Как тренировать воображение. Развитие пространственного мышления. Психологические закономерности развития пространственного воображения

Если спросить родителей, что должен уметь ребенок при поступлении в школу, то многие ответят: читать, писать, рисовать. И мало кто из них задумается о таком необходимом навыке, как ориентировка в пространстве, который имеет большое значение для успешного обучения. Специалисты отмечают: дети, у которых плохо развиты пространственные представления, испытывают трудности при обучении письму и математике. Что могут сделать родители, чтобы своевременно развивать у ребенка пространственное мышление? На помощь приходит специальная методика, помогающая подготовить к учебе будущего первоклассника.

Что надо знать родителям о пространственном мышлении?

В основе пространственного мышления лежат представления о формах и размерах объектов, их расположении, взаимодействии и движении в пространстве. Прежде чем начинать домашние занятия по развитию пространственных представлений, родителям нужно четко понимать, какие умения необходимы ребенку и как методика помогает их сформировать.

Совет! Развитие пространственного мышления идет поэтапно, в каждом возрастном периоде имея свои особенности. Поэтому не надо сразу загружать ребенка большим объемом знаний, пространственные представления должны накапливаться постепенно.

Для правильной организации домашних занятий родителям важно знать, что для дошколят ориентировка в пространстве предполагает развитие таких умений, как:

• свободно ориентироваться по отношению к себе и напротив находящемуся человеку (левая и правая сторона);
• определять движения вперед - назад, вверх - вниз, вправо - влево.
• обозначать стороны горизонта: север, юг, запад, восток;
• моделировать положение объектов в пространстве;
• понимать заданное направление, чтобы перемещаться в соответствии с ним;
• ориентироваться в двухмерном пространстве (плоскость с длиной и шириной);
• графически воспроизводить различные направления.

Поэтапное формирование пространственных представлений

Зачастую родителям кажется, что нет ничего проще, чем обучить малыша ориентироваться в пространстве. Однако развитие пространственных представлений у детей дошкольного возраста идет по определенным правилам:

• знания ‒ по возрасту;
• качество восприятия знаний зависит от обучения.

Методика определяет круг знаний о пространственных представлениях в каждой возрастной группе:

• Главным содержанием домашних занятий для малышей становятся знания о левой - правой стороне тела. Идет знакомство с понятиями справа - слева, впереди - сзади, вверх - вниз.
• На занятиях с детьми 4-5 лет происходит закрепление умения ориентироваться в пространстве. Добавляется обучение умению ориентироваться относительно других объектов, перемещаться в соответствии с заданным направлением, в двухмерном пространстве.
• У старших дошкольников вплоть до школы идет дальнейшее развитие пространственного мышления на основе имеющихся знаний и приобретение новых пространственных представлений: графическое изображение, моделирование предметов, знание о сторонах горизонта.

Совет! Специалисты подсчитали, что достаточно 5-10 минут в день для занятий с ребенком, чтобы получить хорошие результаты. Главное, чтобы знания закреплялись в повседневной жизни: при умывании, питании, во время прогулки.

Какие игры и упражнения помогут освоить умение ориентироваться в пространстве?

Развитие пространственного мышления интенсивно происходит в дошкольном возрасте, для которого игра является ведущей деятельностью. Поэтому методика предполагает опору на игровые задания и упражнения, что принесет больший эффект, чем просто заучивание специальных терминов. В методике накоплено много словесных игр, упражнений с движениями, игр с предметами. Основой всех действий взрослого и ребенка послужит главная для данного возраста задача.

Игры для малышей

Развивающие задания для малышей должны быть направлены на восприятие собственного тела (левая и правая сторона), определения положения предмета вверху - внизу. Учитывая стремление детишек этого возраста к большой двигательной активности, методика предлагает подвижные игры, упражнения с предметами.

«Если нравится тебе, то делай так»

• Привычные движения для закрепления понятий верх-низ, лево - право интересно выполнять под известную песенку «Если нравится тебе, то делай так…». Необязательно сразу начинать со сложных упражнений, пусть они будут простые, например, по команде взрослого ребенок поднимает руки вверх - вниз, в стороны, поочередно влево - вправо. Движения можно взять из комплекса утренней гимнастики, чтобы не вызвать затруднений у малышей при их выполнении под мелодию.

Совет! На первых порах малышу потребуется зеркальное отражение движений, так как он еще только усваивает пространственные представления относительно своего тела.

• Аналогично выполняются движения для ног: «Отставить ножку влево (вправо), постоять на одной ножке (правой, левой) ».
• Как усложненный вариант, после усвоения простых движений, предложить прыжки на двух ногах вперед - назад, влево - вправо.

Игры с мячом

Задания с мячом помогают детям легко ориентироваться в пространстве. Например, можно предложить бросать мяч вверх - вниз или поочередно левой, правой рукой, толкать мяч левой или правой ногой. Взрослый четко называет руку или ногу, которой производится движение.

Игрушки - помощники

Широко используются игрушки, которые помогут закрепить пространственные представления: «Машина поехала влево, а мячик покатился вправо», «Бери веревочку в левую ручку, а лопаточку ‒ в правую», «Какой игрушки не стало с правой стороны? »

Стихи и потешки в обучении

Большую пользу и удовольствие маленьким деткам доставят стихи и шутки - прибаутки, которые могут сопровождать упражнения. Взрослый читает стихотворение, а ребенок выполняет движения.

Стихи Е. Благининой :

Я умею обуваться,
Если только захочу.
Я и маленького братца
Обуваться научу.
Вот они ‒ сапожки.
Этот ‒ с левой ножки, (ребенок показывает ножки и сапожки)
Этот ‒ с правой ножки.
Если дождичек пойдёт,
Наденем галошки. (Объяснить, что галошки - это очень низкие сапожки, показать рукой на детском сапоге)
Эта ‒ с правой ножки,
Эта ‒ с левой ножки.
Вот как хорошо!

Стихотворение И. Токмаковой :

(Взрослый читает) Аист, аист длинноногий,
Покажи домой дорогу.
(Ребенок выполняет движение ножкой) Топай правою ногой,
Топай левою ногой.
Снова ‒ правою ногой,
Снова ‒ левою ногой,
После ‒ правою ногой,
После ‒ левою ногой.
Вот тогда придешь домой!

«Графический диктант»

Родители могут использовать для диктанта уже готовые тетради с заданиями. Но детям гораздо интереснее выполнять упражнения, которые придумали сами родители, например, нарисованные по клеточкам изображения предметов или животных. Ребенку предлагается на листе бумаги обводить клеточки в соответствии с инструкцией: «четыре клеточки прямо, три клеточки вниз, одна клеточка вправо и т. д. (до тех пор, пока не получится изображение предмета) ». Потом изображение можно раскрасить. Кроме того, графические диктанты являются прекрасным средством , необходимой при обучении письму.

Совет! Для развития пространственных представлений, которые необходимы при обучении письму и математике, нужно закрепить в графических диктантах умение находить части, углы, центр листа.

Настольные игры

Классикой в методике являются настольные игры для ориентировки в пространстве.

Важное место занимают игры в ограниченном пространстве: шахматной доске, столе, журнале. Например, популярны «Ход конем», «Колумбово яйцо», «Разрезные картинки», «Сложи узор», головоломки.

Игра «Регулировщик»

• Поле для такой игры можно изготовить вместе с ребенком. Вычерчивается дорога, идущая в разных направлениях к определенному зданию (магазин игрушек, зоопарк), подбираются машинки. Ведущий (взрослый или ребенок) указывает путь «водителю»: прямо до светофора, вправо и т. д.
• Аналогично проводится игра на игровом поле «Пройди по улице, перейди дорогу» с мелкими игрушками.

«Лабиринт»

• Задание направлено на восприятие и нахождение предмета в двухмерном пространстве. Так же, как и в предыдущих играх, изготавливается поле с начерченным лабиринтом, внутри которого находится игрушка. Игрок должен рисовать правильный путь с комментариями.
• Как вариант, можно усложнить задание: «Найди самый короткий путь».

«Зеркало наоборот»

Играющие садятся напротив друг друга, ведущий объясняет, что все движения, которые он покажет, надо делать наоборот. Например, он прикасается левой рукой к правой щеке, игрок должен повторить наоборот; поднимает левую руку, ребенок ‒ правую.

Словесные игры

Чтобы дошкольник активно пользовался ориентировочными понятиями, их нужно ввести в его активный словарь. Для этого предлагаются словесные игры:

• «Скажи наоборот: вверх-..., влево-..., север-... » (как вариант проводится игра с мячом),
• «Я начинаю, а ты продолжай» (взрослый начинает предложение с обозначения пространственного отношения, дошкольник продолжает, например, белые медведи живут на севере...).

В методике развития пространственного мышления представлено много заданий, которые родители с успехом могут использовать для домашних занятий. Наиболее ценными будут игры, изобретенные взрослыми совместно с дошколятами, так как лучше всего запоминается то, что придумано самостоятельно.

Пространственно воспринимать действительность можно только без слов. Этот тип работы мозга действует невербально, то есть образно. При действии пространственного воображения действует образное мышление.

Как же это работает?

Человек воспринимает визуальную информацию через глаза и другие части зрительной системы. Далее сигнал поступает в мозг, где сначала он обрабатывается образно, т.е. воспринимается мозгом образно. Потом эта информация обрабатывается логически, то есть ИНТЕРПРЕТИРУЕТСЯ.

На картинках, прикреплённых к этому посту, виден пример того, как интерпретируется нами визуальная информация. То, что мы видим, есть по сути тень, отбрасываемая кубиками на рисунках 2 и 3, и бумагой на рисунке 1. Но мы видим образ женщины стоящей на одном фото, образ женщины бегущей на другом. И разные профили человеческих лиц на третьей фотографии, так изобретательно показанные неизвестным нам умельцем).
Мы и н т е р п р е т и р у е м тень, как образ человека.

Как же связано рисование и интерпретация?

Интерпретация окружающей нас действительности не всегда совпадает в точности с тем, чем является на самом деле действительность. То есть у каждого человека своё представление о мире, и зачастую оно гораздо ограниченнее самой реальности, реального мира.

Так, человек «смотрит в книгу, видит фигу»)) То есть интерпретирует её не так, как того ожидали от этого читателя авторы, а также поклонники и почитатели автора. Человек соотнёс написанное со своим представлением о мире и интерпретировал просто по-своему.

То же самое происходит, когда мы пытаемся что-либо нарисовать. Мы видим, к примеру, кактус, ну или пусть будет хризантема. И мозг выдаёт нам сразу информацию о том, что хризантема, которая перед нами - это цветок. А цветок как рисуется? Серединка и лепестки, у хризантемы много лепестков, значит это будет серединка и много-много лепестков. И человек так рисует. А когда смотрит на результат, то получается не хризантема, а гиперромашка, у которой много лепестков. И какая-то она не настоящая.

Рисунки цветков бывают очень часто похожи друг на друга, (ну и одновременно на ромашку)), потому, что рисующему мешает привычка интерпретировать. Точнее не сама интерпретация, а одинаковый способ её использования из раза в раз - одними и теми же символами, в нашем случае символом ромашки.

Да даже если ромашки взять настоящие, поставить для сравнения в ряд - ни одна в точности не повторит другую, все они разные. Это богатство реальности, окружающей нас действительности. Передав в рисунке только малую часть этого богатства, можно не только восхитить зрителей, но и самому удивиться иногда своей работе!=)

Но как же быть? Как избежать однообразного интерпретирования?

Развивать образное мышление. Пространственное воображение.
Когда мы мыслим образами, нет необходимости использовать интерпретацию так часто.
Но есть свобода выбора. Когда мы можем видеть действительность вокруг себя достаточно ясно, мы можем выбирать, что нам и как интерпретировать, намеренно, осознанно. А не на автомате. Цветок - ромашка - символ ромашки на бумаге - разочарование.. А дальше - «рисование - это не моё…» или «мне не дано!..»

При умении пространственно воображать и образно мыслить всегда мы можем выбрать, рисовать нам эту ромашку, или совсем не похожую на неё соседнюю. Взять нам один цветок и изобразить, как он есть, в любом случае прекрасным, или придать ему своего настроения - игривости, загадочности или наоборот, серьёзности. Может, чего-то ещё.

Свобода образной мысли при рисовании способна дать развитие свободе мысли человека вообще. Потому что без образов - никуда) Образы - они везде, на эту тему много можно написать, но уже в следующих статьях.

И пространство ощущать в процессе мышления - это естественная способность каждого, от природы она заложена в каждом, у кого-то глубже, у кого-то ближе к поверхности. И развить в себе способность мыслить пространственно может каждый. Как раз об этом напишу в серии статей «Как пространственное воображение может помочь не только художникам и дизайнерам, но и… (и далее - парикмахеру, путешественнику, бизнесмену, даже математику и др.)».

Одна из важнейших умственных составляющих развитого человека – это пространственное мышление. Под данным термином подразумевается способность людей решать различные практические и теоретические задачи, используя пространственные образы и определяя связи между ними.

Способность помогает формировать в сознании динамично чередующиеся пазлы общей картины, позволяет продумать мельчайшие детали проблемы, связанной с ориентированием на плоскости. Этот вид мышления необходим не только математикам, архитекторам, физикам, химикам, модельерам, художникам и литераторам, но и каждому, без исключения, человеку.

Безошибочно определить направление на незнакомой местности, быстро принять стратегически важное решение во время спортивных соревнований, автоматически вычислить размер удаленного объекта, не путать «лево» и «право» – поможет развитие пространственного мышления. Для этой цели разработан ряд эффективных упражнений, которые можно начинать делать в любом возрасте.

Пространственное мышление: что это такое

В процессе формирования данного типа интеллекта, личность, независимо от ее природных способностей, должна пройти ряд этапов, каждый из которых являет собой определенную ступень умственного развития. В совокупности все эти отдельно взятые части предназначены для совместной работы с целью улучшения уровня пространственного мышления.

Звенья или структура способности:

• Объективный анализ (разбор задачи «по полочкам»).
• Объединение отдельных частей в одно целое: синтез.
• Абстрагирование, при котором для ребуса или дилеммы определяется структура.
• Умение отделять важное от незначительного (обобщение).
• Конкретизация, представляющая процесс обратный обобщению.

Все эти составляющие мыслительной деятельности относятся к пространственному восприятию и помогают создавать в уме образы в трехмерном формате. И именно они способствуют развитию этих образов – обеспечивают теоретическую и практическую базу для совершения всевозможных заданий.

Врожденные способности у всех людей разные. Одним не составляет труда мысленно представить любой по сложности объект в мельчайших деталях, в многообразии алгоритмов движения. Другие люди не могут справиться с подобной задачей без длительных усилий.

Сферы применения в повседневной жизни

Не только в химических и физических экспериментах, художественных изысканиях, поездках на автомобиле и иной трудовой деятельности возникает потребность в быстром создании мыслительных образов с четкими параметрами. Такие навыки полезны и в быту, например, для организации праздничного вечера, полноценного восприятия прочитанной книги, грамотного планирования, расчета семенного бюджета.

Важно! Определить степень развитости пространственного мышления помогут специальные тесты. Следует понимать, что эта способность поддается корректировке и легко улучшается при помощи несложных методик и упражнений.

Развитие пространственного мышления (упражнения для тренировки)

Выбирать задание, развивающее данную умственную способность, следует не исходя из своего биологического возраста, а ориентируясь исключительно на мыслительные способности. Некоторые дети старшего дошкольного возраста могут иметь тут весомое преимущество в сравнении со взрослыми людьми, так как их воображение, как правило, не имеет границ и «рамок».

Упражнение 1

На листе бумаги чертится произвольная геометрическая фигура: треугольник, овал, квадрат. Для деток младшего возраста на лист бумаги можно просто положить предмет из детского конструктора. Следует придумать для выбранной фигурки или игрушки подробный путь движения по плоскости без изменения ее внешнего вида.

Научиться пространственно оперировать образом получится и без дополнительных атрибутов. Достаточно, сидя на диване, умственно «двигать» предметы в комнате. Упражнение с каждым разом следует усложнять дополнительными объектами, множественным переставлением, пересечением и перечерчиванием образов.

Упражнение 2

Это упражнение похоже на создание абстрактного рисунка: знакомый предмет нужно мысленно видоизменять любым образом, но, «не перемещая» его. Иными словами, объект должен оставаться неподвижным, но постоянно меняться: объединяться с дополнительными деталями, менять цвет, обрастать элементами украшения.

Упражнение 3

Упражнение являет собой совокупность двух предыдущих: произвольная фигура одновременно перемещается и видоизменяется. При этом нужно находить логическое оправдание таким видоизменениям на всем пути движения.

Хорошими способами развития способности станет увлечение пазлами и оригами, любая конструкторская деятельность. Манипулирование геометрическими фигурами является хорошей тренировкой воображения. Для этой цели несколько разных фигур «накладываются» друг на друга, а запечатленный в мозгу результат мысленно подвергается детальному анализу (каждая точка, линия соединения, сторона, грань).

Обогащать пространственное мышление можно постоянно. Такая практика позволит увидеть мир в новых красках, расширит границы воображения, поможет находить адекватный выход из любых жизненных трудностей.

Знаете ли вы людей, которые очень легко и быстро ориентируются в незнакомом месте, не используя карту? Завидовали ли тем, кто умеет хорошо рисовать? Изучали ли с воодушевлением и восторгом жизнь и работы Леонардо да Винчи? Все эти черты свойственны тем, кто обладает развитым визуально-пространственным мышлением.

Пространственное мышление – вид умственной деятельности, обеспечивающий создание пространственных образов, мышление в терминах изображений и оперирование ними в процессе решения практических и творческих задач.

Какие преимущества имеет этот навык? Он критически важен для дизайнеров и архитекторов. Они имеют непосредственное отношение к пространству и расположению в нем объектов. Математики используют его, чтобы представлять мысленно геометрический объект, который в уме можно измерять, вращать и перемещать для облегчения геометрического расчета.

Геофизик мысленно манипулирует движением тектонических плит, чтобы увидеть процесс земного образования. Нейрохирург визуализирует различные области мозга, чтобы предсказать результат операции. Инженер представляет в голове, как различные силы могут влиять на конструкцию объекта. Режиссеры и операторы проводят огромную мысленную работу, «располагая» актеров и объекте на сцене. Писатели просто вынуждены развивать пространственное мышление, потому что имеют дело исключительно со своей собственной фантазией.

В целом, существует небольшое количество профессий, где пространственное мышление не имеет особого значения. И даже в этом случае есть смысл его развивать – для повседневной жизни. Но начнем с того, как развивать пространственное мышление у детей.

Пространственное мышление у детей

Развитие пространственных навыков дошкольников поможет им преуспеть в будущем в области математики и визуальных искусств.

Помните, что никогда не рано учить ребенка пространственному мышлению, даже если он еще не умеет ходить. Нейрофизиологи обнаружили, что в раннем детстве развиваются специфические области мозга, ответственные за размышления о расположении предметов в пространстве. Младенцы в возрасте от 4 месяцев демонстрируют способности, связанные с умственным вращением предметов.

Кроме того, навыки пространственного мышления являются кумулятивными и долговечными. Тот, кто овладевает навыками в раннем детстве, будет иметь больше возможностей использовать их для приобретения и организации дополнительной информации на протяжении всей своей жизни.

Поощряйте использование пространственного словаря в повседневных взаимодействиях

Родители могут помочь ребенку улучшить пространственный интеллект, используя более специфические термины. Например, дети учатся лучше, когда начинают осознавать значения пространственных слов.

Дошкольники, родители которых часто используют пространственные слова (например, треугольник, большой, высокий или согнутый), лучше выполняют пространственные тесты, чем те, родители которых не используют такой язык.

Вот еще слова, которым вы должны научить своего ребенка: квадрат, круг, сфера, маленький, высокий, крошечный, высокий, прямой, угловой, заостренный, острый, внутри, снаружи, сверху, снизу, впереди, позади, по диагонали, поперек.

Попросите своего ребенка повторить слова и объясните, что они означают. Применяйте их в играх.

Научите ребенка использовать жесты

Жест – мощный инструмент общения и обучения. Исследования показывают, что дети учатся лучше, когда учителя задействуют жестикуляцию при объяснении.

Когда дети используют жесты для обозначения движений объектов, их способность к пространственному мышлению улучшается. Причем даже в том случае, если им предлагают дополнить свой словесный ответ при помощи жестов.

Учите визуализировать

Запустите дрона

Управлять летающим объектом в пространстве с помощью нескольких джойстиков сложнее, чем кажется. Направление, в котором летит беспилотный летательный аппарат, постоянно меняется, заставляя вас одновременно им управлять и отслеживать положение дрона, чтобы правильно ориентировать его. Это тест на вращение предмета в реальном времени.

Разгадывайте головоломки

Попробуйте собрать кубик Рубика или поиграйте в многочисленные игры-головоломки, которые сейчас доступны и в виде приложений для телефона. Собрать пазл – тоже хороший вариант.

Делайте наброски

Попробуйте нарисовать трехмерный объект с разных ракурсов и перспектив. Если тяжело, просто рисуйте, что в голову взбредет. Чем больше тренируетесь, тем лучше становитесь – здесь настойчивость является самой верной стратегией.

Исследуйте физический мир

Исследование реального мира научит вас визуализировать пространство и расстояние наилучшим образом.

Будьте осознанны. Оценивайте расстояние, которое проходите, сопоставляйте с реальными показателями. Обращайте внимание на дороги, мосты, горы, постройки – все, что вас окружает. Это улучшит память и внимательность, поможет избавиться от информационной перегрузки и прокачает пространственное мышление.

Научитесь мысленно вращать предметы

Мысленное вращение – это способность мысленно представлять и поворачивать 2D и 3D объекты в пространстве быстро и точно, в то время как функции объекта остаются неизменными.

Пройдитесь по квартире или офису, найдите один объект, который будете мысленно вращать. В идеале его нужно взять в руки и рассмотреть со всех сторон. Запомните каждую мелочь.

А теперь закройте глаза и мысленно вращайте его. Добейтесь того, чтобы объект не терял объема, не уменьшался, не увеличивался и не искривлялся. Теперь представьте, как на него падает солнце или капли дождя. «Разбейте» его на маленькие кусочки, а затем «соберите».

К примеру, выгляньте из окна и внимательно осмотрите один из автомобилей. Запомните его. Теперь закройте глаза и представьте следующее:

• Как этот автомобиль стоит у дерева в лесу.
• Как он едет по дороге.
• Как он будет выглядеть, если перевернется.
• Представьте его на берегу моря.
• А теперь «утопите» в море. Прошел один год. Как он будет выглядеть под водой со всех ракурсов? Что с ним сделают обитатели моря?
• Представьте его в темноте с мигающими фарами.
• Как он обгоняет другой автомобиль.
• Как он выглядит без колес.
• Представьте, как он медленно удаляется.
• Представьте десять таких же автомобилей, стоящих в ряд.
• А теперь – те же автомобили, стоящие друг на друге.

Не спешите. Выделите на это упражнение достаточно времени. Чем больше деталей и подробностей, тем лучше.

Играйте в видеоигры

Разумеется, не во все. Однако вы сможете найти несколько хороших популярных видеоигр, которыми увлекаются многие люди. К примеру:

• Minecaft
• Цивилизация (Civilization)
• Starcraft

Отлично подойдут и игры для мобильных телефонов:

• Monument Valley
• Har-mo-ny
• Thomas was alone

Играйте в настольные игры

Безусловно, лучше всего обучаться, если делать это при помощи игры. Если же говорить про настольные, то здесь еще есть возможность подключить своих друзей или родственников. Всем от этого будет огромная польза.

Преимущества настольных игр в том, что они повышают , улучшают память, заставляют мыслить стратегически, а также позволяют проводить десятки образных операций в голове.

Причем делается это не бесцельно, а для того, чтобы победить соперников. То есть уровень мотивации повышается в несколько раз, причем без дополнительных усилий.

Настольные игры выгодно отличаются от видеоигр еще и тем, что позволяют проводить физические манипуляциями с предметами. Вы можете взять кубик в руки, перемещать фигурки, соединять объекты и ощущать карты в своих руках. Когнитивные психологи считают, что когда к визуальному образу добавляется еще и физический, пространственное мышление развивается быстрее.

Вот настольные игры, на которые стоит обратить внимание:

• Манчкин
• Монополия
• Карксассон
• Дженга
• Ундервуд
• Диксит
• Цитадели
• Токайдо
• Ужас Аркхэма
• Древний ужас.
• Робинзон Крузо
• Колонизаторы
• Пандемия
• Доминион
• Билет на поезд

Отличительная особенность большинства настольных игр в том, что в них можно играть бесконечное количество раз. Поэтому тренировать пространственное мышление вы сможете в любое удобное время.

Желаем вам удачи!

Значительное место в программе по математике для начальной школы занимает геометрический материал, что объясняется тем, что работа с геометрическими объектами, за которыми стоят реальные объекты природы и сделанные человеком, позволяет, опираясь на актуальные для младшего школьника наглядно-действенный и наглядно-образный уровни познавательной деятельности, подниматься на абстрактный словесно-логический уровень; во-вторых, способствует более эффективной подготовке учеников к изучению систематического курса геометрии.

Изучение геометрических фигур начинается со знакомства с точкой и линией и рассмотрения их взаимного расположения. Сравнение разных видов линий приводит к появлению различных многоугольников, а затем - к знакомству с пространственными фигурами. Геометрические величины (длина, площадь, объем) изучаются на основе единого алгоритма, базирующегося на сравнении объектов и применении различных мерок. Умение строить различные геометрические фигуры и развертки пространственных фигур, находить площади и объемы этих фигур необходимо при выполнении различных поделок на уроках технологии, а также в жизни.

Развитие пространственного воображения в начальной школе актуально, т.к. пространственные представления и пространственное воображение ребенка являются предпосылками для формирования его пространственного мышления и обеспечиваются различными психическими процессами, такими как восприятие (первоосновой которого являются ощущения), внимание, память, воображение при обязательном участии речи. Ведущую роль при этом играют логические приемы мышления: сравнение, анализ, синтез, классификация, обобщение, абстрагирование.

В многочисленных методических исследованиях, посвященных проблеме формирования пространственных представлений и воображения у младших школьников, рассматриваются как содержательные, так и процессуальные аспекты их обучения элементам геометрии

Однако проведенные исследования в основном направлены на формирование двумерных пространственных представлений. Основное внимание из структуры пространственных представлений уделяется формированию представлений о форме и величине. Недостаточно уделяется внимания другим важным направлениям, связанных с развитием пространственного воображения на основе пространственной размещенности объектов, усвоения определенных отношений и ориентировочных действий в реальном окружающем пространстве.

Основная часть

1. Теоретические аспекты развития пространственного воображения

На необходимость развития пространственного воображения обращали внимание отечественные педагоги-геометры. Учеными подчеркивается важность развития пространственного воображения для успешной работы во многих областях человеческой практики: в творчестве ученого, на занятиях математической деятельностью, научно-техническим творчеством, в профессии учителя, актера, писателя, в декоративном и изобразительном искусстве, в процессе чтения художественного произведения (М.М. Бахтин, Л.И. Божович, И.А. Бреус, Н.В. Гончаренко, Е.А. Климов, A.M. Коршунов, В.Т. Кудрявцев, И.И. Лапшин, А.К. Маркова, Я.А. Пономарев, Б.М. Ребус, И.О. Якиманская и др.).

Воображение не дается человеку при рождении, оно возникает в ходе деятельности, в том числе, познавательной. Воображение позволяет познавать окружающую нас действительность. Для того чтобы воображение могло проявить себя, оказывая помощь в процессе приобретения новых знаний, необходимо снабдить человека наличным опытом. Воображение будет тем богаче, чем обширнее наличный опыт человека, относительно отдельных частей и элементов того предмета или явления, которое предстоит изучить. В ходе познавательной деятельности, как видно из практики, воображение играет значительную роль, т.к. без него процесс обучения был бы очень затруднительным, а по графическим дисциплинам практически невозможным.

Пространственное воображение - это умение мысленно моделировать и "представлять" различные проекты или конструкции, видеть их внутренним зрением в цвете и деталях.

Образы, которыми оперирует человек, не ограничиваются воспроизведением непосредственно воспринятого. Перед человеком в образах может предстать и то, чего он непосредственно не воспринимал, и то, чего вообще не было, и даже то, чего в такой именно конкретной форме в действительности и быть не может. Таким образом, не всякий процесс, протекающий в образах, может быть понят как процесс воспроизведения. Собственно каждый образ является в какой-то мере и воспроизведением – хотя бы и очень отдаленным, опосредованным, видоизмененным – и преобразованием действительного. Эти две тенденции воспроизведения и преобразования, данные всегда в некотором единстве, вместе с тем в своей противоположности расходятся друг с другом. И если воспроизведение является основной характеристикой памяти, то преобразование становится основной характеристикой воображения . По мнению Р.С. Немова воображение – это особая форма человеческой психики, стоящая отдельно от остальных психических процессов и вместе с тем занимающая промежуточное положение между восприятием, мышлением и памятью .

Воображение значительно расширяет и углубляет процесс познания объективного мира. Так, например, Г.И. Саламатовой подчеркивается то, что при изучении математики, физики, химии и других предметов воображение помогает учащимся оживить абстрактные понятия, наполнить формулы конкретным содержанием. И нередко трудности в усвоении научных понятий, в решении учебных задач связаны с тем, что у учащихся не возникают соответствующие образы. Так, например, неправильное представление чертежа геометрической задачи делает ее вообще неразрешимой. Для того, чтобы решить ту или иную задачу, надо не только осмыслить содержание, но и создать адекватный образ. А это функция воображения .

В связи с этим одной из основных задач школы является развитие пространственного воображения школьников, которое заключается в способности создавать образы в трехмерном пространстве . Пространственное воображение – важный компонент психического развития человека, значимость которого неоднократно подчеркивали педагоги и психологи.

Без хорошо развитого пространственного воображения невозможно успешное изучение геометрического материала, особенно стереометрического, где постоянно требуется умение читать изображения фигур, мысленно представлять необходимую конфигурацию, удерживать в зрительном поле сразу несколько объектов и оперировать ими.

В средних и старших классах, когда изучение стереометрии подразумевает наличие у школьников элементарных навыков пространственного воображения, происходит осечка, учителя сталкиваются с тем, что их ученики не умеют читать изображения пространственных фигур, плоский чертеж не воспринимается ими объемно, ученики часто бывают не в состоянии определять соотношения между отдельными элементами изображения, мысленно изменять их взаимное расположение, расчленять фигуру на части или склеивать ее из имеющихся частей. Вот почему следует изыскивать всякие возможности и использовать любые резервы времени для развития пространственного воображения учащихся в течение первых лет обучения в школе, как на уроках, так и во внеурочное время.

Низкий уровень пространственного воображения учеников требует большей наглядности при решении геометрических задач. При этом часто встает вопрос о легкости оперирования пространственными образами фигур и самим учителем. Наиболее эффективными средствами развития пространственных представлений учащихся, как известно, являются: демонстрирование фигур, сравнение положений геометрических фигур относительно друг друга, моделирование, грамотное изображение фигур, чтение чертежа. Эти средства приводят к наилучшим результатам, если они используются систематически и в комплексе. Создание графических образов или графическое моделирование необходимо не только для успешного обучения основам наук, но и имеет немалое значение в изобразительной, конструкторской, технической деятельности, реализуется в повседневной жизни .

При изучении основ геометрии младшими школьниками опираться только на непосредственное созерцание недостаточно. Моторика и связанное с ней мышечное чувство играют в развитии психики интеллекта и личности фундаментальную роль, наглядно-практическое обучение геометрии должно обеспечить возможность оперировать предметными моделями, выявить геометрические факты. Это значит, что любое новое знание должно быть получено в процессе активных действий самого ребенка, а не ограничиваться лишь наблюдениями за действиями других.

Организованная на такой основе познавательная деятельность позволяет практически преобразовывать предмет изучения в соответствии с поставленной целью. Таким образом, при формировании геометрического образа очень важна деятельность осязательного и зрительного анализаторов. Осязательные анализаторы являются также одним из важнейших источников знаний о пространстве и механических свойствах предметов.

2. Геометрический материал как средство развития пространственного воображения младших школьников

Тема «Геометрические фигуры» занимает значительное место в современных программах и изучается в течение всего периода начального обучения. Как правило, отдельные вопросы, относящиеся к теме, не выделяются в отдельные блоки, а переплетаются с изучением основного – арифметического – материала. Отдельно представлено измерение площади, углов, объема пространственных фигур и геометрических моделей числового ряда (числовой (координатный) луч).

Перечислим основные задачи изучения геометрического материала:

– уточнение и обобщение геометрических представлений, полученных в дошкольном возрасте;

– обогащение геометрических представлений школьников, формирование некоторых основных геометрических понятий (фигура, плоскостные и пространственные фигуры, основные виды плоскостных и пространственных фигур, их иерархическая связь между собой и т.д.);

– развитие плоскостного и пространственного воображения школьников;

– подготовка к изучению систематического курса геометрии в основном звене школы.

Изучение геометрического материала в современной начальной школе преследует в основном практические цели, сопровождая курс арифметики. Так, рассмотрение свойств фигур, формирование начальных геометрических представлений направлено в основном на приобретение учащимися практических умений и навыков, связанных с решением практических задач на вычисление (длины или площади).

Геометрия с первых лет обучения способствует познавательной и интеллектуальной активности школьников и является путем к достижения нового качества образования.

Математика как учебный предмет, а точнее его геометрическая составляющая, имеет широкие возможности для развития образных компонентов мышления. Работа в геометрическом пространстве требует создание и оперирование образами, в которых выделены форма, расположение в пространстве, взаимное положение элементов, то есть пространственными образами; изучение геометрии требует преимущественно эмоционально-образных познавательных стратегий, органичных для младших школьников, и потому является исключительно важным для полноценного интеллектуального, эмоционального и эстетического развития детей.

3. Методика развития пространственного воображения на уроках математики в начальной школе

В первом классе изучение геометрического материала начинается с углубления знаний детей о пространстве. Семилетние ученики имеют развитое чувство формы, объема, способность подмечать некоторые отличительные особенности предметов и геометрических фигур (мяч - гладкий, круглый, легко катится, его удобно ловить; из кубиков можно построить крепость - они устойчивы и т. п.). Интерес к изобразительной деятельности сформировал у учеников первый опыт оперирования геометрической формой.

С целью формирования пространственного воображения геометрический материал целесообразно изучать в виде дидактических блоков. Дидактические блоки имеют единый принцип построения и формируют определенную систему деятельности. В общем виде дидактический блок выглядит следующим образом:

1. Форма - свойства предметов окружающего мира.
2. Объемная фигура - форма предмета.
3. Элементы объемной фигуры, их количество.
4. Плоская фигура как графический «след» элементов объемной фигуры.
5. Взаимное расположение фигур. Фигура как особый случай взаимного расположения других фигур.
6. Отличительные особенности и свойства геометрических фигур.
7. Измерение, графическое изображение, моделирование, графическое комбинирование геометрических фигур. Чтение чертежей.

Рассмотрение предметов окружающего мира и противопоставление их друг другу позволяет выделить форму среди других свойств предметов (цвета, размера, качества материала и т. д.). Сравнение и сопоставление предметов одинаковой формы способствует переходу к геометрической форме в виде объемной материальной модели геометрической фигуры.

Анализ формы модели с привлечением чувственного опыта ребенка позволяет выделить элементы объемной геометрической фигуры с помощью приема графического «следа», поставить им в соответствие плоскую фигуру. Графическое комбинирование плоских фигур позволяет перейти к взаимному расположению геометрических фигур. Сравнение плоских фигур, объемных фигур, плоских и объемных фигур между собой помогает формировать представление об их свойствах.

Практическая часть в первом классе основывается на конструировании и моделировании из известных детям материалов: палочек, пластилина, проволоки, что позволяет закрепить в памяти учащихся устойчивого образа фигуры. Вместе с тем происходит знакомство с деталями конструктора, простыми соединениями деталей между собой. Знакомство с техникой оригами позволяет формировать у учащихся умение ставить вопросы о мире и искать на них ответы, развивать любознательность и творческое начало, учить первоначальным навыкам чтения чертежей и технологических карт.

Формирование понятия происходит по следующим этапам:

I. Подготовительный этап.

II. Знакомство с понятием.

III. Закрепление.

IV. Обобщение.

Знакомство с объёмными телами на уроках математики может происходить в такой последовательности:

I. Знакомство с шаром, его свойствами.

II. Знакомство с цилиндром и его свойствами.

III. Знакомство с конусом и его свойствами.

IV. Обобщение по темам «Шар», «Цилиндр», «Конус».

V. Знакомство с призмой, её свойствами; знакомство с параллелепипедом и кубом.

VI. Знакомство с пирамидой, её свойствами.

VII. Обобщение по темам «Призма», «Пирамида»; введение понятия «Многогранник».

VIII. Обобщение и закрепление знаний по темам «Шар», «Цилиндр», «Конус» и «Многогранник».

При формировании этих понятий используются творческие задания. При формировании каждого понятия даётся исторический материал; выясняются «отношения» между понятиями: какое является родовым, т.е. какое «старше», «главнее»; даются названия элементов.

На конкретном примере представим систему заданий для формирования понятия «Шар».

I. Цель: познакомить с шаром. Ввести понятие «форма».

Оборудование: предметы шарообразной формы, набор фотографий и рисунков предметов шарообразной формы, цилиндр, конус, круг.

Рассматривание группы предметов. Что это? (Глобус, теннисный мячик, надувной шарик, мяч, бусинки, горошины. Посмотрите, чем все эти предметы отличаются друг от друга?

• по цвету;
• по размеру;
• по материалу, из которого изготовлены;
• сделаны человеком или созданы природой;
• по назначению;
• по тяжести;
• по прозрачности и т.д.

Что объединяет, чем похожи? (Если «круглые», то показать круг. Круг - круглый, а эти предметы?) Это - шары. Итак, что общего у всех этих предметов? (Форма)

Что ещё? (Сравнить нарисованный мячик и мяч). Мяч можно обхватить руками, посмотреть на него со всех сторон, то есть шар - объёмный, его можно «обнять».

Что ещё общего у этих предметов? Посмотрите, они не хотят лежать на столе. Они все (катаются. Мяч катается? Значит, он шар. Горошина катается? Это тоже шар. Показать цилиндр и конус. Катаются? Значит, тоже шары?

Попробуйте, покатайте. Как катаются эти фигуры и как катается шар? (Шар катится во все стороны.)

Сделать вывод. Что общего у всех этих предметов? (Шарообразная форма, объёмность, способность кататься в разных направлениях.) Как можно одним словом назвать все эти предметы? (Шар).

Посмотрите вокруг себя. Есть шары в классе? Вспомните, где вы видели предметы шарообразной формы дома, на улице? (Ёлочные украшения в форме шара, плафоны, ягоды, клубки и т.д.) Посмотрите на фотографии и рисунки.

Про что вы ещё забыли?

Давайте нарисуем в тетрадях шар и подпишем. Чтобы шар на рисунке не получился плоским, нарисуйте тень и закрасьте тёмные места. Вот так.

А вы знаете, почему шар называется шаром? Слово «шар» произошло от греческого слова [фатра] , что означает «мяч».

Домашние задания - записать в тетрадях названия предметов шарообразной формы, про которые мы в классе не вспомнили.

II. Цель: закрепление понятия «шар», его свойств.

Оборудование: набор предметов разной формы для игры в «Чёрный ящик»; геометрические тела и плоские фигуры из цветной бумаги, шары, пластилин.

С какой геометрической фигурой познакомились? (Шар.) Какими обладает свойствами?

Поиграем в игру «Молчанка». Вы мне должны молча показать, изобразить шар руками, показать все его свойства. У кого лучше?

Возьмите пластилин и слепите каждый свой шар. У всех получились шары?

Посмотрите, какие получились шары разные. Чем они отличаются? (Цвет, размер.) Что общего?

Положите справа самый большой шар, слева - самый маленький. Положите зелёный шар, а за ним - красный, перед ним - синий.

У доски - предметы различной формы, фигуры, вырезанные из цветной бумаги. Показать только шары.

Раздели предметы на две группы: в одну - шары, в другую - все остальные предметы. Как назвать все предметы первой группы? (Шары, или предметы, имеющие шарообразную форму).

У доски два предмета шарообразной формы, конус, цилиндр и круг из бумаги. Дети закрывают глаза, учитель убирает один предмет. Дети открывают глаза, если исчез шар, хлопают в ладоши.

Давайте поиграем в игру «Чёрный ящик». Перед вами чёрный ящик. В нём лежит много разных предметов. Ваша задача - достать шар, определив, что это шар на ощупь.

При формировании понятий могут использоваться различные творческие задания. Это может быть написание сказки, стихотворений, различные поделки, рисунки, математические газеты и т.д.

Один из видов творческих заданий при работе с понятиями - составление детьми «Геометрического словарика». При составлении словарика дети дают определение понятия (своими словами, так, как они понимают), самостоятельно выделяют существенные свойства, подбирают интересный материал, оформляют словарик, сочиняют сказки, стихи, загадки, выполняют рисунки.

В геометрическом словарике отражаются следующие моменты:

1. Термин (Дети пишут название)
2. Определение (Ребята отвечают на вопрос «Что это такое?», описывают фигуру, перечисляют её свойства)
3. Содержание понятия (Перечисляются свойства, благодаря которым эту фигуру можно отличить от остальных геометрических фигур)
4. Объём понятия (Перечисляются виды, отвечают на вопрос «Какие бывают?», «Как можно сделать?»)
5. Связь с жизнью (Где встречается, какие предметы или их части имеют такую же форму?)
6. Творческое оформление (стихотворения, сказки, загадки, интересные задания, рисунки и т.д.)

Во втором классе продолжается работа над формированием у школьников конструкторских навыков с использованием наиболее общих геометрических знаний, технических и математических способов действий, математических и технических способов описания этих действий и их результатов. Любая работа будет давать свой положительный результат только тогда, когда она проводится систематически и целенаправленно. Поэтому следует продолжить изучение геометрического материала в виде расширенных дидактических блоков. Примером одного из них будет служить работа по теме «Куб-квадрат».

1. Куб - форма предметов: коробки, комнаты, ящика и т. п.
2. Элементы куба: вершины, ребра, грани. Их количество.
3. Точка, отрезок, квадрат - графический след вершины, ребра и грани куба соответственно.
4. Линия как графический «след» непрерывно движущейся точки. Замкнутая, незамкнутая линии.
5. Точка как результат пересечения линий.
6. Прямая. Взаимное расположение точки и прямой. Луч. Графическое изображение луча.
7. Взаимное расположение двух лучей. Угол. Графическое изображение угла. Прямой угол.
8. Квадрат. Элементы квадрата, их количество, взаимное расположение.
9. Куб. Геометрические особенности формы куба. Моделирование куба из палочек и пластилина.
10. Длина отрезка. Измерение отрезков. Диагонали квадрата, их свойства. Нахождение периметра квадрата.

По такому же принципу осуществляется изучение блоков «Параллелепипед - прямоугольник», «Пирамида - треугольник», «Шар - круг». Таким образом, изучая геометрический материал первого блока, учащиеся прочно овладевают разнообразными приемами и способами деятельности, которые закрепляют, а затем используют при изучении каждого последующего блока, но уже как учебные средства для приобретения новых знаний.

По окончании изучения каждого блока проводятся практические занятия, где учащиеся применяют полученные знания на практике, объединяют их на основе общих закономерностей. Выполняются индивидуальные, групповые и коллективные творческие работы в технике оригами.

Изучение геометрического материала третьего класса осуществляется не столько по пути расширения объема знаний о новых фигурах, сколько по пути выявления свойств, отношений между фигурами и повышения качественного уровня владения приемами конструктивно-геометрической, творческой и мыслительной деятельности. В связи с этим учащиеся третьего класса совершенствуют навыки графического изображения фигур, усваивают правила построения циркулем и линейкой геометрических фигур, узоров и розеток, а также правила изображения объемных фигур (куба, параллелепипеда, пирамиды, сферы). Запас имеющихся знаний об объемных фигурах расширяется знакомством с проекционными чертежами (видами сверху, слева, спереди) и масштабом (уменьшением натуральной величины).

В 3-м и 4-м классах дети знакомятся с различными приемами изображения на плоскости объемных предметов, создающих иллюзию объемности. Через систему заданий дети самостоятельно подходят к выводу о том, что для этого используют художники, графики, чертежники. Художники-живописцы используют для этого игру светотени или перспективу, графики – искривление линий, чертежники – ортогональную проекцию.

Помимо этих приемов, дети знакомятся с изображением трех видов объекта (спереди, сверху, сбоку). Этот способ особенно важен для развития пространственного воображения.

В качестве эффективного метода развития пространственного воображения может использоваться сравнение моделей различных наименований. Весь данный материал изучается на ознакомительном уровне. Например, сравнивая модели шара, цилиндра, конуса, дети отмечают, что общее для них – это способность к качению (катится). Различие в том, что шар катится произвольно, цилиндр – по прямой, конус – по кругу, в центре которого находится его вершина. Различия этих тел также в том, что у шара нет ни вершин, ни оснований, у цилиндра – два основания, но нет вершин, у конуса – одно основание и одна вершина. Аналогично рассматриваются и сравниваются призма и пирамида, цилиндр и призма, пирамида и конус и т.д.

Вариантом такой работы является сравнение объемных фигур одного наименования. Например, детям предлагается сравнить несколько разных призм. При выполнении задания выявляются признаки сходства и различия.

Признаки сходства: все призмы имеют два основания-многоугольника, ребра и вершины, боковые грани у них – прямоугольники (в начальной школе мы рассматриваем только прямые призмы).

Признаки различия: основаниями являются разные многоугольники, число вершин и ребер различное, длины ребер разные.

Можно предложить ученикам найти призмы, имеющие только один или другое число признаков различия и обсудить, почему это так.

В четвертом классе формирование представления о форме и взаимном расположении фигур завершается знакомством с правильными многогранниками и правильными многоугольниками, моделированием многогранников из бумаги. На качественно новый уровень выходит измерительная деятельность учащихся. Они учатся использовать измерения при построении, измеряют модели фигур и объектов на местности. Моделирование многогранников включает в себя практически все приемы конструктивно-геометрической деятельности, поэтому умение ученика изготовить модель объемной фигуры служит, наряду с умением читать чертежи и технологические карты, одним из главных критериев его способности к конструированию в представлении, оперированию пространственными образами и использованию их как опоры в мыслительной деятельности.

Участие в творческом процессе путем создания коллективных работ в технике оригами на выбранную тему, умение составить план своих действий, подобрать материал и инструменты для своей деятельности позволяют развивать самостоятельность, стимулировать познавательную активность, создавать атмосферу коллективно-поисковой деятельности каждого отдельно взятого ученика и коллектива в целом.

4. Планируемые результаты

Сформированность пространственного воображения характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические модели изучаемых объектов и выполнять над ними различные операции.

Исследование уровня развития пространственного воображения

(Познавательные УУД)

Итак, учитывая, что задания, выявляющие уровень пространственного воображения практически не включены в комплексные итоговые работы, правомерно использование дополнительных заданий, например:

1. Предъявить ребенку развертку фигуры и попросить в мысленном плане опознать объемную фигуру, которая может из нее получиться, если развертку согнуть по обозначенным пунктирным линиям.
2. Разделите круглый сыр тремя разрезами на восемь частей.
3. Каждая из представленных на следующем рисунке фигур состоит из определённого количества кубиков. Рассмотрите внимательно фигуры и сосчитайте, из какого количества кубиков составлена каждая фигура.

Заключение

Пространственное воображение - вид умственной деятельности, обеспечивающей создание пространственных образов и оперирование ими в процессе решения различных практических и теоретических задач. Пространственное воображение есть такое психологическое образование, которое формируется в различных видах деятельности (практической и теоретической). Для его развития большое значение имеют продуктивные формы деятельности: конструирование, изобразительное (графическое). В ходе овладения ими, целенаправленно формируются умения представлять в пространстве результаты своих действий и воплощать их в рисунке, чертеже, постройке, поделке. Мысленно видоизменять их и создавать на этой основе новые, в соответствии с созданным образом, планировать результаты своего труда, а также основные этапы его осуществления, учитывая не только временную, но и пространственную последовательность их выполнения.

Пространственное воображение в своей развитой форме оперирует образами, содержанием которых является воспроизведение и преобразование пространственных свойств и отношений объектов: их формы, величины, взаимного положения частей. Оперирование пространственными образами в видимом или воображаемом пространстве, является содержанием пространственного воображения.

Содержание отобранного для изучения геометрического материала должно быть разнообразным (в смысле одновременного ознакомления учащихся с двумерными и трехмерными фигурами), обеспечивать непрерывность (не допускать периодов бездействия и пропусков) и равномерность (не допускать перегрузки на каких-то этапах) процесса формирования пространственных представлений и воображения у учащихся.

При отборе содержания необходимо учитывать, что формирование умений оперирования образами является основополагающими для работы в геометрическом пространстве. Деятельность образного мышления является приоритетной в возрасте 6-11 лет. Поэтому пространственное воображение как разновидность образного мышления необходимо развивать уже в начальной школе. Целенаправленная работа с образами необходима в младшем школьном возрасте и для развития творческого начала в ребенке (образное мышление, связанное с созданием многозначных контекстов, лежит в основе творческой деятельности).

Список использованных источников

1. Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе: от действия к мысли: пособие для учителя / [А.Г. Асмолов, Г.В. Бурменская, И.А. Володарская и др.]; под ред. А.Г. Асмолова. - М. : Просвещение, 2008. - 151 с.
2. Маклаков А.Г. Общая психология: Учебник для вузов. – СПб. : Питер, 2004.
3. Методика обучения геометрии. Учебное пособие. Под редакцией Гусева В.А. – М. : Издательский центр «Академия», 2004.
4. Немов Р.С. Психология. В трех книгах. Кн. 1. Общие основы психологии.-М. : Владос, 1998.
5. Саламатова Г.И. Воображение как компонент творчества при изучении математики// Начальная школа + до и после, 2004, № 9, с. 47-48
6. Цукарь А.Я. Развитие пространственного воображения. – С.-Пб.: Издательство СОЮЗ, 2000г.
7. Якиманская И.С. Методы исследования невербального мышления сб. тестовых методик И.С. Якиманская, В.Г. Зархин, О.С. Зяблова, X.М.Х. Кадаяс, А.Ю. Лебедев; [под ред. И.С. Якиманской] М. 1993.
8. Якиманская И.С. Психологические основы математического образования. – М.: “Академия”, 2004. – 320 с

Ответ к задаче о круге сыра:

Ответ к задаче о кубиках:

1 фигура - 55 кубиков

2 фигура - 27 кубиков

3 фигура - 60 кубиков

4 фигура - 27 кубиков

5 фигура - 27 кубиков

6 фигура - 60 кубиков