Як помножити два числа з різними ступенями. Формули ступенів та коріння. Продовження вирішення типових завдань

Очевидно, що числа зі ступенями можуть складатися, як інші величини шляхом їхнього складання одне за одним зі своїми знаками.

Так, сума a 3 та b 2 є a 3 + b 2 .
Сума a3-bn і h5-d4 є a3-bn+h5-d4.

Коефіцієнти однакових ступенів однакових зміннихможуть складатися або відніматися.

Так, сума 2a 2 та 3a 2 дорівнює 5a 2 .

Це також очевидно, що якщо взяти два квадрати а, або три квадрати а, або п'ять квадратів а.

Але ступеня різних зміннихі різні ступені однакових змінних, повинні складатися їх складанням зі своїми знаками.

Так, сума a 2 та a 3 є сума a 2 + a 3 .

Це очевидно, що квадрат числа a, і куб числа a, не дорівнює подвійному квадрату a, але подвоєному кубу a.

Сума a 3 b n і 3a 5 b 6 є a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Відніманняступенів проводиться таким же чином, що і додавання, за винятком того, що знаки віднімаються повинні відповідно бути змінені.

Або:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Збільшення ступенів

Числа зі ступенями можуть бути помножені, як і інші величини шляхом написання їх одне за одним, зі знаком множення або без нього між ними.

Так, результат множення a3 на b2 дорівнює a3b2 або aaabb.

Або:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в останньому прикладі може бути упорядкований шляхом складання однакових змінних.
Вираз набуде вигляду: a 5 b 5 y 3 .

Порівнюючи кілька чисел(змінних) зі ступенями, ми можемо побачити, що якщо будь-які два з них множаться, то результат - це число (змінна) зі ступенем, що дорівнює суміступенів доданків.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Тут 5 - це ступінь результату множення, що дорівнює 2 + 3, сумі ступенів доданків.

Так, a n a m = a m + n .

Для a n a береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь n;

І a m береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь m;

Тому, ступеня з однаковими основами можуть бути помножені шляхом складання показників ступенів.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Або:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Помножте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Відповідь: x 4 – y 4 .
Помножте (x3+x-5) ⋅ (2x3+x+1).

Це правило справедливе і для чисел, показники ступеня яких негативні.

1. Так, a-2.a-3 = a-5. Це можна записати у вигляді (1/aa). (1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n. y-m = y-n-m.

3. a -n. am = am-n.

Якщо a + b множаться на a - b, результат дорівнюватиме a 2 - b 2: тобто

Результат множення суми чи різниці двох чисел дорівнює сумічи різниці їх квадратів.

Якщо множиться сума та різниця двох чисел, зведених у квадрат, результат дорівнюватиме сумі або різниці цих чисел в четвертоїступеня.

Так, (a - y). (a + y) = a2 - y2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Розподіл ступенів

Числа зі ступенями можуть бути поділені, як і інші числа, відбираючи від дільника дільника, або розміщенням їх у формі дробу.

Таким чином a 3 b 2 поділений на b 2 , дорівнює a 3 .

Або:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Запис a 5 поділеного на a 3 виглядає як $\frac(a^5)(a^3)$. Але це одно a 2 . У ряді чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
будь-яке число може бути поділено на інше, а показник ступеня дорівнюватиме різниціпоказників ділених чисел.

При розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються..

Так, y3: y2 = y3-2 = y1. Тобто $\frac(yyy)(yy) = y$.

І a n+1:a = n+1-1 = a n . Тобто $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Або:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Правило також справедливе і для чисел з негативнимизначеннями ступенів.
Результат поділу a-5 на a-3, дорівнює a-2.
Також, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1) (aa) $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 або $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Необхідно дуже добре засвоїти множення та поділ ступенів, оскільки такі операції дуже широко застосовуються в алгебрі.

Приклади розв'язання прикладів з дробами, що містять числа зі ступенями

1. Зменшіть показники ступенів $\frac(5a^4)(3a^2)$ Відповідь: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Зменшіть показники ступенів $\frac(6x^6)(3x^5)$. Відповідь: $\frac(2x)(1)$ або 2x.

3. Зменшіть показники ступенів a 2 /a 3 та a -3 /a -4 та приведіть до спільного знаменника.
a 2 .a -4 є a -2 перший чисельник.
a 3 .a -3 є a 0 = 1, другий чисельник.
a 3 .a -4 є a -1 загальний чисельник.
Після спрощення: a -2 /a -1 та 1/a -1 .

4. Зменшіть показники ступенів 2a 4 /5a 3 та 2 /a 4 та приведіть до спільного знаменника.
Відповідь: 2a 3 /5a 7 та 5a 5 /5a 7 або 2a 3 /5a 2 та 5/5a 2 .

5. Помножте (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.

6. Помножте (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).

7. Помножте b4/a-2 на h-3/x та an/y-3.

8. Розділіть a4/y3 на a3/y2. Відповідь: a/y.

9. Розділіть (h 3 - 1)/d 4 на (d n + 1)/h.

Якщо вам потрібно звести якесь конкретне число на ступінь, можете скористатися . А зараз ми докладніше зупинимося на властивості ступенів.

Експонентні числавідкривають великі можливості, вони дозволяють нам перетворити множення на додавання, а складати набагато легше, ніж множити.

Наприклад, нам треба помножити 16 на 64. Добуток від множення цих двох чисел дорівнює 1024. Але 16 – це 4х4, а 64 – це 4х4х4. Тобто 16 на 64 = 4x4x4x4x4, що також дорівнює 1024.

Число 16 можна також у вигляді 2х2х2х2, а 64 як 2х2х2х2х2х2, і якщо зробити множення, ми знову отримаємо 1024.

А тепер використовуємо правило. 16=4 2 , чи 2 4 , 64=4 3 , чи 2 6 , до того ж час 1024=6 4 =4 5 , чи 2 10 .

Отже, наше завдання можна записати по-іншому: 4 2 х4 3 =4 5 або 2 4 х2 6 =2 10 і щоразу ми отримуємо 1024.

Ми можемо вирішити ряд аналогічних прикладів і побачимо, що множення чисел зі ступенями зводиться до складання показників ступеня, або експонент, зрозуміло, за умови, що підстави співмножників рівні.

Отже, ми можемо, не виробляючи множення, відразу сказати, що 2 4 х2 2 х2 14 =2 20 .

Це правило справедливе також і при розподілі чисел зі ступенями, але в цьому випадку е кспонента дільника віднімається з експоненти діленого. Отже, 2 5:2 3 =2 2 , що у звичайних числах дорівнює 32:8=4, тобто 2 2 . Підведемо підсумки:

a m x a n = a m+n , a m: a n = a m-n де m і n — цілі числа.

З першого погляду може здатися, що таке множення та розподіл чисел зі ступенямине дуже зручно, адже спочатку треба уявити число в експоненційній формі. Неважко уявити в такій формі числа 8 і 16, тобто 23 і 24, але як це зробити з числами 7 і 17? Або як чинити в тих випадках, коли число можна подати в експоненційній формі, але підстави експоненційних виразів чисел сильно різняться. Наприклад, 8×9 – це 2 3 х3 2 і в цьому випадку ми не можемо підсумовувати експоненти. Ні 2 5 і ні 3 5 не є відповіддю, відповідь також не лежить в інтервалі між цими двома числами.

Тоді чи варто взагалі возитися із цим методом? Безперечно стоїть. Він дає величезні переваги, особливо при складних та трудомістких обчисленнях.

У попередній статті ми розповіли, що собою представляють одночлени. У цьому матеріалі розберемо, як вирішувати приклади та завдання, у яких вони застосовуються. Тут будуть розглянуті такі дії, як віднімання, додавання, множення, поділ одночленів і зведення їх у ступінь натуральним показником. Ми покажемо, як визначаються такі операції, позначимо основні правила їх виконання та те, що має вийде в результаті. Усі теоретичні положення, як завжди, будуть проілюстровані прикладами завдань з описами рішень.

Найзручніше працювати зі стандартним записом одночленів, тому всі вирази, які будуть використані у статті, ми наводимо у стандартному вигляді. Якщо вони спочатку задані інакше, рекомендується спочатку привести їх до загальноприйнятої форми.

Правила складання та віднімання одночленів

Найбільш прості дії, які можна проводити з одночленами – це віднімання та додавання. У випадку результатом цих дій буде многочлен (одночлен можливий у окремих випадках).

Коли ми складаємо або віднімаємо одночлени, спочатку записуємо в загальноприйнятій формі відповідну суму і різницю, після чого спрощуємо вираз, що вийшов. Якщо є подібні доданки, їх треба навести, дужки – розкрити. Пояснимо на прикладі.

Приклад 1

Умова:виконайте складання одночленів − 3 · x та 2, 72 · x 3 · y 5 · z .

Рішення

Запишемо суму вихідних виразів. Додамо дужки та поставимо між ними плюс. У нас вийде таке:

(− 3 · x) + (2 , 72 · x 3 · y 5 · z)

Коли ми виконаємо розкриття дужок, вийде - 3 · x + 2, 72 · x 3 · y 5 · z. Це багаточлен, записаний у стандартній формі, який буде результатом складання даних одночленів.

Відповідь:(− 3 · x) + (2, 72 · x 3 · y 5 · z) = − 3 · x + 2, 72 · x 3 · y 5 · z .

Якщо в нас задано три, чотири і більше доданків, ми здійснюємо цю дію так само.

Приклад 2

Умова:проведіть у правильному порядкувказані дії з багаточленами

3 · a 2 - (- 4 · a · c) + a 2 - 7 · a 2 + 4 9 - 2 2 3 · a · c

Рішення

Почнемо з розкриття дужок.

3 · a 2 + 4 · a · c + a 2 - 7 · a 2 + 4 9 - 2 2 3 · a · c

Ми бачимо, що отриманий вираз можна спростити шляхом приведення таких доданків:

3 · a 2 + 4 · a · c + a 2 - 7 · a 2 + 4 9 - 2 2 3 · a · c = = (3 · a 2 + a 2 - 7 · a 2) + 4 · a · c - 2 2 3 · a · c + 4 9 = = - 3 · a 2 + 1 1 3 · a · c + 4 9

У нас вийшов багаточлен, який і буде результатом цієї дії.

Відповідь: 3 · a 2 - (- 4 · a · c) + a 2 - 7 · a 2 + 4 9 - 2 2 3 · a · c = - 3 · a 2 + 1 1 3 · a · c + 4 9

У принципі, ми можемо виконати додавання та віднімання двох одночленів з деякими обмеженнями так, щоб отримати в результаті одночлен. Для цього потрібно дотриматись деяких умов, що стосуються доданків і віднімаються одночленів. Про те, як це робиться, ми розповімо в окремій статті.

Правила множення одночленів

Дія множення не накладає жодних обмежень на множники. Одночлени, що множаться, не повинні відповідати жодним додатковим умовам, щоб в результаті вийде одночлен.

Щоб виконати множення одночленів, потрібно виконати такі кроки:

1. Правильно записати твір.
2. Розкрити дужки в отриманому виразі.
3. Згрупувати по можливості множники з однаковими змінними та числові множники окремо.
4. Виконати необхідні дії з числами і застосувати до множників, що залишилися, властивість множення ступенів з однаковими основами.

Подивимося, як це робиться на практиці.

Приклад 3

Умова:виконайте множення одночленів 2 · x 4 · y · z і - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

Рішення

Почнемо зі складання твору.

Розкриваємо в ньому дужки та отримуємо наступне:

2 · x 4 · y · z · - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11

2 · - 7 16 · t 2 · x 4 · x 2 · y · z 3 · z 11

Все, що нам залишилося зробити, - це помножити числа в перших дужках і застосувати властивість ступенів для других. У результаті отримаємо таке:

2 · - 7 16 · t 2 · x 4 · x 2 · y · z 3 · z 11 = - 7 8 · t 2 · x 4 + 2 · y · z 3 + 11 = = - 7 8 · t 2 · x 6 · y · z 14

Відповідь: 2 · x 4 · y · z · - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 = - 7 8 · t 2 · x 6 · y · z 14 .

Якщо у нас в умові стоять три багаточлени і більше, ми множимо їх за таким самим алгоритмом. Докладніше питання множення одночленів ми розглянемо у межах окремого матеріалу.

Правила зведення одночлена до ступеня

Ми знаємо, що ступенем із натуральним показником називають добуток деякого числа однакових множників. На їх кількість вказує число у показнику. Відповідно до цього визначення, зведення одночлена в ступінь рівнозначне множенню вказаної кількості однакових одночленів. Подивимося, як це робиться.

Приклад 4

Умова:виконайте зведення одночлена − 2 · a · b 4 у ступінь 3 .

Рішення

Ми можемо замінити зведення в ступінь на множення 3 одночленів − 2 · a · b 4 . Запишемо і отримаємо відповідь:

(−2 · a · b 4) 3 = (−2 · a · b 4) · (−2 · a · b 4) · (−2 · a · b 4) = = ((−2) · (− 2) · (−2)) · (a · a · a) · (b 4 · b 4 · b 4) = − 8 · a 3 · b 12

Відповідь:(− 2 · a · b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 12 .

А як бути в тому випадку, коли рівень має великий показник? Записувати велику кількість множників незручно. Тоді для вирішення такого завдання нам треба застосувати властивості ступеня, а саме властивість ступеня добутку та властивість ступеня у ступеня.

Вирішимо завдання, яке ми навели вище, вказаним способом.

Приклад 5

Умова:виконайте зведення − 2 · a · b 4 у третій ступінь.

Рішення

Знаючи властивість ступеня, ми можемо перейти до виразу наступного виду:

(−2 · a · b 4) 3 = (−2) 3 · a 3 · (b 4) 3 .

Після цього ми зводимо в ступінь - 2 і застосовуємо властивість ступеня:

(−2) 3 · (a) 3 · (b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 4 · 3 = − 8 · a 3 · b 12 .

Відповідь:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

Зведенню одночлена в міру ми також присвятили окрему статтю.

Правила поділу одночленів

Остання дія з одночленами, яку ми розберемо в даному матеріалі, – розподіл одночлена на одночлен. В результаті ми повинні отримати раціональний (алгебраїчний) дріб (у деяких випадках можливе одержання одночлена). Відразу уточнимо, що поділ на нульовий одночлен не визначається, оскільки не визначається поділ на 0.

Для виконання поділу нам потрібно записати зазначені одночлени у формі дробу та скоротити його, якщо є така можливість.

Приклад 6

Умова:виконайте поділ одночлена − 9 · x 4 · y 3 · z 7 на − 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 .

Рішення

Почнемо із запису одночленів у формі дробу.

9 · x 4 · y 3 · z 7 - 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2

Цей дріб можна скоротити. Після виконання цієї дії отримаємо:

3 · x 2 · y · z 7 2 · p 3 · t 5

Відповідь:- 9 · x 4 · y 3 · z 7 - 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 = 3 · x 2 · y · z 7 2 · p 3 · t 5 .

Умови, за яких в результаті розподілу одночленів ми отримаємо одночлен, наводяться в окремій статті.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Раніше ми вже говорили, що таке ступінь числа. Вона має певні властивості, корисні у вирішенні завдань: саме їх та всі можливі показники ступеня ми розберемо у цій статті. Також ми наочно покажемо на прикладах, як їх можна довести та правильно застосувати на практиці.

Згадаймо вже сформульоване нами раніше поняття ступеня з натуральним показником: це добуток n-ної кількості множників, кожен з яких дорівнює а. Також нам доведеться згадати, як правильно множити дійсні числа. Все це допоможе нам сформулювати для ступеня з натуральним показником такі властивості:

Визначення 1

1. Головна властивість ступеня: a m · a n = a m + n

Можна узагальнити до: a n 1 · an 2 · … · an k = an 1 + n 2 + … + n k .

2. Властивість частки для ступенів, що мають однакові підстави: a m: a n = a m − n

3. Властивість ступеня твору: (a · b) n = a n · b n

Рівність можна розширити до: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Властивість частки в натуральному ступені: (a: b) n = a n: b n

5. Зводимо ступінь у ступінь: (a m) n = a m · n ,

Можна узагальнити до: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. Порівнюємо ступінь з нулем:

• якщо a > 0 то при будь-якому натуральному n, a n буде більше нуля;
• при a , рівному 0 , a n також дорівнюватиме нулю;
• при a< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• при a< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Рівність a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Нерівність a m > a n буде правильною за умови, що m і n – натуральні числа, m більше n і а більше за нуль і не менше одиниці.

У результаті ми здобули кілька рівностей; якщо дотриматися всіх умов, зазначених вище, то вони будуть тотожними. Для кожної з рівностей, наприклад, для основної властивості, можна поміняти місцями праву і ліву частину: a m · a n = a m + n - те саме, що і a m + n = a m · a n . У такому вигляді воно часто використовується при спрощенні виразів.

1. Почнемо з основного властивості ступеня: рівність a m a n = a m + n буде вірним за будь-яких натуральних m і n і дійсному a . Як довести це твердження?

Основне визначення ступенів з натуральними показниками дозволить нам перетворити рівність на твір множників. Ми отримаємо запис такого виду:

Це можна скоротити до (Згадаймо основні властивості множення). У результаті ми отримали ступінь числа a з натуральним показником m + n. Таким чином, a m + n означає основну властивість ступеня доведено.

Розберемо конкретний приклад, що підтверджує це.

Приклад 1

Отже, у нас є два ступені з основою 2 . Їхні натуральні показники - 2 і 3 відповідно. У нас вийшла рівність: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Обчислимо значення, щоб перевірити вірність цієї рівності.

Виконаємо необхідні математичні дії: 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 ​​· 2 · 2) = 4 · 8 = 32 і 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

У результаті ми вийшло: 2 2 · 2 3 = 2 5 . Властивість доведено.

В силу властивостей множення ми можемо виконати узагальнення властивості, сформулювавши його у вигляді трьох більшого числаступенів, у яких показники є натуральними числами, а підстави однакові. Якщо позначити кількість натуральних чисел n 1 , n 2 та ін. літерою k , ми отримаємо правильну рівність:

a n 1 · a n 2 · … · a n k = an 1 + n 2 + … + n k .

Приклад 2

2. Далі нам необхідно довести наступну властивість, яка називається властивістю приватного і властиво ступеням з однаковими підставами: це рівність a m: a n = a m n , яка справедлива за будь-яких натуральних m і n (причому m більше n)) і будь-якого відмінного від нуля дійсного a .

Для початку пояснимо, який саме зміст умов, згаданих у формулюванні. Якщо ми візьмемо a, що дорівнює нулю, то у результаті вийде поділ на нуль, чого робити не можна (адже 0 n = 0). Умова, щоб число m обов'язково було більше n, потрібно для того, щоб ми могли утриматися в рамках натуральних показників ступеня: віднімаючи n з m, ми отримаємо натуральне число. Якщо умови не буде дотримано, у нас вийде негативне число або нуль, і знову ж таки ми вийдемо за межі вивчення ступенів із натуральними показниками.

Тепер ми можемо перейти до підтвердження. З раніше вивченого пригадаємо основні властивості дробів та сформулюємо рівність так:

a m − n · a n = a (m − n) + n = a m

З нього можна вивести: a m − n · a n = a m

Згадаймо про зв'язок поділу та множення. З нього випливає, що a m n - приватна ступенів a m і a n . Це і є підтвердження другої якості ступеня.

Приклад 3

Підставимо конкретні числа для наочності в показники, а основу ступеня позначимо π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Наступним ми розберемо властивість ступеня твору: (a · b) n = a n · b n за будь-яких дійсних a і b і натурального n .

Згідно з базовим визначенням ступеня з натуральним показником ми можемо переформулювати рівність так:

Згадавши властивості множення, запишемо: . Це означає те саме, що і a n · b n .

Приклад 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Якщо множників у нас три і більше, то ця властивість також поширюється на цей випадок. Введемо для числа множників позначення k і запишемо:

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

Приклад 5

З конкретними числами отримаємо таку правильну рівність: (2 · (- 2 , 3) ​​· a) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) ​​7 · a

4. Після цього ми спробуємо довести властивість частки: (a: b) n = a n: b n за будь-яких дійсних a і b , якщо b не дорівнює 0 , а n – натуральне число.

Для підтвердження можна використовувати попередню властивість ступеня. Якщо (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n , а (a: b) n · b n = a n , то з цього виходить, що (a: b) n є приватним від розподілу a n на b n .

Приклад 6

Підрахуємо приклад: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Приклад 7

Почнемо відразу з прикладу: (5 2) 3 = 5 2 · 3 = 5 6

А тепер сформулюємо ланцюжок рівностей, який доведе нам вірність рівності:

Якщо у нас у прикладі є ступеня ступенів, то ця властивість є справедливою для них також. Якщо у нас є будь-які натуральні числа p, q, r, s, то правильно буде:

a p q y s = a p · q · y · s

Приклад 8

Додамо конкретики: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 · 2 · 5 = (5 , 2) 30

6. Ще одна властивість ступенів із натуральним показником, яку нам потрібно довести, – властивість порівняння.

Для початку порівняємо ступінь із нулем. Чому a n > 0 за умови, що більше 0 ?

Якщо помножити одне позитивне число інше, ми отримаємо також позитивне число. Знаючи цей факт, ми можемо сказати, що від числа множників це не залежить – результат множення будь-якої кількості позитивних чисел є позитивним. А що таке ступінь, як результат множення чисел? Тоді для будь-якого ступеня a n з позитивною основою та натуральним показником це буде правильно.

Приклад 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 і 34 9 13 51 > 0

Також очевидно, що ступінь з основою, що дорівнює нулю, сама є нуль. Який би ступінь ми не зводили нуль, він залишиться їм.

Приклад 10

0 3 = 0 та 0 762 = 0

Якщо основа ступеня – негативне число, то тут доказ трохи складніше, оскільки важливим стає поняття парності/непарності показника. Візьмемо спочатку випадок, коли показник ступеня парний, і позначимо його 2 · m , де m – натуральне число.

Згадаймо, як правильно множити негативні числа: твір a · a дорівнює добутку модулів, а отже, він буде позитивним числом. Тоді і ступінь a 2 · m також позитивні.

Приклад 11

Наприклад, (−6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 та - 2 9 6 > 0

Якщо показник ступеня з негативним підставою – непарне число? Позначимо його 2 · m − 1 .

Тоді

Всі твори a · a згідно властивостей множення, позитивні, їх твір теж. Але якщо ми його помножимо на єдине число, що залишилося a , то кінцевий результат буде від'ємний.

Тоді отримаємо: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Як це довести?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Приклад 12

Наприклад, вірні нерівності: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Нам залишилося довести останню властивість: якщо у нас є два ступені, підстави яких однакові та позитивні, а показники є натуральними числами, то та з них більша, показник якої менший; а з двох ступенів з натуральними показниками та однаковими основами, більшими одиниці, більшим є той ступінь, показник якого більший.

Доведемо ці твердження.

Для початку нам потрібно переконатися, що am< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Винесемо a n за дужки, після чого наша різниця набуде вигляду a n · (a m − n − 1) . Її результат буде негативний (оскільки негативний результат множення позитивного числа на негативне). Адже згідно з початковими умовами, m − n > 0 , тоді a m − n − 1 –негативно, а перший множник позитивний, як і будь-який натуральний ступінь із позитивною основою.

У нас вийшло, що a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Залишилося навести доказ другої частини твердження, сформульованого вище: a m > a справедливо при m > n та a > 1 . Вкажемо різницю і винесемо a n за дужки: (a m − n − 1) .Ступінь a n при а, більшому за одиницю, дасть позитивний результат; а сама різниця також виявиться позитивною через початкові умови, і при a > 1 ступінь a m n більше одиниці. Виходить, a m − a n > 0 і a m > a n , що нам потрібно було довести.

Приклад 13

Приклад із конкретними числами: 3 7 > 3 2

Основні властивості ступенів із цілими показниками

Для ступенів із цілими позитивними показниками властивості будуть аналогічні, тому що цілі позитивні числа є натуральними, а отже, всі рівні, доведені вище, справедливі і для них. Також вони підходять і для випадків, коли показники негативні або рівні нулю (за умови, що сама основа ступеня ненульова).

Таким чином, властивості ступенів такі ж для будь-яких підстав a та b (за умови, що ці числа дійсні і не рівні 0) та будь-яких показників m і n (за умови, що вони є цілими числами). Запишемо їх коротко у вигляді формул:

Визначення 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (a m) n = a m · n

6. a n< b n и a − n >b − n за умови цілого позитивного n , позитивних a та b , a< b

7. a m< a n , при условии целых m и n , m >n та 0< a < 1 , при a >1 a m > a n.

Якщо підстава ступеня дорівнює нулю, записи a m і a n мають сенс лише у разі натуральних і позитивних m і n . У результаті отримаємо, що формулювання вище підходять і для випадків зі ступенем з нульовою основою, якщо дотримуються всі інші умови.

Докази цих властивостей у разі нескладні. Нам потрібно згадати, що таке ступінь з натуральним та цілим показником, а також властивості дій із дійсними числами.

Розберемо властивість ступеня в міру і доведемо, що воно правильне і для позитивних, і для непозитивних чисел. Почнемо з доказу рівностей (a p) q = a p · q , (a - p) q = a (- p) · q, (a p) - q = a p · (- q) та (a - p) - q = a (− p) · (− q)

Умови: p = 0 чи натуральне число; q – аналогічно.

Якщо значення p і q більше 0, то в нас вийде (a p) q = a p · q. Таку рівність ми вже доводили раніше. Якщо p = 0, то:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 · q = a 0 = 1

Отже, (a 0) q = a 0 · q

Для q = 0 так само:

(a p) 0 = 1 a p · 0 = a 0 = 1

Підсумок: (a p) 0 = a p · 0 .

Якщо ж обидва показники нульові, то (a 0) 0 = 1 0 = 1 і a 0 · 0 = a 0 = 1 означає, (a 0) 0 = a 0 · 0 .

Згадаймо доведену вище властивість частки в мірі і запишемо:

1 a p q = 1 q a p q

Якщо 1 p = 1 · 1 · … · 1 = 1 і a p q = a p · q, то 1 q a p q = 1 a p · q

Цей запис ми можемо перетворити з основних правил множення в a (− p) · q .

Також: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

І (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p · q = a (- p) · (- q)

Інші властивості ступеня можна довести аналогічним чином, перетворивши наявні нерівності. Докладно зупинятись ми на цьому не будемо, зазначимо лише складні моменти.

Доказ передостанньої властивості: пригадаємо, a − n > b − n правильне будь-яких цілих негативних значень nі будь-яких позитивних a і b за умови, що a менше b .

Тоді нерівність можна перетворити так:

1 a n > 1 b n

Запишемо праву та ліву частини у вигляді різниці та виконаємо необхідні перетворення:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

Згадаймо, що в умові a менше b тоді, згідно з визначенням ступеня з натуральним показником: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n у результаті дає позитивне число, оскільки його множники є позитивними. У результаті маємо дріб b n - a n a n · b n , яка у результаті також дає позитивний результат. Звідси 1 a n > 1 b n звідки a − n > b − n , що нам треба було довести.

Остання властивість ступенів із цілими показниками доводиться аналогічно до властивості ступенів з показниками натуральними.

Основні властивості ступенів з раціональними показниками

У попередніх статтях ми розбирали, що таке ступінь із раціональним (дрібним) показником. Їхні властивості такі ж, що й у ступенів з цілими показниками. Запишемо:

Визначення 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 при a > 0 , а якщо m 1 n 1 > 0 і m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 (властивість добутку степенів з однаковими основами).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 якщо a > 0 (властивість приватного).

3. a · b m n = a m n · b m n при a > 0 і b > 0 , а якщо m 1 n 1 > 0 і m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 та (або) b ≥ 0 (властивість твору в дробового ступеня).

4. a: b m n = a m n: b m n при a > 0 і b > 0 , а якщо m n > 0 , то при a ≥ 0 і b > 0 (властивість приватного дробового ступеня).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 при a > 0 , а якщо m 1 n 1 > 0 і m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 (властивість ступеня в ступеня).

6. a p< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; якщо p< 0 - a p >b p (властивість порівняння ступенів з рівними раціональними показниками).

7. a p< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q при 0< a < 1 ; если a >0 - a p > a q

Для доказу зазначених положень нам знадобиться згадати, що таке ступінь із дробовим показником, які властивості арифметичного кореня n-ного ступеня та які властивості ступеня з цілими показником. Розберемо кожну властивість.

Відповідно до того, що собою являє ступінь з дробовим показником, отримаємо:

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 і a m 2 n 2 = a m 2 n 2 , отже, a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Властивості кореня дозволять нам вивести рівність:

a m 1 · m 2 n 1 · n 2 · a m 2 · m 1 n 2 · n 1 = a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2

З цього отримуємо: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Перетворюємо:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Показник ступеня можна записати у вигляді:

m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 · n 2 n 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Це є доказ. Друга властивість доводиться абсолютно так само. Запишемо ланцюжок рівностей:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 · n 2: a m 2 · n 1 n · n 2 = = a m 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = am 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = am 1 · n 2 n 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Докази інших рівностей:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n; am 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 · m 2 n 1 n 2 = = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 n 1 · m 2 n 2

Наступна властивість: доведемо, що для будь-яких значень a і b більше 0 якщо а менше b буде виконуватися a p< b p , а для p больше 0 - a p >b p

Уявимо раціональне число p як m n . У цьому m –ціле число, n –натуральне. Тоді умови p< 0 и p >0 будуть поширюватися на m< 0 и m >0 . При m > 0 та a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Використовуємо властивість коріння і виведемо: a m n< b m n

Враховуючи позитивність значень a і b перепишемо нерівність як a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Так само при m< 0 имеем a a m >b m отримуємо a m n > b m n означає, a m n > b m n і a p > b p .

Нам залишилося навести доказ останньої якості. Доведемо, що для раціональних чисел p і q p > q при 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 буде правильно a p > a q.

Раціональні числа p і q можна привести до спільного знаменника та отримати дроби m 1 n і m 2 n

Тут m1 і m2 – цілі числа, а n – натуральне. Якщо p > q , то m 1 > m 2 (з огляду на правило порівняння дробів). Тоді при 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – нерівність a 1 m > a 2 m.

Їх можна переписати в наступному вигляді:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Тоді можна зробити перетворення та отримати в результаті:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Підбиваємо підсумок: при p > q і 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 - a p > a q.

Основні властивості ступенів із ірраціональними показниками

На такий ступінь можна поширити всі описані вище властивості, якими має рівень з раціональними показниками. Це випливає із самого її визначення, яке ми давали в одній із попередніх статей. Сформулюємо коротко ці властивості (умови: a > 0, b > 0, показники p і q – ірраціональні числа):

Визначення 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a · b) p = a p · b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p · q

6. a p< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >b p

7. a p< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , a p > a q .

Таким чином, всі ступеня, показники яких p і q є дійсними числами, за умови a > 0 мають ті ж властивості.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Як множити ступеня? Які ступені можна перемножити, а які – ні? Як число помножити на ступінь?

В алгебрі знайти добуток ступенів можна у двох випадках:

1) якщо ступеня мають однакові підстави;

2) якщо ступеня мають однакові показники.

При множенні ступенів з однаковими основами треба основу залишити колишньою, а показники - скласти:

При множенні ступенів з однаковими показниками загальний показник можна винести за дужки:

Розглянемо, як множити ступені, на конкретних прикладах.

Одиницю у показнику ступеня не пишуть, але при множенні ступенів - враховують:

При множенні кількість ступенів може бути будь-якою. Слід пам'ятати, що перед буквою знак множення можна не писати:

У виразах зведення у ступінь виконується насамперед.

Якщо потрібно число помножити на ступінь, спочатку виконати зведення в ступінь, а вже потім - множення:

www.algebraclass.ru

Додавання, віднімання, множення і поділ ступенів

Складання та віднімання ступенів

Очевидно, що числа зі ступенями можуть складатися, як інші величини шляхом їхнього складання одне за одним зі своїми знаками.

Так, сума a 3 та b 2 є a 3 + b 2 .
Сума a 3 - b n і h 5 -d 4 є a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Коефіцієнти однакових ступенів однакових зміннихможуть складатися або відніматися.

Так, сума 2a 2 та 3a 2 дорівнює 5a 2 .

Це також очевидно, що якщо взяти два квадрати а, або три квадрати а, або п'ять квадратів а.

Але ступеня різних зміннихі різні ступені однакових змінних, повинні складатися їх складанням зі своїми знаками.

Так, сума a 2 та a 3 є сума a 2 + a 3 .

Це очевидно, що квадрат числа a, і куб числа a, не дорівнює подвійному квадрату a, але подвоєному кубу a.

Сума a 3 b n і 3a 5 b 6 є a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Відніманняступенів проводиться таким же чином, що і додавання, за винятком того, що знаки віднімаються повинні відповідно бути змінені.

Або:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Збільшення ступенів

Числа зі ступенями можуть бути помножені, як і інші величини шляхом написання їх одне за одним, зі знаком множення або без нього між ними.

Так, результат множення a3 на b2 дорівнює a3b2 або aaabb.

Або:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в останньому прикладі може бути упорядкований шляхом складання однакових змінних.
Вираз набуде вигляду: a 5 b 5 y 3 .

Порівнюючи кілька чисел (змінних) зі ступенями, ми можемо побачити, що якщо будь-які два з них множаться, то результат - це число (змінна) зі ступенем, що дорівнює суміступенів доданків.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Тут 5 - це ступінь результату множення, що дорівнює 2 + 3, сумі ступенів доданків.

Так, a n a m = a m + n .

Для a n a береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь n;

І a m береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь m;

Тому, ступеня з однаковими основами можуть бути помножені шляхом складання показників ступенів.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Або:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Помножте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Відповідь: x 4 - y 4 .
Помножте (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Це правило справедливе і для чисел, показники ступеня яких негативні.

1. Так, a-2.a-3 = a-5. Це можна записати у вигляді (1/aa). (1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n. y-m = y-n-m.

3. a -n. am = am-n.

Якщо a + b множаться на a - b, результат дорівнюватиме a 2 - b 2: тобто

Результат множення суми чи різниці двох чисел дорівнює сумі чи різниці їх квадратів.

Якщо множиться сума та різниця двох чисел, зведених у квадрат, результат дорівнюватиме сумі або різниці цих чисел в четвертоїступеня.

Так, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Розподіл ступенів

Числа зі ступенями можуть бути поділені, як і інші числа, відбираючи від дільника дільника, або розміщенням їх у формі дробу.

Таким чином a 3 b 2 поділений на b 2 , дорівнює a 3 .

Запис a 5 , поділеного на a 3 , виглядає як $\frac $. Але це одно a 2 . У ряді чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
будь-яке число може бути поділено на інше, а показник ступеня дорівнюватиме різниціпоказників ділених чисел.

При розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються..

Так, y3: y2 = y3-2 = y1. Тобто $\frac = y$.

І a n+1:a = n+1-1 = a n . Тобто $ frac = a ^ n $.

Або:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Правило також справедливе і для чисел з негативнимизначеннями ступенів.
Результат поділу a-5 на a-3, дорівнює a-2.
Також, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 або $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Необхідно дуже добре засвоїти множення та поділ ступенів, оскільки такі операції дуже широко застосовуються в алгебрі.

Приклади розв'язання прикладів з дробами, що містять числа зі ступенями

1. Зменшіть показники ступенів у $\frac$ Відповідь: $\frac$.

2. Зменшіть показники ступенів у $\frac$. Відповідь: $\frac$ або 2x.

3. Зменшіть показники ступенів a 2 /a 3 та a -3 /a -4 та приведіть до спільного знаменника.
a 2 .a -4 є a -2 перший чисельник.
a 3 .a -3 є a 0 = 1, другий чисельник.
a 3 .a -4 є a -1 загальний чисельник.
Після спрощення: a -2 /a -1 та 1/a -1 .

4. Зменшіть показники ступенів 2a 4 /5a 3 та 2 /a 4 та приведіть до спільного знаменника.
Відповідь: 2a 3 /5a 7 та 5a 5 /5a 7 або 2a 3 /5a 2 та 5/5a 2 .

5. Помножте (a 3 + b)/b 4 (a — b)/3.

6. Помножте (a 5 + 1)/x 2 (b 2 — 1)/(x + a).

7. Помножте b4/a-2 на h-3/x та an/y-3.

8. Розділіть a4/y3 на a3/y2. Відповідь: a/y.

Властивості ступеня

Нагадуємо, що в даному уроці розуміються властивості ступенівз натуральними показниками та нулем. Ступені з раціональними показниками та їх властивості будуть розглянуті в уроках для 8 класів.

Ступінь з натуральним показником має кілька важливих властивостей, які дозволяють спрощувати обчислення в прикладах зі ступенями.

Властивість №1
Добуток ступенів

При множенні ступенів з однаковими основами основа залишається без змін, а показники ступенів складаються.

a m · a n = a m + n , де "a" - будь-яке число, а "m", "n" - будь-які натуральні числа.

Ця властивість ступенів також діє на твір трьох і більше ступенів.

Зверніть увагу, що у зазначеній властивості йшлося лише про множення ступенів з однаковими підставами. Воно не відноситься до їх складання.

Не можна замінювати суму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Це зрозуміло, якщо
порахувати (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, а 3 5 = 243

Властивість №2
Приватне ступенів

При розподілі ступенів з однаковими основами основа залишається без змін, а з показника діленого ступеня віднімають показник ступеня дільника.

Обчислити.

11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
приклад. Вирішити рівняння. Використовуємо властивість приватного ступеня.
3 8: t = 3 4

Відповідь: t = 3 4 = 81

Користуючись властивостями № 1 і № 2, можна легко спрощувати вирази та проводити обчислення.

приклад. Спростити вираз.
4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

приклад. Знайти значення виразу, використовуючи властивості ступеня.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Зверніть увагу, що у властивості 2 йшлося лише про поділ ступенів з однаковими основами.

Не можна замінювати різницю (4 3 −4 2) на 4 1 . Це зрозуміло, якщо порахувати (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

Властивість №3
Зведення ступеня до ступеня

При зведенні ступеня ступінь ступеня залишається без зміни, а показники ступенів перемножуються.

(a n) m = a n · m, де "a" - будь-яке число, а "m", "n" - будь-які натуральні числа.

Зверніть увагу, що властивість № 4, як і інші властивості ступенів, застосовують у зворотному порядку.

(a n · b n) = (a · b) n

Тобто, щоб перемножити ступені з однаковими показниками, можна перемножити підстави, а показник ступеня залишити незмінним.

У більш складних прикладах можуть зустрітися випадки, коли множення та розподіл треба виконати над ступенями з різними основами та різними показниками. У цьому випадку радимо чинити так.

Наприклад, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

Приклад зведення у ступінь десяткового дробу.

4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

Властивості 5
Ступінь приватного (дробі)

Щоб звести в ступінь приватне, можна звести в цей ступінь окремо поділений і дільник, і перший результат розділити на другий.

(a: b) n = a n: b n , де "a", "b" - будь-які раціональні числа, b ≠ 0, n - будь-яке натуральне число.

Нагадуємо, що приватне можна подати у вигляді дробу. Тому на темі зведення дробу до ступеня ми зупинимося докладніше на наступній сторінці.

Ступені та коріння

Операції зі ступенями та корінням. Ступінь із негативним ,

нульовим та дробовим показником. Про висловлювання, які не мають сенсу.

Операції зі ступенями.

1. При множенні ступенів з однаковою основою їх показники складаються:

a m · a n = a m + n.

2. При розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються .

3. Ступінь добутку двох або кількох співмножників дорівнює добутку ступенів цих співмножників.

4. Ступінь відношення (дробі) дорівнює відношенню ступенів ділимого (числителя) та дільника (знаменника):

(a/b) n = a n / b n.

5. При зведенні ступеня до ступеня їх показники перемножуються:

Всі наведені вище формули читаються і виконуються в обох напрямках зліва направо і навпаки.

П р і м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Операції з корінням. У всіх наведених нижче формулах символ означає арифметичний корінь(підкорене вираз позитивно).

1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює творукоріння з цих співмножників:

2. Корінь із відношення дорівнює відношенню коренів ділимого та дільника:

3. При зведенні кореня до ступеня достатньо звести в цей ступінь підкорене число:

4. Якщо збільшити ступінь кореня в m разів і одночасно звести в m - ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:

5. Якщо зменшити ступінь кореня в m разів і одночасно отримати корінь m -ого ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:

Розширення поняття ступеня. Досі ми розглядали ступені лише з натуральним показником; але дії зі ступенями та корінням можуть призводити також до негативним, нульовимі дробовимпоказниками. Всі ці показники ступенів потребують додаткового визначення.

Ступінь із негативним показником. Ступінь деякого числа з негативним (цілим) показником визначається як одиниця, поділена на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютній величині негативного показника:

Тепер формула a m : a n = a m - nможе бути використана не тільки при mбільше, ніж n, але і при mменшим, ніж n .

П р і м е р. a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Якщо ми хочемо, щоб формула a m : a n = a m — nбула справедлива за m = n, нам потрібне визначення нульового ступеня.

Ступінь із нульовим показником. Ступінь будь-якого ненульового числа з нульовим показником дорівнює 1.

Приміри. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Ступінь із дробовим показником. Для того, щоб звести дійсне число а в ступінь m / n, потрібно витягти корінь n-го ступеня з m-го ступеня цього числа а:

Про висловлювання, які не мають сенсу. Є кілька таких виразів.

де a ≠ 0 , не існує.

Справді, якщо припустити, що x- деяке число, то відповідно до визначення операції поділу маємо: a = 0· x, Тобто. a= 0, що суперечить умові: a ≠ 0

— будь-яке число.

Справді, якщо припустити, що це вираз дорівнює деякому числу x, то згідно з визначенням операції поділу маємо: 0 = 0 · x. Але ця рівність має місце при будь-якому числі x, що і потрібно було довести.

0 0 — будь-яке число.

Розв'язання. Розглянемо три основні випадки:

1) x = 0 – це значення не задовольняє даному рівнянню

2) при x> 0 отримуємо: x/x= 1, тобто. 1 = 1, звідки слід,

що x- Будь-яке число; але беручи до уваги, що в

нашому випадку x> 0 , відповіддю є x > 0 ;

Правила множення ступенів з різною основою

СТУПЕНЬ З РАЦІОНАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ,

СТІПОВА ФУНКЦІЯ IV

§ 69. Множення та поділ ступенів з однаковими підставами

Теорема 1.Щоб перемножити ступеня з однаковими основами, достатньо показники ступенів скласти, а основу залишити тим самим, тобто

Доведення.За визначенням ступеня

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Ми розглянули твір двох ступенів. Насправді доведена властивість правильна для будь-якого числа ступенів з однаковими підставами.

Теорема 2.Щоб розділити ступеня з однаковими підставами, коли показник ділимого більший за показник дільника, достатньо з показника ділимого відняти показник дільника, а підставу залишити колишнім, тобто при т > п

(a =/= 0)

Доведення.Нагадаємо, що часткою від розподілу одного числа на інше називається число, яке при множенні на дільник дає ділене. Тому довести формулу , де a =/= 0, це все одно, що довести формулу

Якщо т > п , то число т - п буде натуральним; отже, за теоремою 1

Теорему 2 доведено.

Слід звернути увагу, що формула

доведено нами лише у припущенні, що т > п . Тому з доведеного поки що не можна робити, наприклад, таких висновків:

До того ж ступеня з негативними показниками нами ще не розглядалися і ми поки що не знаємо, який сенс можна надати виразу. - 2 .

Теорема 3. Щоб звести ступінь у ступінь, достатньо перемножити показники, залишивши основу колишнім, тобто

Доведення.Використовуючи визначення ступеня та теорему 1 цього параграфа, отримуємо:

що і потрібно було довести.

Наприклад, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Усно) Визначити х з рівнянь:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (У с т н о.) Спростити:

520. (У с т н о.) Спростити:

521. Дані вирази подати у вигляді ступенів з однаковими підставами:

1) 32 та 64; 3) 8 5 і 16 3; 5) 4100 і 3250;

2) -1000 та 100; 4) -27 та -243; 6) 81 75 8 200 та 3 600 4 150 .