การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง การกระจายตัว ชนิด และคุณสมบัติของการกระจายตัว 2

บทเรียนในการถ่ายทอดและฝึกฝนความรู้ ทักษะ และความสามารถใหม่ๆ

หัวข้อ: ความแปรปรวน. คุณสมบัติของมัน

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• องค์ความรู้: 1) ถ่ายโอนไปยังนักเรียนของระบบความรู้ทางคณิตศาสตร์ความสามารถและทักษะบางอย่าง 2) การพัฒนาทักษะของนักเรียน
  แก้โจทย์ประเภทพื้นฐานในทฤษฎีความน่าจะเป็น และประยุกต์ทฤษฎีในสถานการณ์ต่างๆ เฉพาะเจาะจง 3) การก่อตัวของแนวคิดเกี่ยวกับแนวคิดและวิธีการทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง 4) การก่อตัวของวิธีกิจกรรมการศึกษาและความรู้ความเข้าใจในนักเรียนตามเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง
• พัฒนาการ: 1) การพัฒนาความคิด; 2) การพัฒนาความจำ 3) การพัฒนาองค์ประกอบของกิจกรรมสร้างสรรค์ให้เป็นคุณสมบัติของการคิด 4) การพัฒนาคำพูดซึ่งประกอบด้วยการเรียนรู้คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ตลอดจนเทคนิคในการสร้างคำจำกัดความแนวคิดและการใช้งาน
• ทางการศึกษา: 1) เพื่อปลูกฝังให้นักเรียนรักอาชีพที่เลือกและวิชานี้

ภารกิจ: คือการกำหนดคุณสมบัติของความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มและรับสูตรสำหรับการคำนวณ

ในระหว่างเรียน

1. เวลาจัดงาน.
2. ทำซ้ำเนื้อหาเก่าและเรียนรู้เนื้อหาใหม่
3. การรวมวัสดุใหม่
4. การบ้าน.

1. การตรวจสอบนักเรียนที่อยู่ในบทเรียน

2. คณิตศาสตร์คือราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ทั้งหมด!
เรือไม่สามารถบินได้หากไม่มีมัน
หากไม่มีมันคุณจะไม่สามารถแบ่งที่ดินได้
คุณไม่สามารถซื้อขนมปังได้คุณไม่สามารถนับรูเบิลได้
สิ่งที่คุณไม่รู้ และเมื่อคุณรู้ คุณจะไม่เข้าใจ!

ครู: “ดังนั้น ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จึงไม่สามารถระบุลักษณะของตัวแปรสุ่มได้ครบถ้วน”

นักเรียน 1: “โอ้ ทำไมฉันถึงเป็นคนเร่งรีบขนาดนี้”

นักเรียน 2: “ใช่ คุณพูดถูก คุณพูดความจริง”

นักเรียน 1: “แต่ใครก็ตามที่มาแทนที่ฉันทันที เพราะทุกคนต้องการสูตรของฉัน”

นักเรียน 2: “ใช่ จำทุกอย่างไว้กับตัวเองก่อน”

นักเรียน 1: “ไม่มีปัญหา ทุกคนรู้สูตรเหล่านี้อยู่แล้ว และถ้าชุดของค่าไม่มีที่สิ้นสุด ความคาดหวังก็จะพบเป็นอนุกรมหรือค่อนข้างจะเป็นผลรวม:

และหากปริมาณต่อเนื่องกันอย่างกะทันหัน เรามีสิทธิ์พิจารณากรณีจำกัด และสุดท้ายก็คือสิ่งที่เราได้รับ:

นักเรียน 2: “แต่ทั้งหมดนี้ตลกเพราะไม่มีความคาดหวัง เขาไม่อยู่ที่นี่!".

นักเรียน 1: “ไม่ ความคาดหวังจะเกิดขึ้นเมื่อทั้งอินทิกรัลและผลรวมมาบรรจบกันอย่างแน่นอน”

นักเรียน 2: “แต่ฉันพูดอย่างหนึ่ง เราไม่ต้องรอ”

นักเรียน 1: “โอ้ เป็นไปได้ยังไง? ใช่ มันง่ายมาก”

ครู: “หยุด หยุด เรามาทะเลาะกันให้จบกันเถอะ หยิบปากกาและสมุดบันทึกแล้วเราจะแก้ไขข้อโต้แย้งระหว่างทาง แต่ก่อนที่เราจะเริ่มต้น เรามาจำไว้เพียงสิ่งเดียวว่าค่าเบี่ยงเบนจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะเท่ากับเท่าใด”

นักเรียนคนที่ 3: “โอ้ ฉันจำได้แล้ว”

ครู: “ได้โปรด นี่คือชอล์ก กระดานดำ”

นักเรียน 4: “ความแตกต่าง X – M(X) เรียกว่าส่วนเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่ม X จากค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M(X) ส่วนเบี่ยงเบนเป็นตัวแปรสุ่ม เนื่องจากค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มคือปริมาณคงที่ และค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่จะเท่ากับค่านี้

ค่าคงที่ จากนั้น M(X – M(X)) = M(X) – M(M(X)) = M (X) – M(X) = 0. t, e, M(X – M(X) ) =0"

ครู: “ใช่ ทุกอย่างถูกต้อง แต่เพื่อน ๆ สิ่งนี้ไม่สามารถใช้เป็นการวัดการกระจายตัวของการเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่มจากค่าทางคณิตศาสตร์ของมันได้ และจากนี้จึงจะพิจารณาโมดูลหรือการเบี่ยงเบนกำลังสอง ตอนนี้ให้ฟังคำจำกัดความ: X ของตัวแปรสุ่ม - การกระจายตัวหรือการกระเจิง - คือค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่ากำลังสองของการเบี่ยงเบน จะแสดงเป็น D(X) และสูตรจะมีลักษณะดังนี้: D(X) = М((х – М(Н)) 2) (1) ทีนี้มาดูกันว่าเราจะกำหนดเครื่องหมายอะไรให้กับปริมาณ?”

นักเรียน 5: “จากคุณสมบัติและคำจำกัดความของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เราสามารถได้สิ่งเดียวเท่านั้น นั่นคือการกระจายตัวของปริมาณไม่เป็นลบ D(X) > 0” (2)

ครู: “เมื่อคำนึงถึงความเท่าเทียมกัน เราจะได้สูตรสำหรับค้นหาความแปรปรวน: D(X) = M(X 2) – (M(X)) 2 ซึ่งบางทีอาจมีคนพิสูจน์ได้”

นักเรียน 6: “ให้ฉันลองหน่อยสิ D(X)=M((X – M(X)) 2) = M(X 2 - 2 KhМ(AH)+(М(Н)) 2)= М( Kh 2) – 2М(М(Р))+ ม((ม(X)) 2)=ม(X 2) – 2ม(X)ม(X)+(ม(X)) 2 =ม(X 2) – (ม(X)) 2 “( 3 )

ครู: “ลองพิจารณาคุณสมบัติของตัวแปรสุ่มกัน:

1. การกระจายตัว C – เนื่องจากค่าคงที่เท่ากับศูนย์: D(C) - 0 (C – const) (4)

2. ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายการกระจายตัวได้โดยการยกกำลังสอง: D(CX)=C 2 D(X) (5)

3. ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน: D(X+Y) = D(X) + D(Y) (6)

4. ความแปรปรวนของความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน: D(X – Y) = D(X) + D(Y) (7)

ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้โดยคำนึงถึงคุณสมบัติของความคาดหวัง:

D(C) = М((С – М(С)) 2) = М((С – С 2)) = М(0) = 0 คุณสมบัติแรกได้รับการพิสูจน์แล้ว หมายความว่าปริมาณคงที่ไม่มี กระจายเพราะใช้ความหมายเดียวกัน

ทีนี้ลองพิสูจน์คุณสมบัติที่สอง: D(CX) – М((Сх – М(Сх)) 2) = М((Сх)

ซม.(X)) 2) = M(C 2 (X – M(X)) 2) = C 2 M((X – M(X)) 2) = C 2 D(X)

เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติที่สาม เราใช้สูตรที่สาม:

D(X+Y) = M((X+Y) 2) – (M(X+Y)) 2 = M(X 2 +2XY+Y 2) – (M(X)+M(Y)) 2 = ม(X 2)+ม(2XY)+ม(Y 2) – ((ม(X)) 2 +2M(X)ม(Y)+(ม(Y)) 2) = ม(X 2) +2M(X)M(Y)+M(Y 2) – (M(X)) 2 – 2M(X)M(Y) – (M(Y)) 2 = M(X 2) - (M( X)) 2 +ม(Y 2) – (ม(Y)) 2 = D(X) – D(Y)

คุณสมบัติที่สามใช้กับตัวแปรสุ่มอิสระแบบคู่จำนวนเท่าใดก็ได้

การพิสูจน์คุณสมบัติที่สี่ตามมาจากสูตร (5) และ (6)

D(X – Y) = D(X +(- Y)) – D(X) +D(– Y)=D(X)+(-l) 2 D(Y) = D(X)+D( ใช่)

หากตัวแปรสุ่มคือ X แบบไม่ต่อเนื่องและกำหนดกฎการกระจายให้ P(X=x k) = p k (k= 1,2,3,n)

ดังนั้น ตัวแปรสุ่ม (X - M(X)) 2 มีกฎการแจกแจงดังต่อไปนี้: (k=1,2,3,n), =l

จากคำจำกัดความของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เราได้สูตรมา

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งอยู่ในส่วน [a, b] ถูกกำหนดโดยสูตร:

D(X)=(x-M(X)) 2 p(x)dx (8)

โดยที่ р(х) คือความหนาแน่นของการกระจายของปริมาณนี้ ความแปรปรวนสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

สำหรับนักเรียนที่ได้เกรด 4 และ 5 จะต้องพิสูจน์สูตร (9) ที่บ้าน

3. การรวมวัสดุใหม่ในรูปแบบของงานทดสอบ

1) ทดสอบงานในหัวข้อ “การกระจายตัวและสมบัติของมัน”

1. ดำเนินการต่อคำจำกัดความ: ความแปรปรวนคือ

2. เลือกสูตรที่ถูกต้องเพื่อคำนวณความแปรปรวน:

ก) ง(X)=ง(X) 2 – (ง(X)) 2;
ข) ง(X)=ม(X – ง(X 2));
ค)D(X)=M((X-M(X)) 2);
ง) ง(X)=ม(X) 2 – (ม(X)) 2;

3. พิจารณาว่าสัญลักษณ์ใดในการกระจายตัว:

ก) D(X)>0;
ข) ง(X)<0;
ค)D(X)>1;
ง) ง(X)>0;

4. การกระจายตัวของค่าคงที่คืออะไร:
ก)D(X)=ลิตร;
ข) ง(X)=0;
ค) ง(X)=2;
r)D(X)=-ล;

5. เลือกจากคุณสมบัติต่อไปนี้ที่สอดคล้องกับความแปรปรวนจริง:

ก) D(CX)=ซีดี(X);
ข) ง(CX)=C 2 ง(X);
ค) ง(X+Y)=D(X)+D(Y);
ง) D(X-Y)=D(X) – D(Y);

6. คุณสมบัติการกระจายตัวใดที่สามารถนำไปใช้กับตัวแปรสุ่มอิสระแบบคู่จำนวนเท่าใดก็ได้:

ก) ก่อน;
ข) ที่สอง;
ค) ที่สาม;
ง) ที่สี่;

7. คำศัพท์อื่นสำหรับการกระจายตัวคืออะไร:

ก) การกระเจิง;
ข) กระจาย;
ค) การเคลื่อนย้าย;
ง) การกระจาย;

8. ถ้าตัวแปรสุ่ม X ไม่ต่อเนื่องกันและกำหนดกฎการแจกแจงให้ P(X=x k)=p k จงพิจารณาว่าภายในขีดจำกัดของค่า k จะเปลี่ยนแปลงไป:

ก) k=1,2,3;
ข) k=1,2,3, ;
ค) k=1,2,3 n;
ง) k=n, ;

9. เลือกคุณสมบัติการกระจายตัวใดจากสี่คุณสมบัติที่มีอยู่ในความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

ก) สชส)=0;
ข) ง(CX)=C 2 ง(X);
ค) ง(X+Y)=D(X)+D(Y);
ง) ง(X-Y)=D(X)+D(Y);

10. ส่วนใดที่ทำค่าการกระจายที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นของ:

ก) (ก,ข);
ข) ;
ค) [-1,1];
ง) [ก,ข]

4. การบ้าน: เรียนรู้คำจำกัดความและคุณสมบัติของการกระจายตัว แก้ไขปัญหาหมายเลข 14 รู้ว่า

ค้นหาค่าที่คาดหวัง และ = 2 +3, และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มและ

ในสูตรก่อนหน้านี้เราได้นำเสนอสูตรจำนวนหนึ่งที่ช่วยให้เราสามารถค้นหาคุณลักษณะเชิงตัวเลขของฟังก์ชันได้เมื่อทราบกฎการกระจายตัวของข้อโต้แย้ง อย่างไรก็ตาม ในหลายกรณี ในการค้นหาคุณลักษณะเชิงตัวเลขของฟังก์ชัน ไม่จำเป็นต้องรู้กฎการกระจายตัวของอาร์กิวเมนต์ด้วยซ้ำ แต่ก็เพียงพอที่จะรู้เพียงคุณลักษณะเชิงตัวเลขเพียงบางส่วนเท่านั้น ในเวลาเดียวกัน โดยทั่วไปแล้วเราดำเนินการโดยไม่มีกฎหมายว่าด้วยการกระจายข้อมูลใดๆ การกำหนดคุณลักษณะเชิงตัวเลขของฟังก์ชันจากคุณลักษณะเชิงตัวเลขของการโต้แย้งที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในทฤษฎีความน่าจะเป็น และช่วยให้การแก้ปัญหาต่างๆ ง่ายขึ้นอย่างมาก วิธีการแบบง่ายเหล่านี้ส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเชิงเส้น อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันไม่เชิงเส้นเบื้องต้นบางฟังก์ชันก็ใช้แนวทางที่คล้ายกันได้เช่นกัน

ในปัจจุบัน เราจะนำเสนอทฤษฎีบทจำนวนหนึ่งเกี่ยวกับคุณลักษณะเชิงตัวเลขของฟังก์ชัน ซึ่งร่วมกันเป็นตัวแทนของเครื่องมือง่ายๆ ในการคำนวณคุณลักษณะเหล่านี้ ซึ่งนำไปใช้ได้ในสภาวะต่างๆ ที่หลากหลาย

1. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าที่ไม่สุ่ม

คุณสมบัติที่กำหนดค่อนข้างชัดเจน สามารถพิสูจน์ได้โดยการพิจารณาตัวแปรที่ไม่สุ่มว่าเป็นตัวแปรสุ่มชนิดพิเศษ โดยมีค่าที่เป็นไปได้หนึ่งค่าที่มีความน่าจะเป็นหนึ่งค่า จากนั้นตามสูตรทั่วไปสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

.

2. การกระจายตัวของตัวแปรที่ไม่สุ่ม

ถ้าเป็นค่าที่ไม่สุ่มแสดงว่า

3. การแทนค่าที่ไม่สุ่มสำหรับเครื่องหมายของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

, (10.2.1)

นั่นคือค่าที่ไม่สุ่มสามารถใช้เป็นสัญญาณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้

การพิสูจน์.

ก) สำหรับปริมาณที่ไม่ต่อเนื่อง

b) สำหรับปริมาณที่ต่อเนื่อง

.

4. นำค่าที่ไม่สุ่มออกจากสัญลักษณ์การกระจายตัวและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ถ้าเป็นปริมาณที่ไม่สุ่มและเป็นแบบสุ่ม

, (10.2.2)

นั่นคือ ค่าที่ไม่สุ่มสามารถนำออกจากสัญลักษณ์การกระจายตัวได้โดยการยกกำลังสอง

การพิสูจน์. ตามคำจำกัดความของความแปรปรวน

ผลที่ตามมา

,

นั่นคือค่าที่ไม่สุ่มสามารถนำออกจากเครื่องหมายของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานด้วยค่าสัมบูรณ์ได้ เราได้การพิสูจน์โดยการหารากที่สองจากสูตร (10.2.2) และคำนึงถึงว่า r.s.o. - ค่าบวกอย่างมีนัยสำคัญ

5. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่ม

ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับตัวแปรสุ่มสองตัวใด ๆ และ

นั่นคือ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวจะเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรเหล่านั้น

คุณสมบัตินี้เรียกว่าทฤษฎีบทของการบวกความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

การพิสูจน์.

ก) ให้ เป็นระบบของตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่อง ให้เราใช้สูตรทั่วไป (10.1.6) กับผลรวมของตัวแปรสุ่มสำหรับการคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์สองตัว:

.

Ho ไม่ได้เป็นตัวแทนอะไรมากไปกว่าความน่าจะเป็นทั้งหมดที่ปริมาณจะรับค่า :

;

เพราะฉะนั้น,

.

เราก็จะพิสูจน์เช่นเดียวกัน

,

และทฤษฎีบทก็ได้รับการพิสูจน์แล้ว

b) ให้ เป็นระบบของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ตามสูตร (10.1.7)

. (10.2.4)

ให้เราแปลงอินทิกรัลตัวแรก (10.2.4):

;

ในทำนองเดียวกัน

,

และทฤษฎีบทก็ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ควรสังเกตเป็นพิเศษว่าทฤษฎีบทสำหรับการเพิ่มความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั้นใช้ได้กับตัวแปรสุ่มใดๆ ทั้งแบบขึ้นอยู่กับและแบบอิสระ

ทฤษฎีบทสำหรับการบวกความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั้นถูกทำให้เป็นเงื่อนไขทั่วไปตามจำนวนที่กำหนด:

, (10.2.5)

นั่นคือ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มหลายตัวจะเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรเหล่านั้น

เพื่อพิสูจน์มัน ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้วิธีการอุปนัยที่สมบูรณ์

6. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันเชิงเส้น

พิจารณาฟังก์ชันเชิงเส้นของอาร์กิวเมนต์สุ่มหลายตัว:

โดยที่สัมประสิทธิ์ไม่สุ่มอยู่ที่ไหน มาพิสูจน์กัน

, (10.2.6)

กล่าวคือ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเท่ากับฟังก์ชันเชิงเส้นเดียวกันของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของอาร์กิวเมนต์

การพิสูจน์. การใช้ทฤษฎีบทการบวกของ m.o. และกฎของการวางปริมาณที่ไม่สุ่มไว้นอกเครื่องหมายของ mo เราจะได้:

.

7. รายละเอียดตอนผลรวมของตัวแปรสุ่มนี้

ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนบวกสองเท่าของโมเมนต์สหสัมพันธ์:

การพิสูจน์. มาแสดงกันเถอะ

ตามทฤษฎีบทการบวกความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ลองย้ายจากตัวแปรสุ่มไปยังตัวแปรกึ่งกลางที่สอดคล้องกัน ลบความเท่าเทียมกัน (10.2.9) ทีละเทอมจากความเท่าเทียมกัน (10.2.8) เราจะได้:

ตามคำจำกัดความของความแปรปรวน

Q.E.D.

สูตร (10.2.7) สำหรับความแปรปรวนของผลรวมสามารถสรุปเป็นเงื่อนไขจำนวนเท่าใดก็ได้:

, (10.2.10)

โดยที่โมเมนต์สหสัมพันธ์ของปริมาณอยู่ที่ไหน เครื่องหมายใต้ผลรวมหมายความว่าผลรวมขยายไปสู่การรวมตัวแปรสุ่มแบบคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมด .

การพิสูจน์จะคล้ายกับข้อพิสูจน์ก่อนหน้าและตามมาจากสูตรกำลังสองของพหุนาม

สูตร (10.2.10) สามารถเขียนได้ในรูปแบบอื่น:

, (10.2.11)

โดยที่ผลรวมสองเท่าจะขยายไปยังองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์สหสัมพันธ์ของระบบปริมาณ ซึ่งมีทั้งโมเมนต์ความสัมพันธ์และความแปรปรวน

ถ้าตัวแปรสุ่มทั้งหมด ที่รวมอยู่ในระบบนั้นไม่มีความสัมพันธ์กัน (เช่น เมื่อ ) สูตร (10.2.10) จะอยู่ในรูปแบบ:

, (10.2.12)

นั่นคือ ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มที่ไม่สัมพันธ์กันจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของเงื่อนไข

ตำแหน่งนี้เรียกว่าทฤษฎีบทของการบวกความแปรปรวน

8. ความแปรปรวนของฟังก์ชันเชิงเส้น

ลองพิจารณาฟังก์ชันเชิงเส้นของตัวแปรสุ่มหลายๆ ตัว

โดยที่ปริมาณที่ไม่สุ่ม

ให้เราพิสูจน์ว่าการกระจายตัวของฟังก์ชันเชิงเส้นนี้แสดงโดยสูตร

, (10.2.13)

โดยที่ โมเมนต์สหสัมพันธ์ของปริมาณ , .

การพิสูจน์. ให้เราแนะนำสัญกรณ์:

. (10.2.14)

การใช้สูตร (10.2.10) สำหรับการกระจายผลรวมไปทางด้านขวาของนิพจน์ (10.2.14) และคำนึงถึงสิ่งนั้น เราได้รับ:

โมเมนต์สหสัมพันธ์ของปริมาณอยู่ที่ไหน:

.

ลองคำนวณช่วงเวลานี้กัน เรามี:

;

ในทำนองเดียวกัน

แทนที่นิพจน์นี้เป็น (10.2.15) เราจะได้สูตร (10.2.13)

ในกรณีพิเศษเมื่อครบจำนวนแล้ว ไม่มีความสัมพันธ์กัน สูตร (10.2.13) อยู่ในรูปแบบ:

, (10.2.16)

นั่นคือ ความแปรปรวนของฟังก์ชันเชิงเส้นของตัวแปรสุ่มที่ไม่สัมพันธ์กันจะเท่ากับผลรวมของผลคูณของกำลังสองของสัมประสิทธิ์และความแปรปรวนของอาร์กิวเมนต์ที่สอดคล้องกัน

9. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลคูณของตัวแปรสุ่ม

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มสองตัวจะเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์บวกกับโมเมนต์ความสัมพันธ์:

การพิสูจน์. เราจะดำเนินการต่อจากคำจำกัดความของช่วงเวลาความสัมพันธ์:

มาแปลงนิพจน์นี้โดยใช้คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

ซึ่งเทียบเท่ากับสูตร (10.2.17) อย่างเห็นได้ชัด

หากตัวแปรสุ่มไม่สัมพันธ์กัน สูตร (10.2.17) จะอยู่ในรูปแบบ:

นั่นคือ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มที่ไม่สัมพันธ์กันสองตัวจะเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรเหล่านั้น

ตำแหน่งนี้เรียกว่าทฤษฎีบทของการคูณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

สูตร (10.2.17) ไม่มีอะไรมากไปกว่าการแสดงออกของโมเมนต์ศูนย์กลางผสมที่สองของระบบผ่านโมเมนต์เริ่มต้นผสมที่สองและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

. (10.2.19)

นิพจน์นี้มักใช้ในทางปฏิบัติเมื่อคำนวณโมเมนต์ความสัมพันธ์ในลักษณะเดียวกับตัวแปรสุ่มตัวหนึ่ง ความแปรปรวนมักจะคำนวณผ่านโมเมนต์เริ่มต้นที่สองและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ทฤษฎีบทของการคูณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั้นถูกสรุปให้เป็นปัจจัยจำนวนหนึ่งโดยพลการ ในกรณีนี้เท่านั้น สำหรับการนำไปใช้นั้นไม่เพียงพอที่ปริมาณจะไม่สัมพันธ์กัน แต่จำเป็นต้องมีช่วงเวลาผสมที่สูงกว่าจำนวนที่ขึ้นอยู่กับ กับจำนวนเงื่อนไขในสินค้าหายไป เงื่อนไขเหล่านี้เป็นที่พอใจอย่างแน่นอนหากตัวแปรสุ่มที่รวมอยู่ในผลิตภัณฑ์เป็นอิสระจากกัน ในกรณีนี้

, (10.2.20)

นั่นคือ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระจะเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา

ข้อเสนอนี้สามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายด้วยการอุปนัยที่สมบูรณ์

10. ความแปรปรวนของผลคูณของตัวแปรสุ่มอิสระ

ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับปริมาณที่เป็นอิสระ

การพิสูจน์. มาแสดงกัน. ตามคำจำกัดความของความแปรปรวน

เนื่องจากปริมาณมีความเป็นอิสระและ

เมื่อเป็นอิสระ ปริมาณก็จะเป็นอิสระเช่นกัน เพราะฉะนั้น,

,

แต่ไม่มีอะไรมากไปกว่าโมเมนต์เริ่มต้นที่สองของขนาด ดังนั้น จึงแสดงผ่านการกระจายตัว:

;

ในทำนองเดียวกัน

.

เมื่อแทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นสูตร (10.2.22) และนำคำที่คล้ายกันมา เราก็จะได้สูตร (10.2.21)

ในกรณีที่มีการคูณตัวแปรสุ่มที่อยู่กึ่งกลาง (ตัวแปรที่มีความคาดหมายทางคณิตศาสตร์เท่ากับศูนย์) สูตร (10.2.21) จะอยู่ในรูปแบบ:

, (10.2.23)

นั่นคือ ความแปรปรวนของผลคูณของตัวแปรสุ่มที่มีศูนย์กลางอิสระเท่ากับผลคูณของความแปรปรวน

11. โมเมนต์ที่สูงกว่าของผลรวมของตัวแปรสุ่ม

ในบางกรณี จำเป็นต้องคำนวณโมเมนต์สูงสุดของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระ ให้เราพิสูจน์ความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกัน

1) ถ้าปริมาณมีความเป็นอิสระแล้ว

การพิสูจน์.

ดังนั้นตามทฤษฎีบทการคูณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

แต่จุดศูนย์กลางจุดแรกของปริมาณใดๆ จะเป็นศูนย์ คำศัพท์กลางสองคำหายไป และสูตร (10.2.24) ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ความสัมพันธ์ (10.2.24) สามารถสรุปได้ง่ายโดยการเหนี่ยวนำให้เกิดเงื่อนไขอิสระจำนวนเท่าใดก็ได้:

. (10.2.25)

2) โมเมนต์ศูนย์กลางที่สี่ของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวแสดงโดยสูตร

ความแปรปรวนของปริมาณ และ อยู่ที่ไหน

หลักฐานนี้คล้ายกับข้อพิสูจน์ก่อนหน้าโดยสิ้นเชิง

เมื่อใช้วิธีการเหนี่ยวนำโดยสมบูรณ์ เป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ลักษณะทั่วไปของสูตร (10.2.26) กับจำนวนพจน์อิสระที่ต้องการ

ในหลายกรณี จำเป็นต้องแนะนำคุณลักษณะเชิงตัวเลขอื่นเพื่อวัดระดับ การกระจัดกระจายการแพร่กระจายของค่านิยมนำมาเป็นตัวแปรสุ่ม ξ ใกล้เคียงกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

คำนิยาม.ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม ξ เรียกว่าหมายเลข

ดี ξ= M(ξ-Mξ) 2 . (1)

กล่าวอีกนัยหนึ่งการกระจายตัวคือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการเบี่ยงเบนกำลังสองของค่าของตัวแปรสุ่มจากค่าเฉลี่ย

เรียกว่า ตารางส่วนเบี่ยงเบน

ปริมาณ ξ .

หากการกระจายตัวแสดงลักษณะขนาดเฉลี่ยของส่วนเบี่ยงเบนกำลังสอง ξ จาก มจากนั้นตัวเลขนั้นถือได้ว่าเป็นลักษณะเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนนั้นเองหรือแม่นยำยิ่งขึ้นคือค่า | ξ-Mξ |.

คุณสมบัติการกระจายตัวสองประการต่อไปนี้ตามมาจากคำจำกัดความ (1)

1. ความแปรปรวนของค่าคงที่เป็นศูนย์ ซึ่งค่อนข้างสอดคล้องกับความหมายทางสายตาของการกระจายตัวว่าเป็น "การวัดการกระจาย"

จริงๆ แล้วถ้า.

ξ = ค,ที่ Mξ = คและนั่นหมายความว่า Dξ = M(ค-ค) 2 = ม 0 = 0.

2. เมื่อทำการคูณตัวแปรสุ่ม ξ ด้วยจำนวนคงที่ C ความแปรปรวนจะคูณด้วย C 2

ด(Cξ) = ค 2 ดี . (3)

จริงหรือ

D(Cξ) = M(C

= ม(ค .

3. สูตรต่อไปนี้สำหรับการคำนวณความแปรปรวนเกิดขึ้น:

การพิสูจน์สูตรนี้ตามมาจากคุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

เรามี:

4.หากมีค่า ξ 1 และ ξ 2 มีความเป็นอิสระ ดังนั้นความแปรปรวนของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน:

การพิสูจน์ . เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราใช้คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ อนุญาต ม 1 = ม 1 , ม 2 = ม 2 แล้ว.

สูตร (5) ได้รับการพิสูจน์แล้ว

เนื่องจากความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มตามนิยามแล้ว ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่า ( ξ -ม) 2 ที่ไหน ม. = Mξ,จากนั้นในการคำนวณความแปรปรวนคุณสามารถใช้สูตรที่ได้รับใน§7ของบทที่ II

ถ้าอย่างนั้น ξ มี DSV พร้อมกฎหมายจำหน่าย

แล้วเราจะมี:

ถ้า ξ ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องพร้อมความหนาแน่นของการแจกแจง พี(เอ็กซ์)แล้วเราจะได้:

ดี= . (8)

หากคุณใช้สูตร (4) ในการคำนวณความแปรปรวน คุณสามารถรับสูตรอื่นได้ กล่าวคือ:

ถ้ามูลค่า ξ ไม่ต่อเนื่องและ

ดี= , (10)

ถ้า ξ กระจายอย่างหนาแน่น พี(x).

ตัวอย่างที่ 1 ให้มีค่า ξ กระจายอย่างสม่ำเสมอในส่วน [ ก,ข- การใช้สูตร (10) เราได้รับ:

แสดงให้เห็นว่าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มมีการกระจายตามกฎปกติด้วยความหนาแน่น

พี(เอ็กซ์)= , (11)

เท่ากับ σ 2

สิ่งนี้จะอธิบายความหมายของพารามิเตอร์ σ ที่รวมอยู่ในนิพจน์ความหนาแน่น (11) สำหรับกฎปกติ ซิ คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่า ξ.

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม ξ กระจายตามกฎทวินาม

สารละลาย . การใช้ตัวแทนของ ξ ในรูปแบบ

ξ = ξ 1 + ξ 2 + ξn(ดูตัวอย่าง 2 §7 บทที่ II) และใช้สูตรสำหรับการบวกค่าความแปรปรวนสำหรับปริมาณอิสระ เราได้รับ

ดี = ดี 1 + Dξ 2 +Dξn .

การกระจายตัวของปริมาณใดๆ ξi (ฉัน= 1,2, n) คำนวณโดยตรง:

Dξ ผม = ​​M(ξ ผม) 2 - (ฉัน) 2 = 0 2 · ถาม+ 1 2 พี- พี 2 = พี(1-พี) = หน้า.

ในที่สุดเราก็ได้

ดี= npq, ที่ไหน คิว = 1 - หน้า.

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสาขาพิเศษของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาโดยนักศึกษาสถาบันอุดมศึกษาเท่านั้น คุณชอบการคำนวณและสูตรหรือไม่? คุณไม่กลัวโอกาสในการทำความคุ้นเคยกับการแจกแจงแบบปกติ เอนโทรปีทั้งมวล ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ และการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องใช่หรือไม่ แล้ววิชานี้จะน่าสนใจมากสำหรับคุณ มาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดพื้นฐานที่สำคัญที่สุดหลายประการของสาขาวิทยาศาสตร์นี้กันดีกว่า

เรามาจำพื้นฐานกัน

แม้ว่าคุณจะจำแนวคิดที่ง่ายที่สุดของทฤษฎีความน่าจะเป็นได้ แต่อย่าละเลยย่อหน้าแรกของบทความ ประเด็นก็คือหากไม่มีความเข้าใจพื้นฐานที่ชัดเจน คุณจะไม่สามารถทำงานกับสูตรที่กล่าวถึงด้านล่างได้

จึงมีเหตุการณ์สุ่มเกิดขึ้น การทดลองบางอย่าง จากการกระทำที่เราทำ เราจึงสามารถได้รับผลลัพธ์หลายประการ - บางอย่างเกิดขึ้นบ่อยกว่า และบางอย่างไม่บ่อยนัก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์จริงที่ได้รับจริงประเภทหนึ่งต่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เพียงทราบคำจำกัดความดั้งเดิมของแนวคิดนี้ คุณก็สามารถเริ่มศึกษาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องได้

เฉลี่ย

ย้อนกลับไปในโรงเรียน ระหว่างเรียนคณิตศาสตร์ คุณเริ่มทำงานกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต แนวคิดนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในทฤษฎีความน่าจะเป็น ดังนั้นจึงไม่สามารถละเลยได้ สิ่งสำคัญสำหรับเราในขณะนี้คือเราจะพบมันในสูตรสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม

เรามีลำดับของตัวเลขและต้องการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต สิ่งเดียวที่เราต้องการก็คือสรุปทุกอย่างที่มีอยู่แล้วหารด้วยจำนวนองค์ประกอบในลำดับ ขอให้เรามีตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 ผลรวมขององค์ประกอบจะเท่ากับ 45 และเราจะหารค่านี้ด้วย 9 คำตอบ: - 5

การกระจายตัว

ในแง่วิทยาศาสตร์ การกระจายตัวคือกำลังสองเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของค่าที่ได้รับของคุณลักษณะจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต เขียนแทนด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ D ตัวหนึ่ง สิ่งที่จำเป็นในการคำนวณคืออะไร? สำหรับแต่ละองค์ประกอบของลำดับ เราจะคำนวณความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่มีอยู่กับค่าเฉลี่ยเลขคณิตแล้วยกกำลังสอง จะมีคุณค่ามากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้สำหรับเหตุการณ์ที่เรากำลังพิจารณา ต่อไปเราจะสรุปทุกอย่างที่ได้รับและหารด้วยจำนวนองค์ประกอบในลำดับ หากเรามีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ห้ารายการ ให้หารด้วยห้า

การกระจายตัวยังมีคุณสมบัติที่ต้องจดจำเพื่อใช้ในการแก้ปัญหา ตัวอย่างเช่น เมื่อเพิ่มตัวแปรสุ่ม X ครั้ง ความแปรปรวนจะเพิ่มขึ้น X กำลังสองคูณ (เช่น X*X) มันไม่เคยน้อยกว่าศูนย์และไม่ขึ้นอยู่กับการเลื่อนค่าขึ้นหรือลงด้วยจำนวนที่เท่ากัน นอกจากนี้ สำหรับการทดลองอิสระ ความแปรปรวนของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของผลรวม

ตอนนี้เราต้องพิจารณาตัวอย่างความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์อย่างแน่นอน

สมมติว่าเราทำการทดลอง 21 ครั้ง และได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน 7 แบบ เราสังเกตแต่ละครั้ง 1, 2, 2, 3, 4, 4 และ 5 ครั้งตามลำดับ ความแปรปรวนจะเท่ากับอะไร?

ขั้นแรก มาคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต แน่นอนว่าผลรวมขององค์ประกอบคือ 21 หารด้วย 7 จะได้ 3 จากนั้นให้ลบ 3 ออกจากแต่ละตัวเลขในลำดับเดิม ยกกำลังสองแต่ละค่า แล้วบวกผลลัพธ์เข้าด้วยกัน ผลลัพธ์คือ 12 ตอนนี้สิ่งที่เราต้องทำคือหารตัวเลขด้วยจำนวนองค์ประกอบ และดูเหมือนว่าก็แค่นั้นแหละ แต่ก็มีสิ่งที่จับได้! มาหารือกัน

ขึ้นอยู่กับจำนวนการทดลอง

ปรากฎว่าเมื่อคำนวณความแปรปรวน ตัวส่วนสามารถมีตัวเลขหนึ่งในสองจำนวน: N หรือ N-1 โดยที่ N คือจำนวนการทดลองที่ทำหรือจำนวนองค์ประกอบในลำดับ (ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคือสิ่งเดียวกัน) สิ่งนี้ขึ้นอยู่กับอะไร?

ถ้าจำนวนการทดสอบวัดเป็นร้อย เราต้องใส่ N ในตัวส่วน ถ้าเป็นหน่วยแล้ว N-1 นักวิทยาศาสตร์ตัดสินใจวาดเส้นขอบในเชิงสัญลักษณ์: วันนี้มันผ่านเลข 30 หากเราทำการทดลองน้อยกว่า 30 ครั้ง เราจะหารจำนวนด้วย N-1 และถ้ามากกว่านั้นก็หารด้วย N

งาน

กลับมาที่ตัวอย่างการแก้ปัญหาความแปรปรวนและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์กัน เราได้เลขกลาง 12 ซึ่งต้องหารด้วย N หรือ N-1 เนื่องจากเราทำการทดลอง 21 ครั้ง ซึ่งน้อยกว่า 30 ครั้ง เราจะเลือกตัวเลือกที่สอง คำตอบคือ: ความแปรปรวนคือ 12/2 = 2

มูลค่าที่คาดหวัง

เรามาดูแนวคิดที่สองกันดีกว่าซึ่งเราต้องพิจารณาในบทความนี้ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นผลมาจากการบวกผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคูณด้วยความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าค่าที่ได้รับตลอดจนผลลัพธ์ของการคำนวณความแปรปรวนนั้นได้มาเพียงครั้งเดียวสำหรับปัญหาทั้งหมด ไม่ว่าจะพิจารณาผลลัพธ์จำนวนเท่าใดก็ตาม

สูตรสำหรับการคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั้นค่อนข้างง่าย: เราหาผลลัพธ์มาคูณด้วยความน่าจะเป็นของมันบวกกับผลลัพธ์ที่สองและสามเป็นต้น ทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดนี้คำนวณได้ไม่ยาก เช่น ผลรวมของค่าที่คาดหวังจะเท่ากับค่าที่คาดหวังของผลรวม เช่นเดียวกับการทำงาน ไม่ใช่ทุกปริมาณในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่จะอนุญาตให้คุณดำเนินการง่ายๆ เช่นนั้นได้ ลองใช้ปัญหาและคำนวณความหมายของสองแนวคิดที่เราศึกษาพร้อมกัน นอกจากนี้เรายังถูกรบกวนจากทฤษฎี - ถึงเวลาฝึกฝนแล้ว

อีกตัวอย่างหนึ่ง

เราทำการทดลอง 50 ครั้งและได้รับผลลัพธ์ 10 ประเภท - ตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 - ปรากฏในเปอร์เซ็นต์ที่ต่างกัน เหล่านี้คือตามลำดับ: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18% โปรดจำไว้ว่าเพื่อให้ได้ความน่าจะเป็นคุณต้องหารค่าเปอร์เซ็นต์ด้วย 100 ดังนั้นเราจึงได้ 0.02 0.1 เป็นต้น ให้เรานำเสนอตัวอย่างการแก้ปัญหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

เราคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยใช้สูตรที่เราจำได้ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษา: 50/10 = 5

ทีนี้มาแปลงความน่าจะเป็นเป็นจำนวนผลลัพธ์ "เป็นชิ้น ๆ" เพื่อให้นับได้ง่ายขึ้น เราได้ 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 และ 9 จากแต่ละค่าที่ได้รับ เราจะลบค่าเฉลี่ยเลขคณิต หลังจากนั้นเราจะยกกำลังสองผลลัพธ์แต่ละรายการที่ได้รับ ดูวิธีดำเนินการโดยใช้องค์ประกอบแรกเป็นตัวอย่าง: 1 - 5 = (-4) ถัดไป: (-4) * (-4) = 16 สำหรับค่าอื่นๆ ให้ดำเนินการเหล่านี้ด้วยตนเอง ถ้าคุณทำทุกอย่างถูกต้องแล้ว เมื่อรวมทั้งหมดแล้วคุณจะได้ 90

มาคำนวณความแปรปรวนและค่าคาดหวังต่อไปโดยหาร 90 ด้วย N ทำไมเราจึงเลือก N แทนที่จะเป็น N-1 ถูกต้อง เนื่องจากจำนวนการทดลองที่ทำเกิน 30 ดังนั้น: 90/10 = 9 เราได้ความแปรปรวน หากได้เลขอื่นอย่าหมดหวัง เป็นไปได้มากว่าคุณทำผิดพลาดง่าย ๆ ในการคำนวณ ตรวจสอบสิ่งที่คุณเขียนอีกครั้งและทุกอย่างอาจจะเข้าที่

สุดท้าย จำสูตรความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไว้ เราจะไม่ให้การคำนวณทั้งหมด เราจะเขียนเฉพาะคำตอบที่คุณสามารถตรวจสอบได้หลังจากทำตามขั้นตอนที่จำเป็นทั้งหมดแล้วเท่านั้น ค่าคาดหวังจะเป็น 5.48 ให้เรานึกถึงวิธีดำเนินการเท่านั้น โดยใช้องค์ประกอบแรกเป็นตัวอย่าง: 0*0.02 + 1*0.1... และอื่นๆ อย่างที่คุณเห็น เราแค่คูณค่าผลลัพธ์ด้วยความน่าจะเป็น

การเบี่ยงเบน

แนวคิดอีกประการหนึ่งที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการกระจายตัวและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ก็คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน มันถูกแสดงด้วยตัวอักษรละติน sd หรือด้วยตัวพิมพ์เล็กกรีก "sigma" แนวคิดนี้แสดงให้เห็นว่าค่าเบี่ยงเบนไปจากคุณลักษณะส่วนกลางโดยเฉลี่ยเท่าใด ในการหาค่าของมัน คุณจำเป็นต้องคำนวณรากที่สองของความแปรปรวน

หากคุณพล็อตกราฟการแจกแจงแบบปกติและต้องการดูค่าเบี่ยงเบนกำลังสองบนกราฟนั้นโดยตรง สามารถทำได้ในหลายๆ ขั้นตอน ใช้เวลาครึ่งหนึ่งของภาพไปทางซ้ายหรือขวาของโหมด (ค่ากลาง) วาดตั้งฉากกับแกนนอนเพื่อให้พื้นที่ของตัวเลขที่ได้เท่ากัน ขนาดของส่วนระหว่างกึ่งกลางของการกระจายและการฉายภาพที่เกิดขึ้นบนแกนนอนจะแสดงถึงค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ซอฟต์แวร์

ดังที่เห็นได้จากคำอธิบายของสูตรและตัวอย่างที่นำเสนอ การคำนวณความแปรปรวนและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ขั้นตอนที่ง่ายที่สุดจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ เพื่อไม่ให้เป็นการเสียเวลา ควรใช้โปรแกรมที่ใช้ในสถาบันอุดมศึกษา - เรียกว่า "R" มีฟังก์ชันที่ช่วยให้คุณคำนวณค่าสำหรับแนวคิดต่างๆ จากสถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็น

ตัวอย่างเช่น คุณระบุเวกเตอร์ของค่า ทำได้ดังนี้: เวกเตอร์<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

ในที่สุด

การกระจายตัวและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั้นเป็นสิ่งที่ยากในการคำนวณสิ่งใดในอนาคต ในหลักสูตรหลักของการบรรยายที่มหาวิทยาลัยจะมีการพูดคุยกันในช่วงเดือนแรกของการศึกษาวิชานี้ เป็นเพราะขาดความเข้าใจในแนวคิดง่ายๆ เหล่านี้และไม่สามารถคำนวณได้ ทำให้นักเรียนจำนวนมากเริ่มล้าหลังในโปรแกรมทันทีและต่อมาได้รับคะแนนไม่ดีเมื่อสิ้นสุดภาคเรียน ซึ่งทำให้ไม่ได้รับทุนการศึกษา

ฝึกฝนอย่างน้อยหนึ่งสัปดาห์ ครึ่งชั่วโมงต่อวัน เพื่อแก้ไขปัญหาคล้ายกับที่นำเสนอในบทความนี้ จากนั้น ในการทดสอบใดๆ ในทฤษฎีความน่าจะเป็น คุณจะสามารถรับมือกับตัวอย่างต่างๆ ได้โดยไม่ต้องอาศัยคำแนะนำและสูตรโกงเพิ่มเติม

การกระจายตัวเป็นสิ่งสำคัญสำหรับการกำหนดลักษณะตัวแปรสุ่ม

คำนิยาม. ความแปรปรวน ของตัวแปรสุ่ม คือ ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์

คำว่า "การกระจายตัว" หมายถึง "การกระจาย" เช่น การกระจายตัวบ่งบอกถึงลักษณะการกระจายตัว (การกระเจิง) ของค่าของตัวแปรสุ่มรอบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

จากคำจำกัดความเป็นไปตามว่าการกระจายตัวเป็นค่าคงที่ กล่าวคือ ลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่มที่มีมิติกำลังสองของตัวแปรสุ่ม

จากมุมมองที่เป็นไปได้ การกระจายตัวคือการวัดการกระจายตัวของค่าของตัวแปรสุ่มรอบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

อันที่จริง ให้พิจารณาตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่มีชุดค่าจำกัด จากนั้นตามคำจำกัดความ ความแปรปรวนจะถูกคำนวณโดยสูตร

. (2)

ถ้าเกิดความแปรปรวน
มีขนาดเล็ก จากนั้นจากสูตร (2) จึงตามมาว่าเทอมมีขนาดเล็ก ดังนั้นหากเราไม่คำนึงถึงคุณค่า
ซึ่งสอดคล้องกับความน่าจะเป็นต่ำ (ค่าดังกล่าวเป็นไปไม่ได้ในทางปฏิบัติ) จากนั้นค่าอื่น ๆ ทั้งหมด เบี่ยงเบนไปเล็กน้อยจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์
- เพราะฉะนั้น, ด้วยการกระจายตัวต่ำ ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มจะเน้นไปที่ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ยกเว้นที่เป็นไปได้ของค่าแต่ละค่าที่ค่อนข้างน้อย) ถ้าเกิดความแปรปรวน
มีขนาดใหญ่ ซึ่งหมายถึงการกระจายค่าของตัวแปรสุ่มจำนวนมาก โดยไม่รวมความเข้มข้นของค่าของตัวแปรสุ่มรอบจุดศูนย์กลางบางแห่ง

ตัวอย่าง. ปล่อยให้ตัวแปรสุ่ม
และ มีกฎหมายว่าด้วยการจำหน่ายดังต่อไปนี้

ตารางที่ 9. ตารางที่ 10.

ค้นหาความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มเหล่านี้

สารละลาย. เราพบโดยใช้สูตรในการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

โดยใช้สูตร (2) เราคำนวณความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มที่กำหนด

จากผลลัพธ์ที่ได้ เราสรุปได้: ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม
และ เหมือนกันแต่ความแปรปรวนต่างกัน ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม
มีขนาดเล็กและเราเห็นว่าค่าของมันมุ่งไปที่ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมัน
- ตรงกันข้ามกับค่าของตัวแปรสุ่ม กระจัดกระจายอย่างมากเมื่อเทียบกับ
และด้วยเหตุนี้จึงเกิดความแปรปรวน
มีความสำคัญอย่างยิ่ง

คุณสมบัติการกระจายตัว

คุณสมบัติ 1. ความแปรปรวนของค่าคงที่เป็นศูนย์

การพิสูจน์.

คุณสมบัติ 2 - ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายการกระจายตัวได้โดยการยกกำลังสอง

การพิสูจน์.

คุณสมบัติ 3. ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน

การพิสูจน์. ให้เราใช้คำจำกัดความของการกระจายตัวและคุณสมบัติ 3, 2 ของค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่เรามี

คำนิยาม. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลคูณของการเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่ม
และ จากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขาเรียกว่าช่วงเวลาแห่งความสัมพันธ์ ค่าเหล่านี้

ถ้าเป็นตัวแปรสุ่มปริมาณ
และ มีความเป็นอิสระ จากนั้นใช้คุณสมบัติ 6 และ 7 ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เราพบ

ดังนั้นจากสูตร 3 เราก็ได้

ซึ่งในที่สุดก็ตามมา

เมื่อใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัตินี้สามารถขยายไปยังกรณีของตัวแปรสุ่มอิสระจำนวนจำกัดใดๆ ได้

คุณสมบัติ 4. ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระ
เท่ากับผลรวมของความแปรปรวน

คุณสมบัติ 5. ความแปรปรวนของความแตกต่างระหว่างตัวแปรอิสระแบบสุ่มสองตัวเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้

การพิสูจน์.

คุณสมบัติ 6. ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มเท่ากับค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์

กำลังสองของปริมาณนี้ลบกำลังสองของค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์

(สูตรนี้ใช้ในการคำนวณความแปรปรวน)

การพิสูจน์.