Revolyutsiya paraboloidining kanonik tenglamasi. Aylanish paraboloidi. Idishdagi erkin sirtning joylashishi

Paraboloidning balandligi formula bo'yicha aniqlanishi mumkin

Pastki qismga tegib turgan paraboloid hajmi yarmiga teng Baza radiusi R va balandligi H bo'lgan silindrning hajmi, xuddi shu hajm paraboloid ostidagi W' bo'shliqni egallaydi (4.5a-rasm).

4.5-rasm. Pastki qismga tegib turgan paraboloiddagi hajmlar nisbati.

Wp – paraboloid hajmi, W’ – paraboloid ostidagi hajm, Hp – paraboloid balandligi.

4.6-rasm. Tsilindrning chetlariga tegib turgan paraboloiddagi hajmlar nisbati Hp - paraboloidning balandligi., R - idishning radiusi, Wl - aylanish boshlanishidan oldin idishdagi suyuqlik balandligi ostidagi hajm, z. 0 - paraboloid cho'qqisining holati, H - aylanish boshlanishidan oldin idishdagi suyuqlikning balandligi.

4.6a-rasmda aylanish boshlanishidan oldin silindrdagi suyuqlik darajasi H. Suyuqlik hajmi Wl aylanishdan oldin va keyin saqlanadi va summasiga teng Balandligi z 0 bo'lgan silindrning hajmi Wc va paraboloid ostidagi suyuqlik hajmi, Hp balandligi bo'lgan Wp paraboloid hajmiga teng.

Agar paraboloid silindrning yuqori chetiga tegsa, aylanish boshlanishidan oldin silindrdagi suyuqlikning balandligi H paraboloid Hn balandligini ikkita teng qismga bo'ladi, paraboloidning eng past nuqtasi (cho'qqisi) nisbatan joylashgan. asosga (4.6c-rasm)

Bundan tashqari, H balandligi paraboloidni ikki qismga ajratadi (4.6c-rasm), ularning hajmlari W 2 = W 1 ga teng. Parabolik halqa W 2 va parabolik chashka W 1 hajmlarining tengligidan, 4.6c-rasm.

Paraboloid yuzasi tomir tubini kesib o'tganda (4.7-rasm) W 1 =W 2 =0,5 Vt halqa.

4.7-rasm Paraboloid yuzasi silindr tubini kesishganda hajm va balandliklar.

4.6-rasmdagi balandliklar

4.6-rasmdagi hajmlar.

Idishdagi erkin sirtning joylashishi

4.8-rasm. Aylanish vaqtida nisbiy dam olishning uchta holati

1. Agar idish ochiq bo'lsa, Po = Ratm (4.8a-rasm). Aylanish jarayonida paraboloidning ustki qismi boshlang'ich darajadan pastga tushadi - H, va qirralari yuqoriga ko'tariladi kirish darajasi, cho'qqi holati

2. Agar idish to'liq to'ldirilgan bo'lsa, qopqog'i bilan qoplangan, erkin yuzasi bo'lmasa, Po>Patm ortiqcha bosim ostida bo'lsa, aylanishdan oldin Po=Patm bo'lgan sirt (PP) balandlikda qopqoq sathidan yuqori bo'ladi. h 0i =M/ rg, H 1 =H+ M/rg.

3. Agar idish to'liq to'ldirilgan bo'lsa, u Po vakuum ostida<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. Yuqori burchak tezligida aylanish (4.9-rasm)

Suyuqlikni o'z ichiga olgan idish yuqori burchak tezlikda aylanganda, tortishish kuchini markazdan qochma kuchlarga nisbatan e'tiborsiz qoldirish mumkin. Suyuqlikdagi bosimning o'zgarishi qonunini formuladan olish mumkin

(4.22),

Darajaning sirtlari umumiy o'qi bo'lgan silindrlarni hosil qiladi, ular atrofida idish aylanadi. Agar aylanish boshlanishidan oldin idish to'liq to'ldirilmasa, bosim P 0 radius bo'ylab harakat qiladi r = r 0 , ifoda o'rniga (4.22) ega bo'lamiz

bunda g(z 0 - z) = 0 ni olamiz,

Guruch. 4.9 Gravitatsiya bo'lmaganda inqilob sirtlarining joylashishi.

Ma'lum H va h uchun ichki yuzaning radiusi

Uning o'qi atrofida siz oddiy elliptikni olishingiz mumkin. Bu ichi bo'sh izometrik jism bo'lib, uning kesimlari ellips va parabolalardan iborat. Elliptik paraboloid quyidagicha ifodalanadi:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
Paraboloidning barcha asosiy bo'limlari parabolalardir. XOZ va YOZ tekisliklarini kesishda faqat parabolalar olinadi. Xoy tekisligiga nisbatan perpendikulyar kesma chizilsa, ellips olish mumkin. Bundan tashqari, parabola bo'lgan bo'limlar quyidagi tenglamalar bilan belgilanadi:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
Ellipsning kesimlari boshqa tenglamalar bilan berilgan:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2s
a=b da elliptik paraboloid inqilob paraboloidiga aylanadi. Paraboloidning konstruktsiyasi hisobga olinishi kerak bo'lgan bir qator xususiyatlarga ega. Funktsiya grafigining asosini - chizmasini tayyorlash bilan operatsiyani boshlang.

Paraboloidni qurishni boshlash uchun avval parabolani qurish kerak. Rasmda ko'rsatilgandek Oxz tekisligida parabolani chizing. Kelajakdagi paraboloidga ma'lum bir balandlik bering. Buning uchun parabolaning yuqori nuqtalariga tegib, Ox o'qiga parallel bo'ladigan to'g'ri chiziq chizamiz. Keyin Yoz tekisligida parabola chizing va to'g'ri chiziq chizing. Siz bir-biriga perpendikulyar ikkita paraboloid tekislikni olasiz. Shundan so'ng, Xoy tekisligida ellipsni chizishga yordam beradigan parallelogramma tuzing. Ushbu parallelogrammga ellipsni barcha tomonlariga tegib turuvchi qilib yozing. Ushbu o'zgarishlardan so'ng, parallelogrammni o'chiring va paraboloidning uch o'lchovli tasviri qoladi.

Shuningdek, giperbolik paraboloid ham mavjud bo'lib, u elliptikdan ko'ra ko'proq konkav shaklga ega. Uning bo'limlarida parabola va ba'zi hollarda giperbolalar ham mavjud. Oxz va Oyz bo'ylab asosiy bo'limlar elliptik paraboloid kabi parabolalardir. Ular quyidagi shakldagi tenglamalar bilan berilgan:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
Agar siz Oksi o'qiga nisbatan kesma chizsangiz, siz giperbola olishingiz mumkin. Giperbolik paraboloidni qurishda quyidagi tenglamadan foydalaning:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - giperbolik paraboloid tenglamasi

Dastlab Oxz tekisligida qo'zg'almas parabolani tuzing. Oyz tekisligida harakatlanuvchi parabolani chizing. Shundan so'ng, paraboloid h balandligini o'rnating. Buning uchun qo'zg'almas parabolaning ikkita nuqtasini belgilang, ular yana ikkita harakatlanuvchi parabolaning uchlari bo'ladi. Keyin boshqa koordinatalar sistemasi O"x"y"ni chizib, giperbolalarni chizamiz. Bu koordinatalar sistemasining markazi paraboloid balandligiga to'g'ri kelishi kerak. Barcha konstruktsiyalardan so'ng yuqorida aytib o'tilgan ikkita harakatlanuvchi parabolani chekka nuqtalarga tegizadigan qilib chizing. Natijada giperbolik paraboloid hosil bo'ladi.

Giperbolik paraboloid ham ikkinchi tartibli sirtlarga tegishli. Ushbu sirtni sobit o'qga nisbatan ma'lum bir chiziqning aylanishini ishlatadigan algoritm yordamida olish mumkin emas.

Giperbolik paraboloidni qurish uchun maxsus modeldan foydalaniladi. Ushbu model ikkita o'zaro perpendikulyar tekislikda joylashgan ikkita parabolani o'z ichiga oladi.

I parabola tekislikda va harakatsiz bo'lsin. Parabola II murakkab harakatni amalga oshiradi:

▫ uning dastlabki holati tekislikka to'g'ri keladi
, va parabolaning tepasi koordinatalarning kelib chiqishi bilan mos keladi: =(0,0,0);

▫ u holda bu parabola parallel tarjimada harakat qiladi va uning cho'qqisi
I parabola bilan mos keladigan traektoriyani tuzadi;

▫ II parabolaning ikki xil boshlang'ich pozitsiyasi ko'rib chiqiladi: biri - parabolaning yuqoriga yo'naltirilgan shoxlari, ikkinchisi - pastga yo'naltirilgan shoxlari.

Keling, tenglamalarni yozamiz: birinchi parabola I uchun:
- doimiy ravishda; ikkinchi parabola II uchun:
- boshlang'ich pozitsiyasi, harakat tenglamasi:
Bu fikrni tushunish qiyin emas
koordinatalariga ega:
. Chunki nuqtaning harakat qonunini ko'rsatish kerak
: bu nuqta I parabolaga tegishli, u holda quyidagi munosabatlar har doim qanoatlantirilishi kerak: =
Va
.

Modelning geometrik xususiyatlaridan harakatlanuvchi parabola ekanligini ko'rish oson supurib tashlaydi ba'zi sirt. Bunday holda, II parabola bilan tasvirlangan sirt tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

yoki→
. (1)

Olingan sirtning shakli parametrlarning belgilarining taqsimlanishiga bog'liq
.

Ikkita mumkin bo'lgan holatlar mavjud: 1). Miqdorlarning belgilari p Va q mos keladi: I va II parabolalar tekislikning bir tomonida joylashgan OXY 1). Miqdorlarning belgilari = . Qabul qilaylik: 2 a Va = Va 2 b

→ . Keyin ma'lum sirt tenglamasini olamiz: . (2)

elliptik paraboloid 1). Miqdorlarning belgilari p Va 2). Miqdorlarning belgilari mos keladi: I va II parabolalar tekislikning bir tomonida joylashgan farqlanadi: I va II parabolalar tekislikning qarama-qarshi tomonlarida joylashgan 1). Miqdorlarning belgilari = . Qabul qilaylik: 2 a Va = - Va 2 . Endi biz sirt tenglamasini olamiz:

→giperbolik paraboloid . (3)

Harakatda ishtirok etayotgan ikkita parabolaning o'zaro ta'sirining kinematik modelini eslasak, (3) tenglama bilan aniqlangan sirtning geometrik shaklini tasavvur qilish qiyin emas.

Rasmda I parabola shartli ravishda qizil rangda koordinatalar boshidagi sirtning qo'shnisi ko'rsatilgan. Sirtning shakli otliq egarga aniq ishora qilganligi sababli, bu mahalla ko'pincha deyiladi - egar .

Fizikada jarayonlarning barqarorligini o'rganishda muvozanat turlari kiritiladi: turg'un - teshik, qavariq pastga, beqaror - yuqoriga qarab qavariq va oraliq - egar. Uchinchi turdagi muvozanat ham beqaror muvozanatning bir turi sifatida tasniflanadi va faqat qizil chiziqda (parabola I) muvozanat mumkin.

§ 4. Silindrsimon yuzalar.

Revolyutsiya yuzalarini ko'rib chiqishda biz eng oddiy silindrsimon sirtni aniqladik - inqilob tsilindri, ya'ni dumaloq silindr.

Elementar geometriyada silindr prizmaning umumiy ta'rifi bilan o'xshashlik bilan aniqlanadi. Bu juda murakkab:

▫ fazoda tekis ko'pburchak bo'lsin
- deb belgilaymiz , va ko'pburchak unga to'g'ri keladi
- deb belgilaymiz
;

▫ ko'pburchak uchun qo'llaniladi
harakat parallel tarjima: nuqtalar
berilgan yo'nalishga parallel ravishda traektoriyalar bo'ylab harakatlaning ;

▫ agar siz ko'pburchak uzatishni to'xtatsangiz
, keyin uning tekisligi
tekislikka parallel ;

▫ prizma yuzasi deyiladi: ko'pburchaklar yig'indisi ,
– asoslar prizmalar va parallelogrammalar
,
,... – lateral yuzasi prizmalar.

IN Prizma va uning sirtining umumiy ta'rifini qurish uchun prizmaning elementar ta'rifidan foydalanamiz, ya'ni biz ajratamiz:

▫ cheksiz prizma qirralar bilan chegaralangan ko‘p yuzli jismdir ,,... va bu qirralarning orasidagi tekisliklar;

▫ Cheklangan prizma — qirralar bilan chegaralangan koʻp yuzli jism ,,... va parallelogrammalar
,
,...;
,
bu prizmaning lateral yuzasi parallelogrammalar to'plamidir ,
.

,...; prizma asoslari - ko'pburchaklar to'plami ,Keling, cheksiz prizmaga ega bo'lamiz: ,... Keling, bu prizmani ixtiyoriy tekislik bilan kesib o'tamiz
. Xuddi shu prizmani boshqa tekislik bilan kesishamiz
. Kesmada biz ko'pburchakni olamiz
. Umuman olganda, biz samolyot deb taxmin qilamiz tekislikka parallel emas .

. Bu shuni anglatadiki, prizma ko'pburchakning parallel tarjimasi bilan qurilgan emas

Analitik geometriyada biz silindrsimon yuzalarni shunday umumiy tushunamizki, chegaralanmagan silindr maxsus holat sifatida chegaralanmagan prizmani o'z ichiga oladi: faqat ko'pburchakni ixtiyoriy chiziq bilan almashtirish mumkin, deb taxmin qilish kerak, albatta yopiq emas - hidoyat silindr. Yo'nalish chaqirdi generatrix silindr.

Aytilganlarning barchasidan kelib chiqadi: silindrsimon sirtni aniqlash uchun hidoyat chizig'i va generatrixning yo'nalishini ko'rsatish kerak.

Silindrsimon sirtlar 2-darajali tekislik egri chiziqlari asosida olinadi, xizmat qiladi qo'llanmalar uchun shakllantirish .

Silindrsimon sirtlarni o'rganishning dastlabki bosqichida biz soddalashtirilgan taxminlarni qabul qilamiz:

▫ silindrsimon yuzaning yo'naltiruvchisi doimo koordinata tekisliklaridan birida joylashgan bo'lsin;

▫ generatrixning yo'nalishi koordinata o'qlaridan biriga to'g'ri keladi, ya'ni yo'riqnoma aniqlangan tekislikka perpendikulyar.

Qabul qilingan cheklovlar umumiylikni yo'qotishga olib kelmaydi, chunki bu samolyotlar bo'limlarini tanlash tufayli mumkin bo'lib qoladi. Va
o'zboshimchalik bilan geometrik shakllarni qurish: tekis, moyil, kesilgan silindrlar.

Elliptik silindr .

Tsilindrning yo'nalishi sifatida ellipsni olaylik :
, koordinata tekisligida joylashgan

: elliptik silindr.

Giperbolik silindr .

:

, va generatrixning yo'nalishi o'qni aniqlaydi
. Bunday holda, silindrning tenglamasi chiziqning o'zi : giperbolik silindr.

Parabolik tsilindr .

Tsilindrning yo'nalishi sifatida giperbolani olaylik :
, koordinata tekisligida joylashgan
, va generatrixning yo'nalishi o'qni aniqlaydi
. Bunday holda, silindrning tenglamasi chiziqning o'zi : parabolik silindr.

Izoh: silindrsimon yuzalar tenglamalarini qurishning umumiy qoidalarini, shuningdek, elliptik, giperbolik va parabolik silindrlarning alohida misollarini hisobga olgan holda, shuni ta'kidlaymiz: qabul qilingan soddalashtirish shartlari uchun boshqa har qanday avlod uchun silindrni qurish hech qanday sabab bo'lmasligi kerak. qiyinchiliklar!

Keling, silindrsimon yuzalar tenglamalarini qurishning umumiy shartlarini ko'rib chiqaylik:

▫ silindrsimon sirtning yo'riqchisi fazoning ixtiyoriy tekisligida joylashgan
;

▫ generatrixning yo'nalishi qabul qilingan koordinatalar tizimida ixtiyoriy.

Biz rasmda qabul qilingan shartlarni tasvirlaymiz.

▫ silindrsimon sirt yo'riqnomasi ixtiyoriy tekislikda joylashgan bo'sh joy
;

▫ koordinatalar tizimi
koordinatalar tizimidan olingan
parallel uzatish;

▫ hidoyat joylashuvi samolyotda eng maqbul: 2-tartibli egri chiziq uchun biz koordinatalarning kelib chiqishi deb faraz qilamiz bilan mos keladi markaz ko'rib chiqilayotgan egri chiziqning simmetriyasi;

▫ generatrixning yo'nalishi ixtiyoriy (har qanday usullarda ko'rsatilishi mumkin: vektor, to'g'ri chiziq va boshqalar).

Quyida biz koordinata tizimlari deb faraz qilamiz
Va
mos. Bu shuni anglatadiki, silindrsimon sirtlarni qurish uchun umumiy algoritmning 1-bosqichi parallel tarjimani aks ettiradi:
→
, ilgari tugallangan.

Oddiy misolni ko'rib chiqish orqali umumiy holatda parallel uzatish qanday hisobga olinishini eslaylik.

6-misol–13 : Koordinatalar tizimida
shaklida:
=0. Ushbu qo'llanmaning tenglamasini tizimga yozing
.

Yechim:

1). Keling, ixtiyoriy nuqtani belgilaylik
: tizimda
Qanaqasiga
, va tizimda
Qanaqasiga
.

2). Vektor tengligini yozamiz:
=
+
. Koordinata shaklida buni quyidagicha yozish mumkin:
=
+
. Yoki shaklda:
=
–
, yoki:
=.

3). Tsilindr yo'riqnomasining tenglamasini yozamiz koordinatalar tizimida
:

Javob: o'zgartirilgan qo'llanma tenglama: =0.

Shunday qilib, silindr yo'nalishini ifodalovchi egri chiziqning markazi har doim tizim koordinatalarining boshida joylashgan deb taxmin qilamiz.
samolyotda .

Guruch. IN . Tsilindrni qurish uchun asosiy chizma.

Keling, silindrsimon sirtni qurishning yakuniy bosqichlarini soddalashtiradigan yana bir taxmin qilaylik. Chunki koordinata tizimining aylanishidan foydalanib, o'qning yo'nalishini tekislash qiyin emas
koordinata tizimlari
normal samolyot bilan , va o'qlarning yo'nalishlari
Va
hidoyat simmetriya o'qlari bilan , keyin biz yo'riqnomaning boshlang'ich pozitsiyasi sifatida qabul qilamiz bizda tekislikda joylashgan egri chiziq bor
, va uning simmetriya o'qlaridan biri o'qga to'g'ri keladi
, ikkinchisi esa eksa bilan
.

Izoh: sobit o'q atrofida parallel ko'chirish va aylanish operatsiyalari juda oddiy bo'lgani uchun, qabul qilingan taxminlar silindrsimon sirtni qurish uchun ishlab chiqilgan algoritmning eng umumiy holatda qo'llanilishini cheklamaydi!

Biz silindrsimon sirtni qurishda hidoyat bo'lgan holatda ekanligini ko'rdik samolyotda joylashgan
, va generatrix o'qga parallel
, faqat yo'riqnomani aniqlash kifoya .

Silindrsimon sirtni ixtiyoriy tekislik bilan ushbu sirtning kesimida olingan har qanday chiziqni ko'rsatish orqali yagona aniqlash mumkin bo'lganligi sababli, biz muammoni hal qilish uchun quyidagi umumiy algoritmni qabul qilamiz:

1 ▫ . Generatorning yo'nalishi bo'lsin vektor tomonidan berilgan silindrsimon sirt . Keling, qo'llanmani loyihalashtiramiz , tenglama bilan berilgan:
=0, generatrisa yo'nalishiga perpendikulyar tekislikka , ya'ni samolyotga
. Natijada, silindrsimon sirt koordinatalar tizimida ko'rsatiladi
tenglama:
=0.

2 ▫
eksa atrofida
burchak ostida
: burchak ma'nosi
tizimiga mos keladi
, va konusning sirt tenglamasi tenglamaga aylantiriladi:
=0.

3 ▫ . Koordinata tizimining aylanishini qo'llang
eksa atrofida
burchak ostida
: burchak ma'nosi rasmdan ancha tushunarli. Aylanish natijasida koordinatalar tizimi
tizimiga mos keladi
, va konusning sirt tenglamasi ga aylantiriladi
=0. Bu yo'riqnoma berilgan silindrsimon sirtning tenglamasidir va generator koordinatalar tizimida
.

Quyida keltirilgan misol yozma algoritmni amalga oshirish va bunday masalalarni hisoblashdagi qiyinchiliklarni ko'rsatadi.

6-misol–14 : Koordinatalar tizimida
silindrni yo'naltiruvchi tenglama berilgan shaklida:
=9. Generatorlari vektorga parallel bo'lgan silindr uchun tenglamani yozing =(2,–3,4).

R
qaror:

1). Tsilindr yo'riqnomasini perpendikulyar tekislikka proyeksiya qilaylik . Ma'lumki, bunday o'zgartirish berilgan doirani ellipsga aylantiradi, uning o'qlari: katta bo'ladi. =9 va kichik =
.

Bu rasm tekislikda aniqlangan doiraning dizaynini ko'rsatadi
koordinata tekisligiga
.

2). Doirani loyihalash natijasi ellipsdir:
=1, yoki
. Bizning holatlarimizda bu:
, Qayerda
==.

3
). Demak, silindrsimon yuzaning koordinatalar sistemasidagi tenglamasi
olingan. Chunki masalaning shartlariga ko'ra biz koordinatalar sistemasida bu silindrning tenglamasiga ega bo'lishimiz kerak
, keyin koordinata tizimini o'zgartiruvchi koordinata o'zgarishini qo'llash qoladi
koordinatalar tizimiga
, bir vaqtning o'zida silindrning tenglamasi:
o‘zgaruvchilar orqali ifodalangan tenglamaga aylantiriladi
.

4). Keling, foyda keltiraylik asosiy chizing va muammoni hal qilish uchun zarur bo'lgan barcha trigonometrik qiymatlarni yozing:

==,
==,
==.

5). Tizimdan o'tishda koordinatalarni o'zgartirish formulalarini yozamiz
tizimga
:
(IN)

6). Tizimdan o'tishda koordinatalarni o'zgartirish formulalarini yozamiz
tizimga
:
(BILAN)

7). O'zgaruvchilarni almashtirish
(B) tizimdan (C) tizimga, shuningdek ishlatiladigan trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini hisobga olgan holda biz yozamiz:

=
=
.

=
=
.

8). Topilgan qiymatlarni almashtirish qoladi Va silindrni yo'naltiruvchi tenglamaga kiriting :
koordinatalar tizimida
. Tugallagandan keyin ehtiyotkorlik bilan barcha algebraik o'zgarishlar, biz koordinatalar tizimida konusning sirt tenglamasini olamiz
: =0.

Javob: konusning tenglamasi: =0.

6-misol–15 : Koordinatalar tizimida
silindrni yo'naltiruvchi tenglama berilgan shaklida:
=9, =1. Generatorlari vektorga parallel bo'lgan silindr uchun tenglamani yozing =(2,–3,4).

Yechim:

1). Bu misol avvalgisidan faqat yo'riqnoma parallel ravishda 1 ga yuqoriga siljiganligi bilan farq qilishini ko'rish oson.

2). Bu shuni anglatadiki, (B) munosabatlarida quyidagilar qabul qilinishi kerak: =–1. Tizimning (C) ifodalarini hisobga olgan holda, biz o'zgaruvchining yozuvini tuzatamiz :

=
.

3). O'zgarish oldingi misoldagi silindr uchun yakuniy tenglamani sozlash orqali osongina hisobga olinadi:

Javob: konusning tenglamasi: =0.

Izoh: silindrsimon yuzalar bilan bog'liq masalalarda koordinata tizimlarini ko'p marta o'zgartirish bilan bog'liq asosiy qiyinchilik ekanligini ko'rish oson. aniqlik Va chidamlilik algebra marafonlarida: uzoq umr ko'rayotgan mamlakatimizda qabul qilingan ta'lim tizimi yashasin!

Ellipsoid- uchta o'zaro perpendikulyar o'q bo'ylab sharni deformatsiyalash natijasida olingan uch o'lchovli fazodagi sirt. Ellipsoidning deformatsiya o'qlariga to'g'ri keladigan dekart koordinatalaridagi ellipsoidning kanonik tenglamasi:.

a, b, c miqdorlar ellipsoidning yarim o'qlari deyiladi. Ellipsoid ham ellipsoid yuzasi bilan chegaralangan jismdir. Ellipsoid ikkinchi tartibli sirtlarning mumkin bo'lgan shakllaridan biridir.

Bir juft yarim o'qning uzunligi bir xil bo'lsa, ellipsni o'z o'qlaridan biri atrofida aylantirish orqali ellipsoidni olish mumkin. Bunday ellipsoid inqilob ellipsoidi yoki sferoid deb ataladi.

Ellipsoid Yerning ideallashtirilgan yuzasini sharga qaraganda aniqroq aks ettiradi.

Ellipsoidning hajmi:.

Revolyutsiya ellipsoidining sirt maydoni:

Giperboloid- bu uch o'lchovli fazodagi ikkinchi tartibli sirtning bir turi bo'lib, Dekart koordinatalarida tenglama bo'yicha - (bir varaqli giperboloid), bu erda a va b - haqiqiy yarim o'q, c - xayoliy yarim o'q. ; yoki - (ikki varaqli giperboloid), bu erda a va b - xayoliy yarim o'q va c - haqiqiy yarim o'q.

Agar a = b bo'lsa, bunday sirt revolyutsiyaning giperboloidi deyiladi. Bir varaqli inqilob giperboloidini giperbolani o'zining xayoliy o'qi atrofida, ikki varaqli giperboloidni esa haqiqiy o'qi atrofida aylantirish orqali olish mumkin. Ikki varaqli inqilob giperboloidi ham P nuqtalarning joylashuvi, berilgan ikkita A va B nuqtagacha bo'lgan masofalar farqining moduli doimiy bo'ladi: | AP - BP | = const. Bunday holda, A va B giperboloidning o'choqlari deb ataladi.

Bir varaqli giperboloid ikki marta chiziqli sirtdir; agar u inqilobning giperboloidi bo'lsa, u holda uni kesishgan boshqa chiziq atrofida chiziqni aylantirish orqali olish mumkin.

Paraboloid— ikkinchi tartibli sirt turi. Paraboloidni ochiq nomarkaziy (ya'ni simmetriya markazisiz) ikkinchi tartibli sirt sifatida tavsiflash mumkin.

Dekart koordinatalarida paraboloidning kanonik tenglamalari:

· agar a va b belgilar bir xil bo'lsa, paraboloid elliptik deyiladi.

· agar a va b belgilar har xil bo'lsa, u holda paraboloid giperbolik deyiladi.

· agar koeffitsientlardan biri nolga teng bo'lsa, u holda paraboloid parabolik silindr deyiladi.

ü - elliptik paraboloid bo'lib, bu erda a va b bir xil belgiga ega. Sirt shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan parallel parabolalar oilasi bilan tasvirlangan, ularning uchlari parabolani tasvirlaydi, shoxlari ham yuqoriga yo'naltirilgan. Agar a = b bo'lsa, elliptik paraboloid - bu parabolaning shu parabolaning tepasidan o'tadigan vertikal o'q atrofida aylanishidan hosil bo'lgan aylanish yuzasi.

ü giperbolik paraboloiddir.

Paraboloidlarning ikki turi mavjud: elliptik va giperbolik.

Elliptik paraboloid Dekart to'rtburchaklar koordinatalarining ba'zi tizimida tenglama bilan aniqlangan sirt

Elliptik paraboloid cheksiz qavariq kosa shakliga ega. U ikkita o'zaro perpendikulyar simmetriya tekisligiga ega. Koordinatalar kelib chiqishi birikadigan nuqta elliptik paraboloidning cho'qqisi deyiladi; p va q sonlari uning parametrlari deyiladi.

Giperbolik paraboloid - bu tenglama bilan aniqlangan sirt

Giperbolik paraboloid egar shakliga ega. U ikkita o'zaro perpendikulyar simmetriya tekisligiga ega. Koordinatalarning kelib chiqishi birikadigan nuqta giperbolik paraboloidning cho'qqisi deyiladi; raqamlar r Va Va uning parametrlari deyiladi.

8.4-mashq. Shaklning giperbolik paraboloidini qurishni ko'rib chiqaylik

Paraboloidning diapazonlarda yotgan qismini qurish kerak bo'lsin: x O[–3; 3], da O[–2; 2] qadam D=0,5 ikkala o'zgaruvchi uchun.

Ijro. Avval o'zgaruvchi uchun tenglamani echishingiz kerak z. Misolda

O'zgaruvchi qiymatlarini kiritamiz X ustunga A. Buning uchun hujayra ichida A1 belgi kiriting X. Hujayraga A2 argumentning birinchi qiymati kiritiladi - diapazonning chap chegarasi (–3). Hujayraga A3- argumentning ikkinchi qiymati diapazonning chap chegarasi va qurilish bosqichidir (–2,5). Keyin, hujayralar blokini tanlash A2: AZ, avtoto'ldirishdan foydalanib, biz argumentning barcha qiymatlarini olamiz (biz blokning pastki o'ng burchagini katakka tortamiz A14).

O'zgaruvchan qiymatlar da qatorga kiring 1 . Buning uchun hujayra ichida B1 O'zgaruvchining birinchi qiymati kiritiladi - diapazonning chap chegarasi (–2). Hujayraga C1- o'zgaruvchining ikkinchi qiymati - diapazonning chap chegarasi va qurilish bosqichi (- 1,5). Keyin, hujayralar blokini tanlash B1: C1,avtomatik to'ldirish orqali biz argumentning barcha qiymatlarini olamiz (biz blokning pastki o'ng burchagini katakka tortamiz J1).

Keyin o'zgaruvchan qiymatlarni kiriting z. Buning uchun jadval kursorini katakka joylashtirish kerak B2 va - = formulasini kiriting $A2^2/18 -B$1^2/8, keyin tugmani bosing Kirish. Hujayrada B2 paydo bo'ladi 0. Endi siz funktsiyani hujayradan nusxalashingiz kerak B2. Buning uchun avval ushbu formulani diapazonga nusxalash uchun avtomatik to'ldirish (o'ngga chizish) dan foydalaning B2: J2, shundan keyin (pastga tortish orqali) - diapazonga B2: J14.

Natijada, diapazonda B2: J14 Giperbolik paraboloid nuqtalar jadvali paydo bo'ladi.

Asboblar panelida diagramma chizish uchun Standart tugmani bosishingiz kerak Grafik ustasi. Ko'rsatilgan dialog oynasida Diagramma ustasi (4-bosqichdan 1-bosqich): Diagramma turi diagramma turini ko'rsating - Yuzaki, va ko'rish - Tel (shaffof) sirt(o'ng oynada yuqori o'ng diagramma). Keyin tugmani bosing Keyingisi dialog oynasida.

Ko'rsatilgan dialog oynasida Grafik ustasi (4-bosqichdan 2-bosqich): Ma'lumotlar manbai yorlig'ini tanlashingiz kerak bo'lgan jadvallar Diapazon ma'lumotlar va sohada Diapazon ma'lumotlar oralig'ini ko'rsatish uchun sichqonchadan foydalaning B2: J14.

Keyinchalik, ma'lumotlar satrlari joylashgan satrlar yoki ustunlarni ko'rsatishingiz kerak. Bu o'qlarning yo'nalishini aniqlaydi X Va u. Misolda, kalit Qatorlar Sichqoncha ko'rsatgichidan foydalanib, uni ustunlar joyiga o'rnating.

Qator yorlig'ini va maydonni tanlang X o'qi belgilari imzolar doirasini ko'rsating. Buning uchun sichqoncha ko'rsatkichini bosish orqali ushbu maydonni faollashtiring va o'q belgilari oralig'ini kiriting. X -A2: A14.

Eksa yorliqlarining qiymatlarini kiriting u. Buning uchun, ish sohasida Qator birinchi yozuvni tanlang 1-qator va ish maydonini faollashtirish orqali Ism sichqoncha ko'rsatkichi bilan o'zgaruvchining birinchi qiymatini kiriting y: -2. Keyin dalaga Qator ikkinchi yozuvni tanlang 2-qator va ish maydoniga Ism o'zgaruvchining ikkinchi qiymatini kiriting y: -1,5. Oxirgi kirishgacha shu tarzda takrorlang - 9-qator.

Kerakli yozuvlar paydo bo'lgandan so'ng, tugmani bosing Keyingisi.

Uchinchi oynada diagramma sarlavhasi va eksa nomlarini kiritish talab qilinadi. Buning uchun yorliqni tanlang Sarlavhalar sichqoncha ko'rsatkichi bilan bosish orqali. Keyin ish maydoniga Diagramma sarlavhasi klaviaturadan nomni kiriting: Giperbolik paraboloid. Keyin xuddi shu tarzda ish joylariga kiring X o'qi (toifalar),Y o'qi (ma'lumotlar seriyasi) Va Z o'qi (qiymatlar) tegishli nomlar: x, y Va z.