O'qlarni parallel ko'chirish haqidagi teorema. Koordinata o'qlarini parallel ko'chirishda inersiya momentlarining o'zgarishi. O'qlarni aylantirishda kesimning inersiya momentlarini o'zgartirish

Keling, z Bilan, y s– kesmalarning markaziy o’qlari, – kesimning shu o’qlarga nisbatan inersiya momentlari. Kesmaning yangi o'qlarga nisbatan inersiya momentlarini aniqlaymiz z 1, 1 da, markaziy o'qlarga parallel va masofalar bo'yicha ularga nisbatan ko'chiriladi a Va d. Mayli dA– nuqta yaqinidagi elementar maydon M koordinatalari bilan y Va z V markaziy tizim koordinatalar Rasmdan. 4.3 dan ko'rinib turibdiki, S nuqtaning koordinatalari in yangi tizim koordinatalari teng bo'ladi, .

Kesimning y o'qiga nisbatan inersiya momentini aniqlaymiz 1 :

Shunday qilib,

Xuddi shunday

O'qlarni aylantirishda kesimning inersiya momentlarini o'zgartirish

O’qlarga nisbatan inersiya momentlari orasidagi bog’lanish topilsin y, z va o'qlarga nisbatan inersiya momentlari y 1, z 1, burchak ostida aylantirildi a. Mayli Jy> Jz va musbat burchak a o'qdan o'lchanadi y soat miliga teskari. Nuqtaning koordinatalari bo'lsin M navbat oldidan - y, z, burilgandan keyin - y 1, z 1(4.4-rasm).

Rasmdan quyidagicha:

Endi o'qlarga nisbatan inersiya momentlarini aniqlaymiz y 1 Va z 1:

Xuddi shunday:

(4.13) va (4.14) tenglamalarni hadlar bo'yicha qo'shib, biz quyidagilarni olamiz:

bular. har qanday o'zaro perpendikulyar o'qlarga nisbatan inersiya momentlarining yig'indisi doimiy bo'lib qoladi va koordinatalar tizimi aylantirilganda o'zgarmaydi.

Bosh inersiya o‘qlari va bosh inersiya momentlari

O'qlarning burilish burchagi o'zgarishi bilan a Miqdorlarning har biri o'zgaradi, lekin ularning yig'indisi o'zgarishsiz qoladi. Shuning uchun bunday ma'no bor

a = a 0, bunda inertsiya momentlari ekstremal qiymatlarga etadi, ya'ni. ulardan biri maksimal qiymatiga, ikkinchisi esa minimal darajaga etadi. Qiymatni topish uchun a 0 (yoki) ning birinchi hosilasini oling va uni nolga tenglang:

Olingan o'qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti nolga teng ekanligini ko'rsataylik. Buning uchun (4.15) tenglamaning o'ng tomonini nolga tenglashtiramiz: , qaerdan, ya'ni. uchun bir xil formulani oldi a 0 .

Markazdan qochma inertsiya momenti nolga teng bo'lgan va eksenel inersiya momentlari ekstremal qiymatlarga ega bo'lgan o'qlar bosh o'qlar deb ataladi. Agar bu o'qlar ham markaziy bo'lsa, ular asosiy markaziy o'qlar deb ataladi. Bosh o'qlarga nisbatan eksenel inersiya momentlari bosh inersiya momentlari deyiladi.

Asosiy o'qlarni bilan belgilaymiz y 0 Va z 0. Keyin

Agar kesim simmetriya o'qiga ega bo'lsa, u holda bu o'q har doim kesmaning asosiy markaziy inersiya o'qlaridan biri hisoblanadi.

Agar o'qlar markaziy bo'lsa, moment o'qlari quyidagicha ko'rinadi:

15.O'rtasidagi bog'liqlik o'qlarni aylantirganda inersiya momentlari:

J x 1 =J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 =J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a ;

Burchak a>0, agar eski koordinatalar tizimidan yangisiga o'tish soat miliga teskari yo'nalishda sodir bo'lsa. J y 1 + J x 1 = J y + J x

Inersiya momentlarining ekstremal (maksimal va minimal) qiymatlari deyiladi asosiy inersiya momentlari. Eksenel inersiya momentlari haddan tashqari qiymatlarga ega bo'lgan o'qlar deyiladi inertsiyaning asosiy o'qlari. Asosiy inersiya o'qlari o'zaro perpendikulyar. Asosiy o'qlarga nisbatan markazdan qochma inertsiya momentlari = 0, ya'ni. asosiy inersiya o'qlari - markazdan qochma inersiya momenti = 0 bo'lgan o'qlar. Agar o'qlardan biri simmetriya o'qiga to'g'ri kelsa yoki ikkalasi ham mos kelsa, ular asosiy hisoblanadi. Asosiy o'qlarning o'rnini belgilovchi burchak: , agar a 0 >0 Þ bo'lsa, o'qlar soat sohasi farqli ravishda aylanadi. Maksimal o'q har doim inersiya momenti kattaroq bo'lgan o'q bilan kichikroq burchak hosil qiladi. Og'irlik markazidan o'tadigan asosiy o'qlar deyiladi inertsiyaning asosiy markaziy o'qlari. Ushbu o'qlarga nisbatan inersiya momentlari:

J max + J min = J x + J y. Bosh markaziy inersiya o‘qlariga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti 0 ga teng.Agar asosiy inersiya momentlari ma’lum bo‘lsa, u holda aylanuvchi o‘qlarga o‘tish formulalari:

J x 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min)sin2a;

Kesimning geometrik xarakteristikalarini hisoblashning yakuniy maqsadi inertsiyaning asosiy markaziy momentlarini va asosiy markaziy inersiya o'qlarining holatini aniqlashdir. Inersiya radiusi - ; J x =F×i x 2, J y =F×i y 2.

Agar J x va J y inersiyaning asosiy momentlari bo'lsa, u holda i x va i y - bosh inersiya radiuslari. Yarim o'qlarda bo'lgani kabi asosiy inersiya radiuslari ustiga qurilgan ellips deyiladi inersiya ellipsi. Inersiya ellipsidan foydalanib, har qanday o'q x 1 uchun inersiya radiusi i x 1 ni grafik tarzda topish mumkin. Buning uchun siz ellipsga tangens chizishingiz kerak, o'qiga parallel x 1 va bu o'qdan tangensgacha bo'lgan masofani o'lchang. Inersiya radiusini bilib, kesmaning x o'qiga nisbatan inersiya momentini 1 ni topish mumkin: . Simmetriya o‘qi ikkidan ortiq bo‘lgan kesmalar uchun (masalan: aylana, kvadrat, halqa va boshqalar) barcha markaziy o‘qlarga nisbatan eksenel inersiya momentlari teng, J xy =0, inersiya ellipsi inersiya doirasiga aylanadi. .

Berilgan: figuraning z, y o'qlariga nisbatan inersiya momentlari; bu va parallel o'qlar orasidagi masofalar z 1, y 1 – a, b.

Aniqlang: z 1, y 1 o'qlarga nisbatan inersiya momentlarini (4.7-rasm).

Yangi z 1 Oy 1 tizimidagi istalgan nuqtaning koordinatalarini eski tizimdagi koordinatalar orqali quyidagicha ifodalash mumkin:

z 1 = z + b, y 1 = y + a.

Biz ushbu qiymatlarni (4.6) va (4.8) formulalarga almashtiramiz va atamalarni atama bo'yicha birlashtiramiz:

(4.1) va (4.6) formulalarga muvofiq, biz olamiz

,

, (4.13)

Agar zCy o'qining dastlabki ma'lumotlari markaziy bo'lsa, u holda statik momentlar S z va

S y nolga teng va formulalar (4.13) soddalashtirilgan:

,

, (4.14)

.

Misol: asosdan o'tuvchi z 1 o'qiga nisbatan to'rtburchakning eksenel inersiya momentini aniqlang (4.6-rasm, a). (4.14) formula bo'yicha

4.4. O'qlarni burishda inersiya momentlari orasidagi bog'liqlik

Berilgan: ixtiyoriy figuraning koordinata o'qlariga nisbatan inersiya momentlari z, y; bu o'qlarning burilish burchagi a (4.8-rasm). Biz soat miliga teskari aylanish burchagini ijobiy deb hisoblaymiz.

Aniqlang: figuraning z 1, y 1 ga nisbatan inersiya momentlari.

Yangi o'qlardagi ixtiyoriy elementar maydon dF koordinatalari oldingi o'qlar tizimining koordinatalari orqali quyidagicha ifodalanadi:

z 1 = OB = OE + EB = OE + DC = zcos a + ysin a,

y 1 = AB = AC – BC = AC – ED = ycos a – zsin a.

Keling, ushbu qiymatlarni (4.6) va (4.8) ga almashtiramiz va atamalarni atama bo'yicha birlashtiramiz:

,

,

(4.6) va (4.8) formulalarni hisobga olib, biz nihoyat topamiz:

. (4.16)

Formulalarni (4.15) qo'shib, biz quyidagilarni olamiz: (4.17)

Shunday qilib, o'qlar aylanganda, eksenel inersiya momentlarining yig'indisi doimiy bo'lib qoladi. Bunday holda, ularning har biri (4.15) formulalarga muvofiq o'zgaradi. Ko'rinib turibdiki, o'qlarning ba'zi pozitsiyalarida inersiya momentlari ekstremal qiymatlarga ega bo'ladi: ulardan biri eng katta, ikkinchisi eng kichik bo'ladi.

4.5. Bosh o'qlar va bosh inersiya momentlari

Asosiy markaziy o'qlar, markazdan qochma inertsiya momenti nolga teng, eng katta amaliy ahamiyatga ega. Bunday o'qlarni u, y harflari bilan belgilaymiz. Binobarin, J uy = 0. Dastlabki ixtiyoriy koordinatalar sistemasi z, y shunday burchakka a 0 aylantirilishi kerakki, markazdan qochma inersiya momenti nolga teng bo'ladi. (4.16) ni nolga tenglashtirib, olamiz

. (4.18)

Ma'lum bo'lishicha, inersiya momentlari nazariyasi va tekis kuchlanish holati nazariyasi bir xil matematik apparatlar tomonidan tasvirlangan, chunki (4.15) - (4.18) formulalar (3.10), (3.11) va (3.18) formulalar bilan bir xildir. Faqat normal kuchlanishlar o'rniga s o'q inersiya momentlari J z va J y, tangensial kuchlanishlar o'rniga t zy - markazdan qochma inersiya momenti J zy yoziladi. Shuning uchun biz (3.18) formulalarga o'xshab, hosilasiz inertsiyaning asosiy eksenel momentlari uchun formulalarni keltiramiz:

.(4.19)

(4.18) dan olingan a 0 burchakning ikkita qiymati bir-biridan 90 0 ga farq qiladi, bu burchaklarning eng kichiki mutlaq qiymatda 45 0 dan oshmaydi.

Inersiya radiusi va qarshilik momenti

Shaklning har qanday o'qga nisbatan inersiya momenti ma'lum bir miqdorning kvadrati bilan shakl maydonining mahsuloti sifatida ifodalanishi mumkin. aylanish radiusi:

, (4.20)

bu erda i z - z o'qiga nisbatan aylanma radiusi.

(4.20) ifodadan shunday xulosa kelib chiqadi

,
. (4.21)

Inertsiyaning asosiy markaziy o'qlari inertsiyaning asosiy radiuslariga to'g'ri keladi

,
. (4.22)

Asosiy inersiya radiuslarini bilib, siz ixtiyoriy o'qga nisbatan inersiya radiusini (va, demak, inersiya momentini) grafik tarzda topishingiz mumkin.

Keling, burilish va egilish paytida novda kuchini tavsiflovchi yana bir geometrik xususiyatni ko'rib chiqaylik - qarshilik momenti. Qarshilik momenti inersiya momentini o'qdan (yoki qutbdan) bo'limning eng uzoq nuqtasigacha bo'lgan masofaga bo'linganga teng. Qarshilik momentining o'lchami kubik uzunlik birligi (sm 3).

To'rtburchak uchun (4.6-rasm, a)
,
, shuning uchun qarshilikning eksenel momentlari

,
. (4.23)

Doira uchun
(4.6-rasm, b),
, shuning uchun qarshilikning qutb momenti

. (4.24)

Doira uchun
,
, shuning uchun qarshilikning eksenel momenti

. (4.25)

Dekart to'rtburchaklar koordinatalar sistemasini O xy kiritamiz. Keling, koordinata tekisligidagi ixtiyoriy kesmani ko'rib chiqaylik ( yopiq maydon) maydoni A bilan (1-rasm).

Statik daqiqalar

Koordinatali C nuqta (x C , y C)

chaqirdi bo'limning og'irlik markazi.

Agar koordinata o'qlari kesimning og'irlik markazidan o'tsa, u holda kesmaning statik momentlari nolga teng:

Eksenel inersiya momentlari x va y o'qlariga nisbatan kesmalar shaklning integrallari deyiladi:

Polar inersiya momenti koordinatalarning kelib chiqishiga nisbatan kesma shaklning integrali deyiladi:

Santrifüj inertsiya momenti bo'lim shaklning integrali deb ataladi:

Kesimning asosiy inersiya o'qlari ikkita o'zaro perpendikulyar o'q deyiladi, ularga nisbatan I xy = 0. Agar o'zaro perpendikulyar o'qlardan biri kesmaning simmetriya o'qi bo'lsa, u holda I xy =0 va shuning uchun bu o'qlar asosiy hisoblanadi. Bo'limning og'irlik markazidan o'tadigan asosiy o'qlar deyiladi kesimning asosiy markaziy inertsiya o'qlari

2. O'qlarni parallel ko'chirish haqidagi Shtayner-Gyuygens teoremasi

Shtayner-Gyuygens teoremasi (Shtayner teoremasi).
I kesmaning ixtiyoriyga nisbatan eksenel inersiya momenti sobit o'q x summasiga teng bu kesmaning eksenel inersiya momenti I nisbiy o'qi x * unga parallel bo'lgan, kesimning massa markazidan o'tuvchi va A ko'ndalang kesim maydonining ikki o'q orasidagi d masofaning kvadratiga ko'paytmasi. .

Agar x va y o'qlariga nisbatan I x va I y inersiya momentlari ma'lum bo'lsa, u holda a burchak bilan aylantirilgan n va u o'qlariga nisbatan eksenel va markazdan qochma inersiya momentlari quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:

Yuqoridagi formulalardan ko'rinib turibdiki

Bular. o'zaro perpendikulyar o'qlarni aylantirganda eksenel inersiya momentlari yig'indisi o'zgarmaydi, ya'ni kesmaning markazdan qochma inersiya momenti nolga teng bo'lgan u va v o'qlari va I u va I v eksenel inersiya momentlari ekstremalga ega. max yoki min qiymatlari bo'limning asosiy o'qlari deb ataladi. Bo'limning og'irlik markazidan o'tadigan asosiy o'qlar deyiladi uchastkaning asosiy markaziy o'qlari. Simmetrik kesmalar uchun ularning simmetriya o'qlari doimo asosiy markaziy o'qlardir. Bo'limning asosiy o'qlarining boshqa o'qlarga nisbatan pozitsiyasi quyidagi munosabatlar yordamida aniqlanadi:

bu erda a 0 - x va y o'qlari asosiy bo'lishi uchun aylantirilishi kerak bo'lgan burchak (musbat burchak odatda soat miliga teskari, manfiy burchak soat yo'nalishi bo'yicha o'rnatiladi). Bosh o'qlarga nisbatan eksenel inersiya momentlari deyiladi asosiy inersiya momentlari:

Ikkinchi muddat oldidagi ortiqcha belgisi inersiyaning maksimal momentini, minus belgisi esa minimalni bildiradi.