வெவ்வேறு சக்திகளுடன் இரண்டு எண்களை எவ்வாறு பெருக்குவது. சக்திகள் மற்றும் வேர்களின் சூத்திரங்கள். வழக்கமான சிக்கல்களைத் தொடர்ந்து தீர்ப்பது

வெளிப்படையாக, சக்திகளைக் கொண்ட எண்கள் மற்ற அளவுகளைப் போலவே சேர்க்கப்படலாம் , அவற்றின் அடையாளங்களுடன் அவற்றை ஒவ்வொன்றாகச் சேர்ப்பதன் மூலம்.

எனவே, a 3 மற்றும் b 2 இன் கூட்டுத்தொகை ஒரு 3 + b 2 ஆகும்.
ஒரு 3 - b n மற்றும் h 5 -d 4 ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை 3 - b n + h 5 - d 4 ஆகும்.

முரண்பாடுகள் அதே மாறிகளின் அதே சக்திகள்சேர்க்கலாம் அல்லது கழிக்கலாம்.

எனவே, 2a 2 மற்றும் 3a 2 ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை 5a 2 ஆகும்.

இரண்டு சதுரங்கள் a, அல்லது மூன்று சதுரங்கள் a, அல்லது ஐந்து சதுரங்கள் a என எடுத்துக் கொண்டால் அதுவும் வெளிப்படை.

ஆனால் பட்டங்கள் பல்வேறு மாறிகள்மற்றும் பல்வேறு பட்டங்கள் ஒரே மாதிரியான மாறிகள், அவற்றின் அடையாளங்களுடன் அவற்றைச் சேர்ப்பதன் மூலம் சேர்க்கப்பட வேண்டும்.

எனவே, 2 மற்றும் ஒரு 3 இன் கூட்டுத்தொகை 2 + a 3 இன் கூட்டுத்தொகையாகும்.

a இன் சதுரமும் a இன் கனசதுரமும் a இன் சதுரத்தின் இரண்டு மடங்கு அல்ல, ஆனால் a இன் கனசதுரத்தின் இரண்டு மடங்கு என்பது வெளிப்படையானது.

ஒரு 3 b n மற்றும் 3a 5 b 6 ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை 3 b n + 3a 5 b 6 ஆகும்.

கழித்தல்சப்ட்ராஹெண்டின் அறிகுறிகள் அதற்கேற்ப மாற்றப்பட வேண்டும் என்பதைத் தவிர, அதிகாரங்கள் கூடுதலாக அதே வழியில் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன.

அல்லது:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

சக்தி பெருக்கம்

அதிகாரங்களைக் கொண்ட எண்களை ஒன்றன் பின் ஒன்றாக எழுதுவதன் மூலம் மற்ற அளவுகளைப் போலவே பெருக்க முடியும், அவற்றுக்கிடையே உள்ள பெருக்கல் குறியுடன் அல்லது இல்லாமல்.

எனவே, a 3 ஐ b 2 ஆல் பெருக்குவதன் விளைவாக 3 b 2 அல்லது aaabb ஆகும்.

அல்லது:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

கடைசி எடுத்துக்காட்டில் உள்ள முடிவை அதே மாறிகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் ஆர்டர் செய்யலாம்.
வெளிப்பாடு வடிவம் எடுக்கும்: a 5 b 5 y 3 .

பல எண்களை (மாறிகள்) சக்திகளுடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம், அவற்றில் ஏதேனும் இரண்டை பெருக்கினால், அதன் விளைவாக ஒரு எண் (மாறி) சக்தியுடன் சமமாக இருப்பதைக் காணலாம். தொகைவிதிமுறைகளின் அளவுகள்.

எனவே, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

இங்கே 5 என்பது பெருக்கல் முடிவின் சக்தி, 2 + 3 க்கு சமம், விதிமுறைகளின் அதிகாரங்களின் கூட்டுத்தொகை.

எனவே, a n .a m = a m+n .

ஒரு n க்கு, n இன் சக்தி எத்தனை முறை இருக்கிறதோ, அந்த அளவுக்கு ஒரு காரணியாக a எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது;

மற்றும் ஒரு m , பட்டம் m க்கு சமமான பல மடங்கு காரணியாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது;

அதனால் தான், அதே தளங்களைக் கொண்ட சக்திகளை அடுக்குகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் பெருக்கலாம்.

எனவே, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . மற்றும் x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

அல்லது:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

பெருக்கவும் (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
பதில்: x 4 - y 4.
பெருக்கவும் (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

இந்த விதி அதிர்வெண்களைக் கொண்ட எண்களுக்கும் பொருந்தும் - எதிர்மறை.

1. எனவே, a -2 .a -3 = a -5 . இதை (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa என எழுதலாம்.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

a + b ஐ a - b ஆல் பெருக்கினால், முடிவு 2 - b 2 ஆக இருக்கும்: அதாவது

இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டைப் பெருக்குவதன் முடிவு தொகைக்கு சமம்அல்லது அவற்றின் சதுரங்களின் வேறுபாடு.

இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டை உயர்த்தினால் சதுரம், முடிவு இந்த எண்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும் நான்காவதுபட்டம்.

எனவே, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

அதிகாரப் பிரிவு

அதிகாரங்களைக் கொண்ட எண்களை மற்ற எண்களைப் போல் வகுப்பியிலிருந்து கழிப்பதன் மூலமாகவோ அல்லது பின்னம் வடிவில் வைப்பதன் மூலமாகவோ வகுக்க முடியும்.

எனவே a 3 b 2 ஐ b 2 ஆல் வகுத்தல் a 3 ஆகும்.

அல்லது:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால் $\frac(a^5)(a^3)$ போல் தெரிகிறது. ஆனால் இது 2 க்கு சமம். எண்களின் வரிசையில்
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
எந்த எண்ணையும் மற்றொன்றால் வகுக்க முடியும், மேலும் அடுக்கு சமமாக இருக்கும் வேறுபாடுவகுக்கக்கூடிய எண்களின் குறிகாட்டிகள்.

ஒரே அடித்தளத்துடன் அதிகாரங்களைப் பிரிக்கும்போது, ​​அவற்றின் அடுக்குகள் கழிக்கப்படுகின்றன..

எனவே, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . அதாவது $\frac(yyy)(yy) = y$.

மற்றும் a n+1:a = a n+1-1 = a n . அதாவது $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

அல்லது:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

உடன் எண்களுக்கும் விதி செல்லுபடியாகும் எதிர்மறைபட்டம் மதிப்புகள்.
ஒரு -5 ஐ -3 ஆல் வகுத்தால் கிடைக்கும் விளைவு ஒரு -2 ஆகும்.
மேலும், $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 அல்லது $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

இயற்கணிதத்தில் இத்தகைய செயல்பாடுகள் மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுவதால், சக்திகளின் பெருக்கல் மற்றும் பிரிவுகளை நன்றாகக் கற்றுக்கொள்வது அவசியம்.

சக்திகளுடன் எண்களைக் கொண்ட பின்னங்களுடன் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

1. $\frac(5a^4)(3a^2)$ இல் அடுக்குகளை குறைக்கவும் பதில்: $\frac(5a^2)(3)$.

2. $\frac(6x^6)(3x^5)$ இல் அடுக்குகளை குறைக்கவும். பதில்: $\frac(2x)(1)$ அல்லது 2x.

3. அடுக்குகளை a 2 / a 3 மற்றும் a -3 / a -4 ஐக் குறைத்து ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வாருங்கள்.
a 2 .a -4 என்பது ஒரு -2 முதல் எண்ணாகும்.
a 3 .a -3 என்பது 0 = 1, இரண்டாவது எண்.
a 3 .a -4 என்பது a -1 , பொதுவான எண்.
எளிமைப்படுத்தப்பட்ட பிறகு: a -2 /a -1 மற்றும் 1/a -1 .

4. அடுக்குகள் 2a 4 /5a 3 மற்றும் 2 /a 4 ஐக் குறைத்து ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வரவும்.
பதில்: 2a 3 / 5a 7 மற்றும் 5a 5 / 5a 7 அல்லது 2a 3 / 5a 2 மற்றும் 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 ஐ (a - b)/3 ஆல் பெருக்கவும்.

6. (a 5 + 1)/x 2 ஐ (b 2 - 1)/(x + a) ஆல் பெருக்கவும்.

7. b 4 /a -2 ஐ h -3 /x மற்றும் a n /y -3 ஆல் பெருக்கவும்.

8. a 4 /y 3 ஐ 3 /y 2 ஆல் வகுக்கவும். பதில்: a/y.

9. (h 3 - 1)/d 4 ஆல் (d n + 1)/h வகுக்கவும்.

நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை ஒரு சக்தியாக உயர்த்த வேண்டும் என்றால், நீங்கள் பயன்படுத்தலாம். நாம் இப்போது ஒரு நெருக்கமான தோற்றத்தை எடுப்போம் அதிகாரங்களின் பண்புகள்.

அதிவேக எண்கள்பெரிய சாத்தியக்கூறுகளைத் திறக்கிறது, அவை பெருக்கத்தை கூட்டலாக மாற்ற அனுமதிக்கின்றன, மேலும் பெருக்கத்தை விட கூட்டல் மிகவும் எளிதானது.

உதாரணமாக, நாம் 16 ஐ 64 ஆல் பெருக்க வேண்டும். இந்த இரண்டு எண்களையும் பெருக்கினால் கிடைக்கும் பலன் 1024. ஆனால் 16 என்பது 4x4, மற்றும் 64 என்பது 4x4x4. எனவே 16 பெருக்கல் 64=4x4x4x4x4 அதுவும் 1024.

எண் 16 ஐ 2x2x2x2 என்றும், 64 ஐ 2x2x2x2x2x2 என்றும் குறிப்பிடலாம், மேலும் நாம் பெருக்கினால், மீண்டும் 1024 கிடைக்கும்.

இப்போது விதியைப் பயன்படுத்துவோம். 16=4 2, அல்லது 2 4, 64=4 3, அல்லது 2 6, அதே சமயம் 1024=6 4 =4 5, அல்லது 2 10.

எனவே, எங்கள் சிக்கலை வேறு வழியில் எழுதலாம்: 4 2 x4 3 =4 5 அல்லது 2 4 x2 6 =2 10, ஒவ்வொரு முறையும் 1024 கிடைக்கும்.

இதே போன்ற பல எடுத்துக்காட்டுகளை நாம் தீர்க்கலாம் மற்றும் சக்திகளுடன் எண்களின் பெருக்கல் குறைவதைக் காணலாம் அடுக்குகளை சேர்த்தல், அல்லது ஒரு அடுக்கு, நிச்சயமாக, காரணிகளின் அடிப்படைகள் சமமாக இருக்கும்.

எனவே, பெருக்காமல், உடனடியாக 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20 என்று சொல்லலாம்.

எண்களை அதிகாரங்களுடன் வகுக்கும் போது இந்த விதி உண்மையாகும், ஆனால் இந்த விஷயத்தில், ஈ வகுப்பியின் அடுக்கு ஈவுத்தொகையின் அடுக்கு இலிருந்து கழிக்கப்படுகிறது. எனவே, 2 5:2 3 =2 2 , இது சாதாரண எண்களில் 32:8=4 க்கு சமம், அதாவது 2 2 . சுருக்கமாகக் கூறுவோம்:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, m மற்றும் n ஆகியவை முழு எண்கள்.

முதல் பார்வையில், அப்படித் தோன்றலாம் சக்திகளுடன் எண்களின் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல்மிகவும் வசதியானது அல்ல, ஏனென்றால் முதலில் நீங்கள் எண்ணை அதிவேக வடிவத்தில் குறிப்பிட வேண்டும். இந்த வடிவத்தில் 8 மற்றும் 16 எண்களைக் குறிப்பிடுவது கடினம் அல்ல, அதாவது 2 3 மற்றும் 2 4, ஆனால் 7 மற்றும் 17 எண்களுடன் இதை எப்படி செய்வது? அல்லது அந்த சந்தர்ப்பங்களில் என்ன செய்ய வேண்டும் என்றால், எண்ணை அதிவேக வடிவத்தில் குறிப்பிட முடியும், ஆனால் எண்களின் அதிவேக வெளிப்பாடுகளின் அடிப்படைகள் மிகவும் வேறுபட்டவை. எடுத்துக்காட்டாக, 8×9 என்பது 2 3 x 3 2 ஆகும், இதில் நாம் அடுக்குகளை கூட்ட முடியாது. 2 5 அல்லது 3 5 பதில் இல்லை, அல்லது இரண்டிற்கும் இடையே உள்ள பதில் அல்ல.

இந்த முறையைப் பற்றி கவலைப்படுவது மதிப்புக்குரியதா? நிச்சயமாக அது மதிப்பு. இது பெரிய நன்மைகளை வழங்குகிறது, குறிப்பாக சிக்கலான மற்றும் நேரத்தை எடுத்துக்கொள்ளும் கணக்கீடுகளுக்கு.

முந்தைய கட்டுரையில், மோனோமியல் என்றால் என்ன என்பதைப் பற்றி பேசினோம். இந்த உள்ளடக்கத்தில், அவை பயன்படுத்தப்படும் எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் சிக்கல்களை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம். இங்கே நாம் கழித்தல், கூட்டல், பெருக்கல், மோனோமியல்களின் வகுத்தல் மற்றும் அவற்றை ஒரு சக்திக்கு உயர்த்துதல் போன்ற செயல்பாடுகளை கருத்தில் கொள்வோம். இயற்கை காட்டி. அத்தகைய செயல்பாடுகள் எவ்வாறு வரையறுக்கப்படுகின்றன என்பதை நாங்கள் காண்பிப்போம், அவற்றின் செயல்பாட்டிற்கான அடிப்படை விதிகள் மற்றும் விளைவு என்னவாக இருக்க வேண்டும் என்பதைக் குறிப்பிடுவோம். அனைத்து கோட்பாட்டு விதிகளும், வழக்கம் போல், தீர்வுகளின் விளக்கங்களுடன் சிக்கல்களின் எடுத்துக்காட்டுகளால் விளக்கப்படும்.

மோனோமியல்களின் நிலையான குறியீட்டுடன் பணிபுரிவது மிகவும் வசதியானது, எனவே, கட்டுரையில் பயன்படுத்தப்படும் அனைத்து வெளிப்பாடுகளையும் நிலையான வடிவத்தில் வழங்குகிறோம். அவை ஆரம்பத்தில் வித்தியாசமாக அமைக்கப்பட்டிருந்தால், முதலில் அவற்றை பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட படிவத்திற்கு கொண்டு வர பரிந்துரைக்கப்படுகிறது.

மோனோமியல்களைக் கூட்டுவதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதிகள்

மோனோமியல் மூலம் செய்யக்கூடிய எளிமையான செயல்பாடுகள் கழித்தல் மற்றும் கூட்டல் ஆகும். பொது வழக்கில், இந்த செயல்களின் விளைவு ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும் (சில சிறப்பு நிகழ்வுகளில் ஒரு மோனோமியல் சாத்தியமாகும்).

நாம் மோனோமியல்களைச் சேர்க்கும்போது அல்லது கழிக்கும்போது, ​​பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட வடிவத்தில் தொடர்புடைய தொகை மற்றும் வேறுபாட்டை முதலில் எழுதுகிறோம், அதன் பிறகு விளைவான வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குகிறோம். ஒத்த விதிமுறைகள் இருந்தால், அவை கொடுக்கப்பட வேண்டும், அடைப்புக்குறிகள் திறக்கப்பட வேண்டும். ஒரு உதாரணத்துடன் விளக்குவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

நிலை:மோனோமியல்கள் - 3 · x மற்றும் 2, 72 · x 3 · y 5 · z ஆகியவற்றைச் சேர்க்கவும்.

தீர்வு

அசல் வெளிப்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையை எழுதுவோம். அடைப்புக்குறிகளைச் சேர்த்து, அவற்றுக்கிடையே கூட்டல் குறியை வைக்கவும். பின்வருவனவற்றைப் பெறுவோம்:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

அடைப்புக்குறிகளை விரிவுபடுத்தும் போது, ​​நமக்கு கிடைக்கும் - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . இது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், இது நிலையான வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது, இது இந்த மோனோமியல்களைச் சேர்ப்பதன் விளைவாக இருக்கும்.

பதில்:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

எங்களிடம் மூன்று, நான்கு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட விதிமுறைகள் இருந்தால், இந்தச் செயலை நாங்கள் அதே வழியில் செய்கிறோம்.

உதாரணம் 2

நிலை:உள்ளே ஸ்வைப் செய்யவும் சரியான வரிசையில்பல்லுறுப்புக்கோவைகளுடன் குறிப்பிட்ட செயல்பாடுகள்

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

தீர்வு

அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பதன் மூலம் ஆரம்பிக்கலாம்.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

பின்வரும் சொற்களைக் குறைப்பதன் மூலம் விளைந்த வெளிப்பாட்டை எளிமைப்படுத்தலாம் என்பதை நாங்கள் காண்கிறோம்:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

எங்களிடம் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை உள்ளது, இது இந்த செயலின் விளைவாக இருக்கும்.

பதில்: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

கொள்கையளவில், இரண்டு மோனோமியல்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் ஆகியவற்றை சில கட்டுப்பாடுகளுடன் செய்யலாம், இதனால் நாம் ஒரு மோனோமியலில் முடிவடையும். இதைச் செய்ய, விதிமுறைகள் மற்றும் கழிக்கப்பட்ட மோனோமியல்கள் தொடர்பான சில நிபந்தனைகளை கவனிக்க வேண்டியது அவசியம். இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதை ஒரு தனி கட்டுரையில் விவரிப்போம்.

மோனோமியல்களை பெருக்குவதற்கான விதிகள்

பெருக்கல் நடவடிக்கையானது பெருக்கிகளுக்கு எந்த கட்டுப்பாடுகளையும் விதிக்கவில்லை. பெருக்கப்பட வேண்டிய மோனோமியல்கள் எந்தக் கூடுதல் நிபந்தனைகளையும் பூர்த்தி செய்யக் கூடாது.

மோனோமியல்களின் பெருக்கத்தைச் செய்ய, நீங்கள் பின்வரும் படிகளைச் செய்ய வேண்டும்:

1. பகுதியை சரியாக பதிவு செய்யவும்.
2. விளைந்த வெளிப்பாட்டில் அடைப்புக்குறிகளை விரிவாக்கவும்.
3. குழு, முடிந்தால், ஒரே மாறிகள் மற்றும் தனித்தனியாக எண் காரணிகளைக் கொண்ட காரணிகள்.
4. எண்களுடன் தேவையான செயல்களைச் செய்து, மீதமுள்ள காரணிகளுக்கு அதே அடிப்படைகளுடன் சக்திகளைப் பெருக்கும் பண்புகளைப் பயன்படுத்தவும்.

இது நடைமுறையில் எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 3

நிலை:மோனோமியல்களை 2 · x 4 · y · z மற்றும் - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 ஐப் பெருக்கவும்.

தீர்வு

வேலையின் கலவையுடன் ஆரம்பிக்கலாம்.

அதில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம்:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

நாம் செய்ய வேண்டியதெல்லாம், முதல் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள எண்களைப் பெருக்கி, இரண்டாவது அடைப்புக்குறிக்குள் சக்தி பண்புகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இதன் விளைவாக, பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம்:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

பதில்: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

நம்மிடம் மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகள் இருந்தால், அதே அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றைப் பெருக்குவோம். மோனோமியல்களின் பெருக்கத்தின் சிக்கலை ஒரு தனி பொருளில் இன்னும் விரிவாகக் கருதுவோம்.

ஒரு அதிகாரத்திற்கு மோனோமியலை உயர்த்துவதற்கான விதிகள்

ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான ஒரே மாதிரியான காரணிகளின் தயாரிப்பு ஒரு இயற்கை அடுக்குடன் பட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது என்பதை நாம் அறிவோம். அவற்றின் எண்ணிக்கை குறியீட்டில் உள்ள எண்ணால் குறிக்கப்படுகிறது. இந்த வரையறையின்படி, ஒரு மோனோமியலை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவது, சுட்டிக்காட்டப்பட்ட ஒரே மாதிரியான மோனோமியல்களின் எண்ணிக்கையைப் பெருக்குவதற்குச் சமம். அதை எப்படி செய்வது என்று பார்க்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4

நிலை:மோனோமியல் − 2 · a · b 4 ஐ 3 இன் சக்திக்கு உயர்த்தவும்.

தீர்வு

3 மோனோமியல்கள் - 2 · a · b 4 இன் பெருக்கல் மூலம் அதிவேகத்தை மாற்றலாம். விரும்பிய பதிலை எழுதிப் பெறுவோம்:

(− 2 a b 4) 3 = (- 2 a b 4) (- 2 a b 4) (- 2 a b 4) = = ((- 2) (- 2) (- 2)) (a a a) (b 4 b 4) b 4) = - 8 a 3 b 12

பதில்:(− 2 a b 4) 3 = - 8 a 3 b 12 .

ஆனால் பட்டம் பெரிய அளவில் இருக்கும் போது என்ன செய்வது? அதிக எண்ணிக்கையிலான பெருக்கிகளை பதிவு செய்வது சிரமமாக உள்ளது. பின்னர், அத்தகைய சிக்கலைத் தீர்க்க, பட்டத்தின் பண்புகளை, அதாவது தயாரிப்பு பட்டத்தின் சொத்து மற்றும் பட்டத்தில் உள்ள பட்டத்தின் சொத்து ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

நாம் மேலே மேற்கோள் காட்டிய சிக்கலை சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வழியில் தீர்க்கலாம்.

உதாரணம் 5

நிலை:− 2 · a · b 4 ஐ மூன்றாவது சக்தியாக உயர்த்தவும்.

தீர்வு

பட்டத்தில் பட்டத்தின் சொத்தை அறிந்து, பின்வரும் படிவத்தின் வெளிப்பாட்டிற்கு நாம் செல்லலாம்:

(− 2 a b 4) 3 = (- 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

அதன் பிறகு, நாம் சக்தி - 2 ஐ உயர்த்தி, அடுக்கு சொத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = - 8 a 3 b 4 3 = - 8 a 3 b 12 .

பதில்:− 2 · a · b 4 = - 8 · a 3 · b 12 .

ஒரு அதிகாரத்திற்கு ஒரு மோனோமியலை உயர்த்துவதற்கு நாங்கள் ஒரு தனி கட்டுரையை அர்ப்பணித்தோம்.

மோனோமியல்களைப் பிரிப்பதற்கான விதிகள்

இந்த பொருளில் நாம் பகுப்பாய்வு செய்வோம் மோனோமியல்களுடன் கடைசி நடவடிக்கை ஒரு மோனோமியலை ஒரு மோனோமியலால் பிரிப்பதாகும். இதன் விளைவாக, நாம் ஒரு பகுத்தறிவு (இயற்கணிதம்) பகுதியைப் பெற வேண்டும் (சில சந்தர்ப்பங்களில், ஒரு மோனோமியலைப் பெறுவது சாத்தியமாகும்). பூஜ்ஜிய மோனோமியலால் வகுத்தல் வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதை இப்போதே தெளிவுபடுத்துவோம், ஏனெனில் 0 ஆல் வகுத்தல் வரையறுக்கப்படவில்லை.

பிரிவைச் செய்ய, சுட்டிக்காட்டப்பட்ட மோனோமியல்களை ஒரு பின்னத்தின் வடிவத்தில் எழுத வேண்டும் மற்றும் முடிந்தால் அதைக் குறைக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 6

நிலை:மோனோமியலை - 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 ஆல் வகுக்கவும்.

தீர்வு

மோனோமியல்களை பின்னம் வடிவில் எழுதுவதன் மூலம் தொடங்குவோம்.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

இந்த பகுதியை குறைக்கலாம். இதைச் செய்த பிறகு, நாம் பெறுகிறோம்:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

பதில்:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

மோனோமியல்களைப் பிரிப்பதன் விளைவாக, நாம் ஒரு மோனோமியலைப் பெறுவதற்கான நிபந்தனைகள் ஒரு தனி கட்டுரையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

உரையில் பிழை இருப்பதைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

ஒரு எண்ணின் சக்தி என்றால் என்ன என்பதைப் பற்றி ஏற்கனவே பேசினோம். அவளிடம் உள்ளது சில பண்புகள், சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் பயனுள்ளதாக இருக்கும்: இந்த கட்டுரையில் அவற்றையும் சாத்தியமான அனைத்து அடுக்குகளையும் பகுப்பாய்வு செய்வோம். நடைமுறையில் அவற்றை எவ்வாறு நிரூபிக்கலாம் மற்றும் சரியாகப் பயன்படுத்தலாம் என்பதை எடுத்துக்காட்டுகளுடன் நிரூபிப்போம்.

நாம் ஏற்கனவே வடிவமைத்த இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய பட்டத்தின் கருத்தை நினைவு கூர்வோம்: இது n வது எண் காரணிகளின் தயாரிப்பு ஆகும், அவை ஒவ்வொன்றும் a க்கு சமம். உண்மையான எண்களை எவ்வாறு சரியாகப் பெருக்குவது என்பதையும் நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். இவை அனைத்தும் இயற்கையான காட்டி ஒரு பட்டத்திற்கு பின்வரும் பண்புகளை உருவாக்க உதவும்:

வரையறை 1

1. பட்டத்தின் முக்கிய சொத்து: a m a n = a m + n

பொதுமைப்படுத்தலாம்: a n 1 · a n 2 · ... · a n k = a n 1 + n 2 + ... + n k .

2. ஒரே அடித்தளத்தைக் கொண்ட சக்திகளுக்கான பங்குச் சொத்து: a m: a n = a m - n

3. தயாரிப்பு பட்டம் சொத்து: (a b) n = a n b n

சமத்துவத்தை நீட்டிக்க முடியும்: (a 1 a 2 ... a k) n = a 1 n a 2 n ... a k n

4. ஒரு இயற்கை பட்டத்தின் சொத்து: (a: b) n = a n: b n

5. சக்தியை சக்திக்கு உயர்த்துகிறோம்: (a m) n = a m n ,

பொதுமைப்படுத்தலாம்: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 ... n k

6. பட்டத்தை பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடுக:

• a > 0 எனில், எந்த இயற்கை n க்கும், a n பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும்;
• 0 க்கு சமமாக, ஒரு n பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்;
• ஒரு< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• ஒரு< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. சமத்துவம் a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. சமத்துவமின்மை a m > a n உண்மையாக இருக்கும், m மற்றும் n இயற்கை எண்கள், m n ஐ விட பெரியது மற்றும் a பூஜ்ஜியத்தை விட பெரியது மற்றும் ஒன்றுக்கு குறையாது.

இதன் விளைவாக, பல சமத்துவங்களைப் பெற்றோம்; மேலே குறிப்பிட்டுள்ள அனைத்து நிபந்தனைகளையும் நீங்கள் சந்தித்தால், அவை ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். ஒவ்வொரு சமத்துவத்திற்கும், எடுத்துக்காட்டாக, முக்கிய சொத்துக்காக, நீங்கள் வலது மற்றும் இடது பகுதிகளை மாற்றலாம்: a m · a n = a m + n - அதே m + n = a m · a n . இந்த வடிவத்தில், வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்தும் போது இது பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

1. பட்டத்தின் முக்கிய பண்புடன் ஆரம்பிக்கலாம்: சமத்துவம் a m · a n = a m + n என்பது எந்த இயற்கையான m மற்றும் n மற்றும் உண்மையான a க்கும் உண்மையாக இருக்கும். இந்த அறிக்கையை எவ்வாறு நிரூபிப்பது?

இயற்கையான அடுக்குகளுடன் கூடிய சக்திகளின் அடிப்படை வரையறை சமத்துவத்தை காரணிகளின் விளைபொருளாக மாற்ற அனுமதிக்கும். இது போன்ற ஒரு உள்ளீட்டைப் பெறுவோம்:

இதை சுருக்கலாம் (பெருக்கத்தின் அடிப்படை பண்புகளை நினைவுகூருங்கள்). இதன் விளைவாக, இயற்கை அடுக்கு m + n உடன் எண்ணின் பட்டத்தைப் பெற்றோம். இவ்வாறு, ஒரு m + n , அதாவது பட்டத்தின் முக்கிய சொத்து நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

அலசுவோம் குறிப்பிட்ட உதாரணம்இதை உறுதிப்படுத்துகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1

எனவே நாம் அடிப்படை 2 உடன் இரண்டு சக்திகளைக் கொண்டுள்ளோம். அவற்றின் இயல்பான குறிகாட்டிகள் முறையே 2 மற்றும் 3 ஆகும். எங்களுக்கு சமத்துவம் கிடைத்தது: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 இந்த சமத்துவத்தின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்க மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவோம்.

தேவையானவற்றை நிறைவேற்றுவோம் கணித செயல்பாடுகள்: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 மற்றும் 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

இதன் விளைவாக, எங்களுக்கு கிடைத்தது: 2 2 2 3 = 2 5 . சொத்து நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

பெருக்கல் பண்புகளின் காரணமாக, மூன்று மற்றும் என உருவாக்குவதன் மூலம் சொத்தை பொதுமைப்படுத்தலாம் மேலும்சக்திகள் அதன் அடுக்குகள் இயற்கை எண்கள் மற்றும் அவற்றின் அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை. n 1, n 2 போன்ற இயற்கை எண்களின் எண்ணிக்கையை k என்ற எழுத்தின் மூலம் குறிப்பதால், சரியான சமத்துவத்தைப் பெறுவோம்:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 +… + n k .

உதாரணம் 2

2. அடுத்து, பின்வரும் சொத்தை நாம் நிரூபிக்க வேண்டும், இது பங்குச் சொத்து என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் அதே அடிப்படைகளைக் கொண்ட அதிகாரங்களில் உள்ளார்ந்ததாகும்: இது சமத்துவம் a m: a n = a m - n , இது எந்த இயற்கை m மற்றும் n (மற்றும் m) க்கும் செல்லுபடியாகும். n ஐ விட பெரியது)) மற்றும் பூஜ்ஜியம் அல்லாத உண்மையான a .

தொடங்குவதற்கு, உருவாக்கத்தில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள நிபந்தனைகளின் அர்த்தம் என்ன என்பதை விளக்குவோம். நாம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக எடுத்துக் கொண்டால், இறுதியில் பூஜ்ஜியத்தால் ஒரு வகுத்தல் கிடைக்கும், அதைச் செய்ய முடியாது (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, 0 n = 0). m எண் n ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும் என்ற நிபந்தனை அவசியம், அதனால் நாம் இயற்கையான அடுக்குகளுக்குள் இருக்க முடியும்: m இலிருந்து n ஐ கழித்தால், நாம் ஒரு இயற்கை எண்ணைப் பெறுகிறோம். நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படாவிட்டால், எதிர்மறை எண் அல்லது பூஜ்ஜியத்தைப் பெறுவோம், மீண்டும் இயற்கையான குறிகாட்டிகளுடன் டிகிரி படிப்பைத் தாண்டிச் செல்வோம்.

இப்போது நாம் ஆதாரத்திற்கு செல்லலாம். முன்னர் ஆய்வு செய்யப்பட்டவற்றிலிருந்து, பின்னங்களின் அடிப்படை பண்புகளை நினைவுபடுத்துகிறோம் மற்றும் சமத்துவத்தை பின்வருமாறு உருவாக்குகிறோம்:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m

அதிலிருந்து நாம் அறியலாம்: a m - n a n = a m

வகுத்தல் மற்றும் பெருக்கல் இடையே உள்ள தொடர்பை நினைவுபடுத்துங்கள். அதிலிருந்து ஒரு m - n என்பது ஒரு m மற்றும் a n ஆகிய சக்திகளின் ஒரு பங்கு ஆகும். இது இரண்டாம் நிலை சொத்துக்கான சான்று.

எடுத்துக்காட்டு 3

குறிகாட்டிகளில் தெளிவுக்காக குறிப்பிட்ட எண்களை மாற்றவும், மேலும் π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3 இன் அடிப்பகுதியைக் குறிக்கவும்

3. அடுத்து, உற்பத்தியின் பட்டத்தின் சொத்தை பகுப்பாய்வு செய்வோம்: (a · b) n = a n · b n எந்த உண்மையான a மற்றும் b மற்றும் இயற்கை n .

இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய பட்டத்தின் அடிப்படை வரையறையின்படி, நாம் சமத்துவத்தை பின்வருமாறு மறுசீரமைக்கலாம்:

பெருக்கத்தின் பண்புகளை நினைவில் வைத்து, நாங்கள் எழுதுகிறோம்: . இது a n · b n போன்றே பொருள்படும்.

எடுத்துக்காட்டு 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

எங்களிடம் மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காரணிகள் இருந்தால், இந்த சொத்து இந்த வழக்கிற்கும் பொருந்தும். காரணிகளின் எண்ணிக்கைக்கு k குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்தி எழுதுகிறோம்:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n ... a k n

உதாரணம் 5

குறிப்பிட்ட எண்களுடன், பின்வரும் சரியான சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்: (2 (- 2 , 3) ​​a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​7 a

4. அதன்பிறகு, நாம் பங்குச் சொத்தை நிரூபிக்க முயற்சிப்போம்: (a: b) n = a n: b n எந்த உண்மையான a மற்றும் b என்றால் b 0 க்கு சமமாக இல்லாவிட்டால் மற்றும் n என்பது இயற்கை எண்ணாகும்.

ஆதாரத்திற்கு, முந்தைய பட்டப்படிப்பைப் பயன்படுத்தலாம். (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n , மற்றும் (a: b) n b n = a n என்றால், (a: b) n என்பது ஒரு n ஐ b n ஆல் வகுக்கும் ஒரு புள்ளியாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 6

உதாரணத்தை எண்ணுவோம்: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

எடுத்துக்காட்டு 7

ஒரு உதாரணத்துடன் இப்போதே தொடங்குவோம்: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

இப்போது நாம் சமத்துவங்களின் சங்கிலியை உருவாக்குகிறோம், அது சமத்துவத்தின் சரியான தன்மையை நமக்கு நிரூபிக்கும்:

எடுத்துக்காட்டில் டிகிரி டிகிரி இருந்தால், இந்த சொத்து அவர்களுக்கும் பொருந்தும். நம்மிடம் p, q, r, s ஆகிய இயற்கை எண்கள் இருந்தால், அது உண்மையாக இருக்கும்:

a p q y s = a p q y s

எடுத்துக்காட்டு 8

விவரக்குறிப்புகளைச் சேர்ப்போம்: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. நாம் நிரூபிக்க வேண்டிய இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய டிகிரிகளின் மற்றொரு சொத்து ஒப்பீட்டு சொத்து.

முதலில், அதிவேகத்தை பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடலாம். ஒரு n > 0 ஏன் 0 ஐ விட அதிகமாக உள்ளது?

ஒரு நேர்மறை எண்ணை மற்றொன்றால் பெருக்கினால், நமக்கும் நேர்மறை எண் கிடைக்கும். இந்த உண்மையை அறிந்தால், இது காரணிகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்தது அல்ல என்று நாம் கூறலாம் - நேர்மறை எண்களின் எண்ணிக்கையை பெருக்குவதன் விளைவாக நேர்மறை எண். எண்களை பெருக்குவதன் விளைவாக இல்லை என்றால், பட்டம் என்றால் என்ன? ஒரு நேர்மறை அடிப்படை மற்றும் இயற்கையான அடுக்கு கொண்ட எந்த சக்திக்கும் இது உண்மையாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 மற்றும் 34 9 13 51 > 0

பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான அடித்தளத்தைக் கொண்ட ஒரு சக்தி பூஜ்ஜியமாகும் என்பதும் வெளிப்படையானது. எந்த சக்திக்கு பூஜ்ஜியத்தை உயர்த்துகிறோமோ, அது அப்படியே இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 10

0 3 = 0 மற்றும் 0 762 = 0

பட்டத்தின் அடிப்பகுதி எதிர்மறை எண்ணாக இருந்தால், சம / ஒற்றைப்படை அடுக்கு என்ற கருத்து முக்கியத்துவம் பெறுவதால், ஆதாரம் இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலானது. அடுக்கு சமமாக இருக்கும்போது வழக்கிலிருந்து தொடங்கி அதை 2 · m ஆல் குறிக்கலாம், இங்கு m என்பது இயற்கை எண்ணாகும்.

எதிர்மறை எண்களை எவ்வாறு சரியாகப் பெருக்குவது என்பதை நினைவில் கொள்வோம்: தயாரிப்பு a · a என்பது தொகுதிகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம், எனவே, அது நேர்மறை எண்ணாக இருக்கும். பிறகு மற்றும் டிகிரி a 2 · m என்பதும் நேர்மறை.

எடுத்துக்காட்டு 11

எடுத்துக்காட்டாக, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 மற்றும் - 2 9 6 > 0

எதிர்மறை அடித்தளத்துடன் கூடிய அடுக்கு ஒற்றைப்படை எண்ணாக இருந்தால் என்ன செய்வது? அதை 2 · m - 1 குறிப்போம்.

பிறகு

அனைத்து தயாரிப்புகளும் a · a , பெருக்கத்தின் பண்புகளின்படி, நேர்மறையானவை, மேலும் அவற்றின் தயாரிப்பும். ஆனால் மீதமுள்ள ஒரே எண்ணால் பெருக்கினால், இறுதி முடிவு எதிர்மறையாக இருக்கும்.

பின்னர் நாம் பெறுகிறோம்: (-5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

அதை எப்படி நிரூபிப்பது?

ஒரு< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

எடுத்துக்காட்டு 12

எடுத்துக்காட்டாக, ஏற்றத்தாழ்வுகள் உண்மை: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. கடைசி சொத்தை நிரூபிப்பது எங்களிடம் உள்ளது: எங்களிடம் இரண்டு டிகிரி இருந்தால், அவற்றின் அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியாகவும் நேர்மறையாகவும் இருந்தால், மற்றும் அடுக்குகள் இயற்கை எண்களாக இருந்தால், அவற்றில் ஒன்று பெரியது, அதன் அடுக்கு குறைவாக இருக்கும்; மற்றும் இயற்கைக் குறிகாட்டிகள் கொண்ட இரண்டு டிகிரி மற்றும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட அதே அடிப்படைகள், அதன் காட்டி அதிகமாக இருக்கும் பட்டம் பெரியது.

இந்தக் கூற்றுகளை நிரூபிப்போம்.

முதலில் ஒரு மீ என்பதை உறுதி செய்ய வேண்டும்< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

அடைப்புக்குறிக்குள் n ஐ எடுத்துக்கொள்கிறோம், அதன் பிறகு நமது வேறுபாடு a n · (am - n - 1) வடிவத்தை எடுக்கும். அதன் முடிவு எதிர்மறையாக இருக்கும் (எதிர்மறை எண்ணை ஒரு நேர்மறை எண்ணால் பெருக்கினால் வரும் முடிவு எதிர்மறையாக இருப்பதால்). உண்மையில், ஆரம்ப நிலைகளின்படி, m - n > 0, பின்னர் ஒரு m - n - 1 எதிர்மறையானது, மற்றும் முதல் காரணி நேர்மறை அடித்தளத்துடன் எந்த இயற்கை சக்தியையும் போல நேர்மறையாக இருக்கும்.

அது ஒரு m - a n என்று மாறியது< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

மேலே வடிவமைக்கப்பட்ட அறிக்கையின் இரண்டாம் பகுதியை நிரூபிக்க வேண்டும்: m > a என்பது m > n மற்றும் a > 1 க்கு உண்மை. வேறுபாட்டைக் குறிப்பிடுகிறோம் மற்றும் அடைப்புக்குறிக்குள் n ஐ எடுத்துக்கொள்கிறோம்: (a m - n - 1) ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட ஒரு n இன் சக்தி நேர்மறையான முடிவைக் கொடுக்கும்; மேலும் ஆரம்ப நிலைகளின் காரணமாக வேறுபாடு நேர்மறையாகவும் மாறும், மேலும் a > 1 க்கு ஒரு m - n இன் அளவு ஒன்று விட அதிகமாக இருக்கும். ஒரு m - a n > 0 மற்றும் a m > a n என்று மாறிவிடும், இதைத்தான் நாம் நிரூபிக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 13

குறிப்பிட்ட எண்களுடன் உதாரணம்: 3 7 > 3 2

முழு எண் அடுக்குகளுடன் கூடிய டிகிரிகளின் அடிப்படை பண்புகள்

நேர்மறை முழு எண் அடுக்குகளைக் கொண்ட டிகிரிகளுக்கு, பண்புகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், ஏனெனில் நேர்மறை முழு எண்கள் இயற்கை எண்கள், அதாவது மேலே நிரூபிக்கப்பட்ட அனைத்து சமத்துவங்களும் அவற்றிற்கும் செல்லுபடியாகும். அடுக்குகள் எதிர்மறையாகவோ அல்லது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாகவோ இருக்கும் நிகழ்வுகளுக்கும் அவை பொருத்தமானவையாகும் (பட்டத்தின் அடிப்பகுதியே பூஜ்ஜியமற்றதாக இருந்தால்).

எனவே, அதிகாரங்களின் பண்புகள் எந்த அடிப்படை a மற்றும் b (இந்த எண்கள் உண்மையானவை மற்றும் 0 க்கு சமமாக இல்லை) மற்றும் எந்த அடுக்கு m மற்றும் n (அவை முழு எண்களாக இருந்தால்) ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். அவற்றை சுருக்கமாக சூத்திரங்களின் வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்:

வரையறை 2

1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m - n

3. (a b) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (am) n = a m n

6. ஒரு என்< b n и a − n >நேர்மறை முழு எண் n உடன் b - n , நேர்மறை a மற்றும் b , a< b

7. ஒரு மீ< a n , при условии целых m и n , m >n மற்றும் 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

பட்டத்தின் அடிப்பகுதி பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால், a m மற்றும் a n ஆகியவை இயல்பான மற்றும் நேர்மறை m மற்றும் n விஷயத்தில் மட்டுமே அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். இதன் விளைவாக, மற்ற எல்லா நிபந்தனைகளும் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், மேலே உள்ள சூத்திரங்கள் பூஜ்ஜிய அடித்தளத்துடன் கூடிய வழக்குகளுக்கும் ஏற்றதாக இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

இந்த வழக்கில் இந்த பண்புகளின் சான்றுகள் எளிமையானவை. இயற்கை மற்றும் முழு எண் அடுக்குடன் கூடிய பட்டம் என்ன என்பதையும், உண்மையான எண்களைக் கொண்ட செயல்களின் பண்புகளையும் நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

பட்டத்தில் உள்ள பட்டத்தின் சொத்தை ஆய்வு செய்து, நேர்மறை முழு எண்கள் மற்றும் நேர்மறை முழு எண்கள் இரண்டிற்கும் இது உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம். சமத்துவங்களை நிரூபிப்பதன் மூலம் தொடங்குகிறோம் (a p) q = a p q , (a - p) q = a (-p) q , (a p) - q = a p (- q) மற்றும் (a - p) - q = a (- ப) (−q)

நிபந்தனைகள்: p = 0 அல்லது இயற்கை எண்; q - இதேபோல்.

p மற்றும் q இன் மதிப்புகள் 0 ஐ விட அதிகமாக இருந்தால், நாம் (a p) q = a p · q . இதேபோன்ற சமத்துவத்தை நாங்கள் ஏற்கனவே நிரூபித்துள்ளோம். p = 0 என்றால்:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

எனவே, (a 0) q = a 0 q

q = 0 க்கு எல்லாம் சரியாகவே இருக்கும்:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

முடிவு: (a p) 0 = a p 0 .

இரண்டு குறிகாட்டிகளும் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், (a 0) 0 = 1 0 = 1 மற்றும் a 0 0 = a 0 = 1, பின்னர் (a 0) 0 = a 0 0 .

மேலே நிரூபிக்கப்பட்ட சக்தியில் உள்ள பங்கின் சொத்தை நினைவுபடுத்தி எழுதவும்:

1 a p q = 1 q a p q

1 p = 1 1 … 1 = 1 மற்றும் a p q = a p q என்றால், 1 q a p q = 1 a p q

அடிப்படை பெருக்கல் விதிகளின் மூலம் இந்த குறியீட்டை ஒரு (− p) · q ஆக மாற்றலாம்.

மேலும்: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

மற்றும் (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

தற்போதுள்ள ஏற்றத்தாழ்வுகளை மாற்றுவதன் மூலம் பட்டத்தின் மீதமுள்ள பண்புகளை இதேபோல் நிரூபிக்க முடியும். நாங்கள் இதைப் பற்றி விரிவாகப் பேச மாட்டோம், கடினமான புள்ளிகளை மட்டுமே குறிப்பிடுவோம்.

இறுதிச் சொத்தின் ஆதாரம்: a − n > b - n என்பது n இன் எந்த எதிர்மறை முழு எண் மதிப்புகளுக்கும் எந்த நேர்மறை a மற்றும் b க்கும் சரி என்பதை நினைவில் கொள்க

பின்னர் சமத்துவமின்மையை பின்வருமாறு மாற்றலாம்:

1 a n > 1 b n

வலது மற்றும் இடது பகுதிகளை வித்தியாசமாக எழுதி தேவையான மாற்றங்களைச் செய்கிறோம்:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

நிபந்தனையில் a என்பது b ஐ விடக் குறைவாக இருப்பதை நினைவில் கொள்க< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n நேர்மறை எண்ணாக முடிவடைகிறது, ஏனெனில் அதன் காரணிகள் நேர்மறையாக இருக்கும். இதன் விளைவாக, எங்களிடம் ஒரு பின்னம் உள்ளது b n - a n a n · b n , இது இறுதியில் நேர்மறையான முடிவையும் தருகிறது. எனவே 1 a n > 1 b n எங்கிருந்து a − n > b - n , இதை நாம் நிரூபிக்க வேண்டும்.

முழு எண் அடுக்குகளைக் கொண்ட டிகிரிகளின் கடைசிப் பண்பு, இயற்கை அடுக்குகளைக் கொண்ட டிகிரிகளின் பண்புகளைப் போலவே நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

பகுத்தறிவு அடுக்குகளுடன் கூடிய டிகிரிகளின் அடிப்படை பண்புகள்

முந்தைய கட்டுரைகளில், பகுத்தறிவு (பின்ன) அடுக்குடன் கூடிய பட்டம் என்றால் என்ன என்று விவாதித்தோம். அவற்றின் பண்புகள் முழு எண் அடுக்குகளைக் கொண்ட டிகிரிகளின் பண்புகளைப் போலவே இருக்கும். எழுதுவோம்:

வரையறை 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 க்கு a > 0, மற்றும் m 1 n 1 > 0 மற்றும் m 2 n 2 > 0 எனில், ≥ 0 க்கு (தயாரிப்பு சொத்து அதிகாரங்கள் அதே அடித்தளத்துடன்).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 எனில் a > 0 (குறிப்பு சொத்து).

3. a b m n = a m n b m n for a > 0 மற்றும் b > 0, மற்றும் m 1 n 1 > 0 மற்றும் m 2 n 2 > 0 எனில், பின்னர் a ≥ 0 மற்றும் (அல்லது) b ≥ 0 (பிரிவு பட்டத்தில் தயாரிப்பு சொத்து).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n க்கு a > 0 மற்றும் b > 0, மற்றும் m n > 0 எனில், a ≥ 0 மற்றும் b > 0 க்கு (ஒரு பகுதியின் ஒரு பகுதியின் சொத்து).

5. a > 0 க்கு a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2, மற்றும் m 1 n 1 > 0 மற்றும் m 2 n 2 > 0 எனில், ≥ 0 க்கு (பட்டம் சொத்து டிகிரி).

6.ஏபி< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; ப என்றால்< 0 - a p >b p (சமமான பகுத்தறிவு அடுக்குகளுடன் டிகிரிகளை ஒப்பிடும் பண்பு).

7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >0 இல் q< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

இந்த விதிகளை நிரூபிக்க, பின்னம் கொண்ட ஒரு பட்டம் என்றால் என்ன, nth டிகிரியின் எண்கணித மூலத்தின் பண்புகள் என்ன, முழு எண் அடுக்கு கொண்ட பட்டத்தின் பண்புகள் என்ன என்பதை நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். ஒவ்வொரு சொத்துகளையும் பார்ப்போம்.

ஒரு பகுதியளவு அடுக்கு என்ன என்பதைப் பொறுத்து, நாம் பெறுகிறோம்:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 மற்றும் a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, எனவே, a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2

வேரின் பண்புகள் சமத்துவங்களைப் பெற அனுமதிக்கும்:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

இதிலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

மாற்றுவோம்:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

அடுக்கு என எழுதலாம்:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

இதுவே ஆதாரம். இரண்டாவது சொத்து சரியாக அதே வழியில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. சமத்துவங்களின் சங்கிலியை எழுதுவோம்:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

மீதமுள்ள சமத்துவங்களின் சான்றுகள்:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

அடுத்த சொத்து: 0 ஐ விட அதிகமான a மற்றும் b இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும், a b ஐ விட குறைவாக இருந்தால், a p செயல்படுத்தப்படும் என்பதை நிரூபிப்போம்< b p , а для p больше 0 - a p >பிபி

ஒரு பகுத்தறிவு எண்ணான p ஐ m n ஆகக் குறிப்பிடுவோம். இந்த வழக்கில், m ஒரு முழு எண், n என்பது ஒரு இயற்கை எண். பின்னர் நிபந்தனைகள் ப< 0 и p >0 மீ வரை நீட்டிக்கப்படும்< 0 и m >0 . m > 0 மற்றும் a க்கு< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

நாம் வேர்களின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் பெறுகிறோம்: a m n< b m n

a மற்றும் b மதிப்புகளின் நேர்மறையை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, சமத்துவமின்மையை ஒரு m n ஆக மீண்டும் எழுதுகிறோம்.< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

அதே வழியில், எம்< 0 имеем a a m >b m , நாம் a m n > b m n எனவே a m n > b m n மற்றும் a p > b p ஐப் பெறுகிறோம்.

கடைசி சொத்தை நிரூபிக்க எங்களுக்கு உள்ளது. பகுத்தறிவு எண்களுக்கு p மற்றும் q , p > q என்பதை 0 இல் நிரூபிப்போம்< a < 1 a p < a q , а при a >0 என்பது உண்மையாக இருக்கும் a p > a q .

விகிதமுறு எண்கள் p மற்றும் q ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட்டு m 1 n மற்றும் m 2 n பின்னங்களைப் பெறலாம்.

இங்கே m 1 மற்றும் m 2 முழு எண்கள் மற்றும் n என்பது ஒரு இயற்கை எண். p > q என்றால், m 1 > m 2 (பின்னங்களை ஒப்பிடுவதற்கான விதியை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது). பின்னர் 0 மணிக்கு< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – சமத்துவமின்மை a 1 m > a 2 m .

அவை பின்வரும் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதப்படலாம்:

ஒரு மீ 1 என்< a m 2 n a m 1 n >ஒரு மீ 2 என்

பின்னர் நீங்கள் மாற்றங்களைச் செய்யலாம் மற்றும் இதன் விளைவாக பெறலாம்:

ஒரு மீ 1 என்< a m 2 n a m 1 n >ஒரு மீ 2 என்

சுருக்கமாக: p > q மற்றும் 0 க்கு< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

பகுத்தறிவற்ற அடுக்குகளைக் கொண்ட டிகிரிகளின் அடிப்படை பண்புகள்

பகுத்தறிவு அடுக்குகளைக் கொண்ட பட்டம் பெற்றுள்ள மேலே விவரிக்கப்பட்ட அனைத்து பண்புகளும் அத்தகைய அளவிற்கு நீட்டிக்கப்படலாம். முந்தைய கட்டுரைகளில் ஒன்றில் நாங்கள் வழங்கிய அதன் வரையறையிலிருந்து இது பின்வருமாறு. இந்த பண்புகளை சுருக்கமாக உருவாக்குவோம் (நிபந்தனைகள்: a > 0 , b > 0 , குறிகாட்டிகள் p மற்றும் q ஆகியவை விகிதாசார எண்கள்):

வரையறை 4

1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.ஏபி< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >பிபி

7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , பின்னர் a p > a q .

எனவே, p மற்றும் q ஆகிய அடுக்குகள் உண்மையான எண்களாக இருக்கும் அனைத்து சக்திகளும், a > 0, ஒரே பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன.

உரையில் பிழை இருப்பதைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

சக்திகளை எவ்வாறு பெருக்குவது? எந்த சக்திகளை பெருக்க முடியும், எது முடியாது? ஒரு எண்ணை ஒரு சக்தியால் எப்படி பெருக்குவது?

இயற்கணிதத்தில், சக்திகளின் பலனை இரண்டு நிகழ்வுகளில் காணலாம்:

1) பட்டங்கள் ஒரே அடிப்படையில் இருந்தால்;

2) டிகிரிகளில் ஒரே குறிகாட்டிகள் இருந்தால்.

ஒரே அடித்தளத்துடன் சக்திகளைப் பெருக்கும்போது, ​​அடிப்படை ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும், மேலும் அடுக்குகள் சேர்க்கப்பட வேண்டும்:

ஒரே குறிகாட்டிகளுடன் டிகிரிகளை பெருக்கும்போது, ​​மொத்த காட்டி அடைப்புக்குறிக்குள் எடுக்கப்படலாம்:

குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளுடன் சக்திகளை எவ்வாறு பெருக்குவது என்பதைக் கவனியுங்கள்.

அடுக்குகளில் உள்ள அலகு எழுதப்படவில்லை, ஆனால் டிகிரிகளை பெருக்கும்போது அவை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன:

பெருக்கும்போது, ​​டிகிரிகளின் எண்ணிக்கை ஏதேனும் இருக்கலாம். கடிதத்திற்கு முன் நீங்கள் பெருக்கல் அடையாளத்தை எழுத முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்:

வெளிப்பாடுகளில், எக்ஸ்போனென்ஷியேஷன் முதலில் செய்யப்படுகிறது.

நீங்கள் ஒரு எண்ணை ஒரு சக்தியால் பெருக்க வேண்டும் என்றால், நீங்கள் முதலில் அதிவேகத்தை செய்ய வேண்டும், பின்னர் மட்டுமே - பெருக்கல்:

www.algebraclass.ru

அதிகாரங்களின் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல்

அதிகாரங்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்

வெளிப்படையாக, சக்திகளைக் கொண்ட எண்கள் மற்ற அளவுகளைப் போலவே சேர்க்கப்படலாம் , அவற்றின் அடையாளங்களுடன் அவற்றை ஒவ்வொன்றாகச் சேர்ப்பதன் மூலம்.

எனவே, a 3 மற்றும் b 2 இன் கூட்டுத்தொகை ஒரு 3 + b 2 ஆகும்.
a 3 - b n மற்றும் h 5 -d 4 ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை 3 - b n + h 5 - d 4 ஆகும்.

முரண்பாடுகள் அதே மாறிகளின் அதே சக்திகள்சேர்க்கலாம் அல்லது கழிக்கலாம்.

எனவே, 2a 2 மற்றும் 3a 2 ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை 5a 2 ஆகும்.

இரண்டு சதுரங்கள் a, அல்லது மூன்று சதுரங்கள் a, அல்லது ஐந்து சதுரங்கள் a என எடுத்துக் கொண்டால் அதுவும் வெளிப்படை.

ஆனால் பட்டங்கள் பல்வேறு மாறிகள்மற்றும் பல்வேறு பட்டங்கள் ஒரே மாதிரியான மாறிகள், அவற்றின் அடையாளங்களுடன் அவற்றைச் சேர்ப்பதன் மூலம் சேர்க்கப்பட வேண்டும்.

எனவே, 2 மற்றும் ஒரு 3 இன் கூட்டுத்தொகை 2 + a 3 இன் கூட்டுத்தொகையாகும்.

a இன் சதுரமும் a இன் கனசதுரமும் a இன் சதுரத்தின் இரண்டு மடங்கு அல்ல, ஆனால் a இன் கனசதுரத்தின் இரண்டு மடங்கு என்பது வெளிப்படையானது.

ஒரு 3 b n மற்றும் 3a 5 b 6 ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை 3 b n + 3a 5 b 6 ஆகும்.

கழித்தல்சப்ட்ராஹெண்டின் அறிகுறிகள் அதற்கேற்ப மாற்றப்பட வேண்டும் என்பதைத் தவிர, அதிகாரங்கள் கூடுதலாக அதே வழியில் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன.

அல்லது:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

சக்தி பெருக்கம்

அதிகாரங்களைக் கொண்ட எண்களை ஒன்றன் பின் ஒன்றாக எழுதுவதன் மூலம் மற்ற அளவுகளைப் போலவே பெருக்க முடியும், அவற்றுக்கிடையே உள்ள பெருக்கல் குறியுடன் அல்லது இல்லாமல்.

எனவே, a 3 ஐ b 2 ஆல் பெருக்குவதன் விளைவாக 3 b 2 அல்லது aaabb ஆகும்.

அல்லது:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

கடைசி எடுத்துக்காட்டில் உள்ள முடிவை அதே மாறிகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் ஆர்டர் செய்யலாம்.
வெளிப்பாடு வடிவம் எடுக்கும்: a 5 b 5 y 3 .

பல எண்களை (மாறிகள்) சக்திகளுடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம், அவற்றில் ஏதேனும் இரண்டை பெருக்கினால், அதன் விளைவாக ஒரு எண் (மாறி) சக்தியுடன் சமமாக இருப்பதைக் காணலாம். தொகைவிதிமுறைகளின் அளவுகள்.

எனவே, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

இங்கே 5 என்பது பெருக்கல் முடிவின் சக்தி, 2 + 3 க்கு சமம், விதிமுறைகளின் அதிகாரங்களின் கூட்டுத்தொகை.

எனவே, a n .a m = a m+n .

ஒரு n க்கு, n இன் சக்தி எத்தனை முறை இருக்கிறதோ, அந்த அளவுக்கு ஒரு காரணியாக a எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது;

மற்றும் ஒரு m , பட்டம் m க்கு சமமான பல மடங்கு காரணியாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது;

அதனால் தான், அதே தளங்களைக் கொண்ட சக்திகளை அடுக்குகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் பெருக்கலாம்.

எனவே, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . மற்றும் x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

அல்லது:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

பெருக்கவும் (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
பதில்: x 4 - y 4.
பெருக்கவும் (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

இந்த விதியானது − என இருக்கும் எண்களுக்கும் பொருந்தும் எதிர்மறை.

1. எனவே, a -2 .a -3 = a -5 . இதை (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa என எழுதலாம்.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

a + b ஐ a - b ஆல் பெருக்கினால், முடிவு 2 - b 2 ஆக இருக்கும்: அதாவது

இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டைப் பெருக்குவதன் விளைவாக அவற்றின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டிற்கு சமம்.

இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டை உயர்த்தினால் சதுரம், முடிவு இந்த எண்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும் நான்காவதுபட்டம்.

எனவே, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

அதிகாரப் பிரிவு

அதிகாரங்களைக் கொண்ட எண்களை மற்ற எண்களைப் போல் வகுப்பியிலிருந்து கழிப்பதன் மூலமாகவோ அல்லது பின்னம் வடிவில் வைப்பதன் மூலமாகவோ வகுக்க முடியும்.

எனவே a 3 b 2 ஐ b 2 ஆல் வகுத்தல் a 3 ஆகும்.

5 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால் $\frac போல் தெரிகிறது $. ஆனால் இது 2 க்கு சமம். எண்களின் வரிசையில்
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
எந்த எண்ணையும் மற்றொன்றால் வகுக்க முடியும், மேலும் அடுக்கு சமமாக இருக்கும் வேறுபாடுவகுக்கக்கூடிய எண்களின் குறிகாட்டிகள்.

ஒரே அடித்தளத்துடன் அதிகாரங்களைப் பிரிக்கும்போது, ​​அவற்றின் அடுக்குகள் கழிக்கப்படுகின்றன..

எனவே, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . அதாவது $\frac = y$.

மற்றும் a n+1:a = a n+1-1 = a n . அதாவது $\frac = a^n$.

அல்லது:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

உடன் எண்களுக்கும் விதி செல்லுபடியாகும் எதிர்மறைபட்டம் மதிப்புகள்.
ஒரு -5 ஐ -3 ஆல் வகுத்தால் கிடைக்கும் விளைவு ஒரு -2 ஆகும்.
மேலும், $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 அல்லது $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

இயற்கணிதத்தில் இத்தகைய செயல்பாடுகள் மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுவதால், சக்திகளின் பெருக்கல் மற்றும் பிரிவுகளை நன்றாகக் கற்றுக்கொள்வது அவசியம்.

சக்திகளுடன் எண்களைக் கொண்ட பின்னங்களுடன் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

1. $\frac $ இல் அடுக்குகளை குறைக்கவும் பதில்: $\frac $.

2. $\frac$ இல் அடுக்குகளை குறைக்கவும். பதில்: $\frac $ அல்லது 2x.

3. அடுக்குகளை a 2 / a 3 மற்றும் a -3 / a -4 ஐக் குறைத்து ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வாருங்கள்.
a 2 .a -4 என்பது ஒரு -2 முதல் எண்ணாகும்.
a 3 .a -3 என்பது 0 = 1, இரண்டாவது எண்.
a 3 .a -4 என்பது a -1 , பொதுவான எண்.
எளிமைப்படுத்தப்பட்ட பிறகு: a -2 /a -1 மற்றும் 1/a -1 .

4. அடுக்குகள் 2a 4 /5a 3 மற்றும் 2 /a 4 ஐக் குறைத்து ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வரவும்.
பதில்: 2a 3 / 5a 7 மற்றும் 5a 5 / 5a 7 அல்லது 2a 3 / 5a 2 மற்றும் 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 ஐ (a - b)/3 ஆல் பெருக்கவும்.

6. (a 5 + 1)/x 2 ஐ (b 2 - 1)/(x + a) ஆல் பெருக்கவும்.

7. b 4 /a -2 ஐ h -3 /x மற்றும் a n /y -3 ஆல் பெருக்கவும்.

8. a 4 /y 3 ஐ 3 /y 2 ஆல் வகுக்கவும். பதில்: a/y.

பட்டம் பண்புகள்

இந்த பாடத்தில் நாங்கள் புரிந்துகொள்கிறோம் என்பதை நாங்கள் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறோம் பட்டம் பண்புகள்இயற்கை குறிகாட்டிகள் மற்றும் பூஜ்ஜியத்துடன். பகுத்தறிவு குறிகாட்டிகளுடன் கூடிய பட்டங்கள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள் தரம் 8 க்கான பாடங்களில் விவாதிக்கப்படும்.

இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய அடுக்கு பல முக்கியமான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது, அவை அடுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளில் கணக்கீடுகளை எளிதாக்க உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

சொத்து எண் 1
அதிகாரங்களின் தயாரிப்பு

ஒரே அடித்தளத்துடன் சக்திகளைப் பெருக்கும்போது, ​​அடிப்படை மாறாமல் இருக்கும், மேலும் அடுக்குகள் சேர்க்கப்படும்.

a m a n \u003d a m + n, இங்கு "a" என்பது எந்த எண்ணாகவும், "m", "n" என்பது எந்த இயற்கை எண்களாகவும் இருக்கும்.

அதிகாரங்களின் இந்த பண்பு மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சக்திகளின் உற்பத்தியையும் பாதிக்கிறது.

சுட்டிக்காட்டப்பட்ட சொத்தில், அதே அடிப்படைகளைக் கொண்ட அதிகாரங்களைப் பெருக்குவது மட்டுமே என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.. அவர்களின் சேர்க்கைக்கு இது பொருந்தாது.

நீங்கள் தொகையை (3 3 + 3 2) 3 5 உடன் மாற்ற முடியாது. என்றால் இது புரியும்
கணக்கிட (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 மற்றும் 3 5 = 243

சொத்து எண் 2
தனியார் பட்டங்கள்

அதே அடித்தளத்துடன் சக்திகளைப் பிரிக்கும்போது, ​​அடிப்படை மாறாமல் இருக்கும், மேலும் வகுப்பியின் அடுக்கு ஈவுத்தொகையின் அடுக்குகளிலிருந்து கழிக்கப்படும்.

கணக்கிடுங்கள்.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
உதாரணமாக. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். பகுதி டிகிரிகளின் சொத்தை நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம்.
3 8: t = 3 4

பதில்: t = 3 4 = 81

பண்புகள் எண். 1 மற்றும் எண். 2 ஐப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் எளிதாக வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்கலாம் மற்றும் கணக்கீடுகளைச் செய்யலாம்.

உதாரணமாக. வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள்.
4 5 மீ + 6 4 மீ + 2: 4 4 மீ + 3 = 4 5 மீ + 6 + மீ + 2: 4 4 மீ + 3 = 4 6 மீ + 8 - 4 மீ - 3 = 4 2 மீ + 5

உதாரணமாக. டிகிரி பண்புகளைப் பயன்படுத்தி வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

சொத்து 2 அதே அடிப்படைகளைக் கொண்ட அதிகாரப் பகிர்வை மட்டுமே கையாள்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

நீங்கள் வேறுபாட்டை (4 3 -4 2) 4 1 உடன் மாற்ற முடியாது. (4 3 -4 2) = (64 - 16) = 48, மற்றும் 4 1 = 4 என்று கணக்கிட்டால் இது புரியும்.

சொத்து எண் 3
விரிவடைதல்

ஒரு சக்தியை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தும் போது, ​​சக்தியின் அடிப்படை மாறாமல் இருக்கும், மேலும் அடுக்குகள் பெருக்கப்படும்.

(a n) m \u003d a n m, இதில் "a" என்பது ஏதேனும் ஒரு எண்ணாகும், மேலும் "m", "n" என்பது இயற்கை எண்கள்.

சொத்து எண். 4, டிகிரிகளின் மற்ற பண்புகளைப் போலவே, தலைகீழ் வரிசையில் பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

(a n b n)= (a b) n

அதாவது, அதே அடுக்குகளுடன் டிகிரிகளை பெருக்க, நீங்கள் அடிப்படைகளை பெருக்கலாம், மேலும் அடுக்கு மாறாமல் விடலாம்.

மிகவும் சிக்கலான எடுத்துக்காட்டுகளில், வெவ்வேறு அடிப்படைகள் மற்றும் வெவ்வேறு அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகளில் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் செய்யப்பட வேண்டிய சந்தர்ப்பங்கள் இருக்கலாம். இந்த வழக்கில், பின்வருவனவற்றைச் செய்ய நாங்கள் உங்களுக்கு அறிவுறுத்துகிறோம்.

உதாரணமாக, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

ஒரு தசம பின்னத்தின் அதிவேகத்தின் எடுத்துக்காட்டு.

4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (-0.25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = நான்கு

பண்புகள் 5
பங்கின் சக்தி (பின்னங்கள்)

ஒரு பங்கை ஒரு சக்திக்கு உயர்த்த, நீங்கள் ஈவுத்தொகை மற்றும் வகுப்பியை தனித்தனியாக இந்த சக்திக்கு உயர்த்தலாம் மற்றும் முதல் முடிவை இரண்டால் வகுக்கலாம்.

(a: b) n \u003d a n: b n, இதில் "a", "b" என்பது ஏதேனும் விகிதமுறு எண்கள், b ≠ 0, n என்பது இயற்கை எண்.

ஒரு கோட்பாட்டை ஒரு பின்னமாகக் குறிப்பிடலாம் என்பதை நாங்கள் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறோம். எனவே, ஒரு பகுதியை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவது என்ற தலைப்பில் அடுத்த பக்கத்தில் இன்னும் விரிவாக வாழ்வோம்.

டிகிரி மற்றும் வேர்கள்

சக்திகள் மற்றும் வேர்கள் கொண்ட செயல்பாடுகள். எதிர்மறையுடன் பட்டம் ,

பூஜ்யம் மற்றும் பகுதியளவு காட்டி. அர்த்தமில்லாத வெளிப்பாடுகள் பற்றி.

டிகிரி கொண்ட செயல்பாடுகள்.

1. ஒரே அடித்தளத்துடன் சக்திகளைப் பெருக்கும்போது, ​​அவற்றின் குறிகாட்டிகள் சேர்க்கப்படுகின்றன:

நான் · a n = a m + n.

2. அதே அடித்தளத்துடன் டிகிரிகளை பிரிக்கும் போது, ​​அவற்றின் குறிகாட்டிகள் கழிக்கப்பட்டது .

3. இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காரணிகளின் உற்பத்தியின் அளவு இந்த காரணிகளின் அளவுகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்.

4. விகிதத்தின் அளவு (பின்னம்) ஈவுத்தொகை (எண்) மற்றும் வகுப்பான் (வகுப்பு) ஆகியவற்றின் டிகிரிகளின் விகிதத்திற்கு சமம்:

(a/b) n = a n / b n.

5. ஒரு பட்டத்தை ஒரு சக்திக்கு உயர்த்தும்போது, ​​அவற்றின் குறிகாட்டிகள் பெருக்கப்படுகின்றன:

மேலே உள்ள அனைத்து சூத்திரங்களும் இடமிருந்து வலமாக மற்றும் நேர்மாறாக இரு திசைகளிலும் படிக்கப்பட்டு செயல்படுத்தப்படுகின்றன.

உதாரணமாக (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

வேர்கள் கொண்ட செயல்பாடுகள். கீழே உள்ள அனைத்து சூத்திரங்களிலும், குறியீடு என்பது பொருள் எண்கணித வேர்(தீவிர வெளிப்பாடு நேர்மறை).

1. பல காரணிகளின் உற்பத்தியின் வேர் தயாரிப்புக்கு சமம்இந்த காரணிகளின் வேர்கள்:

2. விகிதத்தின் வேர் ஈவுத்தொகை மற்றும் வகுப்பியின் வேர்களின் விகிதத்திற்கு சமம்:

3. ஒரு வேரை ஒரு சக்திக்கு உயர்த்தும் போது, ​​இந்த சக்திக்கு உயர்த்தினால் போதும் மூல எண்:

4. நீங்கள் ரூட்டின் அளவை மீ மடங்கு அதிகரித்து, ஒரே நேரத்தில் ரூட் எண்ணை m -th டிகிரிக்கு உயர்த்தினால், ரூட்டின் மதிப்பு மாறாது:

5. நீங்கள் ரூட்டின் அளவை மீ மடங்கு குறைத்து, அதே நேரத்தில் தீவிர எண்ணிலிருந்து மீ-வது பட்டத்தின் மூலத்தை பிரித்தெடுத்தால், ரூட்டின் மதிப்பு மாறாது:

பட்டம் என்ற கருத்தின் விரிவாக்கம். இதுவரை, நாம் பட்டங்களை ஒரு இயற்கை காட்டி மட்டுமே கருதினோம்; ஆனால் சக்திகள் மற்றும் வேர்கள் கொண்ட செயல்பாடுகளும் வழிவகுக்கும் எதிர்மறை, பூஜ்யம்மற்றும் பகுதியளவுகுறிகாட்டிகள். இந்த அனைத்து அடுக்குகளுக்கும் கூடுதல் வரையறை தேவைப்படுகிறது.

எதிர்மறை அடுக்குடன் பட்டம். எதிர்மறை (முழு எண்) அதிவேகத்துடன் கூடிய சில எண்ணின் சக்தி, எதிர்மறை அடுக்குகளின் முழுமையான மதிப்புக்கு சமமான அடுக்குடன் அதே எண்ணின் சக்தியால் வகுக்கப்பட்ட ஒன்றாக வரையறுக்கப்படுகிறது:

இப்போது சூத்திரம் நான் : ஒரு = ஒரு m-nக்கு மட்டும் பயன்படுத்த முடியாது மீ, விட n, ஆனால் மணிக்கு மீ, குறைவாக n .

உதாரணமாக அ 4: அ 7 = ஏ 4 — 7 = ஏ — 3 .

சூத்திரம் வேண்டுமானால் நான் : ஒரு = நான் — nநியாயமாக இருந்தது m = n, பூஜ்ஜிய பட்டத்தின் வரையறை நமக்குத் தேவை.

பூஜ்ஜிய அடுக்குடன் பட்டம். பூஜ்ஜிய அடுக்குடன் பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணின் அளவு 1 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள். 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

ஒரு பகுதியளவு அடுக்குடன் பட்டம். உண்மையான எண்ணை a ஐ சக்தி m / nக்கு உயர்த்த, இந்த எண்ணின் mth சக்தியிலிருந்து n வது பட்டத்தின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்க வேண்டும் a:

அர்த்தமில்லாத வெளிப்பாடுகள் பற்றி. இதுபோன்ற பல வெளிப்பாடுகள் உள்ளன.

எங்கே அ ≠ 0 , இல்லை.

உண்மையில், நாம் அதைக் கருதினால் எக்ஸ்ஒரு குறிப்பிட்ட எண், பின்னர், பிரிவு செயல்பாட்டின் வரையறைக்கு ஏற்ப, எங்களிடம் உள்ளது: அ = 0· எக்ஸ், அதாவது அ= 0, இது நிபந்தனைக்கு முரணானது: அ ≠ 0

— எந்த எண்.

உண்மையில், இந்த வெளிப்பாடு சில எண்ணுக்கு சமம் என்று நாம் கருதினால் எக்ஸ், பின்னர் பிரிவு செயல்பாட்டின் வரையறையின்படி நம்மிடம் உள்ளது: 0 = 0 எக்ஸ். ஆனால் இந்த சமத்துவம் உள்ளது எந்த எண் x, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டியிருந்தது.

0 0 — எந்த எண்.

தீர்வு. மூன்று முக்கிய நிகழ்வுகளைக் கவனியுங்கள்:

1) எக்ஸ் = 0 – இந்த மதிப்பு இந்த சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்யவில்லை

2) எப்போது எக்ஸ்> 0 நாம் பெறுகிறோம்: x / x= 1, அதாவது. 1 = 1, பின்வருபவை,

என்ன எக்ஸ்- எந்த எண்; ஆனால் அதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது

எங்கள் வழக்கு எக்ஸ்> 0, பதில் எக்ஸ் > 0 ;

வெவ்வேறு அடிப்படைகளுடன் சக்திகளைப் பெருக்குவதற்கான விதிகள்

பகுத்தறிவு குறிகாட்டியுடன் பட்டம்,

சக்தி செயல்பாடு IV

§ 69. அதே அடிப்படைகளைக் கொண்ட அதிகாரங்களின் பெருக்கல் மற்றும் பிரிவு

தேற்றம் 1.ஒரே அடிப்படைகளுடன் சக்திகளைப் பெருக்க, அடுக்குகளைச் சேர்த்து, அடித்தளத்தை அப்படியே விட்டுவிட்டால் போதும்.

ஆதாரம்.பட்டத்தின் வரையறையின்படி

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

இரண்டு சக்திகளின் விளைபொருளைக் கருத்தில் கொண்டோம். உண்மையில், நிரூபிக்கப்பட்ட சொத்து, அதே அடிப்படைகளைக் கொண்ட எத்தனை அதிகாரங்களுக்கு உண்மையாக இருக்கும்.

தேற்றம் 2.அதே அடிப்படைகளைக் கொண்ட அதிகாரங்களைப் பிரிப்பதற்கு, ஈவுத்தொகையின் குறிகாட்டியானது வகுப்பியின் குறிகாட்டியை விட அதிகமாக இருக்கும் போது, ​​ஈவுத்தொகையின் குறிகாட்டியிலிருந்து வகுப்பியின் குறிகாட்டியைக் கழித்துவிட்டு, அடித்தளத்தை அப்படியே விட்டுவிட்டால் போதும். மணிக்கு t > n

(அ =/= 0)

ஆதாரம்.ஒரு எண்ணை மற்றொரு எண்ணால் வகுத்தால் வரும் எண், வகுத்தால் பெருக்கப்படும் போது, ​​ஈவுத்தொகையைக் கொடுக்கும். எனவே, சூத்திரத்தை நிரூபிக்கவும் , எங்கே அ =/= 0, இது சூத்திரத்தை நிரூபிப்பது போன்றது

ஒரு என்றால் t > n , பின்னர் எண் t - p இயற்கையாக இருக்கும்; எனவே, தேற்றம் 1 மூலம்

தேற்றம் 2 நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

சூத்திரம் என்பதைக் கவனியுங்கள்

என்ற அனுமானத்தின் கீழ் மட்டுமே எங்களால் நிரூபிக்கப்பட்டது t > n . எனவே, நிரூபிக்கப்பட்டவற்றிலிருந்து, எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் முடிவுகளை எடுக்க இன்னும் சாத்தியமில்லை:

கூடுதலாக, எதிர்மறை அடுக்குகளைக் கொண்ட டிகிரிகளை நாங்கள் இன்னும் கருத்தில் கொள்ளவில்லை, மேலும் வெளிப்பாடு 3 க்கு என்ன அர்த்தம் கொடுக்க முடியும் என்று எங்களுக்கு இன்னும் தெரியவில்லை. - 2 .

தேற்றம் 3. ஒரு சக்தியை ஒரு சக்தியாக உயர்த்த, அடுக்குகளை பெருக்கினால் போதும், அடுக்குகளின் அடிப்பகுதியை அப்படியே விட்டுவிடுங்கள்., அது

ஆதாரம்.இந்த பிரிவின் பட்டம் மற்றும் தேற்றம் 1 இன் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

கே.இ.டி.

உதாரணமாக, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (வாய்வழி.) தீர்மானிக்கவும் எக்ஸ் சமன்பாடுகளில் இருந்து:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 எக்ஸ் ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 எக்ஸ் ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 எக்ஸ் ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 எக்ஸ் .

519. (சரிசெய்யப்பட்டது) எளிமையாக்கு:

520. (சரிசெய்யப்பட்டது) எளிமையாக்கு:

521. இந்த வெளிப்பாடுகளை அதே அடிப்படைகளுடன் டிகிரிகளாக வழங்கவும்:

1) 32 மற்றும் 64; 3) 85 மற்றும் 163; 5) 4 100 மற்றும் 32 50;

2) -1000 மற்றும் 100; 4) -27 மற்றும் -243; 6) 81 75 8 200 மற்றும் 3 600 4 150.