Trapezoidning o'rta chizig'i har doim Trapetsiyaning o'rta chizig'i: u nimaga teng, xossalari, teorema isboti. Trapetsiyaning o'rta chizig'ini qanday topish mumkin Teng yon tomonli figura uchun

Trapezoid to'rtburchakning alohida holati bo'lib, uning bir juft tomoni parallel bo'ladi. "Trapezoid" atamasi yunoncha "stol", "stol" degan ma'noni anglatuvchi tréta so'zidan olingan. Ushbu maqolada biz trapezoidlarning turlarini va uning xususiyatlarini ko'rib chiqamiz. Bundan tashqari, biz buning alohida elementlarini qanday hisoblashni aniqlaymiz Masalan, teng yonli trapezoidning diagonali, markaz chizig'i, maydoni va boshqalar. Materiallar elementar mashhur geometriya uslubida, ya'ni oson kirish mumkin bo'lgan shaklda taqdim etilgan. .

Umumiy ma'lumot

Birinchidan, to'rtburchak nima ekanligini aniqlaymiz. Bu raqam to'rt tomoni va to'rtta uchini o'z ichiga olgan ko'pburchakning maxsus holatidir. To'rtburchakning qo'shni bo'lmagan ikkita uchi qarama-qarshi deyiladi. Ikki qo'shni bo'lmagan tomonlar uchun ham xuddi shunday deyish mumkin. To'rtburchaklarning asosiy turlari parallelogramm, to'rtburchak, romb, kvadrat, trapezoid va deltadir.

Shunday qilib, keling, trapezoidlarga qaytaylik. Yuqorida aytib o'tganimizdek, bu raqam ikkita parallel tomonga ega. Ular asoslar deb ataladi. Qolgan ikkitasi (parallel bo'lmagan) lateral tomonlardir. Imtihon materiallarida va har xil testlar juda tez-tez trapezoidlar bilan bog'liq muammolarni topishingiz mumkin, ularning echimi ko'pincha talabadan dasturda ko'zda tutilmagan bilimga ega bo'lishni talab qiladi. Maktab geometriya kursi o‘quvchilarni burchak va diagonallarning xossalari, shuningdek, teng yonli trapezoidning o‘rta chizig‘i bilan tanishtiradi. Ammo, bunga qo'shimcha ravishda, aytib o'tilgan geometrik shakl boshqa xususiyatlarga ega. Ammo ular haqida biroz keyinroq ...

Trapezoidlarning turlari

Bu raqamning ko'p turlari mavjud. Biroq, ko'pincha ulardan ikkitasini ko'rib chiqish odatiy holdir - isoscellar va to'rtburchaklar.

1. To'g'ri to'rtburchak trapesiya - bu tomonlaridan biri asoslarga perpendikulyar bo'lgan figura. Uning ikki burchagi har doim to'qson darajaga teng.

2. Tomonlari bir-biriga teng bo'lgan geometrik figuraga teng yonli trapesiya deyiladi. Demak, asoslardagi burchaklar ham juftlikda teng.

Trapetsiya xossalarini o'rganish metodologiyasining asosiy tamoyillari

Asosiy printsip vazifa deb ataladigan yondashuvdan foydalanishni o'z ichiga oladi. Aslida, geometriyaning nazariy kursiga bu raqamning yangi xususiyatlarini kiritishning hojati yo'q. Ular turli muammolarni hal qilish jarayonida kashf qilinishi va shakllantirilishi mumkin (afzal tizimli). Shu bilan birga, o'qituvchi bir vaqtning o'zida talabalarga qanday vazifalar qo'yish kerakligini bilishi juda muhimdir. ta'lim jarayoni. Bundan tashqari, trapezoidning har bir xususiyati vazifalar tizimida asosiy vazifa sifatida ko'rsatilishi mumkin.

Ikkinchi tamoyil - bu trapezoidning "ajoyib" xususiyatlarini o'rganishning spiral tashkiloti. Bu o'quv jarayonida berilganning individual xususiyatlariga qaytishni anglatadi geometrik shakl. Bu talabalarning ularni eslab qolishlarini osonlashtiradi. Masalan, to'rt nuqtaning mulki. Buni o'xshashlikni o'rganishda ham, keyinchalik vektorlardan foydalanganda ham isbotlash mumkin. Shaklning yon tomonlariga tutashgan uchburchaklarning ekvivalentligini nafaqat bir xil toʻgʻri chiziqda yotgan tomonlarga chizilgan balandliklari teng boʻlgan uchburchaklarning xossalarini qoʻllash, balki S = 1/2( formulasi yordamida ham isbotlash mumkin. ab*sina). Bundan tashqari, siz chizilgan trapezoidda yoki chizilgan trapezoidda to'g'ri burchakli uchburchakda va hokazolarda ishlashingiz mumkin.

Maktab kursi mazmunida geometrik figuraning «sinfdan tashqari» xususiyatlaridan foydalanish ularni o'qitishning vazifaga asoslangan texnologiyasidir. Boshqa mavzularni o‘tishda o‘rganilayotgan xossalarga doimiy murojaat qilish o‘quvchilarga trapetsiya haqida chuqurroq bilim olish imkonini beradi va berilgan masalalarni muvaffaqiyatli yechishini ta’minlaydi. Shunday qilib, keling, ushbu ajoyib figurani o'rganishni boshlaylik.

Teng yonli trapesiyaning elementlari va xossalari

Yuqorida aytib o'tganimizdek, bu geometrik shakl teng tomonlarga ega. U to'g'ri trapezoid sifatida ham tanilgan. Nima uchun bu juda ajoyib va ​​nega bunday nom oldi? Bu raqamning o'ziga xosligi shundaki, nafaqat poydevorlardagi tomonlar va burchaklar, balki diagonallar ham tengdir. Bundan tashqari, teng yonli trapezoidning burchaklarining yig'indisi 360 ga teng. Lekin bu hammasi emas! Ma'lum bo'lgan barcha trapezoidlardan faqat bittasini aylana sifatida tasvirlash mumkin. Buning sababi shundaki, bu raqamning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi 180 gradusga teng va faqat shu shartda to'rtburchak atrofida aylana tasvirlanishi mumkin. Ko'rib chiqilayotgan geometrik figuraning navbatdagi xossasi shundan iboratki, asosning cho'qqisidan qarama-qarshi cho'qqining shu asosni o'z ichiga olgan to'g'ri chiziqqa proyeksiyasigacha bo'lgan masofa o'rta chiziqqa teng bo'ladi.

Endi teng yonli trapesiyaning burchaklarini qanday topish mumkinligini aniqlaymiz. Keling, rasmning tomonlari o'lchamlari ma'lum bo'lgan taqdirda, ushbu muammoning echimini ko'rib chiqaylik.

Yechim

Odatda, to'rtburchak odatda A, B, C, D harflari bilan belgilanadi, bu erda BS va AD asoslardir. Teng yonli trapesiyada tomonlar teng. Biz ularning o'lchamlari X ga teng, bazalarning o'lchamlari esa Y va Z ga teng deb faraz qilamiz (mos ravishda kichikroq va kattaroq). Hisoblashni amalga oshirish uchun B burchakdan H balandligini chizish kerak. Natijada ABN to'g'ri burchakli uchburchak, bu erda AB gipotenuza, BN va AN - oyoqlari. Biz AN oyog'ining o'lchamini hisoblaymiz: kattaroq bazadan kichikroqni ayirib, natijani 2 ga bo'lamiz. Biz uni formula shaklida yozamiz: (Z-Y)/2 = F. Endi o'tkirni hisoblash uchun. uchburchakning burchagi, biz cos funktsiyasidan foydalanamiz. Biz quyidagi yozuvni olamiz: cos(b) = X/F. Endi burchakni hisoblaymiz: b=arcos (X/F). Bundan tashqari, bitta burchakni bilib, ikkinchisini aniqlashimiz mumkin, buning uchun biz elementar arifmetik amalni bajaramiz: 180 - b. Barcha burchaklar aniqlangan.

Bu muammoning ikkinchi yechimi bor. Birinchidan, biz burchakdan balandlikka tushiramiz H. Biz BN oyog'ining qiymatini hisoblaymiz. Biz bilamizki, gipotenuzaning kvadrati to'g'ri uchburchak summasiga teng oyoq kvadratlari. Biz olamiz: BN = √ (X2-F2). Keyinchalik biz foydalanamiz trigonometrik funktsiya tg. Natijada, bizda: b = arktan (BN/F). O'tkir burchak topildi. Keyinchalik, biz uni birinchi usulga o'xshash tarzda aniqlaymiz.

Teng yonli trapesiya diagonallarining xossasi

Birinchidan, to'rtta qoidani yozamiz. Agar teng yonli trapezoiddagi diagonallar perpendikulyar bo'lsa, u holda:

Shaklning balandligi ikkiga bo'lingan asoslar yig'indisiga teng bo'ladi;

Uning balandligi va o'rta chizig'i teng;

Doira markazi - bu nuqta;

Agar lateral tomon teginish nuqtasi bilan H va M segmentlarga bo'linsa, u teng bo'ladi kvadrat ildiz ushbu segmentlarning mahsulotlari;

Tegish nuqtalari, trapetsiyaning uchi va chizilgan aylananing markazidan hosil bo'lgan to'rtburchak - bu tomoni radiusga teng bo'lgan kvadrat;

Shaklning maydoni asoslar ko'paytmasiga va asoslar yig'indisining yarmi va balandligining ko'paytmasiga teng.

Shunga o'xshash trapezoidlar

Ushbu mavzu buning xossalarini o'rganish uchun juda qulaydir Masalan, diagonallar trapetsiyani to'rtta uchburchakka bo'ladi va asoslarga qo'shnilari o'xshash, tomonlarga qo'shnilari esa o'lchamlari bo'yicha tengdir. Ushbu bayonotni trapetsiya diagonallari bo'yicha bo'lingan uchburchaklarning xossasi deb atash mumkin. Ushbu bayonotning birinchi qismi ikki burchakdagi o'xshashlik belgisi orqali isbotlangan. Ikkinchi qismni isbotlash uchun quyida keltirilgan usuldan foydalanish yaxshiroqdir.

Teoremaning isboti

Biz ABSD (AD va BS trapetsiya asoslari) figurasi VD va AC diagonallariga boʻlinganligini qabul qilamiz. Ularning kesishish nuqtasi O. Biz to'rtta uchburchakni olamiz: AOS - pastki poydevorda, BOS - yuqori asosda, ABO va SOD tomonlarda. SOD va BOS uchburchaklari umumiy balandlikka ega, agar BO va OD segmentlari ularning asosi bo'lsa. Biz ularning maydonlari orasidagi farq (P) bu segmentlar orasidagi farqga teng ekanligini aniqlaymiz: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Shuning uchun, PSOD = PBOS / K. Xuddi shunday, BOS va AOB uchburchaklari umumiy balandlikka ega. Biz ularning asosi sifatida CO va OA segmentlarini olamiz. Biz PBOS/PAOB = CO/OA = K va PAOB = PBOS/K ni olamiz. Bundan kelib chiqadiki, PSOD = PAOB.

Materialni mustahkamlash uchun o'quvchilarga quyidagi masalani yechish orqali trapetsiya diagonallari bo'yicha hosil bo'lgan uchburchaklarning maydonlari orasidagi bog'lanishni topish tavsiya etiladi. Ma'lumki, BOS va AOD uchburchaklari teng maydonlarga ega, trapezoidning maydonini topish kerak. PSOD = PAOB ekan, bu PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD degan ma'noni anglatadi. BOS va AOD uchburchaklarining o'xshashligidan BO/OD = √(PBOS/PAOD) kelib chiqadi. Shuning uchun, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Biz PSOD = √ (PBOS * PAOD) ni olamiz. Keyin PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

O'xshashlik xususiyatlari

Ushbu mavzuni rivojlantirishda davom etsangiz, boshqasini isbotlash mumkin qiziqarli xususiyatlar trapezoid. Shunday qilib, o'xshashlikdan foydalanib, bu geometrik figuraning diagonallari kesishmasidan hosil bo'lgan nuqtadan, asoslarga parallel ravishda o'tadigan segmentning xususiyatini isbotlash mumkin. Buning uchun quyidagi masalani yechamiz: O nuqtadan o’tuvchi RK segmentining uzunligini topishimiz kerak. AOD va BOS uchburchaklarining o’xshashligidan AO/OS = AD/BS kelib chiqadi. AOP va ASB uchburchaklarining o'xshashligidan AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD) kelib chiqadi. Bu yerdan biz RO=BS*BP/(BS+BP) ni olamiz. Xuddi shunday, DOC va DBS uchburchaklarining o'xshashligidan OK = BS*AD/(BS+AD) kelib chiqadi. Bu yerdan biz RO=OK va RK=2*BS*AD/(BS+AD) ni olamiz. Diagonallarning kesishish nuqtasidan o'tadigan, asoslarga parallel bo'lgan va ikkita lateral tomonni bog'laydigan segment kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'linadi. Uning uzunligi figura asoslarining garmonik o'rtacha qiymatidir.

Trapetsiyaning quyidagi xossasini ko'rib chiqaylik, u to'rt nuqtaning xossasi deb ataladi. Diagonallarning kesishish nuqtalari (O), tomonlarning davomi (E) kesishishi, shuningdek, asoslarning o'rta nuqtalari (T va F) har doim bir xil chiziqda yotadi. Buni o'xshashlik usuli bilan osongina isbotlash mumkin. Hosil boʻlgan BES va AED uchburchaklari oʻxshash boʻlib, ularning har birida ET va EJ medianalari E choʻqqi burchagini teng qismlarga ajratadi. Demak, E, T va F nuqtalar bir xil to'g'ri chiziqda yotadi. Xuddi shu tarzda, T, O va Zh nuqtalari bir xil to'g'ri chiziqda joylashganki, bularning barchasi BOS va AOD uchburchaklarining o'xshashligidan kelib chiqadi. Bu erdan biz barcha to'rt nuqta - E, T, O va F nuqtalar bir xil to'g'ri chiziqda yotadi, degan xulosaga kelamiz.

Shunga o'xshash trapetsiyalardan foydalanib, siz o'quvchilardan rasmni ikkita o'xshash qismga ajratuvchi segmentning uzunligini (LS) topishni so'rashingiz mumkin. Ushbu segment tagliklarga parallel bo'lishi kerak. Olingan trapezoidlar ALFD va LBSF o'xshash bo'lgani uchun BS/LF = LF/AD bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, LF=√(BS*AD). Biz trapetsiyani ikkita o'xshash qismga bo'luvchi segmentning uzunligi shakl asoslari uzunliklarining o'rtacha geometrik qiymatiga teng ekanligini aniqlaymiz.

Quyidagi o'xshashlik xususiyatini ko'rib chiqing. U trapezoidni ikkita teng raqamga ajratadigan segmentga asoslangan. Biz ABSD trapezoidi EH segmenti bilan ikkita o'xshashga bo'lingan deb taxmin qilamiz. B cho'qqisidan EN segmenti tomonidan ikki qismga - B1 va B2 ga bo'lingan balandlik qoldirilmaydi. Biz quyidagilarni olamiz: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 va PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Keyinchalik, birinchi tenglamasi (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 va ikkinchi (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2 bo'lgan tizim tuzamiz. Bundan kelib chiqadiki, B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) va BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Biz trapetsiyani teng ikkitaga bo'luvchi segmentning uzunligi asoslar uzunliklarining o'rtacha ildiz kvadratiga teng ekanligini aniqlaymiz: √((BS2+AD2)/2).

O'xshashlik topilmalari

Shunday qilib, biz buni isbotladik:

1. Trapetsiyaning yon tomonlarining oʻrta nuqtalarini tutashtiruvchi segment AD va BS ga parallel boʻlib, BS va AD ning oʻrtacha arifmetik qiymatiga (trapetsiya asosining uzunligi) teng.

2. AD va BS ga parallel bo‘lgan diagonallar kesishuvining O nuqtasidan o‘tuvchi chiziq AD va BS sonlarining o‘rta garmonik qiymatiga teng bo‘ladi (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Trapetsiyani o'xshashlarga ajratuvchi segment BS va AD asoslarining geometrik o'rtacha uzunligiga ega.

4. Shaklni teng ikkiga bo‘luvchi element AD va BS sonlarining o‘rtacha ildiz kvadratining uzunligiga ega.

Materialni birlashtirish va ko'rib chiqilayotgan segmentlar orasidagi aloqani tushunish uchun talaba ularni ma'lum bir trapezoid uchun qurishi kerak. U o'rta chiziqni va O nuqtasidan o'tadigan segmentni osongina ko'rsatishi mumkin - figuraning diagonallari kesishmasi - asoslarga parallel. Lekin uchinchi va to'rtinchi qaerda joylashgan bo'ladi? Bu javob talabani o'rtacha qiymatlar orasidagi kerakli munosabatni topishga olib keladi.

Trapetsiya diagonallarining o'rta nuqtalarini tutashtiruvchi segment

Ushbu rasmning quyidagi xususiyatini ko'rib chiqing. MH segmenti asoslarga parallel va diagonallarni ikkiga bo'ladi deb faraz qilamiz. Kesishish nuqtalarini Sh va Sh deb ataymiz, bu segment asoslar farqining yarmiga teng bo'ladi. Keling, buni batafsil ko'rib chiqaylik. MS - ABS uchburchagining o'rta chizig'i, u BS/2 ga teng. MSH - ABD uchburchagining o'rta chizig'i, u AD/2 ga teng. Keyin biz ShShch = MSh-MSh ni olamiz, shuning uchun ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Og'irlik markazi

Keling, ushbu element berilgan geometrik shakl uchun qanday aniqlanganligini ko'rib chiqaylik. Buning uchun tayanchlarni qarama-qarshi yo'nalishda kengaytirish kerak. Bu nima degani? Pastki tayanchni yuqori poydevorga qo'shishingiz kerak - har qanday yo'nalishda, masalan, o'ngga. Va biz pastki qismini yuqori qismining uzunligi bo'ylab chapga uzaytiramiz. Keyinchalik, biz ularni diagonal ravishda bog'laymiz. Ushbu segmentning rasmning o'rta chizig'i bilan kesishish nuqtasi trapetsiyaning og'irlik markazidir.

Yozilgan va chegaralangan trapezoidlar

Keling, bunday raqamlarning xususiyatlarini sanab o'tamiz:

1. Trapetsiya faqat teng yonli bo‘lsa, aylana ichiga chizilgan bo‘lishi mumkin.

2. Trapetsiyani aylana bo‘ylab tasvirlash mumkin, bunda ularning asoslari uzunliklari yig‘indisi tomonlarning uzunliklari yig‘indisiga teng bo‘ladi.

Doiraning natijalari:

1. Ta'riflangan trapetsiyaning balandligi har doim ikkita radiusga teng.

2. Tasvirlangan trapetsiya tomoni aylana markazidan to'g'ri burchak ostida kuzatiladi.

Birinchi natija aniq, lekin ikkinchisini isbotlash uchun SOD burchagi to'g'ri ekanligini aniqlash kerak, bu ham qiyin emas. Ammo bu xususiyatni bilish sizga muammolarni hal qilishda to'g'ri burchakli uchburchakdan foydalanishga imkon beradi.

Keling, aylana ichiga chizilgan teng yonli trapesiya uchun bu oqibatlarni aniqlaylik. Balandligi shakl asoslarining oʻrtacha geometrik qiymati ekanligini aniqlaymiz: H=2R=√(BS*AD). Trapetsiya masalalarini yechishning asosiy texnikasini (ikki balandlikni chizish printsipi) mashq qilishda talaba hal qilishi kerak. keyingi vazifa. Faraz qilamizki, BT ABSD teng yonli figurasining balandligi. AT va TD segmentlarini topish kerak. Yuqorida tavsiflangan formuladan foydalanib, buni qilish qiyin bo'lmaydi.

Keling, aylana radiusini chegaralangan trapezoidning maydonidan foydalanib qanday aniqlashni aniqlaylik. Biz balandlikni B cho'qqisidan AD asosiga tushiramiz. Doira trapetsiya ichiga chizilganligi uchun BS+AD = 2AB yoki AB = (BS+AD)/2 bo'ladi. ABN uchburchagidan sina = BN/AB = 2*BN/(BS+AD) ni topamiz. PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Biz PABSD = (BS+BP)*R ni olamiz, shundan kelib chiqadiki, R = PABSD/(BS+BP).

Trapezoidning o'rta chizig'i uchun barcha formulalar

Endi bu geometrik shaklning oxirgi elementiga o'tish vaqti keldi. Keling, trapetsiyaning o'rta chizig'i (M) nimaga teng ekanligini aniqlaylik:

1. Asoslar orqali: M = (A+B)/2.

2. Balandlik, poydevor va burchaklar orqali:

M = A-H*(ctga+ctgb)/2;

M = B+N*(ctga+ctgb)/2.

3. Balandlik, diagonallar va ular orasidagi burchak orqali. Masalan, D1 va D2 trapetsiyaning diagonallari; a, b - ular orasidagi burchaklar:

M = D1 * D2 * sina / 2N = D1 * D2 * sinb / 2N.

4. Maydon va balandlik orqali: M = P/N.

O'rta chiziq planimetriyadagi raqamlar - berilgan figuraning ikki tomonining o'rta nuqtalarini bog'laydigan segment. Kontseptsiya quyidagi raqamlar uchun ishlatiladi: uchburchak, to'rtburchak, trapezoid.

Uchburchakning o'rta chizig'i

Xususiyatlari

• uchburchakning o'rta chizig'i asosga parallel va uning yarmiga teng.
• o'rta chiziq 1/2 koeffitsienti bilan asl nusxaga o'xshash va gomotetik uchburchakni kesib tashlaydi; uning maydoni asl uchburchak maydonining to'rtdan biriga teng.
• uchta o'rta chiziq asl uchburchakni to'rtga bo'ladi teng uchburchak. Bu uchburchaklarning markaziy qismi komplementar yoki medial uchburchak deyiladi.

Belgilar

• Agar uchburchakdagi segment uning bir tomonining o'rtasidan o'tib, ikkinchisini kesib, uchinchisiga parallel bo'lsa, u holda bu segment o'rta chiziqdir.
• O'rta chiziq bilan kesilgan uchburchakning maydoni va shunga mos ravishda hajmi maydonning 1/4 qismiga va shunga mos ravishda butun berilgan uchburchakning hajmiga teng.

To'rtburchakning o'rta chizig'i

To'rtburchakning o'rta chizig'i- to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlarining o'rta nuqtalarini bog'lovchi segment.

Xususiyatlari

Birinchi chiziq 2 qarama-qarshi tomonni bog'laydi. Ikkinchisi boshqa 2 qarama-qarshi tomonni bog'laydi. Uchinchisi ikkita diagonalning markazlarini bog'laydi (barcha to'rtburchaklarda diagonallar kesishish nuqtasida yarmiga bo'linmaydi).

• Agar qavariq to'rtburchakda o'rta chiziq hosil bo'lsa teng burchaklar to'rtburchakning diagonallari bilan, keyin diagonallar teng bo'ladi.
• To'rtburchakning o'rta chizig'ining uzunligi qolgan ikki tomonning yig'indisining yarmidan kam yoki unga teng, agar bu tomonlar parallel bo'lsa va faqat bu holatda.
• Ixtiyoriy to'rtburchak tomonlarining o'rta nuqtalari parallelogrammning cho'qqilaridir. Uning maydoni to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng, markazi esa o'rta chiziqlarning kesishish nuqtasida joylashgan. Bu parallelogramm Varignon parallelogrammasi deb ataladi;
• Oxirgi nuqta quyidagilarni anglatadi: Qavariq to'rtburchakda siz to'rtta chizishingiz mumkin ikkinchi turdagi o'rta chiziqlar. Ikkinchi turdagi o'rta chiziqlar- to'rtburchak ichidagi to'rtta segment, uning qo'shni tomonlarining o'rta nuqtalaridan diagonallarga parallel ravishda o'tadi. To'rt ikkinchi turdagi o'rta chiziqlar Qavariq to'rtburchakni to'rtta uchburchak va bitta markaziy to'rtburchakka kesib tashlang. Ushbu markaziy to'rtburchak Varignon parallelogrammasi.
• To'rtburchakning o'rta chiziqlarining kesishish nuqtasi ularning umumiy o'rta nuqtasi bo'lib, diagonallarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan segmentni ikkiga bo'ladi. Bundan tashqari, u to'rtburchakning uchlari markazidir.
• Ixtiyoriy to'rtburchakda o'rta chiziq vektori asoslar vektorlari yig'indisining yarmiga teng.

Trapezoidning o'rta chizig'i

Trapezoidning o'rta chizig'i

Trapezoidning o'rta chizig'i- bu trapetsiya tomonlarining o'rta nuqtalarini bog'laydigan segment. Trapetsiya asoslarining o'rta nuqtalarini tutashtiruvchi segment trapetsiyaning ikkinchi o'rta chizig'i deyiladi.

U quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: E F = A D + B C 2 (\displaystyle EF=(\frac (AD+BC)(2))), Qayerda AD Va Miloddan avvalgi- trapetsiya asosi.

Ushbu maqolada biz trapezoidning xususiyatlarini iloji boricha to'liq aks ettirishga harakat qilamiz. Xususan, trapetsiyaning umumiy xususiyatlari va xossalari, shuningdek, trapetsiya ichiga chizilgan trapetsiya va aylana xususiyatlari haqida gapiramiz. Shuningdek, biz teng yonli va to'rtburchak trapezoidning xususiyatlariga to'xtalamiz.

Muhokama qilingan xususiyatlardan foydalangan holda muammoni hal qilishning misoli uni boshingizda saralashga va materialni yaxshiroq eslab qolishga yordam beradi.

Trapesiya va hamma narsa

Boshlash uchun, keling, trapezoid nima ekanligini va u bilan qanday boshqa tushunchalar bog'liqligini qisqacha eslaylik.

Demak, trapezoid to'rtburchak figura bo'lib, uning ikki tomoni bir-biriga parallel (bu asoslar). Va ikkalasi parallel emas - bu tomonlar.

Trapezoidda balandlikni tushirish mumkin - poydevorlarga perpendikulyar. Markaziy chiziq va diagonallar chizilgan. Trapetsiyaning istalgan burchagidan bissektrisa chizish ham mumkin.

Endi biz ushbu elementlarning barchasi va ularning kombinatsiyasi bilan bog'liq bo'lgan turli xil xususiyatlar haqida gapiramiz.

Trapetsiya diagonallarining xossalari

Aniqroq bo'lishi uchun, siz o'qiyotganingizda, qog'oz varag'iga ACME trapetsiyasining eskizini chizib oling va unda diagonallarni chizing.

1. Agar siz diagonallarning har birining o'rta nuqtalarini topsangiz (bu nuqtalarni X va T deb ataymiz) va ularni birlashtirsangiz, siz segmentga ega bo'lasiz. Trapetsiya diagonallarining xossalaridan biri shundaki, HT segmenti o'rta chiziqda yotadi. Va uning uzunligini asoslar farqini ikkiga bo'lish orqali olish mumkin: HT = (a – b)/2.
2. Bizning oldimizda bir xil trapezoid ACME. Diagonallar O nuqtada kesishadi. Keling, diagonallarning segmentlari bilan birga trapetsiya asoslari bilan tuzilgan AOE va MOK uchburchaklarini ko'rib chiqaylik. Bu uchburchaklar o'xshash. Uchburchaklarning o'xshashlik koeffitsienti k trapetsiya asoslarining nisbati orqali ifodalanadi: k = AE/KM.
   AOE va MOK uchburchaklar maydonlarining nisbati k 2 koeffitsienti bilan tavsiflanadi.
3. Xuddi shu trapetsiya, bir xil diagonallar O nuqtada kesishadi. Faqat bu safar biz diagonallarning segmentlari trapetsiya tomonlari bilan birga hosil bo'lgan uchburchaklarni ko'rib chiqamiz. AKO va EMO uchburchaklarining maydonlari o'lchamlari bo'yicha teng - ularning maydonlari bir xil.
4. Trapezoidning yana bir xususiyati diagonallarni qurishni o'z ichiga oladi. Shunday qilib, agar siz AK va ME tomonlarini kichikroq asos yo'nalishi bo'yicha davom ettirsangiz, ertami-kechmi ular ma'lum bir nuqtada kesishadi. Keyinchalik, trapezoidning asoslari o'rtasidan to'g'ri chiziq torting. U asoslarni X va T nuqtalarda kesib o'tadi.
   Agar biz XT chizig'ini endi cho'zsak, u holda O trapetsiya diagonallarining kesishish nuqtasini, X va T asoslarning yon tomonlari va o'rtalarining kengaytmalari kesishgan nuqtani birlashtiradi.
5. Diagonallarning kesishish nuqtasi orqali biz trapetsiya asoslarini bog'laydigan segmentni chizamiz (T kichikroq KM asosida, X kattaroq AEda yotadi). Diagonallarning kesishish nuqtasi ushbu segmentni quyidagi nisbatda ajratadi: TO/OX = KM/AE.
6. Endi diagonallarning kesishish nuqtasi orqali trapetsiya (a va b) asoslariga parallel segment chizamiz. Kesishish nuqtasi uni ikkita teng qismga ajratadi. Formuladan foydalanib, segment uzunligini topishingiz mumkin 2ab/(a + b).

Trapetsiyaning o'rta chizig'ining xossalari

Trapetsiyadagi o'rta chiziqni uning asoslariga parallel ravishda chizing.

1. Trapezoidning o'rta chizig'ining uzunligini asoslar uzunligini qo'shib, ularni yarmiga bo'lish orqali hisoblash mumkin: m = (a + b)/2.
2. Agar siz trapetsiyaning ikkala asosi orqali biron bir segmentni (masalan, balandlikni) o'tkazsangiz, o'rta chiziq uni ikkita teng qismga ajratadi.

Trapezoid bissektrisa xossasi

Trapetsiyaning istalgan burchagini tanlang va bissektrisa chizing. Masalan, ACME trapesiyamizning KAE burchagini olaylik. Qurilishni o'zingiz tugatgandan so'ng, bissektrisa taglikdan (yoki rasmning o'zidan tashqaridagi to'g'ri chiziqda davom etishi) yon tomondan bir xil uzunlikdagi segmentni kesib tashlashini osongina tekshirishingiz mumkin.

Trapetsiya burchaklarining xossalari

1. Yon tomonga ulashgan ikki juft burchakdan qaysi birini tanlasangiz, juftlikdagi burchaklar yig‘indisi har doim 180 0 ga teng: a + b = 180 0 va g + d = 180 0.
2. Trapetsiya asoslarining o'rta nuqtalarini TX segmenti bilan bog'laymiz. Endi trapetsiya asoslaridagi burchaklarni ko'rib chiqamiz. Agar ularning birortasi uchun burchaklar yig'indisi 90 0 ga teng bo'lsa, TX segmentining uzunligini ikkiga bo'lingan tagliklar uzunligidagi farq asosida osongina hisoblash mumkin: TX = (AE – KM)/2.
3. Agar trapezoid burchakning yon tomonlari orqali parallel chiziqlar o'tkazilsa, ular burchakning tomonlarini proportsional segmentlarga bo'lishadi.

Teng yonli (teng yonli) trapesiyaning xossalari

1. Teng yonli trapesiyada har qanday asosdagi burchaklar teng.
2. Endi biz nima haqida gapirayotganimizni tasavvur qilishni osonlashtirish uchun yana trapezoid quring. AE asosiga diqqat bilan qarang - qarama-qarshi M asosining tepasi AE ni o'z ichiga olgan chiziqning ma'lum bir nuqtasiga proyeksiyalangan. A cho'qqidan M cho'qqining proyeksiya nuqtasigacha bo'lgan masofa va teng yonli trapesiyaning o'rta chizig'i teng.
3. Teng yonli trapezoid diagonallarining xossasi haqida bir necha so'z - ularning uzunligi teng. Shuningdek, bu diagonallarning trapetsiya asosiga moyillik burchaklari bir xil.
4. Faqat teng yonli trapesiya atrofida aylana tasvirlanishi mumkin, chunki to'rtburchakning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi 180 0 ga teng - buning uchun zaruriy shart.
5. Teng yon tomonli trapesiyaning xossasi oldingi paragrafdan kelib chiqadi - agar trapezoid yaqinida aylana tasvirlanishi mumkin bo'lsa, u izoskeldir.
6. Teng yonli trapetsiyaning xususiyatlaridan trapetsiyaning balandlik xususiyati kelib chiqadi: agar uning diagonallari to'g'ri burchak ostida kesishsa, balandlik uzunligi asoslar yig'indisining yarmiga teng bo'ladi: h = (a + b)/2.
7. Yana TX segmentini trapetsiya asoslarining o'rta nuqtalari orqali o'tkazing - teng yonli trapesiyada u asoslarga perpendikulyar. Va ayni paytda TX - teng yonli trapezoidning simmetriya o'qi.
8. Bu safar trapetsiyaning qarama-qarshi cho'qqisidan balandlikni kattaroq poydevorga tushiring (uni a deb ataymiz). Siz ikkita segmentni olasiz. Agar asoslarning uzunligi qo'shilsa va yarmiga bo'linsa, bittaning uzunligini topish mumkin: (a + b)/2. Kattaroq bazadan kichigini ayirib, hosil bo'lgan farqni ikkiga bo'lsak, ikkinchisini olamiz: (a - b)/2.

Doira ichiga chizilgan trapetsiyaning xossalari

Biz allaqachon aylana ichiga yozilgan trapezoid haqida gapirayotganimiz sababli, keling, ushbu masalaga batafsil to'xtalib o'tamiz. Xususan, aylananing markazi trapezoidga nisbatan qayerda joylashgan. Bu erda ham, qalam olishga vaqt ajratish va quyida muhokama qilinadigan narsalarni chizish tavsiya etiladi. Shunday qilib, siz tezroq tushunasiz va yaxshiroq eslaysiz.

1. Doira markazining joylashishi trapetsiya diagonalining uning yon tomoniga egilish burchagi bilan aniqlanadi. Misol uchun, diagonal trapezoidning tepasidan yon tomonga to'g'ri burchak ostida cho'zilishi mumkin. Bunday holda, kattaroq asos aylananing markazini o'rtada kesib o'tadi (R = ½AE).
2. Diagonal va yon tomonlar ham o'tkir burchak ostida uchrashishi mumkin - keyin aylananing markazi trapezoidning ichida bo'ladi.
3. Cheklangan doiraning markazi trapetsiyadan tashqarida, uning kattaroq asosidan tashqarida bo'lishi mumkin, agar trapetsiya diagonali va yon tomoni o'rtasida o'tmas burchak mavjud bo'lsa.
4. ACME trapezoidining diagonali va katta asosi (yozilgan burchak) tomonidan hosil qilingan burchak unga mos keladigan markaziy burchakning yarmini tashkil qiladi: MAE = ½MOE.
5. Cheklangan aylana radiusini topishning ikkita usuli haqida qisqacha. Birinchi usul: chizilgan rasmingizga diqqat bilan qarang - nimani ko'ryapsiz? Diagonal trapezoidni ikkita uchburchakka bo'lishini osongina payqashingiz mumkin. Radiusni uchburchak tomonining qarama-qarshi burchak sinusiga nisbatini ikkiga ko'paytirish orqali topish mumkin. Masalan, R = AE/2*sinAME. Xuddi shunday, formulani ikkala uchburchakning istalgan tomoni uchun yozish mumkin.
6. Ikkinchi usul: trapetsiyaning diagonali, yon tomoni va asosi tomonidan hosil qilingan uchburchakning maydoni orqali aylana radiusini toping: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Doira atrofida chizilgan trapetsiyaning xossalari

Agar bitta shart bajarilsa, aylanani trapezoidga joylashtirishingiz mumkin. Quyida bu haqda ko'proq o'qing. Va birgalikda bu raqamlar kombinatsiyasi bir qator qiziqarli xususiyatlarga ega.

1. Agar aylana trapezoidga chizilgan bo'lsa, uning o'rta chizig'ining uzunligini tomonlarning uzunliklarini qo'shib, olingan yig'indini yarmiga bo'lish orqali osongina topish mumkin: m = (c + d)/2.
2. Doira haqida tasvirlangan ACME trapetsiyasi uchun asoslar uzunliklarining yig'indisi tomonlarning uzunliklari yig'indisiga teng: AK + ME = KM + AE.
3. Trapetsiya asoslarining bu xossasidan qarama-qarshi gap kelib chiqadi: asoslar yig’indisi uning tomonlari yig’indisiga teng bo’lgan trapetsiyaga aylana chizilishi mumkin.
4. Radiusi r trapetsiyaga chizilgan aylananing teginish nuqtasi tomonini ikki qismga ajratadi, ularni a va b deb ataymiz. Doira radiusini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: r = √ab.
5. Va yana bir mulk. Chalkashmaslik uchun ushbu misolni o'zingiz ham chizing. Bizda aylana bo'ylab tasvirlangan yaxshi eski ACME trapezoidi bor. U O nuqtada kesishgan diagonallarni o'z ichiga oladi. Diagonallar segmentlari va lateral tomonlari tomonidan hosil qilingan AOK va EOM uchburchaklari to'rtburchaklardir.
   Bu uchburchaklarning gipotenuslarga (ya'ni, trapezoidning lateral tomonlari) tushirilgan balandliklari chizilgan doira radiuslariga to'g'ri keladi. Va trapezoidning balandligi chizilgan doira diametriga to'g'ri keladi.

To'rtburchak trapetsiyaning xossalari

Agar burchaklaridan biri to'g'ri bo'lsa, trapezoid to'rtburchaklar deyiladi. Va uning xususiyatlari shu holatdan kelib chiqadi.

1. To'g'ri to'rtburchaklar trapetsiyaning bir tomoni uning asosiga perpendikulyar bo'ladi.
2. ga ulashgan trapezoidning balandligi va lateral tomoni to'g'ri burchak, teng. Bu sizga to'rtburchaklar trapezoidning maydonini hisoblash imkonini beradi ( umumiy formula S = (a + b) * h/2) nafaqat balandlik orqali, balki to'g'ri burchakka ulashgan tomondan ham.
3. To'rtburchaklar trapezoid uchun yuqorida tavsiflangan trapezoid diagonallarining umumiy xususiyatlari tegishli.

Trapetsiyaning ba'zi xossalarini isbotlash

Teng yonli trapetsiya asosidagi burchaklarning tengligi:

• Ehtimol siz allaqachon taxmin qilgandirsiz, bu erda bizga yana AKME trapesiya kerak bo'ladi - isosseles trapezoidini chizish. M cho'qqisidan AK (MT || AK) tomoniga parallel bo'lgan MT to'g'ri chiziqni o'tkazing.

Olingan to'rtburchak AKMT parallelogrammdir (AK || MT, KM || AT). ME = KA = MT bo'lgani uchun, ∆ MTE teng yon tomonli va MET = MTE.

AK || MT, shuning uchun MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME qaerda.

Q.E.D.

Endi, teng yonli trapezoidning (diagonallarning tengligi) xususiyatiga asoslanib, buni isbotlaymiz ACME trapezoidasi teng yon tomonli:

• Birinchidan, MX - MX || to'g'ri chiziq chizamiz KE. Biz KMHE parallelogrammasini olamiz (asosiy - MX || KE va KM || EX).

∆AMX teng yon tomonli, chunki AM = KE = MX va MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, shuning uchun MAE = MXE.

Aniqlanishicha, AKE va EMA uchburchaklari bir-biriga teng, chunki AM = KE va AE ikki uchburchakning umumiy tomonidir. Shuningdek, MAE = MXE. AK = ME degan xulosaga kelishimiz mumkin va bundan AKME trapetsiyasi teng yon tomonli ekanligi kelib chiqadi.

Vazifani ko'rib chiqish

ACME trapesiyaning asoslari 9 sm va 21 sm, yon tomoni KA, 8 sm ga teng, kichikroq asos bilan 150 0 burchak hosil qiladi. Siz trapezoidning maydonini topishingiz kerak.

Yechish: K cho'qqisidan trapetsiyaning kattaroq asosiga balandlikni tushiramiz. Keling, trapezoidning burchaklariga qarashni boshlaylik.

AEM va KAN burchaklari bir tomonlama. Bu degani, ular jami 180 0 beradi. Shuning uchun KAN = 30 0 (trapezoidal burchaklar xususiyatiga asoslangan).

Keling, to'rtburchak ∆ANC ni ko'rib chiqaylik (menimcha, bu fikr o'quvchilarga qo'shimcha dalillarsiz ravshan). Undan biz KH trapesiya balandligini topamiz - uchburchakda bu 30 0 burchakka qarama-qarshi yotgan oyoqdir. Shuning uchun KH = ½AB = 4 sm.

Trapetsiya maydonini quyidagi formuladan foydalanib topamiz: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 sm 2.

Keyingi so'z

Agar siz ushbu maqolani diqqat bilan va puxta o'rgangan bo'lsangiz, qo'lingizda qalam bilan barcha berilgan xususiyatlar uchun trapezoidlarni chizish va ularni amalda tahlil qilish uchun dangasa bo'lmasangiz, materialni yaxshi o'zlashtirgan bo'lishingiz kerak edi.

Albatta, bu erda juda ko'p ma'lumotlar mavjud, turli xil va ba'zan chalkashliklar: tasvirlangan trapezoidning xususiyatlarini yozilganining xususiyatlari bilan aralashtirish unchalik qiyin emas. Ammo o'zingiz ko'rdingizki, farq juda katta.

Endi sizda hamma narsaning batafsil xulosasi bor umumiy xususiyatlar trapezoidlar. Shuningdek, teng yon tomonlar va to'rtburchaklar trapetsiyalarning o'ziga xos xususiyatlari va xususiyatlari. Test va imtihonlarga tayyorgarlik ko'rish uchun foydalanish juda qulay. O'zingiz sinab ko'ring va havolani do'stlaringiz bilan baham ko'ring!

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda asl manbaga havola talab qilinadi.

Trapetsiyaning o'rta chizig'i va ayniqsa uning xossalari geometriyada masalalarni yechish va ma'lum teoremalarni isbotlash uchun juda tez-tez ishlatiladi.

faqat 2 tomoni bir-biriga parallel bo'lgan to'rtburchakdir. Parallel tomonlar asoslar deb ataladi (1-rasmda - AD Va Miloddan avvalgi), qolgan ikkitasi lateral (rasmda AB Va CD).

Trapezoidning o'rta chizig'i uning tomonlarining o'rta nuqtalarini bog'laydigan segment (1-rasmda - KL).

Trapetsiyaning o'rta chizig'ining xossalari

Trapezoid o'rta chiziq teoremasining isboti

isbotlash trapetsiyaning o'rta chizig'i uning asoslari yig'indisining yarmiga teng va bu asoslarga parallel.

Trapezoid berilgan ABCD o'rta chiziq bilan KL. Ko'rib chiqilayotgan xususiyatlarni isbotlash uchun nuqtalar orqali to'g'ri chiziq o'tkazish kerak B Va L. 2-rasmda bu to'g'ri chiziq BQ. Va shuningdek, poydevorni davom ettiring AD chiziq bilan kesishgan joyga BQ.

Olingan uchburchaklarni ko'rib chiqing L.B.C. Va LQD:

1. O'rta chiziqning ta'rifi bo'yicha KL nuqta L segmentning o'rta nuqtasidir CD. Shundan kelib chiqadiki, segmentlar C.L. Va LD teng.
2. ∠BLC = ∠QLD, chunki bu burchaklar vertikaldir.
3. ∠BCL = ∠LDQ, chunki bu burchaklar parallel chiziqlar ustida ko'ndalang yotadi AD Va Miloddan avvalgi va sekant CD.

Ushbu 3 ta tenglikdan kelib chiqadiki, ilgari ko'rib chiqilgan uchburchaklar L.B.C. Va LQD 1 tomonda va ikkita qo'shni burchakda teng (3-rasmga qarang). Demak, ∠LBC = ∠ LQD, BC=DQ va eng muhimi - BL=LQ => KL, bu trapetsiyaning o'rta chizig'i ABCD, shuningdek, uchburchakning o'rta chizig'idir ABQ. Uchburchakning o'rta chizig'ining xususiyatiga ko'ra ABQ olamiz.

O'rta chiziq planimetriyadagi raqamlar - berilgan figuraning ikki tomonining o'rta nuqtalarini bog'laydigan segment. Kontseptsiya quyidagi raqamlar uchun ishlatiladi: uchburchak, to'rtburchak, trapezoid.

Entsiklopedik YouTube

1 / 3

✪ 8-sinf, 25-dars, Uchburchakning o'rta chizig'i

✪ geometriya UCHBURCHAKNING O'RTA CHIZIRI Atanasyan 8-sinf

✪ Uchburchakning oʻrta chizigʻi | Geometriya 7-9 sinf #62 | Ma'lumot darsi

Subtitrlar

Uchburchakning o'rta chizig'i

Xususiyatlari

• uchburchakning o'rta chizig'i asosga parallel va uning yarmiga teng.
• uchta o'rta chiziq kesishganda, 1/2 koeffitsientli asl nusxaga o'xshash (hatto gomotetik) 4 ta teng uchburchak hosil bo'ladi.
• o'rta chiziq shunga o'xshash uchburchakni kesib tashlaydi va uning maydoni asl uchburchak maydonining to'rtdan biriga teng.
• Uchburchakning uchta o'rta chizig'i uni dastlabki uchburchakka o'xshash 4 ta teng (bir xil) uchburchakka ajratadi. Bunday 4 ta bir xil uchburchaklarning barchasi deyiladi o'rta uchburchaklar. Ushbu 4 ta bir xil uchburchakning markaziy qismi to'ldiruvchi uchburchak deyiladi.

Belgilar

• agar segment uchburchakning bir tomoniga parallel bo'lsa va uchburchakning bir tomonining o'rta nuqtasini uchburchakning boshqa tomonida yotgan nuqta bilan bog'lasa, u o'rta chiziqdir.

To'rtburchakning o'rta chizig'i

To'rtburchakning o'rta chizig'i- to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlarining o'rta nuqtalarini bog'lovchi segment.

Xususiyatlari

Birinchi chiziq 2 qarama-qarshi tomonni bog'laydi. Ikkinchisi boshqa 2 qarama-qarshi tomonni bog'laydi. Uchinchisi ikkita diagonalning markazlarini bog'laydi (barcha to'rtburchaklarda diagonallar kesishish nuqtasida yarmiga bo'linmaydi).

• Agar qavariq to'rtburchakda o'rta chiziq to'rtburchakning diagonallari bilan teng burchaklarni hosil qilsa, u holda diagonallar tengdir.
• To'rtburchakning o'rta chizig'ining uzunligi qolgan ikki tomonning yig'indisining yarmidan kam yoki unga teng, agar bu tomonlar parallel bo'lsa va faqat bu holatda.
• Ixtiyoriy to'rtburchak tomonlarining o'rta nuqtalari parallelogrammning cho'qqilaridir. Uning maydoni to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng, markazi esa o'rta chiziqlarning kesishish nuqtasida joylashgan. Bu parallelogramm Varignon parallelogrammasi deb ataladi;
• Oxirgi nuqta quyidagilarni anglatadi: Qavariq to'rtburchakda siz to'rtta chizishingiz mumkin ikkinchi turdagi o'rta chiziqlar. Ikkinchi turdagi o'rta chiziqlar- to'rtburchak ichidagi to'rtta segment, uning qo'shni tomonlarining o'rta nuqtalaridan diagonallarga parallel ravishda o'tadi. To'rt ikkinchi turdagi o'rta chiziqlar Qavariq to'rtburchakni to'rtta uchburchak va bitta markaziy to'rtburchakka kesib tashlang. Ushbu markaziy to'rtburchak Varignon parallelogrammasi.
• To'rtburchakning o'rta chiziqlarining kesishish nuqtasi ularning umumiy o'rta nuqtasi bo'lib, diagonallarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan segmentni ikkiga bo'ladi. Bundan tashqari, u