tgx a சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான பொதுவான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல். பாடம் "ஆர்க் டேன்ஜென்ட் மற்றும் ஆர்க் டேன்ஜென்ட். சமன்பாடுகளின் தீர்வு tgx = a, ctgx = a". பொதுவான வடிவத்தில் tgx=a சமன்பாட்டின் தீர்வு

முன்னதாக நிகழ்ச்சியில், மாணவர்களுக்கு தீர்வு குறித்த யோசனை கிடைத்தது முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள், arccosine மற்றும் arcsine கருத்துகளுடன் பழகினோம், cos t = a மற்றும் sin t = a சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள். இந்த வீடியோ டுடோரியலில், tg x = a மற்றும் ctg x = a ஆகிய சமன்பாடுகளின் தீர்வைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

இந்த தலைப்பின் ஆய்வின் தொடக்கத்தில், tg x = 3 மற்றும் tg x = - 3 சமன்பாடுகளைக் கவனியுங்கள். tg x = 3 என்ற சமன்பாட்டை வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்த்தால், y செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு என்பதைக் காண்போம். = tg x மற்றும் y = 3 ஆகியவை எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளன, இங்கு x = x 1 + πk. மதிப்பு x 1 என்பது y = tg x மற்றும் y = 3 சார்புகளின் வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டுப் புள்ளியின் x ஒருங்கிணைப்பு ஆகும். ஆசிரியர் arctangent என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்துகிறார்: arctg 3 என்பது tg 3 ஆக இருக்கும் ஒரு எண், மேலும் இந்த எண் சேர்ந்தது. -π/2 முதல் π/2 வரையிலான இடைவெளி. arctangent என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்தி, tan x = 3 சமன்பாட்டின் தீர்வை x = arctan 3 + πk என எழுதலாம்.

ஒப்புமை மூலம், சமன்பாடு tg x \u003d - 3 தீர்க்கப்படுகிறது. y \u003d tg x மற்றும் y \u003d - 3 செயல்பாடுகளின் கட்டமைக்கப்பட்ட வரைபடங்களின்படி, வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் மற்றும் அதனால் தீர்வுகள் இருப்பதைக் காணலாம். சமன்பாடுகளில், x \u003d x 2 + πk இருக்கும். ஆர்க் டேன்ஜென்ட்டைப் பயன்படுத்தி, தீர்வை x = ஆர்க்டான் (- 3) + πk என எழுதலாம். பின்வரும் படத்தில், arctg (- 3) = - arctg 3 என்பதைக் காண்போம்.

ஆர்க் டேன்ஜென்ட்டின் பொதுவான வரையறை பின்வருமாறு: a இன் ஆர்க் டேன்ஜென்ட் என்பது -π / 2 இலிருந்து π / 2 வரையிலான இடைவெளியில் இருந்து அத்தகைய எண்ணாகும், அதன் தொடுகோடு a ஆகும். பின்னர் tg x = a என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வு x = arctg a + πk ஆகும்.

ஆசிரியர் ஒரு உதாரணம் தருகிறார் 1. arctg என்ற வெளிப்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டறியவும். குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்: எண்ணின் ஆர்க் டேன்ஜென்ட் x, ​​பின்னர் tg x கொடுக்கப்பட்ட எண்ணுக்கு சமமாக இருக்கும், அங்கு x என்பது -π/ இலிருந்து பிரிவைச் சேர்ந்தது. 2 முதல் π/2 வரை. முந்தைய தலைப்புகளில் உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளைப் போலவே, மதிப்புகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்துவோம். இந்த அட்டவணையின்படி, இந்த எண்ணின் தொடுகோடு மதிப்பு x = π/3 க்கு ஒத்திருக்கிறது. π / 3 க்கு சமமான கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் வில் தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வை எழுதுகிறோம், π / 3 -π / 2 முதல் π / 2 வரையிலான இடைவெளிக்கு சொந்தமானது.

எடுத்துக்காட்டு 2 - எதிர்மறை எண்ணின் ஆர்க் டேன்ஜென்ட்டைக் கணக்கிடவும். சமத்துவம் arctg (- a) = - arctg a ஐப் பயன்படுத்தி, x மதிப்பை உள்ளிடவும். உதாரணம் 2 ஐப் போலவே, x இன் மதிப்பை எழுதுகிறோம், இது -π/2 இலிருந்து π/2 வரையிலான இடைவெளியைச் சேர்ந்தது. மதிப்புகளின் அட்டவணையின்படி, x = π/3, எனவே, -- tg x = - π/3 என்பதைக் காண்கிறோம். சமன்பாட்டிற்கான பதில் - π/3.

எடுத்துக்காட்டு 3. tan x = 1 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம். x = arctan 1 + πk என்று எழுதுவோம். அட்டவணையில், tg 1 இன் மதிப்பு x \u003d π / 4 மதிப்புடன் ஒத்துள்ளது, எனவே, arctg 1 \u003d π / 4. இந்த மதிப்பை அசல் x சூத்திரத்தில் மாற்றி, x = π/4 + πk என்ற பதிலை எழுதவும்.

எடுத்துக்காட்டு 4: tg x = - 4.1 ஐக் கணக்கிடவும். இந்த வழக்கில், x = arctg (- 4.1) + πk. ஏனெனில் இந்த வழக்கில் arctg இன் மதிப்பைக் கண்டுபிடிக்க முடியாது, பதில் x = arctg (- 4.1) + πk போல இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 5 சமத்துவமின்மையின் தீர்வைக் கருதுகிறது tg x > 1. அதைத் தீர்க்க, y = tg x மற்றும் y = 1 செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களைத் திட்டமிடுகிறோம். படத்தில் காணக்கூடியது போல, இந்த வரைபடங்கள் x = π புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன. /4 + πk. ஏனெனில் இந்த வழக்கில், tg x > 1, வரைபடத்தில் நாம் டேன்ஜெண்டாய்டின் பகுதியைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம், இது வரைபடம் y = 1 க்கு மேலே உள்ளது, அங்கு x என்பது π/4 முதல் π/2 வரையிலான இடைவெளியைச் சேர்ந்தது. பதிலை π/4 + πk என எழுதுகிறோம்< x < π/2 + πk.

அடுத்து, ctg x = a சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள். படம் y = ctg x, y = a, y = - a செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களைக் காட்டுகிறது, அவை பல வெட்டுப்புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளன. தீர்வுகளை x = x 1 + πk என எழுதலாம், இங்கு x 1 = arcctg a மற்றும் x = x 2 + πk, இங்கு x 2 = arcctg (- a). x 2 \u003d π - x 1 என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. இது சமத்துவத்தை குறிக்கிறது arcctg (- a) = π - arcctg a. மேலும், ஆர்க் கோடேன்ஜென்ட்டின் வரையறை கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: a இன் ஆர்க் கோடேன்ஜென்ட் என்பது 0 முதல் π வரையிலான இடைவெளியில் உள்ள அத்தகைய எண்ணாகும், அதன் கோட்டான்ஜென்ட் a க்கு சமம். сtg x = a சமன்பாட்டின் தீர்வு இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: x = arcctg a + πk.

வீடியோ பாடத்தின் முடிவில், மற்றொரு முக்கியமான முடிவு எடுக்கப்பட்டது - ctg x = a என்ற வெளிப்பாடு tg x = 1/a என எழுதப்படலாம், இது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை.

உரை விளக்கம்:

tg x \u003d 3 மற்றும் tg x \u003d - 3 ஆகிய சமன்பாடுகளின் தீர்வைக் கவனியுங்கள். முதல் சமன்பாட்டை வரைபடமாகத் தீர்ப்பதன் மூலம், y \u003d tg x மற்றும் y \u003d 3 சார்புகளின் வரைபடங்கள் எல்லையற்ற பல வெட்டுப் புள்ளிகளைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்கிறோம். நாம் வடிவத்தில் எழுதும் abscissas

x \u003d x 1 + πk, இங்கு x 1 என்பது டேன்ஜெண்டாய்டின் (படம் 1) முக்கிய கிளையுடன் (படம் 1) கோடு y \u003d 3 வெட்டும் புள்ளியின் abscissa ஆகும், இதற்காக பதவி கண்டுபிடிக்கப்பட்டது

ஆர்க்டான் 3 (மூன்றின் வில் தொடுகோடு).

arctg 3 ஐ எவ்வாறு புரிந்துகொள்வது?

இது ஒரு எண்ணாகும், அதன் தொடுகோடு 3 மற்றும் இந்த எண் இடைவெளிக்கு சொந்தமானது (-;). பின்னர் tg x \u003d 3 சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களையும் x \u003d arctan 3 + πk சூத்திரத்தால் எழுதலாம்.

இதேபோல், tg x \u003d - 3 சமன்பாட்டின் தீர்வை x \u003d x 2 + πk என எழுதலாம், இங்கு x 2 என்பது y \u003d - 3 கோட்டின் முக்கிய கிளையுடன் வெட்டும் புள்ளியின் abscissa ஆகும். tangentoid (படம். 1), இதற்கான பதவி arctg (- 3) (arct tangent மைனஸ் மூன்று). பின்னர் சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களையும் சூத்திரத்தால் எழுதலாம்: x \u003d arctg (-3) + πk. படம் arctg(- 3)= - arctg 3 என்று காட்டுகிறது.

ஆர்க் டேன்ஜென்ட்டின் வரையறையை உருவாக்குவோம். ஆர்க் டேன்ஜென்ட் a என்பது இடைவெளியில் (-;) இருந்து வரும் எண்ணாகும், அதன் தொடுகோடு a க்கு சமம்.

சமத்துவம் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது: arctg(-a) = -arctg a, இது எந்த a க்கும் செல்லுபடியாகும்.

ஆர்க் டேன்ஜென்ட்டின் வரையறையை அறிந்து, சமன்பாட்டின் தீர்வு பற்றி ஒரு பொதுவான முடிவை எடுக்கிறோம்

tg x \u003d a: tg x \u003d a சமன்பாட்டில் x \u003d arctg a + πk தீர்வு உள்ளது.

உதாரணங்களைக் கவனியுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 1. arctg ஐக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு. arctg = x, பின்னர் tgx = மற்றும் xϵ (-;). மதிப்புகளின் அட்டவணையைக் காட்டு எனவே, x =, tg = மற்றும் ϵ (- ;).

எனவே arctg =.

எடுத்துக்காட்டு 2 ஆர்க்டானை (-) கணக்கிடவும்.

தீர்வு. சமத்துவம் arctg (- a) \u003d - arctg a ஐப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

arctg(-) = - arctg . நாம் - arctg = x, பின்னர் - tgx = மற்றும் xϵ (-;). எனவே, x =, tg = மற்றும் ϵ (- ;). மதிப்புகளின் அட்டவணையைக் காட்டு

எனவே - arctg=- tgх= - .

எடுத்துக்காட்டு 3. tgх = 1 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

1. தீர்வு சூத்திரத்தை எழுதுவோம்: x = arctg 1 + πk.

2. மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்வில் தொடுகோடு

tg = . மதிப்புகளின் அட்டவணையைக் காட்டு

எனவே arctg1= .

3. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை தீர்வு சூத்திரத்தில் வைக்கவும்:

எடுத்துக்காட்டு 4. tgx \u003d - 4.1 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் (தொடு x என்பது மைனஸ் நான்கு புள்ளி ஒரு பத்தில் சமம்).

தீர்வு. தீர்வு சூத்திரத்தை எழுதுவோம்: x \u003d arctg (- 4.1) + πk.

ஆர்க் டேன்ஜென்ட்டின் மதிப்பை நம்மால் கணக்கிட முடியாது, எனவே சமன்பாட்டின் தீர்வை அப்படியே விட்டுவிடுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 5. சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கவும் tgх 1.

தீர்வு. அதை வரைபடமாக செய்வோம்.

1. ஒரு டேன்ஜெண்டாய்டை உருவாக்குவோம்

y \u003d tgx மற்றும் ஒரு நேர் கோடு y \u003d 1 (படம் 2). அவை x = + πk வடிவத்தின் புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன.

2. x-அச்சின் இடைவெளியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும், அதில் டேன்ஜெண்டாய்டின் முக்கிய கிளை y \u003d 1 என்ற நேர் கோட்டிற்கு மேலே அமைந்துள்ளது, ஏனெனில் நிபந்தனையின்படி tgх 1. இது இடைவெளி (;).

3. செயல்பாட்டின் கால இடைவெளியைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

சொத்து 2. y \u003d tg x - ஒரு அடிப்படை காலம் π கொண்ட ஒரு கால செயல்பாடு.

y \u003d tgx செயல்பாட்டின் கால இடைவெளியைக் கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, நாங்கள் பதிலை எழுதுகிறோம்:

(;). பதிலை இரட்டை சமத்துவமின்மை என்று எழுதலாம்:

ctg x \u003d a சமன்பாட்டிற்கு செல்லலாம். நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை a க்கான சமன்பாட்டின் தீர்வின் வரைகலை விளக்கத்தை முன்வைப்போம் (படம் 3).

y \u003d ctg x மற்றும் y \u003d a மற்றும் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள்

y=ctg x மற்றும் y=-a

எண்ணற்ற பல பொதுவான புள்ளிகள் உள்ளன, இவற்றின் அப்சிசாஸ்கள் வடிவம் கொண்டவை:

x \u003d x 1 +, இங்கு x 1 என்பது டேன்ஜெண்டாய்டின் முக்கிய கிளையுடன் y \u003d a கோட்டின் வெட்டும் புள்ளியின் abscissa மற்றும்

x 1 = arcctg a;

x \u003d x 2 +, இங்கு x 2 என்பது கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் abscissa ஆகும்

y \u003d - ஆனால் tangentoid மற்றும் x 2 \u003d arcсtg (- a) இன் முக்கிய கிளையுடன்.

x 2 \u003d π - x 1 என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். எனவே முக்கியமான சமன்பாட்டை எழுதுகிறோம்:

arcctg (-a) = π - arcctg a.

வரையறையை உருவாக்குவோம்: a இன் ஆர்க் கோடேன்ஜென்ட் என்பது இடைவெளியில் இருந்து (0; π) ஒரு எண்ணாகும், அதன் கோட்டான்ஜென்ட் a க்கு சமம்.

ctg x \u003d a சமன்பாட்டின் தீர்வு இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: x \u003d arcсtg a +.

ctg x = a என்ற சமன்பாட்டை படிவமாக மாற்றலாம்

tg x = , a = 0 தவிர.

உங்கள் பிரச்சனைக்கு விரிவான தீர்வை நீங்கள் ஆர்டர் செய்யலாம் !!!

முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் (`sin x, cos x, tg x` அல்லது `ctg x`) அடையாளத்தின் கீழ் அறியப்படாத ஒரு சமத்துவம் முக்கோணவியல் சமன்பாடு என அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அவற்றின் சூத்திரங்களை மேலும் கருத்தில் கொள்வோம்.

எளிமையான சமன்பாடுகள் `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, இங்கு `x` என்பது கண்டுபிடிக்க வேண்டிய கோணம், `a` என்பது எந்த எண்ணாகும். அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் மூல சூத்திரங்களை எழுதுவோம்.

1. சமன்பாடு `sin x=a`.

`|a|>1` க்கு தீர்வுகள் இல்லை.

உடன் `|a| \leq 1` உள்ளது எல்லையற்ற எண்தீர்வுகள்.

ரூட் சூத்திரம்: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. சமன்பாடு `cos x=a`

`|a|>1` -க்கு - சைனின் விஷயத்தில், உண்மையான எண்களுக்கு இடையே தீர்வுகள் இல்லை.

உடன் `|a| \leq 1` எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

ரூட் சூத்திரம்: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

வரைபடங்களில் சைன் மற்றும் கொசைனுக்கான சிறப்பு வழக்குகள்.

3. சமன்பாடு `tg x=a`

`a` இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.

ரூட் சூத்திரம்: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. சமன்பாடு `ctg x=a`

`a` இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் இது எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

ரூட் சூத்திரம்: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

அட்டவணையில் உள்ள முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்கள்

சைனஸுக்கு:
கொசைனுக்கு:
தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்டுக்கு:
தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரங்கள்:

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

எந்த முக்கோணவியல் சமன்பாட்டின் தீர்வும் இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது:

• அதை எளிமையானதாக மாற்ற பயன்படுத்துதல்;
• வேர்கள் மற்றும் அட்டவணைகளுக்கு மேலே உள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி எளிய சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி தீர்வுக்கான முக்கிய முறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

இயற்கணித முறை.

இந்த முறையில், ஒரு மாறியை மாற்றுவதும் சமத்துவமாக மாற்றுவதும் செய்யப்படுகிறது.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

மாற்றீடு செய்யுங்கள்: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, பிறகு `2y^2-3y+1=0`,

நாம் வேர்களைக் கண்டறிகிறோம்: `y_1=1, y_2=1/2`, அதில் இருந்து இரண்டு நிகழ்வுகள் பின்பற்றப்படுகின்றன:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

பதில்: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

காரணியாக்கம்.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `sin x+cos x=1`.

தீர்வு. சமத்துவத்தின் அனைத்து விதிமுறைகளையும் இடது பக்கம் நகர்த்தவும்: `sin x+cos x-1=0`. பயன்படுத்தி, இடது பக்கத்தை மாற்றி, காரணியாக்குகிறோம்:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

பதில்: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு குறைப்பு

முதலில், நீங்கள் இந்த முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை இரண்டு வடிவங்களில் ஒன்றிற்கு கொண்டு வர வேண்டும்:

`a sin x+b cos x=0` (முதல் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு) அல்லது `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (இரண்டாம் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு).

இரண்டு பகுதிகளையும் முதல் வழக்கில் `cos x \ne 0` ஆகவும், இரண்டாவதாக `cos^2 x \ne 0` ஆகவும் பிரிக்கவும். `tg x`க்கான சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்: `a tg x+b=0` மற்றும் `a tg^2 x + b tg x +c =0`, இது தெரிந்த முறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்பட வேண்டும்.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

தீர்வு. வலது பக்கத்தை `1=sin^2 x+cos^2 x` என எழுதுவோம்:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

இது இரண்டாவது பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான முக்கோணவியல் சமன்பாடு ஆகும், அதன் இடது மற்றும் வலது பகுதிகளை `cos^2 x \ne 0` ஆல் வகுத்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. மாற்றாக `tg x=t` ஐ அறிமுகப்படுத்துவோம், இதன் விளைவாக `t^2 + t - 2=0`. இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் `t_1=-2` மற்றும் `t_2=1` ஆகும். பிறகு:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

பதில். `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

ஹாஃப் கார்னருக்குச் செல்லுங்கள்

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

தீர்வு. இரட்டைக் கோண சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தினால், விளைவு: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

மேலே விவரிக்கப்பட்ட இயற்கணித முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

பதில். `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

துணை கோணத்தின் அறிமுகம்

முக்கோணவியல் சமன்பாட்டில் `a sin x + b cos x =c`, இதில் a,b,c குணகம் மற்றும் x ஒரு மாறி, நாம் இரு பகுதிகளையும் `sqrt (a^2+b^2)` ஆல் வகுக்கிறோம்:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =``\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

இடதுபுறத்தில் உள்ள குணகங்கள் சைன் மற்றும் கொசைனின் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது, அவற்றின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை 1 க்கு சமம் மற்றும் அவற்றின் மாடுலஸ் 1 ஐ விட அதிகமாக இல்லை. அவற்றை பின்வருமாறு குறிக்கவும்: `\frac a(sqrt (a^2+) b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, பின்னர்:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

பின்வரும் உதாரணத்தை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்:

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `3 sin x+4 cos x=2`.

தீர்வு. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் `sqrt (3^2+4^2)` ​​ஆல் வகுத்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 பாவம் x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` என்பதைக் குறிக்கவும். `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` என்பதால், `\varphi=arcsin 4/5`ஐ துணைக் கோணமாக எடுத்துக்கொள்கிறோம். பின்னர் எங்கள் சமத்துவத்தை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

சைனுக்கான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், பின்வரும் வடிவத்தில் நமது சமத்துவத்தை எழுதுகிறோம்:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

பதில். `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

பின்னம்-பகுத்தறிவு முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்

இவை பின்னங்களுடனான சமத்துவங்கள், எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளில் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் உள்ளன.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

தீர்வு. சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தை `(1+cos x)` ஆல் பெருக்கி வகுக்கவும். இதன் விளைவாக, நாம் பெறுகிறோம்:

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

வகுத்தல் பூஜ்ஜியமாக இருக்க முடியாது என்பதால், `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமன்: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. பிறகு `sin x=0` அல்லது `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, தீர்வுகள் `x=2\pi n, n \in Z` மற்றும் `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

பதில். `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

முக்கோணவியல், மற்றும் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள், வடிவியல், இயற்பியல் மற்றும் பொறியியலின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து பகுதிகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஆய்வு 10 ஆம் வகுப்பில் தொடங்குகிறது, தேர்வுக்கான பணிகள் எப்போதும் உள்ளன, எனவே முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் அனைத்து சூத்திரங்களையும் நினைவில் வைக்க முயற்சிக்கவும் - அவை நிச்சயமாக உங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும்!

இருப்பினும், நீங்கள் அவற்றை மனப்பாடம் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை, முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், சாரத்தை புரிந்துகொள்வது மற்றும் ஊகிக்க முடியும். இது தோன்றுவது போல் கடினம் அல்ல. வீடியோவைப் பார்த்து நீங்களே பாருங்கள்.

வெற்றிகரமாக தீர்க்க முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்பயன்படுத்த வசதியானது குறைப்பு முறைமுன்பு தீர்க்கப்பட்ட பிரச்சனைகளுக்கு. இந்த முறையின் சாராம்சம் என்ன என்று பார்ப்போம்?

எந்தவொரு முன்மொழியப்பட்ட சிக்கலிலும், நீங்கள் முன்னர் தீர்க்கப்பட்ட சிக்கலைப் பார்க்க வேண்டும், பின்னர், தொடர்ச்சியான சமமான மாற்றங்களின் உதவியுடன், உங்களுக்கு வழங்கப்பட்ட சிக்கலை எளிமையானதாகக் குறைக்க முயற்சிக்கவும்.

எனவே, முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​அவை வழக்கமாக சமமான சமன்பாடுகளின் சில வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையை உருவாக்குகின்றன, இதன் கடைசி இணைப்பு வெளிப்படையான தீர்வுடன் கூடிய சமன்பாடு ஆகும். எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான திறன்கள் உருவாகவில்லை என்றால், மிகவும் சிக்கலான சமன்பாடுகளின் தீர்வு கடினமாகவும் பயனற்றதாகவும் இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்வது மட்டுமே முக்கியம்.

கூடுதலாக, முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் போது, ​​பல தீர்வுகள் இருப்பதற்கான சாத்தியக்கூறுகளை நீங்கள் ஒருபோதும் மறந்துவிடக் கூடாது.

எடுத்துக்காட்டு 1. இடைவெளியில் cos x = -1/2 சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:

நான் வழி. y = cos x மற்றும் y = -1/2 செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை வரைவோம் மற்றும் அவற்றின் பொதுவான புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையை இடைவெளியில் (படம் 1) கண்டுபிடிப்போம்.

செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் இடைவெளியில் இரண்டு பொதுவான புள்ளிகளைக் கொண்டிருப்பதால், சமன்பாடு இந்த இடைவெளியில் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

இரண்டாம் வழி.முக்கோணவியல் வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி (படம் 2), cos x = -1/2 இடைவெளியைச் சேர்ந்த புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியலாம். சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதை படம் காட்டுகிறது.

III வழி.முக்கோணவியல் சமன்பாட்டின் வேர்களின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, cos x = -1/2 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கிறோம்.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k என்பது ஒரு முழு எண் (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k என்பது ஒரு முழு எண் (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k என்பது ஒரு முழு எண் (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k என்பது ஒரு முழு எண் (k € Z).

2π/3 மற்றும் -2π/3 + 2π வேர்கள் இடைவெளியைச் சேர்ந்தவை, k என்பது ஒரு முழு எண். இவ்வாறு, சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

பதில்: 2.

எதிர்காலத்தில், முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் முன்மொழியப்பட்ட முறைகளில் ஒன்றின் மூலம் தீர்க்கப்படும், இது பல சந்தர்ப்பங்களில் மற்ற முறைகளின் பயன்பாட்டை விலக்கவில்லை.

எடுத்துக்காட்டு 2. சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும் tg (x + π/4) = 1 இடைவெளியில் [-2π; 2π].

தீர்வு:

முக்கோணவியல் சமன்பாட்டின் வேர்களின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

x + π/4 = ஆர்க்டான் 1 + πk, k என்பது ஒரு முழு எண் (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k என்பது ஒரு முழு எண் (k € Z);

x = πk, k என்பது ஒரு முழு எண் (k ∈ Z);

இடைவெளி [-2π; 2π] எண்கள் -2πக்கு சொந்தமானது; -π; 0; π; 2π. எனவே, சமன்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் ஐந்து வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

பதில்: 5.

எடுத்துக்காட்டு 3. சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையை cos 2 x + sin x cos x = 1 இடைவெளியில் [-π; π].

தீர்வு:

1 = sin 2 x + cos 2 x (அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளம்) என்பதால், அசல் சமன்பாடு:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x cos x \u003d 0;

sin x(sin x - cos x) = 0. தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அதாவது குறைந்தபட்சம் ஒரு காரணி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே:

sin x \u003d 0 அல்லது sin x - cos x \u003d 0.

மாறியின் மதிப்பு, இதில் cos x = 0, இரண்டாவது சமன்பாட்டின் வேர்கள் அல்ல (ஒரே எண்ணின் சைனும் கொசைனும் ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது), பின்னர் நாம் இரண்டின் இரு பகுதிகளையும் பிரிக்கிறோம். cos x மூலம் சமன்பாடு:

sin x = 0 அல்லது sin x / cos x - 1 = 0.

இரண்டாவது சமன்பாட்டில், tg x = sin x / cos x என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

sin x = 0 அல்லது tg x = 1. சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, எங்களிடம் உள்ளது:

x = πk அல்லது x = π/4 + πk, k என்பது ஒரு முழு எண் (k ∈ Z).

வேர்களின் முதல் தொடரிலிருந்து இடைவெளி வரை [-π; π] எண்களுக்கு உரியது -π; 0; π. இரண்டாவது தொடரிலிருந்து: (π/4 - π) மற்றும் π/4.

எனவே, அசல் சமன்பாட்டின் ஐந்து வேர்கள் இடைவெளிக்கு [-π; π].

பதில்: 5.

எடுத்துக்காட்டு 4. tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகையை [-π; 1.1π].

தீர்வு:

சமன்பாட்டை பின்வரும் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 மாற்றவும்.

tg x + сtgx = a எனலாம். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் சதுரமாக்குவோம்:

(tg x + сtg x) 2 = a 2 . அடைப்புக்குறிகளை விரிவாக்குவோம்:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2 .

tg x сtgx \u003d 1 என்பதால், tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, அதாவது

tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2 - 2.

இப்போது அசல் சமன்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Vieta இன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, a = -1 அல்லது a = -2 என்று பெறுகிறோம்.

தலைகீழ் மாற்றீட்டை உருவாக்குவது, எங்களிடம் உள்ளது:

tg x + сtgx = -1 அல்லது tg x + сtgx = -2. பெறப்பட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்போம்.

tgx + 1/tgx = -1 அல்லது tgx + 1/tgx = -2.

இரண்டு பரஸ்பர பரஸ்பர எண்களின் பண்புகளால், முதல் சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை என்பதை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம், மேலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து நம்மிடம் உள்ளது:

tg x = -1, அதாவது. x = -π/4 + πk, k என்பது ஒரு முழு எண் (k ∈ Z).

இடைவெளி [-π; 1,1π] வேர்கள் சேர்ந்தவை: -π/4; -π/4 + π. அவற்றின் கூட்டுத்தொகை:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

பதில்: π/2.

எடுத்துக்காட்டு 5. சின் 3x + சின் x = பாவம் 2x என்ற சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்கணித சராசரியைக் கண்டறியவும் [-π; 0.5π].

தீர்வு:

நாம் sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), பிறகு

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x மற்றும் சமன்பாடு ஆகிறது

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. சின் 2x என்ற பொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறிக்குள் எடுக்கிறோம்

sin 2x(2cos x - 1) = 0. இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

sin 2x \u003d 0 அல்லது 2cos x - 1 \u003d 0;

sin 2x = 0 அல்லது cos x = 1/2;

2x = πk அல்லது x = ±π/3 + 2πk, k என்பது ஒரு முழு எண் (k ∈ Z).

இவ்வாறு நமக்கு வேர்கள் உள்ளன

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k என்பது ஒரு முழு எண் (k € Z).

இடைவெளி [-π; 0.5π] வேர்களுக்கு சொந்தமானது -π; -π/2; 0; π/2 (வேர்களின் முதல் தொடரிலிருந்து); π/3 (இரண்டாவது தொடரிலிருந்து); -π/3 (மூன்றாவது தொடரிலிருந்து). அவற்றின் எண்கணித சராசரி:

(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.

பதில்: -π/6.

எடுத்துக்காட்டு 6. சின் x + cos x = 0 சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையை இடைவெளியில் [-1.25π; 2π].

தீர்வு:

இந்த சமன்பாடு முதல் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு ஆகும். அதன் இரு பகுதிகளையும் cosx ஆல் வகுக்கவும் (மாறியின் மதிப்பு, இதில் cos x = 0, இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் அல்ல, ஏனெனில் ஒரே எண்ணின் சைனும் கொசைனும் ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது). அசல் சமன்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது:

x = -π/4 + πk, k என்பது ஒரு முழு எண் (k € Z).

இடைவெளி [-1.25π; 2π] வேர்கள் -π/4; (-π/4 + π); மற்றும் (-π/4 + 2π).

இவ்வாறு, சமன்பாட்டின் மூன்று வேர்கள் கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியைச் சேர்ந்தவை.

பதில்: 3.

மிக முக்கியமான காரியத்தைச் செய்ய கற்றுக்கொள்ளுங்கள் - சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான திட்டத்தை தெளிவாக முன்வைக்க, பின்னர் எந்த முக்கோணவியல் சமன்பாடும் உங்கள் தோளில் இருக்கும்.

உங்களுக்கு ஏதேனும் கேள்விகள் உள்ளனவா? முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்று தெரியவில்லையா?
ஒரு ஆசிரியரின் உதவியைப் பெற - பதிவு செய்யுங்கள்.

தளத்தில், பொருளின் முழு அல்லது பகுதி நகலுடன், மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

இந்தப் பாடத்தில், ஆர்க் டேன்ஜென்ட் மற்றும் tg x = a வடிவத்தின் சமன்பாடுகளின் தீர்வு பற்றிய ஆய்வைத் தொடர்வோம். பாடத்தின் தொடக்கத்தில், சமன்பாட்டை ஒரு அட்டவணை மதிப்புடன் தீர்ப்போம் மற்றும் வரைபடத்தில் தீர்வை விளக்குவோம், பின்னர் வட்டத்தில். அடுத்து, tgx = a என்ற சமன்பாட்டை பொது வடிவத்தில் தீர்த்து, பதிலுக்கான பொதுவான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம். வரைபடத்திலும் வட்டத்திலும் கணக்கீடுகளை விளக்குகிறோம் மற்றும் கருத்தில் கொள்கிறோம் பல்வேறு வடிவங்கள்பதில் பாடத்தின் முடிவில், விளக்கப்படம் மற்றும் வட்டத்தில் உள்ள தீர்வுகளின் விளக்கத்துடன் பல சிக்கல்களைத் தீர்ப்போம்.

தலைப்பு: முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்

பாடம்: ஆர்க்டேன்ஜென்ட் மற்றும் சமன்பாடு tgx=a (தொடரும்)

1. பாடம் தலைப்பு, அறிமுகம்

இந்த பாடத்தில், எந்தவொரு உண்மையான சமன்பாட்டிற்கான சமன்பாட்டின் தீர்வைக் கருத்தில் கொள்வோம்

2. tgx=√3 சமன்பாட்டின் தீர்வு

பணி 1. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

செயல்பாட்டு வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம் (வரைபடம். 1).

இடைவெளியைக் கவனியுங்கள் இந்த இடைவெளியில், செயல்பாடு மோனோடோனிக் ஆகும், அதாவது இது செயல்பாட்டின் ஒரு மதிப்பில் மட்டுமே அடையப்படுகிறது.

பதில்:

எண் வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி அதே சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம் (படம் 2).

பதில்:

3. பொதுவான வடிவத்தில் tgx=a சமன்பாட்டின் தீர்வு

சமன்பாட்டை பொது வடிவத்தில் தீர்ப்போம் (படம் 3).

இடைவெளியில், சமன்பாடு ஒரு தனிப்பட்ட தீர்வு உள்ளது

மிகச் சிறிய நேர்மறை காலம்

ஒரு எண் வட்டத்தில் விளக்குவோம் (படம் 4).

4. சிக்கலைத் தீர்ப்பது

பணி 2. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

மாறி மாறி மாற்றுவோம்

பணி 3. கணினியைத் தீர்க்கவும்:

தீர்வு (படம் 5):

புள்ளியில், மதிப்பு எனவே கணினியின் தீர்வு புள்ளி மட்டுமே

பதில்:

பணி 4. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

மாறி மாற்று முறை மூலம் தீர்க்கலாம்:

சிக்கல் 5. இடைவெளியில் சமன்பாட்டின் தீர்வுகளின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும்

வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்ப்போம் (படம் 6).

ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் சமன்பாடு மூன்று தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

ஒரு எண் வட்டத்தில் (படம் 7) விளக்குவோம், இருப்பினும் இது வரைபடத்தில் தெளிவாக இல்லை.

பதில்: மூன்று தீர்வுகள்.

5. முடிவு, முடிவு

ஆர்க் டேன்ஜென்ட் என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்தி எந்த நிஜத்திற்கான சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்த்தோம். அடுத்த பாடத்தில், ஆர்க் டேன்ஜென்ட் என்ற கருத்தைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம்.

நூல் பட்டியல்

1. இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம், தரம் 10 (இரண்டு பகுதிகளாக). இதற்கான பயிற்சி கல்வி நிறுவனங்கள் (சுயவிவர நிலை) பதிப்பு. ஏ.ஜி. மோர்ட்கோவிச். -எம்.: Mnemosyne, 2009.

2. இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம், தரம் 10 (இரண்டு பகுதிகளாக). கல்வி நிறுவனங்களுக்கான பணி புத்தகம் (சுயவிவர நிலை), பதிப்பு. ஏ.ஜி. மோர்ட்கோவிச். -எம்.: மெமோசைன், 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. அல்ஜீப்ரா மற்றும் தரம் 10 க்கான கணித பகுப்பாய்வு ( பயிற்சிபள்ளிகள் மற்றும் வகுப்புகளின் மாணவர்களுக்கு கணிதம் பற்றிய ஆழமான ஆய்வு).-எம் .: கல்வி, 1996.

4. கலிட்ஸ்கி எம்.எல்., மோஷ்கோவிச் எம்.எம்., ஷ்வார்ட்ஸ்பர்ட் எஸ்.ஐ. இயற்கணிதம் மற்றும் கணிதப் பகுப்பாய்வு பற்றிய ஆழ்ந்த ஆய்வு.-எம்.: கல்வி, 1997.

5. தொழில்நுட்ப பல்கலைக்கழகங்களுக்கு விண்ணப்பிப்பவர்களுக்கான கணிதத்தில் பணிகளின் தொகுப்பு (எம்.ஐ.ஸ்கனவியின் ஆசிரியரின் கீழ்).-எம்.: உயர்நிலைப் பள்ளி, 1992.

6. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Algebraic simulator.-K.: A. S. K., 1997.

7. சஹாக்யான் எஸ்.எம்., கோல்ட்மேன் ஏ.எம்., டெனிசோவ் டி.வி. இயற்கணிதத்தில் பணிகள் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம் (பொதுக் கல்வி நிறுவனங்களின் 10-11 ஆம் வகுப்பு மாணவர்களுக்கான கையேடு). - எம்.: கல்வி, 2003.

8. ஏ.பி. கார்ப், இயற்கணிதத்தில் உள்ள சிக்கல்களின் தொகுப்பு மற்றும் பகுப்பாய்வின் கோட்பாடுகள்: Proc. 10-11 கலங்களுக்கான கொடுப்பனவு. ஆழத்துடன் படிப்பு கணிதம்.-எம்.: கல்வி, 2006.

வீட்டு பாடம்

அல்ஜீப்ரா மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம், தரம் 10 (இரண்டு பகுதிகளாக). கல்வி நிறுவனங்களுக்கான பணி புத்தகம் (சுயவிவர நிலை), பதிப்பு. ஏ.ஜி. மோர்ட்கோவிச். -எம்.: மெமோசைன், 2007.

№№ 22.18, 22.21.

கூடுதல் வலை வளங்கள்

1. கணிதம்.

2. இணைய போர்டல் பிரச்சனைகள். ru.

3. கல்வி போர்டல்தேர்வுகளுக்கு தயார் செய்ய.