y x 2n funksiyaning xossalari. Quvvat funksiyasi, uning xossalari va grafigi. Kasr ko'rsatkichining maxraji juft
y = x p quvvat funktsiyasini aniqlash sohasida quyidagi formulalar mavjud:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Quvvat funksiyalarining xossalari va ularning grafiklari
Ko'rsatkichi nolga teng bo'lgan quvvat funksiyasi, p = 0
Agar y = x p darajali funktsiyaning ko'rsatkichi nolga teng bo'lsa, p = 0, u holda quvvat funktsiyasi barcha x ≠ 0 uchun aniqlanadi va birga teng doimiydir:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.
Tabiiy toq ko'rsatkichli quvvat funksiyasi, p = n = 1, 3, 5, ...
Tabiiy toq ko'rsatkichi n = 1, 3, 5, ... bo'lgan y = x p = x n quvvat funktsiyasini ko'rib chiqaylik.
Bu ko'rsatkichni quyidagi ko'rinishda ham yozish mumkin: n = 2k + 1, bu erda k = 0, 1, 2, 3, ... - manfiy bo'lmagan butun son. Quyida bunday funksiyalarning xossalari va grafiklari keltirilgan.
n = 1, 3, 5, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy toq ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi. -∞ < x < ∞
Qo'llash doirasi: -∞ < y < ∞
Ko'p ma'nolar: Paritet:
toq, y(-x) = - y(x) Monoton:
monoton ravishda ortadi Ekstremal:
Yo'q
Qavariq:< x < 0
выпукла вверх
-∞ da< x < ∞
выпукла вниз
0 da Burilish nuqtalari:
Burilish nuqtalari:
x = 0, y = 0
;
Cheklovlar:
Shaxsiy qadriyatlar:
x = -1 da,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0 da, y(0) = 0 n = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
Teskari funksiya:
n = 1 uchun funksiya unga teskari: x = y
n ≠ 1 uchun teskari funktsiya n darajaning ildizidir:
Tabiiy juft darajali quvvat funksiyasi, p = n = 2, 4, 6, ...
Tabiiy juft ko'rsatkichi n = 2, 4, 6, ... bo'lgan y = x p = x n quvvat funktsiyasini ko'rib chiqaylik.
n = 1, 3, 5, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy toq ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi. -∞ < x < ∞
Qo'llash doirasi: Bu ko'rsatkichni quyidagi ko'rinishda ham yozish mumkin: n = 2k, bu erda k = 1, 2, 3, ... - tabiiy. Bunday funksiyalarning xossalari va grafiklari quyida keltirilgan.< ∞
Ko'p ma'nolar: n = 2, 4, 6, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy juft ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi.
toq, y(-x) = - y(x)
0 ≤ y
juft, y(-x) = y(x)
monoton ravishda ortadi x ≤ 0 uchun monoton ravishda kamayadi
Yo'q x ≥ 0 uchun monoton ravishda ortadi
0 da Ekstremal:
minimal, x = 0, y = 0 Burilish nuqtalari:
x = 0, y = 0
;
Cheklovlar:
konveks pastga Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari:
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0 da, y(0) = 0 n = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
x = -1 da, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1:
n = 2 uchun,
kvadrat ildiz
n ≠ 2 uchun n daraja ildizi:
n = -1, -2, -3, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun manfiy butun ko'rsatkichli y = x n darajali funktsiyaning grafigi.
Toq daraja, n = -1, -3, -5, ...
Quyida toq manfiy darajali n = -1, -3, -5, ... y = x n funksiyaning xossalari keltirilgan.
n = 1, 3, 5, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy toq ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi. x ≠ 0
Qo'llash doirasi: y ≠ 0
Ko'p ma'nolar: Paritet:
toq, y(-x) = - y(x) monoton ravishda kamayadi
monoton ravishda ortadi Ekstremal:
Yo'q
x da< 0
:
выпукла вверх
x > 0 uchun: qavariq pastga
0 da Ekstremal:
minimal, x = 0, y = 0 Ekstremal:
Belgi:
x da< 0, y < 0
x > 0, y > 0 uchun
x = 0, y = 0
; ; ;
Cheklovlar:
x = 0 da, y(0) = 0 n = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
n = -1 bo'lganda,
da n< -2
,
Hatto ko'rsatkich, n = -2, -4, -6, ...
Quyida juft manfiy darajali n = -2, -4, -6, ... bo'lgan y = x n funksiyaning xossalari keltirilgan.
n = 1, 3, 5, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy toq ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi. x ≠ 0
Qo'llash doirasi: y > 0
Ko'p ma'nolar: n = 2, 4, 6, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy juft ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi.
toq, y(-x) = - y(x)
x da< 0
:
монотонно возрастает
x > 0 uchun: monoton ravishda kamayadi
monoton ravishda ortadi Ekstremal:
Yo'q x ≥ 0 uchun monoton ravishda ortadi
0 da Ekstremal:
minimal, x = 0, y = 0 Ekstremal:
Belgi: y > 0
x = 0, y = 0
; ; ;
Cheklovlar:
x = 0 da, y(0) = 0 n = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
n = -2 da,
da n< -2
,
Ratsional (kasr) darajali quvvat funksiyasi
Ratsional (kasr) ko'rsatkichli y = x p darajali funksiyani ko'rib chiqaylik, bu erda n - butun son, m > 1 - natural son. Bundan tashqari, n, m umumiy bo'luvchilarga ega emas.
Kasr ko'rsatkichining maxraji toq
Kasr ko'rsatkichining maxraji toq bo'lsin: m = 3, 5, 7, ... . Bunday holda, x p quvvat funktsiyasi x argumentining ijobiy va salbiy qiymatlari uchun aniqlanadi.
Ko'rsatkich p ma'lum chegaralar ichida bo'lganda, bunday kuch funktsiyalarining xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.< 0
p-qiymati salbiy, p
Ratsional ko'rsatkich (toq maxrajli m = 3, 5, 7, ... bilan) noldan kichik bo'lsin: .
Ko'rsatkichning turli qiymatlari uchun ratsional manfiy ko'rsatkichli quvvat funktsiyalarining grafiklari, bu erda m = 3, 5, 7, ... - g'alati.
Toq son, n = -1, -3, -5, ...
n = 1, 3, 5, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy toq ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi. x ≠ 0
Qo'llash doirasi: y ≠ 0
Ko'p ma'nolar: Paritet:
toq, y(-x) = - y(x) monoton ravishda kamayadi
monoton ravishda ortadi Ekstremal:
Yo'q
x da< 0
:
выпукла вверх
x > 0 uchun: qavariq pastga
0 da Ekstremal:
minimal, x = 0, y = 0 Ekstremal:
Belgi:
x da< 0, y < 0
x > 0, y > 0 uchun
x = 0, y = 0
; ; ;
Cheklovlar:
y = x p daraja funksiyasining xossalarini ratsional manfiy ko‘rsatkich bilan keltiramiz, bunda n = -1, -3, -5, ... toq manfiy butun son, m = 3, 5, 7 ... toq tabiiy butun son.
x = 0 da, y(0) = 0 n = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
x = -1 da, y(-1) = (-1) n = -1
Juft sanoqchi, n = -2, -4, -6, ...
n = 1, 3, 5, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy toq ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi. x ≠ 0
Qo'llash doirasi: y > 0
Ko'p ma'nolar: n = 2, 4, 6, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy juft ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi.
toq, y(-x) = - y(x)
x da< 0
:
монотонно возрастает
x > 0 uchun: monoton ravishda kamayadi
monoton ravishda ortadi Ekstremal:
Yo'q x ≥ 0 uchun monoton ravishda ortadi
0 da Ekstremal:
minimal, x = 0, y = 0 Ekstremal:
Belgi: y > 0
x = 0, y = 0
; ; ;
Cheklovlar:
Ratsional manfiy darajali y = x p daraja funksiyasining xossalari, bunda n = -2, -4, -6, ... juft manfiy butun son, m = 3, 5, 7 ... toq natural son. .
x = 0 da, y(0) = 0 n = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
x = -1 da, y(-1) = (-1) n = 1< p < 1
p-qiymati ijobiy, birdan kichik, 0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Ratsional darajali daraja funksiyasining grafigi (0
< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
n = 1, 3, 5, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy toq ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi. -∞ < x < +∞
Qo'llash doirasi: -∞ < y < +∞
Ko'p ma'nolar: Paritet:
toq, y(-x) = - y(x) Monoton:
monoton ravishda ortadi Ekstremal:
Yo'q
x da< 0
:
выпукла вниз
Toq son, n = 1, 3, 5, ...
0 da Burilish nuqtalari:
minimal, x = 0, y = 0 Burilish nuqtalari:
Belgi:
x da< 0, y < 0
x > 0, y > 0 uchun
x = 0, y = 0
;
Cheklovlar:
x > 0 uchun: qavariq yuqoriga
x = -1 da, y(-1) = -1
x = 0 da, y(0) = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
x = 1 uchun, y(1) = 1
Juft sanoq, n = 2, 4, 6, ...< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
n = 1, 3, 5, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy toq ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi. -∞ < x < +∞
Qo'llash doirasi: Bu ko'rsatkichni quyidagi ko'rinishda ham yozish mumkin: n = 2k, bu erda k = 1, 2, 3, ... - tabiiy. Bunday funksiyalarning xossalari va grafiklari quyida keltirilgan.< +∞
Ko'p ma'nolar: n = 2, 4, 6, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy juft ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi.
toq, y(-x) = - y(x)
x da< 0
:
монотонно убывает
Ratsional ko'rsatkichi 0 ichida bo'lgan y = x p quvvat funksiyasining xossalari keltirilgan
monoton ravishda ortadi x > 0 uchun: monoton ravishda ortadi
Yo'q x = 0 da minimal, y = 0
0 da Ekstremal:
minimal, x = 0, y = 0 Burilish nuqtalari:
Belgi: x ≠ 0 uchun yuqoriga qavariq
x = 0, y = 0
;
Cheklovlar:
x ≠ 0, y > 0 uchun
x = -1 da, y(-1) = -1
x = 0 da, y(0) = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
x = -1 da, y(-1) = 1
Ko'rsatkichning turli qiymatlari uchun ratsional ko'rsatkichli quvvat funktsiyasining grafigi (p > 1), bu erda m = 3, 5, 7, ... - g'alati.
Toq son, n = 5, 7, 9, ...
Ratsional ko'rsatkichi birdan katta bo'lgan y = x p daraja funksiyasining xossalari: .
n = 1, 3, 5, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy toq ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi. -∞ < x < ∞
Qo'llash doirasi: -∞ < y < ∞
Ko'p ma'nolar: Paritet:
toq, y(-x) = - y(x) Monoton:
monoton ravishda ortadi Ekstremal:
Yo'q
Qavariq:< x < 0
выпукла вверх
-∞ da< x < ∞
выпукла вниз
0 da Burilish nuqtalari:
minimal, x = 0, y = 0 Burilish nuqtalari:
x = 0, y = 0
;
Cheklovlar:
x > 0 uchun: qavariq yuqoriga
x = -1 da, y(-1) = -1
x = 0 da, y(0) = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
Bu erda n = 5, 7, 9, ... - toq natural, m = 3, 5, 7 ... - toq tabiiy.
Juft sanoq, n = 4, 6, 8, ...
n = 1, 3, 5, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy toq ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi. -∞ < x < ∞
Qo'llash doirasi: Bu ko'rsatkichni quyidagi ko'rinishda ham yozish mumkin: n = 2k, bu erda k = 1, 2, 3, ... - tabiiy. Bunday funksiyalarning xossalari va grafiklari quyida keltirilgan.< ∞
Ko'p ma'nolar: n = 2, 4, 6, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy juft ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi.
toq, y(-x) = - y(x)
x da< 0
монотонно убывает
Ratsional ko'rsatkichi birdan katta bo'lgan y = x p daraja funksiyasining xossalari: .
monoton ravishda ortadi x > 0 uchun: monoton ravishda ortadi
Yo'q x ≥ 0 uchun monoton ravishda ortadi
0 da Ekstremal:
minimal, x = 0, y = 0 Burilish nuqtalari:
x = 0, y = 0
;
Cheklovlar:
x ≠ 0, y > 0 uchun
x = -1 da, y(-1) = -1
x = 0 da, y(0) = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
Bu erda n = 4, 6, 8, ... - hatto tabiiy, m = 3, 5, 7 ... - toq tabiiy.
x > 0 uchun monoton ravishda ortadi
Kasr ko'rsatkichining maxraji juft
Kasr ko'rsatkichining maxraji juft bo'lsin: m = 2, 4, 6, ... . Bunday holda, x p quvvat funktsiyasi argumentning salbiy qiymatlari uchun aniqlanmagan. Uning xossalari irratsional ko'rsatkichli quvvat funksiyasining xususiyatlariga to'g'ri keladi (keyingi bo'limga qarang). Irratsional darajali quvvat funksiyasi Irratsional ko'rsatkichi p bo'lgan y = x p quvvat funksiyasini ko'rib chiqaylik.
Bunday funktsiyalarning xususiyatlari yuqorida muhokama qilinganlardan farq qiladi, chunki ular x argumentining salbiy qiymatlari uchun aniqlanmagan.
uchun< 0
n = 1, 3, 5, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy toq ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi. ijobiy qadriyatlar
Qo'llash doirasi: y > 0
toq, y(-x) = - y(x) monoton ravishda kamayadi
Yo'q x ≥ 0 uchun monoton ravishda ortadi
0 da Ekstremal:
minimal, x = 0, y = 0 Ekstremal:
x = 0, y = 0 ;
argument, xususiyatlar faqat p ko'rsatkichining qiymatiga bog'liq va p ning butun, ratsional yoki irratsional ekanligiga bog'liq emas. p ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun y = x p.
Manfiy ko'rsatkichli quvvat funksiyasi p
x > 0< p < 1
n = 1, 3, 5, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy toq ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi. Shaxsiy ma'nosi:
Qo'llash doirasi: x = 1 uchun y(1) = 1 p = 1
toq, y(-x) = - y(x) Monoton:
Yo'q Ijobiy ko'rsatkichi p > 0 bo'lgan quvvat funksiyasi
0 da Ekstremal:
minimal, x = 0, y = 0 Burilish nuqtalari:
x = 0, y = 0
Cheklovlar: Ko'rsatkich bir 0 dan kam
p ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun y = x p.
x ≥ 0
n = 1, 3, 5, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy toq ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi. Shaxsiy ma'nosi:
Qo'llash doirasi: x = 1 uchun y(1) = 1 p = 1
toq, y(-x) = - y(x) Monoton:
Yo'q x ≥ 0 uchun monoton ravishda ortadi
0 da Ekstremal:
minimal, x = 0, y = 0 Burilish nuqtalari:
x = 0, y = 0
Cheklovlar: Ko'rsatkich bir 0 dan kam
p ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun y = x p.
y ≥ 0
konveks yuqoriga
x = 0 uchun y(0) = 0 p = 0 .
Ko'rsatkich bir p > 1 dan katta
Foydalanilgan adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.
1. Quvvat funksiyasi, uning xossalari va grafigi;
2. Transformatsiyalar:
Parallel uzatish;
Koordinata o'qlariga nisbatan simmetriya;
Kelib chiqishi bo'yicha simmetriya;
y = x to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetriya;
Koordinata o'qlari bo'ylab cho'zish va siqish.
3. Ko‘rsatkichli funksiya, uning xossalari va grafigi, o‘xshash o‘zgartirishlar;
4. Logarifmik funksiya, uning xossalari va grafigi; 5. Trigonometrik funktsiya, uning xossalari va grafigi, o'xshash o'zgarishlar (y = sin x; y = cos x; y = tan x); Funktsiya: y = x\n - uning xossalari va grafigi. Quvvat funksiyasi, uning xossalari va grafigi
Quvvat funktsiyasining xususiyatlari va grafigi sezilarli darajada haqiqiy ko'rsatkichga ega bo'lgan kuchning xususiyatlariga, xususan, qiymatlariga bog'liq. x Va p daraja mantiqiy xp. Keling, turli xil holatlarga qarab shunga o'xshash ko'rib chiqaylik
ko'rsatkich p.
- Ko'rsatkich p = 2n- hatto natural son.
y = x2n, Qayerda n- natural son, quyidagi xususiyatlarga ega:
- ta'rif sohasi - barcha haqiqiy sonlar, ya'ni R to'plami;
- qiymatlar to'plami - manfiy bo'lmagan raqamlar, ya'ni y 0 dan katta yoki teng;
- funktsiyasi y = x2n hatto, chunki x 2n = (-x) 2n
- funksiya intervalda kamayib bormoqda x< 0 va intervalda ortib boradi x > 0.
Funksiya grafigi y = x2n masalan, funksiya grafigi bilan bir xil shaklga ega y = x 4.
2. Ko'rsatkich p = 2n - 1- toq natural son
Bunday holda, quvvat funktsiyasi y = x2n-1, bu erda natural son, quyidagi xususiyatlarga ega:
- ta'rif sohasi - R to'plami;
- qiymatlar to'plami - R to'plami;
- funktsiyasi y = x2n-1 g'alati chunki (- x) 2n-1= x2n-1;
- funktsiya butun real o'qda ortib bormoqda.
Funksiya grafigi y = x2n-1 y = x 3.
3. Ko'rsatkich p = -2n, Qayerda n- natural son.
Bunday holda, quvvat funktsiyasi y = x -2n = 1/x 2n quyidagi xususiyatlarga ega:
- qiymatlar to'plami - musbat sonlar y>0;
- funktsiya y = 1/x 2n hatto, chunki 1/(-x)2n= 1/x 2n;
- funktsiya x0 oralig'ida ortib bormoqda.
y funksiya grafigi = 1/x 2n masalan, y funksiyaning grafigi bilan bir xil shaklga ega = 1/x 2.
4. Ko'rsatkich p = -(2n-1), Qayerda n- natural son.
Bunday holda, quvvat funktsiyasi y = x -(2n-1) quyidagi xususiyatlarga ega:
- ta'rif sohasi - R to'plami, x = 0 dan tashqari;
- qiymatlar to'plami - R to'plami, y = 0 dan tashqari;
- funktsiyasi y = x -(2n-1) g'alati chunki (- x) -(2n-1) = -x -(2n-1);
- funktsiya intervalgacha kamayib bormoqda x< 0 Va x > 0.
Funksiya grafigi y = x -(2n-1) masalan, funksiya grafigi bilan bir xil shaklga ega y = 1/x 3.
Funktsiya y = x2n, bu erda n musbat sonlar to'plamiga tegishli. Bu turdagi quvvat funksiyasi a=2n juft musbat ko‘rsatkichga ega. x2n = (-x)2n har doim bo'lganligi sababli, barcha bunday funktsiyalarning grafiklari ordinataga nisbatan simmetrikdir. y = x2n, n ko'rinishdagi barcha funksiyalar musbat butun sonlar to'plamiga kiradi va quyidagi bir xil xususiyatlarga ega: X = R X? =(-?;?) U=Arcsin funksiyasining xossalari
[Tahrirlash]Arcsin funksiyasi olinmoqda
Butun funktsiya berilgan ta'rif sohasi u qismli monotonik, va shuning uchun teskari yozishmalar 
funksiya emas. Shuning uchun biz u qat'iy ravishda ko'payadigan va barcha qiymatlarni oladigan segmentni ko'rib chiqamiz qiymatlar diapazoni- . Intervaldagi funktsiya uchun argumentning har bir qiymati funksiyaning bitta qiymatiga to'g'ri kelganligi sababli, bu oraliqda mavjud bo'ladi. 
teskari funktsiya