Kako pomnožiti dve števili z različnimi potencami. Formule potenc in korenov. Nadaljevanje reševanja tipičnih problemov

Očitno je mogoče števila s potencami seštevati kot druge količine , tako da jih dodate enega za drugim z njihovimi znaki.

Torej je vsota a 3 in b 2 a 3 + b 2 .
Vsota a 3 - b n in h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4 .

kvote enake moči istih spremenljivk lahko dodamo ali odštejemo.

Torej je vsota 2a 2 in 3a 2 5a 2 .

Očitno je tudi, da če vzamemo dva kvadrata a, ali tri kvadrate a, ali pet kvadratov a.

Ampak stopinje različne spremenljivke in različne stopnje identične spremenljivke, je treba dodati tako, da jih dodate njihovim znakom.

Torej je vsota 2 in 3 vsota 2 + a 3.

Očitno je, da kvadrat a in kocka a nista dvakrat večja od kvadrata a, ampak dvakratna kocka od a.

Vsota a 3 b n in 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Odštevanje potenc se izvede na enak način kot seštevanje, le da je treba ustrezno spremeniti predznake subtrahenda.

ali:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Množenje moči

Števila s potencami lahko množimo kot druge količine tako, da jih zapišemo eno za drugo, z ali brez znaka za množenje med njimi.

Torej je rezultat množenja a 3 z b 2 a 3 b 2 ali aaabb.

ali:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultat v zadnjem primeru lahko uredite z dodajanjem istih spremenljivk.
Izraz bo imel obliko: a 5 b 5 y 3 .

Če primerjamo več števil (spremenljivk) s potencami, lahko vidimo, da če pomnožimo kateri koli dve od njiju, je rezultat število (spremenljivka) s potenco, ki je enaka vsota stopnje pogojev.

Torej, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tukaj je 5 potenca rezultata množenja, enaka 2 + 3, vsota potenc členov.

Torej, a n .a m = a m+n .

Za a n se a vzame kot faktor tolikokrat, kot je potenca n;

In a m se vzame kot faktor tolikokrat, kolikor je stopnja m enaka;

Zato, potence z enakimi osnovami lahko pomnožimo s seštevanjem eksponentov.

Torej, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . In x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

ali:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnoži (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnoži (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

To pravilo velja tudi za števila, katerih eksponenti so - negativno.

1. Torej, a -2 .a -3 = a -5 . To lahko zapišemo kot (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Če a + b pomnožimo z a - b, bo rezultat a 2 - b 2: to je

Rezultat množenja vsote ali razlike dveh števil je enaka vsoti ali razlika njihovih kvadratov.

Če vsoto in razliko dveh števil povišamo na kvadrat, bo rezultat enak vsoti ali razliki teh števil v četrti stopnja.

Torej, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Delitev oblasti

Potenčne številke lahko delimo tako kot druga števila z odštevanjem od delitelja ali tako, da jih postavimo v ulomek.

Torej je a 3 b 2 deljeno z b 2 a 3 .

ali:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Zapisovanje 5 deljeno s 3 izgleda kot $\frac(a^5)(a^3)$. Toda to je enako 2 . V nizu številk
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
poljubno število lahko delimo z drugim in eksponent bo enak Razlika indikatorji deljivih števil.

Pri deljenju potenc z isto osnovo se njihovi eksponenti odštejejo..

Torej, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . To je $\frac(yyy)(yy) = y$.

In a n+1:a = a n+1-1 = a n. To je $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

ali:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Pravilo velja tudi za števila z negativno stopnje vrednosti.
Rezultat deljenja -5 z -3 je -2.
Tudi $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ali $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Zelo dobro je treba obvladati množenje in deljenje potenc, saj se takšne operacije v algebri zelo pogosto uporabljajo.

Primeri reševanja primerov z ulomki, ki vsebujejo števila s potencami

1. Zmanjšajte eksponente v $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odgovor: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Zmanjšajte eksponente v $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odgovor: $\frac(2x)(1)$ ali 2x.

3. Zmanjšaj eksponente a 2 / a 3 in a -3 / a -4 ter jih spravi na skupni imenovalec.
a 2 .a -4 je prvi števec a -2.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi števec.
a 3 .a -4 je a -1 , skupni števec.
Po poenostavitvi: a -2 /a -1 in 1/a -1 .

4. Eksponenta 2a 4 /5a 3 in 2 /a 4 zmanjšaj in spravi na skupni imenovalec.
Odgovor: 2a 3 / 5a 7 in 5a 5 / 5a 7 ali 2a 3 / 5a 2 in 5/5a 2.

5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 z (a - b)/3.

6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 z (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnožite b 4 /a -2 s h -3 /x in a n /y -3.

8. Deli a 4 /y 3 s 3 /y 2 . Odgovor: a/y.

9. Deli (h 3 - 1)/d 4 z (d n + 1)/h.

Če morate določeno število dvigniti na potenco, lahko uporabite . Zdaj si bomo podrobneje ogledali lastnosti stopinj.

Eksponentna števila odpirajo velike možnosti, omogočajo nam, da množenje pretvorimo v seštevanje, seštevanje pa je veliko lažje kot množenje.

Na primer, 16 moramo pomnožiti s 64. Zmnožek teh dveh števil je 1024. Toda 16 je 4x4, 64 pa 4x4x4. Torej 16 krat 64=4x4x4x4x4, kar je prav tako 1024.

Število 16 lahko predstavimo tudi kot 2x2x2x2, 64 pa kot 2x2x2x2x2x2 in če pomnožimo, spet dobimo 1024.

Zdaj pa uporabimo pravilo. 16=4 2 ali 2 4 , 64=4 3 ali 2 6 , medtem ko je 1024=6 4 =4 5 ali 2 10 .

Zato lahko naš problem zapišemo drugače: 4 2 x4 3 =4 5 ali 2 4 x2 6 =2 10 in vsakič dobimo 1024.

Rešimo lahko številne podobne primere in vidimo, da se množenje števil s potencami zmanjša na seštevanje eksponentov, ali eksponent, seveda pod pogojem, da so baze faktorjev enake.

Tako lahko brez množenja takoj rečemo, da je 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

To pravilo velja tudi pri deljenju števil s potencami, vendar v tem primeru npr eksponent delitelja se odšteje od eksponenta dividende. Tako je 2 5:2 3 =2 2 , kar je v navadnih številih enako 32:8=4, torej 2 2 . Naj povzamemo:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, kjer sta m in n celi števili.

Na prvi pogled se morda zdi, da množenje in deljenje števil s potencami ni zelo priročno, ker morate najprej številko predstaviti v eksponentni obliki. Števila 8 in 16 ni težko predstaviti v tej obliki, to je 2 3 in 2 4, ampak kako to storiti s števili 7 in 17? Ali kaj storiti v tistih primerih, ko je število mogoče predstaviti v eksponentni obliki, vendar so osnove eksponentnih izrazov števil zelo različne. Na primer, 8×9 je 2 3 x 3 2, v tem primeru ne moremo sešteti eksponentov. Niti 2 5 niti 3 5 ni odgovor, niti ni odgovor med obema.

Ali se potem sploh splača ukvarjati s to metodo? Vsekakor vredno. Zagotavlja velike prednosti, zlasti pri zapletenih in zamudnih izračunih.

V prejšnjem članku smo govorili o tem, kaj so monomi. V tem gradivu bomo analizirali, kako rešiti primere in probleme, v katerih se uporabljajo. Tu bomo obravnavali operacije, kot so odštevanje, seštevanje, množenje, deljenje monomov in njihovo dvigovanje na potenco z naravni indikator. Pokazali bomo, kako so takšne operacije definirane, navedli osnovna pravila za njihovo izvedbo in kakšen mora biti rezultat. Vsa teoretična določila bodo, kot običajno, ponazorjena s primeri nalog z opisi rešitev.

Najbolj priročno je delati s standardnim zapisom monomov, zato vse izraze, ki bodo uporabljeni v članku, predstavljamo v standardni obliki. Če so na začetku nastavljeni drugače, je priporočljivo, da jih najprej spravite v splošno sprejeto obliko.

Pravila za seštevanje in odštevanje monomov

Najenostavnejši operaciji, ki ju lahko izvajamo z monomi, sta odštevanje in seštevanje. V splošnem primeru bo rezultat teh dejanj polinom (v nekaterih posebnih primerih je možen monom).

Ko seštevamo ali odštevamo monome, najprej zapišemo ustrezno vsoto in razliko v splošno sprejeti obliki, nato pa dobljeni izraz poenostavimo. Če obstajajo podobni izrazi, jih je treba navesti, oklepaje je treba odpreti. Razložimo s primerom.

Primer 1

Pogoj: seštejte monoma − 3 · x in 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .

rešitev

Zapišimo vsoto prvotnih izrazov. Dodajte oklepaje in mednje postavite znak plus. Dobili bomo naslednje:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Ko razširimo oklepaje, dobimo - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . To je polinom, zapisan v standardni obliki, ki bo rezultat seštevanja teh monomov.

odgovor:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

Če imamo podane tri, štiri ali več izrazov, to dejanje izvedemo na enak način.

Primer 2

Pogoj: povlecite noter pravi vrstni red določene operacije s polinomi

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

rešitev

Začnimo z odpiranjem oklepajev.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Vidimo, da lahko dobljeni izraz poenostavimo z redukcijo podobnih izrazov:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Imamo polinom, ki bo rezultat tega dejanja.

odgovor: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Načeloma lahko izvedemo seštevanje in odštevanje dveh monomov, z nekaterimi omejitvami, tako da na koncu dobimo monom. Da bi to naredili, je treba upoštevati nekatere pogoje glede izrazov in odštetih monomov. Kako se to naredi, bomo opisali v ločenem članku.

Pravila za množenje monomov

Dejanje množenja ne nalaga nobenih omejitev množiteljem. Monomi, ki jih želite pomnožiti, ne smejo izpolnjevati nobenih dodatnih pogojev, da bi bil rezultat monom.

Če želite izvesti množenje monomov, morate izvesti naslednje korake:

1. Skladbo posnemite pravilno.
2. Razširite oklepaje v dobljenem izrazu.
3. Če je mogoče, združite faktorje z enakimi spremenljivkami in numerične faktorje ločeno.
4. Izvedite potrebna dejanja s števili in uporabite lastnost množenja moči z enakimi osnovami za preostale faktorje.

Poglejmo, kako se to izvaja v praksi.

Primer 3

Pogoj: pomnožite monoma 2 · x 4 · y · z in - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

rešitev

Začnimo s sestavo dela.

Odpremo oklepaje v njem in dobimo naslednje:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Vse, kar moramo storiti, je, da pomnožimo števila v prvih oklepajih in uporabimo lastnost moči v drugem. Kot rezultat dobimo naslednje:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

odgovor: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Če imamo v pogoju tri ali več polinomov, jih pomnožimo po popolnoma enakem algoritmu. Vprašanje množenja monomov bomo podrobneje obravnavali v ločenem gradivu.

Pravila za dvig monoma na potenco

Vemo, da zmnožek določenega števila enakih faktorjev imenujemo stopnja z naravnim eksponentom. Njihovo število je označeno s številko v indikatorju. Po tej definiciji je povišanje monoma na potenco enakovredno množenju navedenega števila enakih monomov. Poglejmo, kako se to naredi.

Primer 4

Pogoj: dvignemo monom − 2 · a · b 4 na potenco 3 .

rešitev

Potenciranje lahko nadomestimo z množenjem 3 monomov − 2 · a · b 4 . Zapišimo in dobimo želeni odgovor:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4 b 4) = − 8 a 3 b 12

odgovor:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

Kaj pa, ko ima diploma velik eksponent? Snemanje velikega števila množiteljev je neprijetno. Nato moramo za rešitev takega problema uporabiti lastnosti stopnje, in sicer lastnost stopnje produkta in lastnost stopnje v stopnji.

Rešimo problem, ki smo ga navedli zgoraj, na naveden način.

Primer 5

Pogoj: povišaj − 2 · a · b 4 na tretjo potenco.

rešitev

Če poznamo lastnost stopnje v diplomi, lahko nadaljujemo z izrazom naslednje oblike:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

Po tem dvignemo na potenco - 2 in uporabimo lastnost eksponenta:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

odgovor:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

Poseben članek smo posvetili tudi dvigu monoma na potenco.

Pravila za deljenje monomov

Zadnje dejanje z monomi, ki ga bomo analizirali v tem gradivu, je delitev monoma z monomom. Kot rezultat bi morali dobiti racionalni (algebraični) ulomek (v nekaterih primerih je mogoče dobiti monom). Naj takoj pojasnimo, da deljenje z monomom nič ni definirano, saj deljenje z 0 ni definirano.

Za deljenje moramo navedene monome zapisati v obliki ulomka in ga, če je možno, zmanjšati.

Primer 6

Pogoj: monom − 9 x 4 y 3 z 7 delimo z − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .

rešitev

Začnimo z zapisovanjem monomov v obliki ulomka.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Ta delež se lahko zmanjša. Ko to storimo, dobimo:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

odgovor:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Pogoji, pod katerimi zaradi deljenja monomov dobimo monom, so podani v posebnem članku.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Prej smo že govorili o tem, kaj je potenca števila. Ima določene lastnosti, uporabno pri reševanju problemov: analizirali jih bomo in vse možne eksponente v tem članku. S primeri bomo tudi prikazali, kako jih je mogoče dokazati in pravilno uporabiti v praksi.

Spomnimo se koncepta stopnje z naravnim eksponentom, ki smo ga že formulirali prej: to je produkt n-tega števila faktorjev, od katerih je vsak enak a. Prav tako se moramo spomniti, kako pravilno množiti realna števila. Vse to nam bo pomagalo oblikovati naslednje lastnosti za diplomo z naravnim indikatorjem:

Definicija 1

1. Glavna lastnost stopnje: a m a n = a m + n

Lahko se posploši na: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Lastnost kvocienta za potence z isto osnovo: a m: a n = a m − n

3. Lastnost stopnje produkta: (a b) n = a n b n

Enakost lahko razširimo na: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

4. Lastnost naravne stopnje: (a: b) n = a n: b n

5. Potenco dvignemo na potenco: (a m) n = a m n ,

Lahko se posploši na: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k

6. Primerjaj stopnjo z ničlo:

• če je a > 0, bo za vsak naravni n a n večji od nič;
• če je a enako 0, bo tudi a n enak nič;
• za< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• za< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Enakost a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Neenakost a m > a n bo veljala pod pogojem, da sta m in n naravni števili, m je večje od n in a je večji od nič in ne manjši od ena.

Kot rezultat smo dobili več enakosti; če izpolnjujete vse zgoraj navedene pogoje, bodo enaki. Za vsako od enačb, na primer za glavno lastnost, lahko zamenjate desni in levi del: a m · a n = a m + n - enako kot a m + n = a m · a n. V tej obliki se pogosto uporablja pri poenostavljanju izrazov.

1. Začnimo z glavno lastnostjo stopnje: enakost a m · a n = a m + n bo veljala za vsak naravni m in n ter realni a . Kako dokazati to trditev?

Osnovna definicija potence z naravnimi eksponenti nam bo omogočila pretvorbo enakosti v produkt faktorjev. Dobili bomo tak vnos:

To lahko skrajšamo na (spomnimo se osnovnih lastnosti množenja). Kot rezultat smo dobili stopnjo števila a z naravnim eksponentom m + n. Torej a m + n, kar pomeni, da je glavna lastnost stopnje dokazana.

Analizirajmo konkreten primer ki to potrjuje.

Primer 1

Torej imamo dve potenci z osnovo 2. Njihovi naravni indikatorji so 2 oziroma 3. Dobili smo enakost: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Izračunajmo vrednosti, da preverimo pravilnost te enakosti.

Izvedli bomo potrebno matematične operacije: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 in 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Kot rezultat smo dobili: 2 2 2 3 = 2 5 . Lastnost je dokazana.

Zaradi lastnosti množenja lahko lastnost posplošimo tako, da jo formuliramo kot tri in več potence, katerih eksponenti so naravna števila in katerih osnove so enake. Če s črko k označimo število naravnih števil n 1, n 2 itd., dobimo pravilno enakost:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Primer 2

2. Nato moramo dokazati naslednjo lastnost, ki se imenuje lastnost kvocienta in je neločljivo povezana s potenci z enakimi bazami: to je enakost a m: a n = a m − n , ki velja za poljubna naravna m in n (in m je večji od n)) in katerikoli realni a, ki ni enak nič.

Za začetek pojasnimo, kaj točno pomenijo pogoji, ki so omenjeni v formulaciji. Če vzamemo enako nič, potem bomo na koncu dobili deljenje z nič, česar ni mogoče storiti (navsezadnje je 0 n = 0). Pogoj, da mora biti število m večje od n, je nujen, da lahko ostanemo znotraj naravnih eksponentov: če od m odštejemo n, dobimo naravno število. Če pogoj ni izpolnjen, bomo dobili negativno število ali nič in spet bomo presegli študijo stopinj z naravnimi indikatorji.

Zdaj lahko nadaljujemo z dokazom. Iz preučenega se spomnimo osnovnih lastnosti ulomkov in enačbo oblikujemo takole:

a m − n a n = a (m − n) + n = a m

Iz nje lahko sklepamo: a m − n a n = a m

Spomnimo se povezave med deljenjem in množenjem. Iz tega sledi, da je a m − n količnik potenc a m in a n. To je dokaz lastnine druge stopnje.

Primer 3

Nadomestite določene številke za jasnost v indikatorjih in označite osnovo stopnje π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Nato bomo analizirali lastnost stopnje produkta: (a · b) n = a n · b n za poljubna realna a in b ter naravni n.

Glede na osnovno definicijo stopnje z naravnim eksponentom lahko enakost preformuliramo takole:

Če se spomnimo lastnosti množenja, zapišemo: . Pomeni enako kot a n · b n.

Primer 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

Če imamo tri ali več faktorjev, potem ta lastnost velja tudi za ta primer. Za število faktorjev uvedemo zapis k in zapišemo:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

Primer 5

Z določenimi številkami dobimo naslednjo pravilno enakost: (2 (- 2 , 3) ​​​​a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​​​7 a

4. Nato bomo poskusili dokazati lastnost kvocienta: (a: b) n = a n: b n za poljubna realna a in b, če b ni enak 0 in je n naravno število.

Za dokaz lahko uporabimo lastnost prejšnje stopnje. Če je (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n in (a: b) n b n = a n, potem sledi, da je (a: b) n količnik deljenja a n z b n.

Primer 6

Preštejmo primer: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Primer 7

Začnimo takoj s primerom: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

In zdaj oblikujemo verigo enakosti, ki nam bo dokazala pravilnost enakosti:

Če imamo v primeru stopinje stopinj, potem ta lastnost velja tudi zanje. Če imamo poljubna naravna števila p, q, r, s, potem velja:

a p q y s = a p q y s

Primer 8

Dodajmo podrobnosti: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Druga lastnost stopinj z naravnim eksponentom, ki jo moramo dokazati, je primerjalna lastnost.

Najprej primerjajmo eksponent z ničlo. Zakaj je a n > 0, če je a večji od 0?

Če pomnožimo eno pozitivno število z drugim, bomo prav tako dobili pozitivno število. Če poznamo to dejstvo, lahko rečemo, da to ni odvisno od števila faktorjev - rezultat množenja poljubnega števila pozitivnih števil je pozitivno število. In kaj je diploma, če ne rezultat množenja števil? Potem bo to veljalo za vsako potenco a n s pozitivno osnovo in naravnim eksponentom.

Primer 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 in 34 9 13 51 > 0

Očitno je tudi, da je potenca z osnovo enako nič sama nič. Na katero koli potenco dvignemo ničlo, bo ostala ničla.

Primer 10

0 3 = 0 in 0 762 = 0

Če je osnova stopnje negativno število, potem je dokaz nekoliko bolj zapleten, saj postane koncept sodega / lihega eksponenta pomemben. Začnimo s primerom, ko je eksponent sod in ga označimo z 2 · m , kjer je m naravno število.

Spomnimo se, kako pravilno pomnožiti negativna števila: produkt a · a je enak produktu modulov in bo zato pozitivno število. Potem in stopnja a 2 · m sta prav tako pozitivna.

Primer 11

Na primer, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 in - 2 9 6 > 0

Kaj pa, če je eksponent z negativno osnovo liho število? Označimo ga z 2 · m − 1 .

Potem

Vsi produkti a · a so po lastnostih množenja pozitivni, prav tako njihov produkt. Če pa ga pomnožimo z edinim preostalim številom a, bo končni rezultat negativen.

Potem dobimo: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Kako to dokazati?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Primer 12

Na primer, neenakosti so resnične: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Ostaja nam, da dokažemo zadnjo lastnost: če imamo dve stopinji, katerih osnove so enake in pozitivne, eksponenti pa so naravna števila, potem je tisti od njih večji, katerega eksponent je manjši; in od dveh stopenj z naravnimi indikatorji in enakimi bazami, večjimi od ena, je večja stopnja, katere indikator je večji.

Dokažimo te trditve.

Najprej se moramo prepričati, da je m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Iz oklepaja vzamemo n, potem pa bo naša razlika dobila obliko a n · (am − n − 1) . Njegov rezultat bo negativen (ker je rezultat množenja pozitivnega števila z negativnim negativen). Dejansko je po začetnih pogojih m − n > 0, potem je a m − n − 1 negativen, prvi faktor pa je pozitiven, kot vsaka naravna potencija s pozitivno bazo.

Izkazalo se je, da je a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Treba je še dokazati drugi del zgoraj formulirane izjave: a m > a velja za m > n in a > 1 . Navedemo razliko in vzamemo n iz oklepaja: (a m - n - 1) .Potenca n z večjim od ena bo dala pozitiven rezultat; in tudi sama razlika se bo zaradi začetnih pogojev izkazala za pozitivno, pri a > 1 pa je stopnja a m − n večja od ena. Izkaže se, da je a m − a n > 0 in a m > a n , kar smo morali dokazati.

Primer 13

Primer z določenimi številkami: 3 7 > 3 2

Osnovne lastnosti stopinj s celimi eksponenti

Za stopnje s pozitivnimi celimi eksponenti bodo lastnosti podobne, saj so pozitivna cela števila naravna, kar pomeni, da vse zgoraj dokazane enakosti veljajo tudi zanje. Primerni so tudi za primere, ko so eksponenti negativni ali enaki nič (pod pogojem, da sama osnova stopnje ni nič).

Tako so lastnosti potenc enake za kateri koli osnovi a in b (pod pogojem, da sta ti števili realni in nista enaki 0) ter pri vseh eksponentih m in n (pod pogojem, da sta celi števili). Na kratko jih zapišemo v obliki formul:

Definicija 2

1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a b) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (am) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n s pozitivnim celim številom n, pozitivnim a in b, a< b

7. a m< a n , при условии целых m и n , m >n in 0< a < 1 , при a >1 am > a n.

Če je osnova stopnje enaka nič, sta zapisa a m in a n smiselna le v primeru naravnih in pozitivnih m in n. Posledično ugotovimo, da so zgornje formulacije primerne tudi za primere z diplomo z ničelno osnovo, če so izpolnjeni vsi drugi pogoji.

Dokazi teh lastnosti so v tem primeru preprosti. Spomniti se bomo morali, kaj je stopnja z naravnim in celim eksponentom, pa tudi lastnosti dejanj z realnimi števili.

Analizirajmo lastnost stopnje v stopnji in dokažimo, da velja tako za pozitivna cela števila kot za nepozitivna cela števila. Začnemo z dokazovanjem enakosti (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) in (a − p) − q = a (− p) (−q)

Pogoji: p = 0 ali naravno število; q - podobno.

Če sta vrednosti p in q večji od 0, potem dobimo (a p) q = a p · q. Podobno enakost smo že dokazali. Če je p = 0, potem:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Zato je (a 0) q = a 0 q

Za q = 0 je vse popolnoma enako:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Rezultat: (a p) 0 = a p 0 .

Če sta oba indikatorja nič, potem (a 0) 0 = 1 0 = 1 in a 0 0 = a 0 = 1, potem (a 0) 0 = a 0 0 .

Spomnite se lastnosti količnika v zgoraj dokazani moči in zapišite:

1 a p q = 1 q a p q

Če je 1 p = 1 1 … 1 = 1 in a p q = a p q, potem je 1 q a p q = 1 a p q

Ta zapis lahko na podlagi osnovnih pravil množenja pretvorimo v a (− p) · q.

Tudi: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

IN (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Preostale lastnosti stopnje lahko dokažemo na podoben način s transformacijo obstoječih neenakosti. O tem se ne bomo podrobneje ukvarjali, navedli bomo le težke točke.

Dokaz predzadnje lastnosti: spomnimo se, da a − n > b − n velja za vse negativne cele vrednosti n in vse pozitivne a in b, pod pogojem, da je a manjši od b.

Potem lahko neenakost transformiramo na naslednji način:

1 a n > 1 b n

Desni in levi del zapišemo kot razliko in izvedemo potrebne transformacije:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

Spomnimo se, da je v pogoju a manjši od b , potem je glede na definicijo stopnje z naravnim eksponentom: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n je na koncu pozitivno število, ker so njegovi faktorji pozitivni. Kot rezultat imamo ulomek b n - a n a n · b n , ki na koncu prav tako da pozitiven rezultat. Od tod 1 a n > 1 b n od koder a − n > b − n , kar smo morali dokazati.

Zadnjo lastnost stopinj s celimi eksponenti dokažemo podobno kot lastnost stopinj z naravnimi eksponenti.

Osnovne lastnosti stopenj z racionalnimi eksponenti

V prejšnjih člankih smo razpravljali o tem, kaj je stopnja z racionalnim (ulomkom) eksponentom. Njihove lastnosti so enake kot pri stopinjah s celimi eksponenti. Zapišimo:

Definicija 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 za a > 0, in če je m 1 n 1 > 0 in m 2 n 2 > 0, potem za a ≥ 0 (potencije lastnosti produkta z isto osnovo).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, če je a > 0 (lastnost kvocienta).

3. a b m n = a m n b m n za a > 0 in b > 0, in če je m 1 n 1 > 0 in m 2 n 2 > 0, potem za a ≥ 0 in (ali) b ≥ 0 (lastnost produkta v delni stopnji).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n za a > 0 in b > 0, in če je m n > 0, potem za a ≥ 0 in b > 0 (lastnost količnika na delno stopnjo).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 za a > 0, in če je m 1 n 1 > 0 in m 2 n 2 > 0, potem za a ≥ 0 (lastnost stopnje v stopinj).

6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; če p< 0 - a p >b p (lastnost primerjanja stopenj z enakimi racionalnimi eksponenti).

7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q pri 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Za dokazovanje teh določil se moramo spomniti, kaj je stopnja z ulomljenim eksponentom, kakšne so lastnosti aritmetičnega korena n-te stopnje in kakšne lastnosti stopnje s celim eksponentom. Oglejmo si vsako nepremičnino.

Glede na to, kakšna je stopnja z delnim eksponentom, dobimo:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 in a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, torej a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2

Lastnosti korena nam bodo omogočile izpeljavo enakosti:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Iz tega dobimo: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Preobrazimo:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Eksponent lahko zapišemo kot:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

To je dokaz. Druga lastnost je dokazana na povsem enak način. Zapišimo verigo enačb:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Dokazi preostalih enakosti:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Naslednja lastnost: dokažimo, da bo za vse vrednosti a in b večje od 0, če je a manjši od b, izveden a p< b p , а для p больше 0 - a p >bp

Predstavimo racionalno število p kot m n . V tem primeru je m celo število, n pa naravno število. Potem veljajo pogoji p< 0 и p >0 bo razširjen na m< 0 и m >0 . Za m > 0 in a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Uporabimo lastnost korenin in izpeljemo: a m n< b m n

Ob upoštevanju pozitivnosti vrednosti a in b prepišemo neenakost kot a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Na enak način za m< 0 имеем a a m >b m, dobimo a m n > b m n torej a m n > b m n in a p > b p.

Ostaja nam, da dokažemo zadnjo lastnost. Dokažimo, da za racionalna števila p in q velja p > q za 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 bi bilo res a p > a q .

Racionalni števili p in q lahko skrčimo na skupni imenovalec in dobimo ulomka m 1 n in m 2 n

Tu sta m 1 in m 2 celi števili, n pa naravno število. Če je p > q, potem je m 1 > m 2 (ob upoštevanju pravila za primerjanje ulomkov). Nato ob 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – neenačba a 1 m > a 2 m .

Lahko jih prepišemo v naslednji obliki:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Nato lahko naredite transformacije in kot rezultat dobite:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Če povzamemo: za p > q in 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Osnovne lastnosti stopinj z iracionalnimi eksponenti

Vse zgoraj opisane lastnosti, ki jih ima stopnja z racionalnimi eksponenti, je mogoče razširiti na takšno stopnjo. To izhaja iz same njegove definicije, ki smo jo podali v enem od prejšnjih člankov. Naj na kratko formuliramo te lastnosti (pogoji: a > 0, b > 0, indikatorja p in q sta iracionalna števila):

Definicija 4

1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b str

5. (a p) q = a p q

6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, potem a p > a q.

Tako imajo vse potence, katerih eksponenta p in q sta realna števila, če je a > 0, enake lastnosti.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Kako pomnožiti moči? Katere moči je mogoče množiti in katere ne? Kako pomnožiš število s potenco?

V algebri lahko najdete produkt potenc v dveh primerih:

1) če imata stopnji isto podlago;

2) če imajo stopnje enake kazalnike.

Pri množenju potenc z isto osnovo mora osnova ostati ista, eksponente pa je treba sešteti:

Pri množenju stopinj z enakimi indikatorji lahko skupni indikator vzamemo iz oklepajev:

Razmislite o tem, kako pomnožiti moči, s posebnimi primeri.

Enota v eksponentu ni zapisana, vendar pri množenju stopinj upoštevajo:

Pri množenju je lahko število stopinj poljubno. Ne smemo pozabiti, da znaka za množenje ne morete napisati pred črko:

V izrazih se najprej izvede potenciranje.

Če morate število pomnožiti s potenco, morate najprej izvesti potenciranje in šele nato - množenje:

www.algebraclass.ru

Seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje potenc

Seštevanje in odštevanje potenc

Očitno je mogoče števila s potencami seštevati kot druge količine , tako da jih dodate enega za drugim z njihovimi znaki.

Torej je vsota a 3 in b 2 a 3 + b 2 .
Vsota a 3 - b n in h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

kvote enake moči istih spremenljivk lahko dodamo ali odštejemo.

Torej je vsota 2a 2 in 3a 2 5a 2 .

Očitno je tudi, da če vzamemo dva kvadrata a, ali tri kvadrate a, ali pet kvadratov a.

Ampak stopinje različne spremenljivke in različne stopnje identične spremenljivke, je treba dodati tako, da jih dodate njihovim znakom.

Torej je vsota 2 in 3 vsota 2 + a 3.

Očitno je, da kvadrat a in kocka a nista dvakrat večja od kvadrata a, ampak dvakratna kocka od a.

Vsota a 3 b n in 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Odštevanje potenc se izvede na enak način kot seštevanje, le da je treba ustrezno spremeniti predznake subtrahenda.

ali:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Množenje moči

Števila s potencami lahko množimo kot druge količine tako, da jih zapišemo eno za drugo, z ali brez znaka za množenje med njimi.

Torej je rezultat množenja a 3 z b 2 a 3 b 2 ali aaabb.

ali:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultat v zadnjem primeru lahko uredite z dodajanjem istih spremenljivk.
Izraz bo imel obliko: a 5 b 5 y 3 .

Če primerjamo več števil (spremenljivk) s potencami, lahko vidimo, da če pomnožimo kateri koli dve od njiju, je rezultat število (spremenljivka) s potenco, ki je enaka vsota stopnje pogojev.

Torej, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tukaj je 5 potenca rezultata množenja, enaka 2 + 3, vsota potenc členov.

Torej, a n .a m = a m+n .

Za a n se a vzame kot faktor tolikokrat, kot je potenca n;

In a m se vzame kot faktor tolikokrat, kolikor je stopnja m enaka;

Zato, potence z enakimi osnovami lahko pomnožimo s seštevanjem eksponentov.

Torej, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . In x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

ali:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnoži (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnoži (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

To pravilo velja tudi za števila, katerih eksponenti so − negativno.

1. Torej, a -2 .a -3 = a -5 . To lahko zapišemo kot (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Če a + b pomnožimo z a - b, bo rezultat a 2 - b 2: to je

Rezultat množenja vsote ali razlike dveh števil je enak vsoti ali razliki njunih kvadratov.

Če vsoto in razliko dveh števil povišamo na kvadrat, bo rezultat enak vsoti ali razliki teh števil v četrti stopnja.

Torej, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Delitev oblasti

Potenčne številke lahko delimo tako kot druga števila z odštevanjem od delitelja ali tako, da jih postavimo v ulomek.

Torej je a 3 b 2 deljeno z b 2 a 3 .

Pisanje 5 deljeno s 3 je videti kot $\frac $. Toda to je enako 2 . V nizu številk
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
poljubno število lahko delimo z drugim in eksponent bo enak Razlika indikatorji deljivih števil.

Pri deljenju potenc z isto osnovo se njihovi eksponenti odštejejo..

Torej, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . To je $\frac = y$.

In a n+1:a = a n+1-1 = a n. To je $\frac = a^n$.

ali:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Pravilo velja tudi za števila z negativno stopnje vrednosti.
Rezultat deljenja -5 z -3 je -2.
Tudi $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ali $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Zelo dobro je treba obvladati množenje in deljenje potenc, saj se takšne operacije v algebri zelo pogosto uporabljajo.

Primeri reševanja primerov z ulomki, ki vsebujejo števila s potencami

1. Zmanjšajte eksponente v $\frac $ Odgovor: $\frac $.

2. Zmanjšajte eksponente v $\frac$. Odgovor: $\frac $ ali 2x.

3. Zmanjšaj eksponente a 2 / a 3 in a -3 / a -4 ter jih spravi na skupni imenovalec.
a 2 .a -4 je prvi števec a -2.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi števec.
a 3 .a -4 je a -1 , skupni števec.
Po poenostavitvi: a -2 /a -1 in 1/a -1 .

4. Eksponenta 2a 4 /5a 3 in 2 /a 4 zmanjšaj in spravi na skupni imenovalec.
Odgovor: 2a 3 / 5a 7 in 5a 5 / 5a 7 ali 2a 3 / 5a 2 in 5/5a 2.

5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 z (a - b)/3.

6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 z (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnožite b 4 /a -2 s h -3 /x in a n /y -3.

8. Deli a 4 /y 3 s 3 /y 2 . Odgovor: a/y.

stopnje lastnosti

Spomnimo vas, da v tej lekciji razumemo stopnje lastnosti z naravnimi indikatorji in ničlo. Stopnje z racionalnimi indikatorji in njihove lastnosti bodo obravnavane v lekcijah za 8. razred.

Eksponent z naravnim eksponentom ima več pomembnih lastnosti, ki vam omogočajo poenostavitev izračunov v primerih eksponentov.

Lastnost #1
Produkt moči

Pri množenju potenc z isto osnovo ostane osnova nespremenjena, eksponenti pa se seštejejo.

a m a n \u003d a m + n, kjer je "a" poljubno število, "m", "n" pa poljubna naravna števila.

Ta lastnost potenc vpliva tudi na produkt treh ali več potenc.

Upoštevajte, da je v navedeni lastnosti šlo samo za množenje potenc z enakimi bazami.. Ne velja za njihovo dodajanje.

Vsote (3 3 + 3 2) ne morete zamenjati s 3 5 . To je razumljivo, če
izračunaj (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 in 3 5 = 243

Lastnost #2
Zasebne diplome

Pri deljenju potenc z isto osnovo ostane osnova nespremenjena, eksponent delitelja pa se odšteje od eksponenta dividende.

Izračunaj.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Primer. Reši enačbo. Uporabljamo lastnost delnih stopinj.
3 8: t = 3 4

Odgovor: t = 3 4 = 81

Z uporabo lastnosti št. 1 in št. 2 lahko preprosto poenostavite izraze in izvedete izračune.

Primer. Poenostavite izraz.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Primer. Poiščite vrednost izraza z uporabo lastnosti stopnje.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Upoštevajte, da je lastnost 2 obravnavala samo delitev oblasti z istimi osnovami.

Razlike (4 3 −4 2) ne morete nadomestiti s 4 1 . To je razumljivo, če izračunate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 in 4 1 = 4

Lastnost #3
Potencevanje

Pri povišanju potence na potenco ostane osnova potence nespremenjena, eksponenti pa se pomnožijo.

(a n) m \u003d a n m, kjer je "a" poljubno število, "m", "n" pa poljubna naravna števila.

Upoštevajte, da se lastnost št. 4, tako kot druge lastnosti stopinj, uporablja tudi v obratnem vrstnem redu.

(a n b n)= (a b) n

Če želite pomnožiti stopinje z istimi eksponenti, lahko pomnožite osnove in pustite eksponent nespremenjen.

V bolj zapletenih primerih lahko pride do primerov, ko je treba izvesti množenje in deljenje na potencah z različnimi osnovami in različnimi eksponenti. V tem primeru vam svetujemo, da storite naslednje.

Na primer, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Primer potenciranja decimalnega ulomka.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = štiri

Lastnosti 5
Moč količnika (ulomki)

Če želite povečati količnik na potenco, lahko dividendo in delitelj ločeno povečate na to potenco in prvi rezultat delite z drugim.

(a: b) n \u003d a n: b n, kjer sta "a", "b" poljubna racionalna števila, b ≠ 0, n poljubno naravno število.

Spomnimo vas, da je količnik lahko predstavljen kot ulomek. Zato se bomo na naslednji strani podrobneje posvetili temi dviga ulomka na potenco.

Stopinje in korenine

Operacije s potencami in koreni. Stopnja z negativno ,

nič in ulomek indikator. O izrazih, ki nimajo smisla.

Operacije s stopinjami.

1. Pri množenju moči z isto osnovo se njihovi indikatorji seštejejo:

a m · a n = a m + n.

2. Pri delitvi stopinj z isto bazo, njihovi indikatorji odšteti .

3. Stopnja zmnožka dveh ali več faktorjev je enaka zmnožku stopenj teh faktorjev.

4. Stopnja razmerja (ulomek) je enaka razmerju stopenj dividende (števec) in delitelja (imenovalec):

(a/b) n = a n / b n.

5. Pri dvigovanju stopnje na moč se njihovi indikatorji pomnožijo:

Vse zgornje formule se berejo in izvajajo v obe smeri od leve proti desni in obratno.

PRIMER (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Operacije s koreninami. V vseh spodnjih formulah simbol pomeni aritmetični koren(radikalni izraz je pozitiven).

1. Koren produkta več faktorjev je enak produktu korenine teh dejavnikov:

2. Koren razmerja je enak razmerju korenin dividende in delitelja:

3. Ko dvignete koren na potenco, je dovolj, da povzdignete na to potenco korenska številka:

4. Če povečate stopnjo korena za m-krat in hkrati povečate število korena na m -to stopnjo, se vrednost korena ne bo spremenila:

5. Če zmanjšate stopnjo korena za m-krat in hkrati izvlečete koren m-te stopnje iz radikalnega števila, se vrednost korena ne bo spremenila:

Razširitev koncepta stopnje. Doslej smo upoštevali stopnje samo z naravnim kazalnikom; vendar lahko operacije s pooblastili in koreni vodijo tudi do negativno, nič in ulomek indikatorji. Vsi ti eksponenti zahtevajo dodatno opredelitev.

Stopnja z negativnim eksponentom. Stopnja določenega števila z negativnim (celim) eksponentom je definirana kot ena, deljena s stopnjo istega števila z eksponentom, ki je enak absolutni vrednosti negativnega eksponenta:

Sedaj pa formula a m : a n = a m-n se lahko uporablja ne samo za m, več kot n, ampak tudi pri m, manj kot n .

PRIMER a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Če želimo formulo a m : a n = a m — n je bil pošten pri m = n, potrebujemo definicijo ničelne stopnje.

Stopnja z ničelnim eksponentom. Stopnja katerega koli neničelnega števila z ničelnim eksponentom je 1.

PRIMERI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Stopnja z delnim eksponentom. Če želite povečati realno število a na potenco m / n, morate izluščiti koren n-te stopnje iz m-te stopnje tega števila a:

O izrazih, ki nimajo smisla. Takih izrazov je več.

kje a ≠ 0 , ne obstaja.

Res, če predpostavimo, da x je določeno število, potem imamo v skladu z definicijo operacije deljenja: a = 0· x, tj. a= 0, kar je v nasprotju s pogojem: a ≠ 0

— poljubno število.

Dejansko, če predpostavimo, da je ta izraz enak nekemu številu x, potem imamo po definiciji operacije deljenja: 0 = 0 x. Toda ta enakost velja za poljubno število x, kar je bilo treba dokazati.

0 0 — poljubno število.

Rešitev Razmislite o treh glavnih primerih:

1) x = 0 – ta vrednost ne zadošča tej enačbi

2) kdaj x> 0 dobimo: x / x= 1, tj. 1 = 1, od koder sledi,

kaj x- poljubno število; ampak ob upoštevanju tega

naš primer x> 0, je odgovor x > 0 ;

Pravila za množenje potenc z različnimi bazami

DIPLOMIRANJE Z RACIONALNIM KAZALNIKOM,

MOČNOSTNA FUNKCIJA IV

§ 69. Množenje in deljenje potence z enakimi osnovami

1. izrek. Za množenje potenc z enakimi osnovami je dovolj, da seštejemo eksponente, osnovo pa pustimo enako, tj.

Dokaz. Po definiciji stopnje

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Upoštevali smo produkt dveh potenc. Pravzaprav dokazana lastnost velja za poljubno število potenc z enakimi bazami.

2. izrek. Za delitev potenc z enakimi osnovami, ko je indikator dividende večji od indikatorja delitelja, je dovolj, da od indikatorja dividende odštejemo indikator delitelja, osnovo pa pustimo enako, tj. pri t > n

(a =/= 0)

Dokaz. Spomnimo se, da je količnik deljenja enega števila z drugim število, ki, ko ga pomnožimo z deliteljem, da dividendo. Zato dokažite formulo , kjer je a =/= 0, to je kot dokazovanje formule

Če t > n , nato številko t - str bo naravno; torej po izreku 1

Izrek 2 je dokazan.

Upoštevajte, da formula

smo dokazali le ob predpostavki, da t > n . Zato iz tega, kar je bilo dokazano, še ni mogoče potegniti na primer naslednjih zaključkov:

Poleg tega še nismo upoštevali stopinj z negativnimi eksponenti in še ne vemo, kakšen pomen lahko pripišemo izrazu 3 - 2 .

Izrek 3. Če želite potenco dvigniti na potenco, je dovolj, da pomnožite eksponente, pri čemer pustite osnovo eksponenta enako, to je

Dokaz. Z uporabo definicije stopnje in izreka 1 tega razdelka dobimo:

Q.E.D.

Na primer, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Ustno.) Ugotovi X iz enačb:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Prilagojeno) Poenostavite:

520. (Prilagojeno) Poenostavite:

521. Te izraze predstavi kot stopinje z enakimi osnovami:

1) 32 in 64; 3) 85 in 163; 5) 4 100 in 32 50;

2) -1000 in 100; 4) -27 in -243; 6) 81 75 8 200 in 3 600 4 150.