ataladi. Aylanuvchi qattiq jismning kinetik energiyasini ham hisoblaylik:

jismni aylantirganda tashqi kuchning ishi:

Qattiq jismning tekis harakati. Tekislik harakati - bu massa markazining tarjima harakati va massalar tizimining markazidagi aylanish harakatining superpozitsiyasi (1.2-bo'limga qarang). Massalar markazining harakati Nyutonning ikkinchi qonuni bilan tavsiflanadi va natijada paydo bo'lgan tashqi kuch bilan aniqlanadi (massalar markazidagi aylanish harakati (11) tenglamaga bo'ysunadi, bunda faqat haqiqiy tashqi kuchlar bo'lishi kerak). hisobga olinadi, chunki massa markaziga nisbatan inertsiya kuchlari momenti nolga teng (tortishish momentiga o'xshash, 1.6-bo'limdagi 1-misol). Kinetik energiya tekislik harakati qo'zg'almas o'qga nisbatan burchak momentum tenglamasiga teng; tekislikka perpendikulyar harakat, formula bo'yicha hisoblanadi (tenglamaga qarang, bu erda massa markazining o'qga nisbatan tezligining qo'li va belgilar ijobiy aylanish yo'nalishini tanlash bilan aniqlanadi.

Ruxsat etilgan nuqta bilan harakat. Aylanish o'qi bo'ylab yo'naltirilgan aylanishning burchak tezligi o'z yo'nalishini fazoda ham, qattiq jismning o'ziga nisbatan ham o'zgartiradi. Harakat tenglamasi

qo'zg'almas nuqtaga ega bo'lgan qattiq jism harakatining asosiy tenglamasi deb ataladi, bu sizga burchak momentining qanday o'zgarishini aniqlashga imkon beradi, chunki umumiy holatda vektor vektorga parallel emas

Harakat tenglamalarini yopish uchun biz bu miqdorlarni bir-biriga bog'lashni o'rganishimiz kerak.

Giroskoplar. Giroskop - bu o'zining simmetriya o'qi atrofida tez aylanadigan qattiq jism. Giroskop o'qining harakati muammosini giroskopik yaqinlashishda hal qilish mumkin: ikkala vektor ham simmetriya o'qi bo'ylab yo'naltirilgan. Balanslangan giroskop (massa markazida o'rnatilgan) inersiyasiz bo'lish xususiyatiga ega; tashqi ta'sir yo'qolishi bilanoq uning o'qi harakatini to'xtatadi (nolga aylanadi). Bu kosmosda orientatsiyani saqlab qolish uchun giroskopdan foydalanish imkonini beradi.

Og'ir giroskop (12-rasm), unda massa markazi biriktirilgan joydan uzoqroq masofada siljiydi, giroskopning o'qi vertikal o'q atrofida muntazam aylanishni amalga oshirganligi sababli perpendikulyar yo'naltirilgan kuch momentiga bo'ysunadi (presessiya). giroskopdan).

Vektorning oxiri burchak tezligi bilan a radiusli gorizontal doira bo'ylab aylanadi

Pretsessiyaning burchak tezligi a o'qining moyillik burchagiga bog'liq emas.

Saqlanish qonunlari- asosiy fizik qonunlar, ularga ko'ra, ma'lum sharoitlarda, yopiq fizik tizimni tavsiflovchi ba'zi o'lchanadigan jismoniy miqdorlar vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi.

· Energiyaning saqlanish qonuni

Impulsning saqlanish qonuni

Burchak momentining saqlanish qonuni

Massaning saqlanish qonuni

Elektr zaryadining saqlanish qonuni

· Lepton sonining saqlanish qonuni

Barion sonining saqlanish qonuni

· Paritetning saqlanish qonuni

kuch momenti

Aylanish o'qiga nisbatan kuch momenti uning qo'li bilan kuchning mahsulotiga teng bo'lgan jismoniy miqdordir.

Kuch momenti quyidagi formula bilan aniqlanadi:

M - FI, bu erda F - kuch, I - kuch qo'li.

Kuchning qo'li - bu kuchning ta'sir chizig'idan tananing aylanish o'qigacha bo'lgan eng qisqa masofa.

Kuch momenti kuchning aylanish ta'sirini tavsiflaydi. Bu harakat ham kuchga, ham leveragega bog'liq. Qanaqasiga ko'proq elka, kamroq kuch qo'llanilishi kerak,

SI kuch momentining birligi 1 N kuch momenti bo'lib, uning qo'li 1 m ga teng - nyuton metr (N m).

Lahzalar qoidasi

Ruxsat etilgan o'q atrofida aylana oladigan qattiq jism, agar uni soat yo'nalishi bo'yicha aylantiruvchi M kuch momenti uni soat miliga teskari aylantiruvchi M2 kuch momentiga teng bo'lsa, muvozanat holatidadir:

M1 = -M2 yoki F 1 ll = - F 2 l 2.

Bir juft kuchning momenti juftlikning tekisligiga perpendikulyar bo'lgan har qanday o'qqa nisbatan bir xil. Juftlikning umumiy momenti M har doim mahsulotga teng kuchlardan biri F kuchlar orasidagi masofa I bo'lib, u juftlikning yelkasi deb ataladi, qaysi segmentlarga va /2 o'qning pozitsiyasi juftlikning yelkasini bo'lishiga qaramasdan:

M = Fll + Fl2=F(l1 + l2) = Fl.

Agar tana qattiq o'q atrofida aylansa z burchak tezligi bilan, keyin chiziqli tezlik bilan i th nuqta , R i- aylanish o'qiga masofa. Demak,

Bu yerga tushunarli– inersiya markazidan oʻtuvchi oniy aylanish oʻqiga nisbatan inersiya momenti.

Kuchlar momentining ishi.

Kuch ishi.
To'g'ri chiziqli harakatlanuvchi jismga ta'sir qiluvchi doimiy kuch tomonidan bajariladigan ish
, bu erda tananing siljishi, tanaga ta'sir qiluvchi kuch.

Umuman olganda, egri chiziq bo'ylab harakatlanadigan jismga ta'sir qiluvchi o'zgaruvchan kuch tomonidan bajariladigan ish . Ish Joules [J] da o'lchanadi.

Ruxsat etilgan o'q atrofida aylanadigan jismga ta'sir qiluvchi kuch momentining ishi, bu yerda kuch momenti va aylanish burchagi.
Umuman.
Tananing bajargan ishi uning kinetik energiyasiga aylanadi.

Mexanik tebranishlar.

Tebranishlar- vaqt o'tishi bilan u yoki bu darajada takrorlanadigan tizim holatlarini o'zgartirish jarayoni.

Tebranishlar deyarli har doim bir ko'rinish shakli energiyasining boshqa shaklga o'zgaruvchan aylanishi bilan bog'liq.

Tebranish va to'lqin o'rtasidagi farq.

Har xil tebranishlar jismoniy tabiat ko'plab umumiy naqshlarga ega va to'lqinlar bilan chambarchas bog'langan. Shuning uchun bu qonuniyatlarni o'rganish to'lqin tebranishlarining umumlashtirilgan nazariyasi bilan amalga oshiriladi. To'lqinlardan asosiy farqi: tebranishlar paytida energiya o'tkazilmaydi;

Tebranish xususiyatlari

Amplituda (m)- o'zgaruvchan miqdorning tizim uchun qandaydir o'rtacha qiymatdan maksimal og'ishi.

Vaqt o'tishi (sek), bu orqali tizim holatining har qanday ko'rsatkichlari takrorlanadi (tizim bitta to'liq tebranish qiladi), tebranish davri deb ataladi.

Vaqt birligidagi tebranishlar soni tebranish chastotasi deb ataladi ( Hz, sek -1).

Tebranish davri va chastotasi o'zaro kattaliklardir;

Dumaloq yoki tsiklik jarayonlarda "chastota" xarakteristikasi o'rniga kontseptsiya qo'llaniladi dumaloq yoki tsiklik chastota (Gts, sek -1, aylanish/sek), 2p vaqtdagi tebranishlar sonini ko'rsatadi:

Tebranish fazasi -- istalgan vaqtda siljishni aniqlaydi, ya'ni. tebranish tizimining holatini aniqlaydi.

Mayatnikli mat jismoniy bahor

. Bahor mayatnik- bu absolyut elastik prujinaga osilgan va F = –kx elastik kuch ta'sirida garmonik tebranishlarni bajaradigan m massali yuk, bu erda k - prujinaning qattiqligi. Mayatnikning harakat tenglamasi shaklga ega

(1) formuladan kelib chiqadiki, prujinali mayatnik siklik chastotali x = Asos(ō 0 t+ph) qonuniga binoan garmonik tebranishlarni bajaradi.

va davr

Formula (3) Guk qonuni bajariladigan chegaralardagi elastik tebranishlar uchun to'g'ri keladi, ya'ni prujinaning massasi tananing massasiga nisbatan kichik bo'lsa. Prujinali mayatnikning potentsial energiyasi (2) va formuladan foydalangan holda potentsial energiya oldingi bo'limga teng

2. Fizik mayatnik jismning C massa markaziga toʻgʻri kelmaydigan O nuqtadan oʻtuvchi qoʻzgʻalmas gorizontal oʻq atrofida tortishish kuchi taʼsirida tebranuvchi qattiq jismdir (1-rasm).

1-rasm

Agar mayatnik muvozanat holatidan ma'lum a burchakka burilsa, u holda qattiq jismning aylanish harakati dinamikasi tenglamasidan foydalanib, tiklovchi kuchning momenti M.

Bu yerda J - mayatnikning O osma nuqtasidan o'tuvchi o'qqa nisbatan inersiya momenti, l - o'qi bilan mayatnikning massa markazi orasidagi masofa, F t ≈ –mgsina ≈ –mga - tiklovchi kuch. (minus belgisi F t va a ning yo'nalishlari doimo qarama-qarshi ekanligini ko'rsatadi; sina ≈ a, chunki mayatnikning tebranishlari kichik deb hisoblanadi, ya'ni mayatnik muvozanat holatidan kichik burchaklar bilan og'adi). (4) tenglamani shunday yozamiz

Qabul qilish

tenglamani olamiz

(1) ga o'xshash bo'lib, uning yechimi (1) topiladi va quyidagicha yoziladi:

(6) formuladan kelib chiqadiki, kichik tebranishlar bilan fizik mayatnik siklik chastotasi ō 0 va davr bilan garmonik tebranishlarni amalga oshiradi.

bu erda qiymat L=J/(m l) - .

OS to'g'ri chiziq davomidagi O" nuqta, mayatnik osmasining O nuqtasidan qisqargan L uzunlikdagi masofada joylashgan. burilish markazi jismoniy mayatnik (1-rasm). O'qning inersiya momenti uchun Shtayner teoremasini qo'llab, topamiz

ya'ni OO" har doim OS dan katta. Mayatnikning osma nuqtasi O va burilish markazi O" ga ega. almashinish xususiyati: agar osma nuqtasi tebranish markaziga o'tkazilsa, u holda oldingi osma nuqtasi O yangi tebranish markazi bo'ladi va fizik mayatnikning tebranish davri o'zgarmaydi.

3. Matematik mayatnik choʻzilmaydigan vaznsiz ipga osilgan va tortishish kuchi taʼsirida tebranuvchi m massali moddiy nuqtadan tashkil topgan ideallashtirilgan sistemadir. Matematik mayatnikning yaxshi yaqinlashuvi uzun ingichka ipga osilgan kichik og'ir to'pdir. Matematik mayatnikning inersiya momenti

Qayerda l- mayatnik uzunligi.

Matematik mayatnik fizik mayatnikning alohida holati bo'lganligi sababli, agar uning barcha massasi bir nuqtada - massa markazida to'plangan deb faraz qilsak, u holda (8) ni (7) ga almashtirib, davr uchun ifoda topamiz. Matematik mayatnikning kichik tebranishlari

(7) va (9) formulalarni solishtirsak, agar fizik mayatnikning qisqartirilgan uzunligi L uzunligiga teng bo'lsa, shuni ko'ramiz. l matematik mayatnik, u holda bu mayatniklarning tebranish davrlari bir xil bo'ladi. Ma'nosi, fizik mayatnikning qisqargan uzunligi- bu tebranish davri berilgan fizik mayatnikning tebranish davriga to'g'ri keladigan matematik mayatnikning uzunligi.

Gar. tebranishlar va xarakter.

Tebranishlar vaqt o'tishi bilan ma'lum bir takrorlanishi bilan tavsiflangan harakatlar yoki jarayonlar deyiladi. Tebranish jarayonlari tabiatda va texnologiyada keng tarqalgan, masalan, soat mayatnikining tebranishi, o'zgaruvchan elektr toki va hokazo

Tebranishlarning eng oddiy turi garmonik tebranishlar- o'zgaruvchan miqdor sinus (kosinus) qonuniga muvofiq vaqt o'tishi bilan o'zgarib turadigan tebranishlar. Muayyan qiymatdagi garmonik tebranishlar s shakldagi tenglama bilan tavsiflanadi

bu erda ō 0 - doiraviy (tsiklik) chastota, A - o'zgaruvchan miqdorning maksimal qiymati, deyiladi tebranish amplitudasi, φ - tebranishning dastlabki bosqichi t=0 vaqtda, (ō 0 t+ph) - tebranish bosqichi t vaqtida. Tebranish fazasi - vaqtning ma'lum bir momentidagi tebranish miqdorining qiymati. Kosinus +1 dan –1 gacha bo'lgan qiymatga ega bo'lganligi sababli, s +A dan -A gacha bo'lgan qiymatlarni qabul qilishi mumkin.

Garmonik tebranishlarni amalga oshiradigan tizimning ma'lum holatlari T vaqtdan keyin takrorlanadi, deyiladi. tebranish davri, bu davrda tebranish fazasi 2p o'sish (o'zgarish) oladi, ya'ni.

Tebranish davrining o'zaro nisbati

ya'ni vaqt birligida sodir bo'ladigan to'liq tebranishlar soni deyiladi tebranish chastotasi. (2) va (3) ni taqqoslab, topamiz

Chastota birligi - gerts(Hz): 1 Hz - davriy jarayonning chastotasi, uning davomida bir jarayon tsikli 1 soniyada tugaydi.

Tebranish amplitudasi

Garmonik tebranishning amplitudasi deyiladi eng yuqori qiymat jismning muvozanat holatidan siljishi. Amplituda turli qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Bu bizning tanamizni muvozanat holatidan qancha siqib chiqarishimizga bog'liq bo'ladi.

Amplituda dastlabki shartlar, ya'ni vaqtning boshlang'ich momentida tanaga berilgan energiya bilan belgilanadi. Sinus va kosinus -1 dan 1 gacha bo'lgan qiymatlarni olishi mumkinligi sababli, tenglama tebranishlar amplitudasini ifodalovchi Xm omilni o'z ichiga olishi kerak. da harakat tenglamasi garmonik tebranishlar:

x = Xm*cos(ō0*t).

Xiralashgan. kolb va ularning har

Damlangan tebranishlar

Tebranishlarni susaytirish - tebranishlar amplitudasining vaqt o'tishi bilan asta-sekin kamayishi, tebranish tizimining energiya yo'qolishi bilan bog'liq.

Dampingsiz tabiiy tebranishlar idealizatsiya hisoblanadi. Zaiflashning sabablari boshqacha bo'lishi mumkin. IN mexanik tizim Ishqalanishning mavjudligi tebranishlarni susaytirishga olib keladi. IN elektromagnit zanjir Tizimni tashkil etuvchi o'tkazgichlarda issiqlik yo'qotishlari tebranish energiyasining pasayishiga olib keladi. Tebranish tizimida to'plangan barcha energiya sarflanganda, tebranishlar to'xtaydi. Shuning uchun amplituda sönümli tebranishlar nolga tenglashguncha kamayadi.

qaerda b - susaytirish koeffitsienti

Yangi belgilarda differensial tenglama Söndürülmüş tebranishlar quyidagi ko'rinishga ega:

. qaerda b - susaytirish koeffitsienti, bu erda ō 0 - tebranish tizimida energiya yo'qotishlari bo'lmaganda so'nmagan erkin tebranishlar chastotasi.

Bu ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama.

O'chirilgan chastota:

Har qanday tebranish tizimida damping chastotaning pasayishiga va shunga mos ravishda tebranish davrining oshishiga olib keladi.

(faqat haqiqiy ildiz jismoniy ma'noga ega, shuning uchun ).

Söndürülmüş tebranishlar davri:

.

Soʻnmagan tebranishlar davri tushunchasiga kiritilgan maʼno soʻndirilgan tebranishlar uchun mos emas, chunki tebranish energiyasining yoʻqolishi tufayli tebranish tizimi hech qachon asl holatiga qaytmaydi. Ishqalanish mavjud bo'lganda tebranishlar sekinroq bo'ladi: .

Söndürülmüş tebranishlar davri- tizim muvozanat holatidan bir yo'nalishda ikki marta o'tadigan minimal vaqt davri.

Söndürülmüş tebranishlarning amplitudasi:

Bahor mayatnik uchun.

Söndürülmüş tebranishlarning amplitudasi doimiy qiymat emas, balki vaqt o'tishi bilan o'zgarib turadi, b koeffitsienti qanchalik tez bo'lsa. Shuning uchun, amplituda uchun ilgari so'nmagan erkin tebranishlar uchun berilgan ta'rifni so'ndirilgan tebranishlar uchun o'zgartirish kerak.

Kichik zaiflashuvlar uchun sönümli tebranishlar amplitudasi davr ichida muvozanat holatidan eng katta og'ish deyiladi.

Söndürülmüş tebranishlar amplitudasi eksponensial qonunga muvofiq o'zgaradi:

Tebranish amplitudasi t vaqt ichida “e” marta kamaytirilsin (“e” - asos. tabiiy logarifm, e ≈ 2.718). Keyin, bir tomondan, va boshqa tomondan, amplitudalarni tasvirlab, A zat. (t) va A zat. (t+t), bizda bor . Bu munosabatlardan bt = 1 kelib chiqadi, demak

Majburiy tebranishlar.

1.10. AYLANISH HARAKAT DINAMIKASI UCHUN TENGLAMA

Moddiy nuqtalar tizimi sifatida qattiq jism. Qattiq jismning inersiya markazining harakati. Aylanuvchi jismning kinetik energiyasi. Qo'zg'almas o'qqa nisbatan inersiya momenti tushunchasi. Shtayner teoremasi. Ayrimlarning inersiya momentlari eng oddiy jismlar. Ruxsat etilgan o'qga nisbatan aylanish harakati dinamikasi uchun tenglama.

Qattiq jismning harakati odatda ikkita vektor tenglama bilan aniqlanadi. Ulardan biri massalar markazining harakat tenglamasi (4.11), ikkinchisi esa momentlar tenglamasi. BILAN-tizim (6.24):

Ta'sir etuvchi tashqi kuchlarning qonuniyatlarini, ularni qo'llash nuqtalarini va boshlang'ich sharoitlarini bilgan holda, ushbu tenglamalardan foydalanib, istalgan vaqtda qattiq jismning har bir nuqtasining tezligini ham, o'rnini ham topish mumkin, ya'ni. tana harakati muammosini to'liq hal qilish. Biroq (10.1) tenglamalarning ko'rinib turgan soddaligiga qaramay, ularni umumiy holatda yechish juda qiyin ishdir. Bu, birinchi navbatda, to'g'ri burchak momentumi va qattiq jismning alohida nuqtalarining tezligi o'rtasidagi bog'liqlik bilan bog'liq. BILAN-tizim murakkab bo'lib chiqadi, bir nechta maxsus holatlar bundan mustasno. Biz bu masalani umumiy shaklda ko'rib chiqmaymiz (u nazariy mexanika kursida hal qilinadi) va kelajakda biz faqat alohida maxsus holatlar bilan cheklanamiz.

Agar biz kuchlarni harakat yo'nalishi bo'yicha harakatlantirsak, ularning natijasi ham, umumiy momenti ham o'zgarmasligi aniq. Bu holda (10.1) tenglamalar ham o'zgarmaydi va shuning uchun qattiq jismning harakati ham o'zgarmaydi. Shuning uchun tashqi kuchlarni qo'llash nuqtalari kuchlarning ta'sir yo'nalishi bo'ylab o'tkazilishi mumkin - doimiy ravishda ishlatiladigan muammolarni hal qilish uchun qulay texnika.

Keling, natijaviy kuch tushunchasini ko'rib chiqaylik. Barcha tashqi kuchlarning umumiy momenti hosil bo'lgan kuchga perpendikulyar bo'lgan hollarda, ya'ni barcha tashqi kuchlarni kamaytirish mumkin. bitta ma'lum bir to'g'ri chiziq bo'ylab ta'sir qiluvchi kuch. Haqiqatan ham, agar biror nuqtaga nisbatan HAQIDA jami moment , keyin siz har doim shunday vektorni topishingiz mumkin (10.1-rasm) berilgan va uchun

Bunday holda, tanlov noaniq: unga har qanday vektorni qo'shish,

parallel oxirgi tenglikni o'zgartirmaydi. Va bu shuni anglatadiki, bu tenglik kuchni "qo'llash" nuqtasini emas, balki uning harakat chizig'ini belgilaydi. Modullarni bilish M Va F mos keladigan vektorlar, biz elkasini topishimiz mumkin l kuchlar (6.14-rasm): .

Shunday qilib, agar , qattiq jismning alohida nuqtalariga ta'sir qiluvchi kuchlar tizimini bitta bilan almashtirish mumkin natijaviy kuch - natijaga teng bo'lgan va barcha tashqi kuchlarning umumiy momentiga teng moment hosil qiluvchi kuch.

Bunday holat bir xil kuch maydonining ta'siridir, masalan, tortishish maydoni, unda har bir zarrachaga ta'sir qiluvchi kuch shaklga ega. Bunday holda, har qanday nuqtaga nisbatan umumiy tortishish momenti HAQIDA teng

Qavs ichidagi yig'indi jismning massasi nuqtaga nisbatan uning massa markazining radius vektori bo'lgan joyga teng. O. Shunung uchun

Bu shuni anglatadiki, tortishish natijasi tananing massa markazidan o'tadi. Odatda tortishish kuchlarining natijasi tananing massa markaziga yoki uning og'irlik markaziga qo'llaniladi, deb aytiladi. Bu kuchning jismning massa markaziga nisbatan momenti nolga teng.

Endi qattiq jism harakatining maxsus holatlarini ko'rib chiqishga o'tamiz.

Ruxsat etilgan o'q atrofida aylanish.

Qattiq jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanishini ko'rib chiqaylik. Qattiq jismning o'qqa nisbatan burchak impulsi ifodasini topamiz 00" (6.15-rasm). Zarrachaning burchak momentini quyidagicha yozish mumkin

bu yerda va - qattiq jismning zarrachasining massasi va aylanish o'qidan masofasi va uning burchak tezligi. Qavs ichidagi miqdorni I bilan belgilab, olamiz

Moddiy nuqtaning inersiya momenti aylanish o'qiga nisbatan, bu nuqtaning massasi va o'qdan eng qisqa masofa kvadratining mahsuloti deyiladi.

Tizimning inersiya momenti (tanalar) aylanish o'qiga nisbatan massalar ko'paytmalari yig'indisiga teng fizik miqdor n tizimning moddiy nuqtalarini ularning ko'rib chiqilayotgan o'qga bo'lgan masofalarining kvadratlari bo'yicha.

Qattiq jismning inersiya momenti bizni qiziqtiradigan o'qga nisbatan massalarning taqsimlanishiga bog'liq va qo'shimcha kattalikdir. Jismning inersiya momenti formula yordamida hisoblanadi

Bu erda dm va dV - bizni qiziqtiradigan z o'qidan uzoqda joylashgan tananing elementining massasi va hajmi va tananing ma'lum bir nuqtadagi zichligi.

Ba'zi bir jinsli qattiq jismlarning jismning massa markazidan o'tuvchi o'qqa nisbatan inersiya momentlari quyidagi jadvalda keltirilgan (bu erda m - tananing massasi):

U yoki bu o'qga nisbatan ixtiyoriy shakldagi qattiq jismning inersiya momentini hisoblash, umuman olganda, juda mashaqqatli matematik vazifadir. Biroq, ba'zi hollarda, agar siz foydalansangiz, inertsiya momentini topish juda soddalashtirilgan Shtayner teoremasi : inersiya momenti I ixtiyoriy o'qga nisbatan z berilganga parallel bo'lgan va massa markazidan o'tuvchi o'qga nisbatan inersiya momentiga teng BILAN tana, ortiqcha massa mahsuloti T kvadrat masofaga tanalar A eksa o'rtasida:

Shunday qilib, agar inersiya momenti ma'lum bo'lsa, u holda inersiya momentini topish I boshlang'ich. Masalan, yupqa tayoqning inersiya momenti (massa T va uzunligi l) tayoqqa perpendikulyar bo'lgan va uning uchidan o'tuvchi o'qga nisbatan teng

Kinetik energiyaaylanish harakati- tananing aylanishi bilan bog'liq energiya. Ruxsat etilgan aylanish o'qi bo'lgan aylanuvchi qattiq jismning kinetik energiyasining ifodasini olaylik. Aylanadigan qattiq jismning zarracha tezligi va burchak tezligi o'rtasidagi bog'liqlikni hisobga olib, biz yozamiz.

yoki qisqaroq

bu yerda jismning massa markazidan o'tuvchi aylanish o'qiga nisbatan inersiya momenti, jismning burchak tezligi, m - massasi, K-dagi jismning inersiya markazining tezligi. ma'lumot doirasi. Shunday qilib, tekis harakatdagi qattiq jismning kinetik energiyasi C-tizimdagi aylanish energiyasidan va massa markazining harakati bilan bog'liq energiyadan iborat..

Keling, yozamiz qattiq jismning aylanish dinamikasi uchun asosiy tenglama Bilan qattiq aylanish o'qi. Bu tenglamani moddiy nuqta uchun momentlar tenglamasi natijasida olish oson, agar vaqtga nisbatan (10.2) ni farqlasak, u holda

bu erda aylanish o'qiga nisbatan barcha tashqi kuchlarning umumiy momenti, burchak tezlanishining aylanish o'qiga proyeksiyasi. Bu tenglamadan, xususan, inersiya momenti aniq bo'ladi I qattiq jismning aylanish jarayonida inersiya xossalarini aniqlaydi: kuch momentining bir xil qiymati uchun inersiya momenti katta bo'lgan jism kichikroq burchak tezlanishiga ega bo'ladi. O'qga nisbatan kuchlarning momentlari algebraik miqdorlardir: ularning belgilari o'qning ijobiy yo'nalishini tanlashga bog'liq. z, aylanish o'qiga to'g'ri keladigan va yo'nalishdan

mos keladigan kuch momentining "aylanishi". Masalan, ijobiy eksa yo'nalishini tanlash z, rasmda ko'rsatilganidek. 10.3, biz shu bilan burchak moslamasining ijobiy yo'nalishini o'rnatamiz - bu ikkala yo'nalish ham o'ng vint qoidasi bilan bog'liq. Agar ma'lum bir moment burchakning ijobiy yo'nalishi bo'yicha "aylansa", u ijobiy deb hisoblanadi va aksincha. Va umumiy momentning belgisi, o'z navbatida, burchak tezlanish vektorining z o'qiga proyeksiyasining belgisini aniqlaydi.

Boshlang'ich shartlarni - burchak tezligi va burchakning qiymatlari va vaqtning boshlang'ich momentini hisobga olgan holda (10.7) tenglamani integrallash bizga qattiq jismning sobit o'q atrofida aylanishi muammosini to'liq hal qilishga imkon beradi, ya'ni. burchak tezligi va aylanish burchagining vaqtga bog'liqligini toping.

E'tibor bering, (10.7) tenglama to'g'ri keladi har qanday aylanish o'qiga qattiq bog'langan mos yozuvlar tizimi. Biroq, agar mos yozuvlar tizimi inertial bo'lmasa, unda esda tutish kerakki, kuchlar momenti nafaqat boshqa jismlar bilan o'zaro ta'sir qilish kuchlari momentlarini, balki inersiya kuchlarining momentlarini ham o'z ichiga oladi.

Biz tez-tez iboralarni eshitamiz: "bu inert", "inersiya bilan harakat", "inersiya momenti". Majoziy ma'noda "inertiya" so'zini tashabbus va harakatning etishmasligi deb talqin qilish mumkin. Bizni to'g'ridan-to'g'ri ma'no qiziqtiradi.

Inertsiya nima

Ta'rifga ko'ra inertsiya fizikada bu jismlarning tashqi kuchlar bo'lmaganda dam olish yoki harakatlanish holatini saqlab turish qobiliyatidir.

Agar intuitiv darajadagi inertsiya tushunchasi bilan hamma narsa aniq bo'lsa, unda inersiya momenti- alohida savol. Qabul qiling, bu nima ekanligini tasavvur qilish qiyin. Ushbu maqolada siz mavzu bo'yicha asosiy muammolarni qanday hal qilishni o'rganasiz "Inersiya momenti".

Inersiya momentini aniqlash

Maktab kursidan ma'lumki, bu massa - jismning inertsiya o'lchovi. Agar biz har xil massadagi ikkita aravani tursak, unda og'irroqni to'xtatish qiyinroq bo'ladi. Ya'ni, massa qanchalik katta bo'lsa, tananing harakatini o'zgartirish uchun zarur bo'lgan tashqi ta'sir ko'proq. Ko'rib chiqilgan narsa, misoldagi arava to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlansa, tarjima harakati uchun amal qiladi.

Massaga o'xshash va oldinga harakat inersiya momenti - o'q atrofida aylanish harakati paytida tananing inertsiyasining o'lchovidir.

Inersiya momenti– skalyar fizik kattalik, o‘q atrofida aylanish paytidagi jismning inertsiya o‘lchovi. Harf bilan belgilanadi J va tizimda SI kvadrat metrga kilogramm bilan o'lchanadi.

Inersiya momentini qanday hisoblash mumkin? Ovqatlang umumiy formula, bu fizikada har qanday jismning inersiya momentini hisoblash uchun ishlatiladi. Agar tana massasi bilan cheksiz kichik qismlarga bo'lingan bo'lsa dm , u holda inersiya momenti bu elementar massalarning ko'paytmalari yig'indisiga aylanish o'qiga bo'lgan masofaning kvadratiga teng bo'ladi.

Bu fizikada inersiya momentining umumiy formulasi. Moddiy massa nuqtasi uchun m , masofadagi o'q atrofida aylanish r undan bu formula quyidagi shaklni oladi:

Shtayner teoremasi

Inersiya momenti nimaga bog'liq? Massadan, aylanish o'qining holatidan, tananing shakli va o'lchamidan.

Gyuygens-Shtayner teoremasi juda muhim teorema bo'lib, u ko'pincha masalalarni yechishda qo'llaniladi.

Aytmoqchi! O'quvchilarimiz uchun endi 10% chegirma mavjud har qanday ish turi

Gyuygens-Shtayner teoremasi quyidagicha ifodalanadi:

Jismning ixtiyoriy o'qqa nisbatan inersiya momenti jismning ixtiyoriy o'qqa parallel bo'lgan massa markazidan o'tadigan o'qqa nisbatan inersiya momenti va tana massasining kvadratga ko'paytmasining yig'indisiga teng. o'qlar orasidagi masofa.

Inersiya momentini topish masalalarini yechishda doimiy ravishda integrasiya qilishni istamaydiganlar uchun biz muammolarda tez-tez uchrab turadigan ba'zi bir jinsli jismlarning inersiya momentlarini ko'rsatuvchi chizmani taqdim etamiz:

Inersiya momentini topishga oid masalani yechish misoli

Keling, ikkita misolni ko'rib chiqaylik. Birinchi vazifa - inersiya momentini topish. Ikkinchi vazifa Gyuygens-Shtayner teoremasidan foydalanishdir.

Masala 1. Massasi m va radiusi R bo‘lgan bir jinsli diskning inersiya momentini toping. Aylanish o‘qi disk markazidan o‘tadi.

Yechim:

Diskni cheksiz yupqa halqalarga ajratamiz, ularning radiusi turlicha 0 uchun R va shunday uzuklardan birini ko'rib chiqing. Uning radiusi bo'lsin r, va massa - dm. U holda halqaning inersiya momenti:

Uzukning massasi quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Bu yerga dz- uzukning balandligi. Massani inersiya momenti formulasiga almashtiramiz va integrallashamiz:

Natijada absolyut yupqa disk yoki silindrning inersiya momenti formulasi hosil bo‘ldi.

Masala 2. Yana massasi m va radiusi R bo'lgan disk bo'lsin. Endi diskning radiuslaridan birining o'rtasidan o'tuvchi o'qqa nisbatan inersiya momentini topishimiz kerak.

Yechim:

Diskning massa markazidan o'tuvchi o'qqa nisbatan inersiya momenti oldingi masaladan ma'lum. Shtayner teoremasini qo‘llaymiz va topamiz:

Aytgancha, bizning blogimizda fizika va muammolarni hal qilish bo'yicha boshqa foydali materiallarni topishingiz mumkin.

Umid qilamizki, maqolada siz o'zingiz uchun foydali narsalarni topasiz. Agar inertsiya tensorini hisoblash jarayonida qiyinchiliklar yuzaga kelsa, talaba xizmati haqida unutmang. Bizning mutaxassislarimiz har qanday masala bo'yicha maslahat berishadi va muammoni bir necha daqiqada hal qilishga yordam beradi.