Izpeljava splošne formule za korene enačbe tgx a. Lekcija "Arc tangenta in arc tangenta. Rešitev enačb tgx = a, ctgx = a". Rešitev enačbe tgx=a v splošni obliki

Prej v programu so študenti dobili idejo o rešitvi trigonometrične enačbe, se seznanili s pojmoma arkkosinus in arksinus, primeri rešitev enačb cos t = a in sin t = a. V tej video vadnici bomo obravnavali rešitev enačb tg x = a in ctg x = a.

Na začetku preučevanja te teme razmislite o enačbah tg x = 3 in tg x = - 3. Če rešimo enačbo tg x = 3 z uporabo grafa, bomo videli, da je presečišče grafov funkcij y = tg x in y = 3 ima neskončno število rešitev, kjer je x = x 1 + πk. Vrednost x 1 je x koordinata presečišča grafov funkcij y = tg x in y = 3. Avtor uvede koncept arktangensa: arctg 3 je število, katerega tg je 3, in to število pripada interval od -π/2 do π/2. Z uporabo koncepta arktangensa lahko rešitev enačbe tan x = 3 zapišemo kot x = arctan 3 + πk.

Po analogiji se reši enačba tg x \u003d - 3. Glede na izdelane grafe funkcij y \u003d tg x in y \u003d - 3 je razvidno, da so presečišča grafov in s tem rešitve enačb bo x \u003d x 2 + πk. Z uporabo arc tangensa lahko rešitev zapišemo kot x = arctan (- 3) + πk. Na naslednji sliki bomo videli, da je arctg (- 3) = - arctg 3.

Splošna definicija arc tangensa je naslednja: arc tangens a je takšno število iz intervala od -π / 2 do π / 2, katerega tangens je a. Potem je rešitev enačbe tg x = a x = arctg a + πk.

Avtor navaja primer 1. Poiščite rešitev izraza arctg Uvedimo zapis: arktangens števila je enak x, potem bo tg x enako danemu številu, kjer x pripada odseku iz -π /2 do π/2. Kot v primerih v prejšnjih temah bomo uporabili tabelo vrednosti. Glede na to tabelo tangens tega števila ustreza vrednosti x = π/3. Zapišemo rešitev enačbe arktangensa danega števila, ki je enako π / 3, π / 3 prav tako spada v interval od -π / 2 do π / 2.

Primer 2 - Izračunajte arktangens negativnega števila. Z enakostjo arctg (- a) = - arctg a vnesite vrednost x. Podobno kot v primeru 2 zapišemo vrednost x, ki pripada intervalu od -π/2 do π/2. Glede na tabelo vrednosti ugotovimo, da je x = π/3, torej -- tg x = - π/3. Odgovor na enačbo je - π/3.

Razmislite o primeru 3. Rešimo enačbo tan x = 1. Zapišimo, da je x = arctan 1 + πk. V tabeli vrednost tg 1 ustreza vrednosti x \u003d π / 4, torej arctg 1 \u003d π / 4. To vrednost nadomestite s prvotno formulo x in zapišite odgovor x = π/4 + πk.

Primer 4: izračunajte tg x = - 4,1. V tem primeru je x = arctg (- 4,1) + πk. Ker v tem primeru ni mogoče najti vrednosti arctg, odgovor bo izgledal kot x = arctg (- 4,1) + πk.

Primer 5 obravnava rešitev neenačbe tg x > 1. Da jo rešimo, izrišemo grafe funkcij y = tg x in y = 1. Kot je razvidno iz slike, se ti grafi sekata v točkah x = π /4 + πk. Ker v tem primeru tg x > 1, na grafu izberemo območje tangentoida, ki je nad grafom y = 1, kjer x pripada intervalu od π/4 do π/2. Odgovor zapišemo kot π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Nato razmislite o enačbi ctg x = a. Slika prikazuje grafe funkcij y = ctg x, y = a, y = - a, ki imajo veliko presečišč. Rešitve lahko zapišemo kot x = x 1 + πk, kjer je x 1 = arcctg a in x = x 2 + πk, kjer je x 2 = arcctg (- a). Opozoriti je treba, da je x 2 \u003d π - x 1. To implicira enakost arcctg (- a) = π - arcctg a. Nadalje je podana definicija arc kotangensa: arc kotangens a je takšno število iz intervala od 0 do π, katerega kotangens je enak a. Rešitev enačbe сtg x = a zapišemo kot: x = arcctg a + πk.

Na koncu video lekcije pride še en pomemben sklep - izraz ctg x = a lahko zapišemo kot tg x = 1/a, pod pogojem, da a ni enak nič.

INTERPRETACIJA BESEDILA:

Razmislite o rešitvi enačb tg x \u003d 3 in tg x \u003d - 3. Če grafično rešimo prvo enačbo, vidimo, da imajo grafi funkcij y \u003d tg x in y \u003d 3 neskončno veliko presečišč, abscise katere zapišemo v obliki

x \u003d x 1 + πk, kjer je x 1 abscisa točke presečišča črte y \u003d 3 z glavno vejo tangentoida (slika 1), za katero je bila izumljena oznaka

arctan 3 (arktangens treh).

Kako razumeti arctg 3?

To je število, katerega tangens je 3 in to število pripada intervalu (-;). Potem lahko vse korenine enačbe tg x \u003d 3 zapišemo s formulo x \u003d arctan 3 + πk.

Podobno lahko rešitev enačbe tg x \u003d - 3 zapišemo kot x \u003d x 2 + πk, kjer je x 2 abscisa točke presečišča črte y \u003d - 3 z glavno vejo tangentoid (slika 1), za katerega je oznaka arctg (- 3) (arkt tangenta minus tri). Potem lahko vse korenine enačbe zapišemo s formulo: x \u003d arctg (-3) + πk. Slika prikazuje, da je arctg(- 3)= - arctg 3.

Oblikujmo definicijo arc tangente. Arkus tangens a je tako število iz intervala (-;), katerega tangens je enak a.

Pogosto se uporablja enakost: arctg(-a) = -arctg a, ki velja za vsak a.

Če poznamo definicijo arktangensa, naredimo splošni sklep o rešitvi enačbe

tg x \u003d a: enačba tg x \u003d a ima rešitev x \u003d arctg a + πk.

Razmislite o primerih.

PRIMER 1. Izračunajte arctg.

rešitev. Naj bo arctg = x, potem je tgx = in xϵ (-;). Pokaži tabelo vrednosti Zato je x =, ker je tg = in ϵ (- ;).

Torej arctg =.

PRIMER 2 Izračunajte arktan (-).

rešitev. Z enakostjo arctg (- a) \u003d - arctg a zapišemo:

arctg(-) = - arctg. Naj bo - arctg = x, potem - tgx = in xϵ (-;). Zato je x =, ker je tg = in ϵ (- ;). Pokaži tabelo vrednosti

Torej - arctg=- tgх= - .

PRIMER 3. Rešite enačbo tgх = 1.

1. Zapišimo formulo rešitve: x = arctg 1 + πk.

2. Poiščimo vrednost arc tangenta

ker je tg = . Pokaži tabelo vrednosti

Torej arctg1= .

3. Najdeno vrednost vnesite v formulo rešitve:

PRIMER 4. Rešite enačbo tgx \u003d - 4,1 (tangenta x je enaka minus štiri pika ena desetina).

rešitev. Zapišimo formulo rešitve: x \u003d arctg (- 4,1) + πk.

Vrednosti arktangensa ne moremo izračunati, zato bomo rešitev enačbe pustili takšno, kot je.

PRIMER 5. Rešite neenačbo tgх 1.

rešitev. Naredimo to grafično.

1. Zgradimo tangentoid

y \u003d tgx in ravna črta y \u003d 1 (slika 2). Sekata se v točkah oblike x = + πk.

2. Izberite interval osi x, na katerem se glavna veja tangentoida nahaja nad ravno črto y \u003d 1, saj je po pogoju tgх 1. To je interval (;).

3. Uporabljamo periodičnost funkcije.

Lastnost 2. y \u003d tg x - periodična funkcija z osnovnim obdobjem π.

Ob upoštevanju periodičnosti funkcije y \u003d tgx zapišemo odgovor:

(;). Odgovor lahko zapišemo kot dvojno neenakost:

Preidimo na enačbo ctg x \u003d a. Predstavimo grafično ponazoritev rešitve enačbe za pozitivni in negativni a (slika 3).

Grafi funkcij y \u003d ctg x in y \u003d a in

y=ctg x in y=-a

imajo neskončno veliko skupnih točk, katerih abscise imajo obliko:

x \u003d x 1 +, kjer je x 1 abscisa točke presečišča črte y \u003d a z glavno vejo tangentoida in

x 1 = arcctg a;

x \u003d x 2 +, kjer je x 2 abscisa točke presečišča črte

y \u003d - vendar z glavno vejo tangentoida in x 2 \u003d arcсtg (- a).

Upoštevajte, da je x 2 \u003d π - x 1. Zato zapišemo pomembno enačbo:

arcctg (-a) = π - arcctg a.

Oblikujmo definicijo: arc kotangens a je tako število iz intervala (0; π), katerega kotangens je enak a.

Rešitev enačbe ctg x \u003d a je zapisana kot: x \u003d arcсtg a +.

Upoštevajte, da lahko enačbo ctg x = a pretvorimo v obliko

tg x = , razen če je a = 0.

Lahko naročite podrobno rešitev vaše težave !!!

Enačba, ki vsebuje neznanko pod znakom trigonometrične funkcije (`sin x, cos x, tg x` ali `ctg x`), se imenuje trigonometrična enačba in njene formule bomo obravnavali naprej.

Najenostavnejše enačbe so `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, kjer je `x` kot, ki ga je treba najti, `a` je poljubno število. Napišimo korenske formule za vsako od njih.

1. Enačba `sin x=a`.

Za `|a|>1` nima rešitev.

Z `|a| \leq 1` ima neskončno število rešitve.

Korenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Enačba `cos x=a`

Za `|a|>1` - kot v primeru sinusa, med realnimi števili ni rešitev.

Z `|a| \leq 1` ima neskončno število rešitev.

Korenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Posebni primeri za sinus in kosinus v grafih.

3. Enačba `tg x=a`

Ima neskončno število rešitev za poljubne vrednosti `a`.

Korenska formula: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Enačba `ctg x=a`

Ima tudi neskončno število rešitev za poljubne vrednosti `a`.

Korenska formula: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule za korenine trigonometričnih enačb v tabeli

Za sinuse:
Za kosinus:
Za tangens in kotangens:
Formule za reševanje enačb, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije:

Metode reševanja trigonometričnih enačb

Rešitev katere koli trigonometrične enačbe je sestavljena iz dveh stopenj:

• z uporabo za pretvorbo v najpreprostejšega;
• rešite nastalo preprosto enačbo z uporabo zgornjih formul za korene in tabele.

Oglejmo si glavne metode rešitve s primeri.

algebrska metoda.

Pri tej metodi se izvede zamenjava spremenljivke in njena zamenjava v enakost.

Primer. Rešite enačbo: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

naredite zamenjavo: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, nato `2y^2-3y+1=0`,

najdemo korene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz česar sledita dva primera:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizacija.

Primer. Rešite enačbo: `sin x+cos x=1`.

rešitev. Premakni v levo vse člene enakosti: `sin x+cos x-1=0`. Z uporabo transformiramo in faktoriziramo levo stran:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcija na homogeno enačbo

Najprej morate to trigonometrično enačbo prenesti v eno od dveh oblik:

`a sin x+b cos x=0` (homogena enačba prve stopnje) ali `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena enačba druge stopnje).

Nato oba dela razdelite s `cos x \ne 0` za prvi primer in z `cos^2 x \ne 0` za drugi primer. Dobimo enačbi za `tg x`: `a tg x+b=0` in `a tg^2 x + b tg x +c =0`, ki ju je treba rešiti z znanimi metodami.

Primer. Rešite enačbo: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

rešitev. Zapišimo desno stran kot `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

To je homogena trigonometrična enačba druge stopnje, če njeno levo in desno stran delimo s `cos^2 x \ne 0`, dobimo:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Uvedimo zamenjavo `tg x=t`, kot rezultat `t^2 + t - 2=0`. Koreni te enačbe so `t_1=-2` in `t_2=1`. Nato:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Pojdi na pol kota

Primer. Rešite enačbo: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

rešitev. Če uporabimo formule dvojnega kota, je rezultat: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Z uporabo zgoraj opisane algebraične metode dobimo:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Uvedba pomožnega kota

V trigonometrični enačbi `a sin x + b cos x =c`, kjer so a,b,c koeficienti in x spremenljivka, oba dela delimo s `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Koeficienti na levi strani imajo lastnosti sinusa in kosinusa, in sicer je vsota njunih kvadratov enaka 1, njihov modul pa je največ 1. Označimo jih takole: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , potem:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Oglejmo si podrobneje naslednji primer:

Primer. Rešite enačbo: `3 sin x+4 cos x=2`.

rešitev. Če obe strani enačbe delimo s `sqrt (3^2+4^2)`, dobimo:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Označite `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. Ker je `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, vzamemo `\varphi=arcsin 4/5` kot pomožni kot. Nato našo enakost zapišemo v obliki:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Z uporabo formule za vsoto kotov za sinus zapišemo svojo enakost v naslednji obliki:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ulomljeno-racionalne trigonometrične enačbe

To so enačbe z ulomki, v števcih in imenovalcih katerih so trigonometrične funkcije.

Primer. Reši enačbo. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

rešitev. Pomnožite in delite desno stran enačbe z `(1+cos x)`. Kot rezultat dobimo:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Glede na to, da imenovalec ne more biti nič, dobimo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Števec ulomka izenačite z nič: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Nato `sin x=0` ali `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Glede na to, da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, sta rešitvi `x=2\pi n, n \in Z` in `x=\pi /2+2\pi n` , `n \v Z`.

Odgovori. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometrija in zlasti trigonometrične enačbe se uporabljajo na skoraj vseh področjih geometrije, fizike in tehnike. Študij se začne v 10. razredu, vedno so naloge za izpit, zato si poskusite zapomniti vse formule trigonometričnih enačb - zagotovo vam bodo prišle prav!

Vendar vam jih sploh ni treba zapomniti, glavna stvar je razumeti bistvo in biti sposoben sklepati. Ni tako težko, kot se zdi. Prepričajte se sami z ogledom videa.

Za uspešno reševanje trigonometrične enačbe priročen za uporabo metoda redukcije na predhodno rešene probleme. Poglejmo, kaj je bistvo te metode?

V katerem koli predlaganem problemu morate videti predhodno rešen problem in nato z uporabo zaporednih enakovrednih transformacij poskusiti zmanjšati problem, ki vam je bil dan, na preprostejšega.

Torej pri reševanju trigonometričnih enačb običajno sestavijo neko končno zaporedje enakovrednih enačb, katerih zadnja povezava je enačba z očitno rešitvijo. Pomembno je le vedeti, da če spretnosti za reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb niso oblikovane, bo reševanje bolj zapletenih enačb težko in neučinkovito.

Poleg tega pri reševanju trigonometričnih enačb nikoli ne smete pozabiti na možnost obstoja več rešitev.

Primer 1. Poiščite število korenov enačbe cos x = -1/2 na intervalu.

rešitev:

Jaz pot. Narišimo grafa funkcij y = cos x in y = -1/2 ter poiščimo število njunih skupnih točk na intervalu (slika 1).

Ker imata grafa funkcij dve skupni točki na intervalu, vsebuje enačba dva korena na tem intervalu.

II način. S pomočjo trigonometričnega kroga (slika 2) ugotovimo število točk, ki pripadajo intervalu, v katerem je cos x = -1/2. Slika prikazuje, da ima enačba dva korena.

III način. S formulo korenov trigonometrične enačbe rešimo enačbo cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k je celo število (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k je celo število (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k je celo število (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k je celo število (k € Z).

Korena 2π/3 in -2π/3 + 2π pripadata intervalu, k je celo število. Tako ima enačba dva korena na danem intervalu.

Odgovor: 2.

V prihodnje se bodo trigonometrične enačbe reševale po eni od predlaganih metod, kar v mnogih primerih ne izključuje uporabe drugih metod.

Primer 2. Poiščite število rešitev enačbe tg (x + π/4) = 1 na intervalu [-2π; 2π].

rešitev:

Z uporabo formule korenin trigonometrične enačbe dobimo:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k je celo število (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k je celo število (k € Z);

x = πk, k je celo število (k ∈ Z);

Interval [-2π; 2π] pripadajo številom -2π; -π; 0; π; 2π. Torej ima enačba pet korenin na danem intervalu.

Odgovor: 5.

Primer 3. Poiščite število korenov enačbe cos 2 x + sin x cos x = 1 na intervalu [-π; π].

rešitev:

Ker je 1 = sin 2 x + cos 2 x (osnovna trigonometrična istovetnost), izvirna enačba postane:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x cos x \u003d 0;

sin x(sin x - cos x) = 0. Produkt je enak nič, kar pomeni, da mora biti vsaj eden izmed faktorjev enak nič, torej:

sin x \u003d 0 ali sin x - cos x \u003d 0.

Ker vrednost spremenljivke, pri kateri je cos x = 0, nista korena druge enačbe (sinus in kosinus istega števila ne moreta biti enaka nič hkrati), potem oba dela druge enačbe razdelimo na enačba s cos x:

sin x = 0 ali sin x / cos x - 1 = 0.

V drugi enačbi uporabimo dejstvo, da je tg x = sin x / cos x, potem:

sin x = 0 ali tg x = 1. Z uporabo formul imamo:

x = πk ali x = π/4 + πk, k je celo število (k € Z).

Od prve serije korenov do intervala [-π; π] pripadajo številom -π; 0; π. Iz druge serije: (π/4 – π) in π/4.

Tako pripada pet korenov prvotne enačbe intervalu [-π; π].

Odgovor: 5.

Primer 4. Poiščite vsoto korenov enačbe tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 na intervalu [-π; 1,1π].

rešitev:

Prepišimo enačbo v naslednji obliki:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 in naredite spremembo.

Naj bo tg x + сtgx = a. Kvadrirajmo obe strani enačbe:

(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Razširimo oklepaje:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2 .

Ker je tg x сtgx \u003d 1, potem je tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, kar pomeni

tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2 - 2.

Zdaj izvirna enačba izgleda takole:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Z uporabo Vietovega izreka dobimo, da je a = -1 ali a = -2.

Če naredimo obratno zamenjavo, imamo:

tg x + сtgx = -1 ali tg x + сtgx = -2. Rešimo dobljene enačbe.

tgx + 1/tgx = -1 ali tgx + 1/tgx = -2.

Z lastnostjo dveh medsebojno recipročnih števil ugotovimo, da prva enačba nima korenin, iz druge enačbe pa:

tg x = -1, tj. x = -π/4 + πk, k je celo število (k € Z).

Interval [-π; 1,1π] pripadajo koreni: -π/4; -π/4 + π. Njihova vsota:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Odgovor: π/2.

Primer 5. Poiščite aritmetično sredino korenov enačbe sin 3x + sin x = sin 2x na intervalu [-π; 0,5π].

rešitev:

Uporabimo formulo sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), potem

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x in enačba postane

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Skupni faktor sin 2x vzamemo iz oklepaja

sin 2x(2cos x - 1) = 0. Rešimo nastalo enačbo:

sin 2x \u003d 0 ali 2cos x - 1 \u003d 0;

sin 2x = 0 ali cos x = 1/2;

2x = πk ali x = ±π/3 + 2πk, k je celo število (k € Z).

Tako imamo korenine

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k je celo število (k ∈ Z).

Interval [-π; 0,5π] pripadajo korenoma -π; -π/2; 0; π/2 (iz prve serije korenin); π/3 (iz druge serije); -π/3 (iz tretje serije). Njihova aritmetična sredina je:

(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.

Odgovor: -π/6.

Primer 6. Poiščite število korenov enačbe sin x + cos x = 0 na intervalu [-1,25π; 2π].

rešitev:

Ta enačba je homogena enačba prve stopnje. Oba dela delimo s cosx (vrednost spremenljivke, pri kateri je cos x = 0, nista korena te enačbe, saj sinus in kosinus istega števila ne moreta biti enaka nič hkrati). Prvotna enačba izgleda takole:

x = -π/4 + πk, k je celo število (k € Z).

Vrzel [-1,25π; 2π] imajo korenine -π/4; (-π/4 + π); in (-π/4 + 2π).

Tako danemu intervalu pripadajo trije koreni enačbe.

Odgovor: 3.

Naučite se narediti najpomembnejše - jasno predstaviti načrt za rešitev problema in potem bo katera koli trigonometrična enačba na vaši rami.

Imaš kakšno vprašanje? Ne veste, kako rešiti trigonometrične enačbe?
Za pomoč mentorja - registrirajte se.

spletno mesto, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.

V tej lekciji bomo nadaljevali s preučevanjem arktangensa in reševanjem enačb oblike tg x = a za poljuben a. Na začetku učne ure bomo rešili enačbo s tabelarično vrednostjo in rešitev ponazorili na grafu, nato pa še na krožnici. Nato rešimo enačbo tgx = a v splošni obliki in izpeljemo splošno formulo za odgovor. Izračune ponazorimo na grafu in na krožnici ter razmislimo različne oblike odgovor. Na koncu lekcije bomo rešili več nalog s ponazoritvijo rešitev na tabeli in krogu.

Tema: Trigonometrične enačbe

Lekcija: Arktangens in reševanje enačbe tgx=a (nadaljevanje)

1. Tema lekcije, uvod

V tej lekciji bomo obravnavali rešitev enačbe za poljubno realno

2. Rešitev enačbe tgx=√3

Naloga 1. Reši enačbo

Poiščimo rešitev s pomočjo funkcijskih grafov (slika 1).

Obravnavajmo interval Na tem intervalu je funkcija monotona, kar pomeni, da je dosežena samo pri eni vrednosti funkcije.

odgovor:

Rešimo isto enačbo s pomočjo številskega kroga (slika 2).

odgovor:

3. Rešitev enačbe tgx=a v splošni obliki

Rešimo enačbo v splošni obliki (slika 3).

Na intervalu ima enačba enolično rešitev

Najmanjše pozitivno obdobje

Ponazorimo na numeričnem krogu (slika 4).

4. Reševanje problemov

Naloga 2. Reši enačbo

Spremenimo spremenljivko

Naloga 3. Rešite sistem:

Rešitev (slika 5):

V točki je vrednost torej rešitev sistema le točka

odgovor:

Naloga 4. Reši enačbo

Rešimo z metodo spremembe spremenljivke:

Naloga 5. Poiščite število rešitev enačbe na intervalu

Rešimo nalogo s pomočjo grafa (slika 6).

Enačba ima tri rešitve na danem intervalu.

Ponazorili bomo na numeričnem krogu (slika 7), čeprav to ni tako jasno kot na grafu.

Odgovor: Tri rešitve.

5. Zaključek, zaključek

Enačbo smo rešili za poljubno realno z uporabo koncepta arktangensa. V naslednji lekciji se bomo seznanili s pojmom arc tangenta.

Bibliografija

1. Algebra in začetek analize, 10. razred (v dveh delih). Vadnica za izobraževalne ustanove (ravni profila) izd. A. G. Mordkovič. -M .: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra in začetek analize, 10. razred (v dveh delih). Naloga za izobraževalne ustanove (stopnja profila), ed. A. G. Mordkovič. -M .: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Algebra in matematična analiza za 10. razred ( vadnica za učence šol in razredov s poglobljenim študijem matematike).-M .: Izobraževanje, 1996.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Poglobljena študija algebre in matematične analize.-M .: Izobraževanje, 1997.

5. Zbirka nalog iz matematike za kandidate na tehničnih univerzah (pod urednikovanjem M.I.Skanavi).-M .: Višja šola, 1992.

6. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Algebraični simulator.-K .: A. S. K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Naloge v algebri in začetki analize (priročnik za učence 10-11 razredov splošnih izobraževalnih ustanov). - M .: Izobraževanje, 2003.

8. A. P. Karp, Zbirka nalog iz algebre in principov analize: Proc. dodatek za 10-11 celic. z globokim študija matematika.-M .: Izobraževanje, 2006.

Domača naloga

Algebra in začetki analize, 10. razred (v dveh delih). Naloga za izobraževalne ustanove (stopnja profila), ed. A. G. Mordkovič. -M .: Mnemosyne, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Dodatni spletni viri

1. Matematika.

2. Internetni portal Problemi. ru.

3. Izobraževalni portal za pripravo na izpite.