ขอบเขตชุดฟังก์ชันของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ การลู่เข้าแบบ Weierstrass เข้าสู่ระบบคุณสมบัติของชุดฟังก์ชันแบบลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ อนุกรมฟังก์ชัน ค้นหาช่วงเวลาของการบรรจบกันของอนุกรมฟังก์ชัน

พื้นที่บรรจบกัน อนุกรมฟังก์ชันคืออนุกรมที่สมาชิกเป็นฟังก์ชัน / กำหนดบนชุด E ที่แน่นอนของแกนตัวเลข ตัวอย่างเช่น เงื่อนไขของอนุกรมถูกกำหนดในช่วงเวลา และเงื่อนไขของอนุกรมถูกกำหนดในช่วงเวลา การทดสอบการบรรจบกันของไวเออร์สตราส สมบัติของอนุกรมฟังก์ชันการบรรจบกันสม่ำเสมอ อนุกรมตัวเลข ถ้าอนุกรม (1) มาบรรจบกันที่แต่ละจุด x ของเซต D C E และลู่ออกที่แต่ละจุดที่ไม่อยู่ในเซต D แล้วเขาบอกว่าอนุกรมมาบรรจบกันที่เซต D และ D เรียกว่า บริเวณการบรรจบกันของอนุกรม อนุกรม (1) กล่าวกันว่าอนุกรมมาบรรจบกันบนเซต D หากอนุกรมมาบรรจบกันบนเซตนี้ ในกรณีที่อนุกรม (1) มาบรรจบกันบนเซต D ผลรวมของอนุกรม S จะเป็นฟังก์ชันที่กำหนดบน D บริเวณของการบรรจบกันของอนุกรมฟังก์ชันบางชุดสามารถพบได้โดยใช้เกณฑ์ที่ทราบเพียงพอซึ่งกำหนดไว้สำหรับอนุกรมที่มีเงื่อนไขเชิงบวก เช่น การทดสอบของ Dapambert การทดสอบของ Cauchy ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรม M เนื่องจากอนุกรมตัวเลขมาบรรจบกันสำหรับ p > 1 และลู่ออกสำหรับ p ^ 1 ดังนั้น สมมติว่า p - Igx เราได้อนุกรมนี้ ซึ่งจะมาบรรจบกันที่ Igx > T i.e. ถ้า x > 10 และแยกออกเมื่อ Igx ^ 1 เช่น เวลา 0< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х > แถว 0 เบี่ยงเบน เนื่องจาก A = ความแตกต่างของอนุกรมที่ x = 0 นั้นชัดเจน ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรมที่กำหนดและต่อเนื่องกันบนเซต ใช้เกณฑ์ Kosh และเราค้นหาสิ่งใดๆ ดังนั้นอนุกรมจะแยกออกจากค่าทั้งหมดของ x ให้เราแสดงด้วย Sn(x) ผลรวมส่วนที่ n ของอนุกรมฟังก์ชัน (1) หากอนุกรมนี้มาบรรจบกันบนเซต D และผลรวมของมันคือ 5(g) ก็สามารถแสดงได้ในรูปแบบ โดยที่ คือผลรวมของอนุกรมที่มาบรรจบกันบนเซต D ซึ่งเรียกว่าเศษที่ n ของอนุกรมฟังก์ชัน ( 1). สำหรับค่าทั้งหมดของ x € D ความสัมพันธ์จึงคงอยู่ นั่นคือ ส่วนที่เหลือ Rn(x) ของอนุกรมลู่เข้ามีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เมื่อ n oo อะไรก็ตามที่ x 6 D การลู่เข้าสม่ำเสมอ ในบรรดาอนุกรมฟังก์ชันลู่เข้าทั้งหมด สิ่งที่เรียกว่าอนุกรมลู่เข้าสม่ำเสมอมีบทบาทสำคัญ ให้อนุกรมฟังก์ชันมาบรรจบกันบนเซต D โดยให้ผลรวมเท่ากับ S(x) ลองใช้นิยามผลรวมบางส่วนครั้งที่ n กัน อนุกรมฟังก์ชัน SERIES ฟังก์ชัน โดเมนของการลู่เข้า การทดสอบการลู่เข้าสม่ำเสมอ การทดสอบ Weierstrass คุณสมบัติของอนุกรมฟังก์ชันลู่เข้าสม่ำเสมอ กล่าวกันว่าลู่เข้าสม่ำเสมอบนเซต PS1) ถ้าสำหรับจำนวนใดๆ e > O มีจำนวน Γ > O โดยที่ค่าอสมการจะคงอยู่สำหรับตัวเลขทั้งหมด n > N และสำหรับ x ทั้งหมดจากเซต fI ความคิดเห็น ที่นี่หมายเลข N จะเหมือนกันสำหรับ x € Yu ทั้งหมดนั่นคือ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ z แต่ขึ้นอยู่กับการเลือกจำนวน e ดังนั้นเราจึงเขียนว่า N = N(e) การลู่เข้าสม่ำเสมอของอนุกรมฟังก์ชัน £ /n(®) กับฟังก์ชัน S(x) บนเซต ft มักเขียนแทนได้ดังนี้: นิยามของการลู่เข้าสม่ำเสมอของอนุกรม /n(x) บนเซต ft สามารถเขียนได้ โดยใช้สัญลักษณ์เชิงตรรกะโดยย่อ: ให้เราอธิบายความหมายของช่วงฟังก์ชันการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอในเชิงเรขาคณิต ขอให้เราใช้เซ็กเมนต์ [a, 6] เป็นเซตฟุตและสร้างกราฟของฟังก์ชัน อสมการ | ซึ่งถือเป็นตัวเลข n > N และสำหรับ a ทั้งหมด G [a, b] สามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้ อสมการที่ได้แสดงว่ากราฟของฟังก์ชันทั้งหมด y = 5n(x) ที่มีตัวเลข n > N จะอยู่ภายในแถบ £ ทั้งหมดที่ถูกจำกัดด้วยเส้นโค้ง y = S(x) - e และ y = 5(g) + e (รูปที่ 1) ตัวอย่างที่ 1 มาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา ชุดนี้สลับกันเป็นเครื่องหมายตรงตามเงื่อนไขของเกณฑ์ไลบนิซสำหรับ x € [-1,1] ใดๆ และด้วยเหตุนี้ มาบรรจบกันในช่วงเวลา (-1,1] ให้ S(x ) คือผลรวมของมัน และ Sn (x) คือผลรวมบางส่วนลำดับที่ n ส่วนที่เหลือของอนุกรมจะไม่เกินค่าสัมบูรณ์ของเทอมแรก: และเนื่องจาก ให้เรารับค่า e ใดๆ ก็ได้ ถ้าเป็นเช่นนั้น . จากตรงนี้เราจะพบว่า n > \ หากเรารับตัวเลข (ในที่นี้ [a] หมายถึงจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดซึ่งไม่เกิน a) แล้วอสมการ | e จะคงไว้สำหรับตัวเลขทั้งหมด n > N และสำหรับ x € [-1,1 ทั้งหมด) ซึ่งหมายความว่าอนุกรมนี้มาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา [-1,1) I. ไม่ใช่ทุกอนุกรมฟังก์ชันที่มาบรรจบกันบนเซต D ที่จะลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในตัวอย่างที่ 2 ขอให้เราแสดงว่าอนุกรมบรรจบกันในช่วงเวลาหนึ่ง แต่ไม่สม่ำเสมอกัน 4 ให้เราคำนวณผลรวมส่วนที่ n £„(*) ของอนุกรมนี้ เรามีว่าอนุกรมนี้จะมาบรรจบกันที่ส่วนใดและผลรวมของมันถ้าค่าสัมบูรณ์ของส่วนต่าง S(x) - 5″(x) (ส่วนที่เหลือของอนุกรม) เท่ากัน ลองหาจำนวน e แบบนั้นดู ให้เราแก้ไขอสมการด้วยความเคารพต่อ n จากที่ (เนื่องจากและเมื่อหารด้วย Inx สัญญาณของอสมการจะเปลี่ยนไปเป็นตรงกันข้าม) ความเหลื่อมล้ำจะเกิดความพึงพอใจเมื่อ ดังนั้นจึงมีจำนวน N(e) ที่ไม่ขึ้นอยู่กับ x ซึ่งทำให้ค่าอสมการเป็นที่พอใจสำหรับแต่ละรายการ) สำหรับ x ทั้งหมดจากเซ็กเมนต์ในคราวเดียว , ไม่ได้อยู่. หากเราแทนที่ส่วนที่ 0 ด้วยส่วนที่เล็กกว่า โดยที่ส่วนหลังอนุกรมนี้จะมาบรรจบกันกับฟังก์ชัน S0 อย่างสม่ำเสมอ อันที่จริง สำหรับ และดังนั้น สำหรับ x ทั้งหมดพร้อมกัน §3 การทดสอบของไวเออร์ชตราส การทดสอบที่เพียงพอสำหรับการลู่เข้าที่สม่ำเสมอของอนุกรมฟังก์ชันนั้นกำหนดไว้โดยทฤษฎีบทของไวเออร์ชตราส ทฤษฎีบท 1 (การทดสอบไวเออร์สตราส) ปล่อยให้ x ทั้งหมดจากเซต Q เงื่อนไขของอนุกรมฟังก์ชันในค่าสัมบูรณ์จะต้องไม่เกินสมาชิกที่สอดคล้องกันของอนุกรมตัวเลขมาบรรจบกัน P = 1 โดยมีเงื่อนไขเชิงบวกนั่นคือสำหรับ x € Q ทั้งหมด จากนั้นอนุกรมฟังก์ชัน (1 ) บนเซต P มาบรรจบกันอย่างสมบูรณ์และสม่ำเสมอ และเต็ก เนื่องจากตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท เงื่อนไขของอนุกรม (1) เป็นไปตามเงื่อนไข (3) ของเซต Q ทั้งหมด จากนั้นเมื่อเปรียบเทียบอนุกรม 2 \fn(x)\ มาบรรจบกันสำหรับ x € I ใดๆ และ ดังนั้น อนุกรม (1) มาบรรจบกันที่ P อย่างแน่นอน ให้เราพิสูจน์การบรรจบกันที่สม่ำเสมอของอนุกรม (1) ให้ Sn(x) และ an แทนผลบวกบางส่วนของอนุกรม (1) และ (2) ตามลำดับ เราได้ค่า e > 0 ใดๆ (จำนวนเล็กน้อยโดยพลการ) จากนั้นจากการบรรจบกันของชุดตัวเลข (2) มันจะเป็นไปตามการมีอยู่ของจำนวน N = N(e) ดังนั้น -e สำหรับจำนวนทั้งหมด n > N (e) และสำหรับ xbP ทั้งหมด นั่นคือ อนุกรม (1) มาบรรจบกันบนเซต P อย่างสม่ำเสมอ อนุกรมตัวเลข (2) มักเรียกว่า Majorizing หรือ Majorant สำหรับอนุกรมฟังก์ชัน (1) ตัวอย่างที่ 1 ตรวจสอบอนุกรมเพื่อหาการบรรจบกันที่สม่ำเสมอ และสำหรับทุกคน อนุกรมตัวเลขมาบรรจบกัน โดยอาศัยเกณฑ์ของไวเออร์สตราส อนุกรมฟังก์ชันที่พิจารณาจะบรรจบกันบนแกนทั้งหมดอย่างสมบูรณ์และสม่ำเสมอ ตัวอย่างที่ 2 ตรวจสอบอนุกรมสำหรับการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ เงื่อนไขของอนุกรมถูกกำหนดและต่อเนื่องกันในช่วง [-2,2| เนื่องจากในช่วง [-2,2) สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n ดังนั้น ความไม่เท่าเทียมกันจึงยังคงอยู่ เนื่องจากอนุกรมตัวเลขมาบรรจบกัน ดังนั้น ตามเกณฑ์ของ Weierstrass อนุกรมฟังก์ชันดั้งเดิมจึงมาบรรจบกันในกลุ่มดังกล่าวอย่างสมบูรณ์และสม่ำเสมอ ความคิดเห็น อนุกรมฟังก์ชัน (1) สามารถมาบรรจบกันบนเซต Piv ได้อย่างสม่ำเสมอ ในกรณีที่ไม่มีอนุกรมหลักที่เป็นตัวเลข (2) กล่าวคือ เกณฑ์ Weierstrass เป็นเพียงเกณฑ์ที่เพียงพอสำหรับการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ แต่ไม่จำเป็น ตัวอย่าง. ดังที่แสดงไว้ข้างต้น (ตัวอย่าง) ซีรีส์นี้มาบรรจบกันในส่วนที่ 1-1,1 อย่างเท่าเทียมกัน] อย่างไรก็ตาม เนื่องจากไม่มีอนุกรมเลขบรรจบหลัก (2) ในความเป็นจริง สำหรับธรรมชาติทั้งหมด n และสำหรับ x € [-1,1 ทั้งหมด) ความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่พอใจและบรรลุความเท่าเทียมกันที่ ดังนั้นสมาชิกของซีรีย์หลักที่ต้องการ (2) จะต้องตรงตามเงื่อนไขอย่างแน่นอน แต่ซีรีย์ตัวเลข FUNCTIONAL SERIES พื้นที่ของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ การทดสอบ Weierstrass การลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ คุณสมบัติของซีรีย์ฟังก์ชันแบบลู่เข้าแบบสม่ำเสมอจะแตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าซีรีส์ £op ก็จะแตกต่างออกไปเช่นกัน คุณสมบัติของอนุกรมฟังก์ชันลู่เข้าสม่ำเสมอ อนุกรมฟังก์ชันลู่เข้าสม่ำเสมอมีคุณสมบัติที่สำคัญหลายประการ ทฤษฎีบท 2 ถ้าพจน์ทั้งหมดของอนุกรมที่มาบรรจบกันในช่วง [a, b] คูณด้วยฟังก์ชันเดียวกัน d(x) ที่ผูกไว้กับ [a, 6] แล้วอนุกรมฟังก์ชันที่ได้ก็จะมาบรรจบกันอย่างเท่าเทียมกัน ปล่อยให้ในช่วงเวลา [a, b\ ซีรีส์ £ fn(x) มาบรรจบกันกับฟังก์ชัน 5(x) อย่างสม่ำเสมอและฟังก์ชัน d(x) ถูกผูกไว้ นั่นคือ มีค่าคงที่ C > 0 เช่นนั้น ตามคำจำกัดความ ของการบรรจบกันแบบสม่ำเสมอของอนุกรมสำหรับจำนวนใดๆ e > 0 จะมีจำนวน N ในลักษณะที่ว่าสำหรับทุก n > N และสำหรับ x € [a, b] ทั้งหมด ความไม่เท่าเทียมกันจะเป็นที่พอใจ โดยที่ 5n(ar) คือผลรวมบางส่วนของ ซีรีส์ที่กำลังพิจารณาอยู่ เพราะฉะนั้นเราจะมีให้กับทุกคน ซีรีส์นี้มาบรรจบกันใน [a, b|] อย่างสม่ำเสมอ ให้กับฟังก์ชันทฤษฎีบท 3 ให้พจน์ fn(x) ของอนุกรมฟังก์ชันต่อเนื่องกัน และอนุกรมมาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา [a, b\ จากนั้นผลรวม S(x) ของอนุกรมจะต่อเนื่องกันในช่วงเวลานี้ M ขอให้เราเอาจุดสองจุดโดยพลการ gig + ขวานบนส่วน [o, b] เนื่องจากอนุกรมนี้มาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา [a, b] ดังนั้นสำหรับจำนวนใดๆ e > O จะมีจำนวน N = N(e) ในลักษณะที่ว่าสำหรับ i > N ทั้งหมด ความไม่เท่ากันจะเป็นที่น่าพอใจ โดยที่ 5″(g) คือ ผลรวมบางส่วนของอนุกรม fn (x) ผลบวกบางส่วน 5n(x) ต่อเนื่องกันในช่วง [a, 6] โดยเป็นผลบวกของฟังก์ชันจำนวนจำกัด fn(x) ต่อเนื่องกันบน [a, 6) ดังนั้น สำหรับจำนวนคงที่ no > N(e) และจำนวน e ที่กำหนด จะมีจำนวน 6 = 6(e) > 0 โดยที่ Ax ส่วนเพิ่มที่เป็นไปตามเงื่อนไข | ความไม่เท่าเทียมกันจะคงอยู่: ส่วนเพิ่ม AS ของ ผลรวม S(x) สามารถแสดงได้ในรูปแบบต่อไปนี้: จาก เมื่อคำนึงถึงความไม่เท่าเทียมกัน (1) และ (2) สำหรับการเพิ่ม Ax ที่ตรงตามเงื่อนไข | เราจะได้ ซึ่งหมายความว่าผลรวม Six) ต่อเนื่องกันที่จุด x เนื่องจาก x เป็นจุดใดก็ได้ของเซกเมนต์ [a, 6] ดังนั้น 5(x) จึงต่อเนื่องกันบน |a, 6| ความคิดเห็น อนุกรมฟังก์ชันที่มีพจน์ต่อเนื่องกันในช่วง [a, 6) แต่มาบรรจบกันไม่เท่ากันบน (a, 6) สามารถมีฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องเป็นผลรวมได้ ตัวอย่างที่ 1 พิจารณาอนุกรมฟังก์ชันในช่วง |0,1 ). ให้เราคำนวณผลรวมส่วนที่ n ของมัน ดังนั้น มันจึงไม่ต่อเนื่องกันในส่วนนั้น แม้ว่าเงื่อนไขของอนุกรมจะต่อเนื่องกันก็ตาม โดยอาศัยทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว อนุกรมนี้ไม่ได้มาบรรจบกันในกลุ่มนี้อย่างสม่ำเสมอ ตัวอย่างที่ 2 พิจารณาอนุกรมดังที่แสดงไว้ข้างต้น อนุกรมนี้มาบรรจบกันที่ อนุกรมนี้จะมาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอตามการทดสอบของไวเออร์สตราส เนื่องจากอนุกรม 1 และอนุกรมตัวเลขมาบรรจบกัน ดังนั้น สำหรับ x > 1 ใดๆ ผลรวมของอนุกรมนี้จะต่อเนื่องกัน ความคิดเห็น ฟังก์ชันนี้เรียกว่าฟังก์ชันรีมันน์ (ฟังก์ชันนี้มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีจำนวน) ทฤษฎีบท 4 (เกี่ยวกับการบูรณาการอนุกรมฟังก์ชันทีละเทอม) ให้พจน์ fn(x) ของอนุกรมทั้งหมดต่อเนื่องกัน และอนุกรมมาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา [a, b] ถึงฟังก์ชัน S(x) จากนั้นความเท่าเทียมกันก็จะคงอยู่: เนื่องจากความต่อเนื่องของฟังก์ชัน f„(x) และการบรรจบกันที่สม่ำเสมอของอนุกรมนี้ในช่วงเวลา [a, 6] ผลรวมของมันคือ 5(x) จึงเป็นค่าต่อเนื่อง ดังนั้นจึงสามารถปริพันธ์ได้บน ลองพิจารณาความแตกต่าง จากการลู่เข้ากันของอนุกรมบน [o, b] จะได้ว่าสำหรับ e > 0 ใดๆ จะมีจำนวน N(e) > 0 ดังนั้นสำหรับจำนวนทั้งหมด n > N(e) และสำหรับทั้งหมด x € [a, 6] ความไม่เท่าเทียมกันจะเป็นที่น่าพอใจ หากอนุกรม fn(0 ไม่ได้มาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอ ดังนั้น โดยทั่วไปแล้ว อนุกรมนี้ไม่สามารถบูรณาการแบบเทอมต่อเทอมได้ เช่น ทฤษฎีบท 5 (การหาอนุพันธ์ของอนุกรมเชิงฟังก์ชันตามเทอมต่อเทอม) ปล่อยให้เงื่อนไขทั้งหมดของอนุกรมลู่เข้า 00 มีอนุพันธ์ต่อเนื่องและอนุกรมที่ประกอบด้วยอนุพันธ์เหล่านี้มาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา [a, b] จากนั้น ณ จุดใดก็ตามความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง กล่าวคือ อนุกรมนี้สามารถแยกความแตกต่างได้ทีละเทอม เป็นผลรวมของอนุกรมการบรรจบกันที่สม่ำเสมอของอนุกรมฟังก์ชันเหล่านี้ ดังนั้น การสร้างความแตกต่างให้กับความเท่าเทียมกันที่เราได้รับ แบบฝึกหัด ค้นหาพื้นที่ของการลู่เข้าของอนุกรมฟังก์ชันเหล่านี้: ใช้การทดสอบ Weierstrass พิสูจน์การลู่เข้าที่สม่ำเสมอของอนุกรมฟังก์ชันเหล่านี้ในช่วงเวลาที่ระบุ:

– บางทีความซับซ้อนอาจไม่ซับซ้อนนัก;) และชื่อของบทความนี้ก็ไม่ตรงไปตรงมาเช่นกัน - ซีรีส์ที่จะกล่าวถึงในวันนี้ค่อนข้างไม่ซับซ้อน แต่เป็น "โลกที่หายาก" อย่างไรก็ตาม แม้แต่นักเรียนนอกเวลาก็ยังไม่รอดพ้นจากพวกเขา ดังนั้นบทเรียนเพิ่มเติมนี้จึงควรดำเนินการอย่างจริงจังที่สุด หลังจากออกกำลังกายแล้ว คุณจะสามารถจัดการกับ "สัตว์ร้าย" ได้เกือบทุกชนิด!

เริ่มจากคลาสสิกของประเภท:

ตัวอย่างที่ 1

ก่อนอื่น โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่อนุกรมกำลัง (ฉันเตือนคุณว่ามันดูเหมือน)- และประการที่สอง ค่านี้ดึงดูดสายตาทันที ซึ่งเห็นได้ชัดว่าไม่สามารถรวมไว้ในพื้นที่ของการบรรจบกันของซีรีส์ได้ และนี่เป็นความสำเร็จเล็กๆ น้อยๆ ของการศึกษานี้แล้ว!

แต่ถึงกระนั้นจะประสบความสำเร็จได้อย่างไร? ฉันรีบทำให้คุณพอใจ - ซีรีส์ดังกล่าวสามารถแก้ไขได้ในลักษณะเดียวกับ พลัง– ขึ้นอยู่กับสัญลักษณ์ของ d’Alembert หรือสัญลักษณ์ของ Cauchy ที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง!

สารละลาย: ค่าไม่อยู่ในช่วงการบรรจบกันของอนุกรม นี่เป็นข้อเท็จจริงที่สำคัญและต้องสังเกต!

อัลกอริธึมพื้นฐานทำงานเป็นมาตรฐาน เมื่อใช้เกณฑ์ของดาล็องแบร์ ​​เราจะพบช่วงเวลาของการบรรจบกันของอนุกรมนี้:

ซีรีส์นี้มาบรรจบกันที่ ย้ายโมดูลขึ้น:

มาตรวจสอบจุดที่ "ไม่ดี" กันทันที: ค่าจะไม่รวมอยู่ในช่วงของการบรรจบกันของอนุกรม

ให้เราตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรมที่ปลาย "ด้านใน" ของช่วงเวลา:
ถ้าอย่างนั้น
ถ้าอย่างนั้น

อนุกรมตัวเลขทั้งสองต่างกันเพราะว่า สัญญาณของการบรรจบกันที่จำเป็น.

คำตอบ: พื้นที่บรรจบกัน:

เรามาตรวจสอบเชิงวิเคราะห์กันสักหน่อย ลองแทนค่าบางค่าจากช่วงเวลาที่เหมาะสมลงในอนุกรมฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น:
– มาบรรจบกัน สัญลักษณ์ของดาล็องแบร์.

ในกรณีของการแทนที่ค่าจากช่วงเวลาด้านซ้ายจะได้รับอนุกรมมาบรรจบกันด้วย:
ถ้าอย่างนั้น

และสุดท้าย ถ้า ก็คือซีรีส์ – แตกต่างจริงๆ

ตัวอย่างง่ายๆ สองสามตัวอย่างในการอุ่นเครื่อง:

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาพื้นที่ของการบรรจบกันของอนุกรมฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาพื้นที่ของการบรรจบกันของอนุกรมฟังก์ชัน

จัดการกับ "สิ่งใหม่" ได้ดีเป็นพิเศษ โมดูล– มันจะเกิดขึ้น 100,500 ครั้งในวันนี้!

คำตอบและคำตอบสั้น ๆ ในตอนท้ายของบทเรียน

อัลกอริธึมที่ใช้ดูเหมือนจะเป็นสากลและปราศจากปัญหา แต่อันที่จริงแล้วไม่เป็นเช่นนั้น - สำหรับซีรีย์การทำงานหลาย ๆ อันมักจะ "หลุด" และนำไปสู่ข้อสรุปที่ผิดพลาดด้วยซ้ำ (ฉันจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าวด้วย).

ความหยาบเริ่มต้นที่ระดับการตีความผลลัพธ์: พิจารณาตัวอย่างซีรีส์ ที่นี่ในขอบเขตที่เราได้รับ (ตรวจสอบด้วยตัวเอง)และตามทฤษฎีแล้ว คุณต้องให้คำตอบว่าอนุกรมมาบรรจบกันที่จุดเดียว อย่างไรก็ตาม ประเด็นคือ "ถูกเล่นงาน" ซึ่งหมายความว่า "ผู้ป่วย" ของเราแตกแยกไปทุกที่!

และสำหรับซีรีส์นี้ โซลูชัน Cauchy ที่ "ชัดเจน" ไม่ได้ให้อะไรเลย:
– สำหรับค่าใด ๆ ของ “x”

และเกิดคำถามว่าต้องทำอย่างไร? เราใช้วิธีการที่ส่วนหลักของบทเรียนจะทุ่มเท! สามารถกำหนดได้ดังนี้:

การวิเคราะห์ชุดตัวเลขโดยตรงสำหรับค่าต่างๆ

อันที่จริง เราได้เริ่มทำสิ่งนี้ในตัวอย่างที่ 1 แล้ว ขั้นแรก เราจะตรวจสอบ “X” เฉพาะเจาะจงและชุดตัวเลขที่เกี่ยวข้อง มันขอใช้ค่า:
– อนุกรมตัวเลขผลลัพธ์จะแตกต่างออกไป

และสิ่งนี้กระตุ้นให้เกิดความคิดทันที: จะเกิดอะไรขึ้นถ้าสิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นที่จุดอื่น?
มาตรวจสอบกัน สัญญาณที่จำเป็นของการบรรจบกันของซีรีส์สำหรับ โดยพลการความหมาย:

ประเด็นนี้ถูกนำมาพิจารณาข้างต้น สำหรับคนอื่นๆ “X”เราจะจัดให้เป็นมาตรฐาน ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมที่สอง:

บทสรุป: อนุกรมแยกไปตามเส้นจำนวนทั้งหมด

และโซลูชันนี้เป็นตัวเลือกที่ใช้การได้มากที่สุด!

ในทางปฏิบัติ มักจะต้องมีการเปรียบเทียบซีรีย์ฟังก์ชันด้วย อนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไป :

ตัวอย่างที่ 4

สารละลาย: ก่อนอื่นมาจัดการกันก่อน ขอบเขตของคำจำกัดความ: ในกรณีนี้ สำนวนที่รุนแรงต้องเป็นค่าบวกอย่างเคร่งครัด และยิ่งไปกว่านั้น เงื่อนไขทั้งหมดของอนุกรมจะต้องมีอยู่ เริ่มตั้งแต่วันที่ 1 ต่อจากนี้ไปว่า:
- ด้วยค่าเหล่านี้ จะได้อนุกรมแบบมาบรรจบกันแบบมีเงื่อนไข:
ฯลฯ

“x’s” อื่นๆ ไม่เหมาะสม เช่น เมื่อเราได้รับคดีที่ผิดกฎหมายซึ่งไม่มีคำสองคำแรกของชุดข้อมูลนี้

ทั้งหมดนี้เป็นสิ่งที่ดีชัดเจน แต่คำถามที่สำคัญอีกข้อหนึ่งยังคงอยู่ - จะทำการตัดสินใจให้ถูกต้องได้อย่างไร? ฉันเสนอรูปแบบที่สามารถเรียกขานเรียกขานว่า "การแปลลูกศร" เป็นชุดตัวเลข:

ลองพิจารณาดู โดยพลการความหมาย และศึกษาการบรรจบกันของอนุกรมจำนวน กิจวัตรประจำวัน สัญญาณของไลบ์นิซ:

1) ชุดนี้สลับกัน

2) – เงื่อนไขของอนุกรมลดลงในโมดูลัส สมาชิกถัดไปของซีรีส์แต่ละตัวจะมีโมดูโลน้อยกว่าสมาชิกก่อนหน้า: ซึ่งหมายความว่าการลดลงนั้นซ้ำซากจำเจ

บทสรุป: ซีรีส์นี้มาบรรจบกันตามเกณฑ์ของไลบ์นิซ ตามที่ระบุไว้แล้วการบรรจบกันที่นี่มีเงื่อนไข - ด้วยเหตุผลที่ว่าซีรีส์ – แตกต่าง

เช่นนั้น – เรียบร้อยและถูกต้อง! เพราะเบื้องหลัง "อัลฟ่า" เราซ่อนชุดตัวเลขที่อนุญาตไว้อย่างชาญฉลาด

คำตอบ: มีอนุกรมฟังก์ชันอยู่และมาบรรจบกันอย่างมีเงื่อนไขที่

ตัวอย่างที่คล้ายกันสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 5

ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรมเชิงฟังก์ชัน

ตัวอย่างงานมอบหมายสุดท้ายโดยประมาณในตอนท้ายของบทเรียน

มากสำหรับ "สมมติฐานการทำงาน" ของคุณ! – ซีรีย์การทำงานมาบรรจบกันในช่วงเวลา!

2) ด้วยช่วงสมมาตร ทุกอย่างจะโปร่งใส ลองพิจารณาดู โดยพลการค่าและเราได้รับ: – ชุดตัวเลขมาบรรจบกันอย่างแน่นอน

3) และสุดท้ายคือ "คนกลาง" ที่นี่ก็สะดวกในการเน้นสองช่องว่างเช่นกัน

เรากำลังพิจารณา โดยพลการค่าจากช่วงเวลาและเราจะได้ชุดตัวเลข:

- อีกครั้ง - ถ้ามันยาก , แทนที่ตัวเลขเฉพาะ เป็นต้น อย่างไรก็ตาม... คุณต้องการความยากลำบาก =)

เสร็จสิ้นสำหรับทุกค่าของ "en" , วิธี:
- ดังนั้นตาม การเปรียบเทียบซีรีส์นี้มาบรรจบกันพร้อมกับความก้าวหน้าที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

สำหรับค่าทั้งหมดของ “x” จากช่วงเวลาที่เราได้รับ – อนุกรมเลขบรรจบกันอย่างแน่นอน

มีการสำรวจ "X's" ทั้งหมดแล้ว ไม่มี "X's" อีกต่อไป!

คำตอบ: พื้นที่ของการบรรจบกันของซีรีส์:

ต้องบอกว่าผลลัพธ์ที่คาดไม่ถึง! และควรเพิ่มเติมด้วยว่าการใช้สัญลักษณ์ของ d'Alembert หรือ Cauchy ที่นี่จะทำให้เข้าใจผิดอย่างแน่นอน!

การประเมินโดยตรงคือ "การผาดโผน" ของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ แต่แน่นอนว่าสิ่งนี้ต้องใช้ประสบการณ์ และในบางกรณี ต้องใช้สัญชาตญาณด้วยซ้ำ

หรืออาจมีบางคนพบวิธีที่ง่ายกว่านี้? เขียน! อย่างไรก็ตาม มีแบบอย่าง - หลายครั้งที่ผู้อ่านเสนอวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผลมากขึ้นและฉันก็ตีพิมพ์ด้วยความยินดี

ลงจอดสำเร็จ :)

ตัวอย่างที่ 11

ค้นหาพื้นที่ของการบรรจบกันของอนุกรมฟังก์ชัน

เวอร์ชันโซลูชันของฉันใกล้เคียงกันมาก

ฮาร์ดคอร์เพิ่มเติมสามารถพบได้ใน ส่วนที่ 6 (แถว)คอลเลกชันของ Kuznetsov (ปัญหาที่ 11-13)มีวิธีแก้ไขปัญหาสำเร็จรูปบนอินเทอร์เน็ต แต่ฉันต้องการคุณที่นี่ เตือน– ส่วนมากไม่สมบูรณ์ ไม่ถูกต้อง หรือแม้แต่ผิดพลาดโดยสิ้นเชิง และนี่คือสาเหตุหนึ่งที่ทำให้บทความนี้เกิดขึ้น

เรามาสรุปบทเรียนทั้งสามบทและจัดระบบเครื่องมือของเรากัน ดังนั้น:

คุณสามารถใช้การหาช่วงเวลาของการลู่เข้าของชุดฟังก์ชันได้:

1) สัญลักษณ์ของ D'Alembert หรือสัญลักษณ์ของ Cauchy- และถ้าแถวนั้นไม่ ใจเย็น– เราแสดงความระมัดระวังเพิ่มขึ้นเมื่อวิเคราะห์ผลลัพธ์ที่ได้จากการทดแทนค่าต่างๆ โดยตรง

2) การทดสอบไวเออร์สตราสสำหรับการลู่เข้าที่สม่ำเสมอ- อย่าลืม!

3) เปรียบเทียบกับชุดหมายเลขมาตรฐาน- กฎเกณฑ์ในกรณีทั่วไป

แล้ว ตรวจสอบจุดสิ้นสุดของช่วงที่พบ (หากมีความจำเป็น)และเราได้ขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรมนี้

ตอนนี้คุณมีคลังแสงที่ค่อนข้างจริงจังที่จะช่วยให้คุณสามารถรับมือกับงานเฉพาะเรื่องได้เกือบทุกเรื่อง

ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จ!

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2: สารละลาย: ค่าไม่อยู่ในช่วงการบรรจบกันของอนุกรม
เราใช้สัญลักษณ์ดาล็องแบร์:


ซีรีส์นี้มาบรรจบกันที่:

ดังนั้นช่วงเวลาของการบรรจบกันของอนุกรมฟังก์ชัน: .
ให้เราตรวจสอบการบรรจบกันของซีรีส์ที่จุดสิ้นสุด:
ถ้าอย่างนั้น ;
ถ้าอย่างนั้น .
อนุกรมตัวเลขทั้งสองต่างกันเพราะว่า ไม่เป็นไปตามเกณฑ์การลู่เข้าที่จำเป็น

คำตอบ : พื้นที่บรรจบกัน:

4.1. ซีรี่ส์การทำงาน: แนวคิดพื้นฐาน, พื้นที่ของการบรรจบกัน

คำจำกัดความ 1- ซีรีส์ที่มีสมาชิกทำหน้าที่ของหนึ่งหรือ
ตัวแปรอิสระหลายตัวที่กำหนดไว้ในชุดหนึ่งเรียกว่า ช่วงการทำงาน.

พิจารณาอนุกรมฟังก์ชัน ซึ่งมีสมาชิกเป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระตัวเดียว เอ็กซ์- ผลรวมของครั้งแรก nสมาชิกของอนุกรมคือผลรวมบางส่วนของอนุกรมฟังก์ชันที่กำหนด สมาชิกทั่วไป มีฟังก์ชันจาก เอ็กซ์ที่กำหนดไว้ในบางภูมิภาค พิจารณาอนุกรมฟังก์ชัน ณ จุดนั้น - หากเป็นชุดตัวเลขที่สอดคล้องกัน มาบรรจบกันเช่น มีขีดจำกัดสำหรับผลรวมบางส่วนของชุดข้อมูลนี้
(ที่ไหน − ผลรวมของอนุกรมตัวเลข) แล้วจึงเรียกจุดนั้น จุดบรรจบกันช่วงการทำงาน - ถ้าเป็นชุดตัวเลข แตกต่างออกไปแล้วจึงเรียกจุดนั้น จุดแตกต่างช่วงการทำงาน

คำจำกัดความ 2. พื้นที่บรรจบกันช่วงการทำงาน เซตของค่าดังกล่าวทั้งหมดเรียกว่า เอ็กซ์ซึ่งชุดฟังก์ชันมาบรรจบกัน บริเวณบรรจบกันซึ่งประกอบด้วยจุดบรรจบกันทั้งหมดจะแสดงแทน - โปรดทราบว่า ร.

ซีรีส์การทำงานมาบรรจบกันในภูมิภาค ถ้ามี มันมาบรรจบกันเหมือนอนุกรมตัวเลข และผลรวมของมันจะเป็นฟังก์ชันบางอย่าง - นี่คือสิ่งที่เรียกว่า ฟังก์ชั่นจำกัดลำดับ : .

วิธีหาพื้นที่ลู่เข้าหากันของอนุกรมฟังก์ชัน - คุณสามารถใช้ป้ายที่คล้ายกับสัญลักษณ์ของ d'Alembert ได้ สำหรับแถว เขียน และพิจารณาขีดจำกัดสำหรับการแก้ไข เอ็กซ์:
- แล้ว เป็นการแก้ความไม่เท่าเทียมกัน และการแก้สมการ (เราใช้เฉพาะคำตอบของสมการเหล่านั้นเท่านั้น
ซึ่งชุดตัวเลขที่สอดคล้องกันมาบรรจบกัน)

ตัวอย่างที่ 1- หาพื้นที่บรรจบกันของอนุกรม

สารละลาย- มาแสดงกันเถอะ , - มาเขียนและคำนวณขีดจำกัดกัน
จากนั้นขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรมจะถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกัน และสมการ - ให้เราตรวจสอบเพิ่มเติมเกี่ยวกับการบรรจบกันของอนุกรมดั้งเดิมที่จุดที่เป็นรากของสมการ:

และถ้า , แล้วเราจะได้ซีรีย์ที่แตกต่าง ;

ข) ถ้า , แล้วก็ซีรีย์ มาบรรจบกันอย่างมีเงื่อนไข (โดย

เกณฑ์ของไลบ์นิซ ตัวอย่างที่ 1 การบรรยายที่ 3 หัวข้อ 3.1)

ดังนั้นพื้นที่แห่งการบรรจบกัน ซีรีส์ดูเหมือน: .

4.2. อนุกรมกำลัง: แนวคิดพื้นฐาน ทฤษฎีบทของอาเบล

ให้เราพิจารณากรณีพิเศษของซีรีย์การทำงานที่เรียกว่า ซีรีย์พาวเวอร์ , ที่ไหน
.

คำจำกัดความ 3. ซีรีย์พาวเวอร์เรียกว่าอนุกรมฟังก์ชันของแบบฟอร์ม

ที่ไหน - เรียกตัวเลขคงที่ ค่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรม.

อนุกรมกำลังคือ “พหุนามอนันต์” ที่จัดเรียงด้วยกำลังที่เพิ่มขึ้น - ชุดตัวเลขใดๆ เป็น
เป็นกรณีพิเศษของซีรีย์กำลังสำหรับ .

ให้เราพิจารณากรณีพิเศษของอนุกรมกำลังสำหรับ :
- เรามาดูกันดีกว่าว่าเป็นประเภทไหน
ภูมิภาคมาบรรจบกันของซีรีส์นี้ .

ทฤษฎีบทที่ 1 (ทฤษฎีบทของอาเบล)- 1) ถ้าเป็นอนุกรมกำลัง มาบรรจบกัน ณ จุดหนึ่ง แล้วมันจะมาบรรจบกันเพื่อสิ่งใดสิ่งหนึ่งอย่างแน่นอน เอ็กซ์ซึ่งความไม่เท่าเทียมกันถืออยู่ .

2) ถ้าอนุกรมกำลังต่างกันที่ แล้วมันจะแตกต่างกันไปสำหรับสิ่งใดๆ เอ็กซ์, ซึ่ง .

การพิสูจน์- 1) โดยเงื่อนไข อนุกรมกำลังมาบรรจบกันที่จุดนั้น ,

นั่นคืออนุกรมตัวเลขมาบรรจบกัน

(1)

และตามเกณฑ์ที่จำเป็นของการลู่เข้า คำทั่วไปของมันมีแนวโน้มเป็น 0 เช่น - จึงมีตัวเลขดังกล่าว ว่าสมาชิกทั้งหมดของซีรีส์ถูกจำกัดด้วยหมายเลขนี้:
.

ให้เราพิจารณาสิ่งใด ๆ เอ็กซ์, ซึ่ง และสร้างชุดค่าสัมบูรณ์: .
มาเขียนซีรี่ส์นี้ในรูปแบบอื่น: ตั้งแต่ จากนั้น (2)

จากความไม่เท่าเทียมกัน
เราได้รับนั่นคือ แถว

ประกอบด้วยพจน์ที่มากกว่าพจน์ที่สอดคล้องกันของอนุกรม (2) แถว แสดงถึงชุดการบรรจบกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน , และ , เพราะ - ดังนั้นซีรีส์ (2) มาบรรจบกันที่ - ดังนั้นอนุกรมกำลัง ตรงกันอย่างยิ่ง

2) ปล่อยให้ซีรีส์ แตกต่างที่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง

อนุกรมตัวเลขแตกต่างออกไป - ให้เราพิสูจน์สิ่งนั้นเพื่อสิ่งใดก็ตาม เอ็กซ์ () ซีรีส์มีความแตกต่างกัน หลักฐานมีความขัดแย้ง ปล่อยให้บ้าง

ที่ตายตัว ( ) ซีรีส์มาบรรจบกัน จากนั้นก็มาบรรจบกันสำหรับทุกคน (ดูส่วนแรกของทฤษฎีบทนี้) โดยเฉพาะเมื่อใด ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไข 2) ของทฤษฎีบทที่ 1 ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ผลที่ตามมา- ทฤษฎีบทของอาเบลช่วยให้เราสามารถตัดสินตำแหน่งของจุดบรรจบกันของอนุกรมกำลังได้ ถ้าตรงประเด็น คือจุดบรรจบกันของอนุกรมกำลัง จากนั้นจึงเป็นช่วง เต็มไปด้วยจุดบรรจบกัน ถ้าจุดแตกต่างคือจุด , ที่
ช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุด เต็มไปด้วยจุดแตกต่าง (รูปที่ 1)

ข้าว. 1. ช่วงเวลาของการบรรจบกันและความแตกต่างของอนุกรม

แสดงว่ามีจำนวนดังกล่าว ว่าต่อหน้าทุกคน
ซีรีย์พาวเวอร์ มาบรรจบกันอย่างแน่นอนและเมื่อใด − แตกต่างออกไป เราจะสมมติว่าหากอนุกรมมาบรรจบกันที่จุด 0 เพียงจุดเดียว และหากซีรีส์มาบรรจบกันเพื่อทุกคน , ที่ .

คำจำกัดความที่ 4. ช่วงการบรรจบกันซีรีย์พาวเวอร์ ช่วงเวลาดังกล่าวเรียกว่า ว่าต่อหน้าทุกคน ซีรีส์นี้มาบรรจบกันและยิ่งกว่านั้นอย่างแน่นอนและเพื่อทุกคน เอ็กซ์ซึ่งอยู่นอกช่วงเวลานี้ ซีรีส์จะแยกออกไป ตัวเลข รเรียกว่า รัศมีของการบรรจบกันซีรีย์พาวเวอร์

ความคิดเห็น- เมื่อสิ้นสุดช่วงเวลา คำถามเกี่ยวกับการบรรจบกันหรือความแตกต่างของอนุกรมกำลังจะได้รับการแก้ไขแยกกันสำหรับแต่ละซีรีส์เฉพาะ

ให้เราแสดงวิธีหนึ่งในการกำหนดช่วงเวลาและรัศมีของการบรรจบกันของอนุกรมกำลัง

พิจารณาอนุกรมกำลัง และแสดงถึง .

มาสร้างชุดค่าสัมบูรณ์ของสมาชิกกัน:

และใช้การทดสอบของดาล็องแบร์กับมัน

ให้มันมีอยู่

.

จากการทดสอบของดาล็องแบร์ ​​อนุกรมหนึ่งมาบรรจบกันถ้า และแตกต่างถ้า - ดังนั้นอนุกรมมาบรรจบกันที่ ดังนั้นช่วงของการลู่เข้าคือ: - เมื่อซีรีย์แตกต่างตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา .
การใช้สัญกรณ์ เราได้รับสูตรสำหรับกำหนดรัศมีของการบรรจบกันของอนุกรมกำลัง:

,

ที่ไหน - ค่าสัมประสิทธิ์อนุกรมกำลัง

หากปรากฏว่าถึงขีดจำกัดแล้ว แล้วเราก็ถือว่า .

ในการกำหนดช่วงเวลาและรัศมีของการบรรจบกันของอนุกรมกำลัง คุณสามารถใช้การทดสอบ Cauchy แบบรากได้ โดยรัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมจะพิจารณาจากความสัมพันธ์ .

คำจำกัดความที่ 5. อนุกรมกำลังทั่วไปเรียกว่าอนุกรมของแบบฟอร์ม

- เรียกอีกอย่างว่าอนุกรมกำลัง .
สำหรับอนุกรมดังกล่าว ช่วงการลู่เข้าจะมีรูปแบบดังนี้ , ที่ไหน - รัศมีของการบรรจบกัน

ให้เราแสดงวิธีค้นหารัศมีของการบรรจบกันของอนุกรมกำลังทั่วไป

เหล่านั้น. , ที่ไหน .

ถ้า , ที่ และภูมิภาคบรรจบกัน ร; ถ้า , ที่ และภูมิภาคบรรจบกัน .

ตัวอย่างที่ 2- หาพื้นที่บรรจบกันของอนุกรม .

สารละลาย- มาแสดงกันเถอะ - มาสร้างขีดจำกัดกันเถอะ

การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน: , ดังนั้นช่วงเวลา

การบรรจบกันมีรูปแบบ: , และ ร= 5 นอกจากนี้ เรายังตรวจสอบจุดสิ้นสุดของช่วงลู่เข้า:
ก) , เราได้รับซีรีส์ ซึ่งแตกต่าง;
ข) , เราได้รับซีรีส์ ซึ่งมาบรรจบกัน
ตามเงื่อนไข ดังนั้นพื้นที่บรรจบกันคือ: , .

คำตอบ:ภูมิภาคบรรจบกัน .

ตัวอย่างที่ 3แถว แตกต่างกันสำหรับทุกคน , เพราะ ที่ , รัศมีของการบรรจบกัน .

ตัวอย่างที่ 4อนุกรมนี้มาบรรจบกันสำหรับ R ทั้งหมด ซึ่งเป็นรัศมีของการลู่เข้า .

ลูคอฟ ยู.พี. บันทึกการบรรยายเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ชั้นสูง บรรยายครั้งที่ 42 5

บทที่ 42

เรื่อง: ซีรีย์ฟังก์ชั่น

วางแผน.

1. ซีรีย์ฟังก์ชั่น พื้นที่บรรจบกัน
2. การบรรจบกันที่สม่ำเสมอ ป้ายไวเออร์สตราส
3. คุณสมบัติของอนุกรมลู่เข้าสม่ำเสมอ: ความต่อเนื่องของผลรวมของอนุกรม การอินทิเกรตแบบเทอมต่อเทอม และการหาอนุพันธ์
4. ซีรีย์พาวเวอร์ ทฤษฎีบทของอาเบล ขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรมกำลัง รัศมีของการบรรจบกัน
5. คุณสมบัติพื้นฐานของอนุกรมกำลัง: การลู่เข้าสม่ำเสมอ ความต่อเนื่อง และความสามารถในการหาผลต่างอนันต์ของผลรวม การบูรณาการแบบระยะต่อเทอมและการแยกอนุกรมกำลัง

ซีรีย์ฟังก์ชั่น ภูมิภาคบรรจบกัน

คำนิยาม 40.1 จำนวนฟังก์ชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด

คุณ 1 (x) + คุณ 2 (x) +…+ คุณ n (x) +…, (40.1)

โดยที่ u n (x) = f (x, n) ถูกเรียก ช่วงการทำงาน.

หากคุณระบุค่าตัวเลขเฉพาะเอ็กซ์ อนุกรม (40.1) จะกลายเป็นอนุกรมตัวเลข และขึ้นอยู่กับการเลือกค่าเอ็กซ์ ซีรีส์ดังกล่าวสามารถมาบรรจบกันหรือแยกออกได้ อนุกรมแบบลู่เข้าเท่านั้นที่มีคุณค่าในทางปฏิบัติ ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องกำหนดค่าเหล่านั้นเอ็กซ์ ซึ่งอนุกรมฟังก์ชันจะกลายเป็นอนุกรมตัวเลขมาบรรจบกัน

คำนิยาม 40.2 ความหมายหลายประการเอ็กซ์ เมื่อแทนที่พวกมันลงในอนุกรมฟังก์ชัน (40.1) จะได้อนุกรมตัวเลขมาบรรจบกันเรียกว่าพื้นที่ของการบรรจบกันช่วงการทำงาน

คำนิยาม 40.3 ฟังก์ชัน s(x) กำหนดไว้ในขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรมซึ่งสำหรับแต่ละค่าเอ็กซ์ จากขอบเขตการบรรจบกันจะเท่ากับผลรวมของชุดตัวเลขที่สอดคล้องกันที่ได้รับจาก (40.1) สำหรับค่าที่กำหนด x เรียกว่า ผลรวมของอนุกรมฟังก์ชัน.

ตัวอย่าง. ให้เราค้นหาขอบเขตของการบรรจบกันและผลรวมของอนุกรมฟังก์ชัน

1 + x + x² +…+ xn +…

เมื่อ | x - ≥ 1 ดังนั้นชุดตัวเลขที่สอดคล้องกันจึงแยกออก ถ้า

- x | < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вычисляемую по формуле:

ดังนั้น ช่วงของการบรรจบกันของอนุกรมคือช่วง (-1, 1) และผลรวมของอนุกรมจะมีรูปแบบที่ระบุ

ความคิดเห็น - เช่นเดียวกับอนุกรมตัวเลข คุณสามารถแนะนำแนวคิดเรื่องผลรวมบางส่วนของอนุกรมฟังก์ชันได้:

sn = 1 + x + x² +…+ xn

และส่วนที่เหลือของอนุกรม: r n = s s n

การบรรจบกันที่สม่ำเสมอของซีรีย์เชิงฟังก์ชัน

ก่อนอื่น ให้เรานิยามแนวคิดเรื่องการลู่เข้ากันของลำดับตัวเลขกันก่อน

คำนิยาม 40.4 ลำดับการทำงานเรียกว่า fn(x) มาบรรจบกันเป็นฟังก์ชันอย่างสม่ำเสมอ f บนเซต X ถ้า และ

หมายเหตุ 1. เราจะแสดงถึงการลู่เข้าตามปกติของลำดับฟังก์ชันและการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอโดย

โน้ต 2 - ให้เราทราบอีกครั้งถึงความแตกต่างพื้นฐานระหว่างการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอและการลู่เข้าแบบธรรมดา: ในกรณีของการลู่เข้าแบบธรรมดา สำหรับค่าที่เลือกเป็น ε สำหรับแต่ละค่าจะมีหมายเลขของคุณ N ซึ่งที่ n>เอ็น ความไม่เท่าเทียมกันถือเป็น:

ในกรณีนี้ อาจกลายเป็นว่าสำหรับ ε ที่กำหนด จะเป็นจำนวนทั่วไปยังไม่มีข้อความ สร้างความมั่นใจในการตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันนี้สำหรับใครก็ตามเอ็กซ์ , เป็นไปไม่ได้. ในกรณีของการบรรจบกันสม่ำเสมอจำนวนดังกล่าว N ซึ่งเหมือนกันกับ x ทั้งหมดมีอยู่จริง

ตอนนี้ให้เรากำหนดแนวคิดของการลู่เข้าที่สม่ำเสมอของอนุกรมฟังก์ชัน เนื่องจากแต่ละอนุกรมสอดคล้องกับลำดับของผลรวมบางส่วน การลู่เข้าสม่ำเสมอของอนุกรมจึงถูกกำหนดผ่านการลู่เข้าสม่ำเสมอของลำดับนี้:

คำจำกัดความ 40.5 ซีรีส์ฟังก์ชันนี้เรียกว่าบรรจบกันอย่างเท่าเทียมกันบนเซต X ถ้าอยู่บน X ลำดับของผลรวมบางส่วนมาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอ

ป้ายไวเออร์สตราส

ทฤษฎีบท 40.1 หากชุดตัวเลขมาบรรจบกันสำหรับทั้งทุกคนและทุกคนน= 1, 2,... เมื่อความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ จากนั้นซีรีส์ก็จะมาบรรจบกันในฉากอย่างแน่นอนและสม่ำเสมอเอ็กซ์

การพิสูจน์.

สำหรับ ε > 0 วินาทีใดๆ มีจำนวนดังกล่าวเอ็นซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไม

สำหรับส่วนที่เหลือ rn ซีรีส์การประมาณการมีความยุติธรรม

ดังนั้นซีรีส์จึงมาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอ

ความคิดเห็น ขั้นตอนการเลือกชุดตัวเลขที่ตรงตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท 40.1 มักเรียกว่าสาขาวิชาใหญ่ และแถวนี้เองวิชาเอก สำหรับช่วงการทำงานที่กำหนด

ตัวอย่าง. สำหรับอนุกรมเชิงฟังก์ชันที่สำคัญสำหรับค่าใดๆเอ็กซ์ เป็นอนุกรมลู่เข้าที่มีเครื่องหมายบวก ดังนั้นซีรีส์ดั้งเดิมจึงมาบรรจบกันที่ (-∞, +∞) อย่างสม่ำเสมอ

คุณสมบัติของอนุกรมลู่เข้าสม่ำเสมอ

ทฤษฎีบท 40.2 ถ้าฟังก์ชั่น คุณ n (x) มีความต่อเนื่องที่ และอนุกรมมาบรรจบกันอย่างเท่าเทียมกัน X แล้วผลรวมของมันคือ s (x) ก็ต่อเนื่องกัน ณ จุดหนึ่งเช่นกัน x 0 .

การพิสูจน์.

ให้เราเลือก ε > 0 ดังนั้นจึงมีตัวเลขดังกล่าวไม่มี 0 อันนั้น

- ผลรวมของฟังก์ชันต่อเนื่องจำนวนจำกัด ดังนั้นอย่างต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง x 0 . ดังนั้นจึงมี δ > 0 เช่นนั้นจากนั้นเราจะได้รับ:

นั่นคือฟังก์ชัน s (x) มีความต่อเนื่องที่ x = x 0

ทฤษฎีบท 40.3 ปล่อยให้ฟังก์ชันของคุณ n (x) ต่อเนื่องกันในช่วงเวลา [ก, ข ] และซีรีส์นี้มาบรรจบกันในส่วนนี้อย่างสม่ำเสมอ จากนั้นซีรีส์นี้ก็จะมาบรรจบกันที่ [ก , ข ] และ (40.2)

(นั่นคือ ภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบท อนุกรมสามารถบูรณาการได้ทีละเทอม)

การพิสูจน์.

โดยทฤษฎีบท 40.2 ฟังก์ชัน s(x) = ต่อเนื่องบน [a, b ] และดังนั้นจึงสามารถอินทิกรัลกับมันได้ กล่าวคือ มีอินทิกรัลทางด้านซ้ายของความเสมอภาค (40.2) อยู่ ให้เราแสดงให้เห็นว่าซีรีส์นี้มาบรรจบกับฟังก์ชันอย่างสม่ำเสมอ

มาแสดงกันเถอะ

ดังนั้นสำหรับ ε ใดๆ จะมีจำนวนดังกล่าว N ซึ่งสำหรับ n > N

ซึ่งหมายความว่าอนุกรมมาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอ และผลรวมเท่ากับ σ ( x) = .

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 40.4 ปล่อยให้ฟังก์ชันของคุณ n (x) สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องในช่วงเวลา [ก, ข ] และอนุกรมที่ประกอบด้วยอนุพันธ์ของพวกมัน:

(40.3)

มาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอบน [ก, ข - จากนั้น หากอนุกรมมาบรรจบกันที่จุดหนึ่งเป็นอย่างน้อย ก็จะมาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอตลอด [ a , b ] ผลรวมของมันคือ s (x )= เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องและ

(ซีรีส์สามารถแยกความแตกต่างได้ทีละเทอม)

การพิสูจน์.

ให้เรานิยามฟังก์ชัน σ(เอ็กซ์ ) ยังไง. ตามทฤษฎีบท 40.3 อนุกรม (40.3) สามารถบูรณาการได้ทีละเทอม:

อนุกรมทางด้านขวาของความเสมอภาคนี้มาบรรจบกันบน [ก, ข ] โดยทฤษฎีบท 40.3 แต่ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท อนุกรมจำนวนมาบรรจบกัน ดังนั้นอนุกรมจึงมาบรรจบกันสม่ำเสมอ จากนั้นฟังก์ชัน σ(ที ) คือผลรวมของอนุกรมฟังก์ชันต่อเนื่องที่มาบรรจบกันสม่ำเสมอบน [ก, ข ] และด้วยเหตุนี้เองจึงต่อเนื่องกัน จากนั้นฟังก์ชันจะสามารถสร้างอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องบน [ก, ข ] และนั่นคือสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

คำนิยาม 41.1 ซีรีย์พาวเวอร์ เรียกว่าอนุกรมฟังก์ชันของฟอร์ม

(41.1)

ความคิดเห็น โดยใช้การทดแทน x x 0 = เสื้อ อนุกรม (41.1) สามารถลดให้อยู่ในรูปได้ จึงเพียงพอที่จะพิสูจน์คุณสมบัติทั้งหมดของอนุกรมกำลังสำหรับอนุกรมของแบบฟอร์มได้

(41.2)

ทฤษฎีบท 41.1 (ทฤษฎีบทที่ 1 ของอาเบล)ถ้าอนุกรมกำลัง (41.2) มาบรรจบกันที่ x = x 0 ดังนั้นสำหรับ x ใดๆ: | x |< | x 0 | ซีรีส์ (41.2) มาบรรจบกันอย่างแน่นอน หากซีรีย์ (41.2) แตกต่างที่ x = x 0, แล้วมันก็แตกต่างกันไปสำหรับสิ่งใดสิ่งหนึ่ง x: | x | - x 0 |.

การพิสูจน์.

หากอนุกรมมาบรรจบกันก็จะมีค่าคงที่ค > 0:

ด้วยเหตุนี้และซีรีส์สำหรับ | x |<| x 0 - มาบรรจบกันเพราะมันเป็นผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ซึ่งหมายความว่าซีรีส์ที่ | x |<| x 0 - ตรงกันอย่างยิ่ง

หากทราบว่าซีรีย์ (41.2) แตกต่างที่ x = x 0 จึงไม่สามารถมาบรรจบกันที่ | x | - x 0 | - เพราะจากที่พิสูจน์มาแล้วก็จะตามมาว่ามาบรรจบกันที่จุดนั้น x 0 .

ดังนั้นหากคุณพบจำนวนที่มากที่สุด x 0 > 0 ซึ่ง (41.2) มาบรรจบกัน x = x 0, จากนั้นขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรมนี้ตามทฤษฎีบทของอาเบลจะเป็นช่วง (- x 0, x 0 ) อาจรวมถึงขอบเขตหนึ่งหรือทั้งสองขอบเขต

คำนิยาม 41.2 เรียกหมายเลข R ≥ 0 รัศมีของการบรรจบกันอนุกรมกำลัง (41.2) หากอนุกรมนี้มาบรรจบกันและแยกออก ช่วงเวลา (- R, R) เรียกว่า ช่วงเวลาการบรรจบกันซีรีส์ (41.2)

ตัวอย่าง.

1. เพื่อศึกษาการลู่เข้าสัมบูรณ์ของอนุกรม เราใช้การทดสอบดาล็องแบร์: ดังนั้นซีรีส์จะมาบรรจบกันก็ต่อเมื่อเอ็กซ์ = 0 และรัศมีของการบรรจบกันคือ 0:ร = 0
2. เมื่อใช้การทดสอบดาล็องแบร์แบบเดียวกัน เราสามารถแสดงได้ว่าอนุกรมมาบรรจบกันสำหรับสิ่งใดสิ่งหนึ่ง x นั่นคือ
3. สำหรับซีรีส์ที่ใช้เกณฑ์ของ d'Alembert เราได้รับ:

ดังนั้น สำหรับ 1< x < 1 ряд сходится, при

x< -1 и x > 1 แตกต่าง ที่เอ็กซ์ = 1 เราได้อนุกรมฮาร์มอนิกซึ่งตามที่ทราบกันดีว่าแตกต่างและเมื่อใดเอ็กซ์ = -1 อนุกรมมาบรรจบกันอย่างมีเงื่อนไขตามเกณฑ์ของไลบ์นิซ ดังนั้นรัศมีของการบรรจบกันของอนุกรมที่อยู่ระหว่างการพิจารณาร = 1 และช่วงลู่เข้าคือ [-1, 1)

สูตรหารัศมีการบรรจบกันของอนุกรมกำลัง

1. สูตรของดาล็องแบร์

ลองพิจารณาอนุกรมกำลังแล้วใช้เกณฑ์ของดาล็องแบร์: เพื่อให้อนุกรมมาบรรจบกัน จำเป็นต้องมีสิ่งนั้น ถ้ามีอยู่ พื้นที่ของการบรรจบกันจะถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกัน นั่นคือ

- (41.3)

• สูตรของดาล็องแบร์เพื่อคำนวณรัศมีของการบรรจบกัน

1. สูตรคอชี-ฮาดามาร์ด

เมื่อใช้การทดสอบคอชีแบบรุนแรงและการให้เหตุผลในลักษณะเดียวกัน เราพบว่าเราสามารถกำหนดขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรมกำลังเป็นชุดของคำตอบของอสมการได้ ขึ้นอยู่กับการมีอยู่ของขีดจำกัดนี้ และด้วยเหตุนี้ จึงค้นหาสูตรอื่นได้ สำหรับรัศมีของการบรรจบกัน:

(41.4)

• สูตรคอชี่-ฮาดามาร์ด.

คุณสมบัติของอนุกรมกำลัง

ทฤษฎีบท 41.2 (ทฤษฎีบทที่ 2 ของอาเบล)ถ้าร รัศมีการบรรจบกันของอนุกรม (41.2) และอนุกรมนี้มาบรรจบกันที่ x = อาร์ จากนั้นจะมาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา (-อาร์, อาร์)

การพิสูจน์.

อนุกรมเชิงบวกมาบรรจบกันโดยทฤษฎีบท 41.1 ดังนั้น อนุกรม (41.2) มาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในช่วง [-ρ, ρ] ตามทฤษฎีบท 40.1 จากการเลือก ρ จะตามมาว่าช่วงของการลู่เข้าสม่ำเสมอ (-อาร์ อาร์ ) ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

ข้อพิสูจน์ 1 - บนส่วนใดๆ ที่อยู่ภายในช่วงของการบรรจบกันทั้งหมด ผลรวมของอนุกรม (41.2) จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

การพิสูจน์.

เงื่อนไขของอนุกรม (41.2) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และอนุกรมมาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลาที่พิจารณา จากนั้นความต่อเนื่องของผลรวมจะตามมาจากทฤษฎีบท 40.2

ข้อพิสูจน์ 2. หากขีดจำกัดของการรวม α, β อยู่ภายในช่วงของการลู่เข้าของอนุกรมกำลัง ดังนั้นอินทิกรัลของผลรวมของอนุกรมจะเท่ากับผลรวมของปริพันธ์ของเงื่อนไขของอนุกรม:

(41.5)

การพิสูจน์ข้อความนี้เป็นไปตามทฤษฎีบท 40.3

ทฤษฎีบท 41.3 ถ้าอนุกรม (41.2) มีช่วงลู่เข้า (- R, R) แล้วก็อนุกรม

φ (x) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x ² +…+ na n x n- 1 +…, (41.6)

ได้มาจากการแยกอนุกรมแบบทีละเทอม (41.2) มีช่วงเวลาของการบรรจบกันเท่ากัน (-อาร์, อาร์) โดยที่

φ΄(x) = s΄ (x) สำหรับ | x |< R , (41.7)

นั่นคือ ภายในช่วงของการลู่เข้า อนุพันธ์ของผลรวมของอนุกรมกำลังจะเท่ากับผลรวมของอนุกรมที่ได้จากการหาอนุพันธ์แบบทีละเทอม

การพิสูจน์.

ลองเลือก ρ: 0< ρ < R и ζ: ρ < ζ < R - จากนั้นซีรีส์ก็จะมาบรรจบกัน นั่นคือ ถ้า- x | ≤ ρ แล้ว

โดยที่ เงื่อนไขของอนุกรม (41.6) มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าเงื่อนไขของอนุกรมเครื่องหมายบวก ซึ่งมาบรรจบกันตามเกณฑ์ของดาล็องแบร์:

นั่นคือ มันเป็นคีย์หลักสำหรับซีรีส์ (41.6) สำหรับ ดังนั้น ซีรีส์ (41.6) มาบรรจบกันบน [-ρ, ρ] อย่างสม่ำเสมอ ดังนั้นตามทฤษฎีบท 40.4 ความเท่าเทียมกัน (41.7) จึงเป็นจริง จากการเลือก ρ จะเป็นไปตามนั้นอนุกรม (41.6) มาบรรจบกันที่จุดภายในใดๆ ของช่วง (-อาร์, อาร์)

ให้เราพิสูจน์ว่านอกอนุกรมช่วงนี้ (41.6) ลู่ออก แท้จริงแล้วถ้ามันมาบรรจบกันที่ x 1 > อาร์ จากนั้นจึงรวมมันทีละเทอมในช่วงเวลา (0, x 2 ), ร< x 2 < x 1 เราจะได้อนุกรมนั้น (41.2) มาบรรจบกันที่จุดนั้น x2 ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขของทฤษฎีบท ดังนั้นทฤษฎีบทนี้จึงได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์แล้ว

ความคิดเห็น - ในทางกลับกัน อนุกรม (41.6) สามารถแยกความแตกต่างได้ทีละเทอม และการดำเนินการนี้สามารถทำได้หลายครั้งตามต้องการ

บทสรุป: ถ้าอนุกรมกำลังมาบรรจบกันในช่วงเวลา (-อาร์ อาร์ ) จากนั้นผลรวมของมันคือฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ของลำดับใดๆ ภายในช่วงลู่เข้า ซึ่งแต่ละลำดับคือผลรวมของอนุกรมที่ได้รับจากลำดับดั้งเดิมโดยใช้การสร้างความแตกต่างแบบเทอมต่อเทอมด้วยจำนวนครั้งที่สอดคล้องกัน นอกจากนี้ ช่วงการบรรจบกันของชุดอนุพันธ์ของลำดับใดๆ คือ (-อาร์, อาร์)

ภาควิชาสารสนเทศและคณิตศาสตร์ขั้นสูง KSPU