Uchburchak burchaklarining yig'indisi haqidagi teorema. Qavariq ko‘pburchakning burchaklarining yig‘indisi nechaga teng?

Isbot

Mayli ABC" - ixtiyoriy uchburchak. Keling, tepadan o'taylik B chiziqqa parallel chiziq A.C. (bunday to'g'ri chiziq Evklid to'g'ri chiziq deb ataladi). Unda bir nuqtani belgilaymiz D Shunday qilib, nuqtalar A Va D to'g'ri chiziqning qarama-qarshi tomonlarida yotqiz Miloddan avvalgi.Burchaklar DBC Va ACB sekant tomonidan hosil qilingan ichki ko'ndalang yotishga teng Miloddan avvalgi parallel chiziqlar bilan A.C. Va BD. Shuning uchun, uchburchakning burchaklaridagi burchaklarining yig'indisi B Va BILAN burchakka teng ABD.Uchburchakning barcha uch burchagi yig‘indisi burchaklar yig‘indisiga teng ABD Va BAC. Bu burchaklar parallel uchun ichki bir tomonlama bo'lgani uchun A.C. Va BD sekantda AB, keyin ularning yig'indisi 180 ° ga teng. Teorema isbotlangan.

Oqibatlari

Teoremadan kelib chiqadiki, har qanday uchburchakning ikkita o'tkir burchagi bor. Darhaqiqat, qarama-qarshilik bilan isbotdan foydalanib, uchburchakning faqat bitta o'tkir burchagi bor yoki umuman o'tkir burchaklari yo'q deb faraz qilaylik. Keyin bu uchburchak kamida ikkita burchakka ega, ularning har biri kamida 90 °. Bu burchaklarning yig'indisi 180° dan kam emas. Ammo bu mumkin emas, chunki uchburchakning barcha burchaklarining yig'indisi 180 ° ga teng. Q.E.D.

Simpleks nazariyasiga umumlashtirish

Simpleksning i va j yuzlari orasidagi burchak qayerda.

Eslatmalar

• Sharda uchburchak burchaklarining yig'indisi har doim 180 ° dan oshadi, farq sferik ortiqcha deb ataladi va uchburchakning maydoniga proportsionaldir.
• Lobachevskiy tekisligida uchburchak burchaklarining yig'indisi har doim 180 ° dan kichik bo'ladi. Farqi uchburchakning maydoniga ham proportsionaldir.

Shuningdek qarang

Wikimedia fondi.

2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Uchburchak burchaklarining yig'indisi haqidagi teorema" nima ekanligini ko'ring:

Evklid geometriyasida ko'pburchaklarning xossasi: Uchburchakning n burchaklarining yig'indisi 180° (n 2). Mundarija 1 Isbot 2 Eslatma ... Vikipediya

Pifagor teoremasi Evklid geometriyasining asosiy teoremalaridan biri boʻlib, toʻgʻri burchakli uchburchak tomonlari oʻrtasidagi munosabatni oʻrnatadi. Mundarija 1 ... Vikipediya

Pifagor teoremasi Evklid geometriyasining asosiy teoremalaridan biri boʻlib, toʻgʻri burchakli uchburchak tomonlari oʻrtasidagi munosabatni oʻrnatadi. Mundarija 1 Bayonotlar 2 Dalillar ... Vikipediya Kosinuslar teoremasi Pifagor teoremasini umumlashtirishdir. Uchburchakning bir tomonining kvadrati uning boshqa ikki tomonining kvadratlari yig'indisiga, bu tomonlarning ular orasidagi burchakning kosinusiga ikki barobar ko'paytmasiga teng. Bilan tekis uchburchak uchun a,b,c tomonlari

Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang: Uchburchak (maʼnolari). Uchburchak (Yevklid fazosida) bir to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqtani bog'laydigan uchta segmentdan tashkil topgan geometrik figuradir. Uch nuqta,... ... Vikipediya

Standart belgi Uchburchak 3 ta uchi (burchak) va 3 tomoni bo'lgan eng oddiy ko'pburchakdir; tekislikning bir to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta bilan chegaralangan qismi va bu nuqtalarni juft-juft bog'lovchi uchta segment. Uchburchakning uchlari ... Vikipediya

Qadimgi yunon matematigi. 3-asrda Iskandariyada ishlagan. Miloddan avvalgi e. Asosiy ish Qadimgi matematika, elementar geometriya, sonlar nazariyasi asoslarini o'z ichiga olgan "Asosiylar" (15 kitob), umumiy nazariya sohalar va hajmlarni aniqlashning munosabatlari va usullari, ... ... Ensiklopedik lug'at

- (miloddan avvalgi 275-270 yillarda vafot etgan) qadimgi yunon matematigi. Uning tug'ilgan vaqti va joyi to'g'risidagi ma'lumotlar bizgacha yetib kelmagan, ammo ma'lumki, Evklid Iskandariyada yashagan va uning faoliyatining gullagan davri Misrda Ptolemey I hukmronligi davrida sodir bo'lgan... ... Katta ensiklopedik lug'at

Geometriya Evklid geometriyasiga o'xshash, chunki u figuralar harakatini belgilaydi, lekin Evklid geometriyasidan beshta postulatdan biri (ikkinchi yoki beshinchi) inkori bilan almashtirilishi bilan farq qiladi. Evklid postulatlaridan birini inkor qilish... ... Collier ensiklopediyasi

(fon xulosasi)

Vizual geometriya 7-sinf. Yordamchi eslatma № 4 Uchburchak burchaklarining yig'indisi.

17-asrning buyuk frantsuz olimi Blez Paskal Bolaligimda geometrik shakllar bilan shug'ullanishni yaxshi ko'rardim. U transportyorni yaxshi bilar edi va burchaklarni o'lchashni bilardi. Yosh tadqiqotchi barcha uchburchaklar uchun uchta burchakning yig'indisi bir xil - 180 ° ekanligini payqadi. “Buni qanday isbotlashimiz mumkin? — deb o'yladi Paskal. "Axir, barcha uchburchaklarning burchaklarining yig'indisini tekshirishning iloji yo'q - ularning cheksiz soni bor." Keyin uchburchakning ikki burchagini qaychi bilan kesib, uchinchi burchagiga biriktirdi. Natijada, ma'lumki, 180 ° ga teng bo'lgan aylantirilgan burchak hosil bo'ladi. Bu uning birinchi kashfiyoti edi. Bolaning kelajakdagi taqdiri oldindan belgilab qo'yilgan edi.

Ushbu mavzuda siz to'g'ri burchakli uchburchaklar mos kelishining beshta xususiyatini va, ehtimol, 30 ° burchakli to'g'ri burchakli uchburchakning eng mashhur xususiyatini bilib olasiz. Bu shunday eshitiladi: oyoq 30 ° burchak ostida yotgan, yarmiga teng gipotenuza. Teng tomonli uchburchakni balandlikka bo'lish orqali biz darhol bu xususiyatning isbotini olamiz.

TEOREMA. Uchburchak burchaklarining yig'indisi 180° ga teng. Buni isbotlash uchun yuqoridan asosga parallel ravishda chiziq torting. To'q burchaklar teng va kulrang burchaklar teng, xuddi parallel chiziqlar ustida ko'ndalang yotgandek. To'q burchak, kulrang burchak va cho'qqi burchagi kengaytirilgan burchak hosil qiladi, ularning yig'indisi 180 ° dir. Teoremadan kelib chiqadiki, teng yonli uchburchakning burchaklari 60 ° ga, to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklarining yig'indisi 90 ° ga teng.

Tashqi burchak uchburchakning burchagi - bu uchburchakning burchagiga ulashgan burchak. Shuning uchun, ba'zan uchburchakning burchaklari ichki burchaklar deb ataladi.

Uchburchakning tashqi burchagi haqidagi TEOREMA. Uchburchakning tashqi burchagi unga qoʻshni boʻlmagan ikkita ichki burchaklar yigʻindisiga teng. Haqiqatan ham, tashqi burchak va unga qo'shni bo'lmagan ikkita ichki burchak 180 ° gacha bo'lgan soyali burchakni to'ldiradi. Teoremadan kelib chiqadiki, tashqi burchak unga qo'shni bo'lmagan har qanday ichki burchakdan kattaroqdir.

Uchburchakning tomonlari va burchaklari o'rtasidagi munosabatlar haqida TEOREMA. Uchburchakda kattaroq burchak kattaroq tomonga qarama-qarshi, katta burchak esa katta burchakka qarama-qarshi bo'ladi. Bundan kelib chiqadi: 1) Oyoq gipotenuzadan kichik. 2) Perpendikulyar qiyshiqdan kichik.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa . Perpendikulyar bir xil nuqtadan chizilgan har qanday qiya chiziqdan kichik bo'lgani uchun uning uzunligi nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa sifatida qabul qilinadi.

Uchburchak tengsizligi . Uchburchakning har qanday tomonining uzunligi uning boshqa ikki tomonining yig'indisidan kichik, ya'ni. A< b + с , b< а + с , Bilan< а + b . Natija. Buzilgan chiziqning uzunligi uning uchlarini bog'laydigan segmentdan kattaroqdir.

TENGLIK BELGILARI
TO'RT burchakli uchburchaklar

Ikki tomondan. Agar bitta to'g'ri burchakli uchburchakning ikkita oyog'i mos ravishda boshqa uchburchakning ikki oyog'iga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

Oyoq va qo'shni o'tkir burchak bo'ylab. Agar bitta to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i va qo'shni o'tkir burchagi mos ravishda boshqa uchburchakning oyog'i va qo'shni o'tkir burchagiga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

Oyoq bo'ylab va qarama-qarshi o'tkir burchak. Agar bitta to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i va unga qarama-qarshi o'tkir burchagi mos ravishda boshqa uchburchakning oyog'i va unga qarama-qarshi bo'lgan o'tkir burchakka teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

Gipotenuza va o'tkir burchak bilan. Agar bitta to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi va o'tkir burchagi mos ravishda boshqa uchburchakning gipotenuzasi va o'tkir burchagiga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

Ushbu belgilarning isboti darhol uchburchaklar tengligi uchun testlardan biriga qisqartiriladi.

Oyoq va gipotenuza bilan. Agar bitta to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i va gipotenuzasi mos ravishda boshqa to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i va gipotenuzasiga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

Isbot. Keling, teng oyoqli uchburchaklarni biriktiramiz. Biz teng yonli uchburchakni olamiz. Uning tepadan chizilgan balandligi ham mediana bo'ladi. Keyin uchburchaklar teng ikkinchi oyoqlarga ega va uchburchaklar uch tomondan teng.

TEOREMA 30° burchakka qarama-qarshi yotgan oyoqning xossasi haqida. 30 ° burchakka qarama-qarshi oyoq gipotenuzaning yarmiga teng. Uchburchakni teng tomonli qilib to'ldirish bilan isbotlangan.

Burchak bissektrisa nuqtalarining xossasi haqida TEOREMA. Burchakning bissektrisasining istalgan nuqtasi uning tomonlaridan teng masofada joylashgan. Agar nuqta burchakning yon tomonlaridan teng masofada joylashgan bo'lsa, u burchakning bissektrisasida yotadi. Burchakning yon tomonlariga ikkita perpendikulyar o'tkazish va to'g'ri burchakli uchburchaklarni hisobga olgan holda isbotlangan.

Ikkinchi ajoyib nuqta . Uchburchakning bissektrisalari bir nuqtada kesishadi.

Parallel chiziqlar orasidagi masofa. TEOREMA. Ikkala parallel to'g'ri chiziqning barcha nuqtalari boshqa chiziqdan teng masofada joylashgan. Teorema parallel chiziqlar orasidagi masofani aniqlashni nazarda tutadi.

Ta'rif. Ikki parallel chiziqlar orasidagi masofa - bu parallel chiziqlardan birining istalgan nuqtasidan ikkinchi chiziqqa bo'lgan masofa.

Teoremalarning batafsil isbotlari

Bu 7-sinfda geometriyadan 4-sonli ma'lumotnoma. Keyingi qadamlarni tanlang:

Uchburchak - bu uch tomoni (uchta burchagi) bo'lgan ko'pburchak. Ko'pincha tomonlar qarama-qarshi burchaklarni ifodalovchi bosh harflarga mos keladigan kichik harflar bilan ko'rsatiladi. Ushbu maqolada biz ushbu geometrik figuralarning turlari, uchburchak burchaklarining yig'indisi nimaga teng ekanligini aniqlaydigan teorema bilan tanishamiz.

Burchak o'lchami bo'yicha turlar

Uchta uchli ko'pburchakning quyidagi turlari ajratiladi:

• o'tkir burchakli, unda barcha burchaklar o'tkir;
• to'rtburchaklar, bitta to'g'ri burchakka ega, uning generatorlari oyoqlar va qarama-qarshi joylashgan tomoni deb ataladi to'g'ri burchak, gipotenuza deyiladi;
• bir bo'lsa, o'tmas;
• ikki tomoni teng bo'lgan isoscellar va ular lateral deb ataladi, uchinchisi esa uchburchakning asosi;
• teng tomonli, uchta teng tomonlarga ega.

Xususiyatlari

Har bir uchburchak turiga xos bo'lgan asosiy xususiyatlar mavjud:

• Kattaroq tomonning qarshisida har doim kattaroq burchak mavjud va aksincha;
• qarama-qarshi tomonlari teng kattalikdagi teng burchaklar, va aksincha;
• har qanday uchburchakning ikkita o'tkir burchagi bor;
• tashqi burchak unga qo'shni bo'lmagan har qanday ichki burchakdan kattaroqdir;
• har qanday ikkita burchakning yig'indisi har doim 180 darajadan kichik;
• tashqi burchak u bilan kesishmaydigan boshqa ikkita burchak yig'indisiga teng.

Uchburchaklar yig'indisi teoremasi

Teorema shuni ko'rsatadiki, agar siz berilgan burchakning barcha burchaklarini qo'shsangiz geometrik shakl, Evklid tekisligida joylashgan bo'lsa, unda ularning yig'indisi 180 daraja bo'ladi. Keling, bu teoremani isbotlashga harakat qilaylik.

Uchlari KMN bo'lgan ixtiyoriy uchburchakka ega bo'lsin.

M cho'qqisi orqali biz CN chizamiz (bu chiziq Evklid to'g'ri chizig'i deb ham ataladi). Unga A nuqtani shunday belgilaymizki, K va A nuqtalar MH to'g'ri chiziqning turli tomonlarida joylashgan. AMN va KNM teng burchaklarni olamiz, ular ichki burchaklari kabi ko‘ndalang yotadi va MN sekant tomonidan parallel bo‘lgan KH va MA to‘g‘ri chiziqlar bilan birga hosil bo‘ladi. Bundan kelib chiqadiki, uchburchakning M va H cho'qqilarida joylashgan burchaklarining yig'indisi KMA burchak kattaligiga teng. Barcha uch burchak KMA va MKN burchaklarining yig'indisiga teng bo'lgan yig'indini tashkil qiladi. Bu burchaklar sekant KM bo'lgan KN va MA parallel to'g'ri chiziqlarga nisbatan ichki bir tomonlama bo'lgani uchun ularning yig'indisi 180 gradusni tashkil qiladi. Teorema isbotlangan.

Natija

Yuqorida isbotlangan teoremadan quyidagi xulosa kelib chiqadi: har qanday uchburchakning ikkita o'tkir burchagi bor. Buni isbotlash uchun bu geometrik figuraning faqat bitta o'tkir burchagi bor deb faraz qilaylik. Bundan tashqari, burchaklarning hech biri o'tkir emas deb taxmin qilish mumkin. Bunday holda, kattaligi 90 gradusga teng yoki undan katta bo'lgan kamida ikkita burchak bo'lishi kerak. Ammo keyin burchaklar yig'indisi 180 darajadan katta bo'ladi. Ammo bu sodir bo'lishi mumkin emas, chunki teoremaga ko'ra, uchburchak burchaklarining yig'indisi 180 ° ga teng - ko'p va kam emas. Bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa edi.

Tashqi burchaklarning xossasi

Uchburchakning tashqi burchaklarining yig‘indisi nechaga teng? Bu savolga javobni ikkita usuldan biri yordamida olish mumkin. Birinchisi, har bir tepada bittadan, ya'ni uchta burchakdan olinadigan burchaklar yig'indisini topish kerak. Ikkinchisi, barcha olti burchakli burchaklarning yig'indisini topish kerakligini anglatadi. Birinchidan, birinchi variantni ko'rib chiqaylik. Shunday qilib, uchburchakda oltita tashqi burchak mavjud - har bir tepada ikkitadan.

Har bir juftlik teng burchakka ega, chunki ular vertikaldir:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Bundan tashqari, ma'lumki, uchburchakning tashqi burchagi u bilan kesishmaydigan ikkita ichki burchakning yig'indisiga teng. Demak,

∟1 = ∟A + ∟C, ∟2 = ∟A + ∟B, ∟3 = ∟B + ∟C.

Bundan ma'lum bo'ladiki, har bir tepada bittadan olinadigan tashqi burchaklar yig'indisi quyidagilarga teng bo'ladi:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C = 2 x (∟A + ∟B + ∟C).

Burchaklar yig'indisi 180 gradusga teng ekanligini hisobga olsak, ∟A + ∟B + ∟C = 180 ° deb aytishimiz mumkin. Bu ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 ° degan ma'noni anglatadi. Agar ikkinchi variant ishlatilsa, oltita burchakning yig'indisi mos ravishda ikki baravar katta bo'ladi. Ya'ni, uchburchakning tashqi burchaklarining yig'indisi:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

To'g'ri uchburchak

To‘g‘ri burchakli uchburchakning o‘tkir burchaklarining yig‘indisi nechaga teng? Bu savolga javob yana uchburchakdagi burchaklar 180 gradusgacha qo'shilishini bildiruvchi teoremadan kelib chiqadi. Va bizning bayonotimiz (mulkimiz) shunday eshitiladi: in to'g'ri uchburchak o'tkir burchaklar 90 gradusgacha qo'shiladi. Keling, uning to'g'riligini isbotlaylik.

Bizga KMN uchburchak berilsin, unda ∟N = 90°. ∟K + ∟M = 90° ekanligini isbotlash kerak.

Demak, ∟K + ∟M + ∟N = 180° burchaklar yig'indisi haqidagi teoremaga ko'ra. Bizning shartimiz ∟N = 90° ekanligini aytadi. Shunday qilib, ∟K + ∟M + 90° = 180° bo'lib chiqadi. Ya'ni, ∟K + ∟M = 180° - 90° = 90°. Aynan shu narsani isbotlashimiz kerak edi.

Yuqorida tavsiflangan to'g'ri burchakli uchburchakning xususiyatlariga qo'shimcha ravishda siz quyidagilarni qo'shishingiz mumkin:

• oyoqlarning qarshisida joylashgan burchaklar o'tkir;
• gipotenuza har qanday oyoqdan uchburchak kattaroqdir;
• oyoqlarning yig'indisi gipotenuzadan katta;
• 30 graduslik burchakka qarama-qarshi yotgan uchburchakning oyog'i gipotenuzaning yarmiga teng, ya'ni yarmiga teng.

Ushbu geometrik figuraning yana bir xususiyati sifatida biz Pifagor teoremasini ajratib ko'rsatishimiz mumkin. Uning ta'kidlashicha, 90 graduslik burchakli uchburchakda (to'rtburchaklar) oyoqlarning kvadratlari yig'indisi gipotenuzaning kvadratiga teng.

Teng yonli uchburchak burchaklarining yig'indisi

Yuqorida biz uchta uchli va ikkita teng tomoni bo'lgan teng yonli ko'pburchak deyiladi, deb aytdik. Ushbu geometrik shaklning bu xususiyati ma'lum: uning poydevoridagi burchaklar tengdir. Keling, buni isbotlaylik.

Keling, teng yon tomonli KMN uchburchagini olaylik, KN uning asosidir.

Bizdan ∟K = ∟N ekanligini isbotlashimiz talab qilinadi. Demak, MA KMN uchburchagimizning bissektrisasi bo'lsin. Tenglikning birinchi belgisini hisobga olgan holda uchburchak MCA uchburchakka teng MNA. Ya'ni, shart bo'yicha KM = NM, MA umumiy tomon, ∟1 = ∟2, chunki MA bissektrisa ekanligi berilgan. Bu ikki uchburchak teng ekanligidan foydalanib, ∟K = ∟N ekanligini aytishimiz mumkin. Bu teorema isbotlanganligini anglatadi.

Ammo bizni uchburchak burchaklarining yig'indisi qancha ekanligi qiziqtiradi. Bu jihatdan u o'ziga xos xususiyatlarga ega emasligi sababli, biz avvalroq muhokama qilingan teorema asosida quramiz. Ya'ni, ∟K + ∟M + ∟N = 180° yoki 2 x ∟K + ∟M = 180° (∟K = ∟N dan beri) deb aytishimiz mumkin. Biz bu xususiyatni isbotlamaymiz, chunki uchburchak burchaklarining yig'indisi haqidagi teorema ilgari isbotlangan.

Uchburchakning burchaklari haqida muhokama qilingan xususiyatlarga qo'shimcha ravishda, quyidagi muhim bayonotlar ham qo'llaniladi:

• u asosga tushirilgan bir vaqtning o'zida mediana, teng tomonlar orasidagi burchakning bissektrisasi, shuningdek uning asosidir;
• bunday geometrik figuraning yon tomonlariga chizilgan medianalar (bissektrisalar, balandliklar) teng.

Teng tomonli uchburchak

U muntazam deb ham ataladi, bu barcha tomonlar teng bo'lgan uchburchak. Va shuning uchun burchaklar ham tengdir. Ularning har biri 60 daraja. Keling, bu xususiyatni isbotlaylik.

Aytaylik, bizda KMN uchburchagi bor. Biz bilamizki, KM = NM = KN. Va bu shuni anglatadiki, poydevorda joylashgan burchaklarning xususiyatiga ko'ra teng yonli uchburchak, ∟K = ∟M = ∟N. Chunki, teoremaga ko‘ra, uchburchak burchaklarining yig‘indisi ∟K + ∟M + ∟N = 180° bo‘lsa, u holda 3 x ∟K = 180° yoki ∟K = 60°, ∟M = 60°, ∟ N = 60°. Shunday qilib, bayonot isbotlangan.

Teoremaga asoslangan yuqoridagi dalildan ko'rinib turibdiki, burchaklar yig'indisi, boshqa har qanday uchburchakning burchaklarining yig'indisi kabi, 180 daraja. Bu teoremani yana isbotlashning hojati yo'q.

Teng tomonli uchburchakka xos xususiyatlar ham mavjud:

• Bunday geometrik shakldagi mediana, bissektrisa, balandlik mos keladi va ularning uzunligi (a x √3) quyidagicha hisoblanadi: 2;
• agar berilgan ko‘pburchak atrofida aylana tasvirlansa, u holda uning radiusi (a x √3) ga teng bo‘ladi: 3;
• agar siz teng tomonli uchburchakda aylana chizsangiz, uning radiusi (a x √3) bo'ladi: 6;
• Ushbu geometrik shaklning maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: (a2 x √3) : 4.

To'g'ri uchburchak

Ta'rifga ko'ra, uning burchaklaridan biri 90 dan 180 darajagacha. Ammo bu geometrik shaklning qolgan ikkita burchagi o'tkir ekanligini hisobga olsak, ular 90 darajadan oshmaydi degan xulosaga kelishimiz mumkin. Shuning uchun uchburchak burchak yig'indisi teoremasi o'tmas uchburchakdagi burchaklar yig'indisini hisoblashda ishlaydi. Ma’lum bo‘lishicha, yuqorida qayd etilgan teoremaga asoslanib, to‘g‘ri burchakli uchburchakning burchaklarining yig‘indisi 180 gradusga teng ekanligini ishonch bilan aytishimiz mumkin. Yana bu teoremani yana isbotlash shart emas.

Bo'limlar: Matematika

Taqdimot . (1-slayd)

Dars turi: yangi materialni o'rganish darsi.

Dars maqsadlari:

• Tarbiyaviy:
  • uchburchak burchaklarining yig'indisi haqidagi teoremani ko'rib chiqing,
  • masalalar yechishda teoremaning qo‘llanilishini ko‘rsating.
• Tarbiyaviy:
  • talabalarning bilimga ijobiy munosabatini shakllantirish;
  • Dars orqali o‘quvchilarda o‘ziga bo‘lgan ishonchni shakllantirish.
• Rivojlanish:
  • analitik fikrlashni rivojlantirish,
  • "o'rganish ko'nikmalarini" rivojlantirish: bilim, ko'nikma va malakalardan foydalanish ta'lim jarayoni,
  • rivojlanish mantiqiy fikrlash, fikringizni aniq shakllantirish qobiliyati.

Uskunalar: interaktiv doska, taqdimot, kartochkalar.

Darsning borishi

I. Tashkiliy moment

- Bugun darsda biz to'g'ri, teng yonli va teng yonli uchburchaklarning ta'riflarini eslaymiz. Keling, uchburchaklar burchaklarining xossalarini takrorlaylik. Ichki bir tomonlama va ichki kesma burchaklar xossalaridan foydalanib, uchburchak burchaklarining yig’indisi haqidagi teoremani isbotlaymiz va uni masalalar yechishda qo’llashni o’rganamiz.

II. Og'zaki(2-slayd)

1) Rasmlardan to‘rtburchaklar, teng yonli, teng yonli uchburchaklarni toping.
2) Ushbu uchburchaklarni aniqlang.
3) Teng yonli va teng yonli uchburchak burchaklarining xossalarini tuzing.

4) KE II NH rasmida. (3-slayd)

– Ushbu chiziqlar uchun sekantlarni belgilang
– Ichki bir tomonlama burchaklarni, ko‘ndalang yotgan ichki burchaklarni toping, ularning xossalarini nomlang

III. Yangi materialni tushuntirish

Teorema. Uchburchak burchaklarining yig'indisi 180° ga teng

Teoremani shakllantirishga ko'ra, bolalar chizma tuzadilar, shart va xulosani yozadilar. Savollarga javob berib teoremani mustaqil isbotlaydilar.

Berilgan: Isbot qiling:

Isbot:

1. Uchburchakning B cho'qqisi orqali BD II AC to'g'ri chiziqni o'tkazamiz.
2. Parallel chiziqlar uchun sekantlarni belgilang.
3. CBD va ACB burchaklari haqida nima deyish mumkin? (eslatma)
4. CAB va ABD burchaklari haqida nimalarni bilamiz? (eslatma)
5. CBD burchagini ACB burchagi bilan almashtiring
6. Xulosa tuzing.

IV. Gapni tugating.(4-slayd)

1. Uchburchak burchaklarining yig‘indisi...
2. Uchburchakda burchaklardan biri teng, ikkinchisi, uchinchi burchagi... ga teng.
3. To‘g‘ri burchakli uchburchakning o‘tkir burchaklarining yig‘indisi...
4. Teng yonli to‘g‘ri burchakli uchburchakning burchaklari teng...
5. Teng yonli uchburchakning burchaklari teng...
6. Agar teng yonli uchburchakning yon tomonlari orasidagi burchak 1000 ga teng boʻlsa, asosdagi burchaklar teng...

V. Bir oz tarix.(5-7-slaydlar)

Isbot:

• ABC uchburchagi berilgan.
• B cho'qqisi orqali AC asosiga parallel bo'lgan DK to'g'ri chiziqni o'tkazamiz.
• \angle CBK= \angle C sifatida ichki ko'ndalang yotqizilgan parallel DK va AC, va BC sekant.
• \angle DBA = \angle DK \parallel AC va AB sekant bilan yotuvchi ichki ko'ndalang. DBK burchagi teskari va ga teng
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Ochilmagan burchak 180 ^\circ va \angle CBK = \angle C va \angle DBA = \angle A ga teng bo'lgani uchun, biz olamiz 180 ^\circ = \burchak A + \burchak B + \burchak C.

Teorema isbotlangan

Uchburchak burchaklarining yig'indisi haqidagi teoremadan xulosalar:

1. To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklarining yig'indisi 90°.
2. Teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakda har bir o'tkir burchak teng 45°.
3. Teng tomonli uchburchakda har bir burchak tengdir 60°.
4. Har qanday uchburchakda yoki barcha burchaklar o'tkir yoki ikkita burchak o'tkir, uchinchisi esa o'tkir yoki to'g'ri.
5. Uchburchakning tashqi burchagi unga qoʻshni boʻlmagan ikkita ichki burchaklar yigʻindisiga teng.

Uchburchak tashqi burchak teoremasi

Uchburchakning tashqi burchagi uchburchakning shu tashqi burchakka tutash boʻlmagan qolgan ikkita burchaklarining yigʻindisiga teng.

Isbot:

• ABC uchburchagi berilgan, bu erda BCD tashqi burchakdir.
• \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
• Tengliklardan burchak \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• olamiz \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.