Odvodenie všeobecného vzorca pre korene rovnice tgx a. Lekcia "Arctangens a arctangens. Riešenie rovníc tgx = a, ctgx = a". Riešenie rovnice tgx=a vo všeobecnom tvare

Už skôr v programe študenti získali predstavu o riešení goniometrické rovnice, oboznámili sa s pojmami arkozínus a arksínus, príklady riešení rovníc cos t = a a sin t = a. V tomto videonávode sa budeme zaoberať riešením rovníc tg x = a a ctg x = a.

Na začiatku štúdia tejto témy zvážte rovnice tg x = 3 a tg x = - 3. Ak rovnicu tg x = 3 vyriešime pomocou grafu, uvidíme, že priesečník grafov funkcií y = tg x a y = 3 má nekonečný počet riešení, kde x = x 1 + πk. Hodnota x 1 je súradnica x priesečníka grafov funkcií y = tg x a y = 3. Autor zavádza pojem arkustangens: arctg 3 je číslo, ktorého tg je 3, pričom toto číslo patrí interval od -π/2 do π/2. Pomocou pojmu arkustangens možno riešenie rovnice tan x = 3 zapísať ako x = arctan 3 + πk.

Analogicky je vyriešená rovnica tg x \u003d - 3. Podľa zostrojených grafov funkcií y \u003d tg x a y \u003d - 3 možno vidieť, že priesečníky grafov, a teda aj riešenia rovníc, bude x \u003d x 2 + πk. Pomocou arkustangens možno riešenie zapísať ako x = arctan (- 3) + πk. Na nasledujúcom obrázku vidíme, že arctg (- 3) = - arctg 3.

Všeobecná definícia arkustangensu je nasledovná: arkustangens a je také číslo z intervalu od -π / 2 do π / 2, ktorého dotyčnica je a. Potom riešením rovnice tg x = a je x = arctg a + πk.

Autor uvádza príklad 1. Nájdite riešenie výrazu arctg Zavedieme si zápis: arkustangens čísla je x, potom tg x sa bude rovnať danému číslu, kde x patrí segmentu od -π/ 2 až π/2. Rovnako ako v príkladoch v predchádzajúcich témach použijeme tabuľku hodnôt. Podľa tejto tabuľky tangens tohto čísla zodpovedá hodnote x = π/3. Zapíšeme riešenie rovnice arkustangens daného čísla rovného π / 3, π / 3 tiež patrí do intervalu od -π / 2 do π / 2.

Príklad 2 - Vypočítajte arkus tangens záporného čísla. Pomocou rovnosti arctg (- a) = - arctg a zadajte hodnotu x. Podobne ako v príklade 2 zapíšeme hodnotu x, ktorá patrí do intervalu od -π/2 do π/2. Podľa tabuľky hodnôt zistíme, že x = π/3, teda -- tg x = - π/3. Odpoveď na rovnicu je - π/3.

Uvažujme príklad 3. Vyriešme rovnicu tan x = 1. Napíšme, že x = arctan 1 + πk. V tabuľke hodnota tg 1 zodpovedá hodnote x \u003d π / 4, teda arctg 1 \u003d π / 4. Túto hodnotu dosaďte do pôvodného vzorca x a zapíšte odpoveď x = π/4 + πk.

Príklad 4: vypočítajte tg x = - 4,1. V tomto prípade x = arctg (- 4,1) + πk. Pretože v tomto prípade nie je možné nájsť hodnotu arctg, odpoveď bude vyzerať ako x = arctg (- 4,1) + πk.

Príklad 5 uvažuje s riešením nerovnice tg x > 1. Na jej vyriešenie nakreslíme grafy funkcií y = tg x a y = 1. Ako je možné vidieť na obrázku, tieto grafy sa pretínajú v bodoch x = π. /4 + πk. Pretože v tomto prípade tg x > 1, na grafe vyberieme oblasť tangentoidu, ktorý je nad grafom y = 1, kde x patrí do intervalu od π/4 do π/2. Odpoveď zapíšeme ako π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Ďalej zvážte rovnicu ctg x = a. Na obrázku sú znázornené grafy funkcií y = ctg x, y = a, y = - a, ktoré majú veľa priesečníkov. Riešenia možno zapísať ako x = x 1 + πk, kde x 1 = arcctg a a x = x 2 + πk, kde x 2 = arcctg (- a). Je potrebné poznamenať, že x 2 \u003d π - x 1. Z toho vyplýva rovnosť arcctg (- a) = π - arcctg a. Ďalej je uvedená definícia oblúkového kotangensu: oblúkový kotangens a je také číslo z intervalu od 0 do π, ktorého kotangens sa rovná a. Riešenie rovnice сtg x = a je napísané ako: x = arcctg a + πk.

Na konci video lekcie je urobený ďalší dôležitý záver - výraz ctg x = a možno zapísať ako tg x = 1/a za predpokladu, že a sa nerovná nule.

INTERPRETÁCIA TEXTU:

Zvážte riešenie rovníc tg x \u003d 3 a tg x \u003d - 3. Po grafickom vyriešení prvej rovnice vidíme, že grafy funkcií y \u003d tg x a y \u003d 3 majú nekonečne veľa priesečníkov, úsečky, ktorých zapisujeme v tvare

x \u003d x 1 + πk, kde x 1 je úsečka priesečníka priamky y \u003d 3 s hlavnou vetvou tangentoidu (obr. 1), pre ktorú bolo označenie vynájdené

arctan 3 (oblúkový tangens troch).

Ako rozumieť arctg 3?

Ide o číslo, ktorého dotyčnica je 3 a toto číslo patrí do intervalu (-;). Potom môžu byť všetky korene rovnice tg x \u003d 3 zapísané vzorcom x \u003d arctan 3 + πk.

Podobne je možné riešenie rovnice tg x \u003d - 3 zapísať ako x \u003d x 2 + πk, kde x 2 je súradnica priesečníka priamky y \u003d - 3 s hlavnou vetvou čiary tangentoida (obr. 1), pre ktorú je označenie arctg (- 3) (arct tangens mínus tri). Potom je možné všetky korene rovnice zapísať vzorcom: x \u003d arctg (-3) + πk. Obrázok ukazuje, že arctg(- 3)= - arctg 3.

Sformulujme definíciu arkustangensu. Arkustangens a je také číslo z intervalu (-;), ktorého dotyčnica sa rovná a.

Často sa používa rovnosť: arctg(-a) = -arctg a, ktorá platí pre ľubovoľné a.

Keď poznáme definíciu arkustangensu, vyvodíme všeobecný záver o riešení rovnice

tg x \u003d a: rovnica tg x \u003d a má riešenie x \u003d arctg a + πk.

Zvážte príklady.

PRÍKLAD 1. Vypočítajte arctg.

Riešenie. Nech arctg = x, potom tgx = a xϵ (-;). Zobraz tabuľku hodnôt Preto x =, pretože tg = a ϵ (- ;).

Takže arctg =.

PRÍKLAD 2 Vypočítajte arktan (-).

Riešenie. Pomocou rovnosti arctg (- a) \u003d - arctg a píšeme:

arctg(-) = - arctg . Nech - arctg = x, potom - tgx = a xϵ (-;). Preto x =, keďže tg = a ϵ (- ;). Zobraziť tabuľku hodnôt

Takže - arctg=- tgх= - .

PRÍKLAD 3. Riešte rovnicu tgх = 1.

1. Zapíšme si vzorec riešenia: x = arctg 1 + πk.

2. Poďme nájsť hodnotu oblúková dotyčnica

keďže tg = . Zobraziť tabuľku hodnôt

Takže arctg1= .

3. Nájdenú hodnotu vložte do vzorca riešenia:

PRÍKLAD 4. Vyriešte rovnicu tgx \u003d - 4.1 (tangens x sa rovná mínus štyrom bodom jedna desatina).

Riešenie. Zapíšme si vzorec riešenia: x \u003d arctg (- 4,1) + πk.

Hodnotu arkustangens nevieme vypočítať, takže riešenie rovnice necháme tak.

PRÍKLAD 5. Vyriešte nerovnosť tgх 1.

Riešenie. Urobme to graficky.

1. Zostavme tangentoid

y \u003d tgx a priamka y \u003d 1 (obr. 2). Pretínajú sa v bodoch tvaru x = + πk.

2. Vyberte interval osi x, na ktorom je hlavná vetva tangentoidu umiestnená nad priamkou y \u003d 1, pretože podľa podmienky tgх 1. Toto je interval (;).

3. Využívame periodicitu funkcie.

Vlastnosť 2. y \u003d tg x - periodická funkcia so základnou periódou π.

Berúc do úvahy periodicitu funkcie y \u003d tgx, napíšeme odpoveď:

(;). Odpoveď možno napísať ako dvojitú nerovnosť:

Prejdime k rovnici ctg x \u003d a. Uveďme si grafické znázornenie riešenia rovnice pre kladné a záporné a (obr. 3).

Grafy funkcií y \u003d ctg x a y \u003d a a

y = ctg x a y = -a

majú nekonečne veľa spoločných bodov, ktorých úsečky majú tvar:

x \u003d x 1 +, kde x 1 je úsečka priesečníka priamky y \u003d a s hlavnou vetvou tangentoidu a

x 1 = arcctg a;

x \u003d x 2 +, kde x 2 je súradnica priesečníka priamky

y \u003d - ale s hlavnou vetvou tangentoidu a x 2 \u003d arcсtg (- a).

Upozorňujeme, že x 2 \u003d π - x 1. Zapíšeme si teda dôležitú rovnicu:

arcctg (-a) = π - arcctg a.

Formulujme definíciu: oblúkový kotangens a je také číslo z intervalu (0; π), ktorého kotangens sa rovná a.

Riešenie rovnice ctg x \u003d a je napísané ako: x \u003d arcсtg a +.

Všimnite si, že rovnicu ctg x = a možno previesť do tvaru

tg x = okrem prípadov, keď a = 0.

Môžete si objednať podrobné riešenie vášho problému !!!

Rovnosť obsahujúca neznámu pod znamienkom goniometrickej funkcie (`sin x, cos x, tg x` alebo `ctg x`) sa nazýva goniometrická rovnica a ich vzorcom sa budeme ďalej venovať.

Najjednoduchšie rovnice sú `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, kde `x` je uhol, ktorý sa má nájsť, `a` je ľubovoľné číslo. Napíšme koreňové vzorce pre každý z nich.

1. Rovnica `sin x=a`.

Pre `|a|>1` nemá žiadne riešenia.

S `|a| \leq 1' má nekonečné číslo riešenia.

Koreňový vzorec: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Rovnica `cos x=a`

Pre `|a|>1` - ako v prípade sínusu, medzi reálnymi číslami neexistujú riešenia.

S `|a| \leq 1` má nekonečný počet riešení.

Koreňový vzorec: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Špeciálne prípady pre sínus a kosínus v grafoch.

3. Rovnica `tg x=a`

Má nekonečný počet riešení pre ľubovoľné hodnoty „a“.

Koreňový vzorec: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Rovnica `ctg x=a`

Má tiež nekonečný počet riešení pre akékoľvek hodnoty „a“.

Koreňový vzorec: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Vzorce pre korene goniometrických rovníc v tabuľke

Pre sínus:
Pre kosínus:
Pre tangens a kotangens:
Vzorce na riešenie rovníc obsahujúcich inverzné goniometrické funkcie:

Metódy riešenia goniometrických rovníc

Riešenie akejkoľvek goniometrickej rovnice pozostáva z dvoch fáz:

• pomocou previesť na najjednoduchšie;
• vyriešte výslednú jednoduchú rovnicu pomocou vyššie uvedených vzorcov pre korene a tabuľky.

Uvažujme o hlavných metódach riešenia pomocou príkladov.

algebraická metóda.

Pri tejto metóde sa vykonáva nahradenie premennej a jej substitúcia za rovnosť.

Príklad. Vyriešte rovnicu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

urobte náhradu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, potom `2y^2-3y+1=0`,

nájdeme korene: `y_1=1, y_2=1/2`, z ktorých vyplývajú dva prípady:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odpoveď: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizácia.

Príklad. Vyriešte rovnicu: `sin x+cos x=1`.

Riešenie. Presuňte doľava všetky členy rovnosti: `sin x+cos x-1=0`. Pomocou , transformujeme a rozkladáme ľavú stranu:

`sin x – 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0“,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odpoveď: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcia na homogénnu rovnicu

Najprv musíte túto trigonometrickú rovnicu preniesť do jednej z dvoch foriem:

`a sin x+b cos x=0` (homogénna rovnica prvého stupňa) alebo `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogénna rovnica druhého stupňa).

Potom obe časti rozdeľte `cos x \ne 0` pre prvý prípad a `cos^2 x \ne 0` pre druhý prípad. Dostaneme rovnice pre `tg x`: `a tg x+b=0` a `a tg^2 x + b tg x +c =0`, ktoré je potrebné vyriešiť známymi metódami.

Príklad. Vyriešte rovnicu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Riešenie. Napíšme pravú stranu ako `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Toto je homogénna trigonometrická rovnica druhého stupňa, vydelením jej ľavej a pravej časti `cos^2 x \ne 0`, dostaneme:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Zavedme náhradu `tg x=t`, výsledkom je `t^2 + t - 2=0`. Korene tejto rovnice sú `t_1=-2` a `t_2=1`. potom:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Odpoveď. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Prejdite do Half Corner

Príklad. Vyriešte rovnicu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Riešenie. Pri použití vzorcov s dvojitým uhlom je výsledok: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Použitím vyššie opísanej algebraickej metódy dostaneme:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Odpoveď. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Zavedenie pomocného uhla

V goniometrickej rovnici `a sin x + b cos x =c`, kde a,b,c sú koeficienty a x je premenná, delíme obe časti `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))“.

Koeficienty na ľavej strane majú vlastnosti sínus a kosínus, konkrétne súčet ich štvorcov sa rovná 1 a ich modul nie je väčší ako 1. Označte ich takto: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C', potom:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pozrime sa bližšie na nasledujúci príklad:

Príklad. Vyriešte rovnicu: `3 sin x+4 cos x=2`.

Riešenie. Vydelením oboch strán rovnice `sqrt (3^2+4^2)` ​​dostaneme:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2)).

`3/5 hriechu x+4/5 čos x=2/5`.

Označte `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Keďže `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, berieme `\varphi=arcsin 4/5` ako pomocný uhol. Potom svoju rovnosť zapíšeme v tvare:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Použitím vzorca pre súčet uhlov pre sínus zapíšeme našu rovnosť v nasledujúcom tvare:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odpoveď. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Zlomkovo-racionálne goniometrické rovnice

Sú to rovnosti so zlomkami, v čitateľoch a menovateľoch ktorých sú goniometrické funkcie.

Príklad. Vyriešte rovnicu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Riešenie. Vynásobte a vydeľte pravú stranu rovnice „(1+cos x)“. V dôsledku toho dostaneme:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Vzhľadom na to, že menovateľ nemôže byť nula, dostaneme `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Čitateľ zlomku prirovnajte k nule: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Potom „sin x=0“ alebo „1-sin x=0“.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Vzhľadom na to, že ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, riešenia sú `x=2\pi n, n \in Z` a `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Odpoveď. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometria a najmä trigonometrické rovnice sa používajú takmer vo všetkých oblastiach geometrie, fyziky a inžinierstva. Štúdium začína v 10. ročníku, na skúšku sú vždy úlohy, tak si skúste zapamätať všetky vzorce goniometrických rovníc – určite sa vám budú hodiť!

Nemusíte sa ich však ani učiť naspamäť, hlavné je pochopiť podstatu a vedieť odvodiť. Nie je to také ťažké, ako sa zdá. Presvedčte sa sami sledovaním videa.

Úspešne vyriešiť goniometrické rovnice pohodlné použitie redukčná metóda na predtým vyriešené problémy. Pozrime sa, čo je podstatou tejto metódy?

V každom navrhovanom probléme musíte vidieť predtým vyriešený problém a potom sa pomocou postupných ekvivalentných transformácií pokúsiť zredukovať daný problém na jednoduchší.

Takže pri riešení goniometrických rovníc zvyčajne tvoria nejakú konečnú postupnosť ekvivalentných rovníc, ktorých posledným článkom je rovnica so zrejmým riešením. Je dôležité si uvedomiť, že ak sa nevytvoria zručnosti na riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc, riešenie zložitejších rovníc bude ťažké a neúčinné.

Navyše pri riešení goniometrických rovníc by ste nikdy nemali zabúdať na možnosť existencie viacerých riešení.

Príklad 1. Nájdite počet koreňov rovnice cos x = -1/2 na intervale.

Riešenie:

I cesta. Zostavme si grafy funkcií y = cos x a y = -1/2 a nájdime počet ich spoločných bodov na intervale (obr. 1).

Keďže grafy funkcií majú dva spoločné body na intervale, rovnica obsahuje dva korene na tomto intervale.

II spôsob. Pomocou trigonometrickej kružnice (obr. 2) zistíme počet bodov patriacich do intervalu, v ktorom cos x = -1/2. Obrázok ukazuje, že rovnica má dva korene.

III spôsob. Pomocou vzorca koreňov goniometrickej rovnice riešime rovnicu cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k je celé číslo (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k je celé číslo (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k je celé číslo (k ∈ Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k je celé číslo (k ∈ Z).

Korene 2π/3 a -2π/3 + 2π patria do intervalu, k je celé číslo. Rovnica má teda dva korene na danom intervale.

odpoveď: 2.

V budúcnosti budú trigonometrické rovnice riešené jednou z navrhovaných metód, čo v mnohých prípadoch nevylučuje použitie iných metód.

Príklad 2. Nájdite počet riešení rovnice tg (x + π/4) = 1 na intervale [-2π; 2π].

Riešenie:

Pomocou vzorca koreňov goniometrickej rovnice dostaneme:

x + π/4 = arktan 1 + πk, k je celé číslo (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k je celé číslo (k € Z);

x = πk, k je celé číslo (k € Z);

Interval [-2π; 2π] patria číslam -2π; -π; 0; π; 2π. Takže rovnica má päť koreňov na danom intervale.

odpoveď: 5.

Príklad 3. Nájdite počet koreňov rovnice cos 2 x + sin x cos x = 1 na intervale [-π; π].

Riešenie:

Keďže 1 = sin 2 x + cos 2 x (základná trigonometrická identita), pôvodná rovnica sa stáva:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x cos x \u003d 0;

sin x(sin x - cos x) = 0. Súčin sa rovná nule, čo znamená, že aspoň jeden z faktorov sa musí rovnať nule, preto:

sin x \u003d 0 alebo sin x - cos x \u003d 0.

Keďže hodnota premennej, pri ktorej cos x = 0, nie sú koreňmi druhej rovnice (sínus a kosínus toho istého čísla sa nemôžu v rovnakom čase rovnať nule), potom obe časti druhej rovnice delíme rovnica podľa cos x:

sin x = 0 alebo sin x / cos x - 1 = 0.

V druhej rovnici používame skutočnosť, že tg x = sin x / cos x, potom:

sin x = 0 alebo tg x = 1. Pomocou vzorcov máme:

x = πk alebo x = π/4 + πk, k je celé číslo (k ∈ Z).

Od prvej série koreňov po interval [-π; π] patria k číslam -π; 0; π. Z druhej série: (π/4 – π) a π/4.

Päť koreňov pôvodnej rovnice teda patrí do intervalu [-π; π].

odpoveď: 5.

Príklad 4. Nájdite súčet koreňov rovnice tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 na intervale [-π; 1,1π].

Riešenie:

Prepíšme rovnicu v nasledujúcom tvare:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 a vykonajte zmenu.

Nech tg x + сtgx = a. Odmocnime obe strany rovnice:

(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Rozšírime zátvorky:

tg 2 x + 2 tg x ctgx + ctg 2 x = a 2 .

Keďže tg x сtgx \u003d 1, potom tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, čo znamená

tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2 - 2.

Pôvodná rovnica teraz vyzerá takto:

a2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Pomocou Vietovej vety dostaneme, že a = -1 alebo a = -2.

Keď urobíme opačnú substitúciu, máme:

tg x + сtgx = -1 alebo tg x + сtgx = -2. Vyriešme získané rovnice.

tgx + 1/tgx = -1 alebo tgx + 1/tgx = -2.

Vlastnosťou dvoch vzájomne recipročných čísel určíme, že prvá rovnica nemá korene a z druhej rovnice máme:

tg x = -1, t.j. x = -π/4 + πk, k je celé číslo (k ∈ Z).

Interval [-π; 1,1π] korene patria: -π/4; -π/4 + π. Ich súčet:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Odpoveď: π/2.

Príklad 5. Nájdite aritmetický priemer koreňov rovnice sin 3x + sin x = sin 2x na intervale [-π; 0,5π].

Riešenie:

Používame vzorec sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), potom

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x a rovnica sa stáva

2sin 2x cos x = hriech 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Zo zátvoriek vyberieme spoločný činiteľ sin 2x

sin 2x(2cos x - 1) = 0. Vyriešme výslednú rovnicu:

sin 2x \u003d 0 alebo 2cos x - 1 \u003d 0;

sin 2x = 0 alebo cos x = 1/2;

2x = πk alebo x = ±π/3 + 2πk, k je celé číslo (k € Z).

Takže máme korene

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k je celé číslo (k € Z).

Interval [-π; 0,5π] patria ku koreňom -π; -π/2; 0; π/2 (z prvej série koreňov); π/3 (z druhej série); -π/3 (z tretej série). Ich aritmetický priemer je:

(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.

Odpoveď: -π/6.

Príklad 6. Nájdite počet koreňov rovnice sin x + cos x = 0 na intervale [-1,25π; 2π].

Riešenie:

Táto rovnica je homogénnou rovnicou prvého stupňa. Obidve jej časti vydeľte cosx (hodnota premennej, pri ktorej cos x = 0, nie sú koreňmi tejto rovnice, keďže sínus a kosínus toho istého čísla sa nemôžu súčasne rovnať nule). Pôvodná rovnica vyzerá takto:

x = -π/4 + πk, k je celé číslo (k ∈ Z).

Medzera [-1,25π; 2π] majú korene -π/4; (-π/4 + π); a (-π/4 + 2π).

Do daného intervalu teda patria tri korene rovnice.

odpoveď: 3.

Naučte sa robiť to najdôležitejšie - jasne prezentovať plán riešenia problému a potom bude na vašom pleci akákoľvek trigonometrická rovnica.

Máte nejaké otázky? Neviete, ako riešiť goniometrické rovnice?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

V tejto lekcii budeme pokračovať v štúdiu arkustangens a riešení rovníc v tvare tg x = a pre ľubovoľné a. Na začiatku hodiny vyriešime rovnicu tabuľkovou hodnotou a riešenie znázorníme na grafe a následne na kruhu. Ďalej riešime rovnicu tgx = a vo všeobecnom tvare a odvodíme všeobecný vzorec pre odpoveď. Výpočty ilustrujeme na grafe a na kruhu a uvažujeme rôzne formy odpoveď. Na konci hodiny vyriešime niekoľko úloh s ilustráciou riešení v tabuľke a na kruhu.

Téma: Goniometrické rovnice

Lekcia: Arktangens a riešenie rovnice tgx=a (pokračovanie)

1. Téma lekcie, úvod

V tejto lekcii zvážime riešenie rovnice pre akékoľvek reálne

2. Riešenie rovnice tgx=√3

Úloha 1. Vyriešte rovnicu

Poďme nájsť riešenie pomocou funkčných grafov (obr. 1).

Uvažujme interval Na tomto intervale je funkcia monotónna, čo znamená, že sa dosiahne iba pri jednej hodnote funkcie.

odpoveď:

Riešime rovnakú rovnicu pomocou číselného kruhu (obr. 2).

odpoveď:

3. Riešenie rovnice tgx=a vo všeobecnom tvare

Riešime rovnicu vo všeobecnom tvare (obr. 3).

Na intervale má rovnica jedinečné riešenie

Najmenšie pozitívne obdobie

Znázornime na číselnom kruhu (obr. 4).

4. Riešenie problémov

Úloha 2. Vyriešte rovnicu

Zmeňme premennú

Úloha 3. Vyriešte systém:

Riešenie (obr. 5):

V bode, hodnota je teda riešením systému je len bod

odpoveď:

Úloha 4. Vyriešte rovnicu

Riešime to metódou zmeny premennej:

Úloha 5. Nájdite počet riešení rovnice na intervale

Vyriešme úlohu pomocou grafu (obr. 6).

Rovnica má tri riešenia na danom intervale.

Budeme ilustrovať na číselnom kruhu (obr. 7), aj keď to nie je také jasné ako na grafe.

Odpoveď: Tri riešenia.

5. Záver, záver

Rovnicu pre akékoľvek reálne sme vyriešili pomocou konceptu arkustangens. V ďalšej lekcii sa zoznámime s pojmom oblúková tangenta.

Bibliografia

1. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Návod pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu) vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Zošit úloh pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu), vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Algebra a matematická analýza pre ročník 10 ( tutoriál pre študentov škôl a tried s hĺbkovým štúdiom matematiky).-M .: Vzdelávanie, 1996.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartburd S. I. Hlboké štúdium algebry a matematickej analýzy.-M.: Vzdelávanie, 1997.

5. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov na technické univerzity (pod redakciou M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Algebraický simulátor.-K.: A. S. K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Úlohy v algebre a začiatky analýzy (príručka pre študentov 10. až 11. ročníka všeobecných vzdelávacích inštitúcií). - M.: Vzdelávanie, 2003.

8. A. P. Karp, Zbierka úloh z algebry a princípov analýzy: Proc. príspevok na 10-11 buniek. s hlbokým štúdium matematika.-M.: Vzdelávanie, 2006.

Domáca úloha

Algebra a začiatky analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Zošit úloh pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu), vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Ďalšie webové zdroje

1. Matematika.

2. Problémy internetového portálu. ru.

3. Vzdelávací portál pripraviť sa na skúšky.