Первообразная формулы таблица. Первообразная функции и общий вид. Решение задач со степенными функциями
На этой странице вы найдёте:
1. Собственно, таблицу первообразных — её можно скачать в формате PDF и распечатать;
2. Видео, посвящённое тому, как этой таблицей пользоваться;
3. Кучу примеров вычисления первообразной из различных учебников и контрольных работ.
В самом видео мы разберём множество задач, где требуется посчитать первообразные функций, зачастую довольно сложных, но главное — не являющихся степенными. Все функции, сведённые в таблицу, предложенную выше, необходимо знать наизусть, подобно производным. Без них невозможно дальнейшее изучение интегралов и их применение для решения практических задач.
Сегодня мы продолжаем заниматься первообразными и переходим у чуть более сложной теме. Если в прошлый раз мы рассматривали первообразные только от степенных функций и чуть более сложных конструкций, то сегодня мы разберем тригонометрию и многое другое.
Как я говорил на прошлом занятии, первообразные в отличие от производных, никогда не решаются «напролом» с помощью каких-либо стандартных правил. Более того, плохая новость состоит в том, что в отличие от производной, первообразная вообще может не считаться. Если мы напишем совершенно случайную функцию и попытаемся найти ее производную, то это с очень большой вероятностью у нас получится, а вот первообразная практически никогда в этом случае не посчитается. Но есть и хорошая новость: существует довольно обширный класс функций, называемых элементарными, первообразные от которых очень легко считаются. А все прочие более сложные конструкции, которые дают на всевозможных контрольных, самостоятельных и экзаменах, на самом деле, составляются из этих элементарных функций путем сложения, вычитания и других несложных действий. Первообразные таких функций давно посчитаны и сведены в специальные таблицы. Именно с такими функциями и таблицами мы будем сегодня работать.
Но начнем мы, как всегда, с повторения: вспомним, что такое первообразная, почему их бесконечно много и как определить их общий вид. Для этого я подобрал две простенькие задачки.
Решение легких примеров
Пример № 1
Сразу заметим, что $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}$ и вообще наличие $\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$ сразу намекает нам, что искомая первообразная функции связана с тригонометрией. И, действительно, если мы посмотрим в таблицу, то обнаружим, что $\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$ — не что иное как $\text{arctg}x$. Так и запишем:
Для того чтобы найти, необходимо записать следующее:
\[\frac{\pi }{6}=\text{arctg}\sqrt{3}+C\]
\[\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+C\]
Пример № 2
Здесь также речь идет о тригонометрических функциях. Если мы посмотрим в таблицу, то, действительно, так и получится:
Нам нужно среди всего множества первообразных найти ту, которая проходит через указанную точку:
\[\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }=\arcsin \frac{1}{2}+C\]
\[\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+C\]
Давайте окончательно запишем:
Вот так все просто. Единственная проблема состоит в том, для того чтобы считать первообразные простых функций, нужно выучить таблицу первообразных. Однако после изучения таблицы производных для вас, я думаю, это не будет проблемой.
Решение задач, содержащих показательную функцию
Для начала запишем такие формулы:
\[{{e}^{x}}\to {{e}^{x}}\]
\[{{a}^{x}}\to \frac{{{a}^{x}}}{\ln a}\]
Давайте посмотрим, как это все работает на практике.
Пример № 1
Если мы посмотрим на содержимое скобок, то заметим, что в таблице первообразных нет такого выражения, чтобы ${{e}^{x}}$ стояло в квадрате, поэтому этот квадрат необходимо раскрыть. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения:
Давайте найдем первообразную для каждого из слагаемых:
\[{{e}^{2x}}={{\left({{e}^{2}} \right)}^{x}}\to \frac{{{\left({{e}^{2}} \right)}^{x}}}{\ln {{e}^{2}}}=\frac{{{e}^{2x}}}{2}\]
\[{{e}^{-2x}}={{\left({{e}^{-2}} \right)}^{x}}\to \frac{{{\left({{e}^{-2}} \right)}^{x}}}{\ln {{e}^{-2}}}=\frac{1}{-2{{e}^{2x}}}\]
А теперь соберем все слагаемые в единое выражение и получим общую первообразную:
Пример № 2
На этот раз степень уже побольше, поэтому формула сокращенного умножения будет довольно сложной. Итак раскроем скобки:
Теперь от этой конструкции попробуем взять первообразную от нашей формулы:
Как видите, в первообразных показательной функции нет ничего сложного и сверхъестественного. Все один считаются через таблицы, однако внимательные ученики наверняка заметят, что первообразная ${{e}^{2x}}$ намного ближе просто к ${{e}^{x}}$ нежели к ${{a}^{x}}$. Так, может быть, существует какой-то более специальное правило, позволяющее, зная первообразную ${{e}^{x}}$, найти ${{e}^{2x}}$? Да, такое правило существует. И, более того, оно является неотъемлемой частью работы с таблицей первообразных. Его мы сейчас разберем на примере тех же самых выражений, с которыми мы только что работали.
Правила работы с таблицей первообразных
Еще раз выпишем нашу функцию:
В предыдущем случае мы использовали для решения следующую формулу:
\[{{a}^{x}}\to \frac{{{a}^{x}}}{\operatorname{lna}}\]
Но сейчас поступим несколько иначе: вспомним, на каком сновании ${{e}^{x}}\to {{e}^{x}}$. Как уже и говорил, потому что производная ${{e}^{x}}$ — это не что иное как ${{e}^{x}}$, поэтому ее первообразная будет равна тому же самому ${{e}^{x}}$. Но проблема в том, что у нас ${{e}^{2x}}$ и ${{e}^{-2x}}$. Сейчас попытаемся найти производную ${{e}^{2x}}$:
\[{{\left({{e}^{2x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{2x}}\cdot {{\left(2x \right)}^{\prime }}=2\cdot {{e}^{2x}}\]
Давайте еще раз перепишем нашу конструкцию:
\[{{\left({{e}^{2x}} \right)}^{\prime }}=2\cdot {{e}^{2x}}\]
\[{{e}^{2x}}={{\left(\frac{{{e}^{2x}}}{2} \right)}^{\prime }}\]
А это значит, что при нахождении первообразной ${{e}^{2x}}$ мы получим следующее:
\[{{e}^{2x}}\to \frac{{{e}^{2x}}}{2}\]
Как видите, мы получили тот же результат, что и ранее, однако не воспользовались формулой для нахождения ${{a}^{x}}$. Сейчас это может показаться глупостью: зачем усложнять вычисления, когда есть стандартная формула? Однако в чуть более сложных выражениях вы убедитесь, что этот прием очень эффективен, т.е. использование производных для нахождения первообразных.
Давайте в качестве разминки аналогичным способом найдем первообразную от ${{e}^{2x}}$:
\[{{\left({{e}^{-2x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{-2x}}\cdot \left(-2 \right)\]
\[{{e}^{-2x}}={{\left(\frac{{{e}^{-2x}}}{-2} \right)}^{\prime }}\]
При вычислении наша конструкция запишется следующим образом:
\[{{e}^{-2x}}\to -\frac{{{e}^{-2x}}}{2}\]
\[{{e}^{-2x}}\to -\frac{1}{2\cdot {{e}^{2x}}}\]
Мы получили точно тот же результат, но пошли при этом по другому пути. Именно этот путь, который сейчас кажется нам чуть более сложным, в дальнейшем окажется более эффективным для вычисления более сложных первообразных и использование таблиц.
Обратите внимание! Это очень важный момент: первообразные как и производные можно посчитать множеством различных способов. Однако если все вычисления и выкладки будут равны, то ответ получится одним и тем же. Мы убедились в этом только что на примере ${{e}^{-2x}}$ — с одной стороны мы посчитали эту первообразную «напролом», воспользовавшись определением и посчитав ее с помощью преобразований, с другой стороны, мы вспомнили, что ${{e}^{-2x}}$ может быть представлено как ${{\left({{e}^{-2}} \right)}^{x}}$ и уже потом воспользовались первообразной для функции ${{a}^{x}}$. Тем не менее, после всех преобразований результат получился одним и тем же, как и предполагалось.
А теперь, когда мы все это поняли, пора перейти к чему-то более существенному. Сейчас мы разберем две простенькие конструкций, однако прием, который будет заложен при их решении, является более мощным и полезным инструментом, нежели простое «беганье» между соседними первообразными из таблицы.
Решение задач: находим первообразную функции
Пример № 1
Давайте сумму, которая стоит в числители, разложи на три отдельных дроби:
Это довольно естественный и понятный переход — у большинства учеников проблем с ним не возникает. Перепишем наше выражение следующим образом:
А теперь вспомним такую формулу:
В нашем случае мы получим следующее:
Чтобы избавиться от всех этих трехэтажных дробей, предлагаю поступить следующим образом:
Пример № 2
В отличие от предыдущей дроби в знаменателе стоит не произведение, а сумма. В этом случае мы уже не можем разделить нашу дробь на сумму нескольких простых дробей, а нужно каким-то образом постараться сделать так, чтобы в числителе стояло примерно такое же выражение как в знаменателе. В данном случае сделать это довольно просто:
Такая запись, которая на языке математики называется «добавление нуля», позволит нам вновь разделить дробь на два кусочка:
Теперь найдем то, что искали:
Вот и все вычисления. Несмотря на кажущуюся большую сложность, чем в предыдущей задаче, объем вычислений получился даже меньшим.
Нюансы решения
И вот в этом кроется основная сложность работы с табличными первообразными, особенно это заметно на второй задаче. Дело в том, что для того чтобы выделить какие-то элементы, которые легко считаются через таблицу, нам нужно знать, что конкретно мы ищем, и именно в поиске этих элементов и состоит все вычисление первообразных.
Другими словами, недостаточно просто зазубрить таблицу первообразных — нужно уметь видеть что-то, чего пока еще нет, но что подразумевал автор и составитель этой задачи. Именно поэтому многие математики, учителя и профессора постоянно спорят: «А что такое взятие первообразных или интегрирование — это просто инструмент либо это настоящее искусство?» На самом деле, лично на мой взгляд, интегрирование — это никакое не искусство — в нем нет ничего возвышенного, это просто практика и еще раз практика. И чтобы попрактиковаться, давайте решим еще три более серьезных примера.
Тренируемся в интегрировании на практике
Задача № 1
Запишем такие формулы:
\[{{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}\]
\[\frac{1}{x}\to \ln x\]
\[\frac{1}{1+{{x}^{2}}}\to \text{arctg}x\]
Давайте запишем следующее:
Задача № 2
Перепишем следующим образом:
Итого первообразная будет равна:
Задача № 3
Сложность этой задачи состоит в том, что в отличие от предыдущих функций сверху вообще отсутствует какая-либо переменная $x$, т.е. нам непонятно, что добавлять, вычитать, чтобы получить хоть что-то похожее на то, что стоит снизу. Однако, на самом деле, это выражение считается даже проще, чем любое выражение из предыдущих конструкций, потому что данную функцию можно переписать следующим образом:
Возможно, вы сейчас спросите: а почему эти функции равны? Давайте проверим:
Еще перепишем:
Немного преобразуем наше выражение:
И когда я все это объясняю своим ученикам, практически всегда возникает одна и та же проблема: с первой функцией все более-менее понятно, со второй тоже при везении или практике можно разобраться, но каким альтернативным сознанием нужно обладать, чтобы решить третий пример? На самом деле, не пугайтесь. Тот прием, который мы использовали при вычислении последней первообразной, называется «разложение функции на простейшие», и это очень серьезный прием, и ему будет посвящен отдельный видеоурок.
А пока предлагаю вернуться к тому, что мы только что изучили, а именно, к показательным функциям и несколько усложнить задачи с их содержанием.
Более сложные задачи на решение первообразных показательных функций
Задача № 1
Заметим следующее:
\[{{2}^{x}}\cdot {{5}^{x}}={{\left(2\cdot 5 \right)}^{x}}={{10}^{x}}\]
Чтобы найти первообразной этого выражения, достаточно просто воспользоваться стандартной формулой — ${{a}^{x}}\to \frac{{{a}^{x}}}{\ln a}$.
В нашем случае первообразная будет такая:
Разумеется, на фоне той конструкции, которую мы решали только что, эта выглядит более простой.
Задача № 2
Опять же, несложно заметить, что эту функцию несложно разделить на два отдельных слагаемых — две отдельных дроби. Перепишем:
Осталось найти первообразную от каждого от этих слагаемых по вышеописанной формуле:
Несмотря на кажущуюся большую сложность показательных функций по сравнению со степенными, общий объем вычислений и выкладок получился гораздо проще.
Конечно, для знающих учеников то, что мы только что разобрали (особенно на фоне того, что мы разобрали до этого), может показаться элементарными выражениями. Однако выбирая именно две эти задачи для сегодняшнего видеоурока, я не ставил себе цель рассказать вам еще один сложный и навороченный прием — все, что я хотел вам показать, так это то, что не стоит бояться использовать стандартные приемы алгебры для преобразования исходных функций.
Использование «секретного» приема
В заключение хотелось бы разобрать еще один интересный прием, который, с одной стороны выходит за рамки того, что мы сегодня в основном разбирали, но, с другой стороны, он, во-первых, отнюдь не сложный, т.е. его могут освоить даже начинающие ученики, а, во-вторых, он довольно часто встречается на всевозможных контрольных и самостоятельных работах, т.е. знание его будет очень полезно в дополнение к знанию таблицы первообразных.
Задача № 1
Очевидно, что перед нами что-то очень похожее на степенную функцию. Как нам поступить в этом случае? Давайте задумаемся: $x-5$ отличается от $x$ не так уж и сильно — просто добавили $-5$. Запишем так:
\[{{x}^{4}}\to \frac{{{x}^{5}}}{5}\]
\[{{\left(\frac{{{x}^{5}}}{5} \right)}^{\prime }}=\frac{5\cdot {{x}^{4}}}{5}={{x}^{4}}\]
Давайте попробуем найти производную от ${{\left(x-5 \right)}^{5}}$:
\[{{\left({{\left(x-5 \right)}^{5}} \right)}^{\prime }}=5\cdot {{\left(x-5 \right)}^{4}}\cdot {{\left(x-5 \right)}^{\prime }}=5\cdot {{\left(x-5 \right)}^{4}}\]
Отсюда следует:
\[{{\left(x-5 \right)}^{4}}={{\left(\frac{{{\left(x-5 \right)}^{5}}}{5} \right)}^{\prime }}\]
В таблице нет такого значения, поэтому мы сейчас сами вывели эту формулу, используя стандартную формулу первообразной для степенной функции. Давайте так и запишем ответ:
Задача № 2
Многим ученикам, которые посмотрят на первое решение, может показаться, что все очень просто: достаточно заменить в степенной функции $x$ на линейное выражение, и все станет на свои места. К сожалению, все не так просто, и сейчас мы в этом убедимся.
По аналогии с первым выражением запишем следующее:
\[{{x}^{9}}\to \frac{{{x}^{10}}}{10}\]
\[{{\left({{\left(4-3x \right)}^{10}} \right)}^{\prime }}=10\cdot {{\left(4-3x \right)}^{9}}\cdot {{\left(4-3x \right)}^{\prime }}=\]
\[=10\cdot {{\left(4-3x \right)}^{9}}\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot {{\left(4-3x \right)}^{9}}\]
Возвращаясь к нашей производной, мы можем записать:
\[{{\left({{\left(4-3x \right)}^{10}} \right)}^{\prime }}=-30\cdot {{\left(4-3x \right)}^{9}}\]
\[{{\left(4-3x \right)}^{9}}={{\left(\frac{{{\left(4-3x \right)}^{10}}}{-30} \right)}^{\prime }}\]
Отсюда сразу следует:
Нюансы решения
Обратите внимание: если в прошлый раз по сути ничего не поменялось, то во втором случае вместо $-10$ появилось $-30$. На что отличается $-10$ и $-30$? Очевидно, что на множитель $-3$. Вопрос: откуда он взялся? Присмотревшись можно увидеть, что она взялась в результате вычислений производной сложной функции — тот коэффициент, который стоял при $x$, появляется в первообразной внизу. Это очень важное правило, которое я изначально вообще не планировал разбирать в сегодняшнем видеоуроке, но без него изложение табличных первообразных было бы неполным.
Итак, давайте еще раз. Пусть есть наша основная степенная функция:
\[{{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}\]
А теперь вместо $x$ давайте подставим выражение $kx+b$. Что тогда произойдет? Нам нужно найти следующее:
\[{{\left(kx+b \right)}^{n}}\to \frac{{{\left(kx+b \right)}^{n+1}}}{\left(n+1 \right)\cdot k}\]
На каком основании мы это утверждаем? Очень просто. Давайте найдем производную написанной выше конструкции:
\[{{\left(\frac{{{\left(kx+b \right)}^{n+1}}}{\left(n+1 \right)\cdot k} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{\left(n+1 \right)\cdot k}\cdot \left(n+1 \right)\cdot {{\left(kx+b \right)}^{n}}\cdot k={{\left(kx+b \right)}^{n}}\]
Это то самое выражение, которое изначально и было. Таким образом, эта формула тоже верна, и ею можно дополнить таблицу первообразных, а лучше просто запомнить всю таблицу.
Выводы из «секретного: приема:
- Обе функции, которые мы только что рассмотрели, на самом деле, могут быть сведены к первообразным, указанным в таблице, путем раскрытия степеней, но если с четвертой степенью мы еще более-менее как-то справимся, то вот девятую степень я бы вообще не рискнул раскрывать.
- Если бы мы раскрыли степени, то мы бы получили такой объем вычислений, что простая задача заняла бы у нас неадекватно большое количество времени.
- Именно поэтому такие задачи, внутри которых стоят линейные выражения, не нужно решать «напролом». Как только вы встречаете первообразную, которая отличается от той, что в таблице, лишь наличием выражения $kx+b$ внутри, сразу вспоминайте написанную выше формулу, подставляйте ее в вашу табличную первообразную, и все у вас получится намного быстрее и проще.
Естественно, в силу сложности и серьезности этого приема мы еще неоднократно вернемся к его рассмотрению в будущих видеоуроках, но на сегодня у меня все. Надеюсь, этот урок действительно поможет тем ученикам, которые хотят разобраться в первообразных и в интегрировании.
Первообразная
Определение первообразной функции
- Функцию у= F (x) называют первообразной для функции у=f (x) на заданном промежутке Х, если для всех х ∈ Х выполняется равенство: F′(x) = f (x)
Можно прочесть двумя способами:
- f производная функции F
- F первообразная для функции f
Свойство первообразных
- Если F(x) - первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С , где С - произвольная постоянная.
Геометрическая интерпретация
- Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу .
Правила вычисления первообразных
- Первообразная суммы равна сумме первообразных . Если F(x) - первообразная для f(x) , а G(x) - первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) - первообразная для f(x) + g(x) .
- Постоянный множитель можно выносить за знак производной . Если F(x) - первообразная для f(x) , и k - постоянная, то k·F(x) - первообразная для k·f(x) .
- Если F(x) - первообразная для f(x) , и k, b - постоянные, причём k ≠ 0 , то 1/k · F(kx + b) - первообразная для f(kx + b) .
Запомни!
Любая функция F(x) = х 2 + С , где С - произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х .
- Например:
F"(x) = (х 2 + 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 – 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 –3)" = 2x = f(x);
Связь между графиками функции и ее первообразной:
- Если график функции f(x)>0 F(x) возрастает на этом промежутке.
- Если график функции f(x)<0 на промежутке, то график ее первообразной F(x) убывает на этом промежутке.
- Если f(x)=0 , то график ее первообразной F(x) в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).
Для обозначения первообразной используют знак неопределённого интеграла, то есть интеграла без указания пределов интегрирования.
Неопределенный интеграл
Определение :
- Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x). Обозначается неопределённый интеграл так: \int f(x) dx = F(x) + C
- f(x) - называют подынтегральной функцией;
- f(x) dx - называют подынтегральным выражением;
- x - называют переменной интегрирования;
- F(x) - одна из первообразных функции f(x);
- С - произвольная постоянная.
Свойства неопределённого интеграла
- Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
- Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx .
- Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx .
- Если k, b - постоянные, причём k ≠ 0, то \int f(kx + b) dx = \frac{1}{k} \cdot F(kx + b) + C .
Таблица первообразных и неопределенных интегралов
| Функция f(x) | Первообразная F(x) + C | Неопределенные интегралы \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | C | \int 0 dx = C |
| f(x) = k | F(x) = kx + C | \int kdx = kx + C |
| f(x) = x^m, m\not =-1 | F(x) = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C | \int x{^m}dx = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C |
| f(x) = \frac{1}{x} | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac{dx}{x} = l n \lvert x \rvert + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e{^x }dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = \frac{a^x}{l na} + C | \int a{^x }dx = \frac{a^x}{l na} + C |
| f(x) = \sin x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | F(x) =\sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac{1}{\sin {^2} x} | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac {dx}{\sin {^2} x} = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac{1}{\cos {^2} x} | F(x) = \tg x + C | \int \frac{dx}{\sin {^2} x} = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt{x} | F(x) =\frac{2x \sqrt{x}}{3} + C | |
| f(x) =\frac{1}{ \sqrt{x}} | F(x) =2\sqrt{x} + C | |
| f(x) =\frac{1}{ \sqrt{1-x^2}} | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac{dx}{ \sqrt{1-x^2}}=\arcsin x + C |
| f(x) =\frac{1}{ \sqrt{1+x^2}} | F(x)=\arctg x + C | \int \frac{dx}{ \sqrt{1+x^2}}=\arctg x + C |
| f(x)=\frac{1}{ \sqrt{a^2-x^2}} | F(x)=\arcsin \frac {x}{a}+ C | \int \frac{dx}{ \sqrt{a^2-x^2}} =\arcsin \frac {x}{a}+ C |
| f(x)=\frac{1}{ \sqrt{a^2+x^2}} | F(x)=\arctg \frac {x}{a}+ C | \int \frac{dx}{ \sqrt{a^2+x^2}} = \frac {1}{a} \arctg \frac {x}{a}+ C |
| f(x) =\frac{1}{ 1+x^2} | F(x)=\arctg + C | \int \frac{dx}{ 1+x^2}=\arctg + C |
| f(x)=\frac{1}{ \sqrt{x^2-a^2}} (a \not= 0) | F(x)=\frac{1}{2a}l n \lvert \frac {x-a}{x+a} \rvert + C | \int \frac{dx}{ \sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{2a}l n \lvert \frac {x-a}{x+a} \rvert + C |
| f(x)=\tg x | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C |
| f(x)=\ctg x | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac{1}{\sin x} | F(x)= l n \lvert \tg \frac{x}{2} \rvert + C | \int \frac {dx}{\sin x} = l n \lvert \tg \frac{x}{2} \rvert + C |
| f(x)=\frac{1}{\cos x} | F(x)= l n \lvert \tg (\frac{x}{2} +\frac{\pi}{4}) \rvert + C | \int \frac {dx}{\cos x} = l n \lvert \tg (\frac{x}{2} +\frac{\pi}{4}) \rvert + C |
Формула Ньютона–Лейбница
Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.
\int_{a}^{b} f(x) dx =F(x)|_{a}^{b} = F(b) - F(a)
где F(x) - первообразная для f(x)
То есть, интеграл функции f (x) на интервале равен разности первообразных в точках b и a .
Площадь криволинейной трапеции
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке функции f , осью Ox и прямыми x = a и x = b .
Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:
S= \int_{a}^{b} f(x) dx
Этот урок — первый из серии видео, посвященных интегрированию. В нём мы разберём, что такое первообразная функции, а также изучим элементарные приёмы вычисления этих самых первообразных.
На самом деле здесь нет ничего сложного: по существу всё сводится к понятию производной, с которым вы уже должны знакомы.:)
Сразу отмечу, что, поскольку это самый первый урок в нашей новой теме, сегодня не будет никаких сложных вычислений и формул, но то, что мы изучим сегодня, ляжет в основу гораздо более сложных выкладок и конструкций при вычислении сложных интегралов и площадей.
Кроме того, приступая к изучению интегрирования и интегралов в частности, мы неявно предполагаем, что ученик уже, как минимум, знаком к понятиям производной и имеет хотя бы элементарные навыки их вычисления. Без четкого понимания этого, делать в интегрировании совершенно нечего.
Однако здесь же кроется одна из самых частых и коварных проблем. Дело в том, что, начиная вычислять свои первые первообразные, многие ученики путают их с производными. В результате на экзаменах и самостоятельных работах допускаются глупые и обидные ошибки.
Поэтому сейчас я не буду давать четкого определения первообразной. А взамен предлагаю вам посмотреть, как она считается на простом конкретном примере.
Что такое первообразная и как она считается
Мы знаем такую формулу:
\[{{\left({{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]
Считается эта производная элементарно:
\[{f}"\left(x \right)={{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{x}^{2}}\]
Посмотрим внимательно на полученное выражение и выразим ${{x}^{2}}$:
\[{{x}^{2}}=\frac{{{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}}{3}\]
Но мы можем записать и так, согласно определению производной:
\[{{x}^{2}}={{\left(\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)}^{\prime }}\]
А теперь внимание: то, что мы только что записали и есть определением первообразной. Но, чтобы записать ее правильно, нужно написать следующее:
Аналогично запишем и такое выражение:
Если мы обобщим это правило, то сможем вывести такую формулу:
\[{{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}\]
Теперь мы можем сформулировать четкое определение.
Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции.
Вопросы о первообразной функции
Казалось бы, довольно простое и понятное определение. Однако, услышав его, у внимательного ученика сразу возникнет несколько вопросов:
- Допустим, хорошо, эта формула верна. Однако в этом случае при $n=1$ у нас возникают проблемы: в знаменателе появляется «ноль», а на «ноль» делить нельзя.
- Формула ограничивается только степенями. Как считать первообразную, например, синуса, косинуса и любой другой тригонометрии, а также констант.
- Экзистенциальный вопрос: а всегда ли вообще можно найти первообразную? Если да, то как быть с первообразной суммы, разности, произведения и т.д.?
На последний вопрос я отвечу сразу. К сожалению, первообразная, в отличие от производной, считается не всегда. Нет такой универсальной формулы, по которой из любой исходной конструкции мы получим функцию, которая будет равна этой сходной конструкции. А что касается степеней и констант — сейчас мы об этом поговорим.
Решение задач со степенными функциями
\[{{x}^{-1}}\to \frac{{{x}^{-1+1}}}{-1+1}=\frac{1}{0}\]
Как видим, данная формула для ${{x}^{-1}}$ не работает. Возникает вопрос: а что тогда работает? Неужели мы не можем посчитать ${{x}^{-1}}$? Конечно, можем. Только давайте для начала вспомним такое:
\[{{x}^{-1}}=\frac{1}{x}\]
Теперь подумаем: производная какой функции равна $\frac{1}{x}$. Очевидно, что любой ученик, который хоть немного занимался этой темой, вспомнит, что этому выражению равна производная натурального логарифма:
\[{{\left(\ln x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x}\]
Поэтому мы с уверенностью можем записать следующее:
\[\frac{1}{x}={{x}^{-1}}\to \ln x\]
Эту формулу нужно знать, точно так же, как и производную степенной функции.
Итак, что нам известно на данный момент:
- Для степенной функции — ${{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}$
- Для константы — $=const\to \cdot x$
- Частный случай степенной функции — $\frac{1}{x}\to \ln x$
А если простейшие функции мы начнем умножать и делить, как тогда посчитать первообразную произведения или частного. К сожалению, аналогии с производной произведения или частного здесь не работают. Какой-либо стандартной формулы не существует. Для некоторых случаев существуют хитрые специальные формулы — с ними мы познакомимся на будущих видеоуроках.
Однако запомните: общей формулы, аналогичной формуле для вычисления производной частного и произведения, не существует.
Решение реальных задач
Задача № 1
Давайте каждую из степенных функций посчитаем отдельно:
\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]
Возвращаясь к нашему выражению, мы запишем общую конструкцию:
Задача № 2
Как я уже говорил, первообразные произведений и частного «напролом» не считаются. Однако здесь можно поступить следующим образом:
Мы разбили дробь на сумму двух дробей.
Посчитаем:
Хорошая новость состоит в том, что зная формулы вычисления первообразных, вы уже способны считать более сложные конструкции. Однако давайте пойдем дальше и расширим наши знания еще чуть-чуть. Дело в том, что многие конструкции и выражения, которые, на первый взгляд, не имеют никакого отношения к ${{x}^{n}}$, могут быть представлены в виде степени с рациональным показателем, а именно:
\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\]
\[\sqrt[n]{x}={{x}^{\frac{1}{n}}}\]
\[\frac{1}{{{x}^{n}}}={{x}^{-n}}\]
Все эти приемы можно и нужно комбинировать. Степенные выражения можно
- умножать (степени складываются);
- делить (степени вычитаются);
- умножать на константу;
- и т.д.
Решение выражений со степенью с рациональным показателем
Пример № 1
Посчитаем каждый корень отдельно:
\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]
\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{4}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{4}}}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{{{x}^{\frac{5}{4}}}}{\frac{5}{4}}=\frac{4\cdot {{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]
Итого всю нашу конструкцию можно записать следующим образом:
Пример № 2
\[\frac{1}{\sqrt{x}}={{\left(\sqrt{x} \right)}^{-1}}={{\left({{x}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{-1}}={{x}^{-\frac{1}{2}}}\]
Следовательно, мы получим:
\[\frac{1}{{{x}^{3}}}={{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-3+1}}}{-3+1}=\frac{{{x}^{-2}}}{-2}=-\frac{1}{2{{x}^{2}}}\]
Итого, собирая все в одно выражение, можно записать:
Пример № 3
Для начала заметим, что $\sqrt{x}$ мы уже считали:
\[\sqrt{x}\to \frac{4{{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]
\[{{x}^{\frac{3}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{3}{2}+1}}}{\frac{3}{2}+1}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{5}{2}}}}{5}\]
Перепишем:
Надеюсь, я никого не удивлю, если скажу, что то, что мы только что изучали — это лишь самые простые вычисления первообразных, самые элементарные конструкции. Давайте сейчас рассмотрим чуть более сложные примеры, в которых помимо табличных первообразных еще потребуется вспомнить школьную программу, а именно, формулы сокращенного умножения.
Решение более сложных примеров
Задача № 1
Вспомним формулу квадрата разности:
\[{{\left(a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}\]
Давайте перепишем нашу функцию:
Первообразную такой функции нам сейчас предстоит найти:
\[{{x}^{\frac{2}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{5}{3}}}}{5}\]
\[{{x}^{\frac{1}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{4}{3}}}}{4}\]
Собираем все в общую конструкцию:
Задача № 2
В этом случае нам нужно раскрыть куб разности. Вспомним:
\[{{\left(a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}\cdot b+3a\cdot {{b}^{2}}-{{b}^{3}}\]
С учетом этого факта можно записать так:
Давайте немного преобразуем нашу функцию:
Считаем как всегда — по каждому слагаемому отдельно:
\[{{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-2}}}{-2}\]
\[{{x}^{-2}}\to \frac{{{x}^{-1}}}{-1}\]
\[{{x}^{-1}}\to \ln x\]
Запишем полученную конструкцию:
Задача № 3
Сверху у нас стоит квадрат суммы, давайте его раскроем:
\[\frac{{{\left(x+\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\frac{{{x}^{2}}+2x\cdot \sqrt{x}+{{\left(\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\]
\[=\frac{{{x}^{2}}}{x}+\frac{2x\sqrt{x}}{x}+\frac{x}{x}=x+2{{x}^{\frac{1}{2}}}+1\]
\[{{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]
Давайте напишем итоговое решение:
А теперь внимание! Очень важная вещь, с которой связана львиная доля ошибок и недопониманий. Дело в том, что до сих пор считая первообразные с помощью производных, приводя преобразования, мы не задумывались о том, чему равна производная константы. А ведь производная константы равна «нулю». А это означает, что можно записать такие варианты:
- ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}$
- ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+1$
- ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+C$
Вот это очень важно понимать: если производная функции всегда одна и та же, то первообразных у одной и той же функции бесконечно много. Просто к нашим первообразным мы можем дописывать любые числа-константы и получать новые.
Неслучайно, в пояснении к тем задачам, которые мы только что решали, было написано «Запишите общий вид первообразных». Т.е. уже заранее предполагается, что их не одна, а целое множество. Но, на самом деле, они отличаются лишь константой $C$ в конце. Потому в наших задачах мы исправим то, что мы не дописали.
Еще раз переписываем наши конструкции:
В таких случаях следует дописывать, что $C$ — константа — $C=const$.
Во второй нашей функции мы получим следующую конструкцию:
И последняя:
И вот теперь мы действительно получили то, что от нас требовалось в исходном условии задачи.
Решение задач на нахождение первообразных с заданной точкой
Сейчас, когда мы знаем о константах и об особенностях записи первообразных, вполне логично возникает следующий тип задач, когда из множества всех первообразных требуется найти одну-единственную такую, которая проходила бы через заданную точку. В чем состоит эта задача?
Дело в том, что все первообразные данной функции отличаются лишь тем, что они сдвинуты по вертикали на какое-то число. А это значит, что какую бы точку на координатной плоскости мы не взяли, обязательно пройдет одна первообразная, и, причем, только одна.
Итак, задачи, которые сейчас мы будем решать, сформулированы следующем образом: не просто найти первообразную, зная формулу исходной функции, а выбрать именно такую из них, которая проходит через заданную точку, координаты которой будут даны в условии задачи.
Пример № 1
Для начала просто посчитаем каждое слагаемое:
\[{{x}^{4}}\to \frac{{{x}^{5}}}{5}\]
\[{{x}^{3}}\to \frac{{{x}^{4}}}{4}\]
Теперь подставляем эти выражения в нашу конструкцию:
Эта функция должна проходить через точку $M\left(-1;4 \right)$. Что значит, что она проходит через точку? Это значит, что если вместо $x$ поставить везде $-1$, а вместо $F\left(x \right)$ — $-4$, то мы должны получить верное числовое равенство. Давайте так и сделаем:
Мы видим, что у нас получилось уравнение относительно $C$, поэтому давайте попробуем его решить:
Давайте запишем то самое решение, которое мы искали:
Пример № 2
В первую очередь необходимо раскрыть квадрат разности по формуле сокращенного умножения:
\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]
Исходная конструкция запишется следующим образом:
Теперь давайте найдем $C$: подставим координаты точки $M$:
\[-1=\frac{8}{3}-12+18+C\]
Выражаем $C$:
Осталось отобразить итоговое выражение:
Решение тригонометрических задач
В качестве финального аккорда к тому, что мы только что разобрали, предлагаю рассмотреть две более сложные задачи, в которых содержится тригонометрия. В них точно так же потребуется найти первообразные для всех функций, затем выбрать из этого множества одну-единственную, которая проходит через точку $M$ на координатной плоскости.
Забегая наперед, хотел бы отметить, что тот прием, который мы сейчас будем использовать для нахождения первообразных от тригонометрических функций, на самом деле, является универсальным приемом для самопроверки.
Задача № 1
Вспомним следующую формулу:
\[{{\left(\text{tg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]
Исходя из этого, мы можем записать:
Давайте подставим координаты точки $M$ в наше выражение:
\[-1=\text{tg}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+C\]
Перепишем выражение с учетом этого факта:
Задача № 2
Тут будет чуть сложнее. Сейчас увидите, почему.
Вспомним такую формулу:
\[{{\left(\text{ctg}x \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]
Чтобы избавится от «минуса», необходимо сделать следующее:
\[{{\left(-\text{ctg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]
Вот наша конструкция
Подставим координаты точки $M$:
Итого запишем окончательную конструкцию:
Вот и все, о чем я хотел сегодня вам рассказать. Мы изучили сам термин первообразных, как считать их от элементарных функций, а также как находить первообразную, проходящую через конкретную точку на координатной плоскости.
Надеюсь, этот урок хоть немного поможет вам разобраться в этой сложной теме. В любом случае, именно на первообразных строятся неопределенные и неопределенные интегралы, поэтому считать их совершенно необходимо. На этом у меня все. До новых встреч!
Научиться интегрированию не сложно. Для этого необходимо лишь усвоить определенный, достаточно небольшой, набор правил и разработать у себя своего рода чутье. Выучить правила и формулы, конечно же, легко, но понять, где и когда нужно применить то или иное правило интегрирования или дифференцирования, достаточно затруднительно. В этом, собственно, и состоит умение интегрировать.
1. Первообразная. Неопределенный интеграл.
Предполагается, что к моменту чтения этой статьи читатель уже обладает некими навыками дифференцирования (т.е. нахождения производных).
Определение 1.1:
Функция называется первообразной функции если выполняется равенство:
Комментарии:
> Ударение в слове “первообразная” можно ставить двумя способами: первоо
бразная или первообра
зная.
Свойство 1: Если функция является первообразной функции , то функция также является первообразной функции .
Доказательство:
Докажем это из определения первообразной. Найдем производную функции :
Первое слагаемое по определению 1.1
равно , а второе слагаемое является производной константы, которая равна 0.
.
Подведем итог. Запишем начало и конец цепочки равенств:
Таким образом, производная функции равна , а значит, по определению, является её первообразной. Свойство доказано.
Определение 1.2:
Неопределенным интегралом функции называется всё множество первообразных этой функции. Это обозначается так:
.
Рассмотрим названия каждой части записи подробно:
— общее обозначение интеграла,
— подинтегральное (подынтегральное) выражение, интегрируемая функция.
— дифференциал, и выражение после буквы , в данном случае это , будем называть переменной интегрирования.
Комментарии: Ключевые слова в этом определении – “все множество”. Т.е. если в будущем в ответе не будет записано это самое «плюс С», то проверяющий имеет полное право не зачесть это задание, т.к. необходимо найти все множество первообразных, а если С отсутствует, то найдена только одна.
Вывод:
Для того, чтобы проверить правильно ли вычислен интеграл, необходимо найти от результата производную. Она должна совпасть с подынтегральным выражением.
Пример:
Задание:
Вычислить неопределенный интеграл и выполнить проверку.
Решение:
То, как вычислен этот интеграл, в данном случае не имеет никакого значения. Предположим, что это откровение свыше. Наша задача – показать, что откровение нас не обмануло, а сделать это можно с помощью проверки.
Проверка:
При дифференцировании результата получили подынтегральное выражение, значит, интеграл вычислен верно.
2. Начало. Таблица интегралов.
Для интегрирования не нужно каждый раз вспоминать функцию, производная которой равна данной подынтегральной функции (т.е. использовать непосредственно определение интеграла). В каждом сборнике задач или учебнике по математическому анализу приведена список свойств интегралов и таблица простейших интегралов.
Перечислим свойства.
Свойства:
1.
Интеграл от дифференциала равен переменной интегрирования.
2. , где — константа.
Множитель-константу можно выносить за знак интеграла.
3.
Интеграл суммы равен сумме интегралов (если количество слагаемых конечно).
Таблица интегралов:
1.  |
10. |
| 2. | 11.  |
| 3. | 12.  |
4.  |
13.  |
5.  |
14.  |
| 6. | 15. |
7.  |
16. |
| 8. | 17.  |
| 9. | 18.  |
Чаще всего задача состоит в том, чтобы с помощью свойств и формул свести исследуемый интеграл к табличному.
Пример:
[ Воспользуемся третьим свойством интегралов и запишем в виде суммы трех интегралов.]
[ Воспользуемся вторым свойством и вынесем константы за знак интегрирования.]
[ В первом интеграле воспользуемся табличным интегралом №1 (n=2), во втором – той же формулой, но n=1, а для третьего интеграла можно или воспользоваться все тем же табличным интегралом, но с n=0, или первым свойством.]
.
Проверим дифференцированием:
Получено исходное подынтегральное выражение, следовательно, интегрирование выполнено без ошибок (и даже не забыто прибавление произвольной константы С).
Табличные интегралы необходимо выучить наизусть по одной простой причине – дабы знать, к чему стремиться, т.е. знать цель преобразования данного выражения.
Приведем еще несколько примеров:
1) 
2) 
3) 
Задачи для самостоятельного решения:
Задание 1. Вычислить неопределенный интеграл:
+ Показать/спрятать подсказку №1.
1) Воспользоваться третьим свойством и представить этот интеграл как сумму трех интегралов.
+ Показать/спрятать подсказку №2.
+ Показать/спрятать подсказку №3.
3) Для первых двух слагаемых воспользоваться первым табличным интегралом, а для третьего – вторым табличным.
+ Показать/спрятать Решение и Ответ.
4) Решение:
Ответ: 
Интегрирование - это одна из основных операций в матанализе. Таблицы известных первообразных могут быть полезны, но сейчас они, после появления систем компьютерной алгебры, теряют свою значимость. Ниже находится список больше всего встречающихся первообразных.
Таблица основных интегралов
Другой, компактный вариант
Таблица интегралов от тригонометрических функций
От рациональных функций
От иррациональных функций
Интегралы от трансцендентных функций
"C" – произвольная константа интегрирования, которая определяется, если известно значение интеграла в какой-либо точке. Каждая функция имеет бесконечное число первообразных.
У большинства школьников и студентов бывают проблемы с вычислением интегралов. На этой странице собраны таблицы интегралов от тригонометрических, рациональных, иррациональных и трансцендентных функций, которые помогут в решении. Еще вам поможет таблица производных .